Ox අක්ෂය, වක්‍රය y=f(x) සහ සරල රේඛා දෙකකින් සීමා වූ වක්ර trapezoid එකක් සලකා බලමු: x=a සහ x=b (රූපය 85). අපි x හි අත්තනෝමතික අගයක් ගනිමු (ඒ නොව b නොවේ). අපි එයට h = dx වර්ධකයක් ලබා දී සරල රේඛා AB සහ CD, Ox අක්ෂය සහ සලකා බලන වක්‍රයට අයත් චාප BD වලින් සීමා වූ තීරුවක් සලකා බලමු. අපි මෙම තීරුව මූලික තීරුවක් ලෙස හඳුන්වමු. ප්‍රාථමික තීරුවක ප්රදේශය වක්ර රේඛීය ත්‍රිකෝණය BQD මගින් සෘජුකෝණාස්‍රය ACQB ප්‍රදේශයට වඩා වෙනස් වන අතර, දෙවැන්නෙහි වර්ගඵලය BQDM පැති සහිත සෘජුකෝණාස්‍රයේ වර්ගඵලයට වඩා අඩුය BQ = =h= dx) QD=Ay සහ ප්රදේශය hAy = Ay dx ට සමාන වේ. h පැත්ත අඩු වන විට, Du පැත්ත ද අඩු වන අතර h සමඟ සමගාමීව ශුන්‍යයට නැඹුරු වේ. එබැවින්, BQDM හි ප්රදේශය දෙවන අනුපිළිවෙල අනන්තය. ප්‍රාථමික තීරුවක ප්රදේශය ප්‍රදේශයේ වර්ධකය වන අතර සෘජුකෝණාස්‍රයේ ACQB ප්රදේශය, AB-AC ==/(x) dx> ට සමාන ප්‍රදේශයේ අවකලනය වේ. එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, එහි අවකලනය අනුකලනය කිරීමෙන් අපි එම ප්‍රදේශයම සොයා ගනිමු. සලකා බලනු ලබන රූපය තුළ, ස්වාධීන විචල්‍යය l: a සිට b දක්වා වෙනස් වේ, එබැවින් අවශ්ය ප්රදේශ 5 5= \f(x) dx ට සමාන වේ. (I) උදාහරණය 1. අපි පැරබෝලා y - 1 -x*, සරල රේඛා X =--Fj-, x = 1 සහ O* අක්ෂය (රූපය 86) මගින් සීමා කරන ලද ප්රදේශය ගණනය කරමු. Fig. 87. රූපය. 86. 1 මෙහි f(x) = 1 - l?, අනුකලනයේ සීමාවන් a = - සහ £ = 1 වේ, එබැවින් J [*-t]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l- Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* උදාහරණය 2. sinusoid y = sinXy, Ox අක්ෂය සහ සරල රේඛාව මගින් සීමා කරන ලද ප්රදේශය ගණනය කරමු (රූපය 87). සූත්රය (I) යෙදීමෙන්, අපි A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf ලබා ගනිමු උදාහරණය 3. sinusoid ^у = sin jc, සංවෘත චාපයෙන් සීමා වූ ප්රදේශය ගණනය කරන්න. Ox අක්ෂය සමඟ යාබද මංසන්ධි ස්ථාන දෙකක් අතර (උදාහරණයක් ලෙස, මූලාරම්භය සහ abscissa i සමඟ ලක්ෂ්‍යය අතර). ජ්යාමිතික සලකා බැලීම්වලින් මෙම ප්රදේශය දෙවරක් වනු ඇති බව පැහැදිලිය වැඩි ප්රදේශයක්පෙර උදාහරණය. කෙසේ වෙතත්, අපි ගණනය කිරීම් කරමු: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o ඇත්ත වශයෙන්ම, අපගේ උපකල්පනය නිවැරදි විය. උදාහරණ 4. එක් කාල පරිච්ඡේදයකදී sinusoid සහ Ox අක්ෂය මායිම් කර ඇති ප්රදේශය ගණනය කරන්න (රූපය 88). මුලික ගණනය කිරීම්වලින් පෙනී යන්නේ ප්රදේශය උදාහරණ 2 ට වඩා හතර ගුණයකින් විශාල වනු ඇති බවයි. කෙසේ වෙතත්, ගණනය කිරීම් සිදු කිරීමෙන් පසු, අපි “i Г,*i S - \ sin x dx = [- cos x]0 = = - cos 2l - ලබා ගනිමු. (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. මෙම ප්රතිඵලය පැහැදිලි කිරීම අවශ්ය වේ. කාරණයේ සාරය පැහැදිලි කිරීම සඳහා, අපි එම sinusoid y = sin l: සහ L සිට 2i දක්වා පරාසයක ඇති Ox අක්ෂය මගින් සීමා කරන ලද ප්රදේශයද ගණනය කරමු. සූත්රය යෙදීමෙන් (I), අපි 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2 ලබා ගනිමු. මේ අනුව, මෙම ප්රදේශය සෘණාත්මකව හැරී ඇති බව අපට පෙනේ. අභ්‍යාස 3 හි ගණනය කර ඇති ප්රදේශය සමඟ එය සසඳන විට, ඒවායේ නිරපේක්ෂ අගයන් සමාන බව අපට පෙනී යයි, නමුත් සලකුණු වෙනස් වේ. අපි දේපල V යෙදුවහොත් (XI පරිච්ඡේදය, § 4 බලන්න), අපට 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0 මෙම උදාහරණයේ සිදු වූ දෙය හදිසි අනතුරක් නොවේ. සෑම විටම Ox අක්ෂයට පහළින් පිහිටා ඇති ප්රදේශය, ස්වාධීන විචල්‍යය වමේ සිට දකුණට වෙනස් වන විට, අනුකලයන් භාවිතයෙන් ගණනය කිරීමේදී ලබා ගනී. මෙම පාඨමාලාවේදී අපි සැමවිටම සලකුනු නොමැති ප්රදේශ සලකා බලමු. එබැවින්, දැන් සාකච්ඡා කළ උදාහරණයේ පිළිතුර වනුයේ: අවශ්ය ප්රදේශය 2 + |-2| වේ = 4. උදාහරණය 5. රූපයේ දැක්වෙන BAB ප්රදේශය ගණනය කරමු. 89. මෙම ප්රදේශය Ox අක්ෂය, පරාවලය y = - xr සහ සරල රේඛාව y - = -x+\ මගින් සීමා වේ. Curvilinear trapezoid ප්රදේශය අවශ්ය OAB ප්රදේශය කොටස් දෙකකින් සමන්විත වේ: OAM සහ MAV. A ලක්ෂ්‍යය යනු පරාවලයක සහ සරල රේඛාවක ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය වන බැවින්, 3 2 Y = mx සමීකරණ පද්ධතිය විසඳීමෙන් අපි එහි ඛණ්ඩාංක සොයා ගනිමු. (අපට සොයා ගැනීමට අවශ්ය වන්නේ A ලක්ෂ්‍යයේ abscissa පමණි). පද්ධතිය විසඳීම, අපි l සොයා ගනිමු; = ~. එබැවින්, ප්රදේශය කොටස් වශයෙන් ගණනය කළ යුතුය, පළමු චතුරස්රය. OAM සහ පසුව pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x. එනම්, හතු කැපීම වැනි රේඛා සැලකිල්ලට නොගනී, එහි කඳ මෙම කොටසට හොඳින් ගැලපෙන අතර තොප්පිය වඩා පුළුල් වේ.
පැති කොටස් ලකුණු බවට පරිහානියට පත් විය හැක . චිත්‍රයේ එවැනි රූපයක් ඔබ දුටුවහොත්, මෙය ඔබව ව්‍යාකූල නොකළ යුතුය, මන්ද මෙම ලක්ෂ්‍යය සැමවිටම එහි අගය “x” අක්ෂයේ ඇති බැවිනි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ඒකාබද්ධතාවයේ සීමාවන් සමඟ සෑම දෙයක්ම පිළිවෙලට ඇති බවයි.
දැන් ඔබට සූත්ර සහ ගණනය කිරීම් වෙත ගමන් කළ හැකිය. එබැවින් ප්රදේශය sවක්ර trapezoid සූත්රය භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක
නම් f(x) ≤ 0 (ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය අක්ෂයට පහළින් පිහිටා ඇත ගොනා), ඒ වක්ර trapezoid ප්‍රදේශයසූත්රය භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක
ඉහළ සහ දෙකම විට අවස්ථා ද ඇත පහළ සීමාවසංඛ්‍යා පිළිවෙලින් ශ්‍රිත වේ y = f(x) සහ y = φ (x) , එවිට එවැනි රූපයක ප්රදේශය සූත්රය මගින් ගණනය කරනු ලැබේ
. (3)
එකට ගැටළු විසඳීම
සූත්රය (1) භාවිතයෙන් රූපයක ප්රදේශය ගණනය කළ හැකි අවස්ථා සමඟ ආරම්භ කරමු.
උදාහරණ 1.ගොනා) සහ කෙළින්ම x = 1 , x = 3 .
විසඳුම. මොකද y = 1/x> 0 කොටසේ , එවිට curvilinear trapezoid ප්රදේශය සූත්රය (1) භාවිතයෙන් සොයා ගනී:
.
උදාහරණය 2.ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයෙන් සීමා වූ රූපයේ ප්රදේශය, රේඛාව සොයා ගන්න x= 1 සහ x අක්ෂය ( ගොනා ).
විසඳුම. සූත්රය යෙදීමේ ප්රතිඵලය (1):
එසේ නම් s= 1/2 ; එසේ නම් s= 1/3, ආදිය.
උදාහරණය 3.ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයෙන් සීමා වූ රූපයේ ප්රදේශය සොයන්න, abscissa අක්ෂය ( ගොනා) සහ කෙළින්ම x = 4 .
විසඳුම. ගැටලුවේ කොන්දේසි වලට අනුරූප වන රූපය වම් කොටස ලක්ෂ්‍යයක් බවට පිරිහී ඇති curvilinear trapezoid වේ. අනුකලනය කිරීමේ සීමාවන් 0 සහ 4 වේ. සූත්රය (1) භාවිතා කර අපි වක්ර රේඛීය trapezoid ප්රදේශය සොයා ගනිමු:
.
උදාහරණය 4.රූපයේ ප්රදේශය සොයා ගන්න, රේඛා මගින් සීමා කර ඇත, සහ 1 වන කාර්තුවේ පිහිටා ඇත.
විසඳුම. සූත්රය (1) භාවිතා කිරීම සඳහා, උදාහරණයේ කොන්දේසි මගින් ලබා දී ඇති රූපයේ ප්රදේශය ත්‍රිකෝණයේ ප්රදේශ වල එකතුව ලෙස සිතමු. OABසහ වක්ර trapezoid ABC. ත්රිකෝණයක ප්රදේශය ගණනය කිරීමේදී OABඅනුකලනයෙහි සීමාවන් යනු ලක්ෂ්‍යවල අබ්සිසාස් ය ඕසහ ඒ, සහ රූපය සඳහා ABC- ලකුණු වල අබ්බගාත ඒසහ සී (ඒරේඛාවේ ඡේදනය වන ස්ථානය වේ ඕ.ඒ.සහ parabolas, සහ සී- පැරබෝලා අක්ෂය සමඟ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය ගොනා) සරල රේඛාවක සහ පරාවලයක සමීකරණ ඒකාබද්ධව (පද්ධතියක් ලෙස) විසඳා, අපි (ලක්ෂ්‍යයේ abscissa) ලබා ගනිමු. ඒ) සහ (විසඳුම සඳහා අවශ්ය නොවන රේඛාවේ සහ පරාවලයේ ඡේදනය වන තවත් ලක්ෂයක abscissa). ඒ හා සමානව අපි ලබා ගනිමු , (ලකුණුවල abscissas සීසහ ඩී) රූපයක ප්රදේශය සොයා ගැනීමට අවශ්ය සියල්ල දැන් අප සතුව ඇත. අපි සොයා ගන්නේ:
උදාහරණ 5.වක්ර trapezoid ප්රදේශය සොයා ගන්න ACDB, වක්‍රයේ සමීකරණය නම් සීඩීසහ abscissas ඒසහ බී 1 සහ 2 පිළිවෙලින්.
විසඳුම. අපි ක්‍රීඩාව හරහා මෙම වක්‍රයේ සමීකරණය ප්‍රකාශ කරමු: curvilinear trapezoid හි ප්රදේශය සූත්රය (1) භාවිතයෙන් සොයා ගනී:
.
සූත්රය (2) භාවිතයෙන් රූපයක ප්රදේශය ගණනය කළ හැකි අවස්ථා වෙත යමු.
උදාහරණය 6.පරාවලය සහ x-අක්ෂයෙන් සීමා වූ රූපයේ ප්රදේශය සොයන්න ( ගොනා ).
විසඳුම. මෙම රූපය x අක්ෂයට පහළින් පිහිටා ඇත. එබැවින්, එහි ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා, අපි සූත්රය (2) භාවිතා කරමු. අනුකලනය කිරීමේ සීමාවන් යනු abscissa සහ පැරබෝලා අක්ෂය සමඟ ඡේදනය වන ස්ථාන වේ. ගොනා. එබැවින්,
උදාහරණ 7. abscissa අක්ෂය අතර ඇති ප්රදේශය සොයා ගන්න ( ගොනා) සහ යාබද සයින් තරංග දෙකක්.
විසඳුම. මෙම රූපයේ ප්රදේශය සූත්රය (2) භාවිතයෙන් සොයාගත හැකිය:
.
අපි එක් එක් පද වෙන වෙනම සොයා බලමු:
.
.
අවසානයේ අපි ප්රදේශය සොයා ගනිමු:
.
උදාහරණ 8.පරාවලය සහ වක්‍රය අතර කොටා ඇති රූපයේ ප්රදේශය සොයන්න.
විසඳුම. ක්‍රීඩාව හරහා රේඛා සමීකරණ ප්‍රකාශ කරමු:
(2) සූත්රය අනුව ප්රදේශය ලබා ගනී
,
කොහෙද aසහ ආ- ලකුණු වල අබ්බගාත ඒසහ බී. සමීකරණ එකට විසඳීමෙන් අපි ඒවා සොයා ගනිමු:
අවසානයේ අපි ප්රදේශය සොයා ගනිමු:
අවසාන වශයෙන්, සූත්රය (3) භාවිතයෙන් රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කළ හැකි අවස්ථා.
උදාහරණ 9.පැරබෝලා අතර කොටා ඇති රූපයේ ප්රදේශය සොයා ගන්න 
සහ .
විග්‍රහ කිරීම පිළිබඳ පෙර කොටසේ ජ්යාමිතික අර්ථය නිශ්චිත අනුකලනය, Curvilinear trapezoid ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා අපට සූත්ර ගණනාවක් ලැබුණි:
S (G) = ∫ a b f (x) d x අඛණ්ඩ සහ සෘණ නොවන ශ්‍රිතයක් සඳහා y = f (x) පරතරය මත [ a ; b],
S (G) = - ∫ a b f (x) d x අඛණ්ඩ සහ ධනාත්මක නොවන ශ්‍රිතයක් සඳහා y = f (x) පරතරය මත [ a ; b ] .
සාපේක්ෂ සරල ගැටළු විසඳීම සඳහා මෙම සූත්ර අදාළ වේ. යථාර්ථය නම්, අපට බොහෝ විට වඩාත් සංකීර්ණ රූප සමඟ වැඩ කිරීමට සිදුවනු ඇත. මේ සම්බන්ධයෙන්, අපි මෙම කොටස පැහැදිලි ස්වරූපයෙන් ශ්‍රිත මගින් සීමා කර ඇති සංඛ්‍යා ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා ඇල්ගොරිතම විශ්ලේෂණයක් සඳහා කැප කරන්නෙමු, එනම්. y = f(x) හෝ x = g(y) වගේ.
ප්රමේයයy = f 1 (x) සහ y = f 2 (x) යන ශ්‍රිතයන් [ a ; b ] , සහ f 1 (x) ≤ f 2 (x) ඕනෑම අගයක් සඳහා x [a ; b ] . එවිට x = a, x = b, y = f 1 (x) සහ y = f 2 (x) යන රේඛා වලින් සීමා වූ G රූපයේ වර්ගඵලය ගණනය කිරීමේ සූත්රය S (G) = ∫ ලෙස පෙනෙනු ඇත. a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
y = c, y = d, x = g 1 (y) සහ x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d( g 2 (y) - g 1 (y) d y .
සාක්ෂි
සූත්රය වලංගු වන අවස්ථා තුනක් බලමු.
පළමු අවස්ථාවේ දී, ප්‍රදේශයේ ආකලන ගුණය සැලකිල්ලට ගනිමින්, මුල් රූපයේ G සහ curvilinear trapezoid G 1 හි ප්රදේශ වල එකතුව G 2 රූපයේ ප්‍රදේශයට සමාන වේ. මෙයින් අදහස් වන්නේ එයයි
එබැවින්, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx
නිශ්චිත අනුකලනයේ තුන්වන ගුණය භාවිතයෙන් අපට අවසාන සංක්‍රාන්තිය සිදු කළ හැක.
දෙවන අවස්ථාවෙහි, සමානාත්මතාවය සත්‍ය වේ: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
ග්රැෆික් නිදර්ශනය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:
ශ්‍රිත දෙකම ධනාත්මක නොවේ නම්, අපට ලැබෙන්නේ: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . ග්රැෆික් නිදර්ශනය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:
y = f 1 (x) සහ y = f 2 (x) O x අක්ෂය ඡේදනය වන විට සාමාන්ය අවස්ථාව සලකා බැලීමට අපි ඉදිරියට යමු.
අපි ඡේදනය වන ලකුණු x i, i = 1, 2, ලෙස දක්වන්නෙමු. . . , n - 1 . මෙම ලක්ෂ්‍ය ඛණ්ඩය [a; b ] n කොටස් වලට x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, මෙහි α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
එබැවින්,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
නිශ්චිත අනුකලනයේ පස්වන ගුණය භාවිතයෙන් අපට අවසාන සංක්‍රාන්තිය සිදු කළ හැක.
අපි ප්‍රස්ථාරයේ සාමාන්ය නඩුව නිදර්ශනය කරමු.
S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x සූත්රය ඔප්පු කළ හැකි ය.
දැන් අපි y = f (x) සහ x = g (y) රේඛාවලින් සීමා කර ඇති සංඛ්‍යා ප්රදේශය ගණනය කිරීමේ උදාහරණ විශ්ලේෂණය කිරීමට ඉදිරියට යමු.
ප්‍රස්ථාරයක් තැනීමෙන් අපි ඕනෑම උදාහරණයක් සලකා බැලීම ආරම්භ කරමු. රූපය මගින් අපට සංකීර්ණ සංඛ්‍යා තවත් වැඩි පිරිසකගේ සමිති ලෙස නිරූපණය කිරීමට ඉඩ සලසයි සරල රූප. ඒවා මත ප්‍රස්ථාර සහ සංඛ්‍යා තැනීම ඔබට දුෂ්කරතා ඇති කරන්නේ නම්, ඔබට මූලික කොටස අධ්‍යයනය කළ හැකිය මූලික කාර්යයන්, ශ්‍රිත ප්‍රස්ථාරවල ජ්යාමිතික පරිවර්තනය මෙන්ම ශ්‍රිතයක් අධ්‍යයනය කිරීමේදී ප්‍රස්ථාර තැනීම.
උදාහරණ 1
පරාවලය y = - x 2 + 6 x - 5 සහ සරල රේඛා y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 මගින් සීමා කරන ලද රූපයේ ප්රදේශය තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ.
විසඳුම
අපි ප්‍රස්ථාරයේ රේඛා අඳිමු කාටිසියානු පද්ධතියඛණ්ඩාංක
කොටසේ [1; 4 ] පැරබෝලා y = - x 2 + 6 x - 5 හි ප්‍රස්ථාරය y = - 1 3 x - 1 2 සරල රේඛාවට ඉහළින් පිහිටා ඇත. මේ සම්බන්ධයෙන්, පිළිතුර ලබා ගැනීම සඳහා අපි කලින් ලබාගත් සූත්රය මෙන්ම නිව්ටන්-ලයිබ්නිස් සූත්රය භාවිතයෙන් නිශ්චිත අනුකලනය ගණනය කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කරමු:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
පිළිතුර: S(G) = 13
අපි වඩාත් සංකීර්ණ උදාහරණයක් බලමු.
උදාහරණ 2
y = x + 2, y = x, x = 7 රේඛා මගින් සීමා කරන ලද රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ.
විසඳුම
මෙම අවස්ථාවේදී, අපට ඇත්තේ x-අක්ෂයට සමාන්තරව පිහිටා ඇති එක් සරල රේඛාවක් පමණි. මෙය x = 7 වේ. මේ සඳහා අප විසින්ම ඒකාබද්ධ කිරීමේ දෙවන සීමාව සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ.
අපි ප්‍රස්ථාරයක් ගොඩනඟා එය මත ගැටලු ප්‍රකාශයේ දක්වා ඇති රේඛා සැලසුම් කරමු.
අපගේ ඇස් ඉදිරිපිට ප්‍රස්ථාරය තිබීම, අනුකලනයේ පහළ සීමාව y = x සහ අර්ධ-පරාබෝල y = x + 2 යන සරල රේඛාවේ ප්‍රස්ථාරයේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ abscissa බව අපට පහසුවෙන් තීරණය කළ හැකිය. abscissa සොයා ගැනීමට අපි සමානතා භාවිතා කරමු:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ
ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ abscissa x = 2 බව පෙනේ.
තුළ ඇති බව අපි ඔබේ අවධානයට යොමු කරමු සාමාන්ය උදාහරණයක්චිත්‍රයේ, රේඛා y = x + 2, y = x ලක්ෂ්‍යයේ (2; 2) ඡේදනය වේ, එබැවින් එවැනි සවිස්තරාත්මක ගණනය කිරීම් අනවශ්‍ය බව පෙනේ. අපි මෙහි එවැනි සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් ලබා දී ඇත්තේ තවත් නිසා පමණි දුෂ්කර අවස්ථාවිසඳුම එතරම් පැහැදිලි නොවිය හැකිය. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සෑම විටම රේඛා ඡේදනය වීමේ ඛණ්ඩාංක විශ්ලේෂණාත්මකව ගණනය කිරීම වඩා හොඳ බවයි.
පරතරය මත [2; 7] y = x ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය y = x + 2 ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයට ඉහළින් පිහිටා ඇත. ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා සූත්රය භාවිතා කරමු:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
පිළිතුර: S (G) = 59 6
උදාහරණය 3
y = 1 x සහ y = - x 2 + 4 x - 2 ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර මගින් සීමා කරන ලද රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ.
විසඳුම
අපි ප්‍රස්ථාරයේ රේඛා සැලසුම් කරමු.
ඒකාබද්ධ කිරීමේ සීමාවන් නිර්වචනය කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි 1 x සහ - x 2 + 4 x - 2 යන ප්‍රකාශන සමාන කිරීමෙන් රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක තීරණය කරමු. x ශුන්‍ය නොවන බව සපයා ඇත්නම්, සමානාත්මතාවය 1 x = - x 2 + 4 x - 2 තුන්වන අංශක සමීකරණයට සමාන වේ - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 පූර්ණ සංගුණක සමඟ. එවැනි සමීකරණ විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම පිළිබඳ ඔබේ මතකය අලුත් කිරීම සඳහා, අපට "ඝනක සමීකරණ විසඳීම" යන කොටස වෙත යොමු විය හැක.
මෙම සමීකරණයේ මූලය x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0 වේ.
ප්‍රකාශනය - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ද්විපද x - 1 මගින් බෙදීම, අපට ලැබෙන්නේ: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
අපට ඉතිරි මූලයන් x 2 - 3 x - 1 = 0 සමීකරණයෙන් සොයාගත හැකිය:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3
අපි x ∈ 1 පරතරය සොයා ගත්තෙමු; 3 + 13 2, එහි G රූපය නිල් පැහැයට ඉහළින් සහ රතු රේඛාවට පහළින් අඩංගු වේ. රූපයේ ප්රදේශය තීරණය කිරීමට මෙය අපට උපකාර කරයි:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
පිළිතුර: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
උදාහරණය 4
වක්ර y = x 3, y = - log 2 x + 1 සහ abscissa අක්ෂය මගින් සීමා කරන ලද රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ.
විසඳුම
අපි ප්‍රස්ථාරයේ සියලුම රේඛා සැලසුම් කරමු. y = - log 2 x + 1 ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය y = log 2 x ප්‍රස්ථාරයෙන් ලබා ගත හැක, අපි එය x-අක්ෂයේ සමමිතිකව ස්ථානගත කර එය එක ඒකකයක් ඉහළට ගෙන ගියහොත්. x අක්ෂයේ සමීකරණය y = 0 වේ.
අපි රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ස්ථාන සලකුණු කරමු.
රූපයෙන් පෙනෙන පරිදි, y = x 3 සහ y = 0 යන ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර ලක්ෂ්‍යයේදී (0; 0) ඡේදනය වේ. මෙය සිදු වන්නේ x 3 = 0 සමීකරණයේ එකම සැබෑ මූලය x = 0 වන බැවිනි.
x = 2 සමීකරණයේ එකම මූලය - log 2 x + 1 = 0, එබැවින් y = - log 2 x + 1 සහ y = 0 යන ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර (2; 0) ඡේදනය වේ.
x = 1 යනු x 3 = - ලඝු 2 x + 1 සමීකරණයේ එකම මූලයයි. මේ සම්බන්ධයෙන්, y = x 3 සහ y = - log 2 x + 1 යන ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාර (1; 1) ඡේදනය වේ. අවසාන ප්‍රකාශය පැහැදිලි නොවිය හැක, නමුත් x 3 = - log 2 x + 1 සමීකරණයට මූල එකකට වඩා තිබිය නොහැක, මන්ද y = x 3 ශ්‍රිතය දැඩි ලෙස වැඩි වන අතර ශ්‍රිතය y = - log 2 x + 1 වේ. දැඩි ලෙස අඩු කිරීම.
වැඩිදුර විසඳුම විකල්ප කිහිපයක් ඇතුළත් වේ.
විකල්ප #1
x අක්ෂයට ඉහලින් පිහිටන ලද curvilinear trapezoids දෙකක එකතුවක් ලෙස G රූපය අපට සිතිය හැක, ඉන් පළමුවැන්න පහතින් පිහිටා ඇත. මැද රේඛාව x ∈ 0 කොටසේ; 1, සහ දෙවැන්න x ∈ 1 කොටසේ රතු රේඛාවට පහළින්; 2. මෙයින් අදහස් කරන්නේ ප්රදේශය S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x ට සමාන වන බවයි.
විකල්ප අංක 2
G රූපය රූප දෙකක වෙනස ලෙස නිරූපණය කළ හැකි අතර, ඉන් පළමුවැන්න x-අක්ෂයට ඉහළින් සහ x ∈ 0 කොටසේ නිල් රේඛාවට පහළින් පිහිටා ඇත; 2, සහ x ∈ 1 කොටසේ රතු සහ නිල් රේඛා අතර දෙවැන්න; 2. මෙය පහත පරිදි ප්රදේශය සොයා ගැනීමට අපට ඉඩ සලසයි:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
මෙම අවස්ථාවේදී, ප්රදේශය සොයා ගැනීමට ඔබට S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y ආකාරයේ සූත්‍රයක් භාවිතා කිරීමට සිදුවේ. ඇත්ත වශයෙන්ම, රූපය බැඳ ඇති රේඛා y තර්කයේ කාර්යයන් ලෙස නිරූපණය කළ හැකිය.
x සම්බන්ධයෙන් y = x 3 සහ - log 2 x + 1 සමීකරණ විසඳමු:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
අපට අවශ්ය ප්රදේශය ලැබේ:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
පිළිතුර: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
උදාහරණ 5
y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 රේඛා මගින් සීමා කරන ලද රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ.
විසඳුම
අපි රතු ඉරක් සහිත ප්‍රස්ථාරයේ රේඛාවක් අඳින්නෙමු, කාර්යය මගින් ලබා දී ඇත y = x. අපි y = - 1 2 x + 4 රේඛාව නිල් පැහැයෙන් ද, y = 2 3 x - 3 රේඛාව කළු පැහැයෙන් ද අඳින්නෙමු.
ඡේදනය වන ස්ථාන සලකුණු කරමු.
y = x සහ y = - 1 2 x + 4 යන ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාරවල ඡේදනය වන ස්ථාන සොයා ගනිමු:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 පරීක්ෂා කරන්න: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 නොවේ x 2 = සමීකරණයට විසඳුම 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 සමීකරණයට විසඳුම ⇒ (4; 2) ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය i y = x සහ y = - 1 2 x + 4
y = x සහ y = 2 3 x - 3 ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාරවල ඡේදනය ලක්ෂ්‍යය සොයා ගනිමු:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 පරීක්ෂා කරන්න: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 යනු සමීකරණයට විසඳුමයි = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 සමීකරණයට විසඳුමක් නැත
y = - 1 2 x + 4 සහ y = 2 3 x - 3 රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය සොයා ගනිමු:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය y = - 1 2 x + 4 සහ y = 2 3 x - 3
ක්රමය අංක 1
අපේක්ෂිත රූපයේ ප්රදේශය තනි රූපවල ප්රදේශ වල එකතුව ලෙස සිතමු.
එවිට රූපයේ ප්රදේශය:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
ක්රමය අංක 2
මුල් රූපයේ ප්රදේශය වෙනත් රූප දෙකක එකතුවක් ලෙස දැක්විය හැක.
එවිට අපි x ට සාපේක්ෂව රේඛාවේ සමීකරණය විසඳා, පසුව පමණක් අපි රූපයේ ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා සූත්රය යොදන්නෙමු.
y = x ⇒ x = y 2 රතු රේඛාව y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 කළු රේඛාව y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e
එබැවින් ප්රදේශය:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d 2 + ∫ 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
ඔබට පෙනෙන පරිදි, අගයන් සමාන වේ.
පිළිතුර: S (G) = 11 3
ප්රතිඵල
ලබා දී ඇති රේඛා මගින් සීමා කරන ලද රූපයක ප්රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා, අපි තලයක රේඛා තැනීම, ඒවායේ ඡේදනය වන ස්ථාන සොයා ගැනීම සහ ප්රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා සූත්රය යෙදිය යුතුය. මෙම කොටසේදී, අපි කාර්යයන්හි වඩාත් පොදු ප්රභේදයන් පරීක්ෂා කළෙමු.
ඔබ පෙළෙහි දෝෂයක් දුටුවහොත්, කරුණාකර එය උද්දීපනය කර Ctrl+Enter ඔබන්න
