සමජාතීය සහ සමජාතීය යන දෙඅංශයෙන්ම අවකල සමීකරණ බොහෝ පද්ධති, එක් නොදන්නා ශ්‍රිතයක් සඳහා එක් සමීකරණයකට අඩු කළ හැක. උදාහරණ සමඟ ක්‍රමය නිරූපණය කරමු.

උදාහරණය 3.1.පද්ධතිය විසඳන්න

විසඳුම. 1) වෙනස් කිරීම ටීපළමු සමීකරණය සහ ආදේශ කිරීම සඳහා දෙවන සහ තෙවන සමීකරණ භාවිතා කිරීම සහ , අපි සොයා ගනිමු

ප්රතිඵලය වන සමීකරණය අපි සම්බන්ධව වෙනස් කරමු නැවතත්

1) අපි පද්ධතියක් නිර්මාණය කරමු

පද්ධතියේ පළමු සමීකරණ දෙකෙන් අපි විචල්යයන් ප්රකාශ කරමු සහ හරහා
:

සඳහා සොයාගත් ප්‍රකාශන ආදේශ කරමු සහ පද්ධතියේ තුන්වන සමීකරණයට

එබැවින්, කාර්යය සොයා ගැනීමට
නියත සංගුණක සහිත තුන්වන අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණයක් ලබා ගන්නා ලදී

.

2) අපි සම්මත ක්‍රමය භාවිතයෙන් අවසාන සමීකරණය ඒකාබද්ධ කරමු: අපි ලාක්ෂණික සමීකරණය සම්පාදනය කරමු
, එහි මූලයන් සොයන්න
සහ එක් මූලයක බහුත්වය සැලකිල්ලට ගනිමින් ඝාතීය රේඛීය සංයෝජනයක් ආකාරයෙන් සාමාන්‍ය විසඳුමක් ගොඩනඟන්න :.

3) ඉතිරි ශ්‍රිත දෙක සොයා ගැනීමට ඊළඟට
සහ
, අපි ප්රතිඵලය ශ්රිතය දෙවරක් වෙනස් කරමු

පද්ධතියේ කාර්යයන් අතර සම්බන්ධතා (3.1) භාවිතා කරමින්, අපි ඉතිරි නොදන්නා දේ නැවත ලබා ගනිමු

.

උත්තර දෙන්න. ,
,.

එක් අවකලනයකින් වුවද, එකක් හැර අනෙකුත් සියලුම දන්නා ශ්‍රිත තුන්වන අනුපිළිවෙල පද්ධතියෙන් බැහැර කර ඇති බව පෙනී යා හැක. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, එය සොයා ගැනීම සඳහා අවකල සමීකරණයේ අනුපිළිවෙල මුල් පද්ධතියේ නොදන්නා ශ්රිත ගණනට වඩා අඩු වනු ඇත.

උදාහරණ 3.2.පද්ධතිය ඒකාබද්ධ කරන්න

(3.2)

විසඳුම. 1) වෙනස් කිරීම පළමු සමීකරණය, අපි සොයා ගනිමු

විචල්‍යයන් හැර සහ සමීකරණ වලින්

සම්බන්ධයෙන් අපට දෙවන අනුපිළිවෙල සමීකරණයක් ඇත

(3.3)

2) පද්ධතියේ පළමු සමීකරණයෙන් (3.2) අපට ඇත

(3.4)

පද්ධතියේ තුන්වන සමීකරණයට ආදේශ කිරීම (3.2) සඳහා සොයාගත් ප්‍රකාශන (3.3) සහ (3.4) සහ , අපි ශ්‍රිතය තීරණය කිරීම සඳහා පළමු අනුපිළිවෙල අවකල සමීකරණයක් ලබා ගනිමු

මෙම සමජාතීය සමීකරණය නියත පළමු පෙළ සංගුණක සමඟ ඒකාබද්ධ කිරීම, අපි සොයා ගනිමු
(3.4) භාවිතා කරමින්, අපි කාර්යය සොයා ගනිමු

උත්තර දෙන්න.
,,
.

කාර්යය 3.1. සමජාතීය පද්ධති එක් අවකල සමීකරණයකට අඩු කිරීමෙන් ඒවා විසඳන්න.

3.1.1. 3.1.2.

3.1.3. 3.1.4.

3.1.5. 3.1.6.

3.1.7. 3.1.8.

3.1.9. 3.1.10.

3.1.11. 3.1.12.

3.1.13. 3.1.14.

3.1.15. 3.1.16.

3.1.17. 3.1.18.

3.1.19. 3.1.20.

3.1.21. 3.1.22.

3.1.23. 3.1.24.

3.1.25. 3.1.26.

3.1.27. 3.1.28.

3.1.29.
3.1.30.

3.2 මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් සොයා ගැනීමෙන් නියත සංගුණක සහිත රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ පද්ධති විසඳීම

රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණ පද්ධතියකට පොදු විසඳුම පද්ධතියේ මූලික විසඳුම්වල රේඛීය සංයෝජනයක් ලෙස සොයාගත හැකිය. නියත සංගුණක සහිත පද්ධති සම්බන්ධයෙන් මූලික විසඳුම් සෙවීමට රේඛීය වීජ ගණිත ක්‍රම භාවිතා කළ හැක.

උදාහරණය 3.3.පද්ධතිය විසඳන්න

(3.5)

විසඳුම. 1) අපි පද්ධතිය matrix ආකාරයෙන් නැවත ලියමු

. (3.6)

2) අපි දෛශික ස්වරූපයෙන් පද්ධතියේ මූලික විසඳුමක් සොයමු
. කාර්යයන් ආදේශ කිරීම
(3.6) සහ අඩු කිරීම , අපිට ලැබෙනවා

, (3.7)

එය අංකයයි න්‍යාසයේ eigenvalue එකක් විය යුතුය
, සහ දෛශිකය අනුරූප අයිගන් දෛශිකය.

3) රේඛීය වීජ ගණිතයේ ගමන් මග අනුව එහි නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන නම් පද්ධතියට (3.7) සුළු නොවන විසඳුමක් ඇති බව දනී.

,

එනම් . මෙතැන් සිට අපි eigenvalues ​​සොයා ගනිමු
.

4) අනුරූප eigenvectors සොයන්න. පළමු අගය (3.7) වෙත ආදේශ කිරීම
, අපි පළමු අයිගන් දෛශිකය සොයා ගැනීම සඳහා පද්ධතියක් ලබා ගනිමු

මෙතැන් සිට අපි නොදන්නා අය අතර සම්බන්ධය ලබා ගනිමු
. අපට සුළු නොවන විසඳුමක් තෝරාගැනීම ප්රමාණවත්ය. විශ්වාස කරනවා
, එහෙනම්
, එනම් දෛශිකය eigenof eigenvalue වේ
, සහ ශ්‍රිත දෛශිකය
දී ඇති අවකල සමීකරණ පද්ධතියක මූලික විසඳුම (3.5). ඒ හා සමානව, දෙවන මූලය ආදේශ කරන විට
(3.7) හි අපට දෙවන eigenvector සඳහා න්‍යාස සමීකරණයක් ඇත
. එහි සංරචක අතර සම්බන්ධය ලබා ගන්නේ කොහෙන්ද?
. මේ අනුව, අපට දෙවන මූලික විසඳුම තිබේ

.

5) පද්ධතියේ සාමාන්‍ය විසඳුම (3.5) ගොඩනගා ඇත්තේ ලබාගත් මූලික විසඳුම් දෙකේ රේඛීය සංයෝජනයක් ලෙස ය.

හෝ ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන්

.

උත්තර දෙන්න.

.

කාර්යය 3.2. මූලික විසඳුම් පද්ධතිය සොයා ගැනීමෙන් පද්ධති විසඳන්න.

මූලික සංකල්ප සහ නිර්වචන ලක්ෂ්‍යයක ගතිකත්වයේ සරලම ගැටළුව අවකල සමීකරණ පද්ධතියකට මග පාදයි: ද්‍රව්‍ය ලක්ෂ්‍යය මත ක්‍රියා කරන බලවේග ලබා දී ඇත; චලිත නියමය සොයා ගන්න, එනම් x = x(t), y = y(t), z = z(t) යන ශ්‍රිත සොයා ගැනීම, කාලය මත චලනය වන ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංකවල යැපීම ප්‍රකාශ කිරීම. මෙම අවස්ථාවෙහිදී ලබා ගන්නා පද්ධතිය, සාමාන්‍ය අවස්ථාවෙහිදී, ස්වරූපය ඇත මෙහි x, y, z යනු චලනය වන ලක්ෂ්‍යයේ ඛණ්ඩාංක වේ, t යනු කාලය, f, g, h යනු ඒවායේ තර්කවල දන්නා ශ්‍රිත වේ. (1) වර්ගයේ පද්ධතියක් කැනොනිකල් ලෙස හැඳින්වේ. t තර්කයේ m නොදන්නා ශ්‍රිත සහිත m අවකල සමීකරණ පද්ධතියක සාමාන්‍ය අවස්ථාව වෙත හැරෙමින්, අපි ඉහළ ව්‍යුත්පන්නයන් සම්බන්ධයෙන් විසඳන ලද ආකෘතියේ පද්ධතියක් කැනොනිකල් ලෙස හඳුන්වමු. අපේක්ෂිත ශ්‍රිතවල ව්‍යුත්පන්නයන් සම්බන්ධයෙන් විසඳන ලද පළමු පෙළ සමීකරණ පද්ධතිය සාමාන්‍ය ලෙස හැඳින්වේ. අපි නව සහායක කාර්යයන් ගතහොත්, සාමාන්‍ය කැනොනිකල් පද්ධතිය (2) සමීකරණ වලින් සමන්විත සමාන සාමාන්‍ය පද්ධතියකින් ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැකිය. එබැවින්, සාමාන්ය පද්ධති පමණක් සලකා බැලීම ප්රමාණවත්ය. උදාහරණයක් ලෙස, එක් සමීකරණයක් කැනොනිකල් පද්ධතියේ විශේෂ අවස්ථාවකි. ^ = y දැමීම, මුල් සමීකරණයේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, අපි සාමාන්‍ය සමීකරණ පද්ධතියක් ලබා ගනිමු අවකල සමීකරණ පද්ධති ඒකාබද්ධ කිරීමේ ක්‍රම ඒකාබද්ධ කිරීමේ ක්‍රමය තුරන් කිරීමේ ක්‍රමය ඒකාබද්ධ කළ හැකි සංයෝජන ක්‍රමය රේඛීය අවකල සමීකරණ පද්ධති මූලික විචල්‍ය සමීකරණ පද්ධති නියතයන් නියත සංගුණක සහිත රේඛීය අවකල සමීකරණ පද්ධති මුල් සමීකරණයට සමාන Matrix ක්රමය. නිර්වචනය 1. තර්කය වෙනස් කිරීමේ අන්තරය (a, b) මත සාමාන්‍ය පද්ධතියට (3) විසඳුමක් t යනු පද්ධතියේ (3) සමීකරණ t ට අදාළව අනන්‍යතා බවට පත් කරන කාල පරතරය මත වෙනස් කළ හැකි n ශ්‍රිතවල ඕනෑම පද්ධතියකි. අන්තරය මත (a, b) පද්ධතිය (3) සඳහා Cauchy ගැටලුව පහත පරිදි සකස් කර ඇත: t = ප්‍රමේයය 1 හි ආරම්භක කොන්දේසි වලට (විසඳුමේ පැවැත්ම සහ සුවිශේෂත්වය) තෘප්තිමත් වන පද්ධතියේ විසඳුමක් (4) සොයා ගන්න. කුමන කර්තව්‍යයන් මගින්ද අපට සාමාන්‍ය අවකල සමීකරණ පද්ධතියක් ඇති අතර, t, X\, x2, ..., යන විචල්‍යයන් හි මාන වසම් D හි සමහරක් නිර්වචනය කරමු. xn. විචල්‍යයන් සඳහා ft ශ්‍රිත අඛණ්ඩව පවතින අතර X\, x2, ..., xn යන විචල්‍යයන්ට අදාළව සීමා වූ අර්ධ ව්‍යුත්පන්නයන් ඇති අසල්වැසි අඩියක් තිබේ නම්, එවිට - A0 දක්වා පරතරයක් ඇත. t වෙනස් කිරීම, ආරම්භක කොන්දේසි තෘප්තිමත් කරන සාමාන්‍ය පද්ධතියේ (3) අද්විතීය විසඳුමක් ඇති නිර්වචනය 2. අත්තනෝමතික නියතයන් මත පදනම්ව n ශ්‍රිත පද්ධතියක් සාමාන්‍ය පද්ධතියේ සාමාන්‍ය විසඳුම (3) ලෙස හැඳින්වේ. Π ප්‍රදේශය Cauchy ගැටලුව විසඳුමේ පැවැත්ම සහ සුවිශේෂත්වය නම් 1) ඕනෑම පිළිගත හැකි අගයක් සඳහා, ශ්‍රිත පද්ධතිය (6) සමීකරණ (3) අනන්‍යතා බවට පත් කරයි, 2) වසමේ Π, ශ්‍රිත (6) ඕනෑම Cauchy ගැටලුවක් විසඳයි . නියතවල නිශ්චිත අගයන් සමඟ සාමාන්‍යයෙන් ලබා ගන්නා විසඳුම් විශේෂිත විසඳුම් ලෙස හැඳින්වේ. පැහැදිලිකම සඳහා, අපි ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය Otx\x2 වෙත යොමු කරන ලද ත්‍රිමාණ අවකාශයේ ලක්ෂ්‍යයක සෘජුකෝණාස්‍රාකාර කාටිසියානු ඛණ්ඩාංක ලෙස t> X\, x2 යන සාමාන්‍ය සමීකරණ පද්ධතිය වෙත හැරෙමු. පද්ධතියේ විසඳුම (7), t - to හි අගයන් ගන්නා අතර, ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන යම් රේඛාවක් අවකාශයේ අර්ථ දක්වයි) - මෙම රේඛාව සාමාන්‍ය පද්ධතියේ අනුකලිත වක්‍රය ලෙස හැඳින්වේ (7). පද්ධතිය (7) සඳහා වන කෝෂි ගැටළුවට පහත ජ්‍යාමිතික සූත්‍රගත කිරීම ලැබේ: t> X\, x2 විචල්‍ය අවකාශයේ දී, Mo(to, x1, x2) දක්වා ඇති අනුකලිත වක්‍රය සොයා ගන්න (රූපය 1). න්‍යාය 1 එවැනි වක්‍රයක පැවැත්ම සහ සුවිශේෂත්වය තහවුරු කරයි. සාමාන්‍ය පද්ධතිය (7) සහ එහි විසඳුම ද පහත අර්ථ නිරූපණය ලබා දිය හැකිය: අපි ස්වාධීන විචල්‍ය t පරාමිතියක් ලෙසත්, පද්ධතියේ විසඳුම x\Ox2 තලයේ වක්‍රයක පරාමිතික සමීකරණ ලෙසත් සලකමු. මෙම X\X2 විචල්‍ය තලය අදියර තලය ලෙස හැඳින්වේ. අදියර තලය තුළ, විසඳුම (පද්ධතියේ 0 (7) t = t0 ආරම්භක අගයන් x° (, x2, ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන AB වක්‍රය මගින් නිරූපණය කෙරේ) මෙම වක්‍රය වක්‍රයේ ගමන් පථය ලෙස හැඳින්වේ. පද්ධතිය (අදියර ගමන් පථය) යනු සමෝධානික වක්‍රයේ සිට ප්‍රක්ෂේපණ අනුකලනය වන අතර, අවකල සමීකරණ පද්ධති අනුකලනය කිරීමේ ක්‍රම 2.1. තුරන් කිරීමේ ක්‍රමය එක් ක්‍රමයක් නම්, ඉහළම ව්‍යුත්පන්නයට අදාළව විසඳන ලද ඉවත් කිරීමේ ක්‍රමයයි, පහත දැක්වෙන සාමාන්‍ය n සමීකරණ පද්ධතිය සමඟින් නව ශ්‍රිත සමීකරණය හඳුන්වා දීම: අපි මෙම n වන අනුපිළිවෙලට සමාන සමීකරණයක් ආදේශ කරමු. සාමාන්‍ය ක්‍රමයට (1) ප්‍රථම අනුපිළිවෙලෙහි සාමාන්‍ය n සමීකරණ පද්ධතියක් අනුකලනය කිරීමේ ක්‍රමයේ පදනම වේ අවකල සමීකරණ. ඒක කරලා තියෙන්නේ මේ විදියට. අපට සාමාන්‍ය අවකල සමීකරණ පද්ධතියක් ඇති කර ගනිමු (2) සමීකරණවල පළමු එක t ට අදාළව. අපි නිෂ්පාදනය දකුණු පැත්තේ ප්‍රතිස්ථාපනය කර ඇත, නැතහොත් කෙටියෙන් කිවහොත්, සමීකරණය (3) නැවතත් t ට සාපේක්ෂව වෙනස් වේ. පද්ධතිය (2) සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි මෙම ක්‍රියාවලිය ලබා ගැනීම හෝ අඛණ්ඩව කරගෙන යාම, අපි තීරණය කරන්නේ යැයි උපකල්පනය කරමු (ශ්‍රිත පද්ධතියේ ජාකොබියන් යනු සලකා බලනු ලබන අගයන් සඳහා ශුන්‍ය නොවන අතර එවිට පද්ධතියේ පළමු සමීකරණයෙන් සමන්විත සමීකරණ පද්ධතිය ( 2) සහ සමීකරණයේ සොයාගත් ප්‍රකාශන හඳුන්වා දීමෙන් නොදන්නා කරුණු සම්බන්ධයෙන් සමීකරණ විසඳිය හැකි වනු ඇත, අපි n වන අනුපිළිවෙලෙහි එක් සමීකරණයක් ලබා ගනිමු, එය පද්ධතියට විසඳුම් තිබේ නම් (2), එවිට X\(t) ශ්‍රිතය (5) සමීකරණයට විසඳුමක් වනු ඇත. අනෙක් අතට, සමීකරණයට විසඳුම (5) කරමු. t සම්බන්ධයෙන් මෙම විසඳුම වෙනස් කිරීම, අපි උපකල්පනය මගින් සොයාගත් අගයන් ගණනය කර ආදේශ කරන්නෙමු, මෙම පද්ධතිය t හි ශ්‍රිතයක් ලෙස xn සම්බන්ධව විසඳිය හැකිය. මේ ආකාරයෙන් ගොඩනඟන ලද ශ්‍රිත පද්ධතිය අවකල සමීකරණ පද්ධතියට (2) විසඳුමක් සපයන බව පෙන්විය හැක. උදාහරණය. පද්ධතියේ පළමු සමීකරණය වෙනස් කිරීම සඳහා එය අවශ්ය වේ, අපි දෙවන සමීකරණය භාවිතා කරමින්, එක් නොදන්නා ශ්රිතයක් සහිත නියත සංගුණක සහිත දෙවන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය අවකල සමීකරණයක් ලබා ගනිමු. එහි පොදු විසඳුම ආකෘතිය ඇත. පද්ධතියේ පළමු සමීකරණය අනුව, අපි කාර්යය සොයා ගනිමු. C| හි ඕනෑම අගයක් සඳහා පහසුවෙන් සත්‍යාපනය කළ හැකි පරිදි සොයාගත් ශ්‍රිත x(t), y(t), සහ C2 දී ඇති පද්ධතිය තෘප්තිමත් කරයි. පද්ධතියේ අනුකලිත වක්‍ර (6) යනු සමෝධානික වක්‍රයක් ද වන පොදු අක්ෂය x = y = 0 සහිත පියවරක් සහිත හෙලික්සීය රේඛා බව පෙනෙන ආකාරයෙන් ශ්‍රිත නිරූපණය කළ හැක (රූපය 3. ) සූත්‍ර (7) හි පරාමිතිය ඉවත් කිරීමෙන්, අපි සමීකරණය ලබා ගනිමු, එවිට දී ඇති පද්ධතියක අදියර ගමන් පථයන් ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භයේ කේන්ද්‍රයක් සහිත කවයන් වේ - හෙලික්සීය රේඛා තලයකට ප්‍රක්ෂේපණය කරන විට, අදියර ගමන් පථය සමන්විත වේ එක් ලක්ෂ්‍යයක්, පද්ධතියේ ඉතිරි ලක්ෂ්‍යය ලෙස හැඳින්වේ. " හරහා ශ්‍රිත ප්‍රකාශ කළ නොහැකි බව පෙනී යා හැක එවිට මුල් පද්ධතියට සමාන nth අනුපිළිවෙල සමීකරණයක් අපට නොලැබෙනු ඇත. මෙන්න සරල උදාහරණයක්. සමීකරණ පද්ධතිය x\ හෝ x2 සඳහා සමාන දෙවන පෙළ සමීකරණයකින් ප්‍රතිස්ථාපනය කළ නොහැක. මෙම පද්ධතිය 1 වන අනුපිළිවෙල සමීකරණ යුගලයකින් සමන්විත වන අතර, ඒ සෑම එකක්ම ස්වාධීනව ඒකාබද්ධ කර, ඒකාබද්ධ කළ හැකි සංයෝජන ක්‍රමය ලබා දෙයි, අවකල සමීකරණවල සාමාන්‍ය පද්ධති ඒකාබද්ධ කිරීම dXi සමහර විට ඒකාබද්ධ කළ හැකි සංයෝජන ක්‍රමය මගින් සිදු කෙරේ. අනුකලනය කළ හැකි සංයෝජනයක් යනු සමීකරණවල (8) ප්රතිවිපාකයක් වන අවකල සමීකරණයකි, නමුත් දැනටමත් පහසුවෙන් අනුකලනය කළ හැකිය. උදාහරණය. පද්ධතියක් ඒකාබද්ධ කරන්න අවකල සමීකරණ පද්ධති ඒකාබද්ධ කිරීමේ ක්‍රම ඒකාබද්ධ කළ හැකි සංයෝජන ක්‍රමය ඉවත් කිරීමේ ක්‍රමය රේඛීය අවකල සමීකරණ පද්ධති මූලික න්‍යාස නියත විචලනය කිරීමේ ක්‍රමය රේඛීය අවකල සමීකරණ පද්ධති මෙම ක්‍රම 4 නියත සංගුණක අනුව මෙම පද එකතු කිරීම matrix පද එකතු කිරීම අනුකලනය කළ හැකි සංයෝජනය: පද්ධතියේ පළමු සමීකරණයෙන් පදයෙන් පදය අඩු කිරීමෙන්, අපි දෙවන අනුකලනය කළ හැකි සංයෝජනයක් ලබා ගනිමු: පද්ධතියේ සාමාන්‍ය විසඳුම පහසුවෙන් තීරණය කළ හැකි පරිමිත සමීකරණ දෙකක් අපට හමු විය: එක් ඒකාබද්ධ කළ හැකි සංයෝජනයක් ලබා ගැනීමට හැකි වේ. ස්වාධීන විචල්‍ය t සහ නොදන්නා ශ්‍රිත සම්බන්ධ කරන එක් සමීකරණයක්. එවැනි සීමිත සමීකරණයක් පද්ධතියේ පළමු අනුකලනය ලෙස හැඳින්වේ (8). එසේ නොමැති නම්: අවකල සමීකරණ පද්ධතියක පළමු අනුකලනය (8) යනු අනන්‍ය ලෙස නියත නොවන නමුත් මෙම පද්ධතියේ ඕනෑම අනුකලිත වක්‍රයක නියත අගයක් පවත්වාගෙන යන අවකලනය කළ හැකි ශ්‍රිතයකි. පද්ධතියේ n පළමු අනුකලන (8) හමු වී ඒවා සියල්ලම ස්වාධීන නම්, එනම්, ශ්‍රිත පද්ධතියේ ජාකොබියන් ශුන්‍ය නොවේ: අවකල සමීකරණ පද්ධතියක් නොදන්නා ශ්‍රිත සහ ඒවායේ ව්‍යුත්පන්නයන් සම්බන්ධයෙන් රේඛීය නම් එය රේඛීය ලෙස හැඳින්වේ. සමීකරණයට ඇතුළත් කර ඇත. සාමාන්‍ය ආකාරයෙන් ලියා ඇති පළමු අනුපිළිවෙලෙහි n රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක්, ආකෘතිය හෝ, න්‍යාස ආකාරයෙන්, ප්‍රමේයය 2 ඇත. සියලුම ශ්‍රිතයන් අන්තරයක අඛණ්ඩව පවතී නම්, එක් එක් ලක්ෂ්‍යයේ ප්‍රමාණවත් තරම් කුඩා අසල්වැසි ප්‍රදේශයක., xn) , එහිදී), පැවැත්ම ප්‍රමේයය තෘප්තිමත් වන අතර, Causchia ගැටලුවට විසඳුමේ සුවිශේෂත්වය, එබැවින්, එවැනි එක් එක් ලක්ෂ්‍යය හරහා පද්ධතියේ අද්විතීය අනුකලිත වක්‍රයක් (1) සමත් වේ. අර්ථ දැක්වීම. අපට රේඛීය සමජාතීය පද්ධතියක් ඇති අතර එහිදී මූලද්‍රව්‍ය සහිත න්‍යාසයක් ඇති රේඛීය සමජාතීය පද්ධතියකට (6) n විසඳුම් පද්ධතියක්, අන්තරය මත රේඛීයව ස්වාධීනව, මූලික ලෙස හැඳින්වේ. ප්‍රමේයය 6. රේඛීය සමජාතීය පද්ධතියකට (6) සංගුණක සහිත a-ij(t) සංගුණක සහිත විරාමයක මූලික විසඳුම් පද්ධතියක Wronski නිර්ණායකය, b අන්තරයේ සියලුම ස්ථානවලදී ශුන්‍ය නොවේ (a , 6). ප්රමේයය 7 (රේඛීය සමජාතීය පද්ධතියක පොදු විසඳුමේ ව්යුහය මත). විරාමයක අඛණ්ඩ සංගුණක සහිත රේඛීය සමජාතීය පද්ධතියක ක්ෂේත්‍රයේ සාමාන්‍ය විසඳුම යනු පද්ධතියේ n විසඳුම්වල රේඛීය සංයෝජනයකි (6) පරතරය මත රේඛීයව ස්වාධීන a: අත්තනෝමතික නියත සංඛ්‍යා). අවසාන සම්බන්ධතා අනුකලනය කරමින්, මෙම අගයන් ආදේශ කිරීම, අපි පද්ධතියට විශේෂිත විසඳුමක් සොයා ගනිමු (2): (මෙහි සංකේතය §4 ශ්‍රිතය සඳහා ප්‍රතිව්‍යුත්පන්න වලින් එකක් ලෙස වටහාගෙන ඇත. නියත සංගුණක සහිත රේඛීය අවකල සමීකරණ පද්ධති රේඛීය ලෙස සලකමු. සියලුම සංගුණක නියත වන අවකල සමීකරණ පද්ධතිය බොහෝ විට, එවැනි පද්ධතියක් ඉහළ අනුපිළිවෙලකට අඩු කිරීම මගින් ඒකාබද්ධ කරනු ලබන අතර, මෙම සමීකරණය පද්ධති සමඟ ඒකාබද්ධ කිරීම සඳහා තවත් ඵලදායී ක්රමයක් වනු ඇත නියත සංගුණකය යනු ලැප්ලේස් පරිවර්තන ක්‍රමයයි. අවකල සමීකරණවල රේඛීය සමජාතීය පද්ධති අනුකලනය කිරීමේ ක්‍රමය අපි සලකා බලමු (3) නාඳුනන n සමඟ රේඛීය සමජාතීය වීජීය සමීකරණවල සුළු නොවන ද්‍රාවණයක් තිබීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වන අතර එහි නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන වේ: සමීකරණය (4) ලක්ෂණය ලෙස හැඳින්වේ. එහි වම් පැත්තේ n උපාධියට සාපේක්ෂව බහුපදයක් ඇත, මෙම සමීකරණයෙන් අපි A හි අගයන් තීරණය කරමු (3) ලාක්ෂණික සමීකරණයේ සියලු මූලයන් තිබේ නම්. වෙනස් වේ, පසුව ඒවා පද්ධතියට (3) ආදේශ කිරීමෙන්, අපි මෙම පද්ධතියේ අනුරූප නොවන සුළු නොවන විසඳුම් සොයා ගන්නා අතර, එබැවින්, මුල් අවකල සමීකරණ පද්ධතියට (1) දෙවන දර්ශකයේ ස්වරූපයෙන් n විසඳුම් සොයා ගනිමු. විසඳුමේ අංකය පෙන්නුම් කරයි, සහ පළමුවැන්න නොදන්නා ශ්රිතයේ අංකය දක්වයි. මේ ආකාරයෙන් ගොඩනගා ඇති රේඛීය සමජාතීය පද්ධතියේ (1) n අර්ධ විසඳුම්, සත්‍යාපනය කළ හැකි පරිදි, මෙම පද්ධතියට මූලික විසඳුම් පද්ධතියක් සාදයි. එහි ප්‍රති, ලයක් වශයෙන්, අවකල සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධතියේ සාමාන්‍ය විසඳුම (1) ආකෘතිය ඇත - අත්තනෝමතික නියතයන්. ලාක්ෂණික සමීකරණයට බහු මූලයන් ඇති විට අපි නඩුව සලකා බලන්නේ නැත. M අපි 01.02 නිර්ණය කිරීම සඳහා ලාක්ෂණික සමීකරණ පද්ධතියක් (3) ආකාරයෙන් විසඳුමක් සොයමින් සිටින්නේ මෙවැන්නකි: ආදේශ කිරීම අපට ලැබෙන්නේ කොතැනින්ද, එබැවින් අපි උපකල්පනය කරමු, එබැවින් මෙම පද්ධතියේ සාමාන්‍ය විසඳුම: විවිධ සමීකරණ පද්ධති ඒකාබද්ධ කිරීමේ ක්‍රම තුරන් කිරීමේ ක්‍රමය ඒකාබද්ධ කළ හැකි සංයෝජන ක්‍රමය රේඛීය අවකල සමීකරණ පද්ධති මූලික න්‍යාස විචල්‍ය නියත ක්‍රමය නියත සංගුණක සහිත රේඛීය අවකල සමීකරණ පද්ධති Matrix ක්‍රමය සමජාතීය පද්ධතියක් (1) ඒකාබද්ධ කිරීම සඳහා අනුකෘති ක්‍රමය ද ඉදිරිපත් කරමු. අපි පද්ධතිය (1) a,j නියත තාත්වික මූලද්‍රව්‍ය සහිත න්‍යාසයක් ලෙස ලියමු. රේඛීය වීජ ගණිතයේ සංකල්ප කිහිපයක් අපි සිහිපත් කරමු. දෛශික g ФО න්‍යාසයේ අයිගන් දෛශිකයක් ලෙස හැඳින්වේ නම්, අංකය A eigenvector g ට අනුරූප වන න්‍යාස A හි eigenvalue ලෙස හඳුන්වන අතර I අනන්‍යතා න්‍යාසය වන ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මුල වේ. න්‍යාස A හි සියලුම eigenvalues ​​A' වෙනස් යැයි අපි උපකල්පනය කරමු. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, අයිගන් දෛශික රේඛීයව ස්වාධීන වන අතර න්‍යාසය A විකර්ණ ස්වරූපයට අඩු කරන n x n න්‍යාසය T ඇත, එනම්, න්‍යාස T හි තීරු eigenvectors හි ඛණ්ඩාංක වේ. B(ξ) යනු n × n-matrix වන අතර එහි මූලද්‍රව්‍ය 6,;(0) ත්‍රස්තවාදයේ න්‍යාසය t කුලකයේ අර්ථ දක්වා ඇත, එහි සියලුම මූලද්‍රව්‍ය 6,j( Π මත අඛණ්ඩ ලෙස හැඳින්වේ. f) Q මත අඛණ්ඩ වේ. මෙම න්‍යාසයේ සියලුම මූලද්‍රව්‍ය Q මත අවකලනය කළ හැකි නම් B(*) න්‍යාසයක් Π මත අවකලනය කළ හැකි යැයි කියනු ලැබේ. මෙම අවස්ථාවේදී, ^p-matrix B(*) හි ව්‍යුත්පන්නය න්‍යාසයකි. එහි මූලද්‍රව්‍ය යනු අනුකෘතියේ තීරු දෛශිකයේ අනුරූපී මූලද්‍රව්‍යවල ව්‍යුත්පන්නයන් වන අතර, න්‍යාසයේ වීජ ගණිතයේ නියමයන් සැලකිල්ලට ගනිමින්, විශේෂයෙන්ම, B යනු නියත න්‍යාසයක් නම්, අපට සෘජුවම සත්‍යාපනය කළ හැක ^ යනු ශුන්‍ය න්‍යාසයකි 9. න්‍යාසයේ eigenvalues ​​වෙනස් නම්, පද්ධතියේ (7) සාමාන්‍ය විසඳුමේ ආකෘතිය ඇත - න්‍යාසයේ eigenvectors-තීරු අත්තනෝමතික සංඛ්‍යා වේ T යනු න්‍යාසය විකර්ණ ආකාරයක් දක්වා අඩු කරන සූත්‍රයට අනුව නව නොදන්නා දෛශික තීරුවක් හඳුන්වා දීම, අපි පද්ධතිය ලබා ගන්නේ වම් පස ඇති අවසාන සම්බන්ධතාවයේ දෙපැත්ත T 1 න් ගුණ කර එය සැලකිල්ලට ගනිමිනි. T. 1 AT = А, අපි පද්ධතියට පැමිණෙමු n ස්වාධීන සමීකරණ පද්ධතියක් අපි ලබාගෙන ඇති අතර, එය පහසුවෙන් ඒකාබද්ධ කළ හැකිය: (12) මෙන්න අත්තනෝමතික නියත සංඛ්යා. ඒකක n-මාන තීරු දෛශික හඳුන්වා දීමෙන්, විසඳුම ආකෘතියෙන් නිරූපණය කළ හැක T න්‍යාසයේ තීරු න්‍යාසයේ අයිගන් දෛශික වන බැවින්, න්‍යාසයේ අයිගන් දෛශිකය A. එබැවින්, (13) (11) ට ආදේශ කිරීම, අපි සූත්‍රය ලබා ගන්න (10): මේ අනුව, අවකල සමීකරණ පද්ධතියක් (7) න්‍යාසයට විවිධ අයිගන් අගයන් තිබේ නම්, මෙම පද්ධතියේ සාමාන්‍ය විසඳුමක් ලබා ගැනීම සඳහා: 1) වීජීය සමීකරණයේ මූලයන් ලෙස න්‍යාසයේ අයිගන් අගයන් සොයා ගන්න. 2) සියලුම අයිගන් දෛශික සොයා ගන්න 3) අවකල සමීකරණ පද්ධතියේ සාමාන්‍ය විසඳුම (7) සූත්‍රය (10) භාවිතයෙන් ලියන්න. උදාහරණ 2. පද්ධතිය විසඳන්න Matrix ක්රමය 4 පද්ධතියේ Matrix A ආකෘතිය 1) ලක්ෂණ සමීකරණය සම්පාදනය කරන්න ලක්ෂණ සමීකරණයේ මූලයන්. 2) A = 4 සඳහා eigenvectors සොයන්න අපි පද්ධතියක් ලබා ගන්නේ = 0|2, එවිට A = 1 සඳහා අපි I 3) සූත්‍රය (10) භාවිතා කරමින් අවකල සමීකරණ පද්ධතියට සාමාන්‍ය විසඳුමක් ලබා ගනිමු. ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් සැබෑ සහ සංකීර්ණ විය හැකිය. උපකල්පනය අනුව, පද්ධතියේ (7) සංගුණක සැබෑ වන බැවින්, ලාක්ෂණික සමීකරණයට සැබෑ සංගුණක ඇත. එබැවින්, A සංකීර්ණ මූලය සමඟ, එයට A ට සංකීර්ණ සංයුජයක් වන \* මූලයක් ද ඇත. g යනු A හි අයිගන් අගයට අනුරූප වන අයිගන් දෛශිකයක් නම්, A* ද අයිගන් අගයක් වන බව පෙන්වීම පහසුය. eigenvector g* අනුරූප වේ, g සමඟ සංකීර්ණ සංයෝජන.

එය පිටත ඉතා රසවත් කාලයකි, පොප්ලර් දියර පියාසර කරයි, මෙම කාලගුණය විවේකයට හිතකර වේ. පාසල් වසර තුළදී, සෑම කෙනෙකුම තෙහෙට්ටුව සමුච්චය කර ඇත, නමුත් ගිම්හාන නිවාඩු / නිවාඩු අපේක්ෂාව විභාග සහ පරීක්ෂණ සාර්ථකව සමත් වීමට ඔබව පෙලඹවිය යුතුය. කොහොමහරි කාලෙට ගුරුවරුත් කම්මැලියි, ඉතින් ඉක්මනින්ම මමත් ටිකක් වෙලාවක් ගන්නවා මගේ මොලේ බාගන්න. දැන් කෝපි, පද්ධති ඒකකයේ රිද්මයානුකූල නාදය, ජනෙල් කවුළුව මත මිය ගිය මදුරුවන් කිහිප දෙනෙකු සහ සම්පූර්ණයෙන්ම වැඩ කරන තත්වයක් ... ... අපොයි, අපරාදේ ... කවියා.

කාරණයට. කවුද ගණන් ගන්නේ, නමුත් අද මට ජුනි 1 වන දින, අපි සංකීර්ණ විශ්ලේෂණයේ තවත් සාමාන්‍ය ගැටළුවක් දෙස බලමු - මෙහෙයුම් කැල්කියුලස් ක්‍රමය භාවිතා කරමින් අවකල සමීකරණ පද්ධතියකට විශේෂිත විසඳුමක් සොයා ගැනීම. එය විසඳන ආකාරය ඉගෙන ගැනීමට ඔබ දැනගත යුතු සහ කළ හැකි වන්නේ කුමක්ද? සියල්ලට කළින්, බෙහෙවින් නිර්දේශ කරයිපාඩම වෙත යොමු කරන්න. කරුණාකර හඳුන්වාදීමේ කොටස කියවා, මාතෘකාවේ සාමාන්‍ය ප්‍රකාශය, පාරිභාෂිතය, අංකනය සහ අවම වශයෙන් උදාහරණ දෙකක් හෝ තුනක්වත් තේරුම් ගන්න. කාරණය නම් විසරණ පද්ධති සමඟ සෑම දෙයක්ම පාහේ සමාන වන අතර ඊටත් වඩා සරල වනු ඇත!

ඇත්ත වශයෙන්ම, එය කුමක්දැයි ඔබ තේරුම් ගත යුතුය අවකල සමීකරණ පද්ධතිය, එනම් පද්ධතියට පොදු විසඳුමක් සහ පද්ධතියට විශේෂිත විසඳුමක් සොයා ගැනීමයි.

අවකල සමීකරණ පද්ධතිය "සාම්ප්‍රදායික" ආකාරයෙන් විසඳිය හැකි බව මම ඔබට මතක් කරමි: ඉවත් කිරීම මගින්හෝ ලාක්ෂණික සමීකරණය භාවිතා කිරීම. පහත සඳහන් පරිදි කාර්යය සකස් කරන විට සාකච්ඡා කරනු ලබන මෙහෙයුම් ගණනය කිරීමේ ක්‍රමය දුරස්ථ පාලක පද්ධතියට අදාළ වේ:

සමජාතීය අවකල සමීකරණ පද්ධතියකට විශේෂිත විසඳුමක් සොයන්න , ආරම්භක කොන්දේසි වලට අනුරූප වේ .

විකල්පයක් ලෙස, පද්ධතිය විෂමජාතීය විය හැකිය - “ඇඩෝන බර” ශ්‍රිත ස්වරූපයෙන් සහ දකුණු පැතිවලින්:

එහෙත්, අවස්ථා දෙකේදීම, ඔබ කොන්දේසියේ මූලික කරුණු දෙකක් කෙරෙහි අවධානය යොමු කළ යුතුය:

1) එය ගැන පුද්ගලික විසඳුමක් ගැන පමණි.
2) ආරම්භක කොන්දේසි වල වරහන් තුළ වේ දැඩි ලෙස ශුන්ය, සහ වෙන කිසිවක් නැත.

සාමාන්ය පාඨමාලා සහ ඇල්ගොරිතමයට බෙහෙවින් සමාන වනු ඇත මෙහෙයුම් ක්‍රමය භාවිතා කරමින් අවකල සමීකරණයක් විසඳීම. විමර්ශන ද්රව්ය වලින් ඔබට එයම අවශ්ය වනු ඇත මුල් පිටපත් සහ පින්තූර වගුව.

උදාහරණ 1

, ,

විසඳුම:ආරම්භය සුළුපටු ය: භාවිතා කිරීම Laplace පරිවර්තන වගුඅපි මුල් පිටපත්වල සිට අනුරූප රූප වෙත යමු. දුරස්ථ පාලක පද්ධතිවල ගැටලුවකදී, මෙම සංක්‍රාන්තිය සාමාන්‍යයෙන් සරල ය:

අංක 1, 2 වගු සූත්‍ර භාවිතා කරමින්, ආරම්භක කොන්දේසිය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි ලබා ගන්නේ:

"ක්රීඩා" සමඟ කුමක් කළ යුතුද? වගුවේ ඇති “X” මානසිකව “I” ලෙස වෙනස් කරන්න. එකම පරිවර්තනයන් අංක 1, 2 භාවිතා කරමින්, ආරම්භක තත්ත්වය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි සොයා ගන්නේ:

සොයාගත් රූප මුල් සමීකරණයට ආදේශ කරමු :

දැන් වම් කොටස් වලසමීකරණ එකතු කළ යුතුය සියල්ලපවතින හෝ පවතින නියමයන්. දකුණු කොටස් වලටසමීකරණ "විධිමත්" කළ යුතුය අනිත් හැමෝමකොන්දේසි:

ඊළඟට, එක් එක් සමීකරණයේ වම් පැත්තේ අපි වරහන් කිරීම සිදු කරමු:

මෙම අවස්ථාවේ දී, පහත සඳහන් දේ පළමු ස්ථානවල සහ දෙවන ස්ථානවල තැබිය යුතුය:

නොදන්නා කරුණු දෙකක් සහිත සමීකරණ පද්ධතිය සාමාන්‍යයෙන් විසඳනු ලැබේ ක්රේමර්ගේ සූත්ර අනුව. අපි පද්ධතියේ ප්රධාන නිර්ණායකය ගණනය කරමු:

නිර්ණායකය ගණනය කිරීමේ ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, බහුපදයක් ලබා ගන්නා ලදී.

වැදගත් තාක්ෂණය!මෙම බහුපද වඩා හොඳය වහාමඑය සාධක කිරීමට උත්සාහ කරන්න. මෙම අරමුණු සඳහා, චතුරස්රාකාර සමීකරණය විසඳීමට උත්සාහ කළ යුතුය , නමුත් පුහුණුව ලත් දෙවන වසරේ ඇසක් ඇති බොහෝ පාඨකයින් එය දකිනු ඇත .

මේ අනුව, අපගේ පද්ධතියේ ප්රධාන නිර්ණායකය වන්නේ:

පද්ධතිය තවදුරටත් විසුරුවා හැරීම, ක්‍රේමර්ට ස්තූතියි, සම්මතය:

එහි ප්රතිඵලයක් වශයෙන් අපට ලැබේ පද්ධතියේ ක්රියාකරු විසඳුම:

ප්‍රශ්නගත කාර්යයේ වාසිය නම් භාග සාමාන්‍යයෙන් සරල වන අතර ඒවා සමඟ කටයුතු කිරීම ගැටළු වල භාගවලට වඩා පහසු ය. මෙහෙයුම් ක්‍රමය භාවිතා කරමින් DE සඳහා විශේෂිත විසඳුමක් සොයා ගැනීම. ඔබේ පෙරනිමිත්ත ඔබව රැවටුවේ නැත - හොඳ පැරණි අවිනිශ්චිත සංගුණක ක්රමය, එහි ආධාරයෙන් අපි එක් එක් භාගය මූලික කොටස් වලට දිරාපත් කරමු:

1) අපි පළමු කොටස සමඟ කටයුතු කරමු:

මේ අනුව:

2) අපි සමාන යෝජනා ක්‍රමයකට අනුව දෙවන කොටස බිඳ දමමු, නමුත් වෙනත් නියතයන් (නිර්වචනය නොකළ සංගුණක) භාවිතා කිරීම වඩාත් නිවැරදි ය:

මේ අනුව:

පහත දැක්වෙන ආකාරයෙන් දිරාපත් වූ ක්‍රියාකරු විසඳුම ලිවීමට මම ඩමිවරුන්ට උපදෙස් දෙමි:
- මෙය අවසන් අදියර වඩාත් පැහැදිලි වනු ඇත - ප්රතිලෝම Laplace පරිවර්තනය.

වගුවේ දකුණු තීරුව භාවිතා කරමින්, අපි පින්තූරවල සිට අනුරූප මුල් පිටපත් වෙත යමු:

හොඳ ගණිතමය පුරුදු වල නීතිවලට අනුව, අපි ප්රතිඵලය ටිකක් පිළිවෙලට කරන්නෙමු:

පිළිතුර:

පිළිතුර සම්මත යෝජනා ක්‍රමයකට අනුව පරීක්ෂා කරනු ලැබේ, එය පාඩමේ විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කෙරේ. අවකල සමීකරණ පද්ධතියක් විසඳන්නේ කෙසේද?කාර්යයට විශාල ප්ලස් එකතු කිරීම සඳහා සෑම විටම එය සම්පූර්ණ කිරීමට උත්සාහ කරන්න.

උදාහරණය 2

මෙහෙයුම් ගණනය භාවිතා කරමින්, ලබා දී ඇති ආරම්භක කොන්දේසි වලට අනුරූප වන අවකල සමීකරණ පද්ධතියකට විශේෂිත විසඳුමක් සොයා ගන්න.
, ,

මෙය ඔබටම විසඳා ගැනීමට ආදර්ශයකි. ගැටලුවේ අවසාන ආකෘතියේ ආසන්න නියැදියක් සහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර.

අවකල්‍ය සමීකරණවල සමජාතීය නොවන පද්ධතියක් විසඳීම ඇල්ගොරිතම වශයෙන් වෙනස් නොවේ, තාක්‍ෂණිකව එය ටිකක් සංකීර්ණ වනු ඇත.

උදාහරණය 3

මෙහෙයුම් ගණනය භාවිතා කරමින්, ලබා දී ඇති ආරම්භක කොන්දේසි වලට අනුරූප වන අවකල සමීකරණ පද්ධතියකට විශේෂිත විසඳුමක් සොයා ගන්න.
, ,

විසඳුම:ආරම්භක කොන්දේසි සැලකිල්ලට ගනිමින් Laplace පරිවර්තන වගුව භාවිතා කිරීම , අපි මුල් පිටපත්වල සිට අනුරූප රූප වෙත යමු:

නමුත් එය පමණක් නොවේ, සමීකරණවල දකුණු පසෙහි පාළු නියතයන් ඇත. නියතය සම්පූර්ණයෙන්ම තනිවම ඇති අවස්ථාවන්හිදී කුමක් කළ යුතුද? මෙය දැනටමත් පන්තියේ සාකච්ඡා කර ඇත. මෙහෙයුම් ක්‍රමය භාවිතයෙන් DE එකක් විසඳන්නේ කෙසේද. අපි නැවත කියමු: තනි නියතයන් මානසිකව එකකින් ගුණ කළ යුතු අතර, පහත දැක්වෙන ලැප්ලේස් පරිවර්තනය ඒකක සඳහා යෙදිය යුතුය:

අපි සොයාගත් පින්තූර මුල් පද්ධතියට ආදේශ කරමු:

අපි අඩංගු නියමයන් වමට ගෙන යමු, ඉතිරි නියමයන් දකුණු පැතිවල තබමු:

වම් පැත්තේ අපි වරහන් කිරීම සිදු කරන්නෙමු, ඊට අමතරව, අපි දෙවන සමීකරණයේ දකුණු පස පොදු හරයකට ගෙන එන්නෙමු:

පද්ධතියේ ප්‍රධාන නිර්ණායකය ගණනය කරමු, ප්‍රති result ලය වහාම සාධකකරණය කිරීමට උත්සාහ කිරීම සුදුසු බව අමතක නොකර:
, එනම් පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත.

අපි ඉදිරියට යමු:



මේ අනුව, පද්ධතියේ ක්රියාකරු විසඳුම වන්නේ:

සමහර විට කොටස් එකක් හෝ දෙකම අඩු කළ හැකි අතර, සමහර විට, ඔබට කිසිවක් පුළුල් කිරීමට අවශ්‍ය නොවන පරිදි සාර්ථකව! සමහර අවස්ථාවලදී, ඔබට වහාම නොමිලේ ලබා ගත හැකිය, මාර්ගය වන විට, පාඩමේ පහත උදාහරණය දර්ශක උදාහරණයක් වනු ඇත.

අවිනිශ්චිත සංගුණක ක්‍රමය භාවිතා කරමින් අපි මූලික භාගවල එකතුව ලබා ගනිමු.

අපි පළමු කොටස බිඳ දමමු:

අපි දෙවැන්න සාක්ෂාත් කර ගනිමු:

ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, ක්රියාකරු විසඳුම අපට අවශ්ය පෝරමය ගනී:

දකුණු තීරුව භාවිතා කිරීම මුල් පිටපත් සහ පින්තූර වගුඅපි ප්‍රතිලෝම Laplace පරිවර්තනය සිදු කරන්නෙමු:

ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන රූප පද්ධතියේ ක්‍රියාකරු විසඳුමට ආදේශ කරමු:

පිළිතුර:පුද්ගලික විසඳුම:

ඔබට පෙනෙන පරිදි, විෂමජාතීය පද්ධතියක් තුළ සමජාතීය පද්ධතියකට සාපේක්ෂව වැඩි ශ්රම-දැඩි ගණනය කිරීම් සිදු කිරීම අවශ්ය වේ. සයින් සහ කොසයින සමඟ තවත් උදාහරණ කිහිපයක් දෙස බලමු, එය ප්‍රමාණවත් වේ, මන්ද සෑම වර්ගයකම පාහේ ගැටළු සහ විසඳුමේ බොහෝ සූක්ෂ්මතා සලකා බලනු ඇත.

උදාහරණය 4

ක්‍රියාකාරී කැල්කියුලස් ක්‍රමය භාවිතා කරමින්, ලබා දී ඇති ආරම්භක කොන්දේසි සහිත අවකල සමීකරණ පද්ධතියකට විශේෂිත විසඳුමක් සොයන්න,

විසඳුම:මම මෙම උදාහරණය මා විසින්ම විශ්ලේෂණය කරමි, නමුත් අදහස් අදාළ වන්නේ විශේෂ අවස්ථා පමණි. ඔබ දැනටමත් විසඳුම් ඇල්ගොරිතම ගැන හොඳින් දන්නා බව මම උපකල්පනය කරමි.

අපි මුල් පිටපත්වල සිට අනුරූප රූප වෙත යමු:

අපි සොයාගත් පින්තූර මුල් දුරස්ථ පාලක පද්ධතියට ආදේශ කරමු:

ක්‍රේමර් සූත්‍ර භාවිතයෙන් පද්ධතිය විසඳමු:
, එනම් පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත.

එහි ප්‍රතිඵලය වන බහුපද සාධකකරණය කළ නොහැක. එවැනි අවස්ථාවලදී කුමක් කළ යුතුද? නියත වශයෙන්ම කිසිවක් නැත. මේකත් කරයි.

ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, පද්ධතියේ ක්රියාකරු විසඳුම වන්නේ:

මෙන්න වාසනාවන්ත ටිකට් එක! අවිනිශ්චිත සංගුණක ක්‍රමය කිසිසේත් භාවිතා කිරීමට අවශ්‍ය නැත! එකම දෙය නම්, වගු පරිවර්තනයන් යෙදීම සඳහා, අපි විසඳුම පහත ආකාරයෙන් නැවත ලියන්නෙමු:

අපි පින්තූරවල සිට අනුරූප මුල් පිටපත් වෙත යමු:

ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන රූප පද්ධතියේ ක්‍රියාකරු විසඳුමට ආදේශ කරමු:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2, a 1, b 1, c වැනි සරලම ආකාරයේ අවකල සමීකරණ පද්ධති විසඳීම සඳහා මෙම කොටස කැප කිරීමට අපි තීරණය කළෙමු. 1, a 2, b 2, c 2 - සමහර තාත්වික සංඛ්යා. එවැනි සමීකරණ පද්ධති විසඳීම සඳහා වඩාත් ඵලදායී ක්රමය වන්නේ ඒකාබද්ධ කිරීමේ ක්රමයයි. මාතෘකාව පිළිබඳ උදාහරණයක් සඳහා විසඳුම ද අපි සලකා බලමු.

අවකල සමීකරණ පද්ධතියකට විසඳුම x (t) සහ y (t) ශ්‍රිත යුගලයක් වනු ඇත, එමඟින් පද්ධතියේ සමීකරණ දෙකම අනන්‍යතා බවට පත් කළ හැකිය.

DE පද්ධතිය d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ඒකාබද්ධ කිරීමේ ක්‍රමය සලකා බලමු. 1 වන සමීකරණයෙන් නොදන්නා ශ්‍රිතය x (t) ඉවත් කිරීම සඳහා අපි පද්ධතියේ 2 වන සමීකරණයෙන් x ප්‍රකාශ කරමු:

d y d t = a 2 x + b 2 y + c 2 ⇒ x = 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2

අපි 2 වන සමීකරණය සම්බන්ධයෙන් වෙන් කරමු ටී d x d t සඳහා එහි සමීකරණය විසඳන්න:

d 2 y d t 2 = a 2 d x d t + b 2 d y d t ⇒ d x d t = 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t

දැන් අපි කලින් ගණනය කිරීම් වල ප්‍රති result ලය පද්ධතියේ 1 වන සමීකරණයට ආදේශ කරමු:

d x d t = a 1 x + b 1 y + c 1 ⇒ 1 a 2 d 2 y d t 2 - b 2 d y d t = a 1 a 2 d y d t - b 2 y - c 2 + b 1 y + c 1 d ⇔ (a 1 + b 2) d y d t + (a 1 b 2 - a 2 b 1) y = a 2 c 1 - a 1 c 2

එබැවින් අපි නොදන්නා ශ්‍රිතය x (t) ඉවත් කර නියත සංගුණක සහිත 2 වන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණයක් ලබා ගත්තෙමු. අපි මෙම y (t) සමීකරණයට විසඳුම සොයාගෙන එය පද්ධතියේ 2 වන සමීකරණයට ආදේශ කරමු. අපි හොයාගන්නම් x(t). මෙය සමීකරණ පද්ධතියේ විසඳුම සම්පූර්ණ කරන බව අපි උපකල්පනය කරමු.

උදාහරණ 1

අවකල සමීකරණ පද්ධතියට විසඳුම සොයන්න d x d t = x - 1 d y d t = x + 2 y - 3

විසඳුම

පද්ධතියේ පළමු සමීකරණයෙන් පටන් ගනිමු. අපි එය x ට සාපේක්ෂව විසඳා ගනිමු:

x = d y d t - 2 y + 3

දැන් අපි පද්ධතියේ 2 වන සමීකරණය වෙන්කර හඳුනා ගනිමු, ඉන්පසු අපි එය විසඳන්නෙමු d x d t: d 2 y d t 2 = d x d t + 2 d y d t ⇒ d x d t = d 2 y d t 2 - 2

ගණනය කිරීම් වලදී ලබාගත් ප්‍රති result ලය දුරස්ථ පාලක පද්ධතියේ 1 වන සමීකරණයට ආදේශ කළ හැකිය:

d x d t = x - 1 d 2 y d t 2 - 2 d y d t = d y d t - 2 y + 3 - 1 d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

පරිවර්තනවල ප්රතිඵලයක් වශයෙන්, අපි නියත සංගුණක d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2 සමඟ 2 වන අනුපිළිවෙලෙහි රේඛීය අසමජාතීය අවකල සමීකරණයක් ලබා ගත්තෙමු. අපි එහි පොදු විසඳුම සොයා ගන්නේ නම්, අපි කාර්යය ලබා ගනිමු y(t).

k 2 - 3 k + 2 = 0 යන ලාක්ෂණික සමීකරණයේ මූලයන් ගණනය කිරීමෙන් අපට අනුරූප LOD y 0 හි සාමාන්‍ය විසඳුම සොයාගත හැකිය:

D = 3 2 - 4 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 k 2 = 3 + 1 2 = 2

අප ලබා ගත් මූලයන් සැබෑ සහ වෙනස් ය. මේ සම්බන්ධයෙන්, LODE හි පොදු විසඳුම y 0 = C 1 · e t + C 2 · e 2 t ආකෘතිය ඇත.

දැන් අපි රේඛීය සමජාතීය අවකල සමීකරණය y ~ සඳහා විශේෂිත විසඳුමක් සොයා ගනිමු:

d 2 y d t 2 - 3 d y d t + 2 y = 2

සමීකරණයේ දකුණු පැත්ත ශුන්‍ය අංශක බහුපදයකි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ අපි y ~ = A ආකෘතියෙන් විශේෂිත විසඳුමක් සොයන බවයි, A යනු නිර්ණය නොකළ සංගුණකයකි.

d 2 y ~ d t 2 - 3 d y ~ d t + 2 y ~ = 2 සමානාත්මතාවයෙන් අපට අවිනිශ්චිත සංගුණකය තීරණය කළ හැකිය:
d 2 (A) d t 2 - 3 d (A) d t + 2 A = 2 ⇒ 2 A = 2 ⇒ A = 1

මේ අනුව, y ~ = 1 සහ y (t) = y 0 + y ~ = C 1 · e t + C 2 · e 2 t + 1 . අපට එක් නොදන්නා කාර්යයක් හමු විය.

දැන් අපි සොයාගත් ශ්‍රිතය DE පද්ධතියේ 2 වන සමීකරණයට ආදේශ කර නව සමීකරණය විසඳමු. x(t):
d (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) d t = x + 2 (C 1 e t + C 2 e 2 t + 1) - 3 C 1 e t + 2 C 2 e 2 t = x + 2 C 1 · e t + 2 C 2 · e 2 t - 1 x = - C 1 · e t + 1

එබැවින් අපි දෙවන නොදන්නා ශ්‍රිතය x (t) = - C 1 · e t + 1 ගණනය කළෙමු.

පිළිතුර: x (t) = - C 1 e t + 1 y (t) = C 1 e t + C 2 e 2 t + 1

ඔබ පෙළෙහි දෝෂයක් දුටුවහොත්, කරුණාකර එය උද්දීපනය කර Ctrl+Enter ඔබන්න