1°. මතුපිට පැහැදිලි නිර්වචනය සඳහා ස්පර්ශක තලයේ සමීකරණ සහ සාමාන්ය වේ.
විචල්ය දෙකක ශ්‍රිතයක අර්ධ ව්‍යුත්පන්නවල ජ්‍යාමිතික යෙදුම් එකක් සලකා බලමු. කාර්යයට ඉඩ දෙන්න z = f (x ;y)ලක්ෂ්යයේ දී අවකලනය කළ හැකිය (x 0; y 0)යම් ප්රදේශයක් ඩීÎ ආර් 2. අපි මතුපිට කපා දමමු එස්,කාර්යය නියෝජනය කරයි z,ගුවන් යානා x = x 0සහ y = y 0(රූපය 11).
ගුවන් යානය X = x 0පෘෂ්ඨය ඡේදනය කරයි එස්යම් රේඛාවක් ඔස්සේ z 0 (y),මුල් ශ්‍රිතයේ ප්‍රකාශනයට ආදේශ කිරීමෙන් ලබා ගන්නා සමීකරණය z ==f (x ;y)වෙනුවට Xසංඛ්යා x 0තිත් M 0 (x 0;y 0,f (x 0;y 0))වක්‍රයට අයත් වේ z 0 (y)වෙනස් කළ හැකි කාර්යය නිසා zලක්ෂ්යයේ M 0කාර්යය z 0 (y)ලක්ෂ්යයේ දී ද අවකලනය වේ y =y 0.එමනිසා, ගුවන් යානයේ මෙම ස්ථානයේ x = x 0වක්රය වෙත z 0 (y)ස්පර්ශකයක් ඇඳිය හැකිය l 1.
කොටස සඳහා සමාන තර්ක සිදු කිරීම දී = y 0,අපි ස්පර්ශකයක් ගොඩනඟමු l 2වක්රය වෙත z 0 (x)ලක්ෂ්යයේ X = x 0 -සෘජු 1 1 සහ 1 2 නමින් ගුවන් යානයක් නිර්වචනය කරන්න ස්පර්ශක තලයමතුපිටට එස්ලක්ෂ්යයේ M 0.
අපි එහි සමීකරණය නිර්මාණය කරමු. ගුවන් යානය ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන නිසා Mo(x 0;y 0;z 0),එවිට එහි සමීකරණය ලෙස ලිවිය හැක
A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0,
මෙසේ නැවත ලිවිය හැකි
z -z 0 = A 1 (x – x 0) + B 1 (y – y 0) (1)
(සමීකරණය -C මගින් බෙදීම සහ දැක්වීම 
).
අපි හොයාගන්නම් A 1සහ B 1.
ස්පර්ශක සමීකරණ 1 1 සහ 1 2 වගේ පේනවා
පිළිවෙලින්.
ස්පර්ශක l 1 a ගුවන් යානයේ පිහිටා ඇත , එබැවින්, සියලු ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක l 1සමීකරණය තෘප්තිමත් කරන්න (1). මෙම කරුණ පද්ධතියක ස්වරූපයෙන් ලිවිය හැකිය
B 1 සම්බන්ධව මෙම පද්ධතිය නිරාකරණය කිරීම, අපි ස්පර්ශය සඳහා සමාන තර්කයක් ලබා ගනිමු l 3, එය ස්ථාපිත කිරීම පහසුය.
අගයන් ආදේශ කිරීම A 1සහ B 1 සමීකරණයට (1), අපි අපේක්ෂිත ස්පර්ශක තල සමීකරණය ලබා ගනිමු:
ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන රේඛාව M 0සහ පෘෂ්ඨයේ මෙම ස්ථානයේ ඉදිකරන ලද ස්පර්ශක තලයට ලම්බකව එය හැඳින්වේ සාමාන්ය.
රේඛාවක් සහ ගුවන් යානයක ලම්බක තත්ත්වය භාවිතා කිරීම, එය ලබා ගැනීම පහසුය කැනොනිකල් සමීකරණසාමාන්ය:
අදහස් දක්වන්න.ස්පර්ශක තලය සඳහා සූත්ර සහ මතුපිටට සාමාන්ය සාමාන්ය, එනම්, විශේෂ නොවන, මතුපිට ලක්ෂ්ය සඳහා ලබා ගනී. තිත් M 0මතුපිට ලෙස හැඳින්වේ විශේෂ,මෙම අවස්ථාවේදී සියලුම අර්ධ ව්යුත්පන්නයන් ශුන්යයට සමාන නම් හෝ අවම වශයෙන් ඒවායින් එකක්වත් නොපවතියි. අපි එවැනි කරුණු සලකා බලන්නේ නැහැ.
උදාහරණය. ස්පර්ශක තලය සහ එහි ලක්ෂ්යයේ මතුපිටට සාමාන්ය සමීකරණ ලියන්න M(2; -1; 1).
විසඳුම. මෙම ශ්‍රිතයේ අර්ධ ව්යුත්පන්නයන් සහ ඒවායේ අගයන් M ලක්ෂ්‍යයෙන් සොයා ගනිමු
මෙතැන් සිට, (2) සහ (3) සූත්ර යෙදීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ: z-1=2(x-2)+2(y+1)හෝ 2х+2у-z-1=0- ස්පර්ශක තල සමීකරණය සහ 
- සාමාන්ය සමීකරණ.
2°. ස්පර්ශක තලයේ සමීකරණ සහ පෘෂ්ඨයේ ව්‍යංග නිර්වචනය සඳහා සාමාන්ය වේ.
මතුපිට නම් එස්සමීකරණය මගින් ලබා දී ඇත F (x ; y;z)= 0, පසුව සමීකරණ (2) සහ (3), ව්‍යංග ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නයන් ලෙස අර්ධ ව්යුත්පන්නයන් සොයා ගත හැකි බව සැලකිල්ලට ගනිමින්.
අර්ථ දැක්වීම 1 : ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක P (x 0, y 0, z 0) මතුපිටට ස්පර්ශ වන තලය යනු P ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන තලයක් වන අතර P ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන මෙම පෘෂ්ඨයේ ඇති හැකි සියලුම වක්ර සඳහා P ලක්ෂ්යයේ ඉදිකර ඇති සියලුම ස්පර්ශක අඩංගු වේ.
මතුපිට s සමීකරණයෙන් ලබා දෙන්න එෆ් (X, දී, z) = 0 සහ ලක්ෂ්යය පී (x 0 , වයි 0 , z 0) මෙම මතුපිටට අයත් වේ. අපි මතුපිට වක්‍රයක් තෝරා ගනිමු එල්, ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කිරීම ආර්.
ඉඩ දෙන්න X = X(ටී), දී = දී(ටී), z = z(ටී) - පරාමිතික සමීකරණරේඛා එල්.
අපි එය උපකල්පනය කරමු: 1) කාර්යය එෆ්(X, දී, z) ලක්ෂ්යයේ දී අවකලනය වේ ආර්සහ මේ මොහොතේ එහි සියලුම අර්ධ ව්යුත්පන්නයන් ශුන්යයට සමාන නොවේ; 2) කාර්යයන් X(ටී), දී(ටී), z(ටී) ද වෙනස් කළ හැකිය.
වක්රය මතුපිට s ට අයත් වන බැවින්, මෙම වක්රයේ ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක, මතුපිට සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් එය අනන්‍යතාවයක් බවට පත් කරයි. මේ අනුව, සමාන සමානාත්මතාවය සත්ය වේ: එෆ් [x(ටී), දී(ටී), z (ටී)]= 0.
විචල්‍යයට අදාළව මෙම අනන්‍යතාවය වෙනස් කිරීම ටී, දාම රීතිය භාවිතා කරමින්, ලක්ෂ්යය ඇතුළුව, වක්රයේ සියලුම ලක්ෂ්යවල වලංගු වන නව සමාන සමානතාවයක් අපි ලබා ගනිමු. පී (x 0 , වයි 0 , z 0):
P ලක්ෂ්යය පරාමිති අගයට අනුරූප වීමට ඉඩ දෙන්න ටී 0, එනම් x 0 = x (ටී 0), y 0 = y (ටී 0), z 0 = z (ටී 0) එවිට ලක්ෂ්යයේ ගණනය කරන ලද අවසාන සම්බන්ධතාවය ආර්, පෝරමය ගනු ඇත
මෙම සූත්රය දෛශික දෙකක අදිශ ගුණිතයයි. පළමු එක නියත දෛශිකයකි
පෘෂ්ඨය මත වක්රය තෝරා ගැනීමෙන් ස්වාධීන වේ.
දෙවන දෛශිකය ලක්ෂ්යයේ ස්පර්ශක වේ ආර්රේඛාවට එල්, එයින් අදහස් වන්නේ එය මතුපිට රේඛාවේ තේරීම මත රඳා පවතී, එනම්, එය විචල්ය දෛශිකයකි.
හඳුන්වා දුන් අංකනය සමඟ සමානාත්මතාවය යනු:
අපි නැවත ලියන්නේ කෙසේද කියා.
එහි අර්ථය පහත පරිදි වේ: පරිමාණ නිෂ්පාදිතය ශුන්යයට සමාන වේ, එබැවින්, දෛශික ලම්බක වේ. ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කළ හැකි සියලුම වක්ර තෝරා ගැනීම ආර්මතුපිට s මත, ලක්ෂ්යයේ දී අපට විවිධ ස්පර්ශක දෛශික ඉදිකරනු ඇත ආර්මෙම රේඛාවලට; දෛශිකය මෙම තේරීම මත රඳා නොපවතින අතර ඒවායින් කිසිවකට ලම්බක වනු ඇත, එනම්, සියලුම ස්පර්ශක දෛශික එකම තලයක පිහිටා ඇත, එය නිර්වචනය අනුව, මතුපිට s වෙත ස්පර්ශ වන අතර ලක්ෂ්යය ආර්මෙම අවස්ථාවෙහිදී එය ස්පර්ශක ලක්ෂ්යය ලෙස හැඳින්වේ. දෛශිකය යනු මතුපිට සාමාන්ය දිශා දෛශිකයයි.
අර්ථ දැක්වීම 2: P ලක්ෂ්යයේ ඇති සාමාන්ය සිට මතුපිට s යනු P ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක් වන අතර මෙම ස්ථානයේ ඉදිකර ඇති ස්පර්ශක තලයට ලම්බක වේ.
අපි ස්පර්ශක තලයක පැවැත්ම ඔප්පු කර ඇති අතර, එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, මතුපිටට සාමාන්යය. අපි ඔවුන්ගේ සමීකරණ ලියන්නෙමු:
P (x0, y0, z0) ලක්ෂ්යයේ ඉදිකරන ලද ස්පර්ශක තලයේ සමීකරණය F (x, y, z) = 0 සමීකරණය මගින් ලබා දී ඇති මතුපිට s වෙත;
ලක්ෂ්‍යයක ඉදිකරන ලද සාමාන්ය සමීකරණය ආර්මතුපිටට එස්.
උදාහරණය:පැරබෝලා භ්‍රමණයෙන් සෑදෙන පෘෂ්ඨයේ සමීකරණය සොයන්න:
z 2 = 2p (වයි +2)
y අක්ෂය වටා, ලක්ෂ්යය ලබා දී ගණනය කරන්න M(3, 1, - 3)මතුපිටට අයත් වේ. M ලක්ෂ්යයේ මතුපිටට සාමාන්ය සහ ස්පර්ශක තලයේ සමීකරණ සොයන්න.
විසඳුම.භ්‍රමණ මතුපිටක් ලිවීම සඳහා රීතිය භාවිතා කරමින්, අපි ලබා ගන්නේ:
z 2 + x 2 = 2p (වයි +2) .
M ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක මෙම සමීකරණයට ආදේශ කරමින්, අපි පරාමිතිය p හි අගය ගණනය කරමු: 9 + 9 = 2р(1 + 2) . ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන විප්ලවයේ මතුපිට අවසාන දර්ශනය අපි සටහන් කරමු එම්:
z 2 + x 2 = 6(y +2).
දැන් අපි සූත්ර භාවිතයෙන් සාමාන්ය සහ ස්පර්ශක තලයේ සමීකරණ සොයා ගනිමු, ඒ සඳහා අපි පළමුව ශ්‍රිතයේ අර්ධ ව්යුත්පන්නයන් ගණනය කරමු:
F(x, y) = z 2 + x 2- 6 (වයි +2):
එවිට ස්පර්ශක තලයේ සමීකරණය ස්වරූපය ගනී 6(x - 3) - 6(y - 1) - 6(z + 3) = 0 හෝ x - y - z - 5 = 0;
විචල්ය කිහිපයක ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නයේ ජ්‍යාමිතික යෙදුම් සලකා බලමු. විචල්ය දෙකක ශ්‍රිතයක් ව්‍යංගයෙන් සඳහන් කරමු: . එහි නිර්වචන වසමෙහි මෙම ශ්‍රිතය යම් මතුපිටක් මගින් නිරූපණය කෙරේ (5.1 වගන්තිය). අපි මේ මතුපිට අත්තනෝමතික කරුණක් ගනිමු 
, එහි අර්ධ ව්‍යුත්පන්න තුනම , පවතින අතර අඛණ්ඩව පවතින අතර අවම වශයෙන් ඒවායින් එකක්වත් ශුන්යයට සමාන නොවේ.
එවැනි ලක්ෂණ සහිත ලක්ෂ්යයක් ලෙස හැඳින්වේ සාමාන්ය මතුපිට ලක්ෂ්යය. අවම වශයෙන් ඉහත අවශ්‍යතා වලින් එකක්වත් සපුරා නොමැති නම්, එම කරුණ හැඳින්වේ විශේෂ මතුපිට ලක්ෂ්යය.
මතුපිටින් තෝරාගත් ලක්ෂ්යයක් හරහා, බොහෝ වක්ර ඇද ගත හැකි අතර, ඒ සෑම එකක්ම ස්පර්ශකයක් තිබිය හැකිය.
අර්ථ දැක්වීම 5.8.1 . යම් ලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන පෘෂ්ඨයේ ඇති රේඛා වෙත සියලුම ස්පර්ශක රේඛා පිහිටා ඇති තලය ලක්ෂ්යයේ මෙම පෘෂ්ඨයට ස්පර්ශක තලය ලෙස හැඳින්වේ. .
වියදම් කිරීමට ලබා දුන් ගුවන් යානයස්පර්ශක රේඛා දෙකක් තිබීම ප්‍රමාණවත් වේ, එනම් මතුපිට වක්ර දෙකක්. මෙම ගුවන් යානා සමඟ ලබා දී ඇති මතුපිට කැපීමේ ප්රතිඵලයක් ලෙස ලබාගත් වක්ර විය හැක , (රූපය 5.8.1).
පෘෂ්ඨයේ සහ තලයේ ඡේදනය වන වක්‍රයකට ස්පර්ශක රේඛාවක සමීකරණය ලියන්නෙමු. මෙම වක්රය ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය තුළ පවතින බැවින්, 2.7 ඡේදයට අනුකූලව ලක්ෂ්යයේ ස්පර්ශක සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත:
. (5.8.1)
ඒ අනුව, එකම ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ මතුපිට සහ තලයේ ඡේදනයෙහි පිහිටා ඇති වක්රය වෙත ස්පර්ශක සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත:
. (5.8.2)
ව්‍යංගයෙන් නිශ්චිතව දක්වා ඇති ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නය සඳහා ප්රකාශනය භාවිතා කරමු (වගන්තිය 5.7). එවිට, ආ. මෙම ව්යුත්පන්නයන් (5.8.1) සහ (5.8.2) ආදේශ කිරීමෙන්, අපි පිළිවෙලින් ලබා ගනිමු:
; (5.8.3)
. (5.8.4)
ප්රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන ප්‍රකාශන සරල රේඛා වල සමීකරණ වලට වඩා වැඩි දෙයක් නොවන බැවින් කැනොනිකල් ආකෘතිය(අයිතමය 15), පසුව (5.8.3) සිට අපි දිශාව දෛශිකය ලබා ගනිමු 
, සහ (5.8.4) සිට - 
. දෛශික කලා කෘතිලබා දී ඇති ස්පර්ශක රේඛා සඳහා දෛශිකයක් සාමාන්ය ලෙස ලබා දෙනු ඇත, ඒ අනුව, ස්පර්ශක තලයට:
එය ලක්ෂ්යයේ මතුපිටට ස්පර්ශක තලයේ සමීකරණය අනුගමනය කරයි පෝරමය ඇත (අයිතමය 14):
අර්ථ දැක්වීම 5.8.2
. ලක්ෂ්යයක් හරහා අඳින ලද සරල රේඛාවක් මෙම ස්ථානයේ ස්පර්ශක තලයට ලම්බකව ඇති පෘෂ්ඨය මතුපිටට සාමාන්ය ලෙස හැඳින්වේ.
සාමාන්‍යයේ සිට මතුපිටට යන දිශා දෛශිකය සාමාන්ය සිට ස්පර්ශක තලය සමඟ සමපාත වන බැවින්, සාමාන්ය සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත:
.
පරිමාණ ක්ෂේත්රය
මෙම අවකාශයේ කොටසක් හෝ සම්පූර්ණයෙන් අල්ලාගෙන, අවකාශය තුළ කලාපයක් නියම කිරීමට ඉඩ දෙන්න. මෙම ප්‍රදේශයේ සෑම ලක්ෂ්‍යයක්ම, යම් නීතියකට අනුව, යම් පරිමාණයක් (සංඛ්‍යාවක්) සමඟ සම්බන්ධ වීමට ඉඩ දෙන්න.
අර්ථ දැක්වීම 5.9.1 . අභ්‍යවකාශයේ ඇති ප්රදේශයක්, එහි එක් එක් ලක්ෂ්යය, සුප්‍රසිද්ධ නීතියකට අනුව, යම් අදිශ ප්‍රමාණයක් සමඟ සම්බන්ධ වී ඇති අතර, එය අදිශ ක්ෂේත්‍රයක් ලෙස හැඳින්වේ..
යම් ආකාරයක ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් ප්රදේශය සමඟ සම්බන්ධ වී තිබේ නම්, උදාහරණයක් ලෙස, සෘජුකෝණාස්රාකාර කාටිසියානු පද්ධතියක්, එවිට එක් එක් ලක්ෂ්යය තමන්ගේම ඛණ්ඩාංක ලබා ගනී. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අදිශ ප්‍රමාණය ඛණ්ඩාංකවල ශ්‍රිතයක් බවට පත්වේ: තලයේ - , ත්‍රිමාන අවකාශයේ - 
. මෙම ක්ෂේත්රය විස්තර කරන ශ්‍රිතයම බොහෝ විට අදිශ ක්ෂේත්‍රයක් ලෙස හැඳින්වේ. අවකාශයේ මානය අනුව, අදිශ ක්ෂේත්‍රයක් පැතලි, ත්‍රිමාන ආදිය විය හැක.
අදිශ ක්ෂේත්‍රයේ විශාලත්වය රඳා පවතින්නේ කලාපයේ ලක්ෂ්යයේ පිහිටීම මත පමණක් වන නමුත් ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ තේරීම මත රඳා නොපවතින බව අවධාරණය කළ යුතුය.
අර්ථ දැක්වීම 5.9.2 . කලාපයේ ලක්ෂ්‍යයක පිහිටීම මත පමණක් රඳා පවතින නමුත් කාලය මත රඳා නොපවතින අදිශ ක්ෂේත්‍රයක් නිශ්චල ලෙස හැඳින්වේ..
ස්ථාවර නොවන අදිශ ක්ෂේත්‍ර, එනම් කාලය මත රඳා පවතින, මෙම කොටසෙහි සලකා බලනු නොලැබේ.
අදිශ ක්ෂේත්‍ර සඳහා උදාහරණ ලෙස උෂ්ණත්ව ක්ෂේත්රය, වායුගෝලයේ පීඩන ක්ෂේත්රය සහ සාගර මට්ටමට වඩා උස ක්ෂේත්රය ඇතුළත් වේ.
ජ්‍යාමිතික වශයෙන්, අදිශ ක්ෂේත්‍ර බොහෝ විට ඊනියා රේඛා හෝ මට්ටම් පෘෂ්ඨ භාවිතයෙන් නිරූපණය කෙරේ.
අර්ථ දැක්වීම 5.9.3
. අදිශ ක්ෂේත්රය ඇති අභ්‍යවකාශයේ ඇති සියලුම ලක්ෂ්ය සමූහය සමාන අරුතක් ඇත සමතල පෘෂ්ඨයක් හෝ equipotential මතුපිටක් ලෙස හැඳින්වේ. පරිමාණ ක්ෂේත්‍රයක් සඳහා පැතලි නඩුවේදී, මෙම කට්ටලය මට්ටමේ රේඛාවක් හෝ සමබල රේඛාවක් ලෙස හැඳින්වේ.
පැහැදිලිවම, මට්ටමේ මතුපිට සමීකරණයේ ස්වරූපය ඇත 
, මට්ටමේ රේඛා - . මෙම සමීකරණවල නියතය ලබා දීමෙනි විවිධ අර්ථ, අපි මතුපිට හෝ මට්ටමේ රේඛා පවුලක් ලබා ගනිමු. උදාහරණ වශයෙන්, 
(විවිධ අරය සහිත එකිනෙක ඇතුළත ගෝලාකාර) හෝ (ඉලිප්සාකාර පවුල).
භෞතික විද්‍යාවෙන් මට්ටම් රේඛා සඳහා උදාහරණ ලෙස සම තාප (සමාන උෂ්ණත්ව රේඛා), isobars (සමාන පීඩන රේඛා) ඇතුළත් වේ. භූ විද්‍යාවෙන් - සමාන උස රේඛා ආදිය.
එනම්, මාතෘකාවේ ඔබ දකින දේ ගැන. අත්යවශ්යයෙන්ම, මෙය "අවකාශීය ප්රතිසමයක්" වේ ස්පර්ශක සෙවීමේ ගැටළුසහ සාමාන්යඑක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරයට, එබැවින් දුෂ්කරතා ඇති නොවිය යුතුය.
මූලික ප්‍රශ්න වලින් පටන් ගනිමු: ස්පර්ශක තලයක් යනු කුමක්ද සහ සාමාන්ය යනු කුමක්ද? බොහෝ අය මෙම සංකල්ප තේරුම් ගන්නේ ප්‍රතිභාන මට්ටමින්. මතකයට එන සරලම ආකෘතිය තුනී පැතලි කාඩ්බෝඩ් කැබැල්ලක් ඇති බෝලයකි. කාඩ්බෝඩ් ගෝලයට හැකි තරම් සමීපව පිහිටා ඇති අතර එය තනි ස්ථානයකට ස්පර්ශ කරයි. ඊට අමතරව, ස්පර්ශ වන ස්ථානයේ එය කෙළින්ම ඇලවූ ඉඳිකටුවක් සමඟ සුරක්ෂිත කර ඇත.
න්‍යායාත්මකව, ස්පර්ශක තලයක තරමක් දක්ෂ නිර්වචනයක් ඇත. නිදහස් බව සිතන්න මතුපිටසහ එයට අයත් කරුණ. පැහැදිලිවම, බොහෝ දේ කාරණය හරහා ගමන් කරයි අවකාශීය රේඛා, මෙම පෘෂ්ඨයට අයත් වේ. කවර සංගම් ඇත්තේද? =) ...පෞද්ගලිකව, මම බූවල්ලා මවා ගත්තෙමි. එවැනි එක් එක් රේඛාව ඇති බව අපි උපකල්පනය කරමු අවකාශීය ස්පර්ශකලක්ෂ්යයේ දී .
අර්ථ දැක්වීම 1: ස්පර්ශක තලයලක්ෂ්යයක මතුපිටට - මෙයයි ගුවන් යානය, දී ඇති මතුපිටකට අයත් වන සහ ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන සියලුම වක්‍රවලට ස්පර්ශක අඩංගු වේ.
අර්ථ දැක්වීම 2: සාමාන්යලක්ෂ්යයක මතුපිටට - මෙයයි කෙලින්ම, හරහා ගමන් කිරීම මෙම කරුණස්පර්ශක තලයට ලම්බකව.
සරල හා අලංකාරය. මාර්ගය වන විට, ද්‍රව්‍යයේ සරල බව නිසා ඔබ කම්මැලිකමෙන් මිය නොයන ලෙස, මඳ වේලාවකට පසු මම ඔබ සමඟ එක් අලංකාර රහසක් බෙදා ගන්නෙමි, එමඟින් විවිධ නිර්වචන එක් වරක් සහ සියල්ලටම බාධා කිරීම අමතක කළ හැකිය.
නිශ්චිත උදාහරණයක් භාවිතා කරමින් ක්‍රියාකාරී සූත්ර සහ විසඳුම් ඇල්ගොරිතම සමඟ දැන හඳුනා ගනිමු. බොහෝ ගැටලු වලදී, ස්පර්ශක තල සමීකරණය සහ සාමාන්ය සමීකරණය යන දෙකම ගොඩනැගීම අවශ්‍ය වේ:
උදාහරණ 1
විසඳුම: පෘෂ්ඨය සමීකරණයෙන් ලබා දී ඇත්නම් (එනම් ව්‍යංගයෙන්), එවිට පහත සඳහන් සූත්රය භාවිතයෙන් යම් ස්ථානයක දී ඇති මතුපිටකට ස්පර්ශක තලයේ සමීකරණය සොයාගත හැක:
අසාමාන්ය අර්ධ ව්යුත්පන්නයන් කෙරෙහි මම විශේෂ අවධානය යොමු කරමි - ඔවුන්ගේ ව්යාකූල නොවිය යුතුයසමඟ ව්‍යංගයෙන් නිශ්චිතව දක්වා ඇති ශ්‍රිතයක අර්ධ ව්යුත්පන්නයන් (මතුපිට ව්‍යංගයෙන් දක්වා ඇතත්). මෙම ව්යුත්පන්නයන් සොයා ගැනීමේදී, යමෙකු විසින් මඟ පෙන්විය යුතුය විචල්ය තුනක ශ්‍රිතයක් අවකලනය කිරීමේ නීති, එනම්, ඕනෑම විචල්‍යයක් සම්බන්ධයෙන් අවකලනය කිරීමේදී, අනෙක් අකුරු දෙක නියතයන් ලෙස සලකනු ලැබේ:
මුදල් ලේඛනයෙන් ඉවත් නොවී, අපි ලක්ෂ්යයේ අර්ධ ව්‍යුත්පන්නය සොයා ගනිමු:
එලෙසම: 
මෙය තීරණයේ වඩාත්ම අප්රසන්න මොහොත වූ අතර, දෝෂයක්, ඉඩ නොදුන්නේ නම්, පසුව නිරන්තරයෙන් පෙනී යයි. කෙසේ වෙතත්, පවතී ඵලදායී තාක්ෂණයමම පන්තියේදී කතා කළාදැයි පරීක්ෂා කරන්න දිශානුගත ව්‍යුත්පන්න සහ අනුක්‍රමය.
සියලුම "අමුද්‍රව්‍ය" සොයාගෙන ඇති අතර දැන් එය තවදුරටත් සරල කිරීම් සමඟ ප්රවේශමෙන් ආදේශ කිරීමකි: 
– සාමාන්ය සමීකරණයඅපේක්ෂිත ස්පර්ශක තලය.
විසඳුමේ මෙම අදියර ද පරීක්ෂා කිරීමට මම තරයේ නිර්දේශ කරමි. මුලින්ම ඔබ ස්පර්ශක ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක ඇත්ත වශයෙන්ම සොයාගත් සමීකරණය තෘප්තිමත් කරන බවට වග බලා ගත යුතුය: 
- සැබෑ සමානාත්මතාවය.
දැන් අපි සංගුණක "ඉවත් කරන්න" සාමාන්ය සමීකරණයගුවන් යානා සහ අනුරූප අගයන් සමඟ අහඹු හෝ සමානුපාතිකත්වය සඳහා ඒවා පරීක්ෂා කරන්න. මෙම අවස්ථාවේ දී, ඒවා සමානුපාතික වේ. ඔබට මතක ඇති පරිදි විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය පාඨමාලාව, - මේ සාමාන්ය දෛශිකයස්පර්ශක තලය, සහ ඔහු ද වේ මාර්ගෝපදේශ දෛශිකයසාමාන්ය සරල රේඛාව. අපි රචනා කරමු කැනොනිකල් සමීකරණලක්ෂ්‍ය සහ දිශා දෛශිකය අනුව සාමාන්ය: 
මූලධර්මය අනුව, හරයන් දෙකකින් අඩු කළ හැකි නමුත්, මේ සඳහා විශේෂ අවශ්යතාවක් නොමැත
උත්තර දෙන්න:
සමහර අකුරු සමඟ සමීකරණ නම් කිරීම තහනම් නොවේ, නමුත්, නැවතත්, ඇයි? මෙන්න එය කුමක්ද යන්න දැනටමත් අතිශයින්ම පැහැදිලිය.
පහත උදාහරණ දෙක සඳහා වේ ස්වාධීන තීරණය. ටිකක් "ගණිතමය දිව ඇඹරීම":
උදාහරණ 2
ස්පර්ශක තලයේ සමීකරණ සහ ලක්ෂ්යයේ මතුපිටට සාමාන්ය සොයන්න.
තාක්ෂණික දෘෂ්ටි කෝණයකින් සිත්ගන්නා කාර්යයක්:
උදාහරණය 3
ස්පර්ශක තලය සඳහා සමීකරණ සහ ලක්ෂ්‍යයක මතුපිටට සාමාන්ය ලියන්න
ලක්ෂ්යයේදී.
ව්යාකූලත්වයට පත්වීම පමණක් නොව, පටිගත කිරීමේදී දුෂ්කරතාවයන්ට මුහුණ දීමට සෑම අවස්ථාවක්ම තිබේ රේඛාවේ කැනොනිකල් සමීකරණ. සාමාන්ය සමීකරණ, ඔබ බොහෝ විට තේරුම් ගෙන ඇති පරිදි, සාමාන්‍යයෙන් මෙම ආකෘතියෙන් ලියා ඇත. කෙසේ වෙතත්, සමහර සූක්ෂ්මතාවයන් අමතක වීම හෝ නොදැනුවත්කම නිසා, පාරමිතික ස්වරූපය පිළිගත හැකි දේට වඩා වැඩි ය.
පාඩම අවසානයේ විසඳුම් අවසන් ක්රියාත්මක කිරීම පිළිබඳ ආසන්න උදාහරණ.
පෘෂ්ඨයේ ඕනෑම ස්ථානයක ස්පර්ශක තලයක් තිබේද? පොදුවේ, ඇත්ත වශයෙන්ම නැත. සම්භාව්ය උදාහරණය වේ කේතුකාකාර මතුපිට 
සහ ලක්ෂ්යය - මෙම ස්ථානයේ ඇති ස්පර්ශක සෘජුවම කේතුකාකාර පෘෂ්ඨයක් සාදන අතර, ඇත්ත වශයෙන්ම, එම තලය තුළ බොරු නොවේ. විශ්ලේෂණාත්මකව යමක් වැරදි බව තහවුරු කිරීම පහසුය: .
ගැටලුවේ තවත් මූලාශ්රයක් වන්නේ කාරණයයි නොපැවැත්මලක්ෂ්‍යයක ඕනෑම අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයක්. කෙසේ වෙතත්, දෙන ලද ලක්ෂ්‍යයක තනි ස්පර්ශක තලයක් නොමැති බව මින් අදහස් නොවේ.
නමුත් එය ප්‍රායෝගිකව වැදගත් තොරතුරුවලට වඩා ජනප්‍රිය විද්යාව වූ අතර, අපි වැදගත් කරුණු වෙත ආපසු යමු:
ස්පර්ශක තලය සහ ලක්ෂ්‍යයක සාමාන්ය සඳහා සමීකරණ ලියන්නේ කෙසේද,
මතුපිට පැහැදිලි ශ්‍රිතයකින් දක්වා තිබේ නම්?
අපි එය ව්‍යංගයෙන් නැවත ලියමු:
එම මූලධර්ම භාවිතා කරමින් අපි අර්ධ ව්යුත්පන්නයන් සොයා ගනිමු: 
මේ අනුව, ස්පර්ශක තල සූත්රය පහත සමීකරණයට පරිවර්තනය වේ:
ඒ අනුව, කැනොනිකල් සාමාන්ය සමීකරණ:
ඔබ අනුමාන කළ හැකි පරිදි, 
- මේවා දැනටමත් "සැබෑ" විචල්ය දෙකක ශ්‍රිතයක අර්ධ ව්‍යුත්පන්නලක්ෂ්‍යයේදී, අපි “z” අකුරින් දැක්වීමට භාවිතා කළ අතර 100500 වාරයක් හමු විය.
මෙම ලිපියේ පළමු සූත්රය මතක තබා ගැනීම ප්‍රමාණවත් බව කරුණාවෙන් සලකන්න, අවශ්‍ය නම්, අනෙක් සියල්ල ව්‍යුත්පන්න කිරීම පහසුය. (ඇත්ත වශයෙන්ම, මූලික මට්ටමේ පුහුණුවක් තිබීම). නිශ්චිත විද්‍යාවන් අධ්‍යයනය කිරීමේදී භාවිතා කළ යුතු ප්‍රවේශය මෙයයි, එනම්. අවම තොරතුරු වලින් අපි උපරිම නිගමන සහ ප්රතිවිපාක "ඇදගන්න" උත්සාහ කළ යුතුයි. "සැලකිල්ල" සහ පවතින දැනුම උපකාර වනු ඇත! මෙම මූලධර්මය ද ප්‍රයෝජනවත් වේ, මන්ද ඔබ ඉතා ස්වල්පයක් දන්නා විට එය බොහෝ විට විවේචනාත්මක තත්වයකදී ඔබව ගලවා ගනු ඇත.
අපි උදාහරණ කිහිපයක් සමඟ "වෙනස් කළ" සූත්ර සකස් කරමු:
උදාහරණය 4
ස්පර්ශක තලය සහ මතුපිටට සාමාන්ය සඳහා සමීකරණ ලියන්න 
ලක්ෂ්යයේ දී .
මෙහි සටහන් සමඟ සුළු ආවරණයක් ඇත - දැන් ලිපිය තලයේ ලක්ෂ්යයක් දක්වයි, නමුත් ඔබට කුමක් කළ හැකිද - එවැනි ජනප්‍රිය ලිපියක් ...
විසඳුම: අපි සූත්රය භාවිතයෙන් අපේක්ෂිත ස්පර්ශක තලයේ සමීකරණය සම්පාදනය කරමු:
ලක්ෂ්යයේ ශ්‍රිතයේ අගය ගණනය කරමු:
අපි ගණනය කරමු 1 වන අනුපිළිවෙල අර්ධ ව්‍යුත්පන්නමෙම මොහොතේ දී: 
මේ අනුව:
ප්රවේශමෙන්, ඉක්මන් නොවන්න: 
අපි ලක්ෂ්යයේ සාමාන්‍යයේ කැනොනිකල් සමීකරණ ලියන්නෙමු: 
උත්තර දෙන්න:
ඔබේම විසඳුම සඳහා අවසාන උදාහරණයක්:
උදාහරණ 5
ස්පර්ශක තලය සහ ලක්ෂ්යයේ මතුපිටට සාමාන්ය සඳහා සමීකරණ ලියන්න.
අවසාන - මම සියලු තාක්ෂණික කරුණු පාහේ පැහැදිලි කර ඇති අතර එකතු කිරීමට විශේෂ කිසිවක් නොමැති නිසා. මෙම කාර්යයේ දී යෝජනා කරන ලද කාර්යයන් පවා අඳුරු සහ ඒකාකාරී ය - ප්‍රායෝගිකව ඔබට “බහුපදයක්” හමුවන බවට සහතික වී ඇති අතර, මෙම අර්ථයෙන්, ඝාතකයක් සහිත උදාහරණ අංක 2 “කළු බැටළුවෙකු” ලෙස පෙනේ. මාර්ගය වන විට, එය මතුපිටක් හමුවීමට බොහෝ දුරට ඉඩ ඇත සමීකරණය මගින් ලබා දී ඇතසහ ශ්‍රිතය අංක දෙක ලෙස ලිපියේ ඇතුළත් කිරීමට මෙය තවත් හේතුවකි.
අවසාන වශයෙන්, පොරොන්දු වූ රහස: එසේ නම්, අර්ථ දැක්වීම් වළක්වා ගන්නේ කෙසේද? (ඇත්ත වශයෙන්ම, මම අදහස් කරන්නේ විභාගයකට පෙර ශිෂ්‍යයෙකු උණ රෝගයෙන් පෙළෙන විට ඇති වන තත්වය නොවේ)
ඕනෑම සංකල්පයක/සංසිද්ධියක/වස්තුවක නිර්වචනය, පළමුව, පහත ප්රශ්නයට පිළිතුරක් ලබා දෙයි: එය කුමක්ද? (කවුද/එවැනි/එවැනි/එනම්). දැනුවත්වමෙම ප්රශ්නයට පිළිතුරු දෙන විට, ඔබ පරාවර්තනය කිරීමට උත්සාහ කළ යුතුය සැලකිය යුතුසංඥා, නියත වශයෙන්මවිශේෂිත සංකල්පයක් / සංසිද්ධියක් / වස්තුවක් හඳුනා ගැනීම. ඔව්, මුලදී එය තරමක් දිව බැඳ, සාවද්‍ය සහ අතිරික්ත (ගුරුවරයා ඔබව නිවැරදි කරනු ඇත =)), නමුත් කාලයත් සමඟ තරමක් යහපත් විද්‍යාත්මක කථාවක් වර්ධනය වේ.
වඩාත්ම වියුක්ත වස්තූන් මත පුහුණු වන්න, උදාහරණයක් ලෙස, ප්රශ්නයට පිළිතුරු දෙන්න: Cheburashka යනු කවුද? එය එතරම් සරල නැත ;-) මෙය " සුරංගනා කතා චරිතයවිශාල කන්, ඇස් සහ දුඹුරු ලොම් සහිත"? නිර්වචනයෙන් බොහෝ දුරින් - එවැනි ලක්ෂණ සහිත චරිත ඇති බව ඔබ කිසිදා නොදනී... නමුත් මෙය අර්ථ දැක්වීමට වඩා සමීප ය: “චෙබුරාෂ්කා යනු 1966 දී ලේඛක එඩ්වාඩ් උස්පෙන්ස්කි විසින් නිර්මාණය කරන ලද චරිතයකි, ඔහු ... (ප්‍රධාන ලැයිස්තුව සුවිශේෂී ලක්ෂණ)» . එය කෙතරම් හොඳින් ආරම්භ වී ඇත්දැයි බලන්න
Depositfiles වෙතින් බාගන්න
4. පෘෂ්ඨයන් පිළිබඳ න්යාය.
4.1 මතුපිට සමීකරණ.
මතුපිට ත්රිමාණ අවකාශයලබා දිය හැක:
1) ව්‍යංගයෙන්: එෆ් ( x , y , z ) =0 (4.1)
2) පැහැදිලිව: z = f ( x , y ) (4.2)
3) පරාමිතික වශයෙන්: (4.3)
හෝ: 
(4.3’)
අදිශ තර්ක කොහෙද 
සමහර විට curvilinear ඛණ්ඩාංක ලෙස හැඳින්වේ. උදාහරණයක් ලෙස, ගෝලය 
පිහිටුවීමට පහසු ගෝලාකාර ඛණ්ඩාංක: 
.
4.2 ස්පර්ශක තලය සහ මතුපිටට සාමාන්යය.
රේඛාවක් මතුපිට (4.1) පිහිටා තිබේ නම්, එහි ලක්ෂ්යවල ඛණ්ඩාංක මතුපිට සමීකරණය තෘප්තිමත් කරයි:
මෙම අනන්‍යතාවය වෙන්කර හඳුනා ගැනීමෙන් අපට ලැබෙන්නේ:
(4.4)
හෝ 
(4.4
’
)
පෘෂ්ඨයේ වක්රයේ සෑම ලක්ෂයකම. මේ අනුව, පෘෂ්ඨයේ ඒකීය නොවන ලක්ෂ්යවල අනුක්‍රමණ දෛශිකය (එම ශ්‍රිතයේදී (4.5) අවකලනය කළ හැකි සහ 
) මතුපිට ඇති ඕනෑම රේඛාවකට ස්පර්ශක දෛශිකවලට ලම්බක වේ, එනම් M ලක්ෂ්යයේ ස්පර්ශක තලයේ සමීකරණය සම්පාදනය කිරීමට සාමාන්ය දෛශිකයක් ලෙස භාවිතා කළ හැක. 0
(x
0
,
y
0
,
z
0
) මතුපිට
(4.6)
සහ සාමාන්ය සමීකරණයේ දිශා දෛශිකයක් ලෙස:
(4.7)
පෘෂ්ඨයේ පැහැදිලි (4.2) පිරිවිතරයේ දී, ස්පර්ශක තලයේ සමීකරණ සහ සාමාන්ය, පිළිවෙලින්, ස්වරූපය ගනී:
(4.8)
සහ 
(4.9)
පෘෂ්ඨයේ පරාමිතික නිරූපණය සමඟ (4.3), දෛශික 
ස්පර්ශක තලයේ පිහිටා ඇති අතර ස්පර්ශක තලයේ සමීකරණය මෙසේ ලිවිය හැකිය:
(4.10)
සහ ඒවායේ දෛශික නිෂ්පාදනය සාමාන්ය දෛශික දිශාව ලෙස ගත හැක:
සහ සාමාන්ය සමීකරණය මෙසේ ලිවිය හැක.
(4.11)
කොහෙද 
- M ලක්ෂයට අනුරූප පරාමිති අගයන් 0
.
පහත දැක්වෙන දේ තුළ, දෛශික ඇති එවැනි මතුපිට ස්ථාන පමණක් සලකා බැලීමට අපි සීමා වෙමු
ශුන්යයට සමාන නොවන අතර සමාන්තර නොවේ.
උදාහරණය 4.1 ස්පර්ශක තලය සඳහා සමීකරණ සාදන්න සහ M ලක්ෂ්යයේ සාමාන්ය කරන්න 0
(1,1,2) විප්ලවයේ පැරබොලොයිඩ් මතුපිටට 
.
විසඳුම: පැරබොලොයිඩ් සමීකරණය පැහැදිලිව ලබා දී ඇති බැවින්, (4.8) සහ (4.9) අනුව අපි සොයා ගත යුතුය. 
ලක්ෂ්යයේදී එම් 0
:
, සහ M 0 ස්ථානයේ 
. එවිට M ලක්ෂ්යයේ ස්පර්ශක තලයේ සමීකරණය 0 පෙනෙන්නේ:
2(x
-1)+2(y
-1)-(z-2)=0 හෝ 2 x
+2
y
- z - 2=0, සහ සාමාන්ය සමීකරණය 
.
උදාහරණය 4.2 ස්පර්ශක තලය සඳහා සමීකරණ සම්පාදනය කරන්න සහ හෙලිකොයිඩ්හි අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක සාමාන්ය 
, .
විසඳුම. මෙතන ,
ස්පර්ශක තල සමීකරණය:
හෝ
සාමාන්ය සමීකරණ:
.
4.3 පළමු චතුරස්රාකාර මතුපිට ආකෘතිය.
මතුපිට සමීකරණයෙන් ලබා දෙන්නේ නම්
පසුව වක්රය 
එය සමීකරණයෙන් ලබා දිය හැකිය 
(4.12)
අරය දෛශික අවකලනය 
වක්රය දිගේ, M ලක්ෂ්යයේ සිට විස්ථාපනයට අනුරූප වේ 0
ආසන්නතම ලක්ෂ්‍යයට M, සමාන වේ
(4.13)
මොකද 
යනු එකම විස්ථාපනයට අනුරූප වන වක්රයේ චාපයේ අවකලනයයි), එවිට
(4.14)
කොහෙද .
(4.14) හි දකුණු පැත්තේ ප්රකාශනය පෘෂ්ඨයේ පළමු චතුරස්රාකාර ස්වරූපය ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර පෘෂ්ඨයන් පිළිබඳ සිද්ධාන්තයේ විශාල කාර්යභාරයක් ඉටු කරයි.
මම අවකලනය ඒකාබද්ධ කරමිdsසිට දක්වා ටී 0 (ලක්ෂ්ය එම් ට අනුරූප වේ 0) සිට ටී (ලක්ෂ්ය M ට අනුරූප වේ), අපි වක්රයේ අනුරූප කොටසෙහි දිග ලබා ගනිමු
(4.15)
පෘෂ්ඨයේ පළමු චතුරස්රාකාර ස්වරූපය දැන ගැනීමෙන්, ඔබට දිග පමණක් නොව, වක්ර අතර කෝණ ද සොයාගත හැකිය.
නම් du
,
dv
එක් වක්‍රයක් දිගේ අසීමිත විස්ථාපනයකට අනුරූප වන වක්ර රේඛීය ඛණ්ඩාංකවල අවකලනය, සහ 
- අනෙක් අතට, පසුව සැලකිල්ලට ගනිමින් (4.13):
(4.16)
සූත්රය භාවිතා කිරීම
(4.17)
පළමු චතුරස්ර ආකෘතිය කලාපයේ ප්රදේශය ගණනය කිරීමට හැකි වේ 
පෘෂ්ඨයන්.
උදාහරණය 4.3 හෙලිකොයිඩ් මත, හෙලික්සයේ දිග සොයා ගන්න 
ලකුණු දෙකක් අතර.
විසඳුම. හෙලික්ස් එකේ නිසා 
ඒ . අපි කාරණය සොයා බලමු 
පළමු හතරැස් ආකෘතිය. නම් කර ඇති සහv
=
ටී
,
අපි මෙම හෙලික්සීය රේඛාවේ සමීකරණය ආකෘතියෙන් ලබා ගනිමු. චතුරස්රාකාර හැඩය:
= - පළමු හතරැස් ආකාරය.
මෙතන . මෙම නඩුවේ සූත්රයෙහි (4.15). 
සහ චාප දිග:
=
4.4 දෙවන චතුරස්රාකාර මතුපිට ආකෘතිය.
අපි සටහන් කරමු 
- ඒකක දෛශිකය මතුපිටට සාමාන්‍යයි 
:
(4.18)
.
(4.23)
පෘෂ්ඨයක් මත ඇති රේඛාවක් එක් එක් ලක්ෂ්යයේ දිශාව ප්‍රධාන දිශාව නම් වක්ර රේඛාවක් ලෙස හැඳින්වේ.
4.6 පෘෂ්ඨයක් මත භූමිතික රේඛා පිළිබඳ සංකල්පය.
අර්ථ දැක්වීම 4.1 . මතුපිටක් මත ඇති වක්‍රයක් එහි ප්‍රධාන සාමාන්ය නම් භූමිතික ලෙස හැඳින්වේ 
වක්රය ශුන්‍ය නොවන සෑම අවස්ථාවකම එය සාමාන්ය අගය සමඟ සමපාත වේ 
මතුපිටට.
පෘෂ්ඨයේ සෑම ලක්ෂ්යයක් හරහාම ඕනෑම දිශාවකට ගමන් කරන අතර එක් භූමිතිකයක් පමණි. උදාහරණයක් ලෙස, ගෝලයක් මත, මහා කවයන් භූමිතික වේ.
ඛණ්ඩාංක රේඛා එක් පවුලක් භූ විද්‍යාවෙන් සමන්විත නම් සහ දෙවැන්න එයට විකලාංග නම් මතුපිට පරාමිතියක් අර්ධ භූගෝලීය ලෙස හැඳින්වේ. උදාහරණයක් ලෙස, ගෝලයක් මත මැරිඩියන් (භූ භූ විද්යාව) සහ සමාන්තර ඇත.
ප්‍රමාණවත් තරම් කුඩා කොටසක ඇති භූමිතිකයක් එකම ලක්ෂ්ය සම්බන්ධ කරන එයට ආසන්න සියලුම වක්ර අතර කෙටිම වේ.
