මුලදී, ඩයිස් ක්‍රීඩාව පිළිබඳ තොරතුරු සහ ආනුභවික නිරීක්ෂණ එකතුවක් පමණක් වූ අතර, සම්භාවිතාව පිළිබඳ න්‍යාය පරිපූර්ණ විද්‍යාවක් බවට පත් විය. එයට මුලින්ම ගණිතමය රාමුවක් ලබා දුන්නේ ෆර්මැට් සහ පැස්කල් ය.

සදාකාලික දේ ගැන සිතීමේ සිට සම්භාවිතා න්‍යාය දක්වා

සම්භාවිතා න්‍යාය එහි මූලික සූත්‍ර බොහොමයකට ණයගැති පුද්ගලයන් දෙදෙනා වන බ්ලේස් පැස්කල් සහ තෝමස් බේස් ගැඹුරු ආගමික පුද්ගලයන් ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර දෙවැන්නා ප්‍රෙස්බිටේරියන් අමාත්‍යවරයෙකි. පෙනෙන විදිහට, මෙම විද්‍යාඥයින් දෙදෙනාගේ අභිප්‍රාය යම් වාසනාවක් ඇගේ ප්‍රියතමයන්ට වාසනාව ලබා දීම පිළිබඳ මතයේ වැරදි බව ඔප්පු කිරීමට මෙම ක්ෂේත්‍රයේ පර්යේෂණ සඳහා තල්ලුවක් විය. ඇත්ත වශයෙන්ම, එහි ජයග්‍රහණ සහ පාඩු සහිත ඕනෑම සූදු ක්‍රීඩාවක් ගණිතමය මූලධර්මවල සංධ්වනියක් පමණි.

සමානවම සූදු කාරයෙකු වූ සහ විද්‍යාව ගැන උදාසීන නොවූ මිනිසෙකු වූ Chevalier de Mere ගේ ආශාවට ස්තූතිවන්ත වන්නට, සම්භාවිතාව ගණනය කිරීමට ක්‍රමයක් සොයා ගැනීමට පැස්කල්ට සිදුවිය. De Mere පහත ප්‍රශ්නය ගැන උනන්දු විය: “ලකුණු 12ක් ලබා ගැනීමේ සම්භාවිතාව 50% ඉක්මවන පරිදි ඔබට ඩයිස් දෙකක් යුගල වශයෙන් කොපමණ වාරයක් විසි කළ යුතුද?” මහත්මයාට මහත් උනන්දුවක් ඇති කළ දෙවන ප්‍රශ්නය: “නිම නොකළ ක්‍රීඩාවට සහභාගිවන්නන් අතර ඔට්ටුව බෙදන්නේ කෙසේද?” ඇත්ත වශයෙන්ම, සම්භාවිතා න්‍යායේ වර්ධනයේ නොදැනුවත්වම ආරම්භකයා බවට පත් වූ ඩි මෙරේගේ ප්‍රශ්න දෙකටම පැස්කල් සාර්ථකව පිළිතුරු දුන්නේය. ඩි මෙරේගේ පුද්ගලයා සාහිත්‍යයේ නොව මෙම ප්‍රදේශයේ ප්‍රසිද්ධව සිටීම සිත්ගන්නා කරුණකි.

මෙය අනුමාන විසඳුමක් පමණක් බව විශ්වාස කරන බැවින්, මීට පෙර, කිසිදු ගණිතඥයෙකු සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව ගණනය කිරීමට උත්සාහ කර නැත. Blaise Pascal විසින් සිදුවීමක සම්භාවිතාව පිළිබඳ පළමු නිර්වචනය ලබා දුන් අතර එය ගණිතමය වශයෙන් සාධාරණීකරණය කළ හැකි නිශ්චිත රූපයක් බව පෙන්නුම් කළේය. සම්භාවිතා න්‍යාය සංඛ්‍යාලේඛන සඳහා පදනම වී ඇති අතර නවීන විද්‍යාවේ බහුලව භාවිතා වේ.

අහඹු බව යනු කුමක්ද

අපි අනන්ත වාර ගණනක් නැවත නැවතත් කළ හැකි පරීක්ෂණයක් සලකා බැලුවහොත්, අපට අහඹු සිදුවීමක් නිර්වචනය කළ හැකිය. මෙය අත්හදා බැලීමේ ප්රතිඵලවලින් එකකි.

අත්දැකීම් යනු නියත තත්වයන් යටතේ නිශ්චිත ක්රියාවන් ක්රියාත්මක කිරීමයි.

අත්හදා බැලීමේ ප්රතිඵල සමඟ වැඩ කිරීමට හැකි වන පරිදි, සිදුවීම් සාමාන්යයෙන් A, B, C, D, E...

අහඹු සිදුවීමක සම්භාවිතාව

සම්භාවිතාවේ ගණිතමය කොටස ආරම්භ කිරීම සඳහා, එහි සියලුම සංරචක නිර්වචනය කිරීම අවශ්ය වේ.

සිදුවීමක සම්භාවිතාව යනු අත්දැකීමක ප්‍රතිඵලයක් ලෙස යම් සිදුවීමක් (A හෝ B) සිදුවීමේ හැකියාව පිළිබඳ සංඛ්‍යාත්මක මිනුමක් වේ. සම්භාවිතාව P(A) හෝ P(B) ලෙස දැක්වේ.

සම්භාවිතා න්‍යාය තුළ ඔවුන් වෙන්කර හඳුනා ගන්නේ:

• විශ්වසනීයමෙම සිදුවීම P(Ω) = 1 අත්දැකීමේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස සිදුවීම සහතික කර ඇත;
• නොහැකි යසිදුවීම කිසි විටෙකත් සිදු විය නොහැක P(Ø) = 0;
• අහඹුසිදුවීමක් විශ්වාසදායක සහ කළ නොහැකි අතර පවතී, එනම්, එය සිදුවීමේ සම්භාවිතාව හැකි නමුත් සහතික නොවේ (අහඹු සිදුවීමක සම්භාවිතාව සෑම විටම 0≤Р(А)≤ 1 පරාසය තුළ පවතී).

සිදුවීම් අතර සබඳතා

අවම වශයෙන් එක් සංරචකයක් වන A හෝ B, හෝ A සහ ​​B යන දෙකම සම්පූර්ණ වූ විට සිදුවීම ගණනය කරන විට, A+B සහ සිදුවීම් එකතුව යන දෙකම සලකා බලනු ලැබේ.

එකිනෙකා සම්බන්ධයෙන්, සිදුවීම් විය හැක්කේ:

• සමානව හැකි ය.
• ගැළපෙන.
• නොගැලපේ.
• විරුද්ධ (අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් බැහැර).
• යැපෙන.

සමාන සම්භාවිතාවකින් සිදුවීම් දෙකක් සිදුවිය හැකි නම්, ඒවා සමානව හැකි.

A සිදුවීමේ සිදුවීම B සිදුවීමේ සම්භාවිතාව බිංදුවට අඩු නොකරන්නේ නම්, ඒවා ගැළපෙන.

A සහ B සිදුවීම් එකම අත්දැකීමක් තුළ එකවර සිදු නොවන්නේ නම්, ඒවා හඳුන්වනු ලැබේ නොගැලපෙන. කාසියක් විසි කිරීම හොඳ උදාහරණයකි: හිස් වල පෙනුම ස්වයංක්‍රීයව හිස් නොපෙනී යාමයි.

එවැනි නොගැලපෙන සිදුවීම්වල එකතුව සඳහා සම්භාවිතාව එක් එක් සිදුවීම්වල සම්භාවිතා එකතුවෙන් සමන්විත වේ:

P(A+B)=P(A)+P(B)

එක් සිදුවීමක් සිදුවීමෙන් තවත් සිදුවීමක් සිදුවිය නොහැකි නම්, ඒවා ප්රතිවිරුද්ධ ලෙස හැඳින්වේ. ඉන් එකක් A ලෙස නම් කර ඇති අතර අනෙක - Ā ("A නොවේ" ලෙස කියවන්න). A සිදුවීම සිදුවීමෙන් අදහස් වන්නේ Ā සිදු නොවූ බවයි. මෙම සිදුවීම් දෙක 1 ට සමාන සම්භාවිතා එකතුවක් සහිත සම්පූර්ණ කණ්ඩායමක් සාදයි.

යැපෙන සිදුවීම් අන්‍යෝන්‍ය බලපෑමක් ඇති කරයි, එකිනෙක සම්භාවිතාව අඩු කරයි.

සිදුවීම් අතර සබඳතා. උදාහරණ

උදාහරණ භාවිතා කිරීමෙන් සම්භාවිතා න්‍යායේ මූලධර්ම සහ සිදුවීම් සංයෝජන තේරුම් ගැනීම වඩාත් පහසු වේ.

සිදු කරනු ලබන අත්හදා බැලීම සමන්විත වන්නේ පෙට්ටියකින් බෝල ලබා ගැනීම සහ එක් එක් අත්හදා බැලීමේ ප්‍රතිඵලය මූලික ප්‍රතිඵලයකි.

සිදුවීමක් යනු අත්හදා බැලීමක ඇති විය හැකි ප්‍රතිඵලවලින් එකකි - රතු පන්දුවක්, නිල් පන්දුවක්, අංක හය සහිත පන්දුවක් යනාදිය.

පරීක්ෂණ අංක 1. බෝල 6 ක් සම්බන්ධ වන අතර, ඒවායින් තුනක් නිල් පැහැති ඔත්තේ අංක සහිත වන අතර අනෙක් තුන ඉරට්ටේ අංක සහිත රතු වේ.

පරීක්ෂණ අංක 2. එකේ සිට හය දක්වා අංක සහිත නිල් බෝල 6ක් ඇත.

මෙම උදාහරණය මත පදනම්ව, අපට සංයෝජන නම් කළ හැකිය:

• විශ්වසනීය සිදුවීමක්.ස්පාඤ්ඤ භාෂාවෙන් අංක 2 "නිල් බෝලය ලබා ගන්න" සිදුවීම විශ්වාසදායකය, මන්ද එය සිදුවීමේ සම්භාවිතාව 1 ට සමාන වන බැවින්, සියලුම බෝල නිල් වන අතර අතපසු විය නොහැක. "අංක 1 සමඟ පන්දුව ලබා ගන්න" යන සිදුවීම අහඹු සිදුවීමකි.
• කළ නොහැකි සිදුවීමක්.ස්පාඤ්ඤ භාෂාවෙන් නිල් සහ රතු බෝල සහිත අංක 1, "දම් පැහැති පන්දුව ලබා ගැනීම" සිදුවීම කළ නොහැක්කකි, මන්ද එය සිදුවීමේ සම්භාවිතාව 0 වේ.
• සමාන විය හැකි සිදුවීම්.ස්පාඤ්ඤ භාෂාවෙන් අංක 1, “අංක 2 සමඟ පන්දුව ලබා ගන්න” සහ “අංක 3 සමඟ පන්දුව ලබා ගන්න” යන සිදුවීම් සමානව කළ හැකි අතර, සිදුවීම් “ඉරට්ටේ අංකයකින් පන්දුව ලබා ගන්න” සහ “අංක 2 සමඟ පන්දුව ලබා ගන්න ” විවිධ සම්භාවිතාවන් ඇත.
• ගැළපෙන සිදුවීම්.ඩයි එකක් විසි කිරීමේදී පිට පිට දෙවතාවක් හයේ පහරක් ලබා ගැනීම ගැළපෙන සිදුවීමකි.
• නොගැලපෙන සිදුවීම්.එකම ස්පාඤ්ඤ භාෂාවෙන් අංක 1, "රතු බෝලයක් ලබා ගැනීම" සහ "ඔත්තේ අංකයක් සහිත බෝලයක් ලබා ගැනීම" යන සිදුවීම් එකම අත්දැකීම තුළ ඒකාබද්ධ කළ නොහැක.
• ප්රතිවිරුද්ධ සිදුවීම්.මෙහි වඩාත්ම කැපී පෙනෙන උදාහරණය වන්නේ කාසි විසිකිරීමයි, එහිදී හිස් ඇඳීම වලිග නොඇඳීමට සමාන වන අතර ඒවායේ සම්භාවිතා එකතුව සෑම විටම 1 (සම්පූර්ණ කණ්ඩායම) වේ.
• යැපෙන සිදුවීම්. ඉතින්, ස්පාඤ්ඤ භාෂාවෙන් අංක 1, ඔබට පේළියේ දෙවරක් රතු පන්දුව ඇඳීමේ ඉලක්කය තැබිය හැකිය. එය පළමු වරට ලබා ගත්තත් නැතත් එය දෙවන වර ලබා ගැනීමේ සම්භාවිතාවයට බලපායි.

පළමු සිදුවීම දෙවන (40% සහ 60%) සම්භාවිතාවට සැලකිය යුතු ලෙස බලපාන බව දැකිය හැකිය.

සිදුවීම් සම්භාවිතා සූත්‍රය

වාසනාව කීමේ සිට නිශ්චිත දත්ත දක්වා සංක්‍රමණය සිදුවන්නේ මාතෘකාව ගණිතමය තලයකට පරිවර්තනය කිරීමෙනි. එනම්, "ඉහළ සම්භාවිතාව" හෝ "අවම සම්භාවිතාව" වැනි අහඹු සිදුවීමක් පිළිබඳ විනිශ්චයන් නිශ්චිත සංඛ්යාත්මක දත්ත බවට පරිවර්තනය කළ හැකිය. එවැනි ද්රව්ය වඩාත් සංකීර්ණ ගණනය කිරීම් වලට ඇගයීමට, සංසන්දනය කිරීමට සහ ඇතුල් කිරීමට දැනටමත් අවසර ඇත.

ගණනය කිරීමේ දෘෂ්ටි කෝණයකින්, සිදුවීමක සම්භාවිතාව නිර්ණය කිරීම යනු යම් නිශ්චිත සිදුවීමක් සම්බන්ධයෙන් ඇති විය හැකි අත්දැකීම්වල ප්‍රතිඵල ගණනට මූලික ධනාත්මක ප්‍රතිඵල සංඛ්‍යාවේ අනුපාතයයි. සම්භාවිතාව P(A) මගින් දැක්වේ, P යනු "සම්භාවිතාව" යන වචනය සඳහා වන අතර එය ප්රංශ භාෂාවෙන් "සම්භාවිතාව" ලෙස පරිවර්තනය කර ඇත.

එබැවින්, සිදුවීමක සම්භාවිතාව සඳහා වන සූත්රය:

m යනු A සිදුවීම සඳහා හිතකර ප්‍රතිඵල සංඛ්‍යාව වන අතර, n යනු මෙම අත්දැකීම සඳහා හැකි සියලු ප්‍රතිඵලවල එකතුවයි. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සිදුවීමක සම්භාවිතාව සෑම විටම 0 සහ 1 අතර පවතී:

0 ≤ P(A)≤ 1.

සිදුවීමක සම්භාවිතාව ගණනය කිරීම. උදාහරණය

අපි ස්පාඤ්ඤය ගනිමු. කලින් විස්තර කළ බෝල සහිත අංක 1: අංක 1/3/5 සහිත නිල් බෝල 3 සහ අංක 2/4/6 සහිත රතු බෝල 3.

මෙම පරීක්ෂණය මත පදනම්ව, විවිධ ගැටළු කිහිපයක් සලකා බැලිය හැකිය:

• A - රතු පන්දුව පිටතට වැටීම. රතු බෝල 3 ක් ඇති අතර, සමස්තයක් ලෙස විකල්ප 6 ක් ඇත, මෙය සිදුවීමක සම්භාවිතාව P(A)=3/6=0.5 වේ.
• B - ඉරට්ටේ අංකයක් පෙරළීම. ඉරට්ටේ සංඛ්‍යා 3ක් (2,4,6) ඇති අතර, හැකි සංඛ්‍යාත්මක විකල්ප ගණන 6කි. මෙම සිදුවීමේ සම්භාවිතාව P(B)=3/6=0.5 වේ.
• C - 2ට වඩා වැඩි සංඛ්‍යාවක් ඇතිවීම. හැකි ප්‍රතිඵල 6ක සම්පූර්ණ සංඛ්‍යාවෙන් එවැනි විකල්ප 4ක් (3,4,5,6) ඇත. C සිදුවීමේ සම්භාවිතාව P(C)=4 ට සමාන වේ. /6=0.67.

ගණනය කිරීම් වලින් දැකිය හැකි පරිදි, A සහ ​​B ට වඩා වැඩි ධනාත්මක ප්‍රතිඵල සංඛ්‍යාව වැඩි බැවින් C සිදුවීමට වැඩි සම්භාවිතාවක් ඇත.

නොගැලපෙන සිදුවීම්

එවැනි සිදුවීම් එකම අත්දැකීමක් තුළ එකවර දිස්විය නොහැක. ස්පාඤ්ඤ භාෂාවෙන් මෙන් අංක 1 නිල් සහ රතු බෝලයක් එකවර ලබා ගත නොහැක. එනම්, ඔබට නිල් හෝ රතු බෝලයක් ලබා ගත හැකිය. එලෙසම, ඉරට්ටේ සහ ඔත්තේ සංඛ්‍යාවක් කැටයක එකවර දිස්විය නොහැක.

සිදුවීම් දෙකක සම්භාවිතාව ඒවායේ එකතුවේ හෝ නිෂ්පාදනයේ සම්භාවිතාව ලෙස සැලකේ. එවැනි සිදුවීම්වල එකතුව A හෝ B සිදුවීමෙන් සමන්විත සිදුවීමක් ලෙස සලකනු ලබන අතර, ඒවායේ ප්‍රතිඵලය AB දෙකෙහිම සිදුවීම වේ. නිදසුනක් වශයෙන්, එක් විසි කිරීමකදී ඩයිස් දෙකක මුහුණු මත එකවර හයේ පහර දෙකක් පෙනුම.

සිදුවීම් කිහිපයක එකතුව අවම වශයෙන් ඒවායින් එකක් හෝ සිදුවීමට අනුමාන කරන සිදුවීමකි. සිදුවීම් කිහිපයක් නිෂ්පාදනය කිරීම ඒ සියල්ලේම ඒකාබද්ධ සිදුවීමයි.

සම්භාවිතා න්‍යායේ දී, රීතියක් ලෙස, “සහ” යන සංයෝගය භාවිතා කිරීමෙන් එකතුවක් ද, “හෝ” සංයෝජනය - ගුණ කිරීම ද දක්වයි. උදාහරණ සහිත සූත්‍ර සම්භාවිතා න්‍යායේ එකතු කිරීමේ සහ ගුණ කිරීමේ තර්කනය ඔබට තේරුම් ගැනීමට උපකාරී වේ.

නොගැලපෙන සිදුවීම් එකතුවේ සම්භාවිතාව

නොගැලපෙන සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව සලකා බැලුවහොත්, සිදුවීම්වල එකතුවේ සම්භාවිතාව ඒවායේ සම්භාවිතා එකතු කිරීමට සමාන වේ:

P(A+B)=P(A)+P(B)

උදාහරණයක් ලෙස: ස්පාඤ්ඤ භාෂාවෙන් සම්භාවිතාව ගණනය කරමු. නිල් සහ රතු බෝල සහිත අංක 1, 1 සහ 4 අතර සංඛ්යාවක් දිස්වනු ඇත, අපි එක් ක්රියාවකින් නොව, ප්රාථමික සංරචකවල සම්භාවිතා එකතුවෙන් ගණනය කරමු. ඉතින්, එවැනි අත්හදා බැලීමක දී ඇත්තේ බෝල 6 ක් හෝ හැකි සියලු ප්රතිඵල 6 ක් පමණි. කොන්දේසිය තෘප්තිමත් කරන සංඛ්‍යා 2 සහ 3 වේ. අංක 2 ලැබීමේ සම්භාවිතාව 1/6 වේ, අංක 3 ලබා ගැනීමේ සම්භාවිතාව ද 1/6 වේ. 1 සහ 4 අතර සංඛ්‍යාවක් ලබා ගැනීමේ සම්භාවිතාව වන්නේ:

සම්පූර්ණ කණ්ඩායමක නොගැලපෙන සිදුවීම්වල එකතුවේ සම්භාවිතාව 1 වේ.

එබැවින්, ඝනකයක් සමඟ අත්හදා බැලීමක දී අපි දිස්වන සියලුම සංඛ්යා වල සම්භාවිතාව එකතු කළහොත්, ප්රතිඵලය එකක් වනු ඇත.

මෙය ප්‍රතිවිරුද්ධ සිදුවීම් සඳහා ද සත්‍ය වේ, උදාහරණයක් ලෙස කාසියක් සමඟ අත්හදා බැලීමේ දී, එක් පැත්තක් A සිදුවීම වන අතර අනෙක් ප්‍රතිවිරුද්ධ සිදුවීම Ā වේ, දන්නා පරිදි,

P(A) + P(Ā) = 1

නොගැලපෙන සිදුවීම් ඇතිවීමේ සම්භාවිතාව

එක් නිරීක්ෂණයකදී නොගැලපෙන සිදුවීම් දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් සිදුවීම සලකා බැලීමේදී සම්භාවිතා ගුණ කිරීම භාවිතා වේ. A සහ B සිදුවීම් එකවර එහි දිස් වීමේ සම්භාවිතාව ඒවායේ සම්භාවිතාවන්හි ගුණිතයට සමාන වේ, හෝ:

P(A*B)=P(A)*P(B)

උදාහරණයක් ලෙස, ස්පාඤ්ඤ භාෂාවෙන් සම්භාවිතාව අංක 1, උත්සාහයන් දෙකක ප්රතිඵලයක් ලෙස, නිල් පැහැති බෝලයක් දෙවරක් දිස්වනු ඇත, සමාන වේ

එනම්, බෝල නිස්සාරණය කිරීමට ගත් උත්සාහයන් දෙකක ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, නිල් බෝල පමණක් නිස්සාරණය කළ විට සිදුවීමක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව 25% කි. මෙම ගැටලුව සම්බන්ධයෙන් ප්‍රායෝගික අත්හදා බැලීම් සිදු කිරීම සහ මෙය ඇත්ත වශයෙන්ම එසේ දැයි බැලීම ඉතා පහසුය.

ඒකාබද්ධ සිදුවීම්

එක් සිදුවීමක් තවත් සිදුවීමක් සමඟ සමපාත වන විට සිදුවීම් ඒකාබද්ධ ලෙස සලකනු ලැබේ. ඔවුන් ඒකාබද්ධ බව තිබියදීත්, ස්වාධීන සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව සලකනු ලැබේ. උදාහරණයක් ලෙස, සිදුවීම් දෙකෙහිම අංක 6 දිස්වන විට ඩයිස් දෙකක් විසි කිරීමෙන් ප්‍රති result ලය ලබා දිය හැකිය, සිදුවීම් සමපාත වී එකවර දර්ශනය වුවද, ඒවා එකිනෙකින් ස්වාධීන වේ - එක් හයක් පමණක් වැටිය හැකිය, දෙවැන්නාට නැත. එය මත බලපෑම.

ඒකාබද්ධ සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව ඔවුන්ගේ එකතුවේ සම්භාවිතාව ලෙස සැලකේ.

ඒකාබද්ධ සිදුවීම් එකතුවේ සම්භාවිතාව. උදාහරණය

එකිනෙක සම්බන්ධව ඒකාබද්ධ වන A සහ ​​B සිදුවීම් එකතුවේ සම්භාවිතාව, සිදුවීමේ සම්භාවිතාවේ එකතුවට සමාන වේ, ඒවා සිදුවීමේ සම්භාවිතාව අඩු කිරීම (එනම්, ඒවායේ ඒකාබද්ධ සිදුවීම):

ආර් සන්ධිය (A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

අපි හිතමු එක පහරකින් ඉලක්කයට පහර දීමේ සම්භාවිතාව 0.4ක් කියලා. එවිට A ඉසව්ව පළමු උත්සාහයේදී ඉලක්කයට පහර දෙයි, B - දෙවන අවස්ථාවේදී. පළමු සහ දෙවන පහර දෙකෙන්ම ඔබට ඉලක්කයට පහර දිය හැකි බැවින් මෙම සිදුවීම් ඒකාබද්ධ වේ. නමුත් සිදුවීම් රඳා පවතින්නේ නැත. පහර දෙකකින් (අඩුම තරමින් එකකින්) ඉලක්කයට පහර දීමේ සිදුවීමේ සම්භාවිතාව කුමක්ද? සූත්රය අනුව:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

ප්‍රශ්නයට පිළිතුර නම්: "වෙඩි දෙකකින් ඉලක්කයට පහර දීමේ සම්භාවිතාව 64% කි."

සිදුවීමක සම්භාවිතාව සඳහා වන මෙම සූත්‍රය නොගැලපෙන සිදුවීම් සඳහාද යෙදිය හැකිය, එහිදී සිදුවීමක සන්ධි සිදුවීමේ සම්භාවිතාව P(AB) = 0. මෙයින් අදහස් වන්නේ නොගැලපෙන සිදුවීම්වල එකතුවේ සම්භාවිතාව විශේෂ අවස්ථාවක් ලෙස සැලකිය හැකි බවයි. යෝජිත සූත්‍රයේ.

පැහැදිලිකම සඳහා සම්භාවිතාව පිළිබඳ ජ්යාමිතිය

සිත්ගන්නා කරුණ නම්, ඒකාබද්ධ සිදුවීම් එකතුවේ සම්භාවිතාව එකිනෙකින් ඡේදනය වන A සහ ​​B ප්‍රදේශ දෙකක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකිය. පින්තූරයෙන් පෙනෙන පරිදි, ඔවුන්ගේ එකමුතුවේ ප්රදේශය ඔවුන්ගේ ඡේදනය වන ප්රදේශයෙන් අඩු මුළු ප්රදේශයට සමාන වේ. මෙම ජ්‍යාමිතික පැහැදිලි කිරීම බැලූ බැල්මට තාර්කික නොවන සූත්‍රය වඩාත් තේරුම් ගත හැකි කරයි. සම්භාවිතා න්‍යාය තුළ ජ්‍යාමිතික විසඳුම් සුලභ නොවන බව සලකන්න.

බොහෝ (දෙකකට වඩා වැඩි) ඒකාබද්ධ සිදුවීම්වල එකතුවේ සම්භාවිතාව තීරණය කිරීම තරමක් අපහසුය. එය ගණනය කිරීම සඳහා, ඔබ මෙම අවස්ථා සඳහා ලබා දී ඇති සූත්ර භාවිතා කළ යුතුය.

යැපෙන සිදුවීම්

එක් (A) සිදුවීමක් තවත් (B) සිදුවීමේ සම්භාවිතාවට බලපාන්නේ නම්, සිදුවීම් පරායත්ත ලෙස හැඳින්වේ. එපමනක් නොව, A සිදුවීම සහ එය සිදු නොවීම යන දෙකෙහිම බලපෑම සැලකිල්ලට ගනී. සිද්ධීන් නිර්වචනය අනුව පරායත්ත ලෙස හැඳින්වුවද, ඒවායින් එකක් පමණක් රඳා පවතී (B). සාමාන්‍ය සම්භාවිතාව P(B) හෝ ස්වාධීන සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව ලෙස දක්වා ඇත. යැපෙන සිදුවීම් සම්බන්ධයෙන්, නව සංකල්පයක් හඳුන්වා දෙනු ලැබේ - කොන්දේසි සහිත සම්භාවිතාව P A (B), එය රඳා පවතින A සිදුවීම (උපකල්පනය) සිදුවීමට යටත්ව යැපෙන සිදුවීමක් B හි සම්භාවිතාව වේ.

නමුත් A සිදුවීමද අහඹු වේ, එබැවින් එය සිදු කරන ලද ගණනය කිරීම් වලදී අවශ්ය වන සහ සැලකිල්ලට ගත හැකි සම්භාවිතාවක් ද ඇත. පහත උදාහරණය රඳා පවතින සිදුවීම් සහ උපකල්පනය සමඟ වැඩ කරන්නේ කෙසේද යන්න පෙන්වයි.

යැපෙන සිදුවීම්වල සම්භාවිතාව ගණනය කිරීමේ උදාහරණයක්

යැපෙන සිදුවීම් ගණනය කිරීම සඳහා හොඳ උදාහරණයක් වනුයේ සම්මත කාඩ්පත් තට්ටුවකි.

උදාහරණයක් ලෙස කාඩ්පත් 36 ක තට්ටුවක් භාවිතා කරමින්, යැපෙන සිදුවීම් දෙස බලමු. පළමු කාඩ්පත අඳින්නේ නම්, තට්ටුවෙන් අඳින ලද දෙවන කාඩ්පත දියමන්ති බවට පත්වීමේ සම්භාවිතාව අපි තීරණය කළ යුතුය:

1. බුබ්නෝවාය.
2. වෙනස් වර්ණයක්.

නිසැකවම, දෙවන සිදුවීම B හි සම්භාවිතාව පළමු A මත රඳා පවතී. එබැවින්, පළමු විකල්පය සත්‍ය නම්, තට්ටුවේ 1 කාඩ්පත (35) සහ 1 දියමන්ති (8) අඩු නම්, B සිදුවීමේ සම්භාවිතාව:

R A (B) =8/35=0.23

දෙවන විකල්පය සත්‍ය නම්, තට්ටුවේ කාඩ්පත් 35 ක් ඇති අතර, සම්පූර්ණ දියමන්ති සංඛ්‍යාව (9) තවමත් රඳවා තබා ඇත, එවිට පහත සිදුවීමේ සම්භාවිතාව B:

R A (B) =9/35=0.26.

A ඉසව්ව පළමු කාඩ්පත දියමන්ති බව මත කොන්දේසිගත කර ඇත්නම්, B ඉසව්වේ සම්භාවිතාව අඩු වන අතර අනෙක් අතට බව දැකිය හැකිය.

රඳා පවතින සිදුවීම් ගුණ කිරීම

පෙර පරිච්ඡේදයෙන් මඟ පෙන්වමින්, අපි පළමු සිදුවීම (A) සත්‍යයක් ලෙස පිළිගන්නෙමු, නමුත් සාරය වශයෙන් එය අහඹු ස්වභාවයකි. මෙම සිදුවීමේ සම්භාවිතාව, එනම් කාඩ්පත් තට්ටුවකින් දියමන්ති ඇඳීම, සමාන වේ:

P(A) = 9/36=1/4

න්‍යාය තනිවම නොපවතී, නමුත් ප්‍රායෝගික අරමුණු සඳහා සේවය කිරීමට අදහස් කරන බැවින්, බොහෝ විට අවශ්‍ය වන්නේ රඳා පවතින සිදුවීම් නිෂ්පාදනය කිරීමේ සම්භාවිතාව බව සැලකිල්ලට ගැනීම සාධාරණ ය.

පරායත්ත සිදුවීම්වල සම්භාවිතාවන්ගේ ගුණිතය පිළිබඳ ප්‍රමේයයට අනුව, ඒකාබද්ධව යැපෙන සිදුවීම් A සහ ​​B සිදුවීමේ සම්භාවිතාව එක් සිදුවීමක සම්භාවිතාවට සමාන වේ, එය B සිදුවීමේ කොන්දේසි සහිත සම්භාවිතාවෙන් ගුණ කරයි (A මත රඳා පවතී):

P(AB) = P(A) *P A(B)

ඉන්පසුව, තට්ටුවේ උදාහරණයේ, දියමන්ති ඇඳුම සහිත කාඩ්පත් දෙකක් ඇඳීමේ සම්භාවිතාව:

9/36*8/35=0.0571, හෝ 5.7%

පළමුව දියමන්ති නොව, පසුව දියමන්ති නිස්සාරණය කිරීමේ සම්භාවිතාව සමාන වේ:

27/36*9/35=0.19, හෝ 19%

අඳින ලද පළමු කාඩ්පත දියමන්ති හැර වෙනත් ඇඳුමකින් යුක්ත වුවහොත් B සිදුවීමේ සම්භාවිතාව වැඩි බව දැකිය හැකිය. මෙම ප්රතිඵලය තරමක් තර්කානුකූල සහ තේරුම්ගත හැකි ය.

සිදුවීමක සම්පූර්ණ සම්භාවිතාව

කොන්දේසි සහිත සම්භාවිතාව පිළිබඳ ගැටළුවක් බහුවිධ වූ විට, එය සාම්ප්‍රදායික ක්‍රම භාවිතයෙන් ගණනය කළ නොහැක. උපකල්පන දෙකකට වඩා ඇති විට, එනම් A1,A2,...,A n, .. සපයන ලද සම්පූර්ණ සිදුවීම් සමූහයක් සාදයි:

• P(A i)>0, i=1,2,...
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

එබැවින්, අහඹු සිදුවීම් A1, A2,..., A n සම්පූර්ණ සමූහයක් සමඟ B සිදුවීම සඳහා සම්පූර්ණ සම්භාවිතාව සඳහා සූත්‍රය සමාන වේ:

අනාගතය දෙස බලමින්

විද්‍යාවේ බොහෝ ක්ෂේත්‍රවල අහඹු සිදුවීමක සම්භාවිතාව අතිශයින් අවශ්‍ය වේ: ආර්ථිකමිතික, සංඛ්‍යාලේඛන, භෞතික විද්‍යාව, යනාදිය. සමහර ක්‍රියාවලීන් නියත වශයෙන්ම විස්තර කළ නොහැකි බැවින්, ඒවා ස්වභාවයෙන්ම සම්භාවිතා වන බැවින්, විශේෂ ක්‍රියාකාරී ක්‍රම අවශ්‍ය වේ. සිදුවීමක සම්භාවිතා න්‍යාය ඕනෑම තාක්‍ෂණික ක්ෂේත්‍රයක දෝෂයක් හෝ අක්‍රිය වීමේ හැකියාව තීරණය කිරීමේ ක්‍රමයක් ලෙස භාවිතා කළ හැක.

සම්භාවිතාව හඳුනා ගැනීමෙන්, අපි යම් ආකාරයකින් අනාගතයට න්‍යායාත්මක පියවරක් තබමින්, සූත්‍රවල ප්‍රිස්මය හරහා එය දෙස බලන බව අපට පැවසිය හැකිය.

අහඹු සිදුවීම් වැඩි හෝ අඩුවෙන් ගණනය කළ හැකිද යන්න ගැන බොහෝ අය සිතන්නේ නැත. සරලව කිවහොත්, ඊළඟ වතාවේ ඝනකයේ කුමන පැත්තට පැමිණේදැයි දැනගත හැකිද? සිදුවීමක සම්භාවිතාව ඉතා පුළුල් ලෙස අධ්‍යයනය කරන සම්භාවිතා න්‍යාය වැනි විද්‍යාවකට පදනම දැමුවේ කවුදැයි ශ්‍රේෂ්ඨ විද්‍යාඥයන් දෙදෙනෙක් තමන්ගෙන්ම ඇසූ ප්‍රශ්නය එයයි.

සම්භවය

ඔබ එවැනි සංකල්පයක් සම්භාවිතා න්‍යාය ලෙස අර්ථ දැක්වීමට උත්සාහ කරන්නේ නම්, ඔබට පහත දේ ලැබෙනු ඇත: මෙය අහඹු සිදුවීම්වල ස්ථාවරත්වය අධ්‍යයනය කරන ගණිතයේ ශාඛා වලින් එකකි. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙම සංකල්පය ඇත්ත වශයෙන්ම සම්පූර්ණ සාරය හෙළි නොකරයි, එබැවින් එය වඩාත් විස්තරාත්මකව සලකා බැලීම අවශ්ය වේ.

මම න්‍යායේ නිර්මාතෘවරුන්ගෙන් පටන් ගන්න කැමතියි. ඉහත සඳහන් කළ පරිදි, ඔවුන්ගෙන් දෙදෙනෙකු සිටි අතර, සූත්ර සහ ගණිතමය ගණනය කිරීම් භාවිතයෙන් මෙම හෝ එම සිද්ධියේ ප්රතිඵලය ගණනය කිරීමට උත්සාහ කළ පළමු අයගෙන් එකක් විය. පොදුවේ ගත් කල, මෙම විද්යාවේ ආරම්භය මධ්යතන යුගයේ පෙනී සිටියේය. එකල, විවිධ චින්තකයින් සහ විද්‍යාඥයන් රූලට්, ජරා වැනි සූදු ක්‍රීඩා විශ්ලේෂණය කිරීමට උත්සාහ කළ අතර එමඟින් යම් සංඛ්‍යාවක් වැටීමේ රටාව සහ ප්‍රතිශතය තහවුරු කළහ. ඉහත සඳහන් කළ විද්යාඥයින් විසින් දහහත්වන සියවසේ දී පදනම දමන ලදී.

මුලදී, ඔවුන්ගේ කෘති මෙම ක්ෂේත්‍රයේ විශිෂ්ට ජයග්‍රහණ ලෙස සැලකිය නොහැකි විය, මන්ද ඔවුන් කළ සියල්ල හුදෙක් ආනුභවික කරුණු වන අතර සූත්‍ර භාවිතා නොකර දෘශ්‍යමය වශයෙන් අත්හදා බැලීම් සිදු කරන ලදී. කාලයාගේ ඇවෑමෙන්, ඩයිස් විසි කිරීම නිරීක්ෂණය කිරීමේ ප්රතිඵලයක් ලෙස පෙනී සිටි විශිෂ්ට ප්රතිඵල ලබා ගැනීමට හැකි විය. මෙම මෙවලම පළමු තේරුම්ගත හැකි සූත්‍ර ව්‍යුත්පන්න කිරීමට උපකාරී විය.

සමාන අදහස් ඇති අය

“සම්භාවිතා න්‍යාය” (සිද්ධියක සම්භාවිතාව මෙම විද්‍යාවේ හරියටම ආවරණය වී ඇත) යන මාතෘකාව අධ්‍යයනය කිරීමේ ක්‍රියාවලියේදී ක්‍රිස්ටියාන් හියුජන්ස් වැනි පුද්ගලයෙකු ගැන සඳහන් කළ නොහැක. මෙම පුද්ගලයා ඉතා සිත්ගන්නා සුළුය. ඔහු, ඉහත ඉදිරිපත් කළ විද්‍යාඥයන් මෙන්, ගණිතමය සූත්‍ර ආකාරයෙන් අහඹු සිදුවීම් රටාව ව්‍යුත්පන්න කිරීමට උත්සාහ කළේය. ඔහු මෙය පැස්කල් සහ ෆර්මැට් සමඟ එක්ව නොකළ බව සැලකිය යුතු කරුණකි, එනම් ඔහුගේ සියලු කෘති මෙම මනස සමඟ ඡේදනය නොවීය. හයිජන්ස් නිගමනය කළේය

සිත්ගන්නා කරුණක් නම්, ඔහුගේ කෘතිය සොයාගැනීමේ කාර්යයේ ප්රතිඵලවලට බොහෝ කලකට පෙර හෝ ඊට වසර විස්සකට පෙර එළියට පැමිණීමයි. හඳුනාගත් සංකල්ප අතර, වඩාත් ප්රසිද්ධ වන්නේ:

• අවස්ථාවෙහි වටිනාකම ලෙස සම්භාවිතාව පිළිබඳ සංකල්පය;
• විවික්ත අවස්ථා සඳහා ගණිතමය අපේක්ෂාව;
• ගුණ කිරීමේ සහ සම්භාවිතා එකතු කිරීමේ ප්‍රමේය.

ගැටලුව අධ්‍යයනයට සැලකිය යුතු දායකත්වයක් ලබා දුන්නේ කවුරුන්ද යන්න මතක තබා ගත නොහැක. කිසිවෙකුගෙන් ස්වාධීනව තමාගේම පරීක්ෂණ පවත්වමින්, විශාල සංඛ්‍යා පිළිබඳ නීතිය පිළිබඳ සාක්ෂියක් ඉදිරිපත් කිරීමට ඔහුට හැකි විය. අනෙක් අතට, දහනව වන ශතවර්ෂයේ ආරම්භයේ දී වැඩ කළ පොයිසන් සහ ලැප්ලේස් යන විද්‍යාඥයින්ට මුල් ප්‍රමේයයන් ඔප්පු කිරීමට හැකි විය. නිරීක්ෂණ වල දෝෂ විශ්ලේෂණය කිරීමට සම්භාවිතා න්‍යාය භාවිතා කිරීමට පටන් ගත්තේ මේ මොහොතේ සිට ය. රුසියානු විද්යාඥයන්, හෝ ඒ වෙනුවට Markov, Chebyshev සහ Dyapunov, මෙම විද්යාව නොසලකා හැරිය නොහැකි විය. මහා ප්‍රාඥයන් විසින් කරන ලද කාර්යය පදනම් කරගෙන ඔවුන් මෙම විෂය ගණිත අංශයක් ලෙස ස්ථාපිත කළහ. මෙම සංඛ්‍යා දැනටමත් දහනව වන ශතවර්ෂයේ අවසානයේ ක්‍රියාත්මක වූ අතර ඔවුන්ගේ දායකත්වයට ස්තූතිවන්ත වන අතර පහත සඳහන් සංසිද්ධි ඔප්පු විය:

• විශාල සංඛ්යා නීතිය;
• මාර්කොව් දාම සිද්ධාන්තය;
• මධ්යම සීමාව ප්රමේයය.

ඉතින්, විද්‍යාවේ උපතේ ඉතිහාසය සහ එයට බලපෑම් කළ ප්‍රධාන පුද්ගලයින් සමඟ, සියල්ල අඩු වැඩි වශයෙන් පැහැදිලිය. දැන් සියලු කරුණු පැහැදිලි කිරීමට කාලය පැමිණ තිබේ.

මූලික සංකල්ප

නීති සහ න්‍යායන් ස්පර්ශ කිරීමට පෙර, සම්භාවිතා න්‍යායේ මූලික සංකල්ප අධ්‍යයනය කිරීම වටී. සිදුවීම එහි ප්‍රමුඛ කාර්යභාරයක් ඉටු කරයි. මෙම මාතෘකාව තරමක් විශාල ය, නමුත් එය නොමැතිව අනෙක් සියල්ල තේරුම් ගැනීමට නොහැකි වනු ඇත.

සම්භාවිතා න්‍යායේ සිදුවීමක් යනු අත්හදා බැලීමක ප්‍රතිඵල සමූහයකි. මෙම සංසිද්ධිය පිළිබඳ සංකල්ප කිහිපයක් තිබේ. මේ අනුව, මෙම ප්‍රදේශයේ සේවය කරන විද්‍යාඥ ලොට්මන් පැවසුවේ මේ අවස්ථාවේ දී අපි කතා කරන්නේ “එය සිදු නොවූවත් සිදු වූ දෙය” ගැන බවයි.

අහඹු සිදුවීම් (සම්භාවිතාව පිළිබඳ න්‍යාය ඒවා කෙරෙහි විශේෂ අවධානයක් යොමු කරයි) යනු සිදුවීමට අවස්ථාව ඇති ඕනෑම සංසිද්ධියක් සම්පූර්ණයෙන්ම ඇඟවුම් කරන සංකල්පයකි. නැතහොත්, අනෙක් අතට, බොහෝ කොන්දේසි සපුරා ඇත්නම් මෙම තත්වය සිදු නොවිය හැකිය. සිදුවී ඇති සංසිද්ධිවල සමස්ත පරිමාව ග්‍රහණය කර ගන්නා අහඹු සිදුවීම් බව දැන ගැනීම ද වටී. සම්භාවිතාව පිළිබඳ න්යාය පෙන්නුම් කරන්නේ සියලු කොන්දේසි නිරන්තරයෙන් පුනරාවර්තනය කළ හැකි බවයි. එය ඔවුන්ගේ හැසිරීම "අත්දැකීම්" හෝ "පරීක්ෂණය" ලෙස හැඳින්වේ.

විශ්වසනීය සිදුවීමක් යනු ලබා දී ඇති පරීක්ෂණයකදී සියයට සියයක්ම සිදුවීමට ඉඩ ඇති සංසිද්ධියකි. ඒ අනුව අභව්‍ය සිදුවීමක් යනු සිදු නොවන එකකි.

ක්‍රියා යුගලයක සංකලනය (කොන්දේසි සහිතව, නඩුව A සහ ​​නඩුව B) සමගාමීව සිදුවන සංසිද්ධියකි. ඔවුන් AB ලෙස නම් කර ඇත.

A සහ B සිදුවීම් යුගල එකතුව C වේ, වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, අවම වශයෙන් ඒවායින් එකක් සිදු වුවහොත් (A හෝ B), එවිට C විස්තර කරන ලද සංසිද්ධිය සඳහා සූත්‍රය පහත පරිදි ලියා ඇත: C = A + බී.

සම්භාවිතා න්‍යායේ නොගැලපෙන සිදුවීම් වලින් අදහස් වන්නේ අවස්ථා දෙකක් අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් බැහැර වන බවයි. කිසිම අවස්ථාවක ඒවා එකවර සිදු විය නොහැක. සම්භාවිතා න්‍යායේ ඒකාබද්ධ සිදුවීම් ඒවායේ ප්‍රතිවිරෝධයයි. මෙහි තේරුම A සිදු වූවා නම් එය B කිසිදු ආකාරයකින් වළක්වන්නේ නැත.

ප්රතිවිරුද්ධ සිදුවීම් (සම්භාවිතා න්යාය ඉතා විස්තරාත්මකව සලකා බලයි) තේරුම් ගැනීමට පහසුය. ඒවා තේරුම් ගැනීමට හොඳම ක්රමය වන්නේ සංසන්දනය කිරීමයි. ඒවා සම්භාවිතා න්‍යායේ නොගැලපෙන සිදුවීම් හා සමාන වේ. නමුත් ඔවුන්ගේ වෙනස පවතින්නේ බොහෝ සංසිද්ධීන්ගෙන් එකක් ඕනෑම අවස්ථාවක සිදුවිය යුතු බවයි.

සමානව සිදුවිය හැකි සිදුවීම් යනු පුනරාවර්තනය සමාන වන ක්‍රියා වේ. එය වඩාත් පැහැදිලි කිරීම සඳහා, ඔබට කාසියක් විසි කිරීම සිතාගත හැකිය: එහි එක් පැත්තක් නැතිවීම අනෙක් පැත්තෙන් වැටීමට සමාන වේ.

සුබ සිද්ධියක් උදාහරණයක් සමඟ සලකා බැලීම පහසුය. අපි හිතමු B කථාංගයක් සහ A කථාංගයක් ඇති බව. පළමුවැන්න ඔත්තේ සංඛ්‍යාවක් සහිත දාදු කැටය රෝල් කිරීම වන අතර දෙවැන්න ඩයි හි අංක පහේ පෙනුමයි. එවිට A ට කැමති B බව පෙනී යයි.

සම්භාවිතා න්‍යායේ ස්වාධීන සිදුවීම් ප්‍රක්ෂේපණය කරනු ලබන්නේ අවස්ථා දෙකක් හෝ වැඩි ගණනකට පමණක් වන අතර ඕනෑම ක්‍රියාවක ස්වාධීනත්වය වෙනත් ක්‍රියාවකින් අදහස් කෙරේ. උදාහරණයක් ලෙස, A යනු කාසියක් විසි කිරීමේදී හිස් අහිමි වීම වන අතර B යනු තට්ටුවේ සිට කොස් ඇඳීමයි. ඒවා සම්භාවිතා න්‍යායේ ස්වාධීන සිදුවීම් වේ. මේ අවස්ථාවේදී එය වඩාත් පැහැදිලි විය.

සම්භාවිතා න්‍යායේ යැපෙන සිදුවීම් ද අවසර ඇත්තේ ඒවායින් සමූහයකට පමණි. ඒවායින් ඇඟවෙන්නේ එකක් අනෙක මත යැපීමයි, එනම් B සංසිද්ධිය සිදුවිය හැක්කේ A දැනටමත් සිදුවී ඇත්නම් හෝ අනෙක් අතට සිදුවී නොමැති නම් පමණි, මෙය B සඳහා ප්‍රධාන කොන්දේසිය වන විට.

එක් සංරචකයකින් සමන්විත අහඹු අත්හදා බැලීමක ප්රතිඵලය මූලික සිදුවීම් වේ. මෙය එක් වරක් පමණක් සිදු වූ සංසිද්ධියක් බව සම්භාවිතා න්‍යාය පැහැදිලි කරයි.

මූලික සූත්ර

එබැවින්, "සිද්ධිය" සහ "සම්භාවිතා න්යාය" යන සංකල්ප ඉහත සාකච්ඡා කරන ලද අතර, මෙම විද්යාවේ මූලික කොන්දේසි නිර්වචනය ද ලබා දී ඇත. දැන් වැදගත් සූත්‍ර සමඟ කෙලින්ම දැන හඳුනා ගැනීමට කාලයයි. මෙම ප්‍රකාශන සම්භාවිතා න්‍යාය වැනි සංකීර්ණ විෂයයක සියලුම ප්‍රධාන සංකල්ප ගණිතමය වශයෙන් තහවුරු කරයි. සිදුවීමක සම්භාවිතාව මෙහිදී ද විශාල කාර්යභාරයක් ඉටු කරයි.

මූලික ඒවා සමඟ ආරම්භ කිරීම වඩා හොඳය, ඔබ ඔවුන් සමඟ ආරම්භ කිරීමට පෙර, ඒවා මොනවාදැයි සලකා බැලීම වටී.

Combinatorics යනු මූලික වශයෙන් ගණිතයේ ශාඛාවක් වන අතර, එය පූර්ණ සංඛ්‍යා විශාල සංඛ්‍යාවක් මෙන්ම සංඛ්‍යා දෙකේම විවිධ ප්‍රගමනයන් සහ ඒවායේ මූලද්‍රව්‍ය, විවිධ දත්ත යනාදිය සමඟ කටයුතු කරයි. සම්භාවිතා න්‍යායට අමතරව, මෙම ශාඛාව සංඛ්‍යාලේඛන, පරිගණක විද්‍යාව සහ ගුප්තකේතනය සඳහා වැදගත් වේ.

එබැවින්, දැන් අපට සූත්‍ර සහ ඒවායේ නිර්වචනය ඉදිරිපත් කිරීමට ඉදිරියට යා හැකිය.

ඒවායින් පළමුවැන්න ප්‍රතිවර්තන ගණන සඳහා ප්‍රකාශනය වනු ඇත, එය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

සමීකරණය අදාළ වන්නේ මූලද්‍රව්‍ය ඒවායේ සැකැස්මේ අනුපිළිවෙලට පමණක් වෙනස් වන්නේ නම් පමණි.

දැන් ස්ථානගත කිරීමේ සූත්‍රය සලකා බලනු ඇත, එය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

මෙම ප්රකාශනය මූලද්රව්යයේ ස්ථානගත කිරීමේ අනුපිළිවෙලට පමණක් නොව, එහි සංයුතියටද අදාළ වේ.

Combinatorics වෙතින් තුන්වන සමීකරණය, සහ එය අවසාන සමීකරණය, සංයෝජන ගණන සඳහා සූත්‍රය ලෙස හැඳින්වේ:

C_n^m = n! : ((n - m))! :m!

සංයෝජනයක් යනු ඒ අනුව ඇණවුම් නොකළ තේරීම් ය, මෙම නියමය ඒවාට අදාළ වේ.

සංයෝජන සූත්‍ර තේරුම් ගැනීම පහසු විය; දැන් ඔබට සම්භාවිතාව පිළිබඳ සම්භාව්‍ය නිර්වචනය වෙත යා හැකිය. මෙම ප්රකාශනය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:

මෙම සූත්‍රයේ දී, m යනු A සිදුවීමට හිතකර කොන්දේසි සංඛ්‍යාව වන අතර n යනු නියත වශයෙන්ම සමාන විය හැකි සහ මූලික ප්‍රතිඵල ගණනයි.

ප්‍රකාශන විශාල ප්‍රමාණයක් ඇත, ලිපිය ඒවා සියල්ලම ආවරණය නොකරනු ඇත, නමුත් වඩාත්ම වැදගත් ඒවා ස්පර්ශ කරනු ඇත, උදාහරණයක් ලෙස, සිදුවීම් එකතුවේ සම්භාවිතාව:

P(A + B) = P(A) + P(B) - මෙම ප්‍රමේයය නොගැලපෙන සිදුවීම් පමණක් එකතු කිරීම සඳහා වේ;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - සහ මෙය ගැලපෙන ඒවා පමණක් එකතු කිරීම සඳහා වේ.

සිදුවීම් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - මෙම ප්‍රමේයය ස්වාධීන සිදුවීම් සඳහා වේ;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - සහ මෙය යැපෙන්නන් සඳහා වේ.

සිදුවීම් ලැයිස්තුව සිදුවීම් සූත්රය මගින් සම්පූර්ණ කරනු ලැබේ. සම්භාවිතා න්‍යාය අපට බේස් ප්‍රමේයය ගැන කියයි, එය මෙසේ පෙනේ:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)) : (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

මෙම සූත්‍රයේ H 1, H 2, ..., H n යනු සම්පූර්ණ උපකල්පන සමූහයකි.

උදාහරණ

ඔබ ගණිතයේ ඕනෑම අංශයක් ප්රවේශමෙන් අධ්යයනය කරන්නේ නම්, අභ්යාස සහ නියැදි විසඳුම් නොමැතිව එය සම්පූර්ණ නොවේ. සම්භාවිතාව පිළිබඳ න්‍යාය ද එසේමය: මෙහි සිදුවීම් සහ උදාහරණ විද්‍යාත්මක ගණනය කිරීම් තහවුරු කරන අත්‍යවශ්‍ය අංගයකි.

ප්‍රතිවර්තන ගණන සඳහා සූත්‍රය

එකක අගයකින් පටන් ගෙන කාඩ්පත් තට්ටුවක කාඩ්පත් තිහක් ඇතැයි සිතමු. ඊළඟ ප්රශ්නය. එක සහ දෙක අගය සහිත කාඩ්පත් එක ළඟ නොතිබෙන පරිදි තට්ටුව ගොඩගැසීමට ක්‍රම කීයක් තිබේද?

කාර්යය සකසා ඇත, දැන් අපි එය විසඳීමට යමු. පළමුව ඔබ මූලද්‍රව්‍ය තිහක ප්‍රතිවර්තන ගණන තීරණය කළ යුතුය, මේ සඳහා අපි ඉහත ඉදිරිපත් කර ඇති සූත්‍රය ගනිමු, එය P_30 = 30!.

මෙම රීතිය මත පදනම්ව, තට්ටුව විවිධ ආකාරවලින් නැමීමට විකල්ප කීයක් තිබේදැයි අපි සොයා ගනිමු, නමුත් පළමු සහ දෙවන කාඩ්පත් එකිනෙකට යාබදව ඇති ඒවායින් අපි අඩු කළ යුතුය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පළමුවැන්න දෙවැන්නට වඩා ඉහළින් ඇති විට විකල්පය සමඟ ආරම්භ කරමු. පළමු කාඩ්පතට ස්ථාන විසි නවයක් ගත හැකි බව පෙනේ - පළමු සිට විසි නවවන දක්වා, සහ දෙවන කාඩ්පත දෙවන සිට තිස්වන දක්වා, කාඩ්පත් යුගලයක් සඳහා ස්ථාන විසි නවයක් සාදයි. අනෙක් අතට, ඉතිරි ස්ථාන විසි අටක් සහ ඕනෑම අනුපිළිවෙලකට පිළිගත හැකිය. එනම්, කාඩ්පත් විසි අටක් නැවත සකස් කිරීමට, විකල්ප විසි අටක් ඇත P_28 = 28!

එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, පළමු කාඩ්පත දෙවැන්නට වඩා ඉහළින් ඇති විට විසඳුම සලකා බැලුවහොත්, අමතර අවස්ථා 29 ⋅ 28 ක් ඇති බව පෙනේ! = 29!

එකම ක්‍රමය භාවිතා කරමින්, පළමු කාඩ්පත දෙවැන්න යටතේ ඇති විට නඩුව සඳහා අතිරික්ත විකල්ප ගණන ගණනය කළ යුතුය. එය ද 29 ⋅ 28 බවට හැරේ! = 29!

මෙයින් කියවෙන්නේ අමතර විකල්ප 2 ⋅ 29 ක් ඇති බවයි!, තට්ටුවක් එකලස් කිරීමට අවශ්‍ය ක්‍රම 30 ක් වන අතර! - 2 ⋅ 29!. ඉතිරිව ඇත්තේ ගණන් කිරීම පමණි.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

දැන් ඔබට සියලුම සංඛ්‍යා එක සිට විසි නවය දක්වා ගුණ කළ යුතු අතර, අවසානයේ සියල්ල 28න් ගුණ කළ යුතුය. පිළිතුර 2.4757335 ⋅〖10〗^32 වේ.

උදාහරණ විසඳුම. ස්ථානගත කිරීමේ අංකය සඳහා සූත්රය

මෙම ගැටළුවේදී, එක් රාක්කයක වෙළුම් පහළොවක් තැබීමට ක්‍රම කීයක් තිබේදැයි ඔබ සොයා බැලිය යුතුය, නමුත් මුළු වෙළුම් තිහක් තිබේ නම්.

මෙම ගැටලුවට විසඳුම පෙර එකට වඩා ටිකක් සරලයි. දැනටමත් දන්නා සූත්‍රය භාවිතා කරමින්, පහළොවේ වෙළුම් තිහක සම්පූර්ණ සැකසුම් ගණන ගණනය කිරීම අවශ්‍ය වේ.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 936 720 3

පිළිතුර, ඒ අනුව, 202,843,204,931,727,360,000 ට සමාන වනු ඇත.

දැන් අපි ටිකක් අමාරු කාර්යයක් ගනිමු. එක් රාක්කයක වෙළුම් පහළොවක් පමණක් තබා ගත හැකි බැවින් පොත් රාක්ක දෙකක පොත් තිහක් සැකසීමට ක්‍රම කීයක් තිබේදැයි ඔබ සොයා බැලිය යුතුය.

විසඳුම ආරම්භ කිරීමට පෙර, සමහර ගැටළු ක්‍රම කිහිපයකින් විසඳිය හැකි බවත්, මෙය ක්‍රම දෙකක් ඇති බවත්, නමුත් දෙකම එකම සූත්‍රය භාවිතා කරන බවත් පැහැදිලි කිරීමට කැමැත්තෙමි.

මෙම ගැටලුවේදී, ඔබට පෙර පිළිතුරෙන් පිළිතුර ගත හැකිය, මන්ද එහිදී අපි ඔබට පොත් පහළොවක් සහිත රාක්කයක් විවිධ ආකාරවලින් පුරවා ගත හැකි වාර ගණන ගණනය කළෙමු. එය A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16 බවට පත් විය.

අපි දෙවන රාක්කය ප්‍රමිතිකරණ සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගණනය කරන්නෙමු, මන්ද එහි පොත් පහළොවක් තැබිය හැකි අතර ඉතිරිව ඇත්තේ පහළොවක් පමණි. අපි P_15 = 15 සූත්‍රය භාවිතා කරමු!.

එකතුව A_30^15 ⋅ P_15 ආකාරයන් වනු ඇති බව පෙනේ, නමුත්, මීට අමතරව, තිස් සිට දහසය දක්වා වූ සියලුම සංඛ්‍යාවල ගුණිතය එක සිට පහළොව දක්වා සංඛ්‍යාවල ගුණිතයෙන් ගුණ කළ යුතුය, අවසානයේ ඔබ එක සිට තිහ දක්වා සියලුම සංඛ්‍යාවල ගුණිතය ලැබේ, එනම් පිළිතුර 30 ට සමාන වේ!

නමුත් මෙම ගැටළුව වෙනත් ආකාරයකින් විසඳා ගත හැකිය - වඩා පහසුය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, පොත් තිහක් සඳහා එක් රාක්කයක් ඇති බව ඔබට සිතාගත හැකිය. ඒවා සියල්ලම මෙම ගුවන් යානයේ තබා ඇත, නමුත් කොන්දේසියට රාක්ක දෙකක් තිබිය යුතු බැවින්, අපි එක දිග එකක් අඩකින් දුටුවෙමු, එබැවින් අපට දෙකක් පහළොවක් බැගින් ලැබේ. සැකැස්ම සඳහා P_30 = 30 විකල්ප තිබිය හැකි බව මෙයින් පෙනී යයි!.

උදාහරණ විසඳුම. සංයෝජන අංකය සඳහා සූත්රය

දැන් අපි Combinatorics වෙතින් තුන්වන ගැටලුවේ අනුවාදයක් සලකා බලමු. ඔබට සම්පූර්ණයෙන්ම සමාන පොත් තිහකින් තෝරා ගැනීමට අවශ්‍ය නම්, පොත් පහළොවක් සකස් කිරීමට ක්‍රම කීයක් තිබේදැයි සොයා බැලීම අවශ්‍ය වේ.

විසඳීම සඳහා, ඇත්ත වශයෙන්ම, සංයෝජන ගණන සඳහා සූත්රය යොදනු ලැබේ. සමාන පොත් පහළොවේ අනුපිළිවෙල වැදගත් නොවන බව කොන්දේසියෙන් පැහැදිලි වේ. එමනිසා, මුලදී ඔබ පහළොවක පොත් තිහක මුළු සංයෝජන ගණන සොයා ගත යුතුය.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520

ඒක තමයි. මෙම සූත්‍රය භාවිතා කිරීමෙන්, අපට හැකි කෙටිම කාලය තුළ මෙම ගැටළුව විසඳීමට හැකි විය, ඒ අනුව, පිළිතුර 155,117,520 කි.

උදාහරණ විසඳුම. සම්භාවිතාව පිළිබඳ සම්භාව්ය අර්ථ දැක්වීම

ඉහත සූත්‍රය භාවිතා කිරීමෙන් ඔබට සරල ගැටලුවකට පිළිතුර සොයාගත හැකිය. නමුත් මෙය ක්‍රියාවන්හි ප්‍රගතිය පැහැදිලිව දැකීමට සහ නිරීක්ෂණය කිරීමට උපකාරී වේ.

ගැටලුව පවසන්නේ බඳුනේ පරම සමාන බෝල දහයක් ඇති බවයි. මෙයින් හතරක් කහ සහ හය නිල්. එක් බෝලයක් බඳුනෙන් ගනු ලැබේ. ඔබට නිල් පැහැයක් ලැබීමේ සම්භාවිතාව සොයා ගැනීමට අවශ්ය වේ.

ගැටළුව විසඳීම සඳහා, නිල් බෝලය ලබා ගැනීම A ඉසව්ව ලෙස නම් කිරීම අවශ්‍ය වේ. මෙම අත්හදා බැලීමේ ප්‍රතිඵල දහයක් තිබිය හැකි අතර, ඒවා ප්‍රාථමික හා සමාන ලෙස හැකි ය. ඒ අතරම, දහයෙන් හයක් A සිදුවීමට හිතකර වේ. අපි සූත්‍රය භාවිතයෙන් විසඳන්නෙමු:

P(A) = 6: 10 = 0.6

මෙම සූත්‍රය යෙදීමෙන් අපි දැනගත්තේ නිල් පන්දුව ලබා ගැනීමේ සම්භාවිතාව 0.6ක් බවයි.

උදාහරණ විසඳුම. සිදුවීම් එකතුවේ සම්භාවිතාව

සිදුවීම් සම්භාවිතා සූත්‍රය භාවිතයෙන් විසඳන විකල්පයක් දැන් ඉදිරිපත් කරනු ඇත. ඉතින්, කොන්දේසිය ලබා දී ඇත්තේ පෙට්ටි දෙකක් ඇති බවත්, පළමුවැන්න අළු බෝල එකක් සහ සුදු බෝල පහක් බවත්, දෙවැන්න අළු අටක් සහ සුදු බෝල හතරක් බවත්ය. එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, ඔවුන් පළමු හා දෙවන පෙට්ටිවලින් ඔවුන්ගෙන් එකක් ගත්තා. ඔබට ලැබෙන බෝල අළු සහ සුදු වීමට ඇති අවස්ථාව කුමක්දැයි ඔබ සොයා බැලිය යුතුය.

මෙම ගැටළුව විසඳීම සඳහා, සිදුවීම් හඳුනා ගැනීම අවශ්ය වේ.

• ඉතින්, A - පළමු පෙට්ටියෙන් අළු බෝලයක් ගත්තා: P (A) = 1/6.
• A’ - පළමු කොටුවෙන් සුදු බෝලයක් ද ගත්තා: P(A") = 5/6.
• B - අළු බෝලයක් දෙවන කොටුවෙන් ඉවත් කරන ලදී: P (B) = 2/3.
• B’ - දෙවන පෙට්ටියෙන් අළු බෝලයක් ගත්තා: P(B") = 1/3.

ගැටලුවේ කොන්දේසි අනුව, එක් සංසිද්ධියක් සිදුවීමට අවශ්ය වේ: AB' හෝ A'B. සූත්රය භාවිතා කරමින්, අපට ලැබෙන්නේ: P (AB") = 1/18, P (A"B) = 10/18.

දැන් සම්භාවිතාව ගුණ කිරීමේ සූත්‍රය භාවිතා කර ඇත. ඊළඟට, පිළිතුර සොයා ගැනීමට, ඔබ ඔවුන්ගේ එකතු කිරීමේ සමීකරණය යෙදිය යුතුය:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

සූත්‍රය භාවිතයෙන් ඔබට සමාන ගැටළු විසඳිය හැක්කේ එලෙසිනි.

පහළ රේඛාව

සිදුවීමක සම්භාවිතාව වැදගත් කාර්යභාරයක් ඉටු කරන "සම්භාවිතා න්‍යාය" යන මාතෘකාව පිළිබඳ තොරතුරු ලිපිය ඉදිරිපත් කළේය. ඇත්ත වශයෙන්ම, සෑම දෙයක්ම සැලකිල්ලට නොගත් නමුත්, ඉදිරිපත් කරන ලද පෙළ මත පදනම්ව, ඔබට මෙම ගණිත අංශය සමඟ න්යායාත්මකව හුරුපුරුදු විය හැකිය. අදාළ විද්‍යාව වෘත්තීය කටයුතුවලදී පමණක් නොව එදිනෙදා ජීවිතයේදීද ප්‍රයෝජනවත් විය හැකිය. එහි ආධාරයෙන්, ඔබට ඕනෑම සිදුවීමක ඕනෑම හැකියාවක් ගණනය කළ හැකිය.

විද්‍යාවක් ලෙස සම්භාවිතාව පිළිබඳ න්‍යාය ගොඩනැගීමේ ඉතිහාසයේ සැලකිය යුතු දිනයන් සහ ඒ සඳහා ආයෝජනය කළ පුද්ගලයින්ගේ නම් ද මෙම පාඨය ස්පර්ශ කළේය. අහඹු සිදුවීම් පවා ගණනය කිරීමට මිනිසුන් ඉගෙන ගැනීමට මානව කුතුහලය හේතු වූයේ එලෙස ය. වරෙක ඔවුන් මේ ගැන සරලව උනන්දු වූ නමුත් අද සෑම කෙනෙකුම දැනටමත් ඒ ගැන දනී. අනාගතයේදී අප බලා සිටින්නේ කුමක්ද, සලකා බලනු ලබන න්‍යායට අදාළ වෙනත් දීප්තිමත් සොයාගැනීම් මොනවාදැයි කිසිවෙකු නොකියනු ඇත. නමුත් එක් දෙයක් ස්ථිරයි - පර්යේෂණ නිශ්චල නොවේ!

ගණිතයේ ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාග කර්තව්‍යයන්හිදී, වඩාත් සංකීර්ණ සම්භාවිතා ගැටළු ද ඇත (අපි 1 කොටසෙහි සලකා බැලුවාට වඩා), එහිදී අපට එකතු කිරීමේ රීතිය යෙදිය යුතුය, සම්භාවිතා ගුණ කිරීම සහ අනුකූල හා නොගැලපෙන සිදුවීම් අතර වෙනස හඳුනා ගත යුතුය.

ඉතින්, න්යාය.

ඒකාබද්ධ හා ඒකාබද්ධ නොවන සිදුවීම්

ඒවායින් එකක් සිදුවීම අනෙක් අයගේ සිදුවීම බැහැර කරන්නේ නම් සිදුවීම් නොගැලපෙන ලෙස හැඳින්වේ. එනම්, සිදුවිය හැක්කේ එක් විශේෂිත සිදුවීමක් පමණි.

උදාහරණයක් ලෙස, ඩයි එකක් විසි කරන විට, ඔබට ඉරට්ටේ ලකුණු සංඛ්‍යාවක් ලබා ගැනීම සහ ඔත්තේ ලකුණු සංඛ්‍යාවක් ලබා ගැනීම වැනි සිදුවීම් අතර වෙනස හඳුනාගත හැකිය. මෙම සිදුවීම් නොගැලපේ.

එක් සිදුවීමක් අනෙක් සිදුවීම බැහැර නොකරන්නේ නම් සිදුවීම් සන්ධි ලෙස හැඳින්වේ.

උදාහරණයක් ලෙස, ඩයි එකක් විසි කරන විට, ඔබට ඔත්තේ ලකුණු සංඛ්‍යාවක් පෙරළීම සහ තුනේ ගුණාකාර ලකුණු ගණනාවක් පෙරළීම වැනි සිදුවීම් වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය. තුනක් පෙරළෙන විට, සිදුවීම් දෙකම සිදු වේ.

සිදුවීම් එකතුව

සිදුවීම් කිහිපයක එකතුව (හෝ සංයෝජනය) අවම වශයෙන් මෙම සිදුවීම් වලින් එකක් හෝ සිදුවීමෙන් සමන්විත සිදුවීමකි.

එම අවස්ථාවේදී ම නොගැලපෙන සිදුවීම් දෙකක එකතුව මෙම සිදුවීම්වල සම්භාවිතාවන්හි එකතුව වේ:

උදාහරණයක් ලෙස, එක් විසි කිරීමකින් ලකුණු 5ක් හෝ 6ක් ලබා ගැනීමේ සම්භාවිතාව වනු ඇත, මන්ද සිදුවීම් දෙකම (පෙරළීම 5, පෙරළීම 6) නොගැලපෙන බැවින් සහ එක් හෝ වෙනත් සිදුවීමක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව පහත පරිදි ගණනය කෙරේ:

සම්භාවිතාව ඒකාබද්ධ සිදුවීම් දෙකක එකතුව මෙම සිදුවීම්වල ඒකාබද්ධ සිදුවීම සැලකිල්ලට නොගෙන ඒවායේ සම්භාවිතා එකතුවට සමාන වේ:

නිදසුනක් වශයෙන්, සාප්පු මධ්යස්ථානයක, සමාන යන්ත්ර දෙකක් කෝපි අලෙවි කරයි. දවස අවසන් වන විට යන්ත්‍රයේ කෝපි අවසන් වීමේ සම්භාවිතාව 0.3 කි. යන්ත්‍ර දෙකේම කෝපි ඉවර වීමේ සම්භාවිතාව 0.12 කි. දවස අවසන් වන විට අවම වශයෙන් එක් යන්ත්‍රයක (එනම් එකක් හෝ අනෙකක් හෝ දෙකම එකවර) කෝපි ඉවර වීමේ සම්භාවිතාව සොයා බලමු.

පළමු සිදුවීමේ සම්භාවිතාව "පළමු යන්ත්‍රයේ කෝපි ඉවර වේ" මෙන්ම දෙවන ඉසව්වේ "දෙවන යන්ත්‍රයේ කෝපි ඉවර වේ" යන කොන්දේසිය අනුව සම්භාවිතාව 0.3 කි. සිදුවීම් සහයෝගී වේ.

කොන්දේසිය අනුව පළමු සිදුවීම් දෙකෙහි ඒකාබද්ධ සිදුවීමේ සම්භාවිතාව 0.12 කි.

මෙයින් අදහස් කරන්නේ දවස අවසන් වන විට අවම වශයෙන් එක් යන්ත්‍රයක කෝපි ඉවර වීමේ සම්භාවිතාව වනුයේ

යැපෙන සහ ස්වාධීන සිදුවීම්

අහඹු සිදුවීම් දෙකක් A සහ ​​B ඒවායින් එකක් සිදුවීම අනෙකක් සිදුවීමේ සම්භාවිතාව වෙනස් නොකරන්නේ නම් ස්වාධීන ලෙස හැඳින්වේ. එසේ නොමැති නම්, A සහ ​​B සිදුවීම් පරායත්ත ලෙස හැඳින්වේ.

උදාහරණයක් ලෙස, කැට දෙකක් එකවර පෙරළන විට, ඒවායින් එකක්, 1 කියන්න, සහ අනෙක් එක, 5, ස්වාධීන සිදුවීම් වේ.

සම්භාවිතා නිෂ්පාදනය

සිදුවීම් කිහිපයක නිෂ්පාදනය (හෝ ඡේදනය) යනු මෙම සියලු සිදුවීම්වල ඒකාබද්ධ සිදුවීමෙන් සමන්විත සිදුවීමකි.

දෙකක් සිදුවුවහොත් ස්වාධීන සිදුවීම් A සහ B පිළිවෙළින් P(A) සහ P(B) සමඟින්, එවිට A සහ ​​B සිදුවීම් එකවර සිදුවීමේ සම්භාවිතාව සම්භාවිතාවන්ගේ ගුණිතයට සමාන වේ:

නිදසුනක් වශයෙන්, හයක් පිට පිට දෙවරක් දිස්වනු දැකීමට අපි උනන්දු වෙමු. සිදුවීම් දෙකම ස්වාධීන වන අතර ඒ සෑම එකක්ම වෙන වෙනම සිදුවීමේ සම්භාවිතාව වේ. මෙම සිදුවීම් දෙකම සිදුවීමේ සම්භාවිතාව ඉහත සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ: .

මාතෘකාව පුහුණු කිරීම සඳහා තේරීම් කාර්යයන් බලන්න.

ආර්ථික විද්‍යාවේදී, මානව ක්‍රියාකාරකම්වල හෝ ස්වභාවධර්මයේ අනෙකුත් ක්ෂේත්‍රවල මෙන්ම, නිවැරදිව පුරෝකථනය කළ නොහැකි සිදුවීම් සමඟ නිරන්තරයෙන් කටයුතු කිරීමට අපට සිදුවේ. මේ අනුව, නිෂ්පාදනයේ විකුණුම් පරිමාව ඉල්ලුම මත රඳා පවතී, එය සැලකිය යුතු ලෙස වෙනස් විය හැකි අතර, සැලකිල්ලට ගත නොහැකි වෙනත් සාධක ගණනාවක් මත රඳා පවතී. එබැවින්, නිෂ්පාදනය සංවිධානය කිරීමේදී සහ විකුණුම් සිදු කිරීමේදී, එවැනි ක්‍රියාකාරකම්වල ප්‍රති result ලය ඔබේ පෙර අත්දැකීම් හෝ වෙනත් පුද්ගලයින්ගේ සමාන අත්දැකීම් හෝ බුද්ධිය මත පදනම්ව පුරෝකථනය කළ යුතුය, එය බොහෝ දුරට පර්යේෂණාත්මක දත්ත මත රඳා පවතී.

අදාළ සිදුවීම කෙසේ හෝ ඇගයීමට ලක් කිරීම සඳහා, මෙම සිදුවීම වාර්තා කර ඇති කොන්දේසි සැලකිල්ලට ගැනීම හෝ විශේෂයෙන් සංවිධානය කිරීම අවශ්ය වේ.

අදාළ සිදුවීම හඳුනා ගැනීම සඳහා යම් යම් කොන්දේසි හෝ ක්රියාවන් ක්රියාත්මක කිරීම ලෙස හැඳින්වේ අත්දැකීම්හෝ අත්හදා බැලීම.

උත්සවය හඳුන්වනු ලැබේ අහඹු, අත්දැකීමේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස එය සිදු විය හැකි හෝ නොවීමට ඉඩ තිබේ නම්.

උත්සවය හඳුන්වනු ලැබේ විශ්වසනීය, දී ඇති අත්දැකීමක ප්‍රතිඵලයක් ලෙස එය අවශ්‍යයෙන්ම දිස්වන්නේ නම්, සහ නොහැකි ය, එය මෙම අත්දැකීම තුළ පෙනී සිටිය නොහැකි නම්.

නිදසුනක් වශයෙන්, නොවැම්බර් 30 වන දින මොස්කව්හි හිම වැටීම අහඹු සිදුවීමකි. දිනපතා හිරු උදාව විශ්වසනීය සිදුවීමක් ලෙස සැලකිය හැකිය. සමකයට හිම වැටීම කළ නොහැකි සිදුවීමක් ලෙස සැලකිය හැකිය.

සම්භාවිතා න්‍යායේ එක් ප්‍රධාන කාර්යයක් වන්නේ සිදුවීමක් සිදුවීමේ හැකියාව පිළිබඳ ප්‍රමාණාත්මක මිනුමක් නිර්ණය කිරීමේ කාර්යයයි.

සිදුවීම්වල වීජ ගණිතය

එකම අත්දැකීම තුළ එකට නිරීක්ෂණය කළ නොහැකි නම් සිදුවීම් නොගැලපෙන ලෙස හැඳින්වේ. මේ අනුව, එකවර විකිණීම සඳහා එක් වෙළඳසැලක මෝටර් රථ දෙකක් සහ තුනක් තිබීම නොගැලපෙන සිදුවීම් දෙකකි.

මුදලසිදුවීම් යනු අවම වශයෙන් මෙම සිදුවීම් වලින් එකක් හෝ සිදුවීමෙන් සමන්විත සිදුවීමකි

සිදුවීම් එකතුවට උදාහරණයක් වන්නේ ගබඩාවේ අවම වශයෙන් නිෂ්පාදන දෙකෙන් එකක් තිබීමයි.

වැඩයසිදුවීම් යනු මෙම සියලු සිදුවීම් එකවර සිදුවීමෙන් සමන්විත සිදුවීමකි

එකම අවස්ථාවේදීම වෙළඳසැලක භාණ්ඩ දෙකක් පෙනුමෙන් සමන්විත සිදුවීමක් සිදුවීම්වල නිෂ්පාදනයක් වේ: - එක් නිෂ්පාදනයක පෙනුම, - වෙනත් නිෂ්පාදනයක පෙනුම.

අවම වශයෙන් එක් සිදුවීමක් අත්දැකීමෙන් සිදුවනු ඇතැයි විශ්වාස නම් සිදුවීම් සම්පූර්ණ සිදුවීම් සමූහයක් සාදයි.

උදාහරණය.නැව් භාර ගැනීම සඳහා වරායේ නැංගුරම් පොළවල් දෙකක් ඇත. සිදුවීම් තුනක් සලකා බැලිය හැකිය: - නැංගුරම් වල නැව් නොමැති වීම, - එක් නැංගුරමක එක් නැවක් තිබීම, - නැංගුරම් දෙකක නැව් දෙකක් තිබීම. මෙම සිදුවීම් තුන සම්පූර්ණ සිදුවීම් සමූහයක් සාදයි.

විරුද්ධයිසම්පූර්ණ කණ්ඩායමක් සෑදිය හැකි අද්විතීය සිදුවීම් දෙකක් ලෙස හැඳින්වේ.

ප්‍රතිවිරුද්ධ සිදුවීමෙන් එකක් දක්වන්නේ නම්, ප්‍රතිවිරුද්ධ සිදුවීම සාමාන්‍යයෙන් දක්වන්නේ .

සිදුවීම් සම්භාවිතාව පිළිබඳ සම්භාව්‍ය සහ සංඛ්‍යානමය අර්ථ දැක්වීම්

පරීක්ෂණ (අත්හදා බැලීම්) වල සමාන විය හැකි සෑම ප්‍රතිඵලයක්ම මූලික ප්‍රතිඵලයක් ලෙස හැඳින්වේ. ඒවා සාමාන්‍යයෙන් අකුරු වලින් නම් කර ඇත. නිදසුනක් වශයෙන්, ඩයි එකක් දමනු ලැබේ. පැතිවල ඇති ලක්ෂ්‍ය සංඛ්‍යාව මත පදනම්ව මුලික ප්‍රතිඵල හයක් තිබිය හැක.

මූලික ප්රතිඵල වලින් ඔබට වඩාත් සංකීර්ණ සිදුවීමක් නිර්මාණය කළ හැකිය. මේ අනුව, ලකුණු ඉරට්ටේ සංඛ්‍යාවක සිදුවීම ප්‍රතිඵල තුනකින් තීරණය වේ: 2, 4, 6.

අදාළ සිදුවීම සිදුවීමේ හැකියාව පිළිබඳ ප්‍රමාණාත්මක මිනුමක් වන්නේ සම්භාවිතාවයි.

සිදුවීමක සම්භාවිතාව පිළිබඳ වඩාත් බහුලව භාවිතා වන නිර්වචන වන්නේ: සම්භාව්යසහ සංඛ්යානමය.

සම්භාවිතාව පිළිබඳ සම්භාව්ය නිර්වචනය හිතකර ප්රතිඵලය පිළිබඳ සංකල්පය සමඟ සම්බන්ධ වේ.

ප්රතිඵලය ලෙස හැඳින්වේ හිතකරදී ඇති සිදුවීමකට එහි සිදුවීම මෙම සිදුවීම සිදුවීමට හේතු වේ නම්.

ඉහත උදාහරණයේ, අදාළ සිදුවීමට - පෙරළන ලද පැත්තේ ඉරට්ටේ ලක්ෂ්‍ය සංඛ්‍යාවක් - හිතකර ප්‍රතිඵල තුනක් ඇත. මෙම අවස්ථාවේ දී, ජෙනරාල්
හැකි ප්රතිඵල සංඛ්යාව. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සිදුවීමක සම්භාවිතාව පිළිබඳ සම්භාව්‍ය නිර්වචනය මෙහිදී භාවිතා කළ හැකි බවයි.

සම්භාව්ය අර්ථ දැක්වීමහැකි ප්‍රතිඵල ගණනට හිතකර ප්‍රතිඵල සංඛ්‍යාවේ අනුපාතයට සමාන වේ

සිදුවීමේ සම්භාවිතාව කොහිද, සිදුවීමට හිතකර ප්‍රතිඵල සංඛ්‍යාවද, හැකි ප්‍රතිඵල ගණනද වේ.

සලකා බැලූ උදාහරණයේ

සම්භාවිතාව පිළිබඳ සංඛ්‍යානමය නිර්වචනය අත්හදා බැලීම් වලදී සිදුවීමක් සිදුවීමේ සාපේක්ෂ සංඛ්‍යාතය පිළිබඳ සංකල්පය සමඟ සම්බන්ධ වේ.

සිදුවීමක් සිදුවීමේ සාපේක්ෂ සංඛ්යාතය සූත්රය භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ

අත්හදා බැලීම් මාලාවක (පරීක්ෂණ) සිදුවීමක සිදුවීම් ගණන කොහිද?

සංඛ්යානමය අර්ථ දැක්වීම. සිදුවීමක සම්භාවිතාව යනු පරීක්ෂණ සංඛ්‍යාවේ අසීමිත වැඩි වීමක් සමඟ සාපේක්ෂ සංඛ්‍යාතය ස්ථායී කරන (කට්ටල) සංඛ්‍යාවයි.

ප්‍රායෝගික ගැටළු වලදී, සිදුවීමක සම්භාවිතාව ප්‍රමාණවත් තරම් විශාල අත්හදා බැලීම් සංඛ්‍යාවක් සඳහා සාපේක්ෂ සංඛ්‍යාතය ලෙස සැලකේ.

සිදුවීමක සම්භාවිතාව පිළිබඳ මෙම නිර්වචනවලින් පැහැදිලි වන්නේ අසමානතාවය සැමවිටම තෘප්තිමත් වන බවයි

සූත්‍රය (1.1) මත පදනම්ව සිදුවීමක සම්භාවිතාව තීරණය කිරීම සඳහා, බොහෝ විට සංයෝජන සූත්‍ර භාවිතා කරනු ලබන අතර, වාසිදායක ප්‍රතිඵල ගණන සහ හැකි ප්‍රතිඵලවල මුළු සංඛ්‍යාව සොයා ගැනීමට ඒවා භාවිතා වේ.

ප්‍රායෝගික දෘෂ්ටි කෝණයකින්, සිදුවීමක සම්භාවිතාවයනු අදාළ සිදුවීම සිදු වූ නිරීක්ෂණ සංඛ්‍යාවේ මුළු නිරීක්ෂණ සංඛ්‍යාවේ අනුපාතයයි. ප්‍රමාණවත් තරම් විශාල නිරීක්ෂණ හෝ අත්හදා බැලීම් වලදී මෙම අර්ථ නිරූපණය පිළිගත හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, ඔබට පාරේ හමුවන මිනිසුන්ගෙන් අඩක් පමණ කාන්තාවන් නම්, ඔබට පාරේ හමුවන පුද්ගලයා කාන්තාවක් වීමේ සම්භාවිතාව 1/2 ක් බව පැවසිය හැකිය. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, සිදුවීමක සම්භාවිතාව පිළිබඳ ඇස්තමේන්තුවක් අහඹු අත්හදා බැලීමක දිගු ස්වාධීන පුනරාවර්තන මාලාවක එය සිදුවීමේ වාර ගණන විය හැකිය.

ගණිතයේ සම්භාවිතාව

නූතන ගණිතමය ප්‍රවේශයේ දී සම්භාව්‍ය (එනම් ක්වොන්ටම් නොවේ) සම්භාවිතාව ලබා දෙන්නේ කොල්මොගොරොව්ගේ අක්ෂි විද්‍යාව මගිනි. සම්භාවිතාව මිනුමකි පී, කට්ටලය මත අර්ථ දක්වා ඇත X, සම්භාවිතා අවකාශය ලෙස හැඳින්වේ. මෙම මිනුමට පහත ගුණාංග තිබිය යුතුය:

මෙම කොන්දේසි වලින් එය සම්භාවිතා මිනුම අනුගමනය කරයි පීදේපල ද ඇත ආකලන: කට්ටල නම් ඒ 1 සහ ඒ 2 ඡේදනය නොවන්න, එවිට . ඔප්පු කිරීමට ඔබ සියල්ල තැබිය යුතුය ඒ 3 , ඒ 4 , ... හිස් කට්ටලයට සමාන වන අතර ගණන් කළ හැකි ආකලන ගුණය යොදන්න.

කුලකයේ සියලුම උප කුලක සඳහා සම්භාවිතා මිනුම අර්ථ දැක්විය නොහැක X. කට්ටලයේ සමහර උප කුලක වලින් සමන්විත සිග්මා වීජ ගණිතය මත එය අර්ථ දැක්වීම ප්රමාණවත්ය. X. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අහඹු සිදුවීම් අවකාශයේ මැනිය හැකි උප කුලක ලෙස අර්ථ දැක්වේ X, එනම් සිග්මා වීජ ගණිතයේ මුලද්‍රව්‍ය ලෙසය.

සම්භාවිතා හැඟීම

ඇත්ත වශයෙන්ම සිදු විය හැකි සමහර කරුණු සඳහා හේතු ප්‍රතිවිරුද්ධ හේතූන් අභිබවා යන බව අපට පෙනී ගිය විට, අපි එම කරුණ සලකා බලමු විය හැකි, එසේ නොමැතිනම් - ඇදහිය නොහැකි. ඍණාත්මක ඒවාට වඩා ධනාත්මක පදනමේ මෙම ප්‍රමුඛතාවය සහ අනෙක් අතට, එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස අවිනිශ්චිත අංශක සමූහයක් නියෝජනය කළ හැකිය. සම්භාවිතාව(සහ අසම්භාව්ය) එය සිදු වේ තවහෝ අඩු .

සංකීර්ණ පුද්ගල කරුණු ඔවුන්ගේ සම්භාවිතාවයේ අංශක නිශ්චිත ගණනය කිරීමට ඉඩ නොදේ, නමුත් මෙහි පවා සමහර විශාල අනු කොටස් ස්ථාපිත කිරීම වැදගත් වේ. එබැවින්, උදාහරණයක් ලෙස, නීති ක්ෂේත්‍රය තුළ, සාක්ෂි මත පදනම්ව නඩු විභාගයට යටත් වන පුද්ගලික කරුණක් ස්ථාපිත වූ විට, එය සැමවිටම පවතිනුයේ, දැඩි ලෙස කථා කිරීම, සම්භාවිතාව පමණක් වන අතර, මෙම සම්භාවිතාව කෙතරම් වැදගත් දැයි දැන ගැනීම අවශ්‍ය වේ; රෝම නීතියේ, මෙහි හතර ගුණ බෙදීමක් සම්මත විය: probatio plena(සම්භාවිතාව ප්‍රායෝගිකව හැරෙන තැන විශ්වසනීයත්වය), පසුව - probatio minus plena, පසුව - probatio semiplena majorසහ අවසානයේ probatio semiplena සුළු .

නඩුවේ සම්භාවිතාව පිළිබඳ ප්‍රශ්නයට අමතරව, නීති ක්ෂේත්‍රයේ සහ සදාචාර ක්ෂේත්‍රයේ (යම් සදාචාරාත්මක දෘෂ්ටි කෝණයකින්) යන ප්‍රශ්නය පැන නැගිය හැකිය, දී ඇති විශේෂිත කරුණක් සමන්විත වන්නේ කෙසේද යන්න පිළිබඳ ප්‍රශ්නය සාමාන්ය නීතිය උල්ලංඝනය කිරීම. තල්මූඩ්හි ආගමික නීති විද්‍යාවේ ප්‍රධාන චේතනාව ලෙස ක්‍රියා කරන මෙම ප්‍රශ්නය, රෝමානු කතෝලික සදාචාරාත්මක දේවධර්මයේ (විශේෂයෙන් 16 වන සියවසේ අග භාගයේ සිට) ඉතා සංකීර්ණ ක්‍රමානුකූල ඉදිකිරීම් සහ විශාල සාහිත්‍යයක්, ප්‍රවාදාත්මක හා විවාදාත්මක, ද බිහි විය. සම්භාවිතාව බලන්න).

සම්භාවිතාව පිළිබඳ සංකල්පය යම් යම් සමජාතීය ශ්‍රේණිවල කොටසක් වන එවැනි කරුණු සඳහා පමණක් අදාළ වන විට යම් සංඛ්‍යාත්මක ප්‍රකාශනයක් සඳහා ඉඩ ලබා දේ. එබැවින් (සරලම උදාහරණයේ දී), යමෙකු පේළියකට සිය වතාවක් කාසියක් විසි කරන විට, අපට මෙහි එක් සාමාන්‍ය හෝ විශාල ශ්‍රේණියක් (කාසියේ සියලුම වැටීම්වල එකතුව), පුද්ගලික හෝ කුඩා දෙකකින් සමන්විත වේ, මේ අවස්ථාවේ දී සංඛ්‍යාත්මකව සමාන, ශ්රේණි (වැටේ "හිස්" සහ වැටෙන "වලිග"); මෙවර කාසිය ශීර්ෂය ගොඩබෑමේ සම්භාවිතාව, එනම් සාමාන්‍ය මාලාවේ මෙම නව සාමාජිකයා කුඩා ශ්‍රේණි දෙකෙන් මෙයට අයත් වීම, මෙම කුඩා ශ්‍රේණි සහ විශාල එක අතර සංඛ්‍යාත්මක සම්බන්ධතාවය ප්‍රකාශ කරන භාගයට සමාන වේ. එනම් 1/2, එනම් එකම සම්භාවිතාව විශේෂිත ශ්‍රේණි දෙකකින් එකකට හෝ අනෙකකට අයත් වේ. අඩු සරල උදාහරණ වලදී, නිගමනය කෙලින්ම ගැටලුවේ දත්ත වලින් නිගමනය කළ නොහැක, නමුත් පූර්ව ප්‍රේරණය අවශ්‍ය වේ. උදාහරණයක් ලෙස, ප්රශ්නය වන්නේ: අලුත උපන් බිළිඳකුට අවුරුදු 80 දක්වා ජීවත් වීමට ඇති සම්භාවිතාව කුමක්ද? මෙහිදී සමාන තත්වයන් යටතේ උපත ලබන සහ විවිධ වයස්වල මිය යන නිශ්චිත පුද්ගලයින් සංඛ්‍යාවක සාමාන්‍ය හෝ විශාල මාලාවක් තිබිය යුතුය (මෙම සංඛ්‍යාව අහඹු අපගමනයන් ඉවත් කිරීමට ප්‍රමාණවත් වන අතර මාලාවේ සමජාතීයතාවය පවත්වා ගැනීමට ප්‍රමාණවත් තරම් කුඩා විය යුතුය. නිදසුනක් වශයෙන්, ශාන්ත පීටර්ස්බර්ග්හි ධනවත්, සංස්කෘතික පවුලක උපත ලැබූ පුද්ගලයෙකුට, නගරයේ මිලියන ගණනක් ශක්තිමත් ජනගහනයක්, එයින් සැලකිය යුතු කොටසක් අකාලයේ මිය යා හැකි විවිධ කණ්ඩායම්වල පුද්ගලයින්ගෙන් සමන්විත වේ - සොල්දාදුවන්, මාධ්‍යවේදීන්, භයානක වෘත්තීන්හි සේවකයින් - සම්භාවිතාව පිළිබඳ සැබෑ නිර්ණය කිරීම සඳහා ඉතා විෂමජාතීය කණ්ඩායමක් නියෝජනය කරයි) ; මෙම පොදු මාලාව මිනිස් ජීවිත දස දහසකින් සමන්විත වේවා; එය යම් වයස් සීමාවක් දක්වා ජීවත් වන පුද්ගලයින් සංඛ්යාව නියෝජනය කරන කුඩා මාලාවක් ඇතුළත් වේ; මෙම කුඩා ශ්‍රේණිවලින් එකක් නියෝජනය කරන්නේ වයස අවුරුදු 80 දක්වා ජීවත් වන පුද්ගලයින් සංඛ්‍යාවයි. නමුත් මෙම කුඩා ශ්‍රේණියේ සංඛ්‍යාව තීරණය කළ නොහැක (අනෙක් සියල්ල මෙන්) පූර්විකාවක්; මෙය හුදෙක් ප්‍රේරක ලෙස, සංඛ්‍යාලේඛන හරහා සිදු කෙරේ. මධ්‍යම පාන්තික ශාන්ත පීටර්ස්බර්ග් වැසියන් 10,000 න් 45 ක් පමණක් අවුරුදු 80 දක්වා ජීවත් වන බව සංඛ්‍යානමය අධ්‍යයනයන් මගින් තහවුරු වී ඇතැයි සිතමු. මේ අනුව, මෙම කුඩා ශ්‍රේණිය විශාල එකට සම්බන්ධ වන්නේ 45 ට 10,000 ට වන අතර, දී ඇති පුද්ගලයෙකු මෙම කුඩා ශ්‍රේණියට අයත් වීමට, එනම් අවුරුදු 80 දක්වා ජීවත් වීමට ඇති සම්භාවිතාව 0.0045 ක භාගයක් ලෙස ප්‍රකාශ වේ. ගණිතමය දෘෂ්ටි කෝණයකින් සම්භාවිතාව පිළිබඳ අධ්‍යයනය විශේෂ විනයකින් සමන්විත වේ - සම්භාවිතා න්‍යාය.

මේකත් බලන්න

සටහන්

සාහිත්යය

විකිමීඩියා පදනම.

සමාන පද:

වෙනත් ශබ්ද කෝෂවල "සම්භාවිතාව" යනු කුමක්දැයි බලන්න:

සාමාන්ය විද්යාත්මක හා දාර්ශනික. ඒවායේ සාපේක්ෂ සංඛ්‍යාතවල ස්ථායීතාවය සංලක්ෂිත, ස්ථාවර නිරීක්ෂණ තත්ව යටතේ මහා අහඹු සිදුවීම් සිදුවීමේ ප්‍රමාණාත්මක මට්ටම පෙන්නුම් කරන කාණ්ඩයකි. තර්ක ශාස්ත්‍රය, අර්ථ ශාස්ත්‍ර උපාධිය... දාර්ශනික විශ්වකෝෂය

සම්භාවිතාව, දී ඇති සිදුවීමක් සිදුවීමේ හැකියාව නියෝජනය කරන, ශුන්‍යයේ සිට එකක් ඇතුළුව පරාසයේ අංකයකි. සිදුවීමක සම්භාවිතාව අර්ථ දැක්වෙන්නේ සිදුවීමක් සිදුවිය හැකි අවස්ථා සංඛ්‍යාවේ මුළු සංඛ්‍යාවට අනුපාතය ලෙසයි... ... විද්යාත්මක හා තාක්ෂණික විශ්වකෝෂ ශබ්දකෝෂය

බොහෝ දුරට ඉඩ ඇත.. රුසියානු සමාන පද සහ සමාන ප්රකාශන ශබ්දකෝෂය. යටතේ. සංස්. N. Abramova, M.: රුසියානු ශබ්දකෝෂ, 1999. සම්භාවිතා හැකියාව, සම්භාවිතාව, අවස්ථාව, වෛෂයික හැකියාව, maza, පිළිගැනීම, අවදානම. කූඹියෝ. නොහැකියාව....... සමාන පද ශබ්දකෝෂය

සම්භාවිතාව- සිදුවීමක් සිදුවීමට ඉඩ ඇති මිනුමක්. සටහන සම්භාවිතාව පිළිබඳ ගණිතමය නිර්වචනය වන්නේ: "අහඹු සිදුවීමක් සමඟ සම්බන්ධ වන 0 සහ 1 අතර තාත්වික සංඛ්යාවකි." සංඛ්‍යාවෙන් නිරීක්ෂණ මාලාවක සාපේක්ෂ සංඛ්‍යාතය පිළිබිඹු විය හැක... ... තාක්ෂණික පරිවර්තක මාර්ගෝපදේශය

සම්භාවිතාව- "අසීමිත වාර ගණනක් පුනරාවර්තනය කළ හැකි යම් නිශ්චිත තත්වයන් තුළ කිසියම් සිදුවීමක් සිදුවීමේ හැකියාව පිළිබඳ ගණිතමය, සංඛ්‍යාත්මක ලක්ෂණයක්." මෙම සම්භාව්‍ය මත පදනම්ව....... ආර්ථික-ගණිත ශබ්දකෝෂය

- (සම්භාවිතාව) සිදුවීමක් හෝ නිශ්චිත ප්රතිඵලය සිදුවීමේ හැකියාව. එය 0 සිට 1 දක්වා බෙදීම් සහිත පරිමාණයක ආකාරයෙන් ඉදිරිපත් කළ හැක. සිදුවීමක සම්භාවිතාව ශුන්‍ය නම්, එය සිදුවීමට නොහැකි ය. 1 ට සමාන සම්භාවිතාවක් සහිතව, ආරම්භය... ව්යාපාරික නියම ශබ්දකෝෂය