ඉඩ දෙන්න X- තර්කය (ස්වාධීන විචල්යය); y=y(x)- කාර්යය.
අපි ස්ථාවර තර්ක අගයක් ගනිමු x=x 0 සහ ශ්රිතයේ අගය ගණනය කරන්න y 0 =y(x 0 ) . දැන් හිතුවක්කාර විදියට සෙට් වෙමු වැඩි කිරීම තර්කයේ (වෙනස් කිරීම) සහ එය දක්වන්න X ( Xඕනෑම ලකුණක් විය හැක).
වර්ධක තර්කය තිතකි X 0 + X. අපි හිතමු ඒකෙත් Function value එකක් තියෙනවා කියලා y=y(x 0 + X)(පින්තූරය බලන්න).
මේ අනුව, තර්කයේ අගයේ අත්තනෝමතික වෙනසක් සමඟ, ශ්රිතයේ වෙනසක් ලබා ගනී, එය හැඳින්වේ වැඩි කිරීම කාර්යය අගයන්:
සහ අත්තනෝමතික නොවේ, නමුත් කාර්යයේ වර්ගය සහ අගය මත රඳා පවතී 
.
තර්කය සහ කාර්යය වර්ධක විය හැක අවසාන, i.e. නියත සංඛ්යා ලෙස ප්රකාශ කරනු ලබන අතර, ඒවා සමහර විට සීමිත වෙනස්කම් ලෙස හැඳින්වේ.
ආර්ථික විද්‍යාවේදී, සීමිත වර්ධක බොහෝ විට සලකනු ලැබේ. උදාහරණයක් ලෙස, වගුව යම් රාජ්‍යයක දුම්රිය ජාලයේ දිග පිළිබඳ දත්ත පෙන්වයි. නිසැකවම, ජාල දිග වැඩි කිරීම ගණනය කරනු ලබන්නේ පෙර අගය පසුකාලීන අගයෙන් අඩු කිරීමෙනි.
අපි දුම්රිය ජාලයේ දිග ශ්‍රිතයක් ලෙස සලකමු, එහි තර්කය කාලය (වසර) වේ.
|
දෙසැම්බර් 31 වන විට දුම්රිය දිග කිලෝමීටර් දහසක්. |
වැඩි කිරීම |
සාමාන්ය වාර්ෂික වර්ධනය |
|
එය තුළම, ශ්‍රිතයක වැඩි වීමක් (මෙම අවස්ථාවෙහිදී, දුම්රිය ජාලයේ දිග) කාර්යයේ වෙනස හොඳින් සංලක්ෂිත නොවේ. අපගේ උදාහරණයේ දී, ඒ කාරණයෙන් 2,5>0,9 ජාලය වේගයෙන් වර්ධනය වූ බව නිගමනය කළ නොහැක 2000-2003 වඩා අවුරුදු 2004 g., වැඩිවීම නිසා 2,5 වසර තුනක කාල පරිච්ඡේදයකට යොමු කරයි, සහ 0,9 - වසරක් තුළ. එබැවින්, ශ්‍රිතයක වැඩිවීමක් තර්කයේ ඒකක වෙනසක් ඇති කිරීම ස්වාභාවිකය. මෙහි තර්කයේ වැඩිවීම කාල පරිච්ඡේද වේ: 1996-1993=3; 2000-1996=4; 2003-2000=3; 2004-2003=1 .
ආර්ථික සාහිත්‍යයේ කියන දේ අපට ලැබෙනවා සාමාන්ය වාර්ෂික වර්ධනය.
සෑම විටම කළ නොහැකි, එකින් එක වෙනස් වන තර්ක අගයන් සඳහා ශ්‍රිත අගයන් ගතහොත්, තර්ක වෙනස් කිරීමේ ඒකකයට වර්ධක අඩු කිරීමේ ක්‍රියාවලිය ඔබට වළක්වා ගත හැකිය.
ගණිතමය විශ්ලේෂණයේදී, විශේෂයෙන්ම අවකලනයේදී, තර්කයේ සහ ශ්රිතයේ අනන්ත (IM) වර්ධක සලකා බලනු ලැබේ.
එක් විචල්‍යයක ශ්‍රිතයක අවකලනය (ව්යුත්පන්න සහ අවකලනය) ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්න
ලක්ෂ්‍යයක තර්කය සහ ක්‍රියාකාරිත්වය වැඩි කිරීම X 0 සැසඳිය හැකි අපරිමිත ප්රමාණ ලෙස සැලකිය හැකිය (මාතෘකාව 4 බලන්න, BM සංසන්දනය කිරීම), i.e. එම අනුපිළිවෙලෙහි බී.එම්.
එවිට ඔවුන්ගේ අනුපාතයට සීමිත සීමාවක් ඇත, එය t හි ශ්රිතයේ ව්යුත්පන්නය ලෙස අර්ථ දැක්වේ. X 0 .
ලක්ෂ්‍යයක තර්කයේ BM වර්ධකයට ශ්‍රිතයක වර්ධකයේ අනුපාතයේ සීමාව x=x 0 කියලා ව්යුත්පන්න දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක ක්‍රියා කරයි.
ආඝාතය (හෝ ඒ වෙනුවට රෝම ඉලක්කම් I මගින්) මගින් ව්යුත්පන්නයක් සංකේතාත්මක ලෙස හැඳින්වීම නිව්ටන් විසින් හඳුන්වා දෙන ලදී. ඔබට උපසිරැසියක් ද භාවිතා කළ හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස, ව්යුත්පන්නය ගණනය කරන්නේ කුමන විචල්‍ය දැයි පෙන්වයි. 
. ව්යුත්පන්න ගණිතයේ නිර්මාතෘ, ජර්මානු ගණිතඥ ලයිබ්නිස් විසින් යෝජනා කරන ලද තවත් අංකනයක් ද බහුලව භාවිතා වේ: 
. මෙම තනතුරේ මූලාරම්භය ගැන ඔබ කොටසින් වැඩිදුර ඉගෙන ගනු ඇත ශ්‍රිත අවකලනය සහ තර්ක අවකලනය.
මෙම සංඛ්යාව ඇස්තමේන්තු කරයි වේගයලක්ෂ්යයක් හරහා ගමන් කරන ශ්රිතයේ වෙනස්කම් 
.
අපි ස්ථාපනය කරමු ජ්යාමිතික අර්ථයලක්ෂ්‍යයක ශ්‍රිතයක ව්යුත්පන්නය. මෙම කාර්යය සඳහා, අපි කාර්යය සැලසුම් කරමු y=y(x)සහ එහි වෙනස තීරණය කරන ලකුණු සලකුණු කරන්න y(x)අතර 
ලක්ෂ්‍යයක ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරයට ස්පර්ශකය එම් 0
අපි secant හි සීමිත ස්ථානය සලකා බලමු එම් 0
එම්එය දී ඇති විට 
(තිත් එම්ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරය දිගේ ලක්ෂ්‍යයකට ලිස්සා යයි එම් 0
).
අපි සලකා බලමු 
. පැහැදිලිවම, 
.
කාරණය නම් එම්ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය දිගේ ලක්ෂ්‍යය දෙසට යොමු කරන්න එම් 0
, එවිට වටිනාකම 
අපි සඳහන් කරන යම් සීමාවකට නැඹුරු වනු ඇත 
. එම අවස්ථාවේදී ම.
සීමා කෝණය
ඇතුළු ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයට අඳින ලද ස්පර්ශකයේ ආනතියේ කෝණය සමග සමපාත වේ. එම් 0
, එබැවින් ව්යුත්පන්නය 
සංඛ්යාත්මකව සමාන වේ ස්පර්ශක බෑවුම
නිශ්චිත ස්ථානයේ.
-
ලක්ෂ්‍යයක ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නයේ ජ්යාමිතික අර්ථය.
මේ අනුව, අපට ස්පර්ශක සහ සාමාන්ය සමීකරණ ලිවිය හැක ( සාමාන්ය - මෙය ස්පර්ශයට ලම්බකව ඇති සරල රේඛාවකි) යම් අවස්ථාවක ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයට X 0 :
ස්පර්ශක - .
සාමාන්ය - 
.
මෙම රේඛා තිරස් අතට හෝ සිරස් අතට පිහිටා ඇති අවස්ථා සිත්ගන්නා කරුණකි (මාතෘකා 3 බලන්න, ගුවන් යානයක රේඛාවක පිහිටීම පිළිබඳ විශේෂ අවස්ථා බලන්න). එවිට,
නම් 
;
නම් 
.
ව්යුත්පන්න අර්ථ දැක්වීම හැඳින්වේ අවකලනය කාර්යයන්.
කාර්යය ලක්ෂ්‍යයක තිබේ නම් X 0 සීමිත ව්යුත්පන්නයක් ඇත, පසුව එය හැඳින්වේ වෙනස් කළ හැකිමෙම මොහොතේ දී. යම් ප්‍රාන්තරයක සියලුම ලක්ෂ්‍යවල අවකලනය කළ හැකි ශ්‍රිතයක් මෙම අන්තරය මත අවකලනය ලෙස හැඳින්වේ.
ප්රමේයය . කාර්යය නම් y=y(x)අවකලනය ඇතුළුව. X 0 , එවිට එය මෙම ස්ථානයේ අඛණ්ඩව පවතී.
මේ අනුව, අඛණ්ඩතාව- ශ්‍රිතයක අවකලනය සඳහා අවශ්‍ය (නමුත් ප්‍රමාණවත් නොවන) කොන්දේසියකි.
1. තර්ක වර්ධක සහ ශ්‍රිත වර්ධක.කාර්යය ලබා දීමට ඉඩ දෙන්න. අපි තර්ක අගයන් දෙකක් ගනිමු: ආරම්භක 
සහ වෙනස් කරන ලද, එය සාමාන්යයෙන් දක්වනු ලැබේ 
, කොහෙද 
- පළමු අගයේ සිට දෙවන අගය දක්වා ගමන් කරන විට තර්කය වෙනස් වන ප්රමාණය, එය හැඳින්වේ තර්ක වැඩිවීම.
තර්ක අගයන් සහ නිශ්චිත ශ්‍රිත අගයන්ට අනුරූප වේ: ආරම්භක 
සහ වෙනස් කළා 
, විශාලත්වය 
, තර්කය අගය අනුව වෙනස් වන විට ශ්රිතයේ අගය වෙනස් වන ලෙස හැඳින්වේ කාර්යය වැඩිවීම.
2. ලක්ෂ්‍යයක ශ්‍රිතයක සීමාව පිළිබඳ සංකල්පය.
අංකය 
ශ්රිතයේ සීමාව ලෙස හැඳින්වේ 
නැඹුරුව සමඟ 
, ඕනෑම අංකයක් සඳහා නම් 
එවැනි අංකයක් තිබේ 
හැමෝම ඉස්සරහා කියලා 
, අසමානතාවය තෘප්තිමත් කිරීම 
, අසමානතාවය තෘප්තිමත් වනු ඇත 
.
දෙවන නිර්වචනය: කිසියම් සංඛ්‍යාවක් සඳහා මෙම ඕනෑම අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් සඳහා ලක්ෂ්යයේ අසල්වැසි ප්‍රදේශයක් තිබේ නම්, එය නැඹුරු වන පරිදි සංඛ්‍යාවක් ශ්‍රිතයක සීමාව ලෙස හැඳින්වේ. නම් කර ඇත 
.
3. ලක්ෂ්‍යයක අසීමිත විශාල සහ අසීමිත ශ්‍රිත. නිමක් නැතිව කුඩා කාර්යයලක්ෂ්‍යයක - දී ඇති ලක්ෂ්‍යයකට නැඹුරු වන විට සීමාව ශුන්‍යයට සමාන වන ශ්‍රිතයකි. ලක්ෂ්‍යයක ඇති අනන්ත විශාල ශ්‍රිතයක් යනු දී ඇති ලක්ෂ්‍යයකට නැඹුරු වන විට සීමාව අනන්තයට සමාන වන ශ්‍රිතයකි.
4. සීමාවන් සහ ඒවායේ ප්රතිවිපාක පිළිබඳ මූලික සිද්ධාන්ත (සාක්ෂි නොමැතිව).
ප්රතිවිපාක: නියත සාධකය සීමාව ලකුණෙන් ඔබ්බට ගත හැක: 
අනුපිළිවෙල නම් සහ 
අභිසාරී වන අතර අනුපිළිවෙලෙහි සීමාව ශුන්‍ය නොවන වේ
ප්රතිවිපාක: නියත සාධකය සීමාව ලකුණෙන් ඔබ්බට ගත හැක.
11. කාර්යයන් සඳහා සීමාවන් තිබේ නම් 
සහ 
සහ ශ්රිතයේ සීමාව ශුන්‍ය නොවන,
එවිට ඒවායේ අනුපාතයෙහි සීමාවක් ද ඇත, ශ්‍රිතවල සීමාවන්ගේ අනුපාතයට සමාන සහ:
.
12. නම් 
, ඒ 
, ප්‍රතිලෝමය ද සත්‍ය වේ.
13. අතරමැදි අනුපිළිවෙලක සීමාව පිළිබඳ ප්රමේයය. අනුපිළිවෙල නම් 
අභිසාරී, සහ 
සහ 
ඒ 
5. අනන්තයේ ශ්‍රිතයක සීමාව.
අනන්තයට නැඹුරු වන කිසියම් අනුක්‍රමයක් සඳහා නම් a සංඛ්යාව අනන්තයේ ශ්‍රිතයක සීමාව ලෙස හැඳින්වේ (x අනන්තයට නැඹුරු වීම සඳහා) 
අංකයට නැඹුරු වන අගයන් අනුපිළිවෙලකට අනුරූප වේ ඒ.
6. සීමාවන් සංඛ්යා අනුපිළිවෙල.
අංකය ඒකිසියම් සංඛ්යා අනුපිළිවෙලක් සඳහා සීමාවක් ලෙස හැඳින්වේ ධනාත්මක අංකය 
තිබෙනු ඇත ස්වභාවික අංකයඑන්, සියල්ලන්ටම එවැනි n>
එන්අසමානතාවය රඳවා ගනී 
.
සංකේතාත්මකව මෙය පහත පරිදි අර්ථ දැක්වේ: 
සාධාරණ .
අංකය බව ඇත්ත ඒපහත දැක්වෙන පරිදි දැක්වෙන අනුපිළිවෙලෙහි සීමාව වේ:
.
7.අංකය "ඊ". ස්වභාවික ලඝුගණක.
අංකය "ඊ"
සංඛ්යා අනුපිළිවෙලෙහි සීමාව නියෝජනය කරයි, n-
එහි th සාමාජිකයා 
, i.e.
.
ස්වාභාවික ලඝුගණකය - පදනමක් සහිත ලඝුගණකය ඊ.
ස්වභාවික ලඝුගණක දක්වා ඇත 
හේතුවක් සඳහන් නොකර. 
අංකය 
දශම ලඝුගණකයේ සිට ස්වභාවික එකට සහ පසුපසට යාමට ඔබට ඉඩ සලසයි.
, එය සිට සංක්‍රාන්ති මොඩියුලය ලෙස හැඳින්වේ ස්වභාවික ලඝුගණකදශමයට.
8. පුදුම සීමාවන් 
,
.
පළමු කැපී පෙනෙන සීමාව:
මෙලෙස දී 
අතරමැදි අනුක්‍රමික සීමාව ප්රමේයය මගින්
දෙවන කැපී පෙනෙන සීමාව:
.
සීමාවක් පවතින බව ඔප්පු කිරීමට 
lemma භාවිතා කරන්න: ඕනෑම දෙයක් සඳහා සැබෑ අංකය 
සහ 
අසමානතාවය සැබෑ ය 
(2) (දී 
හෝ 
අසමානතාවය සමානාත්මතාවයට හැරේ.)
අනුපිළිවෙල (1) පහත පරිදි ලිවිය හැකිය:
.
දැන් පොදු පදයක් සහිත සහායක අනුපිළිවෙලක් සලකා බලන්න 
එය අඩු වී පහතින් සීමා වී ඇති බවට වග බලා ගනිමු: 
නම් 
, එවිට අනුපිළිවෙල අඩු වේ. නම් 
, එවිට අනුපිළිවෙල පහතින් සීමා වේ. අපි මෙය පෙන්වමු:
සමානාත්මතාවය නිසා (2)
i.e. 
හෝ 
. එනම්, අනුපිළිවෙල අඩු වෙමින් පවතින අතර, අනුපිළිවෙල පහතින් මායිම් කර ඇත. අනුපිළිවෙලක් අඩු වෙමින් පහතින් සීමා වී ඇත්නම්, එයට සීමාවක් ඇත. එතකොට
සීමාවක් සහ අනුපිළිවෙලක් ඇත (1), මන්ද 
සහ 
.
L. Euler මෙම සීමාව ලෙස හැඳින්වේ 
.
9. ඒකපාර්ශ්වික සීමාවන්, ක්‍රියාකාරීත්වය අත්හිටුවීම.
කිසියම් අනුපිළිවෙලක් සඳහා පහත දැක්වෙන්නේ නම් A අංකය වම් සීමාව වේ: .
කිසියම් අනුපිළිවෙලක් සඳහා පහත දැක්වෙන්නේ නම් අංකය A යනු නිවැරදි සීමාවයි: .
ලක්ෂ්යයේ නම් ඒශ්‍රිතයේ හෝ එහි මායිම නිර්වචනය කිරීමේ වසමට අයත්, ශ්රිතයේ අඛන්ඩතාවයේ කොන්දේසිය උල්ලංඝනය වේ, එවිට ලක්ෂ්‍යය ඒලක්ෂ්‍යය නැඹුරු වන විට ශ්‍රිතයක විසන්ධි ලක්ෂ්‍යයක් හෝ අත්හිටුවීමක් ලෙස හැඳින්වේ
12. අනන්ත අඩුවීමේ නියමයන් එකතුව ජ්යාමිතික ප්රගතිය.
ජ්යාමිතික ප්රගතිය යනු පසුකාලීන සහ පෙර පද අතර අනුපාතය නොවෙනස්ව පවතින අනුපිළිවෙලකි, මෙම අනුපාතය ප්රගතියේ හරය ලෙස හැඳින්වේ. පළමු එකතුව nජ්යාමිතික ප්රගතියේ සාමාජිකයන් සූත්රය මගින් ප්රකාශ කරනු ලැබේ 
මෙම සූත්රය අඩුවන ජ්යාමිතික ප්‍රගතියක් සඳහා භාවිතා කිරීමට පහසු වේ - එහි හරයේ නිරපේක්ෂ අගය ශුන්‍යයට වඩා අඩු ප්‍රගතියක්. 
- පළමු සාමාජිකයා; 
- ප්රගති හරය; 
- අනුපිළිවෙලෙහි ගත් සාමාජිකයාගේ අංකය. අසීමිත අඩුවන ප්‍රගතියක එකතුව යනු අඩුවන ප්‍රගතියක පළමු පදවල එකතුව දින නියමයක් නොමැතිව වැඩි වන විට දින නියමයක් නොමැතිව ළඟා වන සංඛ්‍යාවයි. 
ඒ. අසීමිත ලෙස අඩුවන ජ්යාමිතික ප්‍රගතියක නියමවල එකතුව සමාන වේ 
.
අර්ථ දැක්වීම 1
එක් එක් යුගලය සඳහා යම් වසමකින් ස්වාධීන විචල්‍ය දෙකක අගයන් $(x,y)$ සඳහා නිශ්චිත අගයක් $z$ සම්බන්ධ වේ නම්, $z$ යනු $(x,y) විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක් යැයි කියනු ලැබේ. $. අංකනය: $z=f(x,y)$.
$z=f(x,y)$ ශ්‍රිතයට අදාළව, ශ්‍රිතයක සාමාන්ය (සම්පූර්ණ) සහ අර්ධ වර්ධක සංකල්ප සලකා බලමු.
$z=f(x,y)$ ශ්‍රිතයක් ස්වාධීන විචල්‍ය දෙකකින් $(x,y)$ වෙත ලබාදෙන්න.
සටහන 1
$(x,y)$ විචල්‍යයන් ස්වායත්ත බැවින්, ඒවායින් එකක් වෙනස් විය හැකි අතර අනෙක නියතව පවතී.
$y$ විචල්‍යයේ අගය නොවෙනස්ව තබා ගනිමින් $x$ විචල්‍යයට $\Delta x$ ක වර්ධකයක් දෙමු.
එවිට $z=f(x,y)$ ශ්‍රිතයට වර්ධකයක් ලැබෙනු ඇත, එය $x$ විචල්‍යයට සාපේක්ෂව $z=f(x,y)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධකය ලෙස හැඳින්වේ. තනතුර:
ඒ හා සමානව, අපි $x$ විචල්‍යයේ අගය නොවෙනස්ව තබා ගනිමින් $y$ විචල්‍යයට $\Delta y$ වර්ධකයක් ලබා දෙන්නෙමු.
එවිට $z=f(x,y)$ ශ්‍රිතයට වර්ධකයක් ලැබෙනු ඇත, එය $y$ විචල්‍යයට සාපේක්ෂව $z=f(x,y)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධකය ලෙස හැඳින්වේ. තනතුර:
$x$ යන තර්කයට $\Delta x$ වර්ධකය ලබා දී ඇති අතර $y$ තර්කයට $\Delta y$ වර්ධකය ලබා දෙන්නේ නම්, එවිට අපට ලැබේ සම්පූර්ණ වැඩිවීම ලබා දී ඇති කාර්යය$z=f(x,y)$. තනතුර:
මේ අනුව අපට ඇත්තේ:
$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - $z=f(x,y)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධක $x$;
$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - $z=f(x,y)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධක $y$;
$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - $z=f(x,y)$ ශ්රිතයේ සම්පූර්ණ වැඩිවීම.
උදාහරණ 1
විසඳුම:
$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - $x$ට වඩා $z=f(x,y)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධක;
$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - $y$ ට සාපේක්ෂව $z=f(x,y)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධකය.
$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - ශ්රිතයේ සම්පූර්ණ වැඩිවීම $z=f(x,y)$.
උදාහරණය 2
$\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$ සඳහා $(1;2)$ ලක්ෂ්යයේ $z=xy$ ශ්රිතයේ අර්ධ සහ සම්පූර්ණ වර්ධකය ගණනය කරන්න.
විසඳුම:
අර්ධ වර්ධක නිර්වචනය අනුව අපි සොයා ගන්නේ:
$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - $x$ ට වඩා $z=f(x,y)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධක
$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - $z=f(x,y)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධක $y$;
සම්පූර්ණ වැඩිවීමේ නිර්වචනය අනුව අපි සොයා ගන්නේ:
$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - ශ්රිතයේ සම්පූර්ණ වැඩිවීම $z=f(x,y)$.
එබැවින්,
\[\Delta _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Delta z= (1+0.1)\cdot (2+0.1)=1.1\cdot 2.1=2.31.\]
සටහන 2
ලබා දී ඇති ශ්‍රිතයක සම්පූර්ණ වර්ධක $z=f(x,y)$ එහි අර්ධ වර්ධක $\Delta _(x) z$ සහ $\Delta _(y) z$ එකතුවට සමාන නොවේ. ගණිතමය අංකනය: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.
උදාහරණය 3
ක්‍රියාකාරීත්වය සඳහා ප්රකාශ සටහන් පරීක්ෂා කරන්න
විසඳුම:
$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (උදාහරණ 1 හි ලබාගත්)
දී ඇති ශ්‍රිතයක අර්ධ වර්ධක එකතුව $z=f(x,y)$ සොයා ගනිමු
\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]
\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]
අර්ථ දැක්වීම 2
යම් වසමකින් ස්වාධීන විචල්‍ය තුනක එක් එක් ත්‍රිත්ව $(x,y,z)$ අගයන් සඳහා $w$ නිශ්චිත අගයක් සම්බන්ධ වේ නම්, $w$ යනු $(x,) විචල්‍ය තුනක ශ්‍රිතයක් බව පැවසේ. y,z)$ මෙම ප්‍රදේශයේ.
අංකනය: $w=f(x,y,z)$.
අර්ථ දැක්වීම 3
එක් එක් කට්ටලය සඳහා $(x,y,z,...,t)$ යම් කලාපයකින් ස්වාධීන විචල්‍යවල අගයන් $w$ නිශ්චිත අගයක් සම්බන්ධ වේ නම්, $w$ යනු ශ්‍රිතයක් යැයි කියනු ලැබේ. මෙම ප්‍රදේශයේ $(x,y, z,...,t)$ යන විචල්‍යයන්.
අංකනය: $w=f(x,y,z,...,t)$.
විචල්‍ය තුනක හෝ වැඩි ගණනක ශ්‍රිතයක් සඳහා, විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක් සඳහා වන ආකාරයටම, එක් එක් විචල්‍යයන් සඳහා අර්ධ වර්ධක තීරණය කරනු ලැබේ:
$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - $w=f(x,y,z,... ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධකය ,t )$ විසින් $z$;
$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - $w ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධකය =f (x,y,z,...,t)$ විසින් $t$.
උදාහරණය 4
අර්ධ සහ සම්පූර්ණ වර්ධක කාර්යයන් ලියන්න
විසඳුම:
අර්ධ වර්ධක නිර්වචනය අනුව අපි සොයා ගන්නේ:
$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - $x$ ට වඩා $w=f(x,y,z)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධක
$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - $y$ට වඩා $w=f(x,y,z)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධක;
$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - $z$ට වඩා $w=f(x,y,z)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධක;
සම්පූර්ණ වැඩිවීමේ නිර්වචනය අනුව අපි සොයා ගන්නේ:
$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - ශ්රිතයේ සම්පූර්ණ වැඩිවීම $w=f(x,y,z)$.
උදාහරණ 5
$\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, සඳහා $(1;2;1)$ ලක්ෂ්යයේ $w=xyz$ ශ්රිතයේ අර්ධ සහ සම්පූර්ණ වර්ධකය ගණනය කරන්න. \, \Delta z=0.1$.
විසඳුම:
අර්ධ වර්ධක නිර්වචනය අනුව අපි සොයා ගන්නේ:
$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - $x$ ට වඩා $w=f(x,y,z)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධක
$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - $w=f(x,y,z)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධක $y$;
$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - $z$ට වඩා $w=f(x,y,z)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධක;
සම්පූර්ණ වැඩිවීමේ නිර්වචනය අනුව අපි සොයා ගන්නේ:
$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - ශ්රිතයේ සම්පූර්ණ වැඩිවීම $w=f(x,y,z)$.
එබැවින්,
\[\Delta _(x) w=(1+0.1)\cdot 2\cdot 1=2.2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0.1)\ cdot 1=2.1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0.1)=2.2\] \[\Delta z=(1+0.1) \cdot (2+0.1)\cdot (1+0.1) =1.1\cdot 2.1\cdot 1.1=2.541.\]
සමඟ ජ්යාමිතික ලක්ෂ්යයදර්ශනය අනුව, $z=f(x,y)$ ශ්රිතයේ සම්පූර්ණ වර්ධකය (නිර්වචනය අනුව $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$) $M(x,y)$ ලක්ෂ්යයේ සිට $M_(1) (x+\Delta x,y+) ලක්ෂ්‍යයට යන විට $z =f(x,y)$ ශ්රිතයේ ප්‍රස්ථාරයේ යෙදුමේ වර්ධකයට සමාන වේ. \Delta y)$ (රූපය 1).
රූපය 1.
අර්ථ දැක්වීම 1
එක් එක් යුගලය සඳහා යම් වසමකින් ස්වාධීන විචල්‍ය දෙකක අගයන් $(x,y)$ සඳහා නිශ්චිත අගයක් $z$ සම්බන්ධ වේ නම්, $z$ යනු $(x,y) විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක් යැයි කියනු ලැබේ. $. අංකනය: $z=f(x,y)$.
$z=f(x,y)$ ශ්‍රිතයට අදාළව, ශ්‍රිතයක සාමාන්ය (සම්පූර්ණ) සහ අර්ධ වර්ධක සංකල්ප සලකා බලමු.
$z=f(x,y)$ ශ්‍රිතයක් ස්වාධීන විචල්‍ය දෙකකින් $(x,y)$ වෙත ලබාදෙන්න.
සටහන 1
$(x,y)$ විචල්‍යයන් ස්වායත්ත බැවින්, ඒවායින් එකක් වෙනස් විය හැකි අතර අනෙක නියතව පවතී.
$y$ විචල්‍යයේ අගය නොවෙනස්ව තබා ගනිමින් $x$ විචල්‍යයට $\Delta x$ ක වර්ධකයක් දෙමු.
එවිට $z=f(x,y)$ ශ්‍රිතයට වර්ධකයක් ලැබෙනු ඇත, එය $x$ විචල්‍යයට සාපේක්ෂව $z=f(x,y)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධකය ලෙස හැඳින්වේ. තනතුර:
ඒ හා සමානව, අපි $x$ විචල්‍යයේ අගය නොවෙනස්ව තබා ගනිමින් $y$ විචල්‍යයට $\Delta y$ වර්ධකයක් ලබා දෙන්නෙමු.
එවිට $z=f(x,y)$ ශ්‍රිතයට වර්ධකයක් ලැබෙනු ඇත, එය $y$ විචල්‍යයට සාපේක්ෂව $z=f(x,y)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධකය ලෙස හැඳින්වේ. තනතුර:
$x$ තර්කයට $\Delta x$ වර්ධකයක් ලබා දී ඇති අතර $y$ තර්කයට $\Delta y$ වර්ධකයක් ලබා දෙන්නේ නම්, ලබා දී ඇති ශ්රිතයේ සම්පූර්ණ වර්ධකය $z=f(x,y)$ ලබා ගනී. තනතුර:
මේ අනුව අපට ඇත්තේ:
$\Delta _(x) z=f(x+\Delta x,y)-f(x,y)$ - $z=f(x,y)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධක $x$;
$\Delta _(y) z=f(x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - $z=f(x,y)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධක $y$;
$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$ - $z=f(x,y)$ ශ්රිතයේ සම්පූර්ණ වැඩිවීම.
උදාහරණ 1
විසඳුම:
$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$ - $x$ට වඩා $z=f(x,y)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධක;
$\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$ - $y$ ට සාපේක්ෂව $z=f(x,y)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධකය.
$\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ - ශ්රිතයේ සම්පූර්ණ වැඩිවීම $z=f(x,y)$.
උදාහරණය 2
$\Delta x=0.1;\, \, \Delta y=0.1$ සඳහා $(1;2)$ ලක්ෂ්යයේ $z=xy$ ශ්රිතයේ අර්ධ සහ සම්පූර්ණ වර්ධකය ගණනය කරන්න.
විසඳුම:
අර්ධ වර්ධක නිර්වචනය අනුව අපි සොයා ගන්නේ:
$\Delta _(x) z=(x+\Delta x)\cdot y$ - $x$ ට වඩා $z=f(x,y)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධක
$\Delta _(y) z=x\cdot (y+\Delta y)$ - $z=f(x,y)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධක $y$;
සම්පූර්ණ වැඩිවීමේ නිර්වචනය අනුව අපි සොයා ගන්නේ:
$\Delta z=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)$ - ශ්රිතයේ සම්පූර්ණ වැඩිවීම $z=f(x,y)$.
එබැවින්,
\[\Delta _(x) z=(1+0.1)\cdot 2=2.2\] \[\Delta _(y) z=1\cdot (2+0.1)=2.1 \] \[\Delta z= (1+0.1)\cdot (2+0.1)=1.1\cdot 2.1=2.31.\]
සටහන 2
ලබා දී ඇති ශ්‍රිතයක සම්පූර්ණ වර්ධක $z=f(x,y)$ එහි අර්ධ වර්ධක $\Delta _(x) z$ සහ $\Delta _(y) z$ එකතුවට සමාන නොවේ. ගණිතමය අංකනය: $\Delta z\ne \Delta _(x) z+\Delta _(y) z$.
උදාහරණය 3
ක්‍රියාකාරීත්වය සඳහා ප්රකාශ සටහන් පරීක්ෂා කරන්න
විසඳුම:
$\Delta _(x) z=x+\Delta x+y$; $\Delta _(y) z=x+y+\Delta y$; $\Delta z=x+\Delta x+y+\Delta y$ (උදාහරණ 1 හි ලබාගත්)
දී ඇති ශ්‍රිතයක අර්ධ වර්ධක එකතුව $z=f(x,y)$ සොයා ගනිමු
\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z=x+\Delta x+y+(x+y+\Delta y)=2\cdot (x+y)+\Delta x+\Delta y.\]
\[\Delta _(x) z+\Delta _(y) z\ne \Delta z.\]
අර්ථ දැක්වීම 2
යම් වසමකින් ස්වාධීන විචල්‍ය තුනක එක් එක් ත්‍රිත්ව $(x,y,z)$ අගයන් සඳහා $w$ නිශ්චිත අගයක් සම්බන්ධ වේ නම්, $w$ යනු $(x,) විචල්‍ය තුනක ශ්‍රිතයක් බව පැවසේ. y,z)$ මෙම ප්‍රදේශයේ.
අංකනය: $w=f(x,y,z)$.
අර්ථ දැක්වීම 3
එක් එක් කට්ටලය සඳහා $(x,y,z,...,t)$ යම් කලාපයකින් ස්වාධීන විචල්‍යවල අගයන් $w$ නිශ්චිත අගයක් සම්බන්ධ වේ නම්, $w$ යනු ශ්‍රිතයක් යැයි කියනු ලැබේ. මෙම ප්‍රදේශයේ $(x,y, z,...,t)$ යන විචල්‍යයන්.
අංකනය: $w=f(x,y,z,...,t)$.
විචල්‍ය තුනක හෝ වැඩි ගණනක ශ්‍රිතයක් සඳහා, විචල්‍ය දෙකක ශ්‍රිතයක් සඳහා වන ආකාරයටම, එක් එක් විචල්‍යයන් සඳහා අර්ධ වර්ධක තීරණය කරනු ලැබේ:
$\Delta _(z) w=f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)$ - $w=f(x,y,z,... ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධකය ,t )$ විසින් $z$;
$\Delta _(t) w=f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)$ - $w ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධකය =f (x,y,z,...,t)$ විසින් $t$.
උදාහරණය 4
අර්ධ සහ සම්පූර්ණ වර්ධක කාර්යයන් ලියන්න
විසඳුම:
අර්ධ වර්ධක නිර්වචනය අනුව අපි සොයා ගන්නේ:
$\Delta _(x) w=((x+\Delta x)+y)\cdot z$ - $x$ ට වඩා $w=f(x,y,z)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධක
$\Delta _(y) w=(x+(y+\Delta y))\cdot z$ - $y$ට වඩා $w=f(x,y,z)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධක;
$\Delta _(z) w=(x+y)\cdot (z+\Delta z)$ - $z$ට වඩා $w=f(x,y,z)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධක;
සම්පූර්ණ වැඩිවීමේ නිර්වචනය අනුව අපි සොයා ගන්නේ:
$\Delta w=((x+\Delta x)+(y+\Delta y))\cdot (z+\Delta z)$ - ශ්රිතයේ සම්පූර්ණ වැඩිවීම $w=f(x,y,z)$.
උදාහරණ 5
$\Delta x=0,1;\, \, \Delta y=0,1;\, සඳහා $(1;2;1)$ ලක්ෂ්යයේ $w=xyz$ ශ්රිතයේ අර්ධ සහ සම්පූර්ණ වර්ධකය ගණනය කරන්න. \, \Delta z=0.1$.
විසඳුම:
අර්ධ වර්ධක නිර්වචනය අනුව අපි සොයා ගන්නේ:
$\Delta _(x) w=(x+\Delta x)\cdot y\cdot z$ - $x$ ට වඩා $w=f(x,y,z)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධක
$\Delta _(y) w=x\cdot (y+\Delta y)\cdot z$ - $w=f(x,y,z)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධක $y$;
$\Delta _(z) w=x\cdot y\cdot (z+\Delta z)$ - $z$ට වඩා $w=f(x,y,z)$ ශ්රිතයේ අර්ධ වර්ධක;
සම්පූර්ණ වැඩිවීමේ නිර්වචනය අනුව අපි සොයා ගන්නේ:
$\Delta w=(x+\Delta x)\cdot (y+\Delta y)\cdot (z+\Delta z)$ - ශ්රිතයේ සම්පූර්ණ වැඩිවීම $w=f(x,y,z)$.
එබැවින්,
\[\Delta _(x) w=(1+0.1)\cdot 2\cdot 1=2.2\] \[\Delta _(y) w=1\cdot (2+0.1)\ cdot 1=2.1\] \[\Delta _(y) w=1\cdot 2\cdot (1+0.1)=2.2\] \[\Delta z=(1+0.1) \cdot (2+0.1)\cdot (1+0.1) =1.1\cdot 2.1\cdot 1.1=2.541.\]
ජ්යාමිතික දෘෂ්ටි කෝණයකින් $z=f(x,y)$ ශ්රිතයේ සම්පූර්ණ වර්ධකය (නිර්වචනය අනුව $\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y) $M(x,y)$ ලක්ෂ්යයේ සිට $M_(1) (x+\Delta x,y+) ලක්ෂ්‍යයට යන විට $z=f(x,y)$ ප්‍රස්තාර ශ්රිතයේ යෙදුමේ වර්ධකයට $) සමාන වේ. \Delta y)$ (රූපය 1).
රූපය 1.
