හැඳින්වීම
චතුරස්රාකාර ස්වරූපයකැනොනිකල් ආකෘති සමීකරණය
මුලදී, විචල්ය දෙකක් හෝ තුනක් අඩංගු දෙවන අනුපිළිවෙල සමීකරණ මගින් නිර්වචනය කරන ලද වක්‍ර සහ මතුපිට අධ්යයනය කිරීම සඳහා චතුරස්රාකාර ආකෘති න්යාය භාවිතා කරන ලදී. පසුව, මෙම න්යාය වෙනත් යෙදුම් සොයා ගන්නා ලදී. විශේෂයෙන්, කවදාද ගණිතමය ආකෘති නිර්මාණයආර්ථික ක්‍රියාවලි, ඉලක්ක ක්‍රියාවන්හි චතුරස්ර පද අඩංගු විය හැක. චතුරස්රාකාර ආකෘතිවල යෙදීම් රාශියකට ඉදිකිරීම් අවශ්ය වී ඇත සාමාන්ය න්යාය, විචල්ය සංඛ්‍යාව ඕනෑම එකකට සමාන වන විට සහ චතුරස්ර ආකෘතියේ සංගුණක සෑම විටම තාත්වික සංඛ්‍යා නොවේ.
චතුරස්රාකාර ආකෘති පිළිබඳ න්යාය ප්‍රථමයෙන් සංවර්ධනය කරන ලද්දේ මෙම න්යාය තුළ බොහෝ අදහස් ඇති ප්‍රංශ ගණිතඥයෙකු වන ලග්‍රංගේ විසිනි, ඔහු අඩු කළ ආකෘතියක් පිළිබඳ වැදගත් සංකල්පය හඳුන්වා දුන් අතර, එහි ආධාරයෙන් ඔහු පන්ති සංඛ්‍යාවේ සීමිත බව ඔප්පු කළේය. දී ඇති වෙනස්කම් කරන්නෙකුගේ ද්විමය චතුරස්රාකාර ආකාර. පසුව මෙම න්යාය ගවුස් විසින් සැලකිය යුතු ලෙස පුළුල් කරන ලද අතර, බොහෝ නව සංකල්ප හඳුන්වා දුන් අතර, එහි පදනම මත මෙම ක්ෂේත්‍රයේ ඔහුගේ පූර්වගාමීන් මග හැර ගිය සංඛ්‍යා න්යායේ දුෂ්කර හා ගැඹුරු ප්‍රමේයයන් පිළිබඳ සාක්ෂි ලබා ගැනීමට ඔහුට හැකි විය.
කාර්යයේ පරමාර්ථය වන්නේ චතුරස්රාකාර ආකෘති වර්ග සහ චතුරස්රාකාර ආකෘති කැනොනිකල් ආකෘතියට අඩු කිරීමේ ක්රම අධ්යයනය කිරීමයි.
මෙම කාර්යයේදී, පහත සඳහන් කාර්යයන් සකසා ඇත: අවශ්ය සාහිත්යය තෝරන්න, අර්ථ දැක්වීම් සහ ප්රධාන ප්රමේය සලකා බලන්න, මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ ගැටළු ගණනාවක් විසඳන්න.
චතුරස්රාකාර ස්වරූපයක් කැනොනිකල් ස්වරූපයට අඩු කිරීම
චතුරස්රාකාර ආකෘති පිළිබඳ න්යායේ මූලාරම්භය පවතී විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය, එනම් දෙවන පෙළ වක්‍ර (සහ මතුපිට) න්යායේ. සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය මෙම වක්‍රයේ මධ්‍යයට ගෙන යාමෙන් පසු තලයක දෙවන පෙළ මධ්යම වක්‍රයක සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇති බව දන්නා කරුණකි.
නව ඛණ්ඩාංකවල අපගේ වක්‍රයේ සමීකරණයට "කැනොනිකල්" ආකාරයක් ඇත
මෙම සමීකරණයේදී, නොදන්නා අයගේ ගුණිතයේ සංගුණකය ශුන්යයට සමාන වේ. ඛණ්ඩාංකවල පරිවර්තනය (2) පැහැදිලිවම නොදන්නා දේවල රේඛීය පරිවර්තනයක් ලෙස අර්ථ දැක්විය හැක, එපමනක් නොව, එහි සංගුණකවල නිර්ණායකය එකකට සමාන වන බැවින් පරිහානියට පත් නොවේ. මෙම පරිවර්තනය සමීකරණයේ (1) වම් පැත්තට යොදනු ලබන අතර, එබැවින් සමීකරණයේ වම් පැත්ත (1) සමීකරණයේ (3) වම් පැත්තට පරිහානියට පත් නොවන රේඛීය පරිවර්තනයකින් (2) පරිවර්තනය වන බව අපට පැවසිය හැකිය.
දෙකක් වෙනුවට නොදන්නා සංඛ්‍යාව ඕනෑම දෙයකට සමාන වන විට සහ සංගුණක තාත්වික හෝ ඕනෑම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් වන අවස්ථාව සඳහා බොහෝ යෙදුම් සඳහා සමාන න්‍යායක් ගොඩනැගීම අවශ්ය විය.
සමීකරණයේ (1) වම් පැත්තේ ප්‍රකාශනය සාමාන්‍යකරණය කරමින් අපි පහත සංකල්පයට පැමිණෙමු.
නොදන්නා වල චතුරස්ර ආකාරයක් යනු සෑම පදයක්ම මෙම නොදන්නා එකක වර්ග හෝ විවිධ නොදන්නා දෙකේ ගුණිත එකතුවකි. චතුරස්ර ආකාරයක් එහි සංගුණක තාත්විකද නැතහොත් ඕනෑම සංකීර්ණ සංඛ්‍යා විය හැකිද යන්න මත පදනම්ව තාත්වික හෝ සංකීර්ණ ලෙස හැඳින්වේ.
සමාන පද අඩු කිරීම දැනටමත් චතුරස්ර ආකාරයෙන් සිදු කර ඇති බව උපකල්පනය කරමින්, අපි මෙම පෝරමයේ සංගුණක සඳහා පහත සඳහන් අංකනය හඳුන්වා දෙමු: සඳහා සංගුණකය මගින් දක්වනු ලැබේ, සහ සඳහා නිෂ්පාදනයේ සංගුණකය දක්වන්නේ ((1) සමඟ සසඳන්න !).
කෙසේ වෙතත්, මෙම නිෂ්පාදනයේ සංගුණකය මගින් ද දැක්විය හැකි බැවින්, i.e. අප හඳුන්වා දුන් අංකනය සමානාත්මතාවයේ වලංගු භාවය උපකල්පනය කරයි
යෙදුම දැන් පෝරමයේ ලිවිය හැකිය
සහ සම්පූර්ණ චතුරස්ර ස්වරූපය - හැකි සියලුම පදවල එකතුවක ස්වරූපයෙන්, එහිදී සහ ස්වාධීනව එකිනෙකාගෙන් අගයන් 1 සිට:
විශේෂයෙන්ම, අපි පදය ලබා ගන්නා විට
සංගුණක වලින් කෙනෙකුට පැහැදිලිවම අනුපිළිවෙලෙහි හතරැස් න්‍යාසයක් සෑදිය හැක; එය චතුරස්රාකාර ස්වරූපයක අනුකෘතියක් ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර, එහි ශ්රේණිය මෙම චතුරස්ර ආකෘතියේ ශ්රේණිය ලෙස හැඳින්වේ.
නම්, විශේෂයෙන්ම, i.e. න්යාසය පරිහානියට පත් නොවන්නේ නම්, චතුරස්ර ස්වරූපය පරිහානිය නොවන ලෙස හැඳින්වේ. සමානාත්මතාවය (4) අනුව, ප්රධාන විකර්ණය සම්බන්ධයෙන් සමමිතික A න්‍යාසයේ මූලද්‍රව්‍ය එකිනෙකට සමාන වේ, i.e. matrix A සමමිතික වේ. ප්‍රතිවිරුද්ධව, අනුපිළිවෙලෙහි ඕනෑම සමමිතික න්‍යාසයක් A සඳහා, න්යාස A හි මූලද්‍රව්‍ය එහි සංගුණක ලෙස ඇති නොදන්නා වල හොඳින් නිර්වචනය කරන ලද චතුරස්ර ආකාරයක් (5) සඳහන් කළ හැක.
හතරැස් ආකෘතිය (5) සෘජුකෝණාස්රාකාර න්යාස ගුණ කිරීම භාවිතයෙන් වෙනත් ආකාරයකින් ලිවිය හැක. අපි පළමුව පහත සඳහන් අංකනයට එකඟ වෙමු: හතරැස් හෝ සෘජුකෝණාස්රාකාර න්‍යාසයක් A ලබා දෙන්නේ නම්, න්යාසය A වෙතින් ප්‍රතිවර්තනයෙන් ලබාගත් න්යාසය දක්වනු ලැබේ. න්යාස A සහ B ඒවායේ නිෂ්පාදිතය නිර්වචනය වන පරිදි නම්, සමානාත්මතාවය පවතින්නේ:
ඒවා. නිෂ්පාදිතය ප්‍රතිනිර්මාණය කිරීමෙන් ලබාගත් න්යාසය, සාධක මාරු කිරීමෙන් ලබාගත් න්‍යාසවල ගුණිතයට සමාන වේ, එපමනක් නොව, ප්රතිලෝම අනුපිළිවෙලට ගනු ලැබේ.
ඇත්ත වශයෙන්ම, AB නිෂ්පාදනය නිර්වචනය කර ඇත්නම්, පරීක්ෂා කිරීමට පහසු වන පරිදි නිෂ්පාදිතය ද නිර්වචනය කරනු ලැබේ: න්‍යාසයේ තීරු ගණන අනුකෘතියේ පේළි ගණනට සමාන වේ. එහි වෙනි පේළියේ සහ වෙනි තීරුවේ පිහිටන ලද න්යාස මූලද්‍රව්‍යය, AB න්‍යාසයේ වෙනි පේළියේ සහ වෙනි තීරුවේ පිහිටයි. එබැවින් එය අනුකෘතියේ A හි පේළියේ සහ B න්‍යාසයේ තීරුවේ අනුරූප මූලද්‍රව්‍යවල නිෂ්පාදන එකතුවට සමාන වේ, i.e. න්‍යාසයේ වෙනි තීරුවේ සහ අනුකෘතියේ පේළියේ අනුරූප මූලද්‍රව්‍යවල නිෂ්පාදන එකතුවට සමාන වේ. මෙය සමානාත්මතාවය ඔප්පු කරයි (6).
න්යාසය A එවිට සහ පසුව පමණක් එය එහි විවර්තනය සමඟ සමපාත වන්නේ නම් සමමිතික වන බව සලකන්න, i.e. නම්
අපි දැන් නොදන්නා කරුණු වලින් සමන්විත තීරුවකින් දක්වමු.
පේළි සහ එක් තීරුවක් සහිත න්‍යාසයකි. මෙම න්යාසය මාරු කිරීම, අපි න්යාසය ලබා ගනිමු
එක් පේළියකින් සමන්විත වේ.
න්යාසය සහිත චතුරස්ර ආකෘතිය (5) දැන් පහත නිෂ්පාදන ලෙස ලිවිය හැක:
ඇත්ත වශයෙන්ම, නිෂ්පාදිතය එක් තීරුවකින් සමන්විත අනුකෘතියක් වනු ඇත:
වම් පස ඇති මෙම න්යාසය අනුකෘතියකින් ගුණ කිරීමෙන්, අපට එක් පේළියකින් සහ එක් තීරුවකින් සමන්විත “න්‍යාසයක්” ලැබේ, එනම් සමානාත්මතාවයේ දකුණු පැත්ත (5).
එහි ඇතුළත් නොදන්නා දේ රේඛීය පරිවර්තනයකට ලක් කළහොත් චතුරස්රාකාර ස්වරූපයකට කුමක් සිදුවේද?
මෙතැන් සිට (6)
පෝරමයේ (7) ඇතුළත් කිරීම (9) සහ (10) ආදේශ කිරීම, අපි ලබා ගන්නේ:
Matrix B සමමිතික වනු ඇත, මන්දයත් ඕනෑම සාධක ගණනාවකට පැහැදිලිවම වලංගු වන සමානාත්මතාවය (6) සහ න්‍යාසයේ සමමිතියට සමාන සමානාත්මතාවය අනුව අපට ඇත්තේ:
මේ අනුව, පහත සඳහන් ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත:
න්‍යාසයක් ඇති නාඳුනන අයගේ චතුරස්ර ස්වරූපය, න්යාසය සමඟ නොදන්නා දේවල රේඛීය පරිවර්තනයක් සිදු කිරීමෙන් පසු නව නොදන්නා අයගේ චතුරස්රාකාර ස්වරූපයක් බවට පත් වන අතර මෙම ආකෘතියේ න්යාසය නිෂ්පාදනය වේ.
අපි දැන් උපකල්පනය කරමු අපි පරිහානියට පත් නොවන රේඛීය පරිවර්තනයක් සිදු කරන බව, i.e. , සහ එබැවින් සහ ඒකීය නොවන න්යාස වේ. න්යාසය ඒකවචන නොවන න්යාස වලින් ගුණ කිරීමෙන් මෙම නිෂ්පාදිතය ලබා ගන්නා අතර එම නිසා මෙම නිෂ්පාදනයේ ශ්රේණිය අනුකෘතියේ ශ්රේණියට සමාන වේ. මේ අනුව, පරිහානියට පත් නොවන රේඛීය පරිවර්තනයක් සිදු කරන විට චතුරස්රාකාර ස්වරූපයේ ශ්රේණිය වෙනස් නොවේ.
දෙවන අනුපිළිවෙල මධ්යම වක්‍රයක සමීකරණය කැනොනිකල් ස්වරූපයට (3) අඩු කිරීමේ කොටසේ ආරම්භයේ දක්වා ඇති ජ්‍යාමිතික ගැටලුව සමඟ සැසඳීමෙන්, සමහර පරිහානියට පත් නොවන අය විසින් අත්තනෝමතික චතුරස්ර ආකාරයක් අඩු කිරීමේ ප්‍රශ්නය අපි දැන් සලකා බලමු. නොදන්නා වර්ගවල එකතුවක ස්වරූපයට රේඛීය පරිවර්තනය, i.e. විවිධ නාඳුනන නිෂ්පාදනවල සියලුම සංගුණක ශුන්යයට සමාන වන විට එවැනි ආකෘතියකට; මෙය විශේෂ වර්ගයචතුරස්රාකාර ස්වරූපය කැනොනිකල් ලෙස හැඳින්වේ. අපි මුලින්ම උපකල්පනය කරමු නොදන්නා වල ඇති චතුරස්ර ස්වරූපය කැනොනිකල් ස්වරූපයට පරිහානියට පත් නොවන රේඛීය පරිවර්තනයකින් දැනටමත් අඩු වී ඇති බව.
කෝ අලුත් නොදන්න අය. සමහර අවාසි විය හැක. ඇත්ත වශයෙන්ම, ශුන්ය වන්න. (11) හි ඇති ශුන්ය නොවන සංගුණක සංඛ්‍යාව පෝරමයේ ශ්රේණියට අනිවාර්යයෙන්ම සමාන බව අපි ඔප්පු කරමු.
ඇත්ත වශයෙන්ම, අප (11) ට පැමිණියේ පරිහානියට පත් නොවන පරිවර්තනයක් භාවිතා කර බැවින්, සමානාත්මතාවයේ (11) දකුණු පැත්තේ ඇති චතුරස්රාකාර ස්වරූපය ද ශ්‍රේණිගත විය යුතුය.
කෙසේ වෙතත්, මෙම චතුරස්රයේ අනුකෘතියට විකර්ණ ස්වරූපයක් ඇත
සහ මෙම න්‍යාසයට ශ්‍රේණිගත කිරීම අවශ්ය කිරීම එහි ප්රධාන විකර්ණයේ හරියටම ශුන්ය මූලද්‍රව්‍ය අඩංගු වීම අවශ්ය කිරීමට සමාන වේ.
චතුරස්ර ආකාර පිළිබඳ පහත ප්රධාන ප්රමේයය සනාථ කිරීමට අපි ඉදිරියට යමු.
කිසියම් පරිහානියට පත් නොවන රේඛීය පරිවර්තනයක් මගින් ඕනෑම චතුරස්ර ස්වරූපයක් කැනොනිකල් ස්වරූපයට අඩු කළ හැක. සැබෑ චතුරස්රාකාර ස්වරූපයක් සලකනු ලබන්නේ නම්, නිශ්චිත රේඛීය පරිවර්තනයේ සියලුම සංගුණක සැබෑ ලෙස සැලකිය හැකිය.
මෙම ප්රමේයය එක් නොදන්නා එක් චතුරස්ර ආකාර සඳහා සත්‍ය වේ, මන්ද එවැනි සෑම ස්වරූපයකටම කැනොනිකල් ස්වරූපයක් ඇත. එබැවින්, අපට නොදන්නා සංඛ්‍යාව පිළිබඳ ප්‍රේරණය මගින් ඔප්පු කිරීම සිදු කළ හැකිය, i.e. n නොදන්නා වලදී චතුරස්ර ආකාර සඳහා ප්රමේයය ඔප්පු කරන්න, එය නොදන්නා කුඩා සංඛ්‍යාවක් සහිත ආකෘති සඳහා දැනටමත් ඔප්පු කර ඇති බව සලකයි.
හිස් ලබා දී ඇති චතුරස්රාකාර ආකාරය
n නොදන්නා අයගෙන්. අපි නොදන්නා එක් වර්ගයක වර්ග වෙන් කරන පරිහානියට පත් නොවන රේඛීය පරිවර්තනයක් සොයා ගැනීමට උත්සාහ කරමු, i.e. මෙම චතුරස්රයේ එකතුවේ ස්වරූපයට සහ ඉතිරි නොදන්නා සමහර චතුරස්රාකාර ස්වරූපයට හේතු වනු ඇත. ප්රධාන විකර්ණයේ ආකෘති න්‍යාසයේ ඇති සංගුණක අතර ශුන්ය නොවන සංගුණක තිබේ නම් මෙම ඉලක්කය පහසුවෙන් සාක්ෂාත් කරගත හැකිය, i.e. (12) ශුන්ය සංගුණකවල වෙනසක් ඇති අවම වශයෙන් නොදන්නා එක් වර්ගයක වර්ගය ඇතුළත් වේ නම්
අපි උදාහරණයක් ලෙස, . එවිට, පරීක්ෂා කිරීමට පහසු වන පරිදි, චතුරස්ර ආකාරයක් වන ප්‍රකාශනයේ, අපගේ ස්වරූපය ලෙස නොදන්නා වචන සමඟ සමාන පද අඩංගු වන අතර, එම නිසා වෙනස
නොදන්නා දේ පමණක් අඩංගු හතරැස් ආකාරයක් වනු ඇත, නමුත් නොවේ. මෙතැන් සිට
අපි අංකනය හඳුන්වා දුන්නොත්
එවිට අපට ලැබේ
කොහෙද දැන් නොදන්න දේවල් ගැන හතරැස් ආකාරයක් වනු ඇත. ප්‍රකාශනය (14) පෝරමය සඳහා අවශ්ය ප්‍රකාශනය වේ, එය (12) සිට පරිහානියට පත් නොවන රේඛීය පරිවර්තනයකින්, එනම් රේඛීය පරිවර්තනයට ප්රතිලෝම පරිවර්තනය (13) මගින් ලබා ගන්නා බැවින්, එය එහි නිර්ණායකය වන අතර එබැවින් පරිහානියට පත් නොවේ.
සමානාත්මතා තිබේ නම්, අපි මුලින්ම සහායක රේඛීය පරිවර්තනයක් සිදු කළ යුතු අතර, එය අපගේ ස්වරූපයෙන් නොදන්නා වර්ගවල පෙනුමට හේතු වේ. මෙම පෝරමයේ ඇතුළත් කිරීමේ (12) සංගුණක අතර ශුන්ය නොවන ඒවා තිබිය යුතු බැවින් - එසේ නොමැතිනම් ඔප්පු කිරීමට කිසිවක් නොතිබෙනු ඇත - එවිට ඉඩ දෙන්න, උදාහරණයක් ලෙස, i.e. යනු පදයක සහ නියමවල එකතුව වන අතර, ඒ සෑම එකක්ම අවම වශයෙන් නොදන්නා කරුණු වලින් එකක්වත් ඇතුළත් වේ.
අපි දැන් රේඛීය පරිවර්තනයක් සිදු කරමු
නිර්ණායකයක් ඇති බැවින් එය නොපිරිහෙන්නේ ය
මෙම පරිවර්තනයේ ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපගේ පෝරමයේ සාමාජිකයා පෝරමය ගනු ඇත
ඒවා. පෝරමයේ ශුන්ය නොවන සංගුණක සහිතව, නොදන්නා වර්ග දෙකක වර්ග එකවර දිස්වනු ඇති අතර, මෙම එක් එක් කොන්දේසි වලට අවම වශයෙන් නොදන්නා ඒවායින් එකක්වත් ඇතුළත් වන බැවින් ඒවා වෙනත් කිසිදු කොන්දේසියකින් අවලංගු කළ නොහැක ඉහත දැනටමත් සලකා බැලූ නඩුවේ, ඒවා. තවත් පරිහානියට පත් නොවන රේඛීය පරිවර්තනයක් භාවිතා කිරීමෙන් අපට පෝරමය පෝරමයට අඩු කළ හැකිය (14).
සාධනය සම්පූර්ණ කිරීම සඳහා, චතුරස්ර ස්වරූපය නොදන්නා සංඛ්‍යාවට වඩා අඩු අගයක් මත රඳා පවතින බවත්, එබැවින් ප්‍රේරක කල්පිතය මගින්, නොදන්නා අයගේ යම් පරිහානියට පත් නොවන පරිවර්තනයක් මගින් කැනොනිකල් ස්වරූපයක් දක්වා අඩු කරන බවත් සටහන් කළ යුතුය. මෙම විපර්යාසය, (පහසු නොවන, දැකීමට පහසු) සියලු නොදන්නා දේ පරිවර්තනයක් ලෙස සලකනු ලැබේ, එය නොවෙනස්ව පවතී, එබැවින්, කැනොනිකල් ආකාරයෙන් (14) වෙත යොමු කරයි. මේ අනුව, එක් පරිහානීය නොවන පරිවර්තනයකින් ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැකි පරිහානියට පත් නොවන රේඛීය පරිවර්තන දෙකකින් හෝ තුනකින් චතුරස්ර ස්වරූපය - ඒවායේ නිෂ්පාදනය, සමහර සංගුණක සමඟ නොදන්නා වර්ග ගණනක ස්වරූපයට අඩු වේ. මෙම වර්ග ගණන, අප දන්නා පරිදි, පෝරමයේ ශ්රේණියට සමාන වේ. එපමනක් නොව, චතුරස්රාකාර ස්වරූපය සැබෑ නම්, පෝරමයේ කැනොනිකල් ස්වරූපයෙන් සහ මෙම ආකෘතියට තුඩු දෙන රේඛීය පරිවර්තනයේ සංගුණක සැබෑ වේ; ඇත්ත වශයෙන්ම, රේඛීය පරිවර්තන ප්රතිලෝම (13) සහ රේඛීය පරිවර්තනය (15) යන දෙකම සැබෑ සංගුණක ඇත.
ප්රධාන ප්රමේයය ඔප්පු කිරීම සම්පූර්ණයි. මෙම සාධනයෙහි භාවිතා කරන ලද ක්රමය නිශ්චිත උදාහරණවල දී චතුරස්ර ස්වරූපයක් එහි කැනොනිකල් ස්වරූපයට අඩු කිරීමට යෙදිය හැක. අවශ්ය වන්නේ, අප ඔප්පු කිරීමේදී භාවිතා කළ ප්‍රේරණය වෙනුවට, ඉහත දක්වා ඇති ක්රමය භාවිතා කරමින් නොදන්නා අයගේ වර්ග නිරන්තරයෙන් හුදකලා කිරීම පමණි.
උදාහරණ 1. චතුරස්ර ආකාරයක් කැනොනිකල් ස්වරූපයට අඩු කරන්න
මෙම ආකෘතියේ වර්ග කළ නොදන්නා ඒවා නොමැති වීම නිසා, අපි මුලින්ම පරිහානියට පත් නොවන රේඛීය පරිවර්තනයක් සිදු කරමු
matrix සමඟ
ඉන් පසුව අපට ලැබෙන්නේ:
දැන් සඳහා සංගුණක ශුන්යයට වඩා වෙනස් වේ, එබැවින් අපගේ ආකෘතියෙන් අපට නොදන්නා එකක වර්ගීකරණය හුදකලා කළ හැකිය. විශ්වාස කරනවා
ඒවා. ප්‍රතිලෝමයට අනුකෘතියක් ඇති රේඛීය පරිවර්තනයක් සිදු කිරීම
අපි මතකයට ගෙන එන්නෙමු
පෝරමයේ තවමත් නොදන්නා දෙදෙනකුගේ ගුණිතය අඩංගු බැවින්, මෙතෙක්, හුදකලා වී ඇත්තේ නාඳුනන වර්ගවල වර්ගය පමණි. සංගුණකයේ අසමානතාවය ශුන්යයට භාවිතා කරමින්, අපි නැවත වරක් ඉහත දක්වා ඇති ක්රමය යොදන්නෙමු. රේඛීය පරිවර්තනයක් සිදු කිරීම
ඒ සඳහා ප්‍රතිලෝමයේ න්යාසය ඇත
අපි අවසානයේ පෝරමය කැනොනිකල් ආකෘතියට ගෙන එන්නෙමු
(16) පෝරමයට (17) වහාම ගෙන යන රේඛීය පරිවර්තනයක් එහි අනුකෘතිය ලෙස නිෂ්පාදනය වනු ඇත.
ඔබට සෘජු ආදේශනය මගින් පරිහානියට පත් නොවන (නිශ්චයකාරකය සමාන බැවින්) රේඛීය පරිවර්තනයද පරීක්ෂා කළ හැක.
(16) (17) බවට හැරේ.
චතුරස්රාකාර ස්වරූපයක් කැනොනිකල් ස්වරූපයට අඩු කිරීමේ න්යාය ගොඩනඟා ඇත්තේ දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි මධ්යම වක්‍ර පිළිබඳ ජ්‍යාමිතික න්යාය සමඟ සැසඳීමෙනි, නමුත් මෙම අවසාන න්යායේ සාමාන්‍යකරණයක් ලෙස සැලකිය නොහැකිය. ඇත්ත වශයෙන්ම, අපගේ න්යාය ඕනෑම පරිහානියට පත් නොවන රේඛීය පරිවර්තනයක් භාවිතා කිරීමට ඉඩ ලබා දෙන අතර, දෙවන පෙළ වක්රයක් එහි කැනොනිකල් ස්වරූපයට ගෙන ඒම සාක්ෂාත් කරගනු ලබන්නේ ඉතා විශේෂ වර්ගයක රේඛීය පරිවර්තන භාවිතා කිරීමෙනි.
ගුවන් යානයේ භ්රමණය වීම. කෙසේ වෙතත්, මෙම ජ්‍යාමිතික න්යාය සත්‍ය සංගුණක සහිත නොදන්නා තැන්වල චතුරස්ර ආකාර සඳහා සාමාන්‍යකරණය කළ හැක. චතුරස්ර ආකාර ප්රධාන අක්ෂවලට අඩු කිරීම ලෙස හැඳින්වෙන මෙම සාමාන්‍යකරණයේ ප්‍රදර්ශනයක් පහත දැක්වේ.
චතුරස්රාකාර ආකාරයක් කැනොනිකල් ලෙස හැඳින්වේ නම්, i.e.
රේඛීය පරිවර්තන භාවිතයෙන් ඕනෑම චතුරස්රාකාර ස්වරූපයක් කැනොනිකල් ස්වරූපයට අඩු කළ හැක. ප්රායෝගිකව, පහත සඳහන් ක්රම සාමාන්යයෙන් භාවිතා වේ.
1. අවකාශයේ විකලාංග පරිවර්තනය:
කොහෙද 
- අනුකෘතියේ eigenvalues ඒ.
2. Lagrange ක්රමය - සම්පූර්ණ වර්ගවල අනුක්රමික තේරීම. උදාහරණයක් ලෙස, නම්
ඉන්පසුව චතුරස්රාකාර ස්වරූපය සමඟ සමාන ක්රියා පටිපාටියක් සිදු කරනු ලැබේ 
යනාදිය චතුරස්ර ආකාරයෙන් නම් සියල්ල නමුත් 
පසුව මූලික පරිවර්තනයෙන් පසුව කාරණය සලකා බලනු ලබන ක්රියා පටිපාටිය වෙත පැමිණේ. ඉතින්, උදාහරණයක් ලෙස, එසේ නම්, අපි උපකල්පනය කරමු 
3. ජාකොබි ක්රමය (සියලුම ප්රධාන බාලවයස්කරුවන් වන අවස්ථාවක 
හතරැස් ආකාරය ශුන්යයට වඩා වෙනස් වේ):
ගුවන් යානයේ ඕනෑම සරල රේඛාවක් පළමු අනුපිළිවෙල සමීකරණයක් මගින් නියම කළ හැක
Ax + Wu + C = 0,
එපමණක් නොව, A සහ B නියතයන් එකවර ශුන්යයට සමාන නොවේ. මෙම පළමු අනුපිළිවෙල සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ සරල රේඛාවක පොදු සමීකරණය.අගයන් මත රඳා පවතී නියත A, Bසහ C පහත සඳහන් විශේෂ අවස්ථා විය හැක:
C = 0, A ≠0, B ≠ 0 - සරල රේඛාව මූලාරම්භය හරහා ගමන් කරයි
A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - Ox අක්ෂයට සමාන්තරව සරල රේඛාව
B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) - Oy අක්ෂයට සමාන්තරව සරල රේඛාව
B = C = 0, A ≠0 - සරල රේඛාව Oy අක්ෂය සමඟ සමපාත වේ
A = C = 0, B ≠0 - සරල රේඛාව Ox අක්ෂය සමඟ සමපාත වේ
සරල රේඛාවක සමීකරණය නිරූපණය කළ හැක විවිධ ආකාරවලින්ඕනෑම ආරම්භක කොන්දේසි මත පදනම්ව.
අභ්‍යවකාශයේ සරල රේඛාවක් දැක්විය හැක:
1) ගුවන් යානා දෙකක ඡේදනය වීමේ රේඛාවක් ලෙස, i.e. සමීකරණ පද්ධතිය:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)
2) එහි ලක්ෂ්‍ය දෙකෙන් M 1 (x 1, y 1, z 1) සහ M 2 (x 2, y 2, z 2), එවිට ඒවා හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාව සමීකරණ මගින් ලබා දේ:
= 
; (3.3)
3) එයට අයත් M 1 (x 1, y 1, z 1) ලක්ෂ්‍යය සහ දෛශිකය a(m, n, p), එයට collinear. එවිට සරල රේඛාව සමීකරණ මගින් තීරණය වේ:
. (3.4)
සමීකරණ (3.4) ලෙස හැඳින්වේ රේඛාවේ කැනොනිකල් සමීකරණ.
දෛශිකය aකියලා දිශාව දෛශිකය කෙළින්ම.
පරාමිතික සමීකරණඑක් එක් සම්බන්ධතා (3.4) t පරාමිතියට සමාන කිරීමෙන් අපි සරල රේඛාවක් ලබා ගනිමු:
x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3.5)
පද්ධතියක් ලෙස විසඳුම් පද්ධතිය (3.2). රේඛීය සමීකරණසාපේක්ෂව නොදන්නා xසහ y, අපි රේඛාවේ සමීකරණ වෙත පැමිණෙමු ප්රක්ෂේපණහෝ වෙත සරල රේඛාවේ සමීකරණ ලබා දී ඇත:
x = mz + a, y = nz + b. (3.6)
සමීකරණ (3.6) වලින් අපට යන්න පුළුවන් කැනොනිකල් සමීකරණ, සොයා ගැනීම zඑක් එක් සමීකරණයෙන් සහ ලැබෙන අගයන් සමීකරණය:
.
සාමාන්ය සමීකරණ වලින් (3.2) ඔබට මෙම රේඛාවේ සහ එහි දිශා දෛශිකයේ කිසියම් ලක්ෂ්යයක් සොයාගතහොත් ඔබට වෙනත් ආකාරයකින් කැනොනිකල් වෙත යා හැකිය. n= [n 1 , n 2 ], කොහෙද n 1 (A 1, B 1, C 1) සහ n 2 (A 2, B 2, C 2) - සාමාන්ය දෛශික ගුවන් යානා දුන්නා. එක් හරයක් නම් m, nහෝ ආර්සමීකරණවල (3.4) ශුන්යයට සමාන වේ, එවිට අනුරූප භාගයේ සංඛ්‍යාව ශුන්යයට සමාන විය යුතුය, i.e. පද්ධතිය
පද්ධතියට සමාන වේ 
; එවැනි සරල රේඛාවක් Ox අක්ෂයට ලම්බක වේ.
පද්ධතිය 
පද්ධතියට සමාන වේ x = x 1, y = y 1; සරල රේඛාව Oz අක්ෂයට සමාන්තර වේ.
ඛණ්ඩාංක සම්බන්ධයෙන් සෑම පළමු උපාධි සමීකරණයක්ම x, y, z
Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)
තලයක් නිර්වචනය කරයි, සහ අනෙක් අතට: ඕනෑම තලයක් සමීකරණය (3.1) මගින් නිරූපණය කළ හැක, එය හැඳින්වේ තල සමීකරණය.
දෛශිකය n(A, B, C) තලයට විකලාංග ලෙස හැඳින්වේ සාමාන්ය දෛශිකයගුවන් යානය. සමීකරණයේ (3.1), A, B, C යන සංගුණක එකවර 0 ට සමාන නොවේ.
සමීකරණ විශේෂ අවස්ථා (3.1):
1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - තලය සම්භවය හරහා ගමන් කරයි.
2. C = 0, Ax+By+D = 0 - තලය Oz අක්ෂයට සමාන්තර වේ.
3. C = D = 0, Ax + By = 0 - ගුවන් යානය Oz අක්ෂය හරහා ගමන් කරයි.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - තලය Oyz තලයට සමාන්තර වේ.
සමීකරණ ගුවන් යානා සම්බන්ධීකරණය: x = 0, y = 0, z = 0.
සරල රේඛාවක් ගුවන් යානයකට අයත් විය හැකිය හෝ නොවිය හැකිය. අවම වශයෙන් එහි ලක්ෂ්‍ය දෙකක්වත් තලය මත පිහිටා තිබේ නම් එය ගුවන් යානයකට අයත් වේ.
රේඛාවක් ගුවන් යානයට අයත් නොවේ නම්, එය එයට සමාන්තරව හෝ ඡේදනය විය හැකිය.
රේඛාවක් තලයකට සමාන්තර වන්නේ එය එම තලයේ ඇති තවත් රේඛාවකට සමාන්තර නම්.
සරල රේඛාවක් විවිධ කෝණවලින් තලයක් ඡේදනය කළ හැකි අතර, විශේෂයෙන් එයට ලම්බක විය හැකිය.
තලයට අදාළ ලක්ෂ්යයක් පහත ආකාරයෙන් ස්ථානගත කළ හැකිය: එයට අයත් හෝ එයට අයත් නොවේ. මෙම තලයෙහි පිහිටා ඇති සරල රේඛාවක පිහිටා තිබේ නම්, ලක්ෂ්යයක් තලයකට අයත් වේ.
අභ්‍යවකාශයේදී, රේඛා දෙකක් ඡේදනය වීමට, සමාන්තරව හෝ හරස් කිරීමට හැකිය.
රේඛීය කොටස්වල සමාන්තරතාවය ප්රක්ෂේපණවල සංරක්ෂණය කර ඇත.
රේඛා ඡේදනය වන්නේ නම්, එකම නමේ ඒවායේ ප්රක්ෂේපණවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍ය එකම සම්බන්ධතා රේඛාවේ ඇත.
හරස් රේඛා එකම තලයට අයත් නොවේ, i.e. ඡේදනය හෝ සමාන්තර නොවන්න.
චිත්‍රයේ, එකම නමේ රේඛා ප්‍රක්ෂේපණය, වෙන වෙනම ගෙන, ඡේදනය වන හෝ සමාන්තර රේඛාවල ලක්ෂණ ඇත.
ඉලිප්සය.ඉලිප්සයක් ලෙස හැඳින්වේ ස්ථානයස්ථාවර ලක්ෂ්‍ය දෙකකට (foci) ඇති දුරවල එකතුව ඉලිප්සයේ සියලුම ලක්ෂ්‍ය සඳහා එකම නියත අගය වන ලක්ෂ්‍ය (මෙම නියත අගය නාභිය අතර දුරට වඩා වැඩි විය යුතුය).
ඉලිප්සයක සරලම සමීකරණය
කොහෙද a - අර්ධ-ප්රධාන අක්ෂයඉලිප්සය, ආ- ඉලිප්සයේ අර්ධ කුඩා අක්ෂය. 2 නම් c- නාභිගත කිරීම් අතර දුර, පසුව අතර a, ආසහ c(නම් a > ආ) සම්බන්ධතාවයක් ඇත
a 2 - ආ 2 = c 2 .
ඉලිප්සයක විකේන්ද්‍රියතාවය යනු මෙම ඉලිප්සයේ නාභිය අතර දුර එහි ප්රධාන අක්ෂයේ දිගට ඇති අනුපාතයයි.
ඉලිප්සයට විකේන්ද්රිකතාවයක් ඇත ඊ < 1 (так как c < a), සහ එහි නාභිය ප්රධාන අක්ෂය මත පිහිටා ඇත.
රූපයේ දැක්වෙන හයිපර්බෝලා සමීකරණය.
පරාමිතීන්:
a, b - අර්ධ අක්ෂය;
- අවධානය යොමු අතර දුර,
- විකේන්ද්රිකතාව;
- රෝග ලක්ෂණ;
- ප්රධානියා.
පින්තූරයේ මධ්යයේ පෙන්වා ඇති සෘජුකෝණාස්රය ප්රධාන සෘජුකෝණාස්රය වේ;
යුක්ලීඩීය අවකාශය ගැන සලකා බැලීමේදී, අපි චතුරස්රාකාර ස්වරූපයක නිර්වචනය හඳුන්වා දුන්නෙමු. සමහර matrix භාවිතා කිරීම
පෝරමයේ දෙවන පෙළ බහුපදයක් ගොඩනගා ඇත
එය වර්ග න්‍යාසයකින් ජනනය වන චතුරස්ර ස්වරූපය ලෙස හැඳින්වේ ඒ.
චතුරස්රාකාර ආකෘති n-මාන යුක්ලීඩීය අවකාශයේ දෙවන අනුපිළිවෙල මතුපිටට සමීපව සම්බන්ධ වේ. කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ අපගේ ත්‍රිමාණ යුක්ලීඩියානු අවකාශයේ එවැනි පෘෂ්ඨවල සාමාන්ය සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත:
අපි x 1 =x, x 2 =y, x 3 =z දැමුවොත් ඉහළ පේළිය හතරැස් ස්වරූපයට වඩා වැඩි දෙයක් නොවේ.
- සමමිතික අනුකෘතිය (a ij = a ji)
අපි සාමාන්‍යභාවය සඳහා බහුපද බව උපකල්පනය කරමු
රේඛීය ස්වරූපයක් ඇත. එතකොට සාමාන්ය සමීකරණයපෘෂ්ඨය යනු චතුරස්රාකාර ආකාරයක, රේඛීය ආකාරයක සහ සමහර නියතයක එකතුවකි.
චතුරස්රාකාර ආකෘති න්යායේ ප්රධාන කාර්යය වන්නේ චතුරස්රාකාර ස්වරූපය උපරිම ලෙස අඩු කිරීමයි සරල දසුනක්විචල්‍යවල පරිහානියට පත් නොවන රේඛීය පරිවර්තනයක් භාවිතා කිරීම හෝ වෙනත් වචන වලින් කිවහොත් පදනම වෙනස් කිරීම.
දෙවන පෙළ පෘෂ්ඨයන් අධ්යයනය කරන විට, ඛණ්ඩාංක අක්ෂ කරකැවීමෙන් අපට xy, xz, yz හෝ x i x j (ij) නිෂ්පාදන අඩංගු නියමයන් ඉවත් කළ හැකි බව අපි නිගමනය කළ බව මතක තබා ගනිමු. තවද, ඛණ්ඩාංක අක්ෂවල සමාන්තර පරිවර්තනයෙන්, ඔබට රේඛීය නියමයන් ඉවත් කර අවසානයේ සාමාන්ය මතුපිට සමීකරණය පෝරමයට අඩු කළ හැකිය:
චතුරස්රාකාර ආකෘතියක දී, එය ආකෘතියට අඩු කිරීම
චතුරස්රාකාර ස්වරූපයක් කැනොනිකල් ස්වරූපයට අඩු කිරීම ලෙස හැඳින්වේ.
ඛණ්ඩාංක අක්ෂවල භ්රමණය යනු එක් පදනමක් තවත් එකක් සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීම හෝ වෙනත් වචන වලින් කිවහොත් රේඛීය පරිවර්තනයකට වඩා වැඩි දෙයක් නොවේ.
අපි චතුරස්රාකාර ස්වරූපය matrix ආකාරයෙන් ලියමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි එය පහත පරිදි සිතමු:
L(x,y,z) = x(a 11 x+a 12 y+a 13 z)+
Y(a 12 x+a 22 y+a 23 z)+
Z(a 13 x+a 23 y+a 33 z)
අපි matrix - column එකක් හඳුන්වා දෙමු
එතකොට 
- එහිදීX T =(x,y,z)
චතුරස්රාකාර ආකෘතියේ අනුකෘති අංකනය. මෙම සූත්‍රය සාමාන්ය අවස්ථාවට පැහැදිලිවම වලංගු වේ:
චතුරස්ර ස්වරූපයේ කැනොනිකල් ස්වරූපය පැහැදිලිවම අදහස් කරන්නේ න්‍යාසයයි ඒවිකර්ණ පෙනුමක් ඇත:
සමහර රේඛීය පරිවර්තනයක් සලකා බලන්න X = SY, එහිදී S - හතරැස් අනුකෘතියඅනුපිළිවෙල n, සහ matrices - තීරු X සහ Y යනු:
න්යාසය S රේඛීය පරිවර්තන න්යාසය ලෙස හැඳින්වේ. ලබා දී ඇති පදනමක් සහිත n වන අනුපිළිවෙලෙහි ඕනෑම න්‍යාසයක් යම් රේඛීය ක්‍රියාකරුවෙකුට අනුරූප වන බව අපි සටහන් කරමු.
රේඛීය පරිවර්තනය X = SY x 1, x 2, x 3 යන විචල්‍යයන් නව විචල්ය y 1, y 2, y 3 සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කරයි. එවිට:
එහිදී B = S T A S
කැනොනිකල් ස්වරූපයට අඩු කිරීමේ කාර්යය වන්නේ සංක්‍රාන්ති න්යාසය S සොයා ගැනීමයි, එනම් න්යාසය B විකර්ණ ස්වරූපයක් ගනී:
එබැවින්, අනුකෘතිය සමඟ චතුරස්රාකාර ආකාරය ඒවිචල්‍යවල රේඛීය පරිවර්තනයෙන් පසු න්යාසය සහිත නව විචල්ය වලින් චතුරස්ර ස්වරූපයට යයි IN.
අපි රේඛීය ක්රියාකරුවන් වෙත හැරෙමු. දී ඇති පදනමක් සඳහා සෑම න්‍යාසයක්ම A නිශ්චිත රේඛීය ක්‍රියාකරුවෙකුට අනුරූප වේ ඒ . මෙම ක්‍රියාකරුට පැහැදිලිවම eigenvalues සහ eigenvectors හි නිශ්චිත පද්ධතියක් ඇත. එපමනක් නොව, යුක්ලීඩීය අවකාශයේ දී අයිගන් දෛශික පද්ධතිය විකලාංග වනු ඇති බව අපි සටහන් කරමු. අයිගන් දෛශික පදනමේ රේඛීය ක්‍රියාකරුගේ න්‍යාසයට විකර්ණ ස්වරූපයක් ඇති බව අපි පෙර දේශනයේදී ඔප්පු කළෙමු. සූත්‍රය (*), අපට මතක ඇති පරිදි, පදනම වෙනස් කිරීමේදී රේඛීය ක්‍රියාකරුගේ අනුකෘතිය පරිවර්තනය කිරීමේ සූත්‍රය වේ. රේඛීය ක්‍රියාකරුගේ අයිගන් දෛශික යැයි අපි උපකල්පනය කරමු ඒ matrix A සමඟ - මේවා y 1, y 2, ..., y n දෛශික වේ.
තවද මෙයින් අදහස් කරන්නේ අයිගන් දෛශික y 1, y 2, ..., y n පදනමක් ලෙස ගතහොත්, මෙම පදනමේ රේඛීය ක්‍රියාකරුගේ න්යාසය විකර්ණ වනු ඇති බවයි.
හෝ B = S -1 A S, මෙහි S යනු ආරම්භක පදනමේ සිට සංක්‍රාන්ති අනුකෘතිය ( ඊ) පදනමට ( y) එපමනක් නොව, විකලාංග පදනමක් තුළ, matrix S විකලාංග වනු ඇත.
ඒ. චතුරස්ර ස්වරූපය කැනොනිකල් ස්වරූපයට අඩු කිරීම සඳහා, රේඛීය ක්‍රියාකරු A හි eigenvalues සහ eigenvectors සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ, එය ආරම්භක පදනමේ ඇති න්යාසය A, චතුරස්ර ස්වරූපය ජනනය කරයි, eigenvectors වල පදනම වෙත යන්න. සහ තුළ නව පද්ධතියඛණ්ඩාංක, චතුරස්රාකාර ස්වරූපයක් ගොඩනඟන්න.
නිශ්චිත උදාහරණ දෙස බලමු. අපි දෙවන පෙළ රේඛා සලකා බලමු.
හෝ
ඛණ්ඩාංක අක්ෂ භ්රමණය කිරීමෙන් සහ අක්ෂවල සමාන්තර පරිවර්තනයෙන්, මෙම සමීකරණය පෝරමයට අඩු කළ හැකිය (විචල්‍යයන් සහ සංගුණක නැවත සකස් කර ඇත x 1 = x, x 2 = y):
1)
රේඛාව කේන්ද්‍රීය නම්, 1 0, 2 0
2)
රේඛාව මධ්‍ය නොවන නම්, එනම් i = 0 වලින් එකක්.
දෙවන පෙළ රේඛා වර්ග අපි සිහිපත් කරමු. මධ්‍ය රේඛා:
මධ්‍යයෙන් බැහැර රේඛා:
5) x 2 = a 2 සමාන්තර රේඛා දෙකක්;
6) x 2 = 0 ඒකාබද්ධ රේඛා දෙකක්;
7) y 2 = 2px පැරබෝලා.
නඩු 1), 2), 7) අපට උනන්දුවක් දක්වයි.
අපි නිශ්චිත උදාහරණයක් බලමු.
රේඛාවේ සමීකරණය කැනොනිකල් ස්වරූපයට ගෙන එය ගොඩනඟන්න:
5x 2 + 4xy + 8y 2 - 32x - 56y + 80 = 0.
චතුරස්රාකාර ස්වරූපයේ අනුකෘතිය වේ 
.
ලාක්ෂණික සමීකරණය:
එහි මූලයන්:
අපි අයිගන් දෛශික සොයා ගනිමු: 
1 = 4 විට: u 1 = -2u 2 ;
– u 1 = 2c, u 2 = -c හෝ g 1 = c 1 (2
i 
j). u 1 = -2u 2 ;+2u 1 = 2c, u 2 = -c හෝ g 1 = c 1 (2
විට 2 = 9:
2u 1 = u 2;
u 1 = c, u 2 = 2c හෝ g 2 = c 2 (
අපි මෙම දෛශික සාමාන්‍යකරණය කරමු:
හෝ 
අපි g 1, g 2 පදනමට රේඛීය පරිවර්තන න්‍යාසයක් හෝ සංක්‍රාන්ති න්‍යාසයක් නිර්මාණය කරමු:
- orthogonal matrix!
ඛණ්ඩාංක පරිවර්තන සූත්‍රවල ස්වරූපය ඇත: 
අපගේ සමීකරණයට රේඛා ආදේශ කර ලබා ගනිමු: 
ඛණ්ඩාංක අක්ෂවල සමාන්තර පරිවර්තනයක් කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, x 1 සහ y 1 හි සම්පූර්ණ වර්ග තෝරන්න:
අපි සටහන් කරමු 
. එවිට සමීකරණය පෝරමය ගනී: 4x 2 2 + 9y 2 2 = 36 හෝ
මෙය අර්ධ අක්ෂ 3 සහ 2 සහිත ඉලිප්සයකි. පැරණි පද්ධතියේ ඉලිප්සයක් තැනීම සඳහා ඛණ්ඩාංක අක්ෂවල භ්‍රමණ කෝණය සහ ඒවායේ මාරුව තීරණය කරමු.
පී තියුණු:!
පරීක්ෂා කරන්න: x = 0: 8y 2 - 56y + 80 = 0 y 2 – 7y + 10 = 0. එබැවින් y 1,2 = 5; 2
y = 0: 5x 2 - 32x + 80 = 0 විට මෙහි මූලයන් නොමැත, එනම් අක්ෂය සමඟ ඡේදනය වන ස්ථාන නොමැත
X
චතුරස්රාකාර ස්වරූපයක් කැනොනිකල් ස්වරූපයට අඩු කිරීම.
චතුරස්රාකාර ස්වරූපයේ කැනොනිකල් සහ සාමාන්ය ආකාරය.
විචල්‍යවල රේඛීය පරිවර්තනය.චතුරස්රාකාර ස්වරූපය පිළිබඳ සංකල්පය.
හතරැස් හැඩතල. අර්ථ දැක්වීම:අංක ගණිත අවකාශයේ ලක්ෂ්‍ය A n හෝ n-මාන අවකාශයේ දෛශිකයක ඛණ්ඩාංක ලෙස V n. අපි විචල්‍යවල චතුරස්ර ස්වරූපය ලෙස දක්වන්නෙමු.
උදාහරණ 1:
සමාන පද දැනටමත් චතුරස්රාකාර ආකාරයෙන් අඩු කර ඇත්නම්, සඳහා සංගුණක දක්වනු ලැබේ, සහ () සඳහා - . මේ අනුව, එය විශ්වාස කෙරේ. චතුරස්රාකාර ස්වරූපය පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:
උදාහරණ 2:
පද්ධති අනුකෘතිය (1):
- නමින් චතුරස්රාකාර ආකෘතියේ අනුකෘතිය.
උදාහරණය:උදාහරණ 1 හි චතුරස්ර ආකාර වල න්යාස වලට පෝරමය ඇත:
උදාහරණ 2 හතරැස් ආකාර අනුකෘතිය:
විචල්‍යවල රේඛීය පරිවර්තනයවිචල්‍ය පද්ධතියක සිට පැරණි විචල්‍යයන් නව ඒවා හරහා ප්‍රකාශ කරන විචල්ය පද්ධතියකට එවැනි සංක්‍රමණයක් අමතන්න:
එහිදී සංගුණක ඒකීය නොවන න්‍යාසයක් සාදයි.
යම් පදනමකට සාපේක්ෂව යුක්ලීඩීය අවකාශයේ දෛශිකයක ඛණ්ඩාංක ලෙස විචල්‍යයන් සලකන්නේ නම්, රේඛීය පරිවර්තනය (2) මෙම අවකාශයේ එකම දෛශිකයට ඛණ්ඩාංක ඇති නව පදනමකට සංක්‍රමණයක් ලෙස සැලකිය හැකිය.
පහත දැක්වෙන දේ තුළ, අපි සැබෑ සංගුණක සමඟ පමණක් චතුරස්රාකාර ආකෘති සලකා බලමු. විචල්‍යයන් සැබෑ අගයන් පමණක් ගන්නා බව අපි උපකල්පනය කරමු. චතුරස්ර ආකාරයෙන් (1) විචල්‍යයන් රේඛීය පරිවර්තනයකට (2) ලක් කරන්නේ නම්, නව විචල්‍යවල චතුරස්ර ආකාරයක් ලැබේ. පහත දැක්වෙන දෙයෙහි, සුදුසු පරිවර්තන තේරීමක් (2) සමඟින්, චතුරස්ර ස්වරූපය (1) නව විචල්‍යවල වර්ග පමණක් අඩංගු පෝරමයකට අඩු කළ හැකි බව පෙන්වමු, i.e. . මෙම වර්ගයේ චතුරස්රාකාර ස්වරූපය හැඳින්වේ කැනොනිකල්. මෙම නඩුවේ චතුරස්රාකාර ස්වරූපයේ අනුකෘතිය විකර්ණ වේ: .
සියලුම සංගුණක අගයන්ගෙන් එකක් පමණක් ගත හැකි නම්: -1,0,1 අනුරූප වර්ගය ලෙස හැඳින්වේ සාමාන්ය.
උදාහරණය:නව ඛණ්ඩාංක පද්ධතියකට මාරුවීම භාවිතා කරමින් දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි මධ්යම වක්රය සමීකරණය කිරීම
පෝරමය දක්වා අඩු කළ හැක: , සහ මෙම නඩුවේ චතුරස්රාකාර ස්වරූපය පෝරමය ගනී:
Lemma 1: චතුරස්රාකාර ස්වරූපය නම්(1)විචල්‍යවල වර්ග අඩංගු නොවේ, පසුව රේඛීය පරිවර්තනයක් භාවිතා කිරීමෙන් එය අවම වශයෙන් එක් විචල්‍යයක වර්ගයක් අඩංගු ආකෘතියකට ගෙන යා හැක.
සාක්ෂි:සම්මුතිය අනුව, හතරැස් ආකෘතියේ අඩංගු වන්නේ විචල්‍යවල නිෂ්පාදන සහිත නියමයන් පමණි. i සහ j හි ඕනෑම වෙනස් අගයක් සඳහා ශුන්යයට වඩා වෙනස් වීමට ඉඩ දෙන්න, i.e. යනු චතුරස්ර ආකෘතියට ඇතුළත් මෙම පද වලින් එකකි. ඔබ රේඛීය පරිවර්තනයක් සිදු කර අනෙක් සියල්ල නොවෙනස්ව තබන්නේ නම්, i.e. (මෙම පරිවර්තනයේ නිර්ණායකය ශුන්යයට වඩා වෙනස් වේ), එවිට විචල්ය වර්ග සහිත පද දෙකක් පවා චතුරස්ර ආකාරයෙන් දිස්වනු ඇත: . සමාන පද එකතු කළ විට මෙම පද අතුරුදහන් විය නොහැක, මන්ද ඉතිරි සෑම පදයකම අවම වශයෙන් එක් විචල්‍යයක් හෝ ඊට වඩා වෙනස් වේ.
උදාහරණය:
Lemma 2: හතරැස් හැඩයක් නම් (1) විචල්‍යයේ වර්ග සහිත පදයක් අඩංගු වේ, උදාහරණයක් ලෙස, සහ විචල්‍යයක් සමඟ අවම වශයෙන් තවත් එක් පදයක් , ඉන්පසු රේඛීය පරිවර්තනයක් භාවිතා කරයි,f විචල්ය ආකෘතියට පරිවර්තනය කළ හැකිය , පෝරමය ඇති: (2), කොහෙද g - විචල්‍යයක් අඩංගු චතුරස්ර ස්වරූපය .
සාක්ෂි:අපි චතුරස්රාකාර ආකාරයෙන් තෝරා ගනිමු (1) අඩංගු පද එකතුව: (3) මෙහි g 1 අඩංගු නොවන සියලුම පදවල එකතුව දක්වයි.
අපි සටහන් කරමු
(4), මෙහි අඩංගු නොවන සියලුම පදවල එකතුව දක්වයි.
අපි (4) දෙපැත්තෙන්ම බෙදන්න සහ ලැබෙන සමානාත්මතාවය (3) වලින් අඩු කරමු, සමාන ඒවා ගෙන ඒමෙන් පසු අපට ලැබෙනු ඇත:
දකුණු පැත්තේ ප්‍රකාශනයේ විචල්‍යයක් අඩංගු නොවන අතර එය විචල්‍යවල චතුරස්ර ආකාරයකි. අපි මෙම ප්‍රකාශනය g මගින් ද සංගුණකය මගින් ද දක්වන්නෙමු, එවිට f සමාන වනු ඇත: . අපි රේඛීය පරිවර්තනයක් සිදු කරන්නේ නම්: , එහි නිර්ණායකය ශුන්යයට වඩා වෙනස් වේ, එවිට g යනු විචල්‍යවල චතුරස්ර ආකාරයක් වන අතර චතුරස්ර ආකාරය f ස්වරූපය (2) දක්වා අඩු වේ. ලෙම්මා ඔප්පු කර ඇත.
ප්රමේයය: විචල්ය පරිවර්තනයක් භාවිතයෙන් ඕනෑම චතුරස්ර ස්වරූපයක් කැනොනිකල් ස්වරූපයට අඩු කළ හැක.
සාක්ෂි:අපි විචල්ය ගණන පිළිබඳ ප්‍රේරණය සිදු කරමු. හි චතුරස්රාකාර ස්වරූපයට ස්වරූපය ඇත: , එය දැනටමත් කැනොනිකල් වේ. අපි උපකල්පනය කරමු n-1 විචල්‍යවල චතුරස්ර ස්වරූපය සඳහා ප්රමේයය සත්‍ය යැයි උපකල්පනය කර එය n විචල්‍යවල චතුරස්ර ස්වරූපය සඳහා සත්‍ය බව ඔප්පු කරමු.
f හි විචල්ය වර්ග අඩංගු නොවේ නම්, Lemma 1 මගින් එය අවම වශයෙන් එක් විචල්‍යයක වර්ගයක් අඩංගු පෝරමයක් දක්වා අඩු කළ හැක. මොකද චතුරස්රාකාර ස්වරූපය n-1 විචල්ය මත රඳා පවතී, පසුව ප්‍රේරක උපකල්පනය මගින් මෙම විචල්‍යයන් විචල්ය බවට රේඛීය පරිවර්තනයක් භාවිතා කර එය කැනොනිකල් ස්වරූපයට අඩු කළ හැකිය, අපි මෙම සංක්‍රාන්තියේ සූත්‍රවලට සූත්‍රයක් එකතු කළහොත්, අපට රේඛීය සඳහා සූත්ර ලැබේ සමානාත්මතාවයේ අඩංගු චතුරස්රාකාර ස්වරූපය කැනොනිකල් ස්වරූපයට තුඩු දෙන පරිවර්තනය (2). සලකා බලනු ලබන විචල්‍යවල සියලුම පරිවර්තනවල සංයුතිය අපේක්ෂිත රේඛීය පරිවර්තනය වන අතර එය චතුරස්ර ආකෘතියේ (1) කැනොනිකල් ස්වරූපයට මඟ පාදයි.
චතුරස්ර ආකෘතියේ (1) කිසියම් විචල්‍යයක වර්ග තිබේ නම්, Lemma 1 යෙදීම අවශ්ය නොවේ. ලබා දී ඇති ක්රමය හැඳින්වේ Lagrange ක්රමය.
කැනොනිකල් දෘෂ්ටි කෝණයෙන්, ඔබට යා හැක්කේ කොතැනටද යන්නයි සාමාන්ය පෙනුම, කොහෙද, නම්, සහ, නම්, පරිවර්තනය භාවිතා කරමින්:
උදාහරණය: Lagrange ක්රමය භාවිතා කර චතුරස්ර ස්වරූපය කැනොනිකල් ස්වරූපයට අඩු කරන්න:
මොකද චතුරස්ර ආකාරය f හි දැනටමත් සමහර විචල්‍යවල වර්ග අඩංගු බැවින්, Lemma 1 යෙදීම අවශ්ය නොවේ.
අපි පහත සඳහන් සාමාජිකයන් තෝරා ගනිමු:
3. f ආකෘතිය (4) ආකෘතියට සෘජුවම අඩු කරන රේඛීය පරිවර්තනයක් ලබා ගැනීම සඳහා, අපි මුලින්ම පරිවර්තන (2) සහ (3) වෙත ප්රතිලෝම පරිවර්තනය සොයා ගනිමු.
දැන්, මෙම පරිවර්තනයන් භාවිතා කරමින්, අපි ඒවායේ සංයුතිය ගොඩනඟමු:
අපි ලබාගත් අගයන් (5) (1) බවට ආදේශ කළහොත්, අපි වහාම (4) පෝරමයේ චතුරස්රාකාර ස්වරූපයේ නිරූපණයක් ලබා ගනිමු.
පරිවර්තනය භාවිතා කරමින් කැනොනිකල් ආකෘතියෙන් (4).
ඔබට සාමාන්ය දර්ශනයට යා හැකිය:
චතුරස්ර ස්වරූපය (1) සාමාන්ය ස්වරූපයට ගෙන එන රේඛීය පරිවර්තනයක් සූත්ර මගින් ප්‍රකාශ වේ:
ග්‍රන්ථ නාමාවලිය:
1. Voevodin V.V. රේඛීය වීජ ගණිතය. ශාන්ත පීටර්ස්බර්ග්: ලාන්, 2008, 416 පි.
2. Beklemishev D.V විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය සහ රේඛීය වීජ ගණිතය. M.: Fizmatlit, 2006, 304 p.
3. Kostrikin A.I. වීජ ගණිතය හැඳින්වීම. II කොටස. වීජ ගණිතයේ මූලික කරුණු: විශ්ව විද්‍යාල සඳහා පෙළපොත, - එම්. : භෞතික විද්යාව සහ ගණිත සාහිත්යය, 2000, 368 පි.
දේශන අංක 26 (II අධ්‍යයන වාරය)
විෂය: අවස්ථිති නීතිය. ධනාත්මක නිශ්චිත ආකෘති.
ගුවන් යානයේ වක්රයක් නිර්වචනය කරයි. පද සමූහයක් හතරැස් ආකාරයක් ලෙස හැඳින්වේ. 
– රේඛීය ආකෘතිය. චතුරස්ර ආකෘතියක විචල්ය වර්ග පමණක් අඩංගු වන්නේ නම්, මෙම ස්වරූපය කැනොනිකල් ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර චතුරස්ර ස්වරූපයට කැනොනිකල් ස්වරූපයක් ඇති විකලාංග පදනමක දෛශික චතුරස්ර ස්වරූපයේ ප්රධාන අක්ෂ ලෙස හැඳින්වේ.
Matrix 
චතුරස්රාකාර ස්වරූපයේ අනුකෘතියක් ලෙස හැඳින්වේ. මෙහි a 1 2 =a 2 1. න්යාසය B විකර්ණ ස්වරූපයට අඩු කිරීම සඳහා, මෙම න්‍යාසයේ අයිගන් දෛශික පදනමක් ලෙස ගැනීම අවශ්ය වේ. 
, මෙහි λ 1 සහ λ 2 න්යාසය B හි අයිගන් අගයන් වේ.
න්යාසය B හි අයිගන් දෛශික පදනමෙහි, චතුරස්ර ස්වරූපයට කැනොනිකල් ස්වරූපය ඇත: λ 1 x 2 1 +λ 2 y 2 1 .
මෙම මෙහෙයුම සම්බන්ධීකරණ අක්ෂයන්හි භ්රමණයට අනුරූප වේ. එවිට ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය මාරු වන අතර එමඟින් රේඛීය හැඩයෙන් මිදෙයි.
දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි වක්‍රයේ කැනොනිකල් ස්වරූපය: λ 1 x 2 2 +λ 2 y 2 2 =a, සහ:
a) λ 1 >0 නම්; λ 2 >0 යනු ඉලිප්සයකි, විශේෂයෙන්ම, λ 1 =λ 2 එය රවුමකි;
b) λ 1 >0 නම්, λ 2<0 (λ 1 <0, λ 2 >0) අපට අතිශයෝක්තියක් ඇත;
c) λ 1 =0 හෝ λ 2 =0 නම්, වක්රය පරාවලයක් වන අතර ඛණ්ඩාංක අක්ෂ කරකැවීමෙන් පසු එයට λ 1 x 2 1 = ax 1 +by 1 +c (මෙහි λ 2 =0) ආකාරය ඇත. සම්පූර්ණ චතුරස්‍රයකට අනුපූරකව, අපට ඇත්තේ: λ 1 x 2 2 =b 1 y 2.
උදාහරණය. 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 වක්‍රයේ සමීකරණය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ (0,i,j) ලබා දී ඇත, i =(1,0) සහ j =(0,1) .
1. වක්‍ර වර්ගය තීරණය කරන්න.
2. සමීකරණය කැනොනිකල් ආකෘතියට ගෙනැවිත් මුල් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ වක්රයක් සාදන්න.
3. අනුරූප ඛණ්ඩාංක පරිවර්තනය සොයන්න.
විසඳුම. අපි B=3x 2 +10xy+3y 2 චතුරස්ර ආකාරය ප්රධාන අක්ෂවලට, එනම් කැනොනිකල් ස්වරූපයට ගෙන එනවා. මෙම චතුරස්ර ආකෘතියේ න්යාසය වේ 
. මෙම අනුකෘතියේ eigenvalues සහ eigenvectors අපි සොයා ගනිමු: 
ලාක්ෂණික සමීකරණය: 
; λ 1 =-2, λ 2 =8. චතුරස්රාකාර ආකෘතියේ වර්ගය: 
.
මුල් සමීකරණය හයිපර්බෝලා නිර්වචනය කරයි.
චතුරස්රාකාර ස්වරූපයේ ස්වරූපය අපැහැදිලි බව සලකන්න. ඔබට 8x 1 2 -2y 1 2 ලිවිය හැක, නමුත් වක්‍ර වර්ගය එලෙසම පවතී - අධිබලයකි.
චතුරස්ර ආකෘතියේ ප්රධාන අක්ෂ, එනම් B න්‍යාසයේ අයිගන් දෛශික අපට හමු වේ. 
.
x 1 =1: x 1 =(1,-1) හි λ=-2 අංකයට අනුරූප වන Eigenvector.
ඒකක eigenvector ලෙස අපි දෛශිකය ගනිමු 
, දෛශිකයේ දිග කොහිද x 1 .
දෙවන අයිගන් දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක දෙවන අයිගන් අගයට අනුරූප වන λ=8 පද්ධතියෙන් සොයා ගැනේ. 
.
1 ,j 1).
4.3.3 ඡේදයේ සූත්ර (5) අනුව. අපි නව පදනමකට යමු: 
හෝ
; 
. (*)
අපි x සහ y ප්‍රකාශන මුල් සමීකරණයට ඇතුළත් කර, පරිවර්තනයෙන් පසුව, අපි ලබා ගන්නේ:
.
සම්පූර්ණ කොටු තෝරාගැනීම:
.
අපි ඛණ්ඩාංක අක්ෂවල සමාන්තර පරිවර්තනයක් නව මූලාරම්භයකට සිදු කරන්නෙමු:
, 
.
අපි මෙම සම්බන්ධතා (*) වෙත හඳුන්වා දී x 2 සහ y 2 සඳහා මෙම සමානතා විසඳන්නේ නම්, අපට ලැබෙන්නේ:
, 
. ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ (0*, i 1, j 1) මෙම සමීකරණයට පෝරමය ඇත: 
.
වක්රයක් තැනීම සඳහා, අපි පැරණි ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ නව එකක් ගොඩනඟමු: x 2 =0 අක්ෂය පැරණි ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ x-y-3=0 සමීකරණයෙන් ද, y 2 =0 අක්ෂය x+ සමීකරණයෙන් ද දක්වා ඇත. y-1=0. නව ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ මූලාරම්භය 0 * (2,-1) මෙම රේඛාවල ඡේදනය වේ.
සංජානනය සරල කිරීම සඳහා, අපි ප්රස්ථාරයක් තැනීමේ ක්‍රියාවලිය අදියර 2 කට බෙදන්නෙමු:
1. පැරණි ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ පිළිවෙලින් x-y-3=0 සහ x+y-1=0 යන සමීකරණ මගින් නියම කර ඇති x 2 =0, y 2 =0 අක්ෂ සහිත ඛණ්ඩාංක පද්ධතියකට සංක්‍රමණය වීම.
2. ප්රතිඵලයක් ලෙස ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ශ්රිතයේ ප්රස්ථාරයක් ගොඩනැගීම.
ප්‍රස්ථාරයේ අවසාන අනුවාදය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ (බලන්න. විසඳුම: විසඳුම බාගන්න
ව්යායාම කරන්න. පහත එක් එක් සමීකරණ ඉලිප්සයක් නිර්වචනය කරන බව තහවුරු කර එහි කේන්ද්‍රය C, අර්ධ අක්ෂය, විකේන්ද්‍රිය, ඩිරෙක්ට්‍රික් සමීකරණවල ඛණ්ඩාංක සොයා ගන්න. චිත්‍රය මත ඉලිප්සයක් අඳින්න, සමමිතිය, ෆෝසි සහ ඩිරෙක්ට්‍රික්ස් වල අක්ෂ දක්වයි.
විසඳුම.
