මෙම පාඩමේදී අපි දෛශික සමඟ තවත් මෙහෙයුම් දෙකක් දෙස බලමු: දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනයසහ දෛශික මිශ්‍ර නිෂ්පාදනයක් (අවශ්‍ය අය සඳහා ක්ෂණික සබැඳිය). එය කමක් නැත, සමහර විට එය සම්පූර්ණ සතුට සඳහා, අමතරව සිදු වේ දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනය, වැඩි වැඩියෙන් අවශ්ය වේ. මෙය දෛශික ඇබ්බැහි වීමකි. අපි විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතිය කැලයට ඇතුල් වන බව පෙනෙන්නට තිබේ. මේක වැරදියි. උසස් ගණිතයේ මෙම කොටසේ පිනොචියෝ සඳහා ප්‍රමාණවත් තරම් හැර සාමාන්‍යයෙන් කුඩා ලී ඇත. ඇත්ත වශයෙන්ම, ද්රව්යය ඉතා පොදු සහ සරලයි - එකම දේට වඩා සංකීර්ණ නොවේ තිත් නිෂ්පාදනය, පවා සාමාන්ය කාර්යයන්අඩු වනු ඇත. විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතියේ ප්‍රධානතම දෙය නම්, බොහෝ දෙනෙකුට ඒත්තු ගැන්වෙනු ඇති හෝ දැනටමත් ඒත්තු ගොස් ඇති පරිදි, ගණනය කිරීම් වලදී වැරදි සිදු නොකිරීමයි. මන්ත්‍රයක් මෙන් නැවත නැවත කරන්න, එවිට ඔබ සතුටු වනු ඇත =)

ක්ෂිතිජයේ අකුණු ගහනවා වගේ දෛශික කොහේ හරි ඈතින් දිදුලනවා නම්, කමක් නැහැ, පාඩමෙන් පටන් ගන්න ඩමි සඳහා දෛශිකදෛශික පිළිබඳ මූලික දැනුම යථා තත්ත්වයට පත් කිරීමට හෝ නැවත ලබා ගැනීමට. වඩාත් සුදානම් වූ පාඨකයන්ට තොරතුරු තෝරා බේරා ගත හැකිය; ප්රායෝගික වැඩ

ඔබ වහාම සතුටු වන්නේ කුමක් ද? මම පොඩි කාලේ බෝල දෙක තුනක්වත් සරදම් කරන්න පුළුවන්. එය හොඳින් ක්‍රියාත්මක විය. අපි සලකා බලනු ඇති බැවින්, දැන් ඔබට කිසිසේත්ම වංචා කිරීමට සිදු නොවනු ඇත අවකාශීය දෛශික පමණි, සහ ඛණ්ඩාංක දෙකක් සහිත පැතලි දෛශික ඉතිරි වනු ඇත. ඇයි? මෙම ක්‍රියාවන් උපත ලැබුවේ එලෙසයි - දෛශිකවල දෛශිකය සහ මිශ්‍ර නිෂ්පාදිතය නිර්වචනය කර ක්‍රියා කරයි ත්රිමාණ අවකාශය. එය දැනටමත් පහසුයි!

මෙම මෙහෙයුම, අදිශ නිෂ්පාදනය මෙන්ම, ඇතුළත් වේ දෛශික දෙකක්. මේවා නොදිරන අකුරු වේවා.

ක්‍රියාව ම ය මගින් දක්වා ඇතපහත පරිදි: . වෙනත් විකල්ප ඇත, නමුත් මම දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනය මේ ආකාරයෙන්, හරස්කඩ සහිත හතරැස් වරහන් තුළ දැක්වීමට පුරුදු වී සිටිමි.

සහ වහාම ප්රශ්නය: ඇතුලේ නම් දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනයදෛශික දෙකක් සම්බන්ධ වන අතර මෙහි දෛශික දෙකක් ද ගුණ කරනු ලැබේ මොකක්ද වෙනස? පැහැදිලි වෙනස නම්, ප්‍රථමයෙන්ම, ප්‍රතිඵලයේ:

දෛශිකවල අදිශ ගුණිතයේ ප්‍රතිඵලය NUMBER වේ:

දෛශිකවල හරස් නිෂ්පාදනයේ ප්‍රතිඵලය VECTOR වේ: , එනම් අපි දෛශික ගුණ කර නැවත දෛශිකයක් ලබා ගනිමු. සංවෘත සමාජය. ඇත්ත වශයෙන්ම, මෙහෙයුමේ නම පැමිණෙන්නේ මෙයයි. විවිධ අධ්‍යාපනික සාහිත්‍යයේ, තනතුරු ද වෙනස් විය හැක, මම ලිපිය භාවිතා කරමි.

හරස් නිෂ්පාදනයේ අර්ථ දැක්වීම

පළමුව පින්තූරයක් සමඟ අර්ථ දැක්වීමක් ඇත, පසුව අදහස්.

අර්ථ දැක්වීම: දෛශික නිෂ්පාදනය collinear නොවනදෛශික, මෙම අනුපිළිවෙලෙහි ගෙන ඇත, VECTOR ලෙස හැඳින්වේ, දිගසංඛ්යාත්මකව වන සමාන්තර චලිතයේ ප්රදේශයට සමාන වේ, මෙම දෛශික මත ගොඩනගා ඇත; දෛශිකය වාහකයන්ට විකලාංග, සහ පදනමට නිවැරදි දිශානතියක් ඇති වන පරිදි මෙහෙයවනු ලැබේ:

අපි අර්ථ දැක්වීම කෑල්ලෙන් බිඳ දමමු, මෙහි රසවත් දේවල් බොහොමයක් තිබේ!

එබැවින්, පහත සඳහන් වැදගත් කරුණු ඉස්මතු කළ හැකිය:

1) නිර්වචනය අනුව රතු ඊතල මගින් දැක්වෙන මුල් දෛශික collinear නොවේ. කොලීනියර් දෛශික සම්බන්ධයෙන් මඳ වේලාවකට පසුව සලකා බැලීම සුදුසුය.

2) දෛශික ගනු ලැබේ දැඩි ලෙස අර්ථ දක්වා ඇති අනුපිළිවෙලකට: – "a" "be" මගින් ගුණ කරයි, "a" සමඟ "වෙන්න" නොවේ. දෛශික ගුණ කිරීමේ ප්රතිඵලයනිල් පැහැයෙන් දැක්වෙන VECTOR වේ. දෛශික ප්‍රතිලෝම අනුපිළිවෙලින් ගුණ කළහොත්, අපි දිගට සමාන දෛශිකයක් සහ දිශාවට ප්‍රතිවිරුද්ධ දිශාවට (රාස්ප්බෙරි වර්ණය) ලබා ගනිමු. එනම් සමානාත්මතාවය සැබෑ ය .

3) දැන් අපි දෛශික නිෂ්පාදනයේ ජ්යාමිතික අර්ථය සමඟ දැන හඳුනා ගනිමු. මෙය ඉතා වැදගත් කරුණකි! නිල් දෛශිකයේ LENGTH (සහ, ඒ අනුව, තද රතු දෛශිකය) දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර චලිතයේ ප්‍රදේශයට සංඛ්‍යාත්මකව සමාන වේ. රූපයේ, මෙම සමාන්තර චලිතය කළු පැහැයෙන් යුක්ත වේ.

සටහන : චිත්‍රය ක්‍රමානුරූප වන අතර, ස්වාභාවිකවම, දෛශික නිෂ්පාදනයේ නාමික දිග සමාන්තර චලිතයේ ප්‍රදේශයට සමාන නොවේ.

අපි එකක් මතක තියාගමු ජ්යාමිතික සූත්ර: සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශය නිෂ්පාදනයට සමාන වේ යාබද පැතිඔවුන් අතර කෝණයේ සයින් විසින්. එබැවින්, ඉහත කරුණු මත පදනම්ව, දෛශික නිෂ්පාදනයක LENGTH ගණනය කිරීමේ සූත්‍රය වලංගු වේ:

සූත්‍රය දෛශිකයේ LENGTH ගැන මිස දෛශිකය ගැන නොවන බව මම අවධාරණය කරමි. ප්‍රායෝගික අර්ථය කුමක්ද? එහි තේරුම නම්, විශ්ලේෂණාත්මක ජ්‍යාමිතිය පිළිබඳ ගැටළු වලදී, සමාන්තර චලිතයක ප්‍රදේශය බොහෝ විට දෛශික නිෂ්පාදනයක් යන සංකල්පය හරහා සොයා ගන්නා බවයි:

අපි දෙවන වැදගත් සූත්‍රය ලබා ගනිමු. සමාන්තර චලිතයක විකර්ණය (රතු තිත් රේඛාව) එය දෙකට බෙදයි සමාන ත්රිකෝණය. එබැවින්, දෛශික මත ගොඩනගා ඇති ත්රිකෝණයක ප්රදේශය (රතු සෙවන) සූත්රය භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය:

4) අඩු නොවේ වැදගත් කරුණක්දෛශිකය දෛශිකයට විකලාංග වේ, එනම් . ඇත්ත වශයෙන්ම, ප්රතිවිරුද්ධව යොමු කරන ලද දෛශිකය (raspberry arrow) ද මුල් දෛශික වලට විකලාංග වේ.

5) දෛශිකය එසේ යොමු කර ඇත පදනමඇත හරිදිශානතිය. ගැන පාඩමේ නව පදනමකට මාරුවීමමම ප්‍රමාණවත් තරම් විස්තරාත්මකව කතා කළා ගුවන් යානා දිශානතිය, සහ දැන් අපි අවකාශ දිශානතිය යනු කුමක්දැයි සොයා බලමු. මම ඔබේ ඇඟිලි මත පැහැදිලි කරන්නම් දකුණු අත . මානසිකව ඒකාබද්ධ කරන්න දර්ශක ඇඟිල්ලදෛශිකය සමඟ සහ මැද ඇඟිල්ලදෛශිකය සමඟ. මුදු ඇඟිල්ල සහ කුඩා ඇඟිල්ලඑය ඔබේ අත්ලට ඔබන්න. ප්රතිඵලයක් වශයෙන් මාපටැඟිල්ල- දෛශික නිෂ්පාදනය ඉහළට පෙනෙනු ඇත. මෙය දකුණට නැඹුරු පදනමකි (එය රූපයේ මෙයයි). දැන් දෛශික වෙනස් කරන්න ( දර්ශකය සහ මැද ඇඟිලි) සමහර ස්ථානවල, ප්රතිඵලයක් ලෙස මාපටැඟිල්ල හැරෙනු ඇත, සහ දෛශික නිෂ්පාදනය දැනටමත් පහළට පෙනෙනු ඇත. මෙය ද දකුණට නැඹුරු වූ පදනමකි. ඔබට ප්‍රශ්නයක් තිබිය හැකිය: වම් දිශානතිය ඇත්තේ කුමන පදනමද? එකම ඇඟිලි වලට "පවරන්න" වම් අතදෛශික, සහ අවකාශයේ වම් පදනම සහ වම් දිශානතිය ලබා ගන්න (මෙම අවස්ථාවේදී, මාපටැඟිල්ල පහළ දෛශිකයේ දිශාවට පිහිටා ඇත). සංකේතාත්මකව කතා කරන්නේ නම්, මෙම පාදයන් අවකාශය තුළට “ඇඹරීමට” හෝ දිශානතියට පත් කරයි විවිධ පැති. තවද මෙම සංකල්පය දුරස්ථ හෝ වියුක්ත දෙයක් ලෙස නොසැලකිය යුතුය - නිදසුනක් ලෙස, අවකාශයේ දිශානතිය වඩාත් සාමාන්‍ය දර්පණය මගින් වෙනස් කරනු ලබන අතර, ඔබ “පෙනෙන වීදුරුවෙන් පරාවර්තනය වූ වස්තුව අදින්න” නම්, සාමාන්‍යයෙන් එය එය "මුල් පිටපත" සමඟ ඒකාබද්ධ කිරීමට නොහැකි වනු ඇත. මාර්ගය වන විට, දර්පණය දක්වා ඇඟිලි තුනක් අල්ලාගෙන පරාවර්තනය විශ්ලේෂණය කරන්න ;-)

...ඔයා දැන් දන්න එක කොච්චර හොදද දකුණට සහ වමට නැඹුරුපදනම්, මන්දයත් දිශානතියේ වෙනසක් ගැන සමහර කථිකාචාර්යවරුන්ගේ ප්‍රකාශ බියජනක ය =)

කොලිනියර් දෛශිකවල හරස් නිෂ්පාදනය

නිර්වචනය විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කර ඇත, දෛශික collinear වූ විට කුමක් සිදුවේද යන්න සොයා ගැනීමට ඉතිරිව ඇත. දෛශික collinear නම්, ඒවා එක් සරල රේඛාවක් මත තැබිය හැකි අතර අපගේ සමාන්තර චලිතය ද එක් සරල රේඛාවකට "එකතු කරයි". ගණිතඥයන් පවසන පරිදි එවැනි ප්රදේශයක්, පිරිහෙනවාසමාන්තර චලිතය ශුන්‍යයට සමාන වේ. සූත්‍රයෙන් ද එයම පහත දැක්වේ - ශුන්‍යයේ හෝ අංශක 180 ක සයින් ශුන්‍යයට සමාන වේ, එයින් අදහස් කරන්නේ ප්‍රදේශය ශුන්‍ය බවයි

මේ අනුව, නම්, එසේ නම් සහ . හරස් නිෂ්පාදනයම ශුන්‍ය දෛශිකයට සමාන බව කරුණාවෙන් සලකන්න, නමුත් ප්‍රායෝගිකව මෙය බොහෝ විට නොසලකා හරින අතර එය ශුන්‍යයට සමාන බව ලියා ඇත.

විශේෂ නඩුව- දෛශිකයක දෛශික නිෂ්පාදනයක් තමා සමඟම:

හරස් නිෂ්පාදනය භාවිතා කරමින්, ඔබට ත්‍රිමාණ දෛශිකවල සහසම්බන්ධතාවය පරීක්ෂා කළ හැකිය, සහ මෙම කාර්යයඅනෙක් ඒවා අතර, අපි ද විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු.

ප්‍රායෝගික උදාහරණ විසඳීමට ඔබට අවශ්‍ය විය හැකිය ත්රිකෝණමිතික වගුවඑයින් සයින වල අගයන් සොයා ගැනීමට.

හොඳයි, අපි ගින්න දල්වමු:

උදාහරණ 1

a) නම් දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයන්න

b) දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර චලිතයක ප්‍රදේශය සොයන්න

විසඳුම: නෑ, මේක ටයිප් එකක් නෙවෙයි, මම හිතාමතාම වගන්තිවල මුල් දත්ත ඒ විදියටම හැදුවා. විසඳුම් සැලසුම් කිරීම වෙනස් වනු ඇති නිසා!

අ) කොන්දේසිය අනුව, ඔබ සොයා ගත යුතුය දිගදෛශික (හරස් නිෂ්පාදන). අනුරූප සූත්රය අනුව:

උත්තර දෙන්න:

ප්‍රශ්නය දිග ගැන වූ බැවින්, අපි පිළිතුරේ මානය දක්වන්නෙමු - ඒකක.

b) කොන්දේසිය අනුව, ඔබ සොයා ගත යුතුය හතරැස්දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර චලිතය. මෙම සමාන්තර චලිතයේ ප්‍රදේශය සංඛ්‍යාත්මකව දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිගට සමාන වේ:

උත්තර දෙන්න:

පිළිතුර අපෙන් අසන ලද දෛශික නිෂ්පාදනය ගැන කතා නොකරන බව කරුණාවෙන් සලකන්න රූපයේ ප්රදේශය, ඒ අනුව, මානය වර්ග ඒකක වේ.

අපි සෑම විටම කොන්දේසිය අනුව සොයා ගත යුතු දේ දෙස බලන අතර, මේ මත පදනම්ව, අපි සකස් කරමු පැහැදිලියඋත්තර දෙනවා. එය වචනානුසාරයෙන් පෙනේ, නමුත් ඔවුන් අතර වචනාර්ථයෙන් ගුරුවරුන් ඕනෑ තරම් සිටින අතර, පැවරුම සංශෝධනය සඳහා ආපසු යැවීමට හොඳ අවස්ථාවක් ඇත. මෙය විශේෂයෙන් දුරදිග යන ප්‍රහේලිකාවක් නොවුනත් - පිළිතුර වැරදි නම්, පුද්ගලයා සරල දේවල් නොතේරෙන බව සහ/හෝ කර්තව්‍යයේ සාරය තේරුම් ගෙන නැති බව කෙනෙකුට හැඟේ. උසස් ගණිතය සහ අනෙකුත් විෂයයන් වලදී ඕනෑම ගැටළුවක් විසඳීමේදී මෙම කරුණ සැමවිටම පාලනය කර ගත යුතුය.

"en" විශාල අකුර ගියේ කොහේද? ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, එය විසඳුමට අතිරේකව සම්බන්ධ කළ හැකි නමුත්, ඇතුල්වීම කෙටි කිරීම සඳහා, මම මෙය නොකළෙමි. සෑම කෙනෙකුම එය තේරුම් ගෙන එකම දෙය සඳහා තනතුරක් වනු ඇතැයි මම බලාපොරොත්තු වෙමි.

ජනප්රිය උදාහරණයක්සඳහා ස්වාධීන තීරණය:

උදාහරණය 2

දෛශික මත ගොඩනගා ඇති ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය සොයන්න

දෛශික නිෂ්පාදනය හරහා ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය සොයා ගැනීමේ සූත්‍රය නිර්වචනයට අදහස් දැක්වීම්වල දක්වා ඇත. විසඳුම සහ පිළිතුර පාඩම අවසානයේ ඇත.

ප්රායෝගිකව, කාර්යය ඇත්ත වශයෙන්ම ඉතා සුලභ ය;

වෙනත් ගැටළු විසඳීම සඳහා අපට අවශ්ය වනු ඇත:

දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනයේ ගුණ

අපි දැනටමත් දෛශික නිෂ්පාදනයේ සමහර ගුණාංග සලකා බලා ඇත, කෙසේ වෙතත්, මම ඒවා මෙම ලැයිස්තුවට ඇතුළත් කරමි.

අත්තනෝමතික දෛශික සහ අත්තනෝමතික අංකයක් සඳහා, පහත ගුණාංග සත්‍ය වේ:

1) වෙනත් තොරතුරු මූලාශ්‍රවල, මෙම අයිතමය සාමාන්‍යයෙන් ගුණාංගවල උද්දීපනය නොකෙරේ, නමුත් එය ඉතා වැදගත් වේ ප්රායෝගිකව. ඒ නිසා වෙන්න දෙන්න.

2) - දේපල ද ඉහත සාකච්ඡා කර ඇත, සමහර විට එය හැඳින්වේ ප්‍රතිප්‍රවාහකත්වය. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, දෛශික අනුපිළිවෙල වැදගත් වේ.

3) - ආශ්රිත හෝ ආශ්රිතදෛශික නිෂ්පාදන නීති. නියතයන් දෛශික නිෂ්පාදනයෙන් පිටත පහසුවෙන් ගෙන යා හැක. ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔවුන් එහි කළ යුත්තේ කුමක්ද?

4) - බෙදා හැරීම හෝ බෙදාහැරීමේදෛශික නිෂ්පාදන නීති. වරහන් විවෘත කිරීමේදී ද ගැටළු නොමැත.

නිරූපණය කිරීම සඳහා, අපි කෙටි උදාහරණයක් බලමු:

උදාහරණය 3

නම් සොයන්න

විසඳුම:කොන්දේසිය නැවතත් දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ. අපි අපේ කුඩා පින්තාරු කරමු:

(1) ආශ්‍රිත නීතිවලට අනුව, අපි දෛශික නිෂ්පාදනයේ විෂය පථයෙන් පිටත නියතයන් ගනිමු.

(2) අපි මොඩියුලයෙන් පිටත නියතය ගෙන යන අතර, මොඩියුලය අඩු ලකුණ "කනවා". දිග සෘණ විය නොහැක.

(3) ඉතිරිය පැහැදිලිය.

උත්තර දෙන්න:

ගින්නට තවත් දර එකතු කිරීමට කාලයයි:

උදාහරණය 4

දෛශික මත ගොඩනගා ඇති ත්‍රිකෝණයක වර්ගඵලය ගණනය කරන්න

විසඳුම: සූත්‍රය භාවිතා කර ත්‍රිකෝණයේ ප්‍රදේශය සොයන්න . අල්ලා ගැනීම නම් "tse" සහ "de" දෛශික දෛශික එකතුවක් ලෙස ඉදිරිපත් කිරීමයි. මෙහි ඇල්ගොරිතම සම්මත වන අතර පාඩමේ අංක 3 සහ 4 උදාහරණ තරමක් සිහිපත් කරයි. දෛශික වල තිත් නිෂ්පාදනය. පැහැදිලිකම සඳහා, අපි විසඳුම අදියර තුනකට බෙදන්නෙමු:

1) පළමු පියවරේදී, අපි දෛශික නිෂ්පාදනය හරහා දෛශික නිෂ්පාදනය ප්‍රකාශ කරමු, ඇත්ත වශයෙන්ම, දෛශිකයක් අනුව දෛශිකයක් ප්‍රකාශ කරමු. දිග ගැන තවම වචනයක් නැත!

(1) දෛශික සඳහා ප්‍රකාශන ආදේශ කරන්න.

(2) බෙදා හැරීමේ නීති භාවිතා කරමින්, අපි බහුපද ගුණ කිරීමේ රීතියට අනුව වරහන් විවෘත කරමු.

(3) ආශ්‍රිත නීති භාවිතා කරමින්, අපි සියලු නියතයන් දෛශික නිෂ්පාදනවලින් ඔබ්බට ගෙන යන්නෙමු. කුඩා අත්දැකීමක් සමඟින්, පියවර 2 සහ 3 එකවර සිදු කළ හැකිය.

(4) මනරම් ගුණය නිසා පළමු සහ අවසාන පද ශුන්‍යයට (ශුන්‍ය දෛශිකය) සමාන වේ. දෙවන වාරයේදී අපි දෛශික නිෂ්පාදනයක ප්‍රති-ප්‍රවාහක ගුණය භාවිතා කරමු:

(5) අපි සමාන කොන්දේසි ඉදිරිපත් කරමු.

එහි ප්‍රතිඵලයක් වශයෙන්, දෛශිකය දෛශිකයක් හරහා ප්‍රකාශ කිරීමට හැකි විය, එය සාක්ෂාත් කර ගැනීමට අවශ්‍ය විය:

2) දෙවන පියවරේදී, අපට අවශ්ය දෛශික නිෂ්පාදනයේ දිග සොයා ගනී. මෙම ක්‍රියාව උදාහරණ 3 ට සමාන වේ:

3) අවශ්‍ය ත්‍රිකෝණයේ ප්‍රදේශය සොයන්න:

විසඳුමේ අදියර 2-3 එක පේළියක ලියන්න තිබුණා.

උත්තර දෙන්න:

සලකා බැලූ ගැටළුව තරමක් පොදු ය පරීක්ෂණ, ස්වාධීන විසඳුමක් සඳහා උදාහරණයක් මෙන්න:

උදාහරණ 5

නම් සොයන්න

ඉක්මන් විසඳුමසහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර. පෙර උදාහරණ අධ්‍යයනය කිරීමේදී ඔබ කෙතරම් අවධානයෙන් සිටියේ දැයි බලමු ;-)

ඛණ්ඩාංකවල දෛශිකවල හරස් නිෂ්පාදනය

, විකලාංග පදනමකින් දක්වා ඇත, සූත්රය මගින් ප්රකාශිතය:

සූත්‍රය ඇත්තෙන්ම සරලයි: නිර්ණායකයේ ඉහළ පේළියේ අපි ඛණ්ඩාංක දෛශික ලියන්නෙමු, දෙවන සහ තෙවන පේළිවල අපි දෛශික ඛණ්ඩාංක “තබමු” සහ අපි තබමු. දැඩි පිළිවෙළකට- පළමුව "ve" දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක, පසුව "ද්විත්ව-ve" දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක. දෛශික වෙනත් අනුපිළිවෙලකට ගුණ කළ යුතු නම්, පේළි මාරු කළ යුතුය:

උදාහරණ 10

පහත අභ්‍යවකාශ දෛශික ඛණ්ඩක ද යන්න පරීක්ෂා කරන්න:
A)
b)

විසඳුම: සත්‍යාපනය එක් ප්‍රකාශයක් මත පදනම් වේ මෙම පාඩම: දෛශික collinear නම්, ඒවායේ දෛශික නිෂ්පාදනය ශුන්‍යයට සමාන වේ (ශුන්‍ය දෛශිකය): .

අ) දෛශික නිෂ්පාදනය සොයන්න:

මේ අනුව, දෛශික ඛණ්ඩක නොවේ.

b) දෛශික නිෂ්පාදනය සොයන්න:

උත්තර දෙන්න: a) collinear නොවේ, b)

මෙන්න, සමහර විට, දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනය පිළිබඳ සියලු මූලික තොරතුරු වේ.

දෛශික මිශ්‍ර නිෂ්පාදිතය භාවිතා කරන ගැටළු කිහිපයක් ඇති බැවින් මෙම කොටස ඉතා විශාල නොවනු ඇත. ඇත්ත වශයෙන්ම, සෑම දෙයක්ම අර්ථ දැක්වීම මත රඳා පවතී, ජ්යාමිතික අර්ථයසහ වැඩ කරන සූත්‍ර කිහිපයක්.

දෛශිකවල මිශ්‍ර නිෂ්පාදිතය වේ තුනක නිෂ්පාදනයක්දෛශික:

එබැවින් ඔවුන් දුම්රියක් මෙන් පෙළ ගැසී සිටි අතර හඳුනා ගැනීමට බලා සිටිය නොහැක.

පළමුව, නැවතත්, අර්ථ දැක්වීමක් සහ පින්තූරයක්:

අර්ථ දැක්වීම: මිශ්ර වැඩ coplanar නොවනදෛශික, මෙම අනුපිළිවෙලෙහි ගෙන ඇත, නමින් සමාන්තර නල පරිමාව, මෙම දෛශික මත ගොඩනගා ඇති අතර, පදනම නිවැරදි නම් "+" ලකුණකින් සහ පදනම වම් පස නම් "-" ලකුණකින් සමන්විත වේ.

අපි ඇඳීම කරමු. අපට නොපෙනෙන රේඛා තිත් රේඛා වලින් ඇඳ ඇත:

අපි අර්ථ දැක්වීමට කිමිදෙමු:

2) දෛශික ගනු ලැබේ නිශ්චිත අනුපිළිවෙලකට, එනම්, නිෂ්පාදනයේ දෛශික නැවත සකස් කිරීම, ඔබ අනුමාන කළ හැකි පරිදි, ප්රතිවිපාක නොමැතිව සිදු නොවේ.

3) ජ්යාමිතික අර්ථය ගැන අදහස් දැක්වීමට පෙර, මම සටහන් කරමි පැහැදිලි කරුණක්: දෛශිකවල මිශ්‍ර නිෂ්පාදිතය NUMBER වේ: . අධ්‍යාපනික සාහිත්‍යයේ දී, මම මිශ්‍ර නිෂ්පාදනයක් දැක්වීමට පුරුදු වී සිටිමි.

නිර්වචනය අනුව මිශ්‍ර නිෂ්පාදිතය සමාන්තර පයිප්පයේ පරිමාවයි, දෛශික මත ගොඩනගා ඇත (රූපය රතු දෛශික සහ කළු රේඛා වලින් ඇඳ ඇත). එනම්, එම සංඛ්‍යාව ලබා දී ඇති සමාන්තර පයිප්පයක පරිමාවට සමාන වේ.

සටහන : චිත්‍රය ක්‍රමානුකූලයි.

4) පදනම සහ අවකාශයේ දිශානතිය පිළිබඳ සංකල්පය ගැන නැවත කරදර නොවන්න. අවසාන කොටසෙහි තේරුම නම් පරිමාවට අඩු ලකුණක් එකතු කළ හැකි බවයි. සරල වචන වලින්, මිශ්ර නිෂ්පාදන ඍණ විය හැක:.

නිර්වචනයෙන් සෘජුවම දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර නලයක පරිමාව ගණනය කිරීමේ සූත්‍රය අනුගමනය කරයි.

පැහැදිලිවම, දෛශික නිෂ්පාදනයක් සම්බන්ධයෙන්, දෛශික ගන්නා අනුපිළිවෙල වැදගත් වේ, එපමනක් නොව,

එසේම, නිර්වචනයෙන් සෘජුවම පහත දැක්වෙන්නේ ඕනෑම අදිශ සාධකයක් සඳහා (අංකය) පහත සඳහන් දේ සත්‍ය වේ:

දෛශික කලා කෘති collinear දෛශික ශුන්‍ය දෛශිකයට සමාන වේ. එපමනක් නොව, දෛශික දෙකක හරස් නිෂ්පාදනය ශුන්‍ය වේ නම් සහ ඒවා collinear නම් පමණි. (ඒවායින් එකක් ශුන්‍ය දෛශිකයක් නම්, ශුන්‍ය දෛශිකයක් නිර්වචනය අනුව ඕනෑම දෛශිකයකට කෝලිනියර් බව මතක තබා ගත යුතුය).

දෛශික නිෂ්පාදනයට ඇත බෙදාහැරීමේ දේපල, එනම්

දෛශික ඛණ්ඩාංක හරහා දෛශික නිෂ්පාදනය ප්‍රකාශ කිරීම.

දෛශික දෙකක් දෙන්න

(දෛශිකයක ඛණ්ඩාංක එහි ආරම්භයේ සහ අවසානයෙහි ඛණ්ඩාංක වලින් සොයා ගන්නේ කෙසේද - දෛශික වල Dot product, අයිතමය තිත් නිෂ්පාදනයේ විකල්ප අර්ථ දැක්වීම, හෝ ඒවායේ ඛණ්ඩාංක මගින් නිශ්චිතව දක්වා ඇති දෛශික දෙකක තිත් ගුණිතය ගණනය කිරීම යන ලිපිය බලන්න.)

ඔබට දෛශික නිෂ්පාදනයක් අවශ්‍ය වන්නේ ඇයි?

හරස් නිෂ්පාදනය භාවිතා කිරීමට බොහෝ ක්‍රම තිබේ, උදාහරණයක් ලෙස, ඉහත ලියා ඇති පරිදි, දෛශික දෙකක හරස් නිෂ්පාදනය ගණනය කිරීමෙන් ඔබට ඒවා collinear ද යන්න සොයාගත හැකිය.

නැතහොත් මෙම දෛශික වලින් සාදන ලද සමාන්තර චලිතයක ප්‍රදේශය ගණනය කිරීමේ ක්‍රමයක් ලෙස එය භාවිතා කළ හැකිය. නිර්වචනය මත පදනම්ව, ලැබෙන දෛශිකයේ දිග ලබා දී ඇති සමාන්තර චලිතයේ ප්‍රදේශය වේ.

විදුලිය හා චුම්භකත්වයේ යෙදීම් විශාල සංඛ්යාවක් ද තිබේ.

මාර්ගගත දෛශික නිෂ්පාදන කැල්ක්යුලේටරය.

සොයා ගැනීමට තිත් නිෂ්පාදනයමෙම කැල්කියුලේටරය භාවිතා කරන දෛශික දෙකක්, ඔබ පළමු දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක අනුපිළිවෙලින් පළමු පේළියට ඇතුළත් කළ යුතුය. දෙවන - දෙවන. දෛශිකයන්ගේ ඛණ්ඩාංක ඒවායේ ආරම්භයේ සහ අවසානයෙහි ඛණ්ඩාංක වලින් ගණනය කළ හැක (ලිපිය බලන්න දෛශිකවල තිත් නිෂ්පාදනය, අයිතමය තිත් නිෂ්පාදනයේ විකල්ප අර්ථ දැක්වීමක් හෝ ඒවායේ ඛණ්ඩාංක මගින් ලබා දෙන දෛශික දෙකක තිත් ගුණිතය ගණනය කිරීම.)

දෛශික කලා කෘතිව්‍යාජ දෛශිකයකි, ගුවන් යානයට ලම්බකව, ත්‍රිමාන යුක්ලීඩියානු අවකාශයේ දෛශික මත "දෛශික ගුණ කිරීමේ" ද්විමය මෙහෙයුමේ ප්‍රතිඵලයක් වන සාධක දෙකකින් ගොඩනගා ඇත. දෛශික නිෂ්පාදනයට සංක්‍රමණ සහ ආශ්‍රිත ගුණ නොමැත (එය ප්‍රති-සංක්‍රමණශීලී වේ) සහ දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනය මෙන් නොව, දෛශිකයකි. බොහෝ ඉංජිනේරු සහ භෞතික විද්‍යා යෙදුම්වල බහුලව භාවිතා වේ. උදාහරණයක් ලෙස, කෝණික ගම්‍යතාවය සහ Lorentz බලය දෛශික නිෂ්පාදනයක් ලෙස ගණිතමය වශයෙන් ලියා ඇත. දෛශිකවල ලම්බකතාව "මිණීම" සඳහා හරස් නිෂ්පාදනය ප්‍රයෝජනවත් වේ - දෛශික දෙකක හරස් නිෂ්පාදනයේ මාපාංකය ලම්බක නම් ඒවායේ මාපාංකවල ගුණිතයට සමාන වන අතර දෛශික සමාන්තර හෝ ප්‍රතිවිරුද්ධ නම් ශුන්‍යයට අඩු වේ.

දෛශික නිෂ්පාදනය විවිධ ආකාරවලින් නිර්වචනය කළ හැකි අතර, න්‍යායාත්මකව, ඕනෑම මානයක n අවකාශයක, කෙනෙකුට n-1 දෛශිකවල ගුණිතය ගණනය කළ හැකි අතර, එමගින් ඒ සියල්ලටම ලම්බකව තනි දෛශිකයක් ලබා ගත හැක. නමුත් නිෂ්පාදිතය දෛශික ප්‍රතිඵල සහිත සුළු නොවන ද්විමය නිෂ්පාදනවලට සීමා වන්නේ නම්, සම්ප්‍රදායික දෛශික නිෂ්පාදනය නිර්වචනය වන්නේ ත්‍රිමාන සහ හත්මාන අවකාශයන් තුළ පමණි. දෛශික නිෂ්පාදනයක ප්‍රතිඵලය, අදිශ නිෂ්පාදනයක් වැනි, යුක්ලීඩීය අවකාශයේ මෙට්‍රික් මත රඳා පවතී.

ත්‍රිමාණ සෘජුකෝණාස්‍රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක ඛණ්ඩාංක වලින් පරිමාණ නිෂ්පාදන දෛශික ගණනය කිරීමේ සූත්‍රය මෙන් නොව, හරස් නිෂ්පාදනයේ සූත්‍රය සෘජුකෝණාස්‍රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ දිශානතිය මත රඳා පවතී, නැතහොත් වෙනත් වචනවලින් කිවහොත් එහි “චිරාලිටි” වේ.

අර්ථ දැක්වීම:
R3 අවකාශයේ දෛශික a සහ b දෛශිකයේ දෛශික නිෂ්පාදනය පහත අවශ්‍යතා සපුරාලන දෛශික c වේ:
c දෛශිකයේ දිග a සහ b දෛශිකවල දිග සහ ඒවා අතර φ කෝණයේ සයින් වල ගුණිතයට සමාන වේ:
|c|=|a||b|පව් φ;
දෛශිකය c යනු a සහ b දෛශික වලට විකලාංග වේ;
දෛශික abc දෛශික ත්‍රිත්ව දකුණු අත වන පරිදි යොමු කෙරේ;
R7 අවකාශයේ දී, a, b, c දෛශික ත්‍රිත්වවල ආශ්‍රය අවශ්‍ය වේ.
තනතුර:
c===a × b

සහල්. 1. සමාන්තර චලිතයක ප්‍රදේශය දෛශික නිෂ්පාදනයේ මාපාංකයට සමාන වේ

හරස් නිෂ්පාදනයක ජ්යාමිතික ලක්ෂණ:
අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් තත්ත්වයශුන්‍ය නොවන දෛශික දෙකක සහසම්බන්ධතාවය යනු ඒවායේ දෛශික නිෂ්පාදනයේ ශුන්‍යයට සමානත්වයයි.

හරස් නිෂ්පාදන මොඩියුලය ප්රදේශයට සමාන වේ එස්දක්වා අඩු කරන ලද සමාන්තර චලිතය සාමාන්ය ආරම්භයදෛශික aසහ ආ(රූපය 1 බලන්න).

නම් ඊ- ඒකක දෛශිකය, වාහකයන්ට විකලාංග aසහ ආඒ තුන්දෙනා තෝරාගත්තා a,b,e- හරි, සහ එස්ඒවා මත ඉදිකර ඇති සමාන්තර චලිතයේ ප්‍රදේශය (පොදු සම්භවයක් දක්වා අඩු කර ඇත), එවිට දෛශික නිෂ්පාදනය සඳහා සූත්‍රය වලංගු වේ:
=එස් ඊ

Fig.2. දෛශිකවල දෛශික සහ අදිශ නිෂ්පාදනය භාවිතා කරන සමාන්තර පයිප්පයක පරිමාව; තිත් රේඛා මඟින් දෛශිකයේ a × b සහ දෛශික a b × c මතට ප්‍රක්ෂේපන පෙන්වයි, පළමු පියවර වන්නේ අදිශ නිෂ්පාදන සොයා ගැනීමයි.

නම් c- සමහර දෛශික, π - මෙම දෛශිකය අඩංගු ඕනෑම ගුවන් යානයක්, ඊ- ඒකක දෛශිකය ගුවන් යානයේ වැතිර සිටී π සහ විකලාංග කිරීමට c,g- ඒකක දෛශික තලයට විකලාංග π සහ දෛශික ත්‍රිත්ව වන පරිදි අධ්‍යක්ෂණය කරන ලදී උදාඑය නිවැරදියි, එවිට ගුවන් යානය තුළ වැතිර සිටින ඕනෑම කෙනෙකුට π දෛශිකය aසූත්‍රය නිවැරදියි:
=Pr e a |c|g
මෙහි Pr e a යනු දෛශික e a මතට ප්‍රක්ෂේපණය කිරීමයි
|c|-දෛශිකයේ මාපාංකය c

දෛශික සහ අදිශ නිෂ්පාදන භාවිතා කරන විට, ඔබට පොදු සම්භවයක් දක්වා අඩු කරන ලද දෛශික මත ගොඩනගා ඇති සමාන්තර පයිප්පයක පරිමාව ගණනය කළ හැකිය a, bසහ c. දෛශික තුනක එවැනි නිෂ්පාදනයක් මිශ්ර ලෙස හැඳින්වේ.
V=|a (b×c)|
මෙම පරිමාව ක්රම දෙකකින් සොයාගත හැකි බව රූපයේ දැක්වේ: "අදිශය" සහ "දෛශික" නිෂ්පාදන හුවමාරු කරන විට පවා ජ්යාමිතික ප්රතිඵලය සංරක්ෂණය කර ඇත:
V=a×b c=a b×c

හරස් නිෂ්පාදනයේ විශාලත්වය මුල් දෛශික අතර කෝණයේ සයින් මත රඳා පවතී, එබැවින් හරස් නිෂ්පාදනය දෛශිකවල “ලම්බක” මට්ටම ලෙස වටහා ගත හැකිය, අදිශ නිෂ්පාදනය “සමාන්තරවාදයේ” මට්ටම ලෙස දැකිය හැකිය. ”. ඒකක දෛශික දෙකක දෛශික ගුණිතය මුල් දෛශික ලම්බක නම් 1 (ඒකක දෛශිකය) ට සමාන වන අතර දෛශික සමාන්තර හෝ ප්‍රතිවිරුද්ධ නම් 0 (ශුන්‍ය දෛශිකය) ට සමාන වේ.

Cartesian ඛණ්ඩාංකවල හරස් නිෂ්පාදනය සඳහා ප්රකාශනය
දෛශික දෙකක් නම් aසහ ආඔවුන්ගේ සෘජුකෝණාස්රාකාරයෙන් අර්ථ දක්වා ඇත කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක, හෝ වඩාත් නිවැරදිව, orthonormal පදනමක් තුළ නිරූපණය කෙරේ
a=(a x,a y,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
සහ ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය දකුණු අත වේ, එවිට ඔවුන්ගේ දෛශික නිෂ්පාදනයට ආකෘතිය ඇත
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
මෙම සූත්‍රය මතක තබා ගැනීමට:
i =∑ε ijk a j b k
කොහෙද ε ijk- ලෙවි-සිවිටාගේ සංකේතය.

7.1 හරස් නිෂ්පාදනයේ අර්ථ දැක්වීම

තුන්වන දෛශිකයේ c අග සිට පළමු දෛශිකයේ සිට දෙවන දෛශිකය b දක්වා කෙටිම හැරීම පෙනෙන්නේ නම්, දක්වන ලද අනුපිළිවෙලට ගත් a, b සහ c නොවන coplanar දෛශික තුනක් දකුණු අත ත්‍රිත්ව සාදයි. වාමාවර්තව, සහ දක්ෂිණාවර්තව නම් වම් අත ත්‍රිත්ව (රූපය .16 බලන්න).

දෛශික a සහ b දෛශිකයේ දෛශික නිෂ්පාදනය දෛශික c ලෙස හැඳින්වේ, එනම්:

1. දෛශික a සහ b සඳහා ලම්බකව, එනම් c ^ a සහ c ^ b ;

2. දෛශික a සහ මත ඉදිකර ඇති සමාන්තර චලිතයක ප්‍රදේශයට සංඛ්‍යාත්මකව සමාන දිගක් ඇතආපැතිවල මෙන් (රූපය 17 බලන්න), i.e.

3. දෛශික a, b සහ c දකුණු අත ත්‍රිත්ව සාදයි.

හරස් නිෂ්පාදනය x b හෝ [a,b] ලෙස දැක්වේ. ඒකක දෛශික අතර පහත සම්බන්ධතා දෛශික නිෂ්පාදනයේ නිර්වචනයෙන් මම සෘජුවම අනුගමනය කරමි, j සහකේ

(රූපය 18 බලන්න):
i x j = k, j x k = i, k x i = j.උදාහරණයක් ලෙස, අපි ඔප්පු කරමු

i xj =k. ^ 1) k ^ i, k

j ; 2) |k |=1, නමුත් | i x j

| = |i | සහ|ජේ | sin(90°)=1;

3) දෛශික i, j සහ

නිවැරදි ත්රිත්ව සාදන්න (රූපය 16 බලන්න).

දෛශික a xb සහ b xa collinear වේ, එකම මොඩියුල ඇත (සමාන්තර චලිතයේ ප්‍රදේශය නොවෙනස්ව පවතී), නමුත් ප්‍රතිවිරුද්ධව යොමු කෙරේ (ත්‍රිත්ව a, b, a xb සහ a, b, b x a ප්‍රතිවිරුද්ධ දිශානතිය). ඒ නිසා axb = -(b xa).

2. දෛශික නිෂ්පාදනයට අදිශ සාධකයට සාපේක්ෂව ඒකාබද්ධ ගුණයක් ඇත, එනම් l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

l >0 ඉඩ දෙන්න. දෛශික l (a xb) දෛශික a සහ b සඳහා ලම්බක වේ. දෛශිකය ( එල් a)x ආදෛශික a සහ සඳහා ලම්බක වේ ආ(දෛශික a, එල්නමුත් එකම ගුවන් යානයක සැතපෙන්න). මෙයින් අදහස් කරන්නේ දෛශික බවයි එල්(axb) සහ ( එල් a)x ආ collinear. ඔවුන්ගේ දිශාවන් සමපාත වන බව පැහැදිලිය. ඒවාට සමාන දිගක් ඇත:

ඒක තමයි එල්(a xb)= එල් xb. සඳහා සමාන ආකාරයකින් ඔප්පු කර ඇත එල්<0.

3. ශුන්‍ය නොවන දෛශික දෙකක් a සහ ආ collinear වේ නම් සහ ඒවායේ දෛශික නිෂ්පාදනය ශුන්‍ය දෛශිකයට සමාන නම් පමණි, එනම් a ||b<=>සහ xb =0.

විශේෂයෙන්ම, i *i =j *j =k *k =0 .

4. දෛශික නිෂ්පාදනයට බෙදාහැරීමේ ගුණය ඇත:

(a+b) xc = a xc + ආ xs.

සාක්ෂි නොමැතිව අපි පිළිගන්නෙමු.

7.3 ඛණ්ඩාංක අනුව හරස් නිෂ්පාදනය ප්‍රකාශ කිරීම

අපි දෛශික i හි හරස් නිෂ්පාදන වගුව භාවිතා කරන්නෙමු, ඒකක දෛශික අතර පහත සම්බන්ධතා දෛශික නිෂ්පාදනයේ නිර්වචනයෙන් මම සෘජුවම අනුගමනය කරමි,සහ කේ:

පළමු දෛශිකයේ සිට දෙවැන්න දක්වා ඇති කෙටිම මාර්ගයේ දිශාව ඊතලයේ දිශාවට සමපාත වේ නම්, නිෂ්පාදිතය තුන්වන දෛශිකයට සමාන වේ, එය සමපාත නොවන්නේ නම්, තුන්වන දෛශිකය සෘණ ලකුණක් සමඟ ගනු ලැබේ.

a =a x i +a y දෛශික දෙකක් දෙන්න ඒකක දෛශික අතර පහත සම්බන්ධතා දෛශික නිෂ්පාදනයේ නිර්වචනයෙන් මම සෘජුවම අනුගමනය කරමි,+a z සහසහ b =b x i+b y ඒකක දෛශික අතර පහත සම්බන්ධතා දෛශික නිෂ්පාදනයේ නිර්වචනයෙන් මම සෘජුවම අනුගමනය කරමි,+b z සහ. මෙම දෛශික බහුපද ලෙස ගුණ කිරීමෙන් (දෛශික නිෂ්පාදනයේ ගුණ අනුව) දෛශික ගුණය සොයා ගනිමු:

ලැබෙන සූත්‍රය ඊටත් වඩා කෙටියෙන් ලිවිය හැකිය:

සමානාත්මතාවයේ දකුණු පැත්ත (7.1) පළමු පේළියේ සමානාත්මතාවයේ (7.2) මූලද්‍රව්‍ය අනුව තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි ප්‍රසාරණයට අනුරූප වේ.

7.4 හරස් නිෂ්පාදනයේ සමහර යෙදුම්

දෛශිකවල සහසම්බන්ධතාවය ස්ථාපිත කිරීම

සමාන්තර චලිතයක සහ ත්‍රිකෝණයක ප්‍රදේශය සොයා ගැනීම

දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනයේ නිර්වචනය අනුව ඒසහ බී |a xb | =|අ | * |b |sin g, i.e. S යුගල = |a x b |. තවද, එබැවින්, D S =1/2|a x b |.

ලක්ෂ්යයක් ගැන බලයේ මොහොත තීරණය කිරීම

A ලක්ෂ්‍යයේ බලයක් යොදන්න F = ABසහ ඉඩ දෙන්න ගැන- අවකාශයේ යම් ස්ථානයක් (රූපය 20 බලන්න).

එය භෞතික විද්‍යාවෙන් දන්නා කරුණකි බලයේ මොහොත එෆ් කාරණයට සාපේක්ෂව ගැනදෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ එම්,ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන ගැනසහ:

1) ලකුණු හරහා ගමන් කරන තලයට ලම්බකව O, A, B;

2) සංඛ්‍යාත්මකව එක් අතකට බලයේ ගුණිතයට සමාන වේ

3) OA සහ A B දෛශික සමඟ දකුණු ත්‍රිත්ව සාදයි.

එබැවින්, M = OA x F.

රේඛීය භ්‍රමණ වේගය සොයා ගැනීම

වේගය vකෝණික ප්‍රවේගයෙන් භ්‍රමණය වන දෘඩ සිරුරක ලක්ෂ්‍යය M wස්ථාවර අක්ෂයක් වටා, Euler's සූත්‍රය v =w xr මගින් තීරණය වේ, එහිදී r =OM, O යනු අක්ෂයේ යම් ස්ථාවර ලක්ෂ්‍යයක් වේ (රූපය 21 බලන්න).