මූලික ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර යනු මූලික ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අතර සම්බන්ධතා ඇති කරන සූත්‍ර වේ. Sine, cosine, tangent සහ cotangent බොහෝ සම්බන්ධතා මගින් අන්තර් සම්බන්ධිත වේ. ප්රධාන ඒවා පහත දැක්වේ ත්රිකෝණමිතික සූත්ර, සහ පහසුව සඳහා අපි ඒවා අරමුණ අනුව කණ්ඩායම් කරන්නෙමු. මෙම සූත්‍ර භාවිතා කිරීමෙන් ඔබට සාමාන්‍ය ත්‍රිකෝණමිතිය පාඨමාලාවකින් ඕනෑම ගැටලුවක් පාහේ විසඳාගත හැක. පහත දැක්වෙන්නේ සූත්‍ර පමණක් වන අතර ඒවායේ නිගමනය නොවන බව අපි වහාම සටහන් කරමු, එය වෙනම ලිපිවල සාකච්ඡා කෙරේ.

ත්‍රිකෝණමිතියෙහි මූලික අනන්‍යතා

ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතා එක් කෝණයක සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් අතර සම්බන්ධතාවයක් සපයන අතර, එක් ශ්‍රිතයක් තවත් එකක් අනුව ප්‍රකාශ කිරීමට ඉඩ සලසයි.

ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතා

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 1 = 2 α sin α

මෙම අනන්‍යතා ඒකක කවය, සයින් (පව්), කෝසයින් (කොස්), ස්පර්ශක (ටීජී) සහ කෝටැන්ජන්ට් (සීටීජී) යන නිර්වචනවලින් සෘජුවම අනුගමනය කරයි.

අඩු කිරීමේ සූත්ර

අඩු කිරීමේ සූත්‍ර ඔබට අත්තනෝමතික සහ අත්තනෝමතික ලෙස විශාල කෝණ සමඟ වැඩ කිරීමේ සිට අංශක 0 සිට 90 දක්වා කෝණ සමඟ වැඩ කිරීමට ඉඩ සලසයි.

අඩු කිරීමේ සූත්ර

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 sin - α + 2 π cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α, c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos π, 2, α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 cos α, cos α z = π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α, c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2, sin π + α + 2 π z = π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z, cos α π = sin α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α, c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π + 2 - = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g

අඩු කිරීමේ සූත්‍ර යනු ආවර්තිතා ප්‍රතිවිපාකයකි ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත.

ත්‍රිකෝණමිතික එකතු කිරීමේ සූත්‍ර

මෙම කෝණවල ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත අනුව කෝණවල එකතුව හෝ වෙනසෙහි ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතය ප්‍රකාශ කිරීමට ත්‍රිකෝණමිතියෙහි එකතු කිරීමේ සූත්‍ර ඔබට ඉඩ සලසයි.

ත්‍රිකෝණමිතික එකතු කිරීමේ සූත්‍ර

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α g sin α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

එකතු කිරීමේ සූත්‍ර මත පදනම්ව, බහු කෝණ සඳහා ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර ව්‍යුත්පන්න වේ.

බහු කෝණ සඳහා සූත්‍ර: ද්විත්ව, ත්‍රිත්ව, ආදිය.

ද්විත්ව සහ ත්රිත්ව කෝණ සූත්ර

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 · α = 2 t g α 1 - t g 2 α සමඟ t g 2 α = t g 2 සමඟ - 1 2 · t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin 3 α - 4 sin α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

අර්ධ කෝණ සූත්ර

ත්‍රිකෝණමිතියෙහි අර්ධ කෝණ සූත්‍ර ද්විත්ව කෝණ සූත්‍රවල ප්‍රතිඵලයක් වන අතර අර්ධ කෝණයක මූලික ශ්‍රිත සහ සම්පූර්ණ කෝණයක කෝසයින් අතර සම්බන්ධය ප්‍රකාශ කරයි.

අර්ධ කෝණ සූත්ර

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

උපාධි අඩු කිරීමේ සූත්ර

උපාධි අඩු කිරීමේ සූත්ර

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

ගණනය කිරීම් සිදු කරන විට අපහසු බලයන් සමඟ වැඩ කිරීම බොහෝ විට අපහසු වේ. අංශක අඩු කිරීමේ සූත්‍ර ඔබට ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතයක උපාධිය අත්තනෝමතික ලෙස විශාල සිට පළමු දක්වා අඩු කිරීමට ඉඩ සලසයි. මෙන්න ඔවුන්ගේ පොදු මතය:

උපාධි අඩු කිරීමේ සූත්‍රවල සාමාන්‍ය දැක්ම

සඳහා පවා n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

ඔත්තේ n සඳහා

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල එකතුව සහ වෙනස

ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල වෙනස සහ එකතුව නිෂ්පාදනයක් ලෙස දැක්විය හැක. සයින් සහ කොසයිනවල සාධක වෙනස්කම් විසඳීමේදී භාවිතා කිරීමට ඉතා පහසු වේ ත්රිකෝණමිතික සමීකරණසහ ප්‍රකාශන සරල කිරීම.

ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල එකතුව සහ වෙනස

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 sin β - α 2

ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල නිෂ්පාදනය

ශ්‍රිතවල එකතුව සහ වෙනස සඳහා වන සූත්‍ර මඟින් කෙනෙකුට තම නිෂ්පාදනයට යාමට ඉඩ දෙන්නේ නම්, ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල ගුණිතය සඳහා වන සූත්‍ර ප්‍රතිලෝම සංක්‍රාන්තිය සිදු කරයි - නිෂ්පාදනයේ සිට එකතුව දක්වා. සයින්, කෝසයින සහ සයින් බයි කෝසයිනවල නිෂ්පාදන සඳහා සූත්‍ර සලකා බලනු ලැබේ.

ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල ගුණිතය සඳහා සූත්‍ර

sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

විශ්ව ත්‍රිකෝණමිතික ආදේශනය

සියලුම මූලික ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත - සයින්, කෝසයින්, ස්පර්ශක සහ කෝටැන්ජන්ට් - අර්ධ කෝණයක ස්පර්ශකය අනුව ප්‍රකාශ කළ හැක.

විශ්ව ත්‍රිකෝණමිතික ආදේශනය

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c = 2 t g 2 t g α 2

ඔබ පෙළෙහි දෝෂයක් දුටුවහොත්, කරුණාකර එය උද්දීපනය කර Ctrl+Enter ඔබන්න

ත්‍රිකෝණමිතියෙහි මූලික සූත්‍ර. පාඩම අංක 1

ත්‍රිකෝණමිතියෙහි භාවිතා වන සූත්‍ර සංඛ්‍යාව තරමක් විශාලය (“සූත්‍ර” යන්නෙන් අප අදහස් කරන්නේ අර්ථ දැක්වීම් නොවේ (උදාහරණයක් ලෙස, tgx=sinx/cosx), නමුත් sin2x=2sinxcosx වැනි සමාන සමානතා). මෙම සූත්‍ර බහුලත්වය සැරිසැරීමට පහසු වන අතර අර්ථ විරහිත කැටි ගැසීම් වලින් සිසුන් වෙහෙසට පත් නොකිරීමට, ඒවා අතර වඩාත්ම වැදගත් ඒවා ඉස්මතු කිරීම අවශ්‍ය වේ. ඒවායින් කිහිපයක් තිබේ - තුනක් පමණි. අනෙක් සියල්ලම මෙම සූත්ර තුනෙන් අනුගමනය කරයි. එකතුවේ සහ වෙනසෙහි සයින් සහ කෝසයින් සඳහා මූලික ත්‍රිකෝණමිතික අනන්‍යතාවය සහ සූත්‍ර මෙයයි:

Sin 2 x+cos 2 x=1 (1)

Sin(x±y)=sinxcosy±sinycosx (2)

Cos(x±y)=cosxcosy±sinxsiny (3)

මෙම සූත්‍ර තුනෙන් සයින් සහ කෝසයින් වල සියලුම ගුණාංග (ආවර්තිතා, කාල අගය, සයින් අගය 30 0 = π/6=1/2, ආදිය) මෙම දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, පාසල් විෂය මාලාවවිධිමත් ලෙස අනවශ්‍ය, අනවශ්‍ය තොරතුරු රාශියක් භාවිතා වේ. ඉතින්, "1-3" සූත්ර ත්රිකෝණමිතික රාජධානියේ පාලකයන් වේ. අපි සමගාමී සූත්‍ර වෙත යමු:

1) බහු කෝණවල සයින් සහ කෝසයින්

අපි x=y අගය (2) සහ (3) ලෙස ආදේශ කළහොත් අපට ලැබෙන්නේ:

Sin2x=2sinxcosх; sin0=sinxcosx-sinxcosx=0

Cos2x=cos 2 x-sin 2 x; cos0=cos 2 x+sin 2 x=1

අපි නිගමනය කළේ sin0=0; cos0=1, sine සහ cosine වල ජ්‍යාමිතික අර්ථ නිරූපණයට යොමු නොවී. ඒ හා සමානව, "2-3" සූත්‍ර දෙවරක් යෙදීමෙන්, අපට sin3x සඳහා ප්‍රකාශන ලබා ගත හැක; cos3x; sin4x; cos4x, ආදිය.

Sin3x = sin(2x+x) = sin2xcosx+sinxcos2x = 2sinxcos 2 x+sinx(cos 2 x-sin 2 x) = 2sinx(1-sin 2 x)+sinx(1-2sin 2 x) = 3sinx-4s x

සිසුන් සඳහා කාර්යය: cos3x සඳහා සමාන ප්‍රකාශන ව්‍යුත්පන්න කරන්න; sin4x; cos4x

2) උපාධි අඩු කිරීමේ සූත්ර

බහු කෝණවල කෝසයින් සහ සයින් අනුව සයින් සහ කෝසයින් වල බල ප්‍රකාශ කිරීමෙන් ප්‍රතිලෝම ගැටළුව විසඳන්න.

උදාහරණයක් ලෙස: cos2x=cos 2 x-sin 2 x=2cos 2 x-1, එහෙයින්: cos 2 x=1/2+cos2x/2

Cos2x=cos 2 x-sin 2 x=1-2sin 2 x, එහෙයින්: sin 2 x=1/2-cos2x/2

මෙම සූත්ර බොහෝ විට භාවිතා වේ. ඒවා වඩා හොඳින් අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා, ඔවුන්ගේ වම් සහ දකුණු පැතිවල ප්‍රස්ථාර ඇඳීමට මම ඔබට උපදෙස් දෙමි. කොසයින් සහ සයින් වර්ගවල ප්‍රස්ථාර "y=1/2" සරල රේඛාවේ ප්‍රස්ථාරය වටා "එතන්න" (මෙය බොහෝ කාල පරිච්ඡේදවල cos 2 x සහ sin 2 x හි සාමාන්‍ය අගයයි). මෙම අවස්ථාවෙහිදී, දෝලනය වන සංඛ්‍යාතය මුල් කාලයට සාපේක්ෂව දෙගුණ වේ (කාලසීමාව cos කාර්යයන් 2 x sin 2 x 2π /2=π ට සමාන වේ), සහ දෝලනවල විස්තාරය අඩකින් අඩු වේ (cos2x ට පෙර සංගුණකය 1/2).

ගැටලුව: Express sin 3 x; cos 3 x; sin 4 x; cos 4 x බහු කෝණවල කොසයින සහ සයින හරහා.

3) අඩු කිරීමේ සූත්ර

ඔවුන් ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතවල ආවර්තිතා භාවිතා කරන අතර, ඒවායේ අගයන් පළමු කාර්තුවේ අගයන්ගෙන් ත්‍රිකෝණමිතික කවයේ ඕනෑම කාර්තුවක ගණනය කිරීමට ඉඩ සලසයි. අඩු කිරීමේ සූත්‍ර යනු “ප්‍රධාන” සූත්‍රවල (2-3) විශේෂ අවස්ථා වේ: cos(x+π/2)=cosxcos π/2-sinxsin π/2=cosx*0-sinx*1=sinx

එබැවින් Cos(x+ π/2) = sinx

කාර්යය: sin (x+ π/2) සඳහා අඩු කිරීමේ සූත්‍ර ව්‍යුත්පන්න කරන්න; cos(x+ 3 π/2)

4) කොසයින් සහ සයින් වල එකතුව හෝ වෙනස නිෂ්පාදනයක් බවට පරිවර්තනය කරන සූත්‍ර සහ අනෙක් අතට.

කෝණ දෙකක එකතුවේ සහ වෙනසෙහි සයිනය සඳහා සූත්‍රය ලියන්න:

Sin(x+y) = sinxcosy+sinycosx (1)

Sin(x-y) = sinxcosy-sinycosx (2)

මෙම සමානාත්මතාවයේ වම් සහ දකුණු පැති එකතු කරමු:

Sin(x+y) +sin(x-y) = sinxcosy +sinycosx +sinxcosy –sinycosx

සමාන නියමයන් අවලංගු වේ, එසේ:

Sin(x+y) +sin(x-y) = 2sinxcosy (*)

a) දකුණේ සිට වමට (*) කියවන විට, අපට ලැබෙන්නේ:

Sinxcosy= 1/2(sin(x+y) + sin(x-y)) (4)

කෝණ දෙකක සයිනවල ගුණිතය එකතුවේ සයිනවල එකතුවෙන් අඩකට සහ මෙම කෝණවල වෙනසට සමාන වේ.

ආ) (*) වමේ සිට දකුණට කියවන විට, එය දැක්වීමට පහසු වේ:

x-y = c. මෙතැන් සිට අපි සොයා ගනිමු Xසහ දීහරහා ආර්සහ සමඟ, මෙම සමානතා දෙකෙහි වම් සහ දකුණු පැති එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීම:

x = (p+c)/2, y = (p-c)/2, (x+y) වෙනුවට (*) සහ (x-y) ව්‍යුත්පන්න නව විචල්‍යයන් ආදේශ කිරීම ආර්සහ සමඟ, නිෂ්පාදනය හරහා සයින එකතුව සිතමු:

sinp + sinc =2sin(p+c)/2cos(p-c)/2 (5)

එබැවින්, එකතුවේ සයින් සහ කෝණවල වෙනස සඳහා මූලික සූත්‍රයේ සෘජු ප්‍රතිවිපාකයක් නව සම්බන්ධතා දෙකක් (4) සහ (5) බවට පත්වේ.

ඇ) දැන්, සමානතා (1) සහ (2) වම් සහ දකුණු පැති එකතු කරනවා වෙනුවට, අපි ඒවා එකිනෙකින් අඩු කරන්නෙමු:

sin(x+y) – sin(x-y) = 2sinycosx (6)

මෙම අනන්‍යතාවය දකුණේ සිට වමට කියවීම (4) ට සමාන සූත්‍රයකට මඟ පාදයි, එය උනන්දුවක් නොදක්වයි, මන්ද සයින් සහ කොසයින් නිෂ්පාදන සයින් එකතුවක් බවට වියෝජනය කරන්නේ කෙසේදැයි අපි දැනටමත් දනිමු (බලන්න (4)). (6) වමේ සිට දකුණට කියවීමෙන් සයින්වල වෙනස නිෂ්පාදනයක් බවට පත් කරන සූත්‍රයක් ලබා දේ:

sinp – sinc = 2sin((p-c)/2) * cos((p+c)/2) (7)

ඉතින්, එක් මූලික අනන්‍යතාවයකින් sin (x±y) = sinxcosy±sinycosx, අපට නව ඒවා තුනක් (4), (5), (7) ලැබුණි.

වෙනත් මූලික අනන්‍යතා cos (x±y) = cosxcosy±sinxsiny සමඟ කරන ලද සමාන කාර්යයක් දැනටමත් නව ඒවා හතරකට මග පාදයි:

Cosxcosy = ½ (cos(x+y) + cos (x-y)); cosp + cosc ​​= 2cos((p+c)/2)cos((p-c)/2);

Sinxsiny = ½ (cos(x-y) - cos(x+y)); cosp-cosc = -2sin((p-c)/2)sin((p+c)/2)

කාර්යය: සයින් සහ කොසයින් එකතුව නිෂ්පාදනයක් බවට පරිවර්තනය කරන්න:

Sinx +cosy = ? විසඳුම: ඔබ සූත්‍රය ව්‍යුත්පන්න නොකිරීමට උත්සාහ කරන්නේ නම්, නමුත් වහාම ත්‍රිකෝණමිතික සූත්‍ර වගුවක ඇති පිළිතුර දෙස බැලුවහොත්, ඔබට සූදානම් කළ ප්‍රති result ලයක් සොයාගත නොහැක. sinx+cosy = ... සඳහා වෙනත් සූත්‍රයක් කටපාඩම් කර මේසයට ඇතුළු කිරීමට අවශ්‍ය නොවන බව සිසුන් තේරුම් ගත යුතුය, මන්ද ඕනෑම කෝසයිනයක් සයින් ලෙස නිරූපණය කළ හැකි අතර අනෙක් අතට අඩු කිරීමේ සූත්‍ර භාවිතා කරයි, උදාහරණයක් ලෙස: sinx = cos ( π/2 - x), සුවපහසු = පාපය (π/2 - y). එබැවින්: sinx+cosy = sinx + sin (π/2 – y) = 2sin ((x+π/2 – y)/2)cos((x - π/2 + y)/2.