චතුරස්‍ර සමීකරණ විසඳීමේදී වියේටා ප්‍රමේයය යෙදීම මත. චතුරශ්‍ර සමීකරණවල වාචික විසඳුම සහ වියේටා ප්‍රමේයය වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතා කරන සමීකරණ

අටවන ශ්‍රේණියේදී සිසුන්ට චතුරස්‍ර සමීකරණ සහ ඒවා විසඳන ආකාරය හඳුන්වා දෙනු ලැබේ. ඒ අතරම, අත්දැකීම් පෙන්නුම් කරන පරිදි, බොහෝ සිසුන්, සම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳන විට, එක් ක්රමයක් පමණක් භාවිතා කරයි - චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් සඳහා සූත්රය. හොඳ මානසික ගණිත කුසලතා ඇති සිසුන් සඳහා, මෙම ක්රමය පැහැදිලිවම අතාර්කික ය. සිසුන්ට බොහෝ විට උසස් පාසලේදී පවා චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීමට සිදු වන අතර, වෙනස්කම් කරන්නා ගණනය කිරීමට කාලය ගත කිරීම අනුකම්පාවකි. මගේ මතය අනුව, චතුරස්‍ර සමීකරණ අධ්‍යයනය කිරීමේදී, වියාටාගේ ප්‍රමේයය යෙදීම කෙරෙහි වැඩි කාලයක් හා අවධානයක් යොමු කළ යුතුය (A.G. Mordkovich Algebra-8 වැඩසටහනට අනුව, “Vieta's Theorem” යන මාතෘකාව අධ්‍යයනය කිරීම සඳහා සැලසුම් කර ඇත්තේ පැය දෙකක් පමණි. චතුරස්රයක වියෝජනය ත්රිකෝණය රේඛීය සාධක බවට").

බොහෝ වීජ ගණිතය පෙළපොත් වල, මෙම ප්‍රමේයය අඩු කරන ලද චතුරස්‍ර සමීකරණය සඳහා සකස් කර ඇති අතර සමීකරණයට මූලයන් තිබේ නම් සහ , සමානාත්මතාවයන් , ඒවා සඳහා තෘප්තිමත් වේ.එවිට වියාටාගේ ප්‍රමේයය සමඟ ප්‍රකාශයක් සකස් කර ඇති අතර, මෙම මාතෘකාව පුහුණු කිරීම සඳහා උදාහරණ ගණනාවක් ඉදිරිපත් කෙරේ.

අපි නිශ්චිත උදාහරණ ගෙන Vieta's theorem භාවිතා කර විසඳුමේ තර්කනය සොයා බලමු.

උදාහරණ 1. සමීකරණය විසඳන්න.

මෙම සමීකරණයට මූලයන් ඇති බව කියමු, එනම්, සහ . එවිට, වියේටා ප්‍රමේයය අනුව, සමානාත්මතාවයන් එකවර පැවතිය යුතුය:

මුල්වල ගුණිතය ධන අංකයක් බව කරුණාවෙන් සලකන්න. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සමීකරණයේ මූලයන් එකම ලකුණක් බවයි. තවද මූලයන්ගේ එකතුව ද ධන සංඛ්‍යාවක් බැවින්, සමීකරණයේ මූල දෙකම ධන බව අපි නිගමනය කරමු. අපි නැවතත් මුල්වල නිෂ්පාදනයට යමු. සමීකරණයේ මූලයන් පූර්ණ සංඛ්‍යා යැයි උපකල්පනය කරමු ධනාත්මක සංඛ්යා. එවිට නිවැරදි පළමු සමානාත්මතාවය ලබා ගත හැක්කේ ක්රම දෙකකින් පමණි (සාධක අනුපිළිවෙල දක්වා): හෝ . වියේටා ප්‍රමේයයේ දෙවන ප්‍රකාශයේ ශක්‍යතා යෝජිත අංක යුගල සඳහා අපි පරීක්ෂා කරමු: . මේ අනුව, අංක 2 සහ 3 සමානතා දෙකම තෘප්තිමත් කරයි, එබැවින් ලබා දී ඇති සමීකරණයේ මූලයන් වේ.

පිළිතුර: 2; 3.

Vieta ප්‍රමේයය භාවිතා කර ඉහත චතුරස්‍ර සමීකරණය විසඳන විට තර්කනයේ ප්‍රධාන අවධීන් අපි ඉස්මතු කරමු:

වියේටා ප්‍රමේයයේ ප්‍රකාශය ලියන්න

(*)

සමීකරණයේ මුල්වල සලකුණු තීරණය කරන්න (නිෂ්පාදිතය සහ මුල්වල එකතුව ධන නම්, මූල දෙකම ධන සංඛ්‍යා වේ. මුල්වල ගුණිතය ධන අංකයක් නම් සහ මුල්වල එකතුව සෘණ නම්, එවිට මූලයන් දෙකම සෘණ සංඛ්යා වේ සෘණ අංකය, එවිට මූලයන් විවිධ සංඥා ඇත.
එපමණක් නොව, මූලයන්ගේ එකතුව ධන නම්, විශාල මාපාංකයක් සහිත මූලය ධන අංකයක් වන අතර, මුල්වල එකතුව ශුන්‍යයට වඩා අඩු නම්, විශාල මාපාංකයක් සහිත මූලය සෘණ අංකයකි);
අංකනයෙහි නිවැරදි පළමු සමානාත්මතාවය ලබා දෙන නිඛිල යුගල තෝරන්න (*);
සොයාගත් සංඛ්‍යා යුගල වලින්, අංකනයෙහි (*) දෙවන සමානාත්මතාවයට ආදේශ කළ විට නිවැරදි සමානාත්මතාවය ලබා දෙන යුගලය තෝරන්න;

ඔබේ පිළිතුරෙහි සමීකරණයේ සොයාගත් මූලයන් දක්වන්න.

අපි තවත් උදාහරණ කිහිපයක් දෙමු. .

උදාහරණ 2: සමීකරණය විසඳන්න

විසඳුම.

දී ඇති සමීකරණයේ මූලයන් වීමට ඉඩ දෙන්න. එවිට, Vieta හි ප්‍රමේයය අනුව, නිෂ්පාදිතය ධනාත්මක වන අතර එකතුව සෘණ අංකයක් බව අපි සටහන් කරමු. මෙයින් අදහස් කරන්නේ මූලයන් දෙකම සෘණ සංඛ්යා බවයි. අපි 10 (-1 සහ -10; -2 සහ -5) නිෂ්පාදනයක් ලබා දෙන සාධක යුගල තෝරා ගනිමු. දෙවන සංඛ්යා යුගලය -7 දක්වා එකතු වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ -2 සහ -5 යන ඉලක්කම් මෙම සමීකරණයේ මූලයන් බවයි. -2; -5.

පිළිතුර: .

උදාහරණ 2: සමීකරණය විසඳන්න

උදාහරණ 3: සමීකරණය විසඳන්න

දී ඇති සමීකරණයේ මූලයන් වීමට ඉඩ දෙන්න. එවිට, Vieta හි ප්රමේයය මගින්, නිෂ්පාදිතය ඍණාත්මක බව අපි සටහන් කරමු. මෙයින් අදහස් කරන්නේ මූලයන් විවිධ සංඥා ඇති බවයි. මූලයන්ගේ එකතුව ද සෘණ අංකයකි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ විශාලතම මාපාංකය සහිත මූලය සෘණ බවයි. නිෂ්පාදිතය -10 (1 සහ -10; 2 සහ -5) ලබා දෙන සාධක යුගල අපි තෝරා ගනිමු. දෙවන සංඛ්යා යුගලය -3 දක්වා එකතු වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ අංක 2 සහ -5 මෙම සමීකරණයේ මූලයන් බවයි. Vieta හි ප්‍රමේයය, ප්‍රතිපත්තිමය වශයෙන්, සම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් සඳහා සකස් කළ හැකි බව සලකන්න: නම් චතුරස්රාකාර සමීකරණයමූලයන් ඇති අතර, පසුව සමානාත්මතාවයන් , ඔවුන් සඳහා තෘප්තිමත් වේ.

කෙසේ වෙතත්, සම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයකදී අවම වශයෙන් එක් මූලයක් (ඇත්නම්, ඇත්ත වශයෙන්ම) භාගික සංඛ්‍යාවක් වන බැවින්, මෙම ප්‍රමේයය යෙදීම තරමක් ගැටළු සහගතය. භාග තෝරා ගැනීම සමඟ වැඩ කිරීම දිගු හා දුෂ්කර ය. නමුත් තවමත් මගක් තිබේ. සම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණය සලකා බලන්න . පළමු සංගුණකය මගින් සමීකරණයේ දෙපැත්තම ගුණ කරන්නඒ සහ පෝරමයේ සමීකරණය ලියන්න . අපි නව විචල්‍යයක් හඳුන්වා දී අඩු කරන ලද චතුරස්‍ර සමීකරණය ලබා ගනිමු, එහි මූලයන් සහ (තිබේ නම්) වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය. එවිට මුල් සමීකරණයේ මූලයන් වනු ඇත. සහායක අඩු කළ සමීකරණයක් නිර්මාණය කිරීම ඉතා සරල බව කරුණාවෙන් සලකන්න: දෙවන සංගුණකය සංරක්ෂණය කර ඇති අතර තුන්වන සංගුණකය නිෂ්පාදනයට සමාන වේ.. යම් නිපුණතාවයකින්, සිසුන් වහාම සහායක සමීකරණයක් නිර්මාණය කරයි, වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතා කර එහි මූලයන් සොයා ගනී, සහ ලබා දී ඇති සම්පූර්ණ සමීකරණයේ මූලයන් දක්වයි. අපි උදාහරණ දෙමු.

උදාහරණ 4: සමීකරණය විසඳන්න .

අපි සහායක සමීකරණයක් නිර්මාණය කරමු සහ වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතා කරමින් අපි එහි මූලයන් සොයා ගනිමු. මෙයින් අදහස් කරන්නේ මුල් සමීකරණයේ මූලයන් බවයි .

උදාහරණ 5: සමීකරණය විසඳන්න .

සහායක සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත. වියේටා ප්‍රමේයයට අනුව එහි මූලයන් වේ. මුල් සමීකරණයේ මූලයන් සොයා ගැනීම .

වියේටා ප්‍රමේයය යෙදීම මඟින් සම්පූර්ණ චතුරස්‍ර සමීකරණයක මූලයන් වාචිකව සොයා ගැනීමට ඔබට ඉඩ සලසන තවත් එක් අවස්ථාවක්. එය ඔප්පු කිරීම අපහසු නැත අංක 1 යනු සමීකරණයේ මූලයයි , නම් සහ පමණක් නම්. සමීකරණයේ දෙවන මූලය වියේටා ප්‍රමේයය මගින් සොයා ගන්නා අතර එය සමාන වේ. තවත් එක් ප්රකාශයක්: එබැවින් අංකය –1 සමීකරණයේ මුල වේ සඳහා අවශ්ය සහ ප්රමාණවත්. එවිට වියේටා ප්‍රමේයය අනුව සමීකරණයේ දෙවන මූලය සමාන වේ. ලබා දී ඇති චතුරස්රාකාර සමීකරණය සඳහා සමාන ප්රකාශයන් සකස් කළ හැක.

උදාහරණ 6: සමීකරණය විසඳන්න.

සමීකරණයේ සංගුණක එකතුව ශුන්‍ය බව සලකන්න. ඉතින්, සමීකරණයේ මූලයන් .

උදාහරණ 7. සමීකරණය විසඳන්න.

මෙම සමීකරණයේ සංගුණක දේපල තෘප්තිමත් කරයි (ඇත්ත වශයෙන්ම, 1-(-999)+(-1000)=0). ඉතින්, සමීකරණයේ මූලයන් .

වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතා කිරීමේ උදාහරණ

කාර්යය 1. වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතයෙන් ලබා දී ඇති චතුරස්‍ර සමීකරණය විසඳන්න.

1. 6. 11. 16.
2. 7. 12. 17.
3. 8. 13. 18.
4. 9. 14. 19.
5. 10. 15. 20.

කාර්යය 2. සහායක අඩු කරන ලද චතුරස්රාකාර සමීකරණය වෙත ගමන් කිරීමෙන් සම්පූර්ණ චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳන්න.

1. 6. 11. 16.
2. 7. 12. 17.
3. 8. 13. 18.
4. 9. 14. 19.
5. 10. 15. 20.

කාර්යය 3. දේපල භාවිතා කරමින් චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් විසඳන්න.

Vieta's theorem බොහෝ විට දැනටමත් සොයාගෙන ඇති මූලයන් පරීක්ෂා කිරීමට භාවිතා කරයි. ඔබ මූලයන් සොයාගෙන ඇත්නම්, \(p හි අගයන් ගණනය කිරීමට ඔබට \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) සූත්‍ර භාවිතා කළ හැක. \) සහ \(q\ ). ඒවා මුල් සමීකරණයට සමාන වේ නම්, මූලයන් නිවැරදිව සොයාගත හැකිය.

උදාහරණයක් ලෙස, අපි, භාවිතා කරමින්, \(x^2+x-56=0\) සමීකරණය විසඳා මූලයන් ලබා ගනිමු: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). විසඳුම් ක්‍රියාවලියේදී අප අතින් වරදක් සිදුවී ඇත්දැයි සොයා බලමු. අපගේ නඩුවේදී, \(p=1\), සහ \(q=-56\). වියේටා ප්‍රමේයය අනුව අපට ඇත්තේ:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

ප්‍රකාශ දෙකම අභිසාරී විය, එයින් අදහස් කරන්නේ අපි සමීකරණය නිවැරදිව විසඳා ඇති බවයි.

මෙම පරීක්ෂාව වාචිකව සිදු කළ හැකිය. එය තත්පර 5 ක් ගත වන අතර මෝඩ වැරදි වලින් ඔබව ගලවා ගනු ඇත.

වියේටාගේ පරිවර්තන ප්‍රමේයය

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), \(x_1\) සහ \(x_2\) යනු චතුරස්‍ර සමීකරණයේ මූලයන් වේ. (x^ 2+px+q=0\).

හෝ සරල ආකාරයකින්: ඔබට \(x^2+px+q=0\) පෝරමයේ සමීකරණයක් තිබේ නම්, පද්ධතිය \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) ඔබ එහි මූලයන් සොයා ගනු ඇත.

මෙම ප්‍රමේයයට ස්තුතිවන්ත වන්න, විශේෂයෙන්ම මෙම මූලයන් නම්, චතුරස්‍ර සමීකරණයක මූලයන් ඉක්මනින් සොයා ගත හැක. මෙම කුසලතාව වැදගත් වන්නේ එය බොහෝ කාලයක් ඉතිරි කරන බැවිනි.

උදාහරණය . \(x^2-5x+6=0\) සමීකරණය විසඳන්න.

විසඳුම : Vieta හි ප්‍රතිලෝම ප්‍රමේයය භාවිතා කරමින්, මූලයන් කොන්දේසි සපුරාලන බව අපට පෙනී යයි: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
පද්ධතියේ දෙවන සමීකරණය බලන්න \(x_1 \cdot x_2=6\). \(6\) අංකය වියෝජනය කළ හැක්කේ කුමන දෙකටද? \(2\) සහ \(3\), \(6\) සහ \(1\) හෝ \(-2\) සහ \(-3\), සහ \(-6\) සහ \(- 1\). පද්ධතියේ පළමු සමීකරණය ඔබට තෝරාගත යුතු යුගලය පවසනු ඇත: \(x_1+x_2=5\). \(2\) සහ \(3\) සමාන වේ, මන්ද \(2+3=5\).
උත්තර දෙන්න : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

උදාහරණ . වියේටා ප්‍රමේයයේ ප්‍රතිවර්තනය භාවිතා කරමින්, චතුරස්‍ර සමීකරණයේ මූලයන් සොයන්න:
අ) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); ඇ) \(x^2+9x+20=0\); ඈ) \(x^2-88x+780=0\).

විසඳුම :
අ) \(x^2-15x+14=0\) – \(14\) දිරාපත් වන්නේ කුමන සාධකවලටද? \(2\) සහ \(7\), \(-2\) සහ \(-7\), \(-1\) සහ \(-14\), \(1\) සහ \(14\ ) \(15\) දක්වා එකතු වන සංඛ්‍යා යුගල මොනවාද? පිළිතුර: \(1\) සහ \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – \(-4\) දිරාපත් වන්නේ කුමන සාධක වලටද? \(-2\) සහ \(2\), \(4\) සහ \(-1\), \(1\) සහ \(-4\). \(-3\) දක්වා එකතු වන සංඛ්‍යා යුගල මොනවාද? පිළිතුර: \(1\) සහ \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – \(20\) ප්‍රසාරණය වන සාධක මොනවාද? \(4\) සහ \(5\), \(-4\) සහ \(-5\), \(2\) සහ \(10\), \(-2\) සහ \(-10\ ), \(-20\) සහ \(-1\), \(20\) සහ \(1\). \(-9\) දක්වා එකතු වන සංඛ්‍යා යුගල මොනවාද? පිළිතුර: \(-4\) සහ \(-5\).

ඈ) \(x^2-88x+780=0\) – \(780\) දිරාපත් වන්නේ කුමන සාධකවලටද? \(390\) සහ \(2\). ඒවා \(88\) දක්වා එකතු වේවිද? නැත. \(780\) සතුව ඇති වෙනත් ගුණක මොනවාද? \(78\) සහ \(10\). ඒවා \(88\) දක්වා එකතු වේවිද? ඔව්. පිළිතුර: \(78\) සහ \(10\).

අවසාන පදය හැකි සියලු සාධක වලට (අවසාන උදාහරණයේ දී මෙන්) පුළුල් කිරීම අවශ්ය නොවේ. ඔවුන්ගේ එකතුව \(-p\) ලබා දෙන්නේ දැයි ඔබට වහාම පරීක්ෂා කළ හැක.

වැදගත්!වියේටා ප්‍රමේයය සහ පරිවර්තන ප්‍රමේයය ක්‍රියා කරන්නේ , එනම් \(x^2\) හි සංගුණකය එකකට සමාන වන එකක් සමඟ පමණි. අපට මුලින් අඩු නොකළ සමීකරණයක් ලබා දුන්නේ නම්, \(x^2\) ඉදිරියෙන් ඇති සංගුණකයෙන් බෙදීමෙන් එය අඩු කළ හැක.

උදාහරණ වශයෙන්, \(2x^2-4x-6=0\) සමීකරණය ලබා දීමට ඉඩ දෙන්න සහ අපට Vieta හි ප්‍රමේයයක් භාවිතා කිරීමට අවශ්‍ය වේ. නමුත් \(x^2\) හි සංගුණකය \(2\) ට සමාන බැවින් අපට කළ නොහැක. සම්පූර්ණ සමීකරණය \(2\) මගින් බෙදීමෙන් එය ඉවත් කරමු.

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

සූදානම්. දැන් ඔබට සිද්ධාන්ත දෙකම භාවිතා කළ හැකිය.

නිතර අසන ප්රශ්න වලට පිළිතුරු

ප්‍රශ්නය: වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතයෙන් ඔබට ඕනෑම දෙයක් විසඳිය හැකිද?
දී ඇති සමීකරණයේ මූලයන් වීමට ඉඩ දෙන්න. එවිට, Vieta හි ප්‍රමේයය අනුව, නිෂ්පාදිතය ධනාත්මක වන අතර එකතුව සෘණ අංකයක් බව අපි සටහන් කරමු. මෙයින් අදහස් කරන්නේ මූලයන් දෙකම සෘණ සංඛ්යා බවයි. අපි 10 (-1 සහ -10; -2 සහ -5) නිෂ්පාදනයක් ලබා දෙන සාධක යුගල තෝරා ගනිමු. දෙවන සංඛ්යා යුගලය -7 දක්වා එකතු වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ -2 සහ -5 යන ඉලක්කම් මෙම සමීකරණයේ මූලයන් බවයි. අවාසනාවකට නැත. සමීකරණයේ පූර්ණ සංඛ්‍යා නොමැති නම් හෝ සමීකරණයට කිසිසේත්ම මූලයක් නොමැති නම්, Vieta හි ප්‍රමේයය උදව් නොවනු ඇත. මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබ භාවිතා කළ යුතුය වෙනස්කම් කරන . වාසනාවකට මෙන්, සමීකරණ වලින් 80% ක් ඇත පාසල් පාඨමාලාවගණිතයට සම්පූර්ණ විසඳුම් ඇත.

වියේටා ප්‍රමේයය (වඩාත් නිවැරදිව, ප්‍රමේයය ප්රමේයයේ සංවාදය Vieta) චතුරස්රාකාර සමීකරණ විසඳීම සඳහා කාලය අඩු කිරීමට ඔබට ඉඩ සලසයි. ඔබ එය භාවිතා කරන්නේ කෙසේදැයි දැන සිටිය යුතුය. වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතයෙන් චතුරස්‍ර සමීකරණ විසඳීමට ඉගෙන ගන්නේ කෙසේද? පොඩ්ඩක් හිතල බැලුවොත් අමාරු නෑ.

දැන් අපි කතා කරන්නේ වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතයෙන් අඩු කළ චතුරස්‍ර සමීකරණයක් යනු a, එනම් x² හි සංගුණකය එකකට සමාන වන සමීකරණයකි. වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතයෙන් ලබා නොදෙන චතුරස්‍ර සමීකරණ විසඳිය හැකි නමුත් අවම වශයෙන් එක් මූලයක් පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් නොවේ. ඒවා අනුමාන කිරීමට වඩා දුෂ්කර ය.

වියේටා ප්‍රමේයයේ ප්‍රතිලෝම ප්‍රමේයය මෙසේ සඳහන් කරයි: සංඛ්‍යා x1 සහ x2 එවැනි නම්

එවිට x1 සහ x2 චතුරස්‍ර සමීකරණයේ මූලයන් වේ

වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතයෙන් චතුරස්‍ර සමීකරණයක් විසඳන විට, හැකි වන්නේ විකල්ප 4ක් පමණි. ඔබට තර්ක කිරීමේ රේඛාව මතක නම්, ඔබට ඉතා ඉක්මනින් සම්පූර්ණ මූලයන් සොයා ගැනීමට ඉගෙන ගත හැකිය.

I. q ධන අංකයක් නම්,

මෙයින් අදහස් කරන්නේ x1 සහ x2 යන මූලයන් එකම ලකුණේ සංඛ්‍යා බවයි (එකම සලකුණු සහිත සංඛ්‍යා පමණක් ධන සංඛ්‍යාවක් නිපදවන බැවින්).

අයි.ඒ. -p ධන අංකයක් නම්, (පිළිවෙලින්, පි<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

අයි.බී. -p යනු සෘණ අංකයක් නම්, (පිළිවෙලින්, p>0), එවිට මූල දෙකම සෘණ සංඛ්‍යා වේ (අපි එකම ලකුණේ සංඛ්‍යා එකතු කර සෘණ අංකයක් ලබා ගත්තෙමු).

II. q යනු සෘණ අංකයක් නම්,

මෙයින් අදහස් කරන්නේ x1 සහ x2 යන මූලයන් එකිනෙකට වෙනස් ලකුණු ඇති බවයි (සංඛ්‍යා ගුණ කිරීමේදී සෘණ අංකයක් ලැබෙන්නේ සාධකවල ලකුණු වෙනස් වූ විට පමණි). මෙම අවස්ථාවෙහිදී, x1+x2 තවදුරටත් එකතුවක් නොව, වෙනසක් (සියල්ලට පසු, සමඟ අංක එකතු කිරීමේදී විවිධ සංඥාඅපි විශාල මොඩියුලයෙන් කුඩා දේ අඩු කරමු). එබැවින්, x1+x2 මඟින් x1 සහ x2 මූලයන් කොපමණ වෙනස් වේද යන්න පෙන්වයි, එනම් එක් මූලයක් අනෙකට වඩා කොපමණ විශාලද (නිරපේක්ෂ අගයෙන්).

II.a -p ධන අංකයක් නම්, (එනම්, පි<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. -p යනු සෘණ අංකයක් නම්, (p>0), එවිට විශාල (මොඩියුල) මූලය සෘණ අංකයකි.

උදාහරණ භාවිතා කරමින් වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතා කරමින් චතුරස්‍ර සමීකරණ විසඳීම සලකා බලමු.

වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතයෙන් ලබා දී ඇති චතුරස්‍ර සමීකරණය විසඳන්න:

මෙහි q=12>0, එබැවින් x1 සහ x2 යන මූලයන් එකම ලකුණේ අංක වේ. ඒවායේ එකතුව -p=7>0, එබැවින් මූල දෙකම ධන සංඛ්‍යා වේ. අපි නිඛිල තෝරනවා එහි නිෂ්පාදිතය 12 ට සමාන වේ. මේවා 1 සහ 12, 2 සහ 6, 3 සහ 4 වේ. 3 සහ 4 යුගල සඳහා එකතුව 7 වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ 3 සහ 4 සමීකරණයේ මූලයන් බවයි.

මෙම උදාහරණයේ, q=16>0, එනම් x1 සහ x2 යන මූලයන් එකම ලකුණේ සංඛ්‍යා වේ. ඒවායේ එකතුව -p=-10 වේ<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

මෙහි q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, එවිට විශාල සංඛ්යාව ධනාත්මක වේ. එබැවින් මූලයන් 5 සහ -3 වේ.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

François Viète (1540-1603) - ගණිතඥයා, සුප්‍රසිද්ධ Viète සූත්‍ර නිර්මාතෘ

වියේටා ප්‍රමේයයචතුරස්රාකාර සමීකරණ ඉක්මනින් විසඳීමට අවශ්ය වේ (සරල වචන වලින්).

වඩාත් විස්තරාත්මකව, එසේ නම් Vieta හි ප්‍රමේයය නම් දී ඇති චතුරස්‍ර සමීකරණයක මූලයන්ගේ එකතුව ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණ සමඟ ගන්නා ලද දෙවන සංගුණකයට සමාන වන අතර නිෂ්පාදිතය නිදහස් පදයට සමාන වේ. මූලයන් ඇති ඕනෑම අඩු කළ චතුරස්‍ර සමීකරණයකට මෙම ගුණය ඇත.

Vieta ගේ ප්‍රමේයය භාවිතා කරමින්, ඔබට තේරීමෙන් චතුරස්‍ර සමීකරණ පහසුවෙන් විසඳිය හැකිය, එබැවින් අපගේ ප්‍රීතිමත් 7 වන ශ්‍රේණිය සඳහා කඩුවක් අතැති මෙම ගණිතඥයාට “ස්තූතියි” යැයි කියමු.

වියේටා ප්‍රමේයය පිළිබඳ සාධනය

ප්‍රමේයය ඔප්පු කිරීම සඳහා, ඔබට සුප්‍රසිද්ධ මූල සූත්‍ර භාවිතා කළ හැකිය, එයට ස්තූතිවන්ත වන පරිදි අපි චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන්ගේ එකතුව සහ ගුණිතය සම්පාදනය කරන්නෙමු. මෙයින් පසුව පමණක් අපට ඔවුන් සමාන බව සහතික කර ගත හැකි අතර, ඒ අනුව, .

අපට සමීකරණයක් ඇතැයි කියමු: . මෙම සමීකරණයට පහත මූලයන් ඇත: සහ . අපි එය ඔප්පු කරමු,.

චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මූලයන් සඳහා වන සූත්රවලට අනුව:

1. මුල්වල එකතුව සොයන්න:

අපි මෙම සමීකරණය දෙස බලමු, අපි එය හරියටම මේ ආකාරයට ලබා ගත්තේ කෙසේද:

= .

පියවර 1. භාග පොදු හරයකට අඩු කිරීම, එය හැරෙන්නේ:

= = .

පියවර 2. අපට වරහන් විවෘත කිරීමට අවශ්‍ය කොටසක් ඇත:

අපි කොටස 2 කින් අඩු කර ලබා ගනිමු:

අපි වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතා කරමින් චතුරස්‍ර සමීකරණයක මූලයන්ගේ එකතුව සඳහා සම්බන්ධය ඔප්පු කර ඇත්තෙමු.

2. මුල්වල නිෂ්පාදිතය සොයන්න:

= = = = = .

අපි මෙම සමීකරණය ඔප්පු කරමු:

පියවර 1. භාග ගුණ කිරීම සඳහා රීතියක් ඇත, ඒ අනුව අපි මෙම සමීකරණය ගුණ කරමු:

දැන් අපි වර්ග මූලයේ අර්ථ දැක්වීම සිහිපත් කර ගණනය කරන්න:

= .

පියවර 3. චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ වෙනස්කම් කිරීම අපි සිහිපත් කරමු: . එබැවින්, D (වෙනස් කොට සැලකීම) වෙනුවට, අපි අවසාන භාගයේ ආදේශ කරමු, එවිට එය හැරෙන්නේ:

= .

පියවර 4. වරහන් විවෘත කර කොටසට සමාන පද එක් කරන්න:

පියවර 5. අපි "4a" කෙටි කර ලබා ගනිමු.

එබැවින් අපි වියේටා ප්‍රමේයය භාවිතා කරමින් මූලයන්ගේ නිෂ්පාදනය සඳහා ඇති සම්බන්ධය ඔප්පු කර ඇත්තෙමු.

වැදගත්!වෙනස් කොට සැලකීම ශුන්‍ය නම්, චතුරස්‍ර සමීකරණයට ඇත්තේ එක් මූලයක් පමණි.

ප්‍රමේයය වියේටා ප්‍රමේයයට පරිවර්තනය වේ

ප්‍රමේයය වියේටා ප්‍රමේයය වෙත ප්‍රතිලෝම භාවිතා කරමින්, අපගේ සමීකරණය නිවැරදිව විසඳී ඇත්දැයි පරීක්ෂා කළ හැක. ප්රමේයයම තේරුම් ගැනීමට, ඔබ එය වඩාත් විස්තරාත්මකව සලකා බැලිය යුතුය.

ඉලක්කම් මේ වගේ නම්:

තවද, එවිට ඒවා චතුරස්රාකාර සමීකරණයේ මූලයන් වේ.

වියේටාගේ පරිවර්තන ප්‍රමේයය පිළිබඳ සාධනය

පියවර 1.අපි එහි සංගුණක සඳහා ප්‍රකාශන සමීකරණයට ආදේශ කරමු:

පියවර 2.අපි සමීකරණයේ වම් පැත්ත පරිවර්තනය කරමු:

පියවර 3. අපි සමීකරණයේ මූලයන් සොයා ගනිමු, මේ සඳහා අපි නිෂ්පාදනයේ ශුන්‍යයට සමාන ගුණය භාවිතා කරමු:

නැත්නම් . එය පැමිණෙන්නේ කොහෙන්ද: හෝ .

Vieta's theorem භාවිතා කරන විසඳුම් සමඟ උදාහරණ

උදාහරණ 1

ව්යායාම කරන්න

සමීකරණයේ මූලයන් සොයා නොගෙන චතුරස්රාකාර සමීකරණයක මුල්වල වර්ගවල එකතුව, නිෂ්පාදනය සහ එකතුව සොයන්න.

විසඳුම

පියවර 1. විචක්ෂණ සූත්‍රය සිහි කරමු. අපි අකුරු සඳහා අපගේ අංක ආදේශ කරමු. එනම්, , – මෙය ප්‍රතිස්ථාපනය කරයි , සහ . එය මෙයින් පහත දැක්වේ:

එය හැරෙන්නේ:

මාතෘකාව = "(! LANG: QuickLaTeX.com විසින් ඉදිරිපත් කරන ලදී" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

අපි ඒවායේ එකතුව සහ නිෂ්පාදිතය හරහා මුල්වල වර්ගවල එකතුව ප්‍රකාශ කරමු:

උත්තර දෙන්න

7; 12; 25.

උදාහරණය 2

ව්යායාම කරන්න

සමීකරණය විසඳන්න. කෙසේ වෙතත්, චතුරස්රාකාර සමීකරණ සූත්ර භාවිතා නොකරන්න.

විසඳුම

මෙම සමීකරණයට වෙනස්කම් (D) ශුන්‍යයට වඩා වැඩි මූලයන් ඇත. ඒ අනුව, Vieta හි ප්‍රමේයයට අනුව, මෙම සමීකරණයේ මූලයන්ගේ එකතුව 4 ට සමාන වන අතර, නිෂ්පාදිතය 5 වේ. පළමුව, අපි සංඛ්‍යාවේ බෙදුම්කරුවන් තීරණය කරමු, එහි එකතුව 4 ට සමාන වේ. මේවා සංඛ්‍යා " 5" සහ "-1". ඔවුන්ගේ නිෂ්පාදිතය සමාන වේ - 5, සහ ඒවායේ එකතුව - 4. මෙයින් අදහස් වන්නේ, Vieta හි ප්රමේයයට ප්රතිලෝම ප්රමේයය අනුව, මෙම සමීකරණයේ මූලයන් වේ.

උත්තර දෙන්න

සහ උදාහරණය 4

ව්යායාම කරන්න

සෑම මූලයක්ම සමීකරණයේ අනුරූප මූල මෙන් දෙගුණයක් වන සමීකරණයක් ලියන්න:

විසඳුම

Vieta හි ප්‍රමේයයට අනුව, මෙම සමීකරණයේ මූලයන්ගේ එකතුව 12 ට සමාන වන අතර, නිෂ්පාදිතය = 7. මෙයින් අදහස් වන්නේ මූලයන් දෙකක් ධනාත්මක බවයි.

නව සමීකරණයේ මූලයන්ගේ එකතුව සමාන වනු ඇත:

සහ වැඩ.

ප්‍රමේයය වියේටා ප්‍රමේයයට ප්‍රතිලෝමව අනුව, නව සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත:

උත්තර දෙන්න

ප්රතිඵලය සමීකරණයක් වන අතර, එහි එක් එක් මූලය මෙන් දෙගුණයක් විශාල වේ:

ඉතින්, අපි Vieta's theorem භාවිතා කර සමීකරණය විසඳන්නේ කෙසේදැයි සොයා බැලුවෙමු. චතුරස්රාකාර සමීකරණවල මූලයන් සම්බන්ධ ගැටළු ඔබ විසඳන්නේ නම් මෙම ප්රමේයය භාවිතා කිරීම ඉතා පහසු වේ. එනම්, සූත්‍රයේ නිදහස් පදය ධන සංඛ්‍යාවක් නම් සහ චතුරස්‍ර සමීකරණයට සැබෑ මූලයන් තිබේ නම්, ඒ දෙකම සෘණ හෝ ධන විය හැකිය.

නිදහස් පදය සෘණ අංකයක් නම් සහ චතුරස්රාකාර සමීකරණයට සැබෑ මූලයන් තිබේ නම්, සංඥා දෙකම වෙනස් වේ. එනම්, එක් මූලයක් ධනාත්මක නම්, අනෙක් මූලය ඍණ පමණක් වනු ඇත.

ප්රයෝජනවත් මූලාශ්ර:

Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A 8 වන ශ්රේණියේ: මොස්කව් "බුද්ධත්වය", 2016 - 318 පි.
Rubin A.G., Chulkov P.V - පෙළ පොත වීජ ගණිතය 8 වන ශ්රේණියේ: මොස්කව් "බාලස්", 2015 - 237 පි.
Nikolsky S. M., Potopav M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. - වීජ ගණිතය 8 වන ශ්රේණිය: මොස්කව් "බුද්ධත්වය", 2014 - 300

Vieta's theorem, inverse Vieta's formula සහ dummies සඳහා විසඳුම් සහිත උදාහරණයාවත්කාලීන කරන ලද්දේ: නොවැම්බර් 22, 2019 විසින්: විද්යාත්මක ලිපි.රු