අපි අපේ ප්රියතම චතුරශ්රයෙන් පටන් ගනිමු.
උදාහරණ 9
සංකීර්ණ අංකයක් වර්ග කරන්න
මෙහිදී ඔබට ක්‍රම දෙකකින් යා හැකිය, පළමු ක්‍රමය වන්නේ උපාධිය සාධකවල ප්‍රතිඵලයක් ලෙස නැවත ලිවීම සහ බහුපද ගුණ කිරීමේ රීතියට අනුව සංඛ්යා ගුණ කිරීමයි.
දෙවන ක්‍රමය නම් කෙටි ගුණ කිරීම සඳහා සුප්රසිද්ධ පාසල් සූත්රය භාවිතා කිරීමයි.
සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් සඳහා ඔබේම සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්රය ව්‍යුත්පන්න කිරීම පහසුය:
වෙනසෙහි වර්ග සඳහා මෙන්ම, වෙනසෙහි එකතුව සහ ඝනකය සඳහා සමාන සූත්‍රයක් ව්‍යුත්පන්න කළ හැක. නමුත් සංකීර්ණ විශ්ලේෂණ ගැටළු සඳහා මෙම සූත්ර වඩාත් අදාළ වේ. ඔබට සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් 5, 10 හෝ 100 බලයට වැඩි කිරීමට අවශ්ය නම් කුමක් කළ යුතුද? වීජීය ස්වරූපයෙන් එවැනි උපක්‍රමයක් කිරීම පාහේ කළ නොහැක්කක් බව පැහැදිලිය, ඔබ වැනි උදාහරණයක් විසඳන්නේ කෙසේදැයි සිතන්න?
තවද මෙහි සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක ත්රිකෝණමිතික ස්වරූපය ගලවා ගැනීමට සහ ඊනියා වෙත පැමිණේ Moivre ගේ සූත්රය: සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් ත්රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් නිරූපණය කරන්නේ නම්, එය ස්වභාවික බලයකට ඔසවන විට, පහත සූත්රය වලංගු වේ:
එය නිකම්ම පිළිකුල් සහගතයි.
උදාහරණ 10
සංකීර්ණ අංකයක් ලබා දී, සොයා ගන්න.
කළ යුත්තේ කුමක්ද? මුලින්ම ඔබ මෙම අංකය ත්රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් නිරූපණය කළ යුතුය. උදාහරණ 8 හි අපි දැනටමත් මෙය කර ඇති බව අවධානයෙන් සිටින පාඨකයින් දැක ඇති.
ඉන්පසු, Moivre ගේ සූත්රය අනුව:
දෙවියන් වහන්සේ තහනම් කරයි, ඔබ කැල්කියුලේටරය මත ගණන් කිරීමට අවශ්ය නැත, නමුත් බොහෝ අවස්ථාවලදී කෝණය සරල කළ යුතුය. සරල කරන්නේ කෙසේද? සංකේතාත්මකව කථා කිරීම, ඔබ අනවශ්ය හැරීම් ඉවත් කළ යුතුය. එක් විප්ලවයක් රේඩියන් හෝ අංශක 360 කි. අපි තර්කයේ හැරීම් කීයක් තිබේදැයි සොයා බලමු. පහසුව සඳහා, අපි කොටස නිවැරදි කරන්නෙමු :, පසුව ඔබට එක් විප්ලවයක් අඩු කළ හැකි බව පැහැදිලිව දැකගත හැකිය :. මෙය එකම කෝණයක් බව සියලු දෙනාටම වැටහෙනු ඇතැයි සිතමි.
එබැවින්, අවසාන පිළිතුර මේ ආකාරයෙන් ලියා ඇත:
ඝාතන ගැටලුවේ වෙනම විචලනය වන්නේ හුදු පරිකල්පනීය සංඛ්යා විස්තාරණය කිරීමයි.
උදාහරණ 12
සංකීර්ණ සංඛ්යා බලවලට ඔසවන්න
මෙන්න, සෑම දෙයක්ම සරලයි, ප්රධාන දෙය නම් ප්රසිද්ධ සමානාත්මතාවය මතක තබා ගැනීමයි.
මනඃකල්පිත ඒකකය ඒකාකාර බලයකට ඔසවන්නේ නම්, විසඳුම් තාක්ෂණය පහත පරිදි වේ:
මනඃකල්පිත ඒකකය ඔත්තේ බලයකට ඔසවන්නේ නම්, අපි "සහ" එකක් "ඇණ ගසමු", ඉරට්ටේ බලයක් ලබා ගනිමු:
අඩුවක් (හෝ කිසියම් සැබෑ සංගුණකයක්) තිබේ නම්, එය පළමුව වෙන් කළ යුතුය:
සංකීර්ණ සංඛ්යා වලින් මූලයන් උපුටා ගැනීම. සංකීර්ණ මූලයන් සහිත චතුරස්රාකාර සමීකරණය
අපි උදාහරණයක් බලමු:
මූල උපුටා ගත නොහැකිද? නම් අපි කතා කරන්නේතාත්වික සංඛ්යා ගැන, එසේ නම් එය ඇත්තෙන්ම කළ නොහැකි ය. සංකීර්ණ සංඛ්යා වල මුල උකහා ගත හැක! වඩාත් නිවැරදිව, දෙකක්මූල:
මූලයන් ඇත්ත වශයෙන්ම සමීකරණයට විසඳුමක් ද? අපි පරීක්ෂා කරමු:
පරීක්ෂා කළ යුතු දේ කුමක්ද.
සංක්ෂිප්ත අංකනයක් බොහෝ විට භාවිතා වේ: "එකම පනාව" යටතේ මුල් දෙකම ලියා ඇත.
මෙම මූලයන් ද හැඳින්වේ සංකීර්ණ මූලයන් ඒකාබද්ධ කරන්න.
උපුටා ගන්නා ආකාරය වර්ග මුල්සෘණ සංඛ්යා වලින්, මම හිතන්නේ හැමෝම තේරුම් ගනීවි: ,,,, ආදිය. සෑම අවස්ථාවකදීම එය හැරෙනවා දෙකක්සංකීර්ණ මූලයන් ඒකාබද්ධ කරන්න.
උදාහරණ 13
චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳන්න
වෙනස්කම් කිරීම ගණනය කරමු:
වෙනස්කම් කරන්නා සෘණාත්මක වන අතර සමීකරණයට තාත්වික සංඛ්‍යාවලින් විසඳුමක් නොමැත. නමුත් මූල සංකීර්ණ සංඛ්යා වලින් උපුටා ගත හැක!
සුප්රසිද්ධ පාසල් සූත්ර භාවිතා කරමින්, අපි මූලයන් දෙකක් ලබා ගනිමු: - සංකීර්ණ මූලයන් සංයුක්ත කරන්න
මේ අනුව, සමීකරණයට සංයුක්ත සංකීර්ණ මූලයන් දෙකක් ඇත :,
දැන් ඔබට ඕනෑම චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් විසඳිය හැකිය!
සාමාන්‍යයෙන්, "nth" උපාධියේ බහුපදයක් සහිත ඕනෑම සමීකරණයකට සමාන මූලයන් ඇත, සමහර ඒවා සංකීර්ණ විය හැක.
ඔබ විසින්ම විසඳා ගැනීමට සරල උදාහරණයක්:
උදාහරණ 14
සමීකරණයේ මූලයන් සොයාගෙන චතුරස්රාකාර ද්විපදයේ සාධකය කරන්න.
සම්මත පාසල් සූත්රය අනුව නැවත වරක් සාධකකරණය සිදු කෙරේ.
අපි අපේ ප්රියතම චතුරශ්රයෙන් පටන් ගනිමු.
උදාහරණ 9
සංකීර්ණ අංකයක් වර්ග කරන්න
මෙහිදී ඔබට ක්‍රම දෙකකින් යා හැකිය, පළමු ක්‍රමය වන්නේ උපාධිය සාධකවල ප්‍රතිඵලයක් ලෙස නැවත ලිවීම සහ බහුපද ගුණ කිරීමේ රීතියට අනුව සංඛ්යා ගුණ කිරීමයි.
දෙවන ක්‍රමය නම් කෙටි ගුණ කිරීම සඳහා සුප්රසිද්ධ පාසල් සූත්රය භාවිතා කිරීමයි.
සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් සඳහා ඔබේම සංක්ෂිප්ත ගුණ කිරීමේ සූත්රය ව්‍යුත්පන්න කිරීම පහසුය:
වෙනසෙහි වර්ග සඳහා මෙන්ම, වෙනසෙහි එකතුව සහ ඝනකය සඳහා සමාන සූත්‍රයක් ව්‍යුත්පන්න කළ හැක. නමුත් සංකීර්ණ විශ්ලේෂණ ගැටළු සඳහා මෙම සූත්ර වඩාත් අදාළ වේ. ඔබට සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් 5, 10 හෝ 100 බලයට වැඩි කිරීමට අවශ්ය නම් කුමක් කළ යුතුද? වීජීය ස්වරූපයෙන් එවැනි උපක්‍රමයක් කිරීම පාහේ කළ නොහැක්කක් බව පැහැදිලිය, ඔබ වැනි උදාහරණයක් විසඳන්නේ කෙසේදැයි සිතන්න?
තවද මෙහි සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක ත්රිකෝණමිතික ස්වරූපය ගලවා ගැනීමට සහ ඊනියා වෙත පැමිණේ Moivre ගේ සූත්රය: සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් ත්රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් නිරූපණය කරන්නේ නම්, එය ස්වභාවික බලයකට ඔසවන විට, පහත සූත්රය වලංගු වේ:
එය නිකම්ම පිළිකුල් සහගතයි.
උදාහරණ 10
සංකීර්ණ අංකයක් ලබා දී, සොයා ගන්න.
කළ යුත්තේ කුමක්ද? මුලින්ම ඔබ මෙම අංකය ත්රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් නිරූපණය කළ යුතුය. උදාහරණ 8 හි අපි දැනටමත් මෙය කර ඇති බව අවධානයෙන් සිටින පාඨකයින් දැක ඇති.
ඉන්පසු, Moivre ගේ සූත්රය අනුව:
දෙවියන් වහන්සේ තහනම් කරයි, ඔබ කැල්කියුලේටරය මත ගණන් කිරීමට අවශ්ය නැත, නමුත් බොහෝ අවස්ථාවලදී කෝණය සරල කළ යුතුය. සරල කරන්නේ කෙසේද? සංකේතාත්මකව කථා කිරීම, ඔබ අනවශ්ය හැරීම් ඉවත් කළ යුතුය. එක් විප්ලවයක් රේඩියන් හෝ අංශක 360 කි. අපි තර්කයේ හැරීම් කීයක් තිබේදැයි සොයා බලමු. පහසුව සඳහා, අපි කොටස නිවැරදි කරන්නෙමු :, පසුව ඔබට එක් විප්ලවයක් අඩු කළ හැකි බව පැහැදිලිව දැකගත හැකිය :. මෙය එකම කෝණයක් බව සියලු දෙනාටම වැටහෙනු ඇතැයි සිතමි.
එබැවින්, අවසාන පිළිතුර මේ ආකාරයෙන් ලියා ඇත:
ඝාතන ගැටලුවේ වෙනම විචලනය වන්නේ හුදු පරිකල්පනීය සංඛ්යා විස්තාරණය කිරීමයි.
උදාහරණ 12
සංකීර්ණ සංඛ්යා බලවලට ඔසවන්න
මෙන්න, සෑම දෙයක්ම සරලයි, ප්රධාන දෙය නම් ප්රසිද්ධ සමානාත්මතාවය මතක තබා ගැනීමයි.
මනඃකල්පිත ඒකකය ඒකාකාර බලයකට ඔසවන්නේ නම්, විසඳුම් තාක්ෂණය පහත පරිදි වේ:
මනඃකල්පිත ඒකකය ඔත්තේ බලයකට ඔසවන්නේ නම්, අපි "සහ" එකක් "ඇණ ගසමු", ඉරට්ටේ බලයක් ලබා ගනිමු:
අඩුවක් (හෝ කිසියම් සැබෑ සංගුණකයක්) තිබේ නම්, එය පළමුව වෙන් කළ යුතුය:
සංකීර්ණ සංඛ්යා වලින් මූලයන් උපුටා ගැනීම. සංකීර්ණ මූලයන් සහිත චතුරස්රාකාර සමීකරණය
අපි උදාහරණයක් බලමු:
මූල උපුටා ගත නොහැකිද? අපි තාත්වික සංඛ්යා ගැන කතා කරන්නේ නම්, එය සැබවින්ම කළ නොහැකි ය. සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවල මුල උකහා ගත හැක! වඩාත් නිවැරදිව, දෙකක්මූල:
මූලයන් ඇත්ත වශයෙන්ම සමීකරණයට විසඳුමක් ද? අපි පරීක්ෂා කරමු:
පරීක්ෂා කළ යුතු දේ කුමක්ද.
සංක්ෂිප්ත අංකනයක් බොහෝ විට භාවිතා වේ: "එකම පනාව" යටතේ මුල් දෙකම ලියා ඇත.
මෙම මූලයන් ද හැඳින්වේ සංකීර්ණ මූලයන් ඒකාබද්ධ කරන්න.
සෘණ සංඛ්යා වලින් වර්ග මූලයන් උකහා ගන්නේ කෙසේදැයි සෑම දෙනාම තේරුම් ගෙන ඇතැයි මම සිතමි: ,,,, ආදිය. සෑම අවස්ථාවකදීම එය හැරෙනවා දෙකක්සංකීර්ණ මූලයන් ඒකාබද්ධ කරන්න.
