ඉඩ දෙන්න එල්- අවකාශයේ සමහර සරල රේඛාවක්. planimetry හි මෙන්, ඕනෑම දෛශිකයක්
ඒ =/= 0, කොලිනියර් රේඛාව එල්, නමින් මාර්ගෝපදේශ දෛශිකයමෙම සරල රේඛාව.
දිශා දෛශිකය සහ රේඛාවට අයත් ලක්ෂ්යය නියම කිරීමෙන් අවකාශයේ රේඛාවේ පිහිටීම සම්පූර්ණයෙන්ම තීරණය වේ.
එය කෙළින් වීමට ඉඩ දෙන්න එල්මාර්ගෝපදේශ දෛශිකය සමඟ ඒ M 0 ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන අතර M යනු අභ්යවකාශයේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයකි. පැහැදිලිවම, ලක්ෂ්යය M (රූපය 197) රේඛාවට අයත් වේ එල්දෛශිකය \(\overrightarrow(M_0 M)\) දෛශිකය සමඟ සහසම්බන්ධ වන්නේ නම් සහ පමණි ඒ , i.e.
\(\overrightarrow(M_0 M)\) = ටී a , ටී\(\in\) ආර්. (1)
ලකුණු M සහ M 0 ඒවායේ අරය දෛශික මගින් නියම කර ඇත්නම් ආර් සහ ආර් 0 (රූපය 198) අවකාශයේ O ලක්ෂ්‍යයට සාපේක්ෂව, එවිට \(\overrightarrow(M_0 M)\) = ආර් - ආර් 0 , සහ සමීකරණය (1) ආකෘතිය ගනී
ආර් = ආර් 0 + ටී a , ටී\(\in\) ආර්. (2)
සමීකරණ (1) සහ (2) ලෙස හැඳින්වේ සරල රේඛාවක දෛශික-පරාමිතික සමීකරණ. විචල්ය ටීදෛශික-පරාමිතික සමීකරණවලදී සරල රේඛාව ලෙස හැඳින්වේ පරාමිතිය.
M 0 ලක්ෂ්යය සරල රේඛාවක් වේවා එල්සහ දිශාව දෛශිකය a ඒවායේ ඛණ්ඩාංක මගින් ලබා දී ඇත:
M 0 ( X 0 ; දී 0 , z 0), ඒ = (ඒ 1 ; ඒ 2 ; ඒ 3).
එසේ නම් ( X; y; z) - සරල රේඛාවක අත්තනෝමතික ලක්ෂ්ය M හි ඛණ්ඩාංක එල්, ඒ
\(\overrightarrow(M_0 M) \) = ( x - x 0 ; y - y 0 ; z - z 0)
සහ දෛශික සමීකරණය (1) පහත සමීකරණ තුනට සමාන වේ:
x - x 0 = tа 1 , y - y 0 = tа 2 , z - z 0 = tа 3
$$ \begin(cases) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\ end(cases) (3)$$
සමීකරණ (3) ලෙස හැඳින්වේ රේඛාවේ පරාමිතික සමීකරණ අභ්යවකාශයේ.
කාර්යය 1.ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක් සඳහා පරාමිතික සමීකරණ ලියන්න
M 0 (-3; 2; 4) සහ දිශා දෛශිකයක් තිබීම ඒ = (2; -5; 3).
මේ අවස්ථාවේ දී X 0 = -3, දී 0 = 2, z 0 = 4; ඒ 1 = 2; ඒ 2 = -5; ඒ 3 = 3. මෙම අගයන් සූත්‍රවලට ආදේශ කිරීම (3), අපි මෙම රේඛාවේ පරාමිතික සමීකරණ ලබා ගනිමු.
$$ \begin(cases) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, \;\;t\in R\end(cases) $$
පරාමිතිය බැහැර කරමු ටීසමීකරණ වලින් (3). මෙය කළ හැකි නිසා ඒ =/= 0, එබැවින් දෛශික ඛණ්ඩාංක වලින් එකක් ඒ පැහැදිලිවම ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වේ.
පළමුව සියලුම ඛණ්ඩාංක බිංදුවෙන් වෙනස් වීමට ඉඩ දෙන්න. එතකොට
$$ t=\frac(x-x_0)(a_1),\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2),\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$
ඒ නිසා
$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4)$$
මෙම සමීකරණ ලෙස හැඳින්වේ රේඛාවේ කැනොනිකල් සමීකරණ .
සමීකරණ (4) විචල්ය තුනක් සහිත සමීකරණ දෙකක පද්ධතියක් සාදන බව සලකන්න x, yසහ z
සමීකරණවල නම් (3) දෛශික ඛණ්ඩාංක වලින් එකක් ඒ , උදාහරණ වශයෙන් ඒ 1 යනු ශුන්‍යයට සමාන වේ, පසුව පරාමිතිය ඉවත් කිරීමෙන් ටී, අපි නැවතත් විචල්ය තුනක් සහිත සමීකරණ දෙකක පද්ධතියක් ලබා ගනිමු x, yසහ z:
\(x=x_0, \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)
මෙම සමීකරණ කැනොනිකල් රේඛා සමීකරණ ලෙසද හැඳින්වේ. ඒකාකාරිත්වය සඳහා, ඒවා සාම්ප්‍රදායිකව ලියා ඇත්තේ (4)
\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)
හරය ශුන්‍ය නම්, ඊට අනුරූප සංඛ්යාව ද ශුන්‍ය වේ යැයි උපකල්පනය කරයි. මෙම සමීකරණ M 0 ලක්ෂය හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණ වේ ( X 0 ; දී 0 , z 0) සමාන්තරව සම්බන්ධීකරණ තලය yOz, එහි දිශා දෛශිකය (0; ඒ 2 ; ඒ 3).
අවසාන වශයෙන්, සමීකරණ (3) තුළ දෛශික ඛණ්ඩාංක දෙකක් තිබේ නම් ඒ , උදාහරණ වශයෙන් ඒ 1 සහ ඒ 2 ශුන්‍යයට සමාන වේ, එවිට මෙම සමීකරණ ස්වරූපය ගනී
X = X 0 , y = දී 0 , z = z 0 + ටී a 3 , ටී\(\in\) ආර්.
මේවා M 0 ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණ වේ ( X 0 ; දී 0 ; z 0) අක්ෂයට සමාන්තරව Oz. එවැනි සරල රේඛාවක් සඳහා X = X 0 , y = දී 0,ඒ z- ඕනෑම අංකයක්. මෙම අවස්ථාවේ දී, ඒකාකාරිත්වය සඳහා, සරල රේඛාවේ සමීකරණය (එකම වෙන් කිරීමක් සමඟ) පෝරමයේ (4) ලිවිය හැකිය.
\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)\)
මේ අනුව, අභ්යවකාශයේ ඇති ඕනෑම රේඛාවක් සඳහා කෙනෙකුට කැනොනිකල් සමීකරණ (4) ලිවිය හැකි අතර, අනෙක් අතට, (4) පෝරමයේ ඕනෑම සමීකරණයක් අවම වශයෙන් එක් සංගුණකයක් ලබා දී ඇත. ඒ 1 , ඒ 2 , ඒ 3 ශුන්‍යයට සමාන නොවේ, අභ්යවකාශයේ යම් සරල රේඛාවක් අර්ථ දක්වයි.
කාර්යය 2.දෛශිකයට සමාන්තරව M 0 (- 1; 1, 7) ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන රේඛාවක කැනොනිකල් සමීකරණ ලියන්න. ඒ = (1; 2; 3).
මෙම නඩුවේ සමීකරණ (4) පහත පරිදි ලියා ඇත:
\(\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)\)
ලබා දී ඇති ලක්ෂ්ය දෙකක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණ ව්‍යුත්පන්න කරමු M 1 ( X 1 ; දී 1 ; z 1) සහ
M2( X 2 ; දී 2 ; z 2) පැහැදිලිවම, අපට දෛශිකය ගත හැකිය a = (X 2 - X 1 ; දී 2 - දී 1 ; z 2 - z 1), සහ සරල රේඛාවක් ගමන් කරන M 0 ලක්ෂ්‍යයෙන් ඔබ්බට, උදාහරණයක් ලෙස, M 1 ලක්ෂ්යය. එවිට සමීකරණ (4) පහත පරිදි ලියා ඇත:
\(\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)\) (5)
මේවා ලක්ෂ්ය දෙකක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණ වේ M 1 ( X 1 ; දී 1 ; z 1) සහ
M2( X 2 ; දී 2 ;z 2).
කාර්යය 3. M 1 (-4; 1; -3) සහ M 2 (-5; 0; 3) යන ලක්ෂ්ය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණ ලියන්න.
මේ අවස්ථාවේ දී X 1 = -4, දී 1 = 1, z 1 = -3, X 2 = -5, දී 2 = 0, z 2 = 3. මෙම අගයන් සූත්‍ර (5) බවට ආදේශ කිරීම, අපි ලබා ගනිමු
\(\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)\)
කාර්යය 4. M 1 (3; -2; 1) සහ ලක්ෂ්ය හරහා ගමන් කරන රේඛාවේ සමීකරණ ලියන්න.
M 2 (5; -2; 1/2).
M 1 සහ M 2 ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක සමීකරණ (5) බවට ආදේශ කිරීමෙන් පසුව, අපි ලබා ගනිමු
\(\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))\)
නොදන්නා ප්‍රමාණයකට අමතරව, යම් කලාපයකින් විවිධ අගයන් ගත හැකි තවත් අමතර ප්‍රමාණයක් අඩංගු සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ. පරාමිතික. සමීකරණයේ මෙම අතිරේක ප්රමාණය හැඳින්වේ පරාමිතිය. ඇත්ත වශයෙන්ම, එක් එක් පරාමිතික සමීකරණය සමඟ බොහෝ සමීකරණ ලිවිය හැකිය. අපි පරාමිතික සමීකරණ මොඩියුලය සහ සරල පරාමිතික සමීකරණ විසඳීම දෙස බලමු.
ගැටලුව 1$x$ ට අදාළ සමීකරණ විසඳන්න
A) $x + a = 7$
B) $2x + 8a = 4$
C) $x + a = 2a - x$
D) $ax = 5$
E) $a - x = x + b$
F) $ax = 3a$
විසඳුම:
A) $x + a = 7 \Leftrightarrow x = 7 – a$, එනම් මෙම සමීකරණයට විසඳුමක් සොයාගෙන ඇත.
විවිධ පරාමිති අගයන් සඳහා, විසඳුම $x = 7 - a$ වේ
B) $2x + 8a = 4 \Leftrightarrow 2x = 4 - 8a \Leftrightarrow x = 2 – 4a$
C) $x + a = 2a – x \ Leftrightarrow x + x = 2a – a \Leftrightarrow 2x = a \Leftrightarrow x = \frac(a)(2)$
D) $ax = 5$, a 0 ට වඩා වෙනස් වූ විට අපට දෙපැත්තම a වලින් බෙදිය හැකි අතර අපට $x = 5$ ලැබේ.
$a = 0$ නම්, අපට ලැබෙන්නේ විසඳුමක් නොමැති $0.x = 5$ වැනි සමීකරණයක්;
E) $a – x = x + b \Leftrightarrow a – b = x + x \Leftrightarrow 2x = a – b \Leftrightarrow x = \frac(a-b)(2)$
F) a = 0 විට ax = 3a සමීකරණය 0.x = 0 වේ
එබැවින් ඕනෑම x විසඳුමක් වේ. a 0 ට වඩා වෙනස් නම්
$ax = 3a \Leftrightarrow x = \frac(3a)(a) \Leftrightarrow x = 3$
ගැටලුව 2 a පරාමිතියක් නම්, සමීකරණය විසඳන්න:
A) $(a + 1)x = 2a + 3$
B) $2a + x = ax + 4$
C) $a^2x – x = a$
D) $a^2x + x = a$
විසඳුම:
A) $a + 1$ 0 ට වඩා වෙනස් නම්, එනම්.. $a \neq -1$,
එවිට $x = \frac(2a+3)(a+1)$;
$a + 1 = 0$ නම්, i.e. $a = - 1$
සමීකරණය $0\cdot x = (2)\cdot(-1) + 3 \Leftrightarrow$
විසඳුමක් නොමැති $0\cdot x = 1$;
B) $2a + x = ax + 4 \Leftrightarrow$
$x – ax = 4 - 2a \Leftrightarrow$
$(1 – a)\cdot x = 2(2 – a)$
$(1 – a) \neq 0$ නම්, $\neq 1$; විසඳුම වනු ඇත
$x = \frac(2(2 - a))((1 - a))$;
$a = 1$ නම් සමීකරණය $0\cdot x = 2(2 - 1) \Leftrightarrow$ වෙයි
විසඳුමක් නොමැති $0\cdot x = 2$
C) $a^2x – x = a \Leftrightarrow$
$x(a^2 -1) = a\Leftrightarrow$
$(a - 1)(a + 1)x = a$
$a - 1 \neq 0$ සහ $a + 1 \neq 0$ නම් ඒ $a \neq 1, -1$,
විසඳුම $x = \frac(a)((a - 1)(a + 1))$
$a = 1$ හෝ $a = -1$ නම්, සමීකරණය වන්නේ විසඳුමක් නොමැති $0\cdot x = \pm 1$ වේ.
D) $a^2x + x = a\Leftrightarrow$
$(a^2 + 1)x = a$
මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ඕනෑම $a$ සඳහා $a^2 + 1 \neq 0$, මන්ද එය ධන අංකයක (1) සහ එක් සෘණ අංකයක එකතුව වන බැවිනි.
$(a^2 \geq 0)$ එබැවින් $x = \frac(a)(a^2 + 1)$
ගැටලුව 3 a සහ b පරාමිති නම්, සමීකරණ විසඳන්න:
A) $ax + b = 0$
B) $ax + 2b = x$
C) $(b - 1)y = 1 – a$
D) $(b^2 + 1)y = a + 2$
විසඳුම:
A) $ax + b = 0 \Leftrightarrow ax = -b$
$a\neq 0$ නම්, විසඳුම $x = -\frac(b)(a)$ වේ.
$a = 0, b\neq 0$ නම්, සමීකරණය $0\cdot x = -b$ පෝරමය ගන්නා අතර විසඳුමක් නොමැත.
$a = 0$ සහ $b = 0$ නම්, සමීකරණය $0\cdot x = 0$ බවට පත් වන අතර ඕනෑම $x$ විසඳුමකි;
B) $ax + 2b = x \Leftrightarrow ax – x = -2b \Leftrightarrow (a - 1)x = -2b$
$a - 1 \neq 0$ නම්, i.e. $a \neq 1$, විසඳුම $x = -\frac(2b)(a-1)$
$a - 1 = 0$, එනම් $a = 1$, සහ $b \neq 0$ නම්, සමීකරණය $0\cdot x = - 2b$ ආකාරය ගන්නා අතර එයට විසඳුමක් නැත.
C) $b - 1 \neq 0$ නම්, එනම් $b \neq 1$,
විසඳුම $y = \frac(1-a)(b-1)$ වේ
$b - 1 = 0$ නම්, එනම් $b = 1$, නමුත් $1 – a \neq 0$,
එනම්, $a \neq 1$, සමීකරණය $0\cdot y = 1 – a$ පෝරමය ගන්නා අතර එයට විසඳුමක් නැත.
$b = 1$ සහ $a = 1$ නම් සමීකරණය $0\cdot y = 0$ ආකාරය ගන්නා අතර ඕනෑම $y$ විසඳුමක් වේ.
D) ඕනෑම $b$ සඳහා $b^2 + 1 \neq 0$ (ඇයි?), එසේ
$y = \frac(a+2)(b^2)$ යනු සමීකරණයට විසඳුමකි.
ගැටලුව $4$$x$ හි කුමන අගයන් සඳහා පහත ප්‍රකාශන සමාන අර්ථයන් තිබේද:
A) $5x + a$ සහ $3ax + 4$
B) $2x - 2$ සහ $4x + 5a$
විසඳුම:
එකම අගයන් ලබා ගැනීම සඳහා අපි සමීකරණ සඳහා විසඳුම් සෙවිය යුතුය
$5x + a = 3ax + 4$ සහ $2x – 2 = 4x + 5a$
A) $5x + a = 3ax + 4 \Leftrightarrow$
$5x - 3ax = 4 – a \Leftrightarrow$
$(5 - 3a)x = 4 – a$
$5 - 3a \neq 0$ නම්, i.e. $a \neq \frac(5)(3)$, විසඳුම් $x = \frac(4-a)(5-3a)$
$5 - 3a = 0$ නම්, i.e. $a = \frac(5)(3)$, සමීකරණය $0\cdot x = 4 - \frac(5)(3) \Leftrightarrow$
විසඳුමක් නොමැති $0\cdot x = \frac(7)(3)$
B) $2x - 2 = 4x + 5a \Leftrightarrow$
$-2 - 5a = 4x - 2x \Leftrightarrow$
$2x = - 2 - 5a \Leftrightarrow$
$x = -\frac(2+5a)(2)$
ගැටලුව 5
A) $|ax + 2| = 4$
B) $|2x + 1| = 3a$
C) $|ax + 2a| = 3$
විසඳුම:
A) $|ax + 2| = 4 \Leftrightarrow ax + 2 = 4$ හෝ $ax + 2 = -4 \Leftrightarrow$
$ax = 2$ හෝ $ax = - 6$
$a \neq 0$ නම්, සමීකරණ $x = \frac(2)(a)$ හෝ $x = -\frac(6)(a)$ ආකාරය ගනී
$a = 0$ නම්, සමීකරණයට විසඳුමක් නැත
B) $a නම් $a > 0$ නම්, මෙය $2x + 1 = 3a$ ට සමාන වේ
හෝ $2x + 1 = -3a \Leftrightarrow 2x = 3a - 1 \Leftrightarrow x = \frac(3a-1)(2)$ හෝ
$2x = -3a - 1 \Leftrightarrow x = \frac(3a-1)(2) = -\frac(3a-1)(2)$
C) $|ax + 2a| = 3 \Leftrightarrow ax + 2a = 3$ හෝ $ax + 2a = - 3$,
සහ අපි $ax = 3 - 2a$ හෝ $ax = -3 - 2a$ සොයා ගනිමු
a = 0 නම්, $a \neq 0$ නම් විසඳුම් නොමැත
විසඳුම් වනුයේ: $x = \frac(3-2a)(a)$ සහ $x = -\frac(3+2a)(a)$
ගැටලුව 6 a සහ b නියම පරාමිති වන $2 – x = 2b – 2ax$ සමීකරණය විසඳන්න. විසඳුමක් ලෙස සමීකරණයේ ඇති අගයන් මොනවාදැයි සොයා බලන්න ස්වභාවික අංකය, $b = 7$ නම්
විසඳුම:
මෙම සමීකරණය පහත ආකාරයෙන් ඉදිරිපත් කරමු: $(2a - 1)x = 2(b - 1)$
පහත විකල්ප හැකි ය:
$2a - 1 \neq 0$ නම්, i.e. $a \neq \frac(1)(2)$, සමීකරණයට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත
$x = \frac(2(b-1))(2a-1)$
$a = \frac(1)(2)$ සහ $b = 1$ නම්, සමීකරණය $0\cdot x = 0$ බවට පත්වන අතර ඕනෑම $x$ විසඳුමක් වේ.
$a = \frac(1)(2)$ සහ $b \neq 1$ නම්, අපට $0\cdot x = 2(b - 1)$ ලැබේ, එහිදී $2(b - 1) \neq 0$
මෙම අවස්ථාවේදී, සමීකරණයට විසඳුමක් නොමැත.
$b = 7$ සහ $a \neq \frac(1)(2)$ නම් එකම විසඳුම වේ
$x = \frac(2(7-1))(2a-1) = \frac(12)(2a-1)$
a නිඛිලයක් නම්, $2a - 1$ ද පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් වන අතර විසඳුම වේ
$x = \frac(12)(2a-1)$ යනු ස්වභාවික අංකයකි
$2a - 1$ යනු $12$ සඳහා ධන භාජකයකි.
a නිඛිලයක් වීමට නම් $12$ හි භාජකය ඔත්තේ විය යුතුය. නමුත් $1$ සහ $3$ පමණක් 12න් බෙදිය හැකි ධන ඔත්තේ සංඛ්යා වේ
එබැවින් $2a - 1 = 3 \Leftrightarrow a = 2$ හෝ $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow$
$a = 1 a = 2$ හෝ $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow a = 1$
ගැටලුව 7$|ax - 2 – a| සමීකරණය විසඳන්න = 4$, a යනු පරාමිතියකි. සමීකරණයේ මූලයන් සෘණ නිඛිල වන්නේ කුමන අගයන් සඳහාදැයි සොයා බලන්න.
විසඳුම:
මොඩියුලයේ අර්ථ දැක්වීමෙන් අපට ලැබේ
$|පොරොව - 2 – x| = 4 \Leftrightarrow ax - 2 – x = 4$ හෝ $ax - 2 – x = - 4$
පළමු සමානාත්මතාවයෙන් අපට ලැබෙන්නේ $x(a - 1) - 2 = 4 \Leftrightarrow$
$(a - 1)x = 4 + 2 \Leftrightarrow (a - 1)x = 6$
දෙවන සමානාත්මතාවයෙන් අපට $(a - 1)x = -2$ ලැබේ
$a - 1 = 0$ නම්, i.e. $a = 1$, අවසාන සමීකරණයට විසඳුමක් නැත.
$a \neq 1$ නම් අපි සොයා ගන්නේ $x = \frac(6)(a-1)$ හෝ $x = -\frac(2)(a-1)$
එබැවින් මෙම මූලයන් නොවෙනස්ව පවතී සෘණ සංඛ්යා, පහත සඳහන් දේ කළ යුතුය:
පළමුවැන්න සඳහා, $a - 1$ සමානාත්මතාවය 6 හි සෘණ භාජකයක් විය යුතු අතර, දෙවනුව, එය 2 හි ධන භාජකයක් විය යුතුය.
එවිට $a - 1 = -1; -2; -3; - 6$ හෝ $a - 1 = 1; 2$
අපට $a - 1 = -1 \Leftrightarrow a = 0; a - 1 = -2 \Leftrightarrow$
$a = -1; a - 1 = -3 \Leftrightarrow a = -2; a - 1 = -6 \Leftrightarrow a = -5$
හෝ $a - 1 = 1 \Leftrightarrow a = 2; a - 1 = 2 \Leftrightarrow a = 3$
එවිට $a = -5; -2; -1; 0; 2; 3$ යනු ගැටලුවට විසඳුම් වේ.
ගැටලුව 8සමීකරණය විසඳන්න:
A) $3ax – a = 1 – x$, a යනු පරාමිතියකි;
B) $2ax + b = 2 + x$, a සහ b යනු පරාමිති වේ
විසඳුම:
A) $3ax + x = 1 + a \Leftrightarrow (3a + 1)x = 1 + a$.
$3a + 1 \neq 0$ නම්, i.e. $a \neq -11 /3 /3$ , විසඳුමක් ඇත
$x = \frac(1+a)(3a+1)$
$a = -\frac(1)(3)$ නම් සමීකරණය විසඳුමක් නොමැති $0\cdot x = \frac(1.1)(3)$ ආකාරය ගනී.
B) $2ax – x = 2 – b \Leftrightarrow (2a - 1)x = 2 – b$
$2a - 1 \neq 0$ නම්, i.e. $a \neq \frac(1)(2), x = \frac(2-b)(2a-1)$ යනු විසඳුමයි.
$a = \frac(1)(2)$ නම් සමීකරණය $0.x = 2 – b$ වෙයි
එවිට, $b = 2$ නම්, ඕනෑම x විසඳුමක් වේ, $b \neq 2$ නම්, සමීකරණයට විසඳුමක් නැත.
ගැටලුව 9$6(kx - 6) + 24 = 5kx$ සමීකරණය ලබා දී ඇති අතර, k යනු පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් වේ. k සමීකරණයේ කුමන අගයන් සඳහාදැයි සොයන්න:
A) $-\frac(4)(3)$ මූලය ඇත
B) විසඳුමක් නැත;
C) ස්වභාවික අංකයක් ලෙස මූලයක් ඇත.
විසඳුම:
$6kx - 36 + 24 = 5kx \Leftrightarrow kx = 12$ ආකාරයෙන් සමීකරණය නැවත ලියමු
A) $x = -\frac(4)(3)$ නම්, k සඳහා අපට $-\frac(4)(3k) = 12 \Leftrightarrow k = - 9$ සමීකරණය ලැබේ.
B) $k = 0$ වන විට $kx = 12$ සමීකරණයට විසඳුමක් නොමැත
C) $k \neq 0$ යනු $x = \frac(12)(k)$ හි මුල වන විට සහ එය ස්වභාවික සංඛ්‍යාවක් වන විට, k යනු ධන නිඛිලයක් 12න් බෙදිය හැකි නම්, i.e. $k = 1, 2, 3, 4, 6, 12$
ගැටලුව 10සමීකරණය විසඳන්න:
A) $2ax + 1 = x + a$, a යනු පරාමිතියකි;
B) $2ax + 1 = x + b$, a සහ b යනු පරාමිති වේ.
විසඳුම:
A) $2ax + 1 = x + a \Leftrightarrow 2ax – x = a - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = a - 1$
$2a - 1 \neq 0$ නම්, i.e. $a \neq \frac(1)(2)$, සමීකරණයට ඇති එකම විසඳුම වේ
$x = \frac(a-1)(2a-1)$
$2a - 1 = 0$ නම්, i.e. $a = \frac(1)(2)$, සමීකරණය පෝරමය ගනී
$0.x = \frac(1)(2)- 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(2)$, එයට විසඳුමක් නැත
B) $2ax + 1 = x + b \Leftrightarrow$
$2ax – x = b - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = b - 1$
$2a - 1 \neq 0$ නම්, i.e. $a \neq \frac(1)(2)$, විසඳුම වේ
$x = \frac(b-1)(2a-1)$
$a = \frac(1)(2)$ නම්, සමීකරණ $0.x = b - 1$ ට සමාන වේ.
b = 1 ඕනෑම x විසඳුමක් නම්, $b \neq 1$ නම් විසඳුමක් නොමැත.
ගැටලුව 11$3(ax - 4) + 4 = 2ax$ යන සමීකරණය ලබා දී ඇති අතර එහිදී පරාමිතිය පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් වේ. සමීකරණයේ මූලයන් ලෙස ඇති අගයන් මොනවාදැයි සොයා බලන්න:
A) $\වම(-\frac(2)(3)\දකුණ)$
B) පූර්ණ සංඛ්යාව
C) ස්වභාවික අංකය
විසඳුම:
A) $x = -\frac(2)(3)$ සමීකරණයට විසඳුමක් නම්, එය සත්‍ය විය යුතුය.
$3\left + 4 = 2a\left(-\frac(2)(3)\දකුණ) \Leftrightarrow$
$-2a - 12 + 4 = -\frac(4a)(3) \Leftrightarrow$
$\frac(4a)(3) - 2a = 8 \Leftrightarrow \frac(4a-6a)(3) = 8 \Leftrightarrow$
$-\frac(2a)(3) = 8 \Leftrightarrow a = -12$
B) $3(ax - 4) + 4 = 2ax \Leftrightarrow 3ax - 2ax = 12 - 4 \Leftrightarrow ax = 8$
$a \neq 0$ විසඳුම $x = \frac(8)(a)$ නම්, a $8$ හි භාජකය නම් එය පූර්ණ සංඛ්‍යාවකි.
ඒක තමයි; $±2; ± 4; ±8$
$a=0$ නම්, සමීකරණයට විසඳුමක් නැත
C) මෙම විසඳුම සඳහා ස්වභාවික (ධන නිඛිල) අංකයක් ලබා ගැනීමට $x=\frac(8)(a)$ අංකය සමාන විය යුතුය: $a=1, 2, 4, 8$
ගැටලුව 12$2 – x = 2b – 2ax$ සමීකරණය ලබා දී ඇත, මෙහි $a$ සහ $b$ පරාමිති වේ. $b = 7$ නම් ස්වභාවික සංඛ්‍යාවක ආකාරයෙන් සමීකරණයේ විසඳුම් ඇත්තේ කුමන අගයන් සඳහාද යන්න සොයා බලන්න.
විසඳුම:
අපි $b = 7$ සමීකරණයට ආදේශ කර $2 – x = 2.7 - 2ax \Leftrightarrow$ ලබා ගනිමු.
$2ax – x = 14 – 2 \Leftrightarrow (2a - 1)x = 12$
$2a -1 \neq 0$ නම්, i.e. $a \neq \frac(1)(2)$, සමීකරණය පෝරමය ගනී
$x = \frac(12)(2a-1)$ වන අතර $2a - 1$ යන හරය $12$ ක ධන ලාභාංශයක් නම් එය ස්වභාවික සංඛ්‍යාවක් වනු ඇති අතර ඊට අමතරව එය පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් වීමට නම් එය අවශ්ය වේ. $2a - 1$ ඔත්තේ අංකයක් බව.
එබැවින් $2a - 1$ $1$ හෝ $3$ විය හැක
$2a සිට - 1 = 1 \Leftrightarrow 2a = 2 \Leftrightarrow a = 1$ සහ $2a - 1 = 3$
$\Leftrightarrow 2a = 4 \Leftrightarrow a = 2$
ගැටලුව 13$f(x) = (3a - 1)x - 2a + 1$ ශ්‍රිතයක් ලබා දී ඇත, මෙහි a යනු පරාමිතියකි. ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයක අගයන් මොනවාදැයි සොයන්න:
A) x අක්ෂය තරණය කරයි;
B) x අක්ෂය තරණය කරයි
විසඳුම:
ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරය x-අක්ෂය තරණය කිරීම සඳහා, එය අවශ්ය වේ
$(3a - 1)\cdot x -2a + 1 = 0$ හි විසඳුම් තිබූ අතර x-අක්ෂයේ ඡේදනය නොවීම සඳහා විසඳුමක් නොතිබුණි.
සමීකරණයෙන් අපට $(3a - 1)x = 2a - 1$ ලැබේ
$3a - 1 \neq 0$ නම්, i.e. $a \neq \frac(1)(3)$, සමීකරණයට විසඳුම් ඇත
$x = \frac(2a-1)(3a-1)$, එබැවින් ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය x-අක්ෂය ඡේදනය කරයි.
$a = \frac(1)(3)$ නම්, අපට ලැබෙන්නේ $0.x = \frac(2)(3) - 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(3)$, එය නොලැබේ විසඳුම් ඇත.
එබැවින්, $a = \frac(1)(3)$ නම්, ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාරය x-අක්ෂය ඡේදනය නොවේ.
ගැටලුව 14පරාමිතික සමීකරණය විසඳන්න:
A) $|x -2| =a$
B) $|ax -1| = 3$
C) $|ax - 1| = a - 2$
විසඳුම:
A) $a 0$ නම් අපට ලැබෙන්නේ:
$|x - 2| = a \Leftrightarrow x - 2 = a$ හෝ $x - 2 = -a$
$x සිට - 2 = a \Rightarrow x = a + 2$, සහ සිට
$x - 2 = -a \Rightarrow x = 2 – a$
$a = 0$ නම් $x - 2 = 0$ හෝ $x = 2$
B) $|ax - 1| = 3 \Leftrightarrow ax - 1 = 3$ හෝ $ax - 1 = -3$
කොහෙන්ද $ax = 4$ හෝ $ax = - 2$
$a \neq 0$ විසඳුම් නම්: $x = \frac(4)(a)$ හෝ $x = -\frac(2)(a)$
$a = 0$ නම්, මෙහි විසඳුමක් නොමැත
C) $a - 2 නම් $a - 2 > 0$, i.e. $a > 2$ අපිට ලැබෙනවා
$|පොරව - 1| = a - 2 \Leftrightarrow ax - 1 = a - 2$ හෝ $ax - 1 = 2 – a$
ඉතින් අපිට $ax = a - 1$ හෝ $ax = 3 - a$ ලැබෙනවා
මන්ද $a > 2, a\neq 0$, එබැවින්
$x = \frac(a-1)(a)$ හෝ $x = \frac(3-a)(a)$.
$a = 2$ නම්, සමීකරණ සමාන වේ
$2x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac(1)(2)$
ගැටලුව 15 m (a) පරාමිතියේ කුමන අගයන් සඳහා සමීකරණ දෙක සමානදැයි සොයා බලන්න:
A) $\frac(x+m)(2) = 1 – m$ සහ $(-x - 1) ^2 - 1 = x^2$
B) $\frac(x+m)(2) = 1 – m$ සහ $\frac(x-m)(3) = 1 - 2m$
C) $|3 – x| + x^2 -5x + 3 = 0$ සහ $ax + 2a = 1 + x$ නම් $x > 3$
විසඳුම:
A) දෙවන සමීකරණය විසඳමු. අපි එය පෝරමයේ ලියන්නෙමු:
$(-x - 1)^2 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$[(-1)(x + 1) ]^2 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$x^2 + 2x + 1 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$2x = 0 \Leftrightarrow x = 0$
පළමු එකට අපි ලබා ගනිමු
$\frac(x+m)(2) = 1 – m \Leftrightarrow x + m = 2 - 2m \Leftrightarrow x = 2 - 3m$
මෙම සමීකරණ දෙක සමාන මූලයන් තිබේ නම්, i.e.
$2 - 3m = 0 \Leftrightarrow$ $m = \frac(2)(3)$
B) පළමු සමීකරණය සඳහා විසඳුම $x = 2 - 3m$ වන අතර දෙවැන්න සඳහා අපට ලැබේ
$x – m = 3 - 6m \Leftrightarrow$ $x = 3 – 5m$
ඔවුන් විට එකම මූලයන් ඇත
$2 - 3m = 3 - 5m \Leftrightarrow 5m - 3m = 3 - 2 \Leftrightarrow 2m = 1 \Leftrightarrow m = \frac(1)(2)$
C) $x > 3, 3 – x $|3 – x| සිට = -(3 – x) = x - 3$
පළමු සමීකරණය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත: $x - 3 + x^2 – 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow$
$x^2 - 4x – 0 \Leftrightarrow x(x - 4) = 0 \Leftrightarrow$
$x = 0$ හෝ $x = 4$
$x > 3$ යන කොන්දේසිය සමඟ, එබැවින් විසඳුම වන්නේ $x = 4$ පමණි. දෙවන සමීකරණය සඳහා අපට ලැබේ
$ax – x = 1 - 2a \Leftrightarrow (a - 1)x = 1 - 2a$
$a - 1 = 0$ නම්, විසඳුමක් නැත (ඇයි?), $a - 1 \neq 0$ නම්, i.e. $a \neq 1$, විසඳුම
$x = \frac(1-2a)(a-1)$ $4 = \frac(1-2a)(a-1) \Leftrightarrow$ $4(a - 1) = 1 - 2a නම් මෙම සමීකරණ දෙක සමාන වේ \Leftrightarrow 4a + 2a = 1 + 4 \Leftrightarrow 6a = 5 \Leftrightarrow a = \frac(5)(6)$
මෙම ලිපියෙන් අපි ගුවන් යානයක සරල රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණය සලකා බලමු. මෙම රේඛාවේ ලක්ෂ්ය දෙකක් දන්නේ නම් හෝ මෙම රේඛාවේ එක් ලක්ෂ්යයක් සහ දිශා දෛශිකයක් දන්නේ නම් රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණයක් ගොඩනැගීමේ උදාහරණ අපි දක්වමු. පරාමිතික ස්වරූපයෙන් සමීකරණයක් කැනොනිකල් සහ සාමාන්ය ආකාර බවට පරිවර්තනය කිරීමේ ක්‍රම අපි ඉදිරිපත් කරමු.
රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණය එල්තලය මත පහත සූත්‍රය මගින් නිරූපණය කෙරේ:
| (1) |
කොහෙද x 1 , yයම් ලක්ෂයක ඛණ්ඩාංක 1ක් එම් 1 කෙළින්ම එල්. දෛශිකය q={මීටර්, පි) යනු රේඛාවේ දිශා දෛශිකය වේ එල්, ටී- සමහර පරාමිතිය.
සරල රේඛාවක සමීකරණය පරාමිතික ආකාරයෙන් ලියන විට, සරල රේඛාවේ දිශානති දෛශිකය ශුන්‍ය දෛශිකයක් නොවිය යුතු බව සලකන්න, එනම් අවම වශයෙන් යොමු කරන දෛශිකයේ එක් ඛණ්ඩාංකයක්වත් qශුන්‍ය නොවන විය යුතුය.
කාටිසියානු තලයක සරල රේඛාවක් තැනීමට සෘජුකෝණාස්රාකාර පද්ධතියපරාමිතික සමීකරණය (1) මගින් ලබා දී ඇති ඛණ්ඩාංක, පරාමිතිය සැකසීමට එය ප්රමාණවත් වේ ටීදෙකක් විවිධ අර්ථ, ගණනය කරන්න xසහ yසහ මෙම ලක්ෂ්ය හරහා සරල රේඛාවක් අඳින්න. දී ටී=0 අපට කරුණක් ඇත එම් 1 (x 1 , y 1) දී ටී=1, අපට ලක්ෂ්යයක් ලැබේ එම් 2 (x 1 +මීටර්, y 1 +පි).
තලයක සරල රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණයක් සම්පාදනය කිරීමට එල්එය සරල රේඛාවක් මත ලක්ෂ්යයක් තිබීම ප්රමාණවත්ය එල්සහ රේඛාවක දිශා දෛශිකයක් හෝ රේඛාවකට අයත් ලක්ෂ්ය දෙකක් එල්. පළමු අවස්ථාවේ දී, සරල රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණයක් තැනීම සඳහා, ඔබ ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක සහ දිශා දෛශික සමීකරණයට (1) ඇතුළත් කළ යුතුය. දෙවන අවස්ථාවේදී, ඔබ මුලින්ම රේඛාවේ දිශානත දෛශිකය සොයා ගත යුතුය q={මීටර්, පි), ලක්ෂ්යවල අනුරූප ඛණ්ඩාංක අතර වෙනස්කම් ගණනය කිරීම එම් 1 සහ එම් 2: මීටර්=x 2 −x 1 , පි=y 2 −y 1 (රූපය 1). ඊළඟට, පළමු අවස්ථාවට සමානව, එක් ලක්ෂයක ඛණ්ඩාංක ආදේශ කරන්න (එය කුමන එකක්ද යන්න ගැටළුවක් නොවේ) සහ දිශා දෛශිකය q(1) හි සරල රේඛාව.
උදාහරණ 1. සරල රේඛාවක් ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරයි එම්=(3,-1) සහ දිශා දෛශිකයක් ඇත q=(-3, 5). සරල රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණයක් සාදන්න.
විසඳුම. සරල රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණයක් තැනීම සඳහා, අපි ලක්ෂ්‍යයේ සහ දිශා දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක (1) සමීකරණයට ආදේශ කරමු:
ලැබෙන සමීකරණය අපි සරල කරමු:
ප්‍රකාශන වලින් (3), අපට තලයක සරල රේඛාවක කැනොනිකල් සමීකරණය ලිවිය හැකිය:
මෙම සරල රේඛා සමීකරණය කැනොනිකල් ස්වරූපයට ගෙන එන්න.
විසඳුම: පරාමිතිය ප්රකාශ කරන්න ටීවිචල්යයන් හරහා xසහ y:
 | (5) |
ප්‍රකාශන (5) වලින් අපට ලිවිය හැක:
“තලයක රේඛාවක සමීකරණය” යන මාතෘකාවේ එක් උප අයිතමයක් වන්නේ සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක තලයක රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ ඇඳීමේ ගැටලුවයි. පහත ලිපියෙන් සමහර දන්නා දත්ත ලබා දී එවැනි සමීකරණ සම්පාදනය කිරීමේ මූලධර්මය සාකච්ඡා කරයි. පරාමිතික සමීකරණවල සිට වෙනත් වර්ගයක සමීකරණ වෙත ගමන් කරන්නේ කෙසේදැයි අපි පෙන්වන්නෙමු; සාමාන්ය ගැටළු විසඳීම දෙස බලමු.
මෙම රේඛාවට අයත් ලක්ෂ්යයක් සහ රේඛාවේ දිශා දෛශිකයක් නියම කිරීමෙන් නිශ්චිත රේඛාවක් අර්ථ දැක්විය හැක.
අපි හිතමු අපිට O x y සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් ලබා දුන්නා කියලා. තවද a සරල රේඛාවක් ලබා දී ඇත, එය මත ඇති M 1 ලක්ෂ්යය (x 1, y 1) සහ ලබා දී ඇති සරල රේඛාවේ දිශා දෛශිකය දක්වයි. a → = (a x , a y) . ලබා දී ඇති සරල රේඛාව පිළිබඳ විස්තරයක් සමීකරණ භාවිතා කරමු.
අපි අත්තනෝමතික ලක්ෂ්යයක් M (x, y) භාවිතා කර දෛශිකයක් ලබා ගනිමු M 1 M → ; ආරම්භක සහ අවසාන ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක වලින් එහි ඛණ්ඩාංක ගණනය කරමු: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) . අපට ලැබුණු දේ විස්තර කරමු: සරල රේඛාවක් M (x, y) ලක්ෂ්ය සමූහයකින් අර්ථ දක්වා ඇත, M 1 (x 1, y 1) ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන අතර දිශා දෛශිකයක් ඇත. a → = (a x , a y) . මෙම කට්ටලය සරල රේඛාවක් අර්ථ දක්වන්නේ M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) සහ a → = (a x, a y) දෛශික වූ විට පමණි.
අවශ්ය සහ ඇත ප්රමාණවත් තත්ත්වයදෛශිකවල සහසම්බන්ධතාවය, මෙම අවස්ථාවේ දී දෛශික සඳහා M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) සහ a → = (a x, a y) සමීකරණයක් ලෙස ලිවිය හැකිය:
M 1 M → = λ · a → , මෙහි λ යනු යම් තාත්වික සංඛ්‍යාවක් වේ.
අර්ථ දැක්වීම 1
M 1 M → = λ · a → සමීකරණය රේඛාවේ දෛශික-පරාමිතික සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ.
ඛණ්ඩාංක ස්වරූපයෙන් එය පෙනෙන්නේ:
M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ යන පද්ධතියේ සමීකරණ සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක තලයක සරල රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ ලෙස හැඳින්වේ. නමේ සාරය පහත පරිදි වේ: සරල රේඛාවක ඇති සියලුම ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ආකෘතියේ තලයක පරාමිතික සමීකරණ මගින් තීරණය කළ හැක. පරාමිතියෙහි අගයන් λ
ඉහත සඳහන් පරිදි, x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ තලයේ සරල රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ, සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක අර්ථ දක්වා ඇති සරල රේඛාවක් නිර්වචනය කරයි, M ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරයි. 1 (x 1, y 1) සහ මාර්ගෝපදේශ දෛශිකයක් ඇත a → = (a x , a y) . ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, රේඛාවක යම් ලක්ෂයක ඛණ්ඩාංක සහ එහි දිශා දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක ලබා දෙන්නේ නම්, ලබා දී ඇති රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ වහාම ලියා තැබිය හැකිය.
උදාහරණ 1
සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක තලයක සරල රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ සකස් කිරීම අවශ්ය වන්නේ එයට අයත් M 1 (2, 3) ලක්ෂ්යය සහ එහි දිශා දෛශිකය ලබා දී ඇත්නම් a → = (3 , 1) .
විසඳුම
ආරම්භක දත්ත මත පදනම්ව, අපි ලබා ගන්නේ: x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y = 1. පරාමිතික සමීකරණපෙනෙනු ඇත:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + 1 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ
අපි පැහැදිලිව නිදර්ශනය කරමු:
පිළිතුර: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ
එය සටහන් කළ යුතුය: දෛශිකය නම් a → = (a x , a y) a ඍජු රේඛාවේ දිශා දෛශිකය ලෙස ක්‍රියා කරන අතර M 1 (x 1, y 1) සහ M 2 (x 2, y 2) ලක්ෂ්ය මෙම රේඛාවට අයත් වේ, එවිට එය පෝරමයේ පරාමිතික සමීකරණ නියම කිරීමෙන් තීරණය කළ හැක: x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , මෙන්ම මෙම විකල්පය: x = x 2 + a x · λ y = y 2 + a y · λ .
උදාහරණයක් ලෙස, අපට සරල රේඛාවක දිශා දෛශිකයක් ලබා දී ඇත a → = (2, - 1), මෙන්ම ලකුණු M 1 (1, - 2) සහ M 2 (3, - 3) මෙම රේඛාවට අයත් වේ. එවිට සරල රේඛාව පරාමිතික සමීකරණ මගින් තීරණය වේ: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ හෝ x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ.
ඔබ පහත සඳහන් කරුණ කෙරෙහි ද අවධානය යොමු කළ යුතුය: නම් a → = (a x , a y) a රේඛාවේ දිශා දෛශිකය වේ, එවිට ඕනෑම දෛශිකයක් එහි දිශා දෛශිකය වේ μ · a → = (μ · a x , μ · a y) , මෙහි μ ϵ R , μ ≠ 0 .
මේ අනුව, සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක තලයක සරල රේඛාව a පරාමිතික සමීකරණ මගින් තීරණය කළ හැක: x = x 1 + μ · a x · λ y = y 1 + μ · a y · λ ශුන්‍යයට වඩා μ හි ඕනෑම අගයක් සඳහා.
x = 3 + 2 · λ y = - 2 - 5 · λ යන පරාමිතික සමීකරණ මගින් සරල රේඛාව a ලබා දී ඇතැයි කියමු. එතකොට a → = (2 , - 5) - මෙම සරල රේඛාවේ දිශා දෛශිකය. තවද μ · a → = (μ · 2, μ · - 5) = 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0 ඕනෑම දෛශිකයක් දී ඇති රේඛාවක් සඳහා මාර්ගෝපදේශක දෛශිකයක් බවට පත්වේ. පැහැදිලිකම සඳහා, විශේෂිත දෛශිකයක් සලකා බලන්න - 2 · a → = (- 4, 10), එය μ = - 2 අගයට අනුරූප වේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ලබා දී ඇති සරල රේඛාව x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ යන පරාමිතික සමීකරණ මගින් ද තීරණය කළ හැකිය.
තලයක රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණවල සිට දී ඇති රේඛාවක සහ පසුපසට වෙනත් සමීකරණ වෙත සංක්රමණය වීම
සමහර ගැටළු විසඳීමේදී, පරාමිතික සමීකරණ භාවිතා කිරීම වඩාත් ප්රශස්ත විකල්පය නොවේ, එවිට සරල රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ වෙනත් ආකාරයේ සරල රේඛාවක සමීකරණ බවට පරිවර්තනය කිරීම අවශ්ය වේ. මෙය කරන්නේ කෙසේදැයි බලමු.
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ආකෘතියේ සරල රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ x - x 1 a x = y - y 1 a y තලයේ සරල රේඛාවක කැනොනිකල් සමීකරණයට අනුරූප වේ. .
λ පරාමිතිය සම්බන්ධයෙන් අපි එක් එක් පරාමිතික සමීකරණ විසඳා, ලැබෙන සමානාත්මතාවයේ දකුණු පස සමාන කර ලබා දී ඇති සරල රේඛාවේ කැනොනිකල් සමීකරණය ලබා ගනිමු:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y
මෙම අවස්ථාවේදී, x හෝ y ශුන්‍යයට සමාන නම් එය ව්‍යාකූල නොවිය යුතුය.
උදාහරණ 2
x = 3 y = - 2 - 4 · λ සරල රේඛාවේ පරාමිතික සමීකරණ වලින් කැනොනිකල් සමීකරණයට සංක්‍රමණයක් සිදු කිරීම අවශ්ය වේ.
විසඳුම
ලබා දී ඇති පරාමිතික සමීකරණ පහත ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු: x = 3 + 0 · λ y = - 2 - 4 · λ
අපි එක් එක් සමීකරණවල λ පරාමිතිය ප්රකාශ කරමු: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4
අපි සමීකරණ පද්ධතියේ දකුණු පස සමාන කර තලයේ සරල රේඛාවක අවශ්ය කැනොනිකල් සමීකරණය ලබා ගනිමු:
x - 3 0 = y + 2 - 4
පිළිතුර: x - 3 0 = y + 2 - 4
A x + B y + C = 0 පෝරමයේ රේඛාවක සමීකරණයක් ලිවීමට අවශ්ය වූ විට සහ තලයක රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ ලබා දී ඇති විට, පළමුව කැනොනිකල් වෙත සංක්රමණය කිරීම අවශ්ය වේ. සමීකරණය, ඉන්පසු රේඛාවේ පොදු සමීකරණයට. අපි සම්පූර්ණ ක්‍රියා අනුපිළිවෙල ලියා තබමු:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ · ⇔ a x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0
උදාහරණය 3
ලියා තැබිය යුතුය සාමාන්ය සමීකරණයසරල රේඛාව එය නිර්වචනය කරන පරාමිතික සමීකරණ ලබා දී ඇත්නම්: x = - 1 + 2 · λ y = - 3 · λ
විසඳුම
පළමුව, අපි කැනොනිකල් සමීකරණයට සංක්රමණය කරමු:
x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3
ලැබෙන අනුපාතය සමානාත්මතාවයට සමාන වේ - 3 · (x + 1) = 2 · y. අපි වරහන් විවෘත කර රේඛාවේ සාමාන්ය සමීකරණය ලබා ගනිමු: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0.
පිළිතුර: 3 x + 2 y + 3 = 0
ඉහත ක්‍රියාවන්හි තර්කනය අනුගමනය කරමින්, කෝණ සංගුණකයක් සහිත රේඛාවක සමීකරණය ලබා ගැනීම සඳහා, ඛණ්ඩවල රේඛාවක සමීකරණය හෝ සාමාන්ය සමීකරණයසරල රේඛාව, සරල රේඛාවේ සාමාන්ය සමීකරණය ලබා ගැනීම අවශ්ය වන අතර, එයින් තවදුරටත් සංක්රමණය සිදු කරන්න.
දැන් ප්‍රතිලෝම ක්‍රියාව සලකා බලන්න: මෙම රේඛාවේ සමීකරණවල වෙනස් වූ ආකාරයක් සහිත රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ ලිවීම.
සරලම සංක්‍රාන්තිය: කැනොනිකල් සමීකරණයේ සිට පරාමිතික ඒවා දක්වා. පෝරමයේ කැනොනිකල් සමීකරණයක් ලබා දෙන්න: x - x 1 a x = y - y 1 a y. මෙම සමානාත්මතාවයේ එක් එක් සම්බන්ධතාව λ පරාමිතියට සමාන ලෙස ගනිමු.
x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y
අපි x සහ y විචල්‍යයන් සඳහා ලැබෙන සමීකරණ විසඳමු:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ
උදාහරණය 4
තලයේ ඇති රේඛාවේ කැනොනිකල් සමීකරණය දන්නේ නම් රේඛාවේ පරාමිතික සමීකරණ ලිවීම අවශ්ය වේ: x - 2 5 = y - 2 2
විසඳුම
අපි දන්නා සමීකරණයේ කොටස් λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ පරාමිතියට සමාන කරමු. ලැබෙන සමානාත්මතාවයෙන් අපි රේඛාවේ පරාමිතික සමීකරණ ලබා ගනිමු: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ
පිළිතුර: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ
රේඛාවක දී ඇති සාමාන්ය සමීකරණයකින්, කෝණික සංගුණකයක් සහිත රේඛාවක සමීකරණයකින් හෝ ඛණ්ඩවල රේඛාවක සමීකරණයකින් පරාමිතික සමීකරණ වෙත සංක්රමණය වීමට අවශ්ය වූ විට, මුල් සමීකරණය කැනොනිකල් වෙත ගෙන ඒම අවශ්ය වේ. එකක්, පසුව පරාමිතික සමීකරණ වෙත සංක්රමණය කරන්න.
උදාහරණ 5
මෙම රේඛාවේ දන්නා සාමාන්ය සමීකරණයක් සහිත රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ ලිවීම අවශ්ය වේ: 4 x - 3 y - 3 = 0.
විසඳුම
දී ඇති සාමාන්ය සමීකරණය කැනොනිකල් ආකාරයේ සමීකරණයක් බවට පරිවර්තනය කරමු:
4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4
අපි සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තම λ පරාමිතියට සමාන කර සරල රේඛාවේ අවශ්ය පරාමිතික සමීකරණ ලබා ගනිමු:
x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ
පිළිතුර: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ
ගුවන් යානයක රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ සමඟ උදාහරණ සහ ගැටළු
සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක තලයක රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ භාවිතා කරන වඩාත් පොදු ගැටළු සලකා බලමු.
- පළමු වර්ගයේ ගැටළු වලදී, පරාමිතික සමීකරණ මගින් විස්තර කරන ලද රේඛාවකට අයත් වුවත් නැතත්, ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක ලබා දෙනු ලැබේ.
එවැනි ගැටළු සඳහා විසඳුම පහත සඳහන් කරුණ මත පදනම් වේ: x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ පරාමිතික සමීකරණ වලින් තීරණය කරනු ලබන සංඛ්යා (x, y), යම් සැබෑ අගයක් සඳහා λ, ඛණ්ඩාංක වේ. මෙම පරාමිතික සමීකරණ විස්තර කර ඇති රේඛාවට අයත් ලක්ෂ්‍යයක.
උදාහරණ 6
λ = 3 සඳහා x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ පරාමිතික සමීකරණ මගින් නියම කර ඇති රේඛාවක් මත පිහිටා ඇති ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ.
විසඳුම
අපි දන්නා අගය λ = 3 ලබා දී ඇති පරාමිතික සමීකරණවලට ආදේශ කර අවශ්ය ඛණ්ඩාංක ගණනය කරමු: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5
පිළිතුර: 1 1 2 , 5
පහත කාර්යය ද කළ හැකිය: සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක තලයක නිශ්චිත ලක්ෂ්යයක් M 0 (x 0 , y 0) ලබා දීමට ඉඩ හරින්න සහ මෙම ලක්ෂ්යය x = x පරාමිතික සමීකරණ මගින් විස්තර කරන ලද රේඛාවට අයත් දැයි ඔබ තීරණය කළ යුතුය. 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ .
එවැනි ගැටළුවක් විසඳීම සඳහා, දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක සරල රේඛාවක දන්නා පරාමිතික සමීකරණවලට ආදේශ කිරීම අවශ්ය වේ. පරාමිතික සමීකරණ දෙකම සත්‍ය වන λ = λ 0 පරාමිතියේ අගයක් හැකි බව තීරණය කරන්නේ නම්, ලබා දී ඇති ලක්ෂ්යය ලබා දී ඇති සරල රේඛාවට අයත් වේ.
උදාහරණ 7
ලකුණු M 0 (4, - 2) සහ N 0 (- 2, 1) ලබා දී ඇත. ඒවා x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ පරාමිතික සමීකරණ මගින් අර්ථ දක්වා ඇති රේඛාවට අයත් දැයි තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ.
විසඳුම
M 0 (4, - 2) ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක ලබා දී ඇති පරාමිතික සමීකරණවලට ආදේශ කරමු:
4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2
M 0 ලක්ෂ්යය ලබා දී ඇති රේඛාවට අයත් බව අපි නිගමනය කරමු, මන්ද λ = 2 අගයට අනුරූප වේ.
2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4
නිසැකවම, N 0 අනුරූප වන λ පරාමිතියක් නොමැත. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ලබා දී ඇති සරල රේඛාව N 0 (- 2, 1) ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් නොකරයි.
පිළිතුර:ලක්ෂ්යය M 0 ලබා දී ඇති රේඛාවකට අයත් වේ; ලක්ෂ්යය N 0 ලබා දී ඇති රේඛාවට අයත් නොවේ.
- දෙවන වර්ගයේ ගැටළු වලදී, සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක තලයක රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ සකස් කිරීම අවශ්ය වේ. එවැනි ගැටලුවක සරලම උදාහරණය (රේඛාවේ ලක්ෂ්‍යයේ සහ දිශා දෛශිකයේ දන්නා ඛණ්ඩාංක සමඟ) ඉහත සලකා බලන ලදී. දැන් අපි මුලින්ම මාර්ගෝපදේශ දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගත යුතු උදාහරණ දෙස බලමු, ඉන්පසු පරාමිතික සමීකරණ ලියන්න.
M 1 1 2, 2 3 ලක්ෂ්යය ලබා දී ඇත. x 2 = y - 3 - 1 රේඛාවට සමාන්තරව මෙම ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ නිර්මාණය කිරීම අවශ්ය වේ.
විසඳුම
ගැටලුවේ කොන්දේසි අනුව, සරල රේඛාව, අපට ඉදිරියට යා යුතු සමීකරණය, x 2 = y - 3 - 1 සරල රේඛාවට සමාන්තර වේ. එවිට, හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවේ දිශා දෛශිකය ලෙස ලබා දී ඇති ලක්ෂ්යය, x 2 = y - 3 - 1 යන සරල රේඛාවේ දිශානති දෛශිකය භාවිතා කළ හැකිය, එය අපි පෝරමයේ ලියන්නෙමු: a → = (2, - 1) . අවශ්ය පරාමිතික සමීකරණ සකස් කිරීම සඳහා අවශ්ය සියලු දත්ත දැන් දනී:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 1 2 + 2 · λ y = 2 3 + (- 1) · λ ⇔ x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ
පිළිතුර: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ .
උදාහරණ 9
ලක්ෂ්යය M 1 (0, - 7) ලබා දී ඇත. 3 x – 2 y – 5 = 0 රේඛාවට ලම්බකව මෙම ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ ලිවීම අවශ්ය වේ.
විසඳුම
සරල රේඛාවේ දිශා දෛශිකය ලෙස, සම්පාදනය කළ යුතු සමීකරණය, සරල රේඛාවේ 3 x – 2 y – 5 = 0 සාමාන්ය දෛශිකය ගත හැක. එහි ඛණ්ඩාංක (3, - 2) වේ. සරල රේඛාවේ අවශ්ය පරාමිතික සමීකරණ අපි ලියන්නෙමු:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 0 + 3 · λ y = - 7 + (- 2) · λ ⇔ x = 3 · λ y = - 7 - 2 · λ
පිළිතුර: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ
- තුන්වන වර්ගයේ ගැටළු වලදී, දී ඇති රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ වලින් එය තීරණය කරන වෙනත් ආකාරයේ සමීකරණ වෙත සංක්රමණය කිරීම අවශ්ය වේ. ඉහත සමාන උදාහරණ සඳහා අපි තවත් එකක් දෙන්නෙමු.
x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ පරාමිතික සමීකරණ මගින් අර්ථ දක්වා ඇති සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක තලයක සරල රේඛාවක් ලබා දී ඇත. මෙම රේඛාවේ ඕනෑම සාමාන්ය දෛශිකයක ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ.
විසඳුම
සාමාන්ය දෛශිකයේ අවශ්ය ඛණ්ඩාංක තීරණය කිරීම සඳහා, අපි පරාමිතික සමීකරණවල සිට සාමාන්ය සමීකරණයට සංක්රමණය කරන්නෙමු:
x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0
x සහ y විචල්‍යවල සංගුණක සාමාන්ය දෛශිකයේ අවශ්ය ඛණ්ඩාංක අපට ලබා දෙයි. මේ අනුව, x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ රේඛාවේ සාමාන්ය දෛශිකයට 1, 3 4 ඛණ්ඩාංක ඇත.
පිළිතුර: 1 , 3 4 .
ඔබ පෙළෙහි දෝෂයක් දුටුවහොත්, කරුණාකර එය උද්දීපනය කර Ctrl+Enter ඔබන්න
මෙම ඡේදය කියවීමට වග බලා ගන්න!පරාමිතික සමීකරණ, ඇත්ත වශයෙන්ම, අවකාශීය ජ්යාමිතියෙහි ඇල්ෆා සහ ඔමේගා නොව, බොහෝ ගැටළු වල වැඩ කරන කුහුඹුවන් වේ. එපමණක් නොව, මෙම ආකාරයේ සමීකරණ බොහෝ විට අනපේක්ෂිත ලෙස භාවිතා වන අතර, මම අලංකාර ලෙස කියමි.
රේඛාවකට අයත් ලක්ෂ්යය සහ මෙම රේඛාවේ දිශා දෛශිකය දන්නේ නම්, මෙම රේඛාවේ පරාමිතික සමීකරණ පද්ධතිය මඟින් ලබා දෙනු ලැබේ:
මම පන්තියේදී පරාමිතික සමීකරණ සංකල්පය ගැනම කතා කළා ගුවන් යානයක සරල රේඛාවක සමීකරණයසහ පරාමිතිකව අර්ථ දක්වා ඇති ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නය.
තැම්බූ ටර්නිප් වලට වඩා සෑම දෙයක්ම සරලයි, එබැවින් ඔබට ගැටලුව කුළු බඩු කිරීමට සිදු වනු ඇත:
උදාහරණ 7
විසඳුම: රේඛා කැනොනිකල් සමීකරණ මගින් ලබා දී ඇති අතර පළමු අදියරේදී ඔබට රේඛාවට සහ එහි දිශා දෛශිකයට අයත් යම් ලක්ෂ්යයක් සොයාගත යුතුය.
a) සමීකරණ වලින් අපි ලක්ෂ්යය සහ දිශාව දෛශිකය ඉවත් කරමු: . ඔබට තවත් කරුණක් තෝරා ගත හැකිය (මෙය කරන්නේ කෙසේද යන්න ඉහත විස්තර කර ඇත), නමුත් වඩාත්ම පැහැදිලි එකක් ගැනීම වඩා හොඳය. මාර්ගය වන විට, වැරදි වළක්වා ගැනීම සඳහා, සෑම විටම එහි ඛණ්ඩාංක සමීකරණවලට ආදේශ කරන්න.
මෙම රේඛාව සඳහා පරාමිතික සමීකරණ නිර්මාණය කරමු:
පරාමිතික සමීකරණවල පහසුව නම්, රේඛාවක වෙනත් ලක්ෂ්ය සොයා ගැනීම ඉතා පහසු වීමයි. උදාහරණයක් ලෙස, පරාමිතියේ අගයට අනුරූප වන ඛණ්ඩාංක ඇති ලක්ෂ්යයක් සොයා ගනිමු:
මේ අනුව:
ආ) කැනොනිකල් සමීකරණ සලකා බලන්න. මෙහි ලක්ෂ්යයක් තෝරා ගැනීම අපහසු නැත, නමුත් ද්‍රෝහී: (ඛණ්ඩාංක ව්‍යාකූල නොකිරීමට ප්‍රවේශම් වන්න!!!). මාර්ගෝපදේශ දෛශිකය ඉවත් කරන්නේ කෙසේද? මෙම රේඛාව සමාන්තර වන්නේ කුමක් දැයි ඔබට අනුමාන කළ හැකිය, නැතහොත් ඔබට සරල විධිමත් තාක්ෂණයක් භාවිතා කළ හැකිය: "Y" සහ "Z" සමානුපාතික වේ, එබැවින් දිශා දෛශිකය ලියා ඉතිරි ඉඩෙහි ශුන්‍යයක් තබමු: .
සරල රේඛාවේ පරාමිතික සමීකරණ සම්පාදනය කරමු:
ඇ) පෝරමයේ සමීකරණ නැවත ලියමු, එනම් "zet" ඕනෑම දෙයක් විය හැකිය. සහ කිසියම් අයෙකු විසින් නම්, උදාහරණයක් ලෙස, ඉඩ දෙන්න. මේ අනුව, ලක්ෂ්යය මෙම රේඛාවට අයත් වේ. දිශා දෛශිකය සොයා ගැනීම සඳහා, අපි පහත විධිමත් තාක්‍ෂණය භාවිතා කරමු: මුල් සමීකරණවල “x” සහ “y” ඇති අතර, මෙම ස්ථානවල දිශා දෛශිකයේ අපි ලියන්නෙමු. බිංදු: . ඉතිරි අවකාශයේ අපි තබමු ඒකකය: . එකක් වෙනුවට, බිංදුව හැර ඕනෑම අංකයක් කරනු ඇත.
සරල රේඛාවේ පරාමිතික සමීකරණ ලියන්නෙමු:
පුහුණුව සඳහා:
උදාහරණ 8
පහත සරල රේඛා වල පරාමිතික සමීකරණ සම්පාදනය කරන්න:
පාඩම අවසානයේ විසඳුම් සහ පිළිතුරු. ඔබට ලැබෙන පිළිතුරු මගේ පිළිතුරු වලට වඩා තරමක් වෙනස් විය හැක, කාරණය එයයි පරාමිතික සමීකරණ එක් ආකාරයකට වඩා ලිවිය හැක. ඔබේ සහ මගේ දිශා දෛශික එක රේඛීය වීම වැදගත් වන අතර ඔබේ ලක්ෂ්යය මගේ සමීකරණවලට “ගැළපේ” (හොඳයි, හෝ අනෙක් අතට, මගේ ලක්ෂ්යය ඔබේ සමීකරණවලට ගැලපේ).
ඔබට අභ්යවකාශයේ සරල රේඛාවක් නිර්වචනය කළ හැක්කේ කෙසේද? මම සාමාන්ය දෛශිකය සමඟ යමක් ඉදිරිපත් කිරීමට කැමතියි. කෙසේ වෙතත්, සංඛ්යාව ක්‍රියා නොකරනු ඇත; අවකාශීය රේඛාවක සාමාන්ය දෛශික සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් දිශාවන් දෙස බැලිය හැකිය.
තවත් ක්රමයක් දැනටමත් පාඩමෙහි සඳහන් කර ඇත. තල සමීකරණයසහ මෙම ලිපියේ ආරම්භයේ.
