ලක්ෂ්‍යය සහ රේඛාව මූලික වේ ජ්යාමිතික හැඩතලගුවන් යානයක.

ලක්ෂ්‍යයක් සහ රේඛාවක් පිළිබඳ නිර්වචනය ජ්‍යාමිතිය තුළ හඳුන්වා දී නොමැත;

ලකුණු ප්‍රාග්ධන වලින් දක්වා ඇත (ප්‍රාග්ධන, ප්‍රාග්ධන) ලතින් අක්ෂර වලින්: A, B, C, D, ...

සෘජු රේඛා එක් කුඩා (කුඩා) ලතින් අකුරකින් දැක්වේ, උදාහරණයක් ලෙස,

- කෙළින්ම ඒ.

සරල රේඛාව සමන්විත වේ අනන්ත සංඛ්යාවලකුණු සහ ආරම්භයක් හෝ අවසානයක් නොමැත. රූපය සරල රේඛාවේ කොටසක් පමණක් නිරූපණය කරයි, නමුත් එය අභ්‍යවකාශයේ අසීමිත ලෙස විහිදෙන බවත්, දෙපැත්තටම දින නියමයක් නොමැතිව ඉදිරියට යන බවත් තේරුම් ගත හැකිය.

රේඛාවක් මත පිහිටා ඇති ලකුණු මෙම රේඛාවට අයත් යැයි කියනු ලැබේ. අනුබද්ධය ∈ ලකුණින් සලකුණු කර ඇත. රේඛාවකින් පිටත ඇති ලකුණු මෙම රේඛාවට අයත් නොවන බව කියනු ලැබේ. "අයිති නැත" ලකුණ ∉ වේ.

උදාහරණයක් ලෙස, B ලක්ෂ්‍යය අයත් වන්නේ a රේඛාවට (ලියන්න: B∈a),

F ලක්ෂ්‍යය a රේඛාවට අයත් නොවේ, (ලියන්න: F∉a).

තලයක ලක්ෂ්‍ය සහ රේඛා අයත් වීමේ මූලික ගුණාංග:

රේඛාව කුමක් වුවත්, මෙම රේඛාවට අයත් වන ලකුණු සහ එයට අයත් නොවන ලක්ෂ්‍ය තිබේ.

ඕනෑම ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හරහා ඔබට සරල රේඛාවක් අඳින්න පුළුවන්, සහ එකක් පමණයි.

රේඛාවේ ඇති ලක්ෂ්‍යවල නම් වලට පසුව විශාල ලතින් අකුරු දෙකකින් රේඛා ද දැක්වේ.

- කෙළින්ම AB.

- මෙම රේඛාව MK හෝ MN හෝ NK ලෙස හැඳින්විය හැක.

රේඛා දෙකක් ඡේදනය වීමට හෝ නොවීමට ඉඩ ඇත. රේඛා ඡේදනය නොවන්නේ නම්, ඒවාට නැත පොදු කරුණු. රේඛා ඡේදනය වන්නේ නම්, ඒවාට එක් පොදු කරුණක් ඇත. හරස් ලකුණ - ∩ .

උදාහරණයක් ලෙස, a සහ b රේඛා O ලක්ෂ්‍යයේදී ඡේදනය වේ

(ලියන්න: a ∩ b=O).

c සහ d රේඛා ද ඡේදනය වේ, නමුත් ඒවායේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය රූපයේ දක්වා නැත.

අයත් වීමේ සලකුණු ප්ලැනිමෙට්‍රි පාඨමාලාවෙන් හොඳින් දනී. අපගේ කාර්යය වන්නේ ජ්යාමිතික වස්තූන්ගේ ප්රක්ෂේපණ සම්බන්ධයෙන් ඒවා සලකා බැලීමයි.

ලක්ෂ්‍යයක් තලයකට අයත් වන්නේ එය මෙම තලයේ පිහිටා ඇති රේඛාවකට නම්.

සෘජු තලයකට අයත් වීම නිර්ණායක දෙකෙන් එකකින් තීරණය වේ:

අ) සරල රේඛාවක් මෙම තලයේ ඇති ස්ථාන දෙකක් හරහා ගමන් කරයි;

b) රේඛාවක් ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන අතර මෙම තලයේ ඇති රේඛා වලට සමාන්තර වේ.

මෙම ගුණාංග භාවිතා කරමින්, උදාහරණයක් ලෙස ගැටළුව විසඳා ගනිමු. ගුවන් යානය ත්රිකෝණයකින් නිර්වචනය කරමු ABC. අතුරුදහන් වූ ප්රක්ෂේපණය ඉදිකිරීම සඳහා එය අවශ්ය වේ ඩීලකුණු 1ක් ඩීමෙම ගුවන් යානයට අයත් වේ. ඉදිකිරීම් අනුපිළිවෙල පහත පරිදි වේ (රූපය 2.5).

සහල්. 2.5

තලයකට අයත් ලක්ෂ්‍යයක ප්‍රක්ෂේපන තැනීමට ඩීකාරණය හරහා 2 අපි සරල රේඛා ප්රක්ෂේපණයක් සිදු කරන්නෙමුඈ  ABC, ගුවන් යානයේ වැතිර සිටීම , ත්රිකෝණයේ සහ ලක්ෂ්යයේ එක් පැත්තක් ඡේදනය කිරීමඒ , ත්රිකෝණයේ සහ ලක්ෂ්යයේ එක් පැත්තක් ඡේදනය කිරීම 2 ඩී 2. එවිට 1 2 ලක්ෂය රේඛා වලට අයත් වේ 2 සහ 2 සී IN 2 සහ 1 සී 2. එබැවින්, අපට එහි තිරස් ප්රක්ෂේපණය 1 1 වෙත ලබා ගත හැක , ත්රිකෝණයේ සහ ලක්ෂ්යයේ එක් පැත්තක් ඡේදනය කිරීම 1 සන්නිවේදන මාර්ගය හරහා. සම්බන්ධක ලකුණු 1 1 සහ 2 අපි සරල රේඛා ප්රක්ෂේපණයක් සිදු කරන්නෙමු 1, අපි තිරස් ප්රක්ෂේපණයක් ලබා ගනිමු ඩී 1. ඩී 2 .

කාරණය බව පැහැදිලිය

1 එයට අයත් වන අතර ලක්ෂ්යය සමඟ ප්රක්ෂේපණ සම්බන්ධතාවයේ රේඛාව මත පිහිටා ඇත

ලක්ෂ්‍යයක් හෝ සෘජු තලයකට අයත් වේද යන්න තීරණය කිරීමේ ගැටළු ඉතා සරලව විසඳනු ලැබේ. රූපයේ. රූප සටහන 2.6 එවැනි ගැටළු විසඳීමේ ප්රගතිය පෙන්වයි. ගැටලුව ඉදිරිපත් කිරීමේ පැහැදිලිකම සඳහා, අපි ත්රිකෝණයකින් තලය නිර්වචනය කරමු. සහල්. 2.6 ලක්ෂ්‍යයක් සෘජු තලයකට අයත් වේද යන්න තීරණය කිරීමේ ගැටළු.ලක්ෂ්‍යයක් අයිතිද යන්න තීරණය කිරීම සඳහා  ABCඊ ගුවන් යානය, එහි ඉදිරිපස ප්‍රක්ෂේපණය E 2 හරහා සරල රේඛාවක් අඳින්න  ABCඒ ගුවන් යානය 2. a සරල රේඛාව ගුවන් යානයට අයත් යැයි උපකල්පනය කිරීම ගුවන් යානය, අපි එහි තිරස් ප්රක්ෂේපණය ගොඩනඟමු සහල්. 2.6 ලක්ෂ්‍යයක් සෘජු තලයකට අයත් වේද යන්න තීරණය කිරීමේ ගැටළු. 1 ඡේදනය වන ලකුණු 1 සහ 2. අපි දකින පරිදි (රූපය 2.6, a), කෙළින්ම සහල්. 2.6 ලක්ෂ්‍යයක් සෘජු තලයකට අයත් වේද යන්න තීරණය කිරීමේ ගැටළු. ABC.

1 ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් නොකරයි 1. එබැවින්, කාරණයරේඛාවකට අයත් වීමේ ගැටලුවේදී ABCවී 1. එබැවින්, කාරණයත්රිකෝණ ගුවන් යානා 1. එබැවින්, කාරණය(රූපය 2.6, b), එය සරල රේඛා ප්රක්ෂේපණ වලින් එකක් භාවිතා කිරීමට ප්රමාණවත් වේ 1. එබැවින්, කාරණය ABC 2 තවත් එකක් සාදන්න 1. එබැවින්, කාරණය 1 * එය සලකා බැලීම 1. එබැවින්, කාරණය. අපට පෙනෙන පරිදි, 1. එබැවින්, කාරණය   ABC.

1* සහ

1 නොගැලපේ. එබැවින්, කෙළින්ම 2.4 ගුවන් යානයක මට්ටමේ රේඛා මට්ටමේ රේඛා නිර්වචනය කලින් ලබා දී ඇත. දී ඇති තලයකට අයත් මට්ටමේ රේඛා ලෙස හැඳින්වේ

ප්රධාන

. මෙම රේඛා (සරල රේඛා) විස්තරාත්මක ජ්යාමිතිය පිළිබඳ ගැටළු ගණනාවක් විසඳීම සඳහා සැලකිය යුතු කාර්යභාරයක් ඉටු කරයි.

ත්රිකෝණය මගින් අර්ථ දක්වා ඇති තලයේ මට්ටමේ රේඛා ඉදි කිරීම සලකා බලමු (රූපය 2.7).  ABCසහල්. 2.7 ත්රිකෝණයකින් අර්ථ දක්වා ඇති තලයක ප්රධාන රේඛා ගොඩනැගීම තිරස් තලයඅපි එහි ඉදිරිපස ප්‍රක්ෂේපණය ඇඳීමෙන් ආරම්භ කරමු h 2, එය අක්ෂයට සමාන්තර ලෙස හැඳින්වේ  ABCඔහ් , ත්රිකෝණයේ සහ ලක්ෂ්යයේ එක් පැත්තක් ඡේදනය කිරීම. මෙම තිරස් රේඛාව මෙම තලයට අයත් වන බැවින් එය තලයේ ස්ථාන දෙකක් හරහා ගමන් කරයි , එනම්, ලකුණු , ත්රිකෝණයේ සහ ලක්ෂ්යයේ එක් පැත්තක් ඡේදනය කිරීමසහ 1. ඒවා තිබීම , ත්රිකෝණයේ සහ ලක්ෂ්යයේ එක් පැත්තක් ඡේදනය කිරීමඉදිරිපස ප්රක්ෂේපණ , ත්රිකෝණයේ සහ ලක්ෂ්යයේ එක් පැත්තක් ඡේදනය කිරීම 2 සහ 1 2, සන්නිවේදන මාර්ගය හරහා අපි තිරස් ප්රක්ෂේපණ ලබා ගනිමු ( තිරස් තලය 1 දැනටමත් පවතී) 1 1 . තිත් සම්බන්ධ කිරීම  ABC 1 සහ 1 1, අපට තිරස් ප්රක්ෂේපණයක් ඇත තිරස් තලය 1 තිරස් තලය  ABC. පැතිකඩ ප්රක්ෂේපණය hතිරස් ගුවන් යානා 3 ක්

අක්ෂයට සමාන්තර වනු ඇත  ABCනිර්වචනය අනුව. ඉදිරිපස ගුවන් යානයඑහි ඇඳීම තිරස් ප්‍රක්ෂේපණයකින් ආරම්භ වන එකම වෙනස සමඟ සමාන ආකාරයකින් ඉදිකර ඇත (රූපය 2.7) ඉදිරිපස ගුවන් යානය f 1, එය OX අක්ෂයට සමාන්තර බව දන්නා බැවින්. පැතිකඩ ප්රක්ෂේපණයඉදිරිපස 3 ක් OZ අක්ෂයට සමාන්තර විය යුතු අතර ප්රක්ෂේපණ හරහා ගමන් කළ යුතුය 1, එය OX අක්ෂයට සමාන්තර බව දන්නා බැවින්. පැතිකඩ ප්රක්ෂේපණයසමඟ

එකම ලකුණු වලින් 3, 2 3  ABCසහ 2. ගුවන් යානයේ පැතිකඩ රේඛාව 1 සහ ඉදිරිපස ගුවන් යානයේ පැතිකඩ රේඛාවඅක්ෂවලට සමාන්තරව ප්රක්ෂේපණ 2 ක් OYසහ OZ, සහ පැතිකඩ ප්රක්ෂේපණය ගුවන් යානයේ පැතිකඩ රේඛාව 3 ඡේදනය වන ස්ථාන භාවිතා කරමින් ඉදිරිපසින් ලබා ගත හැක සීසහ 3 තත්  ABC.

ගුවන් යානයක ප්‍රධාන රේඛා තැනීමේදී, ඔබ එක් රීතියක් පමණක් මතක තබා ගත යුතුය: ගැටළුව විසඳීම සඳහා ඔබ සෑම විටම දී ඇති තලයක් සමඟ ඡේදනය වීමේ ස්ථාන දෙකක් ලබා ගත යුතුය. වෙනත් ආකාරයකින් අර්ථ දක්වා ඇති තලයක වැතිර සිටින ප්‍රධාන රේඛා ඉදිකිරීම ඉහත සාකච්ඡා කිරීමට වඩා සංකීර්ණ නොවේ. රූපයේ. ඡේදනය වන සරල රේඛා දෙකකින් අර්ථ දක්වා ඇති තිරස් සහ ඉදිරිපස තලයේ ඉදිකිරීම් රූප සටහන 2.8 පෙන්වයි. ගුවන් යානයසහ 1. එබැවින්, කාරණය.

සහල්. 2.8 ඡේදනය වන සරල රේඛා මගින් නිර්වචනය කරන ලද ගුවන් යානයක ප්රධාන රේඛා ඉදිකිරීම.

සහල්. 3.2රේඛාවල සාපේක්ෂ පිහිටීම

අභ්‍යවකාශයේ රේඛා එකිනෙකට සාපේක්ෂව ස්ථාන තුනෙන් එකක් අල්ලා ගත හැකිය:

1) සමාන්තරව;

2) ඡේදනය;

3) අන්තර් අභිජනනය.

සමාන්තරවඑකම තලයක පිහිටා ඇති සහ පොදු ලකුණු නොමැති සරල රේඛා ලෙස හැඳින්වේ.

රේඛා එකිනෙකට සමාන්තර නම්, CN හි එකම නමේ ඒවායේ ප්රක්ෂේපණ ද සමාන්තර වේ (1.2 කොටස බලන්න).

ඡේදනය වීමඑකම තලයක පිහිටා ඇති සහ එක් පොදු ලක්ෂ්‍යයක් ඇති සරල රේඛා ලෙස හැඳින්වේ.

CN හි ඡේදනය වන රේඛා සඳහා, එකම නමේ ප්‍රක්ෂේපන ලක්ෂ්‍යයේ ප්‍රක්ෂේපන තුළ ඡේදනය වේ. , ත්රිකෝණයේ සහ ලක්ෂ්යයේ එක් පැත්තක් ඡේදනය කිරීම. එපමණක් නොව, මෙම ලක්ෂ්යයේ ඉදිරිපස () සහ තිරස් () ප්රක්ෂේපණ එකම සන්නිවේදන රේඛාව මත විය යුතුය.

හරස් අභිජනනයසෘජු රේඛා ලෙස හැඳින්වේ සමාන්තර ගුවන් යානාසහ පොදු කරුණු නොමැති වීම.

රේඛා ඡේදනය වන්නේ නම්, සීඑන් හි එකම නමේ ඒවායේ ප්‍රක්ෂේපණ ඡේදනය විය හැකි නමුත් එකම නමේ ප්‍රක්ෂේපණවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍ය එකම සම්බන්ධතා රේඛාවේ නොපවතී.

රූපයේ. ලකුණු 3.4 1, එය OX අක්ෂයට සමාන්තර බව දන්නා බැවින්. පැතිකඩ ප්රක්ෂේපණයරේඛාවට අයත් වේ ආ, සහ ලක්ෂ්යය ඩී- කෙලින්ම ගුවන් යානය. මෙම ලක්ෂ්යයන් ප්රක්ෂේපණවල ඉදිරිපස තලයට සමාන දුරක් ඇත. ලක්ෂ්‍යයට සමානයි ඊසහ එෆ්විවිධ රේඛා වලට අයත් වේ, නමුත් ප්රක්ෂේපණවල තිරස් තලයේ සිට එකම දුරින් ඇත. එබැවින්, CN හි ඔවුන්ගේ ඉදිරිපස ප්රක්ෂේපණ සමපාත වේ.

තලයට සාපේක්ෂව ලක්ෂ්‍යයේ පිහිටීම පිළිබඳ අවස්ථා දෙකක් තිබේ: ලක්ෂ්‍යය තලයට අයත් විය හැකිය හෝ එයට අයත් නොවිය හැකිය (රූපය 3.5).

ලක්ෂ්‍යයක් සහ සෘජු තලයකට අයත් වීමේ ලකුණ:

ලක්ෂ්යය ගුවන් යානයට අයත් වේ, එය මෙම තලයේ වැතිර සිටින රේඛාවකට අයත් නම්.

සරල රේඛාව ගුවන් යානයට අයත් වේ, එය සමඟ පොදු ලක්ෂ්ය දෙකක් තිබේ නම් හෝ එය සමඟ එක් පොදු ලක්ෂ්යයක් තිබේ නම් සහ මෙම තලයේ ඇති තවත් රේඛාවකට සමාන්තර වේ.

රූපයේ. 3.5 තලයක් සහ ලකුණු පෙන්වයි ඩීසහ සහල්. 2.6 ලක්ෂ්‍යයක් සෘජු තලයකට අයත් වේද යන්න තීරණය කිරීමේ ගැටළු.. තිත් ඩීඑය රේඛාවට අයත් බැවින් ගුවන් යානයට අයත් වේ එල්, මෙම තලය සමඟ පොදු කරුණු දෙකක් ඇත - 1 සහ , ත්රිකෝණයේ සහ ලක්ෂ්යයේ එක් පැත්තක් ඡේදනය කිරීම. තිත් සහල්. 2.6 ලක්ෂ්‍යයක් සෘජු තලයකට අයත් වේද යන්න තීරණය කිරීමේ ගැටළු.ගුවන් යානයට අයිති නැති නිසා දී ඇති තලයක වැතිරී එය හරහා සරල රේඛාවක් අඳින්න බැහැ.

රූපයේ. 3.6 තලයක් සහ සරල රේඛාවක් පෙන්වයි ටී, මේ යානයේ වැතිර සිටින නිසා ඇය සමඟ පොදු කරුණක් ඇත 1 සහ රේඛාවට සමාන්තරව ගුවන් යානය.

M යනු ලක්ෂ්‍ය සමූහයක් වන Cartesian නිෂ්පාදනයේ අපි 3 හඳුන්වා දෙමු - දේශීය ආකල්පයඈ පිළිවෙලට ඇති ලකුණු ත්‍රිත්ව (A, B, C) මෙම සම්බන්ධතාවයට අයත් වන්නේ නම්, අපි B ලක්ෂ්‍යය A සහ ​​C ලකුණු අතර පවතින බව පවසන අතර A-B-C යන අංකනය භාවිතා කරමු. හඳුන්වා දුන් සම්බන්ධතාවය පහත ප්‍රත්‍යක්ෂයන් සපුරාලිය යුතුය:

B ලක්ෂ්‍යය A සහ ​​C ලක්ෂ්‍ය අතර පිහිටා තිබේ නම්, A, B, C එකම රේඛාවේ විවිධ ලක්ෂ්‍ය තුනක් වන අතර B C සහ A අතර පිහිටයි.

A සහ B ලක්ෂ්‍ය කුමක් වුවත්, A සහ ​​C අතර B පිහිටා ඇති පරිදි C අවම වශයෙන් එක් ලක්ෂයක්වත් තිබේ.

රේඛාවක ඇති ඕනෑම ලක්ෂ්‍ය තුනක් අතර, අනෙක් දෙක අතර පිහිටා ඇති එකක් තිබේ.

දෙවන කණ්ඩායමේ අවසාන, සිව්වන ප්‍රත්‍යය සම්පාදනය කිරීම සඳහා, පහත සඳහන් සංකල්පය හඳුන්වා දීම පහසුය.

අර්ථ දැක්වීම 3.1. කොටසකින් (හිල්බට් ට අනුව) අපි අදහස් කරන්නේ AB ලකුණු යුගලයක්. අපි ලකුණු A සහ ​​B ලෙස හඳුන්වන්නේ ඛණ්ඩයේ කෙළවර, එහි කෙළවර අතර ඇති ලක්ෂ්‍ය - කොටසේ අභ්‍යන්තර ලක්ෂ්‍ය, හෝ හුදෙක් කොටසේ ලක්ෂ්‍ය සහ කෙළවර අතර නොපවතින AB සරල රේඛාවේ ලක්ෂ්‍ය ලෙස ය. A සහ B - කොටසෙහි බාහිර ලක්ෂ්ය.

. (Pash's axiom) A, B සහ C එකම රේඛාවක නොසිටින ලක්ෂ්‍ය තුනක් වන අතර l මෙම ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන ABC තලයේ සරල රේඛාව වේ. ඉන්පසුව, l සරල රේඛාවක් AB කොටසක ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරයි නම්, එහි AC කොටසක ලක්ෂ්‍යයක් හෝ BC කොටසක ලක්ෂ්‍යයක් අඩංගු වේ.

පළමු හා දෙවන කණ්ඩායම්වල ප්‍රත්‍ක්ෂයන්ගෙන් බොහෝ දේ අනුගමනය කරයි. ජ්යාමිතික ගුණලකුණු, රේඛා සහ කොටස්. ඕනෑම කොටසකට අවම වශයෙන් එක් අභ්‍යන්තර ලක්ෂ්‍යයක්වත් ඇති බව ඔප්පු කළ හැකිය, රේඛාවක ඇති ලක්ෂ්‍ය තුනක් අතර සෑම විටම ඇත්තේ එකක් සහ අනෙක් දෙකක් අතර එකම එකක් පමණි, රේඛාවක ලක්ෂ්‍ය දෙකක් අතර සෑම විටම අනන්තවත් ලකුණු ඇත, එයින් අදහස් කරන්නේ අසීමිතයි රේඛාවක් මත බොහෝ කරුණු. එකම රේඛාවක පිහිටා ඇති ලක්ෂ්‍ය සඳහාද පාෂ්ගේ ප්‍රත්‍යක්ෂයේ ප්‍රකාශය සත්‍ය බව ඔප්පු කළ හැකිය: A, B සහ C ලකුණු එකම රේඛාවකට අයත් නම්, l රේඛාව මෙම ලක්ෂ්‍ය හරහා නොගොස් එක් කොටසකට ඡේදනය වේ. , උදාහරණයක් ලෙස, අභ්‍යන්තර ලක්ෂ්‍යයේ AB, පසුව එය අභ්‍යන්තර ලක්ෂ්‍යයක AC කොටස හෝ BC කොටස ඡේදනය කරයි. රේඛාවක ලක්ෂ්‍ය කුලකය ගණන් කළ නොහැකි බව පළමු සහ දෙවන කණ්ඩායම්වල ප්‍රත්‍යක්ෂවලින් අනුගමනය නොකරන බව ද සලකන්න. අපි මෙම හිමිකම් සඳහා සාක්ෂි සපයන්නේ නැත. පාඨකයාට අත්පොත්වල ඔවුන් සමඟ දැන හඳුනා ගත හැකිය, සහ. සාමාජිකත්වය සහ පිළිවෙල යන ප්‍රත්‍යක්ෂ භාවිතා කරමින් හඳුන්වා දෙන මූලික ජ්‍යාමිතික සංකල්ප, එනම් කිරණ, අර්ධ තලය සහ අර්ධ අවකාශය පිළිබඳව වඩාත් විස්තරාත්මකව වාසය කරමු.

පහත ප්‍රකාශය සත්‍ය වේ.

L රේඛාවක O ලක්ෂ්‍යය මෙම රේඛාවේ ඉතිරි ලක්ෂ්‍ය කුලකය හිස් නොවන උප කුලක දෙකකට බෙදයි, එවිට එකම උප කුලකයට අයත් A සහ ​​B යන ඕනෑම ලක්ෂ්‍ය දෙකක් සඳහා O ලක්ෂ්‍යය AB ඛණ්ඩයේ බාහිර ලක්ෂ්‍යයක් වන අතර ඕනෑම දෙයක් සඳහා විවිධ උප කුලකවලට අයත් C සහ D ලක්ෂ්‍ය දෙකක්, O ලක්ෂ්‍යය CD කොටසේ අභ්‍යන්තර ලක්ෂ්‍යය වේ.

මෙම එක් එක් උප කුලක ලෙස හැඳින්වේ කදම්භය O ලක්ෂ්‍යයේ ආරම්භය සමඟ ඍජු රේඛාව l. කිරණ h, l, k, ...OA, OB, OC,..., O යනු කිරණවල ආරම්භය වන අතර A, B සහ C මගින් දක්වනු ලැබේ. කිරණ ලක්ෂ්ය වේ. අපි මෙම ප්‍රකාශයේ සාධනය පසුව, 7 වැනි කොටසින් ලබා දෙන්නෙමු, නමුත් ත්‍රිමාණ යුක්ලීඩීය අවකාශයේ වෙනස් අක්ෂිචලනයක් භාවිතා කරමින්. කිරණ සංකල්පය අපට වඩාත්ම වැදගත් දේ තීරණය කිරීමට ඉඩ සලසයි ජ්යාමිතික වස්තුව- කෙළවරේ.

අර්ථ දැක්වීම 3.2.කෝණයෙන් (හිල්බට් ට අනුව) අපි අදහස් කරන්නේ h සහ k කිරණ යුගලයක් තිබීමයි සාමාන්ය ආරම්භයඔහ් සහ එකම සරල රේඛාවක වැතිරෙන්නේ නැත.

O ලක්ෂ්‍යය කෝණයේ ශීර්ෂය ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර, h සහ k කිරණ එහි පැති වේ. කෝණ සඳහා අපි අංකනය භාවිතා කරමු . මූලික ජ්යාමිතිය පිළිබඳ වඩාත් වැදගත් සංකල්පය සලකා බලමු - අර්ධ තලයක සංකල්පය.

ප්රමේයය 3.1.තලය තුළ වැතිර සිටින රේඛාවක් a රේඛාවට අයත් නොවන එහි ලක්ෂ්‍ය කුලකය හිස් නොවන උප කුලක දෙකකට බෙදයි, එවිට A සහ ​​B ලකුණු එකම උප කුලකයකට අයත් නම්, AB කොටසට l රේඛාව සමඟ පොදු ලක්ෂ්‍ය නොමැත. , සහ A සහ ​​B ලක්ෂ්‍ය විවිධ උප කුලකවලට අයත් නම්, AB කොටස එහි අභ්‍යන්තර ලක්ෂ්‍යයේදී l රේඛාව ඡේදනය කරයි..

සාධනය.සාක්ෂියේදී අපි සමානතා සම්බන්ධතාවයේ පහත ගුණාංගය භාවිතා කරමු. යම් කුලකයක් මත ද්විමය සම්බන්ධතාවයක් හඳුන්වා දෙන්නේ නම්, එය සමානතා සම්බන්ධතාවයකි, i.e. reflexivity, symmetry සහ transitivity යන කොන්දේසි තෘප්තිමත් කරයි, එවිට සම්පූර්ණ කට්ටලයම disjoint subsets - සමානාත්මතා පන්ති වලට බෙදා ඇත, සහ ඕනෑම මූලද්‍රව්‍ය දෙකක් එකම පන්තියට අයත් වන්නේ ඒවා සමාන නම් සහ පමණි.

a සරල රේඛාවට අයත් නොවන තලයේ ලක්ෂ්‍ය කට්ටලය අපි සලකා බලමු. A සහ B යන ලක්ෂ්‍ය දෙකක් ද්විමය සම්බන්ධතාවයක d: AdB නම් සහ a රේඛාවට අයත් AB කොටසේ අභ්‍යන්තර ලක්ෂ්‍ය නොමැති නම් පමණක් යැයි අපි උපකල්පනය කරමු. අපිත් සලකා බලමු එයින් අදහස් වන්නේ ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් ද්විමය සම්බන්ධයක් තුළ පවතින බවයි. A රේඛාවට අයත් නොවන A ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් සඳහා A ට වඩා වෙනස් ලක්ෂ්‍ය ඇති බව අපි පෙන්වා දෙමු, එය සමඟ ද්විමය සම්බන්ධතාවයක පවතින සහ නැති යන දෙකම. අපි සරල රේඛාවක් මත අත්තනෝමතික ලක්ෂ්යයක් තෝරා ගනිමු a (රූපය 6 බලන්න). එවිට, ප්‍රත්‍යක්ෂයට අනුකූලව, AP රේඛාවේ B ලක්ෂ්‍යයක් ඇත, එනම් P-A-B. AB රේඛාව A සහ ​​B ලක්ෂ්‍ය අතර නොපවතින P ලක්ෂ්‍යයේදී ඡේදනය වේ, එබැවින් A සහ ​​B ලක්ෂ්‍ය d සම්බන්ධතාවයේ ඇත. එකම ප්‍රත්‍යක්ෂයට අනුකූලව, A-R-C ලෙස C ලක්ෂ්‍යයක් ඇත. එබැවින්, P ලක්ෂ්‍යය A සහ ​​C අතර පිහිටා ඇත, A සහ ​​C ලක්ෂ්‍ය d හා සම්බන්ධ නොවේ.

d සම්බන්ධතාවය සමානතා සම්බන්ධතාවයක් බව අපි ඔප්පු කරමු. ද්විමය සම්බන්ධතාවයේ නිර්වචනය හේතුවෙන් reflexivity තත්ත්වය පැහැදිලිවම තෘප්තිමත් වේ d: AdA. A සහ B යන ලක්ෂ්‍ය d සම්බන්ධයෙන් පවතින්නෙමු. එවිට AB කොටසේ සරල රේඛාවේ ලකුණු නොමැත. BA කොටසේ a සරල රේඛාවේ ලක්ෂ්‍ය නොමැති බව එයින් කියවේ, එබැවින් BdA, සමමිතික සම්බන්ධතාවය තෘප්තිමත් වේ. අවසාන වශයෙන්, A, B සහ C ලකුණු තුනක් ලබා දෙන්න, එනම් AdB සහ BdC. A සහ C ලක්ෂ්‍ය d ද්විමය සම්බන්ධතාවක බව පෙන්වමු. ප්‍රතිවිරුද්ධ යැයි සිතමු, AC කොටසේ a සරල රේඛාවේ P ලක්ෂ්‍යයක් ඇත (රූපය 7). ඉන්පසුව, ප්‍රත්‍යක්‍ෂය අනුව, Pash's axiom, සරල රේඛාවක් BC ඛණ්ඩය හෝ AB කොටස ඡේදනය කරයි (රූපය 7 හි සරල රේඛාවක් BC ඡේදනය වේ). АdВ සහ ВdС යන කොන්දේසි වලින් අපි ප්‍රතිවිරෝධතාවයකට පැමිණ ඇත, මන්ද සරල රේඛාව а මෙම කොටස් ඡේදනය නොවන බවයි. මේ අනුව, d සම්බන්ධතාවය සමානතා සම්බන්ධතාවයක් වන අතර එය a රේඛාවට අයත් නොවන තලයේ ලක්ෂ්‍ය කට්ටලය සමානතා පන්තිවලට බෙදයි.

එවැනි සමානතා පන්ති දෙකක් හරියටම ඇති බව අපි පරීක්ෂා කර බලමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, A සහ ​​C සහ B සහ C ලකුණු සමාන නොවේ නම්, A සහ ​​B ලකුණු එකිනෙකට සමාන බව ඔප්පු කිරීමට ප්රමාණවත් වේ. A සහ C සහ B සහ C යන ලක්ෂ්‍යයන් d සමානාත්මතා සම්බන්ධතාවයේ නොමැති බැවින්, සරල රේඛාව a AC සහ BC යන කොටස් P සහ Q ලක්ෂ්‍යවලදී ඡේදනය කරයි (රූපය 7 බලන්න). නමුත් පසුව, පැෂ්ගේ ප්‍රත්‍යක්ෂය අනුව, මෙම රේඛාවට AB කොටස ඡේදනය කළ නොහැක. එබැවින් A සහ ​​B ලකුණු එකිනෙකට සමාන වේ. ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.

ප්‍රමේයය 3.2 හි අර්ථ දක්වා ඇති සෑම සමානාත්මතා පංතියක් ලෙස හැඳින්වේ අර්ධ තලය.මේ අනුව, ගුවන් යානයක ඕනෑම සරල රේඛාවක් එය අර්ධ තල දෙකකට බෙදයි, ඒ සඳහා එය සේවය කරයි මායිම.

අර්ධ තලයක සංකල්පයට සමානව, අර්ධ අවකාශය පිළිබඳ සංකල්පය හඳුන්වා දෙනු ලැබේ. ඕනෑම අභ්‍යවකාශ තලයක් අභ්‍යවකාශයේ ලක්ෂ්‍ය දෙකට බෙදන බව ප්‍රමේයයක් ඔප්පු කර ඇත. එක් කට්ටලයක ලක්ෂ්‍යයන් වන කොටසකට තලය a සමඟ පොදු ලක්ෂ්‍ය නොමැත. කොටසක කෙළවර විවිධ කට්ටලවලට අයත් නම්, එවැනි කොටසකට එහි අභ්‍යන්තරය ලෙස තල ලක්ෂ්‍යයක් ඇත. මෙම ප්‍රකාශයේ සාක්ෂිය ප්‍රමේයය 3.2 හි සාක්ෂියට සමාන වේ.

කෝණයක අභ්යන්තර ලක්ෂ්යයක් පිළිබඳ සංකල්පය නිර්වචනය කරමු. කෝණය දෙන්න ඉඩ දෙන්න. මෙම කෝණයේ පැත්ත වන කිරණ OA අඩංගු සරල රේඛා OA සලකා බලන්න. කිරණ OB හි ලක්ෂ්‍යය OA සරල රේඛාවට සාපේක්ෂව එකම අර්ධ තලයට අයත් වන බව පැහැදිලිය. ඒ හා සමානව, කිරණ OA හි ලක්ෂ්‍ය, දී ඇති කෝණයක පැති, එම අර්ධ තලයට අයත් වේ b, එහි මායිම සෘජු OB (රූපය 8). අර්ධ තල a සහ b ඡේදනයට අයත් ලක්ෂ්ය ලෙස හැඳින්වේ අභ්යන්තර කරුණුකෙළවරේ. රූප සටහන 8 හි, ලක්ෂ්යය M යනු අභ්යන්තර ලක්ෂ්යයයි. කෝණයක සියලුම අභ්‍යන්තර ලක්ෂ්‍ය සමූහය එහි ලෙස හැඳින්වේ අභ්යන්තර ප්රදේශය. කෝණයක ශීර්ෂය සමඟ සමපාත වන සහ එහි සියලු ලක්ෂ්‍ය අභ්‍යන්තර වන කිරණ ලෙස හැඳින්වේ. අභ්යන්තර කදම්භයකෙළවරේ. රූප සටහන 8 හි දැක්වෙන්නේ AOB කෝණයේ අභ්‍යන්තර කිරණ h වේ.

පහත ප්‍රකාශ සත්‍ය වේ.

1 0 කෝණයක ශීර්ෂයෙන් ආරම්භ වන කිරණවල අවම වශයෙන් එහි අභ්‍යන්තර ලක්ෂ්‍ය එකක්වත් තිබේ නම්, එය මෙම කෝණයේ අභ්‍යන්තර කිරණ වේ.

20 කොටසක කෙළවර කෝණයක විවිධ පැති දෙකක පිහිටා තිබේ නම්, එම කොටසේ ඕනෑම අභ්‍යන්තර ලක්ෂ්‍යයක් කෝණයේ අභ්‍යන්තර ලක්ෂ්‍යයකි.

3 0 කෝණයක ඕනෑම අභ්‍යන්තර කිරණක් කෝණයේ පැතිවල කෙළවර ඇති කොටසකට ඡේදනය වේ.

මෙම ප්‍රකාශවල සාක්ෂි අපි පසුව සලකා බලමු, 5 වන ඡේදයේ. දෙවන කාණ්ඩයේ ප්‍රත්‍යක්ෂ භාවිතා කරමින්, කැඩුණු රේඛාවක්, ත්‍රිකෝණයක්, බහුඅස්‍රයක්, සරල බහුඅස්‍රයක අභ්‍යන්තර ප්‍රදේශය යන සංකල්පය යන සංකල්ප අර්ථ දක්වා ඇති අතර එය ඔප්පු වේ. සරල බහුඅස්‍රයක් ගුවන් යානය අභ්‍යන්තර හා බාහිර වශයෙන් කලාප දෙකකට බෙදා ඇත.

ත්‍රිමාන යුක්ලීඩියානු අවකාශයේ හිල්බට් ප්‍රත්‍යක්ෂවල තුන්වන කාණ්ඩය ඊනියා සමගාමී අක්‍ෂයන්ගෙන් සමන්විත වේ. S කොටස් කුලකයක්, A කෝණ කට්ටලයක් වේවා. Cartesian නිෂ්පාදන මත අපි ද්විමය සම්බන්ධතා හඳුන්වා දෙන්නෙමු, එය අපි සමපාත සම්බන්ධතාවය ලෙස හඳුන්වමු.

මේ ආකාරයෙන් හඳුන්වා දී ඇති සම්බන්ධය සලකා බලනු ලබන අක්ෂිවල ප්‍රධාන වස්තූන්ගේ සම්බන්ධය නොවන බව සලකන්න, i.e. රේඛා සහ ගුවන් යානා වල ස්ථාන. ඛණ්ඩය සහ කෝණය යන සංකල්ප නිර්වචනය කළ විට පමණක් තුන්වන ප්‍රාග්ධන කණ්ඩායම හඳුන්වා දිය හැක, i.e. හිල්බට්ගේ ප්‍රත්‍යක්ෂවල පළමු සහ දෙවන කණ්ඩායම් හඳුන්වා දෙන ලදී.

සමගාමී ඛණ්ඩ හෝ කෝණ ද ජ්‍යාමිතික වශයෙන් සමාන හෝ සරලව සමාන කොටස් හෝ කෝණ ලෙස හැඳින්වීමට එකඟ වෙමු, මෙය වරදවා වටහාගැනීම් වලට තුඩු නොදෙන අවස්ථාවක, "සම" යන පදය මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය කෙරෙනු ඇත; සංකේතය "=".