අර්ථ දැක්වීම 1. පද්ධතියේ ඉතිරි දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනයක් ලෙස පද්ධතියේ එක් දෛශිකයක් නිරූපණය කළ හැකි නම් දෛශික පද්ධතියක් රේඛීයව යැපෙන ලෙස හැඳින්වේ, සහ රේඛීයව ස්වාධීන - එසේ නොවේ.

අර්ථ දැක්වීම 1´. දෛශික පද්ධතියක් සංඛ්‍යා තිබේ නම් රේඛීයව යැපෙන ලෙස හැඳින්වේ සමඟ 1 , සමඟ 2 , …, සමඟ k , සියල්ල ශුන්‍යයට සමාන නොවේ, එනම් දී ඇති සංගුණක සහිත දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනය ශුන්‍ය දෛශිකයට සමාන වේ: = , එසේ නොමැතිනම් පද්ධතිය රේඛීය ස්වාධීන ලෙස හැඳින්වේ.

මෙම අර්ථ දැක්වීම් සමාන බව අපි පෙන්වමු.

අර්ථ දැක්වීම 1 තෘප්තිමත් වීමට ඉඩ දෙන්න, i.e. පද්ධති දෛශික වලින් එකක් අනෙක් ඒවායේ රේඛීය සංයෝජනයකට සමාන වේ:

දෛශික පද්ධතියක රේඛීය සංයෝජනයක් ශුන්‍ය දෛශිකයට සමාන වන අතර මෙම සංයෝජනයේ සියලුම සංගුණක ශුන්‍යයට සමාන නොවේ, i.e. අර්ථ දැක්වීම 1' සෑහීමකට පත්වේ.

අර්ථ දැක්වීම 1' රඳවා ගැනීමට ඉඩ දෙන්න. දෛශික පද්ධතියක රේඛීය සංයෝජනයක් සමාන වන අතර, සංයෝජනයේ සියලුම සංගුණක ශුන්‍යයට සමාන නොවේ, උදාහරණයක් ලෙස, දෛශිකයේ සංගුණක .

අපි පද්ධති දෛශික වලින් එකක් අනෙක් ඒවායේ රේඛීය සංයෝජනයක් ලෙස ඉදිරිපත් කළෙමු, i.e. අර්ථ දැක්වීම 1 සෑහීමකට පත්වේ.

අර්ථ දැක්වීම 2. ඒකක දෛශිකයක් හෝ ඒකක දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ n-මාන දෛශිකය, කාටද තියෙන්නේ i-th ඛණ්ඩාංකය එකකට සමාන වන අතර ඉතිරිය ශුන්‍ය වේ.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

ප්රමේයය 1. විවිධ ඒකක දෛශික n-මාන අවකාශය රේඛීයව ස්වාධීන වේ.

සාක්ෂි.අත්තනෝමතික සංගුණක සහිත මෙම දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනය ශුන්‍ය දෛශිකයට සමාන වේවා.

මෙම සමානාත්මතාවයෙන් සියලු සංගුණක ශුන්යයට සමාන වේ. අපට පරස්පර විරෝධයක් ඇත.

එක් එක් දෛශිකය n-මාන අවකාශය ā (ඒ 1 , ඒ 2 , ..., ඒ n) දෛශික ඛණ්ඩාංකවලට සමාන සංගුණක සහිත ඒකක දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනයක් ලෙස නිරූපණය කළ හැක.

ප්රමේයය 2. දෛශික පද්ධතියක ශුන්‍ය දෛශිකයක් තිබේ නම්, එය රේඛීයව රඳා පවතී.

සාක්ෂි.දෛශික පද්ධතියක් ලබා දී එක් දෛශිකයක් ශුන්‍ය වේ, උදාහරණයක් ලෙස = . එවිට, මෙම පද්ධතියේ දෛශික සමඟ, ඔබට ශුන්‍ය දෛශිකයට සමාන රේඛීය සංයෝජනයක් සෑදිය හැකි අතර, සියලුම සංගුණක ශුන්‍ය නොවේ:

එබැවින් පද්ධතිය රේඛීයව රඳා පවතී.

ප්රමේයය 3. දෛශික පද්ධතියක යම් උප පද්ධතියක් රේඛීයව රඳා පවතී නම්, සමස්ත පද්ධතියම රේඛීයව රඳා පවතී.

සාක්ෂි.දෛශික පද්ධතියක් ලබා දී ඇත. පද්ධතිය රේඛීයව රඳා පවතින බව අපි උපකල්පනය කරමු, i.e. සංඛ්යා ඇත සමඟ 1 , සමඟ 2 , …, සමඟ ආර් , සියල්ල ශුන්‍යයට සමාන නොවේ, එවැනි = .එතකොට

සමස්ත පද්ධතියේ දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනය සමාන වන අතර මෙම සංයෝජනයේ සියලුම සංගුණක ශුන්‍යයට සමාන නොවේ. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, දෛශික පද්ධතිය රේඛීයව රඳා පවතී.

ප්රතිවිපාකය.දෛශික පද්ධතියක් රේඛීයව ස්වාධීන නම්, එහි ඕනෑම උප පද්ධතියක් රේඛීයව ස්වාධීන වේ.

සාක්ෂි.

අපි ප්රතිවිරුද්ධ උපකල්පනය කරමු, i.e. සමහර උප පද්ධතිය රේඛීයව රඳා පවතී. සමස්ත පද්ධතියම රේඛීයව රඳා පවතින බව ප්රමේයය අනුව එය අනුගමනය කරයි. අපි පරස්පරයකට පැමිණ ඇත.

ප්රමේයය 4 (ස්ටෙනිට්ස්ගේ ප්‍රමේයය).එක් එක් දෛශික දෛශික රේඛීය සංයෝගයක් නම් සහ මීටර්>n, එවිට දෛශික පද්ධතිය රේඛීයව රඳා පවතී.

ප්රතිවිපාකය.ඕනෑම n-මාන දෛශික පද්ධතියක n රේඛීය ස්වාධීන ඒවාට වඩා වැඩි විය නොහැක.

සාක්ෂි.සෑම n-dimensional දෛශිකය n ඒකක දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනයක් ලෙස ප්‍රකාශ වේ. එබැවින්, පද්ධතිය අඩංගු නම් මීටර්දෛශික සහ මීටර්>n, පසුව, ප්රමේයය අනුව, මෙම පද්ධතියරේඛීයව රඳා පවතී.

3.3 දෛශිකවල රේඛීය ස්වාධීනත්වය. පදනම.

රේඛීය සංයෝජනය දෛශික පද්ධති

දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ

එහිදී a 1, a 2, ..., a n - අත්තනෝමතික සංඛ්යා.

සියලු a i නම් = 0, එවිට රේඛීය සංයෝජනය ලෙස හැඳින්වේ සුළු සුළුය . මෙම අවස්ථාවේ දී, පැහැදිලිවම

අර්ථ දැක්වීම 5.

දෛශික පද්ධතියක් සඳහා නම් සුළු නොවන රේඛීය සංයෝජනයක් ඇත (අවම වශයෙන් එකක් ai¹ 0) ශුන්‍ය දෛශිකයට සමාන: එවිට දෛශික පද්ධතිය ලෙස හැඳින්වේ රේඛීය යැපෙන. සමානාත්මතාවය (1) හැකි නම්, සියල්ල සිදු වූ විට පමණි a i =0, එවිට දෛශික පද්ධතිය ලෙස හැඳින්වේ රේඛීය ස්වාධීන .

ප්රමේයය 2 (රේඛීය රඳා පැවැත්මේ කොන්දේසි).

අර්ථ දැක්වීම 6.

න්‍යාය 3 වෙතින් අභ්‍යවකාශයේ පදනමක් ලබා දෙන්නේ නම්, එයට අත්තනෝමතික දෛශිකයක් එකතු කිරීමෙන්, අපි රේඛීයව යැපෙන දෛශික පද්ධතියක් ලබා ගනිමු. අනුවප්රමේයය 2 (1) , ඒවායින් එකක් (දෛශිකය බව පෙන්විය හැක) අනෙක් ඒවායේ රේඛීය සංයෝජනයක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකිය:

.

අර්ථ දැක්වීම 7.

අංක යනුවෙන් හැඳින්වේ ඛණ්ඩාංක පදනමේ දෛශික (නිරූපිත

තලය මත දෛශික සලකා බැලුවහොත්, පදනම වනුයේ ඛණ්ඩක නොවන දෛශික යුගලයකි.

මෙම පදනමේ ඇති දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සංඛ්‍යා යුගලයකි:

සටහන 3. ඒක පෙන්නන්න පුළුවන් යම් පදනමක් සඳහා, දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක අද්විතීය ලෙස තීරණය වේ . මෙයින්, විශේෂයෙන්, එය පහත දැක්වේ දෛශික සමාන නම්, ඒවායේ අනුරූප ඛණ්ඩාංක සමාන වේ, සහ අනෙක් අතට .

මේ අනුව, අවකාශයක පදනමක් ලබා දෙන්නේ නම්, අවකාශයේ සෑම දෛශිකයක්ම ඇණවුම් කළ සංඛ්‍යා ත්‍රිත්වයකට අනුරූප වේ (මෙම පදනමේ දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක) සහ අනෙක් අතට: එක් එක් සංඛ්‍යා ත්‍රිත්ව දෛශිකයකට අනුරූප වේ.

තලය මත, දෛශික සහ සංඛ්යා යුගල අතර සමාන ලිපි හුවමාරුවක් ස්ථාපිත කර ඇත.

ප්රමේයය 4 (දෛශික ඛණ්ඩාංක හරහා රේඛීය මෙහෙයුම්).

යම් පදනමකින් නම් සහ a අත්තනෝමතික අංකයකි, එවිට මෙම පදනමින්

වෙනත් විදිහකින්:

දෛශිකයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කළ විට එහි ඛණ්ඩාංක එම සංඛ්‍යාවෙන් ගුණ කරනු ලැබේ ;

දෛශික එකතු කරන විට, ඒවාට අනුරූප ඛණ්ඩාංක එකතු වේ .

උදාහරණ 1 . යම් පදනමකින් දෛශිකඛණ්ඩාංක ඇත

දෛශික පදනමක් සාදන බව පෙන්වන්න සහ මෙම පදනමේ දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගන්න.

දෛශික කොප්ලැනර් නොවන නම් පදනමක් සාදයි, එබැවින් (අනුකූලවන්‍යාය 3(2) මගින් ) රේඛීයව ස්වාධීන වේ.

අර්ථ දැක්වීම අනුව 5 මෙයින් අදහස් කරන්නේ සමානාත්මතාවයයි

හැකි නම් පමණිx = y = z = 0.

ප්රමේයය 1.(O රේඛීය ස්වාධීනත්වයවිකලාංග දෛශික). එවිට දෛශික පද්ධතිය රේඛීයව ස්වාධීන වේ.

අපි රේඛීය සංයෝජනයක් ∑λ i x i =0 සාදා සලකා බලමු තිත් නිෂ්පාදනය(x j , ∑λ i x i)=λ j ||x j || 2 =0, නමුත් ||x j || 2 ≠0⇒λ j =0.

අර්ථ දැක්වීම 1. දෛශික පද්ධතියහෝ (e i ,e j)=δ ij - ක්‍රොනෙකර් සංකේතය, orthonormal (ONS) ලෙස හැඳින්වේ.

අර්ථ දැක්වීම 2. අත්තනෝමතික අනන්ත-මාන යුක්ලීඩියානු අවකාශයක අත්තනෝමතික මූලද්‍රව්‍ය x සහ මූලද්‍රව්‍යවල අත්තනෝමතික විකලාංග පද්ධතියක් සඳහා, පද්ධතියට ඉහළින් ඇති x මූලද්‍රව්‍යයේ ෆූරියර් ශ්‍රේණිය විධිමත් ලෙස සංයුක්ත ලෙස හැඳින්වේ. අසීමිත ප්රමාණයපෝරමයේ (පේළිය). , එහි සැබෑ සංඛ්යාλ i යනු පද්ධතියේ x ​​මූලද්‍රව්‍යයේ ෆූරියර් සංගුණක ලෙස හැඳින්වේ, එහිදී λ i =(x,e i).

අදහස් දක්වන්න. (ස්වාභාවිකවම, මෙම මාලාවේ අභිසාරීත්වය පිළිබඳ ප්රශ්නය පැන නගී. මෙම ගැටළුව අධ්‍යයනය කිරීම සඳහා, අපි අත්තනෝමතික සංඛ්‍යාවක් n සවි කර, විකලාංග පද්ධතියේ පළමු n මූලද්‍රව්‍යවල වෙනත් ඕනෑම රේඛීය සංයෝජනයකින් ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ n වැනි අර්ධ එකතුව වෙන් කරන්නේ කුමක් දැයි සොයා බලමු.)

ප්රමේයය 2. ඕනෑම ස්ථාවර සංඛ්‍යාවක් n සඳහා, පෝරමයේ සියලුම එකතු කිරීම් අතර, මූලද්‍රව්‍යයේ ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ n වැනි අර්ධ එකතුවට දී ඇති යුක්ලීඩීය අවකාශයක සම්මතයට අනුව x මූලද්‍රව්‍යයෙන් කුඩාම අපගමනය ඇත.

පද්ධතියේ විකලාංග භාවය සහ ෆූරියර් සංගුණකයේ නිර්වචනය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපට ලිවිය හැකිය

මෙම ප්‍රකාශනයේ අවම අගය c i =λ i හිදී සාක්ෂාත් කරගනු ලැබේ, මන්ද මෙම අවස්ථාවේ දී දකුණු පස ඇති සෘණ නොවන පළමු එකතුව සෑම විටම අතුරුදහන් වන අතර ඉතිරි නියමයන් c i මත රඳා නොපවතී.

උදාහරණය. ත්රිකෝණමිතික පද්ධතිය සලකා බලන්න

සියලුම රීමන් අනුකලනය කළ හැකි ශ්‍රිතවල f(x) කොටසෙහි [-π,π]. මෙය ONS එකක් දැයි පරීක්ෂා කිරීම පහසුය, පසුව f(x) ශ්‍රිතයේ ෆූරියර් ශ්‍රේණියේ පෝරමය ඇත.

අදහස් දක්වන්න. (ත්‍රිකෝණමිතික ෆූරියර් මාලාව සාමාන්‍යයෙන් ලියා ඇත්තේ පෝරමයෙනි එතකොට )

අතිරේක උපකල්පන නොමැතිව අනන්ත-මාන යුක්ලීඩීය අවකාශයක අත්තනෝමතික ONS, සාමාන්යයෙන් කථා කිරීම, මෙම අවකාශයේ පදනමක් නොවේ. බුද්ධිමය මට්ටමින්, දැඩි අර්ථ දැක්වීම් ලබා නොදී, අපි කාරණයේ සාරය විස්තර කරන්නෙමු. අත්තනෝමතික අනන්ත-මාන යුක්ලීඩීය අවකාශයක E, ONS සලකන්න, එහිදී (e i ,e j)=δ ij යනු ක්‍රොනෙකර් සංකේතයයි. M යනු යුක්ලීඩීය අවකාශයේ උප අවකාශයක් වන අතර k=M ⊥ යුක්ලීඩීය අවකාශයේ E=M+M ⊥ වන පරිදි M ට විකලාංග උප අවකාශයක් වේවා. දෛශිකයේ x∈E උප අවකාශය M වෙතට ප්‍රක්ෂේපණය කිරීම දෛශිකය ∈M වේ.

අපි ප්‍රසාරණ සංගුණක α k සඳහා ඉතිරි (වර්ග අවශේෂ) h 2 =||x-|| 2 අවම වනු ඇත:

h 2 =||x-|| 2 =(x-,x-)=(x-∑α k e k,x-∑α k e k)=(x,x)-2∑α k (x,e k)+(∑α k e k,∑α k e k)= ||x|| 2 -2∑α k (x,e k)+∑α k 2 +∑(x,e k) 2 -∑(x,e k) 2 =||x|| 2 +∑(α k -(x,e k)) 2 -∑(x,e k) 2 .

මෙම ප්‍රකාශනය සුළු අගයක් වන α k =0 හිදී සහ α k =(x,e k) හි අවම අගයක් ගන්නා බව පැහැදිලිය. එවිට ρ min =||x|| 2 -∑α k 2 ≥0. මෙතැන් සිට අපි Bessel හි අසමානතාවය ∑α k 2 ||x|| 2. ρ=0 දී දෛශික වල විකලාංග පද්ධතියක් (ONS) සම්පූර්ණ විකලාංග පද්ධතියක් ලෙස Steklov අර්ථයෙන් (PONS) හැඳින්වේ.මෙතැන් සිට අපට Steklov-Parseval සමානාත්මතාවය ∑α k 2 =||x|| 2 - Steklov යන අර්ථයෙන් සම්පූර්ණ වූ අනන්ත-මාන යුක්ලීඩියානු අවකාශයන් සඳහා "පයිතගරස් ප්රමේයය". අභ්‍යවකාශයේ ඇති ඕනෑම දෛශිකයක් එයට අභිසාරී වන ෆූරියර් ශ්‍රේණියක ස්වරූපයෙන් අද්විතීය ලෙස නිරූපණය වීමට නම්, එය Steklov-Parseval සමානාත්මතාවය පවත්වා ගැනීමට අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් බව දැන් ඔප්පු කිරීමට අවශ්‍ය වනු ඇත. දෛශික පද්ධතිය pic=""> ONB ආකාර දෛශික පද්ධතිය මාලාවේ අර්ධ එකතුව සඳහා සලකා බලන්න එතකොට අභිසාරී ශ්‍රේණියක වලිගය වැනිය. මේ අනුව, දෛශික පද්ධතිය PONS සහ ONB සාදයි.

උදාහරණය.ත්රිකෝණමිතික පද්ධතිය

සියලුම Riemann-integrable functions හි අවකාශයේ f(x) කොටසේ [-π,π] PONS එකක් වන අතර ONB සාදයි.

ලෙමා 1 : n n ප්‍රමාණයේ න්‍යාසයක අවම වශයෙන් එක් පේළියක් (තීරු) ශුන්‍ය නම්, න්‍යාසයේ පේළි (තීරු) රේඛීයව රඳා පවතී.

සාක්ෂි:පළමු පේළිය ශුන්‍ය වීමට ඉඩ දෙන්න

කොහෙද a 10. අවශ්‍ය වූයේ එයයි.

අර්ථ දැක්වීම: ප්‍රධාන විකර්ණයට පහළින් පිහිටා ඇති මූලද්‍රව්‍ය ශුන්‍යයට සමාන වන න්‍යාසයක් ලෙස හැඳින්වේ ත්රිකෝණාකාර:

සහ ij = 0, i>j.

Lemma 2: ත්‍රිකෝණාකාර අනුකෘතියක නිර්ණායකය ප්‍රධාන විකර්ණයේ මූලද්‍රව්‍යවල ගුණිතයට සමාන වේ.

න්‍යාසයේ මානය මත ප්‍රේරණය මගින් සාධනය සිදු කිරීම පහසුය.

ප්රමේයය දෛශිකවල රේඛීය ස්වාධීනත්වය මත.

A)අවශ්යතාවය: රේඛීයව රඳා පවතී D=0 .

සාක්ෂි:ඔවුන්ට රේඛීයව යැපීමට ඉඩ දෙන්න, j=,

එනම්, j ඇත, සියල්ල බිංදුවට සමාන නොවේ, j=,කුමක් ද a 1 A 1 + a 2 A 2 + ... a n A n = , A j – matrix තීරු ඒ.අපි උදාහරණයක් ලෙස, n¹0.

අපිට තියෙනවා a j * = a j / a n, j£ n-1a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 * A n -1 + A n = .

න්‍යාසයේ අවසාන තීරුව ප්‍රතිස්ථාපනය කරමු ඒමත

A n * = a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 A n -1 + A n = .

ඉහතින් ඔප්පු කර ඇති නිර්ණායකයේ ගුණයට අනුව (යම් තීරුවකට න්‍යාසයක තවත් තීරුවක් එකතු කළහොත්, අංකයකින් ගුණ කළහොත් එය වෙනස් නොවේ), නව න්‍යාසයේ නිර්ණායකය නිර්ණායකයට සමාන වේ. මුල් එකක්. නමුත් නව න්‍යාසයේ එක් තීරුවක් ශුන්‍ය වේ, එයින් අදහස් කරන්නේ, මෙම තීරුව හරහා නිර්ණායකය පුළුල් කිරීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ D=0, Q.E.D.

b)ප්‍රමාණවත් බව: Size matrix n nරේඛීය ස්වාධීන පේළි සමඟනිර්ණායකයේ නිරපේක්ෂ අගය වෙනස් නොකරන පරිවර්තන භාවිතයෙන් එය සෑම විටම ත්රිකෝණාකාර ස්වරූපයකට අඩු කළ හැකිය. එපමණක්ද නොව, පේළිවල ස්වාධීනත්වයේ සිට මුල් අනුකෘතියඑහි නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන බව අනුගමනය කරයි.

1. Size matrix හි නම් n nරේඛීය ස්වාධීන පේළි මූලද්රව්යය සමඟ a 11ශුන්‍යයට සමාන වේ, පසුව එහි මූලද්‍රව්‍ය තීරුව a 1 j¹ 0. Lemma 1 ට අනුව, එවැනි මූලද්රව්යයක් පවතී. පරිවර්තනය කරන ලද න්‍යාසයේ නිර්ණායකය මුල් න්‍යාසයේ නිර්ණායකයට වඩා වෙනස් විය හැක්කේ ලකුණින් පමණි.

2. ඉලක්කම් සහිත පේළි වලින් i>1භාගයෙන් ගුණ කළ පළමු පේළිය අඩු කරන්න a i 1 /a 11. එපමණක් නොව, අංක සහිත පේළි පළමු තීරුවේ i>1ඔබට ශුන්‍ය මූලද්‍රව්‍ය ලැබෙනු ඇත.

3. පළමු තීරුව මත වියෝජනය කිරීමෙන් ලැබෙන න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ගණනය කිරීම ආරම්භ කරමු. පළමුවැන්න හැර එහි ඇති සියලුම මූලද්‍රව්‍ය බිංදුවට සමාන බැවින්,

D new = a 11 new (-1) 1+1 D 11 new,

කොහෙද d 11 අලුත්කුඩා ප්රමාණයේ න්යාසයක නිර්ණායකය වේ.

ඊළඟට, නිර්ණායකය ගණනය කිරීමට D 11අවසාන නිර්ණායකය ප්‍රමාණයේ න්‍යාසයේ නිර්ණායකය බවට පත්වන තෙක් පියවර 1, 2, 3 නැවත නැවත කරන්න 1 1. පියවර 1 වෙනස් වන න්‍යාසයේ නිර්ණායකයේ ලකුණ පමණක් වෙනස් කරන අතර, 2 වන පියවර නිර්ණායකයේ අගය කිසිසේත් වෙනස් නොකරන බැවින්, ලකුණ දක්වා, අපි අවසානයේ මුල් න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ලබා ගනිමු. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, මුල් න්‍යාසයේ පේළිවල රේඛීය ස්වාධීනත්වය හේතුවෙන්, පියවර 1 සැමවිටම තෘප්තිමත් වන බැවින්, ප්‍රධාන විකර්ණයේ සියලුම අංග ශුන්‍යයට අසමාන වේ. මේ අනුව, අවසාන නිර්ණායකය, විස්තර කරන ලද ඇල්ගොරිතමයට අනුව, ප්රධාන විකර්ණයේ ශුන්ය නොවන මූලද්රව්යවල ගුණිතයට සමාන වේ. එබැවින් මුල් න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන නොවේ. Q.E.D.

උපග්රන්ථය 2

පහත දැක්වෙන්නේ රේඛීය යැපීම සඳහා නිර්ණායක කිහිපයක් සහ ඒ අනුව දෛශික පද්ධතිවල රේඛීය ස්වාධීනත්වයයි.

ප්රමේයය. (අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් තත්ත්වයදෛශිකවල රේඛීය යැපීම.)

දෛශික පද්ධතියක් රඳා පවතින්නේ පද්ධතියේ එක් දෛශිකයක් මෙම පද්ධතියේ අනෙක් ඒවා හරහා රේඛීයව ප්‍රකාශ වන්නේ නම් සහ පමණි.

සාක්ෂි. අවශ්යතාවය. පද්ධතිය රේඛීයව රඳා පැවතීමට ඉඩ දෙන්න. එවිට, නිර්වචනය අනුව, එය ශුන්‍ය දෛශිකය සුළු නොවන ලෙස නියෝජනය කරයි, i.e. ශුන්‍ය දෛශිකයට සමාන මෙම දෛශික පද්ධතියේ සුළු නොවන සංයෝජනයක් ඇත:

මෙම රේඛීය සංයෝජනයේ අවම වශයෙන් එක් සංගුණකයක් ශුන්‍යයට සමාන නොවේ. ඉඩ දෙන්න,.

මෙම ශුන්‍ය නොවන සංගුණකයෙන් පෙර සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තම බෙදමු (එනම් ගුණ කිරීම:

අපි සටහන් කරමු: , කොහෙද .

ඒවා. පද්ධතියේ එක් දෛශිකයක් මෙම පද්ධතියේ අනෙක් ඒවා හරහා රේඛීයව ප්‍රකාශ වේ.

ප්රමාණවත් බව. පද්ධතියේ එක් දෛශිකයක් මෙම පද්ධතියේ අනෙකුත් දෛශික හරහා රේඛීයව ප්‍රකාශ කිරීමට ඉඩ දෙන්න:

මෙම සමානාත්මතාවයේ දකුණට දෛශිකය ගෙන යමු:

දෛශිකයේ සංගුණකය සමාන වන බැවින්, අපට දෛශික පද්ධතියකින් ශුන්‍යයේ සුළු නොවන නිරූපණයක් ඇත, එයින් අදහස් වන්නේ මෙම දෛශික පද්ධතිය රේඛීයව රඳා පවතින බවයි.

ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.

ප්රතිවිපාකය.

1. දෛශික අවකාශයක ඇති දෛශික පද්ධතියක් රේඛීයව ස්වාධීන වන්නේ පද්ධතියේ කිසිදු දෛශිකයක් මෙම පද්ධතියේ අනෙකුත් දෛශික අනුව රේඛීයව ප්‍රකාශ නොකළහොත් පමණි.

2. ශුන්‍ය දෛශිකයක් හෝ සමාන දෛශික දෙකක් අඩංගු දෛශික පද්ධතියක් රේඛීයව රඳා පවතී.

සාක්ෂි.

1) අවශ්යතාවය. පද්ධතිය රේඛීයව ස්වාධීන වීමට ඉඩ දෙන්න. අපි උපකල්පනය කරමු ප්රතිවිරුද්ධය සහ මෙම පද්ධතියේ අනෙකුත් දෛශික හරහා රේඛීයව ප්රකාශිත පද්ධතියේ දෛශිකයක් ඇත. එවිට, ප්‍රමේයයට අනුව, පද්ධතිය රේඛීයව රඳා පවතින අතර අපි පරස්පර විරෝධීතාවයකට පැමිණෙමු.

ප්රමාණවත් බව. පද්ධතියේ දෛශික කිසිවක් අනෙක් ඒවා අනුව ප්‍රකාශ නොකළ යුතුය. අපි හිතමු විරුද්ධ පැත්ත. පද්ධතිය රේඛීයව රඳා පැවතීමට ඉඩ හරින්න, නමුත් මෙම පද්ධතියේ අනෙකුත් දෛශික හරහා රේඛීයව ප්‍රකාශ කළ හැකි පද්ධතියේ දෛශිකයක් ඇති බව ප්‍රමේයයෙන් අනුගමනය කරන අතර අපි නැවතත් ප්‍රතිවිරෝධතාවයකට පැමිණෙමු.

2a) පද්ධතියේ ශුන්‍ය දෛශිකයක් අඩංගු වීමට ඉඩ දෙන්න. නිශ්චිතභාවය සඳහා අපි උපකල්පනය කරමු දෛශිකය :. එවිට සමානාත්මතාවය පැහැදිලිය

ඒවා. පද්ධතියේ එක් දෛශිකයක් මෙම පද්ධතියේ අනෙකුත් දෛශික හරහා රේඛීයව ප්‍රකාශ වේ. එවැනි දෛශික පද්ධතියක් රේඛීයව රඳා පවතින බව ප්‍රමේයයෙන් අනුගමනය කරයි.

මෙම කරුණ රේඛීයව යැපෙන දෛශික පද්ධතියකින් සෘජුවම ඔප්පු කළ හැකි බව සලකන්න.

සිට, පහත සමානාත්මතාවය පැහැදිලිය

මෙය ශුන්‍ය දෛශිකයේ සුළු නොවන නිරූපණයකි, එයින් අදහස් වන්නේ පද්ධතිය රේඛීයව රඳා පවතින බවයි.

2b) පද්ධතියට සමාන දෛශික දෙකක් තිබිය යුතුය. සඳහා ඉඩ දෙන්න. එවිට සමානාත්මතාවය පැහැදිලිය

ඒ. පළමු දෛශිකය එකම පද්ධතියේ ඉතිරි දෛශික හරහා රේඛීයව ප්‍රකාශ වේ. මෙම පද්ධතිය රේඛීයව රඳා පවතින බව ප්‍රමේයයෙන් අනුගමනය කරයි.

පෙර ප්‍රකාශය හා සමානව, මෙම ප්‍රකාශය රේඛීයව යැපෙන පද්ධතියක නිර්වචනය මගින් සෘජුවම ඔප්පු කළ හැක

පද්ධතියේ රේඛීය යැපීම අනුගමනය කරන්නේ කොහෙන්ද.

ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.

ප්රතිවිපාකය. එක් දෛශිකයකින් සමන්විත පද්ධතියක් රේඛීයව ස්වාධීන වන්නේ මෙම දෛශිකය ශුන්‍ය නොවන නම් සහ පමණි.