Ir තාර්කික අංකයඅනන්ත ආවර්තිතා නොවන කොටසක් ලෙස නිරූපණය කළ හැක. අතාර්කික සංඛ්‍යා කට්ටලය $I$ මගින් දැක්වෙන අතර එය සමාන වේ: $I=R / Q$ .

උදාහරණ වශයෙන්. අතාර්කික සංඛ්‍යා නම්:

අතාර්කික සංඛ්යා මත මෙහෙයුම්

අතාර්කික සංඛ්‍යා කට්ටලය මත මූලික අංක ගණිත මෙහෙයුම් හතරක් හඳුන්වා දිය හැක: එකතු කිරීම, අඩු කිරීම, ගුණ කිරීම සහ බෙදීම; නමුත් ලැයිස්තුගත මෙහෙයුම් කිසිවක් සඳහා අතාර්කික සංඛ්යා කට්ටලය වසා දැමීමේ දේපල නොමැත. උදාහරණයක් ලෙස අතාර්කික සංඛ්‍යා දෙකක එකතුව තාර්කික සංඛ්‍යාවක් විය හැක.

උදාහරණ වශයෙන්. අතාර්කික සංඛ්‍යා දෙකක එකතුව $0.1010010001 \ldots$ සහ $0.0101101110 \ldots$ සොයා ගනිමු. මෙම සංඛ්‍යා වලින් පළමුවැන්න සෑදී ඇත්තේ එකක අනුපිළිවෙලකින්, පිළිවෙලින් එක් බිංදුවකින්, ශුන්‍ය දෙකකින්, ශුන්‍ය තුනකින් යනාදිය මගින් වෙන් කර ඇත, දෙවැන්න - ශුන්‍ය අනුපිළිවෙලකින්, ඒවා අතර එකක්, එකක්, දෙකක්, තුනක් තබා ඇත. ආදිය:

$$0.1010010001 \ldots+0.0101101110 \ldots=0.111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$

මේ අනුව, ලබා දී ඇති අතාර්කික සංඛ්‍යා දෙකක එකතුව තාර්කික වන $\frac(1)(9)$ අංකය වේ.

උදාහරණය

ව්යායාම කරන්න.$\sqrt(3)$ අංකය අතාර්කික බව ඔප්පු කරන්න.

සාක්ෂි.අපි පරස්පර විරෝධී ලෙස ඔප්පු කිරීමේ ක්රමය භාවිතා කරමු. $\sqrt(3)$ යනු තාර්කික අංකයක් යැයි සිතමු, එනම් එය $m$ සහ $n$ යන තැන $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ භාග ලෙස නිරූපණය කළ හැක. coprime ස්වභාවික සංඛ්යා සංඛ්යා.

අපි සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තට වර්ග කර ලබා ගනිමු

$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$

3$\cdot n^(2)$ සංඛ්‍යාව 3න් බෙදිය හැකිය. එබැවින්, $m^(2)$ සහ, එබැවින්, $m$ 3න් බෙදිය හැකිය. $m=3 \cdot k$ උපකල්පනය කළහොත්, සමානාත්මතාවය $3 \cdot n^ (2)=m^(2)$ ලෙස ලිවිය හැක

$$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \Leftrightarrow n^(2)=3 \cdot k^(2)$$

අවසාන සමානාත්මතාවයෙන් එය අනුගමනය කරන්නේ $n^(2)$ සහ $n$ 3 න් බෙදිය හැකි බවයි, එබැවින් $\frac(m)(n)$ කොටස 3 කින් අඩු කළ හැක. නමුත් උපකල්පනය අනුව $ භාගය \frac(m)( n)$ අඩු කළ නොහැක. ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ඇති වන ප්‍රතිවිරෝධතාවයෙන් ඔප්පු වන්නේ $\sqrt(3)$ අංකය $\frac(m)(n)$ භාගයක් ලෙස නිරූපණය කළ නොහැකි බවත්, එබැවින් අතාර්කික බවත්ය.

Q.E.D.

අපි කලින් පෙන්නුවා $1\frac25$ $\sqrt2$ ට ආසන්න බව. එය හරියටම $\sqrt2$ ට සමාන නම්, . එවිට අනුපාතය $\frac(1\frac25)(1)$ වේ, එය භාගයේ ඉහළ සහ පහළ 5න් ගුණ කිරීමෙන් නිඛිල අනුපාතය $\frac75$ බවට හැරවිය හැකි අතර එය අපේක්ෂිත අගය වනු ඇත.

එහෙත්, අවාසනාවන්ත ලෙස, $1\frac25$ යනු $\sqrt2$ හි නියම අගය නොවේ. වඩා නිවැරදි පිළිතුරක්, $1\frac(41)(100)$, අපට $\frac(141)(100)$ සම්බන්ධතාවය ලබා දෙයි. අපි $\sqrt2$ සිට $1\frac(207)(500)$ දක්වා සමාන කළ විට අපි ඊටත් වඩා වැඩි නිරවද්‍යතාවයක් ලබා ගනිමු. මෙම අවස්ථාවේදී, නිඛිලවල අනුපාතය $\frac(707)(500)$ ට සමාන වේ. නමුත් $1\frac(207)(500)$ යනු 2 හි වර්ගමූලයේ නියම අගය නොවේ. $\sqrt2$ හි නියම අගය ගණනය කිරීමට ග්‍රීක ගණිතඥයින් බොහෝ කාලයක් හා වෑයමක් දැරූ නමුත් ඔවුන් කිසිදා සාර්ථක වූයේ නැත. ඔවුන්ට $\frac(\sqrt2)(1)$ අනුපාතය නිඛිලවල අනුපාතයක් ලෙස නිරූපණය කිරීමට නොහැකි විය.

අවසාන වශයෙන්, මහා ග්‍රීක ගණිතඥ යුක්ලිඩ් විසින් ගණනය කිරීම් වල නිරවද්‍යතාවය කොපමණ වැඩි වුවද, $\sqrt2$ හි නිශ්චිත අගය ලබා ගත නොහැකි බව ඔප්පු කළේය. වර්ග කළ විට 2 ප්‍රතිඵලයක් ලැබෙන භාගක් නොමැත. ඔවුන් පවසන්නේ පයිතගරස් මෙම නිගමනයට මුලින්ම පැමිණි බවයි, නමුත් මෙය පැහැදිලි කළ නොහැකි කරුණක්විද්‍යාඥයා කොතරම් පුදුමයට පත් වූවාද කිවහොත් ඔහු තමාටම දිවුරුම් දුන් අතර මෙම සොයාගැනීම රහසක් ලෙස තබා ගැනීමට තම සිසුන්ගෙන් දිවුරුම් දුන්නේය. කෙසේ වෙතත්, මෙම තොරතුරු සත්‍ය නොවිය හැකිය.

නමුත් $\frac(\sqrt2)(1)$ අංකය පූර්ණ සංඛ්‍යා අනුපාතයක් ලෙස නිරූපණය කළ නොහැකි නම්, $\sqrt2$ අඩංගු අංකයක් නැත, උදාහරණයක් ලෙස $\frac(\sqrt2)(2)$ හෝ $\frac (4)(\sqrt2)$ ද නිඛිලවල අනුපාතයක් ලෙස නිරූපණය කළ නොහැක, මන්ද එවැනි සියලු භාග $\frac(\sqrt2)(1)$ වෙත යම් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කළ හැකි බැවිනි. ඉතින් $\frac(\sqrt2)(2)=\frac(\sqrt2)(1) \times \frac12$. නැතහොත් $\frac(\sqrt2)(1) \times 2=2\frac(\sqrt2)(1)$, $\frac(4) ලබා ගැනීම සඳහා ඉහල සහ පහල $\sqrt2$ වලින් ගුණ කිරීමෙන් පරිවර්තනය කල හැක. (\sqrt2)$. (අපි මතක තියාගන්න ඕන $\sqrt2$ අංකය කුමක් වුවත්, එය $\sqrt2$ න් ගුණ කළහොත් අපට ලැබෙන්නේ 2ක් බවයි.)

$\sqrt2$ අංකය නිඛිලවල අනුපාතයක් ලෙස දැක්විය නොහැකි බැවින්, එය හැඳින්වෙන්නේ අතාර්කික සංඛ්යාව. අනෙක් අතට, පූර්ණ සංඛ්‍යා අනුපාතයක් ලෙස දැක්විය හැකි සියලුම සංඛ්‍යා කැඳවනු ලැබේ තාර්කික.

ධන සහ සෘණ යන සියලුම සම්පූර්ණ සහ භාගික සංඛ්‍යා තාර්කික වේ.

පෙනී ගිය පරිදි, බහුතරය වර්ග මුල්අතාර්කික සංඛ්යා වේ. තාර්කිකයි වර්ග මුල්මාලාවක ඇති සංඛ්‍යා පමණි වර්ග සංඛ්යා. මෙම සංඛ්යා පරිපූර්ණ වර්ග ලෙසද හැඳින්වේ. තාර්කික සංඛ්‍යා ද මෙම පරිපූර්ණ කොටු වලින් සෑදූ භාග වේ. උදාහරණයක් ලෙස, $\sqrt(1\frac79)$ යනු $\sqrt(1\frac79)=\frac(\sqrt16)(\sqrt9)=\frac43$ හෝ $1\frac13$ (4 යනු මූලය බැවින් තාර්කික අංකයකි. 16 හි වර්ගමූලය, සහ 3 යනු 9 හි වර්ගමූලයයි).

පුරාණ ගණිතඥයින් ඒකක දිග කොටසක් ගැන දැනටමත් දැන සිටියහ: උදාහරණයක් ලෙස, විකර්ණයේ සහ චතුරස්රයේ පැත්තේ අසමසම බව ඔවුන් දැන සිටියහ, එය අංකයේ අතාර්කිකත්වයට සමාන වේ.

අතාර්කික වන්නේ:

අතාර්කික බව ඔප්පු කිරීමේ උදාහරණ

2 හි මූල

අපි ප්‍රතිවිරුද්ධ යැයි උපකල්පනය කරමු: එය තාර්කික ය, එනම්, එය ප්‍රතිනිර්මාණය කළ නොහැකි භාගයක ස්වරූපයෙන් නිරූපණය කෙරේ, එහිදී සහ පූර්ණ සංඛ්‍යා වේ. අනුමාන සමානාත්මතාවය වර්ග කරමු:

එය ඉරට්ටේ සහ . සමස්තය තිබෙන තැනම එය වේවා. එතකොට

එබැවින්, ඉරට්ටේ යනු ඉරට්ටේ සහ . අපි එය සොයා ගත් අතර එය ඉරට්ටේ, එය භාගයේ ප්‍රත්‍යාවර්තනයට පටහැනි වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ මුල් උපකල්පනය වැරදි බවයි, සහ - අතාර්කික සංඛ්යාව.

අංක 3 හි ද්විමය ලඝුගණකය

අපි ප්‍රතිවිරුද්ධ යැයි උපකල්පනය කරමු: එය තාර්කික ය, එනම්, එය භාග ලෙස නිරූපණය කෙරේ, එහිදී සහ පූර්ණ සංඛ්‍යා වේ. සිට , සහ ධනාත්මක ලෙස තෝරා ගත හැකිය. එතකොට

නමුත් ඉරට්ටේ සහ අමුතුයි. අපට ප්රතිවිරෝධතාවක් ලැබේ.

ඊ

කතාව

2 සහ 61 වැනි සමහර ස්වභාවික සංඛ්‍යාවල වර්ග මූලයන් පැහැදිලිව ප්‍රකාශ කළ නොහැකි බව මානව (c. 750 BC - c. 690 BC) සොයා ගත් ක්‍රි.පූ. 7 වැනි සියවසේදී අතාර්කික සංඛ්‍යා පිළිබඳ සංකල්පය ඉන්දියානු ගණිතඥයන් විසින් ව්‍යංගයෙන් අනුගමනය කරන ලදී. .

අතාර්කික සංඛ්‍යා පවතින බවට ප්‍රථම සාක්ෂිය සාමාන්‍යයෙන් ආරෝපණය කෙරෙන්නේ පංචස්කන්ධයේ පැතිවල දිග අධ්‍යයනය කිරීමෙන් මෙම සාධනය සොයාගත් පයිතගරස් ජාතික Metapontus හි Hippasus (ක්‍රි.පූ. 500 පමණ). පයිතගරස්වරුන්ගේ කාලයේ, ඕනෑම කොටසකට නිඛිල වාර ගණනක් ඇතුළු වූ, ප්‍රමාණවත් තරම් කුඩා සහ නොබෙදිය හැකි තනි දිග ඒකකයක් තිබූ බව විශ්වාස කෙරිණි. කෙසේ වෙතත්, හිපාසස් තර්ක කළේ එහි පැවැත්මේ උපකල්පනය පරස්පරයකට තුඩු දෙන බැවින්, දිග තනි ඒකකයක් නොමැති බවයි. සමද්වීපකයක කර්ණය නම් බව ඔහු පෙන්වා දුන්නේය සෘජු ත්රිකෝණයඒකක කොටස්වල පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් අඩංගු වේ, එවිට මෙම සංඛ්‍යාව ඉරට්ටේ සහ ඔත්තේ විය යුතුය. සාක්ෂිය මේ ආකාරයට පෙනුණි:

• සමද්වීපක සෘජුකෝණී ත්‍රිකෝණයක කකුලේ දිග හා කර්ණය දිග අනුපාතය මෙසේ ප්‍රකාශ කළ හැක. a:ආ, කොහෙද aසහ ආහැකි කුඩාම ලෙස තෝරා ඇත.
• පයිතගරස් ප්රමේයය අනුව: a² = 2 ආ².
• මොකද a- පවා, aඉරට්ටේ විය යුතුය (ඔත්තේ අංකයක වර්ග ඔත්තේ වන බැවින්).
• මොකද a:ආඅඩු කළ නොහැකි ආඅමුතු විය යුතුය.
• මොකද aපවා, අපි දක්වන්නෙමු a = 2y.
• එතකොට a² = 4 y² = 2 ආ².
• ආ² = 2 y², එබැවින් ආ- පවා, එසේ නම් ආපවා.
• කෙසේ වෙතත්, එය ඔප්පු වී ඇත ආඅමුතු පරස්පර විරෝධය.

ග්‍රීක ගණිතඥයන් මෙම අසමසම ප්‍රමාණ අනුපාතය ලෙස හැඳින්වේ ලෝගෝස්(කිය නොහැකි), නමුත් ජනප්‍රවාදවලට අනුව ඔවුන් හිපාසස්ට නිසි ගෞරවය නොදැක්වූහ. හිපාසස් මුහුදු ගමනක යෙදී සිටියදී මෙම සොයාගැනීම සිදු කළ අතර අනෙකුත් පයිතගරස්වරුන් විසින් ඔහුව ගොඩට දැමූ බවට ජනප්‍රවාදයක් තිබේ "විශ්වයේ ඇති සියලුම ආයතන පූර්ණ සංඛ්‍යා සහ ඒවායේ අනුපාතවලට අඩු කළ හැකිය යන මූලධර්මය ප්‍රතික්ෂේප කරන විශ්වයේ මූලද්‍රව්‍යයක් නිර්මාණය කිරීම සඳහා". හිපාසස්ගේ සොයාගැනීම පයිතගරස් ගණිතයට අභියෝගයක් විය බරපතල ගැටළුවක්, එම සංඛ්‍යා සහ සමස්ත න්‍යායට යටින් පවතින උපකල්පනය විනාශ කිරීම ජ්යාමිතික වස්තූන්එක්සත් සහ වෙන් කළ නොහැකි.

මේකත් බලන්න

සටහන්

අතාර්කික සංඛ්යාවක අර්ථ දැක්වීම

අතාර්කික සංඛ්‍යා යනු දශම අංකනයේදී නිමක් නැති ආවර්තිතා නොවන දශම භාග නියෝජනය කරන සංඛ්‍යා වේ.

උදාහරණයක් ලෙස, ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවල වර්ගමූලයෙන් ලබාගත් සංඛ්‍යා අතාර්කික වන අතර ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවල වර්ග නොවේ. නමුත් සියලුම අතාර්කික සංඛ්‍යා වර්ග මූලයන් ගැනීමෙන් ලබා ගන්නේ නැත, මන්ද බෙදීම මගින් ලබා ගන්නා pi සංඛ්‍යා ද අතාර්කික වන අතර ස්වාභාවික සංඛ්‍යාවක වර්ගමූලය උකහා ගැනීමට උත්සාහ කිරීමෙන් ඔබට එය ලැබීමට ඉඩක් නැත.

අතාර්කික සංඛ්යා වල ගුණාංග

අනන්ත දශම ලෙස ලියා ඇති සංඛ්‍යා මෙන් නොව, ආවර්තිතා නොවන අනන්ත දශම ලෙස ලියා ඇත්තේ අතාර්කික සංඛ්‍යා පමණි.
සෘණ නොවන අතාර්කික සංඛ්‍යා දෙකක එකතුව තාර්කික සංඛ්‍යාවක් ලෙස අවසන් විය හැක.
අතාර්කික සංඛ්‍යා මගින් පරිවර්තන සංඛ්‍යා සමූහයේ Dedekind කොටස් නිර්වචනය කරයි, ඒවා නොමැති පහළ පන්තියේ විශාල සංඛ්යාවක්, සහ ඉහලින් අඩු නොවේ.
ඕනෑම සැබෑ ලෝකෝත්තර සංඛ්‍යාවක් අතාර්කික ය.
සියලුම අතාර්කික සංඛ්‍යා වීජීය හෝ ලෝකෝත්තර වේ.
රේඛාවක අතාර්කික සංඛ්‍යා සමූහය ඝනව පිහිටා ඇති අතර, එහි ඕනෑම සංඛ්‍යා දෙකක් අතර අතාර්කික සංඛ්‍යාවක් ඇති බව සහතිකයි.
අතාර්කික සංඛ්‍යා සමූහය අසීමිත, ගණන් කළ නොහැකි වන අතර එය 2 වන කාණ්ඩයේ කට්ටලයකි.
0 න් බෙදීම හැර තාර්කික සංඛ්‍යා මත ඕනෑම ගණිතමය මෙහෙයුමක් සිදු කරන විට, ප්‍රතිඵලය තාර්කික සංඛ්‍යාවක් වනු ඇත.
අතාර්කික සංඛ්‍යාවකට තාර්කික සංඛ්‍යාවක් එකතු කරන විට, ප්‍රතිඵලය සෑම විටම අතාර්කික සංඛ්‍යාවක් වේ.
අතාර්කික සංඛ්‍යා එකතු කරන විට, අපට තාර්කික සංඛ්‍යාවකින් අවසන් විය හැක.
අතාර්කික සංඛ්‍යා කට්ටලය ඉරට්ටේ නොවේ.

ඉලක්කම් අතාර්කික නොවේ

සමහර විට සංඛ්‍යාවක් අතාර්කිකද යන ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු සැපයීම තරමක් අපහසුය, විශේෂයෙන් අංකයට පෝරමය ඇති අවස්ථාවන්හිදී දශමහෝ සංඛ්‍යාත්මක ප්‍රකාශනයක්, මූලයක් හෝ ලඝුගණකයක් ලෙස.

එබැවින් අතාර්කික නොවන සංඛ්‍යා මොනවාදැයි දැන ගැනීම අතිරික්ත නොවේ. අපි අතාර්කික සංඛ්‍යා වල නිර්වචනය අනුගමනය කරන්නේ නම්, තාර්කික සංඛ්‍යා අතාර්කික විය නොහැකි බව අපි දැනටමත් දනිමු.

අතාර්කික සංඛ්යා නොවේ:

පළමුව, සියලු ස්වභාවික සංඛ්යා;
දෙවනුව, පූර්ණ සංඛ්‍යා;
තෙවනුව, පොදු කොටස්;
හතරවනුව, විවිධ මිශ්ර සංඛ්යා;
පස්වනුව, මේවා අනන්ත ආවර්තිතා දශම භාග වේ.

ඉහත සියල්ලට අමතරව, අතාර්කික සංඛ්‍යාවක් යනු +, -, , : වැනි අංක ගණිත ක්‍රියා වල සංඥා මගින් සිදු කරනු ලබන තාර්කික සංඛ්‍යා වල සංකලනයක් විය නොහැක, මන්ද මෙම අවස්ථාවේ දී තාර්කික සංඛ්‍යා දෙකක ප්‍රතිඵලය ද වනු ඇත. තාර්කික අංකයක්.

දැන් අපි බලමු අතාර්කික සංඛ්‍යා මොනවාද?

මෙම අද්භූත ගණිතමය සංසිද්ධියේ රසිකයින් Pi ගැන වැඩි වැඩියෙන් තොරතුරු සොයමින් එහි අභිරහස හෙළි කිරීමට උත්සාහ කරන රසික සමාජයක පැවැත්ම ගැන ඔබ දන්නවාද? දශමස්ථානයෙන් පසු නිශ්චිත Pi සංඛ්‍යා සංඛ්‍යාවක් හදවතින්ම දන්නා ඕනෑම පුද්ගලයෙකුට මෙම සමාජ ශාලාවේ සාමාජිකයෙකු විය හැකිය;

ජර්මනියේ, යුනෙස්කෝවේ ආරක්ෂාව යටතේ, කැස්ටඩෙල් මොන්ටේ මාලිගය ඇති බව ඔබ දන්නවාද, ඔබට Pi ගණනය කළ හැකි අනුපාතයට ස්තුති වන්න. දෙවන ෆෙඩ්රික් රජු මුළු මාලිගයම මෙම අංකයට කැප කළේය.

ඉදිකිරීම් අතරතුර ඔවුන් Pi අංකය භාවිතා කිරීමට උත්සාහ කළ බව පෙනේ බාබෙල් කුළුණ. නමුත් අවාසනාවකට මෙන්, මෙය ව්‍යාපෘතියේ බිඳවැටීමට හේතු විය, ඒ වන විට Pi හි අගය නිවැරදිව ගණනය කිරීම ප්‍රමාණවත් ලෙස අධ්‍යයනය කර නොතිබූ බැවිනි.

ගායිකාවක් වන කේට් බුෂ් ඇගේ නව තැටියේ "පයි" නම් ගීතයක් පටිගත කර ඇති අතර, එහි සුප්‍රසිද්ධ අංක මාලාව 3, 141 වෙතින් අංක එකසිය විසිහතරක් ඇසිණි.

සහ π

මේ අනුව, අතාර්කික සංඛ්යා කට්ටලය වෙනස වේ I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) )තථ්‍ය සහ තාර්කික සංඛ්‍යා කට්ටල.

අතාර්කික සංඛ්‍යා වල පැවැත්ම, වඩාත් නිවැරදිව, ඒකක දිග කොටසකට නොගැලපෙන කොටස්, පැරණි ගණිතඥයින් දැනටමත් දැන සිටියහ: උදාහරණයක් ලෙස, විකර්ණයේ සහ චතුරස්‍රයේ පැත්තේ අසමසම බව ඔවුන් දැන සිටියහ, එය අතාර්කිකත්වයට සමාන වේ. අංකය 2 (\ දර්ශන විලාසය (\ වර්ග (2))).

දේපල

• ධන අතාර්කික සංඛ්‍යා දෙකක එකතුව තාර්කික සංඛ්‍යාවක් විය හැක.
• අතාර්කික සංඛ්‍යා මගින් පහළ පන්තියේ විශාලතම සංඛ්‍යාවක් නොමැති සහ ඉහළ පන්තියේ කුඩාම සංඛ්‍යාවක් නොමැති තාර්කික සංඛ්‍යා සමූහයේ Dedekind කොටස් අර්ථ දක්වයි.
• අතාර්කික සංඛ්‍යා සමූහය සංඛ්‍යා රේඛාවේ සෑම තැනකම ඝනත්වයකින් යුක්ත වේ: ඕනෑම වෙනස් සංඛ්‍යා දෙකක් අතර අතාර්කික සංඛ්‍යාවක් ඇත.
• අතාර්කික සංඛ්‍යා කුලකයේ අනුපිළිවෙල සැබෑ ලෝකෝත්තර සංඛ්‍යා කුලකයේ අනුපිළිවෙලට සමාවයවික වේ. [ ]

වීජ ගණිතය සහ ලෝකෝත්තර සංඛ්‍යා

සෑම අතාර්කික සංඛ්‍යාවක්ම වීජීය හෝ ලෝකෝත්තර වේ. බොහෝ වීජීය සංඛ්යාගණන් කළ හැකි කට්ටලයකි. තාත්වික සංඛ්‍යා කුලකය ගණන් කළ නොහැකි බැවින් අතාර්කික සංඛ්‍යා කුලකය ගණන් කළ නොහැකි ය.

අතාර්කික සංඛ්‍යා කට්ටලය දෙවන කාණ්ඩයේ කුලකයකි.

අනුමාන සමානාත්මතාවය වර්ග කරමු:

කතාව

පෞරාණිකත්වය

2 සහ 61 වැනි සමහර ස්වභාවික සංඛ්‍යාවල වර්ග මූලයන් පැහැදිලිව ප්‍රකාශ කළ නොහැකි බව මානව (ක්‍රි.පූ. 750-690) සොයා ගත් ක්‍රි.පූ. 7 වැනි සියවසේදී අතාර්කික සංඛ්‍යා පිළිබඳ සංකල්පය ව්‍යංගයෙන් සම්මත කරන ලදී. ] .

අතාර්කික සංඛ්‍යා පවතින බවට හෝ වඩාත් නිවැරදිව අසමසම ඛණ්ඩවල පැවැත්ම පිළිබඳ පළමු සාක්ෂිය සාමාන්‍යයෙන් ආරෝපණය කර ඇත්තේ මෙටපොන්ටම්හි පයිතගරස් හිපාසස් (ආසන්න වශයෙන් ක්‍රි.පූ. 470) වෙතය. පයිතගරස්වරුන්ගේ කාලයේ, ඕනෑම කොටසක වාර ගණනක පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් ඇතුළත්, ප්‍රමාණවත් තරම් කුඩා සහ බෙදිය නොහැකි තනි දිග ඒකකයක් තිබූ බව විශ්වාස කෙරිණි. ] .

Hippasus විසින් අතාර්කික බව ඔප්පු කරන ලද අංකය පිළිබඳ නිශ්චිත දත්ත නොමැත. පුරාවෘත්තයට අනුව, ඔහු එය සොයාගත්තේ පෙන්ටග්‍රෑම් හි පැතිවල දිග අධ්‍යයනය කිරීමෙනි. එබැවින් සාමාන්‍ය පෙන්ටගනයක විකර්ණයේ පැත්තට ඇති අනුපාතය මෙය වන බැවින් මෙය රන් අනුපාතය යැයි උපකල්පනය කිරීම සාධාරණ ය.

ග්‍රීක ගණිතඥයන් මෙම අසමසම ප්‍රමාණ අනුපාතය ලෙස හැඳින්වේ ලෝගෝස්(කිය නොහැකි), නමුත් ජනප්‍රවාදවලට අනුව ඔවුන් හිපාසස්ට නිසි ගෞරවය නොදැක්වූහ. හිපාසස් මුහුදු ගමනක යෙදී සිටියදී මෙම සොයාගැනීම සිදු කළ අතර අනෙකුත් පයිතගරස්වරුන් විසින් ඔහුව ගොඩට දැමූ බවට ජනප්‍රවාදයක් තිබේ "විශ්වයේ ඇති සියලුම ආයතන පූර්ණ සංඛ්‍යා සහ ඒවායේ අනුපාතවලට අඩු කළ හැකිය යන මූලධර්මය ප්‍රතික්ෂේප කරන විශ්වයේ මූලද්‍රව්‍යයක් නිර්මාණය කිරීම සඳහා". හිපාසස් සොයා ගැනීම පයිතගරස් ගණිතයට බරපතල ගැටළුවක් ඇති කළ අතර, සංඛ්‍යා සහ ජ්‍යාමිතික වස්තූන් එක හා වෙන් කළ නොහැකි ය යන යටි උපකල්පනය විනාශ කළේය.

පසුව, Cnidus හි Eudoxus (ක්‍රි.පූ. 410 හෝ 408 - 355 හෝ 347) තාර්කික සහ අතාර්කික සම්බන්ධතා යන දෙකම සැලකිල්ලට ගත් සමානුපාත න්‍යායක් වර්ධනය කළේය. මෙය අතාර්කික සංඛ්‍යාවල මූලික සාරය අවබෝධ කර ගැනීමට පදනම විය. ප්‍රමාණය සැලකීමට පටන් ගත්තේ සංඛ්‍යාවක් ලෙස නොව, රේඛා ඛණ්ඩ, කෝණ, ප්‍රදේශ, වෙළුම්, කාල පරතරයන් වැනි ආයතනවල නම් කිරීමක් ලෙසය - අඛණ්ඩව වෙනස් විය හැකි (වචනයේ නවීන අර්ථයෙන්). විශාලත්වය සංඛ්‍යා සමඟ සංසන්දනය කරන ලදී, එය එක් අංකයකින් ඊළඟට “පැනීම” මගින් පමණක් වෙනස් කළ හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස, 4 සිට 5 දක්වා. සංඛ්‍යා සෑදී ඇත්තේ කුඩාම බෙදිය නොහැකි ප්‍රමාණයෙන් වන අතර, ප්‍රමාණ දින නියමයක් නොමැතිව අඩු කළ හැකිය.

ප්‍රමාණාත්මක අගයක් විශාලත්වය සමඟ සහසම්බන්ධ නොවූ බැවින්, කොටසක් ප්‍රමාණ දෙකක අනුපාතය ලෙසත්, සමානුපාතිකය භාග දෙකක සමානාත්මතාවය ලෙසත් අර්ථ දැක්වීමේදී ප්‍රමාණාත්මක හා අසමසම ප්‍රමාණ දෙකම ආවරණය කිරීමට Eudoxus සමත් විය. සමීකරණවලින් ප්‍රමාණාත්මක අගයන් (සංඛ්‍යා) ඉවත් කිරීමෙන් ඔහු අතාර්කික ප්‍රමාණයකට අංකයක් ඇමතීමේ උගුල මග හැරියේය. යුඩොක්සස්ගේ න්‍යාය ග්‍රීක ගණිතඥයින්ට ජ්‍යාමිතියෙහි ඇදහිය නොහැකි ප්‍රගතියක් ලබා ගැනීමට ඉඩ ලබා දුන් අතර, ඔවුන්ට අසමසම ප්‍රමාණ සමඟ වැඩ කිරීමට අවශ්‍ය තාර්කික පදනම ලබා දුන්නේය. යුක්ලිඩ්ගේ මූලද්‍රව්‍යවල දසවන පොත අතාර්කික ප්‍රමාණ වර්ගීකරණය සඳහා කැප කර ඇත.

මධ්යම වයස්

මධ්‍යතන යුගය සනිටුහන් වූයේ ශුන්‍ය වැනි සංකල්ප අනුගමනය කිරීමෙනි. සෘණ සංඛ්යා, පූර්ණ සංඛ්‍යා සහ භාග, පළමුව ඉන්දියානු සහ පසුව චීන ගණිතඥයන් විසින්. පසුකාලීනව අරාබි ගණිතඥයින් එකතු වූ අතර, ඔවුන් සෘණ සංඛ්‍යා වීජීය වස්තු ලෙස සැලකූ ප්‍රථමයා විය. සමාන අයිතිවාසිකම්සමඟ ධනාත්මක සංඛ්යා), දැන් වීජ ගණිතය ලෙස හඳුන්වන විනය වර්ධනය කිරීමට හැකි විය.

අරාබි ගණිතඥයන් "සංඛ්‍යාව" සහ "විශාලත්වය" යන පුරාණ ග්‍රීක සංකල්ප සැබෑ සංඛ්‍යා පිළිබඳ තනි, වඩාත් පොදු අදහසක් බවට ඒකාබද්ධ කළහ. ඔවුන් සබඳතා පිළිබඳ යුක්ලිඩ්ගේ අදහස් විවේචනය කළ අතර, ඔවුන් අත්තනෝමතික ප්‍රමාණවල සම්බන්ධතා පිළිබඳ න්‍යාය වර්ධනය කළ අතර සම්බන්ධතා සඳහා සංඛ්‍යාව පිළිබඳ සංකල්පය පුළුල් කළහ. අඛණ්ඩ ප්රමාණ. යුක්ලිඩ්ගේ 10 මූලද්‍රව්‍ය පිළිබඳ ඔහුගේ විවරණයේදී, පර්සියානු ගණිතඥ අල් මඛානි (ක්‍රි.ව. 800 පමණ) චතුරස්‍ර අතාර්කික සංඛ්‍යා (ආකෘතියේ සංඛ්‍යා) සහ වඩාත් සාමාන්‍ය ඝන අතාර්කික සංඛ්‍යා ගවේෂණය කර වර්ගීකරණය කළේය. ඔහු තාර්කික සහ අතාර්කික ප්‍රමාණ නිර්වචනය කළ අතර, ඔහු එය අපරිමාණ සංඛ්‍යා ලෙස හැඳින්වීය. ඔහු මෙම වස්තූන් සමඟ පහසුවෙන් ක්‍රියා කළ නමුත් ඒවා වෙනම වස්තූන් ලෙස කතා කළේය, උදාහරණයක් ලෙස:

ප්‍රමාණ මූලික වශයෙන් රේඛා ඛණ්ඩ වේ යන යුක්ලිඩ්ගේ සංකල්පයට ප්‍රතිවිරුද්ධව, අල් මඛානි පූර්ණ සංඛ්‍යා සහ භාග තාර්කික ප්‍රමාණ ලෙස ද වර්ග සහ ඝන මූලයන් අතාර්කික ලෙස ද සැලකේ. පහත සඳහන් ප්‍රමාණවල අතාර්කික බව පෙන්නුම් කළේ ඔහු බැවින් අතාර්කික සංඛ්‍යා සමූහයට අංක ගණිත ප්‍රවේශය ද හඳුන්වා දුන්නේය.

අතාර්කික සංඛ්‍යා විසඳුම් ලෙස හඳුනාගැනීම පිළිගත හැකි බව මුලින්ම සැලකුවේ ඊජිප්තු ගණිතඥ අබු කාමිල් (ක්‍රි.ව. 850 - ක්‍රි.ව. 930) ය. චතුරස්රාකාර සමීකරණහෝ සමීකරණවල සංගුණක - ප්‍රධාන වශයෙන් හතරැස් හෝ ඝන මූල ස්වරූපයෙන් මෙන්ම හතරවන අංශකයේ මූලයන්. 10 වන ශතවර්ෂයේදී, ඉරාක ගණිතඥ අල් හෂිමි විසින් නිෂ්පාදනයේ අතාර්කිකත්වය, ප්‍රවර්ධක සහ අතාර්කික සහ තාර්කික සංඛ්‍යා මත වෙනත් ගණිතමය පරිවර්තනයන්හි ප්‍රතිඵලවල අතාර්කික බව පිළිබඳ සාමාන්‍ය සාක්ෂි (දෘෂ්‍ය ජ්‍යාමිතික නිරූපණ වෙනුවට) ඉදිරිපත් කරන ලදී. අල් ඛාසින් (ක්‍රි.ව. 900 - ක්‍රි.ව. 971) තාර්කික සහ අතාර්කික ප්‍රමාණය පිළිබඳ පහත අර්ථ දැක්වීම ලබා දෙයි:

12 වන සියවසේ අරාබි පාඨ ලතින් භාෂාවට පරිවර්තනය කිරීමෙන් පසු මෙම අදහස් බොහොමයක් යුරෝපීය ගණිතඥයින් විසින් අනුගමනය කරන ලදී. ඉස්ලාමීය උරුම නීති පිළිබඳ විශේෂඥයෙකු වූ මාග්‍රෙබ්හි අරාබි ගණිතඥයෙකු වන අල් හසාර්, 12 වන සියවසේදී භාග සඳහා නවීන සංකේතාත්මක ගණිතමය අංකනය හඳුන්වා දුන් අතර, සංඛ්‍යාව සහ හරය තිරස් තීරුවකින් බෙදා ඇත. එම අංකනය 13 වන සියවසේ ෆිබොනාච්චිගේ කෘතිවල දක්නට ලැබුණි. XIV-XVI සියවස් වලදී. සංගමග්‍රාමයේ මාධව සහ කේරළ තාරකා විද්‍යා හා ගණිත පාසලේ නියෝජිතයන් අසීමිත ශ්‍රේණි සමහර අතාර්කික සංඛ්‍යා වෙත අභිසාරී වීම විමර්ශනය කරන ලදී, උදාහරණයක් ලෙස, π, සහ සමහර අයගේ අතාර්කිකත්වය ද පෙන්නුම් කළහ. ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිත. ජෙස්තදේව මෙම ප්‍රතිඵල ඉදිරිපත් කළේ යුක්තිභාසා නම් ග්‍රන්ථයෙනි. (ඒ සමගම පාරභෞතික සංඛ්‍යා වල පැවැත්ම ඔප්පු කිරීම), එමගින් අතාර්කික සංඛ්‍යා වර්ගීකරණය පිළිබඳ යුක්ලිඩ්ගේ කාර්යය නැවත සිතා බැලීම. මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ කෘති 1872 දී ප්රකාශයට පත් කරන ලදී

අඛණ්ඩ භාග, අතාර්කික සංඛ්‍යාවලට සමීපව සම්බන්ධ (අඛණ්ඩ භාගය නියෝජනය කරයි ලබා දී ඇති අංකය, අනන්තය නම් සහ සංඛ්‍යාව අතාර්කික නම් පමණි), ප්‍රථම වරට 1613 දී Cataldi විසින් ගවේෂණය කරන ලද අතර, පසුව Euler ගේ කෘතිය තුළ නැවත අවධානයට ලක් විය. මුල් XIXසියවස - ලග්රංගේ කෘතිවල. අඛණ්ඩ භාග පිළිබඳ න්‍යාය වර්ධනය කිරීම සඳහා ඩිරිච්ලට් ද සැලකිය යුතු දායකත්වයක් ලබා දුන්නේය. 1761 දී ලැම්බර්ට් එය පෙන්වීමට අඛණ්ඩ භාග භාවිතා කළේය π (\ displaystyle \pi )යනු තාර්කික අංකයක් නොවන අතර, එය ද වේ e x (\ displaystyle e^(x))සහ tg ⁡ x (\ displaystyle \operatorname (tg) x)ශුන්‍ය නොවන ඕනෑම තාර්කික සඳහා අතාර්කික වේ x (\ displaystyle x). ලැම්බර්ට්ගේ සාධනය අසම්පූර්ණ ලෙස හැඳින්විය හැකි වුවද, එය සාමාන්‍යයෙන් ඉතා දැඩි ලෙස සලකනු ලැබේ, විශේෂයෙන් එය ලියා ඇති කාලය සැලකිල්ලට ගනී. 1794 දී Legendre, Bessel-Clifford ශ්‍රිතය හඳුන්වා දීමෙන් පසුව පෙන්නුම් කළේ π 2 (\ ප්‍රදර්ශන විලාසය \pi ^(2))අතාර්කික, අතාර්කිකත්වය පැමිණෙන්නේ කොහෙන්ද? π (\ displaystyle \pi )සුළු වශයෙන් පහත දැක්වේ (පරිගණක සංඛ්‍යාවක් වර්ගීකරණයක් තාර්කිකයක් ලබා දෙයි).

1844-1851 දී Liouville විසින් ලෝකෝත්තර සංඛ්යා පැවැත්ම ඔප්පු කරන ලදී. පසුව, ජෝර්ජ් කැන්ටර් (1873) වෙනත් ක්‍රමයක් භාවිතා කරමින් ඔවුන්ගේ පැවැත්ම පෙන්වූ අතර, තාත්වික ශ්‍රේණියේ ඕනෑම අන්තරයක අපරිමිත සංඛ්‍යා ඉක්මවා යන සංඛ්‍යා අඩංගු බව තර්ක කළේය. චාල්ස් හර්මයිට් 1873 දී එය ඔප්පු කළේය ඊමෙම ප්‍රතිඵලය මත පදනම්ව, 1882 දී ෆර්ඩිනන්ඩ් ලින්ඩමන්, අතික්‍රාණවත් බව පෙන්නුම් කළේය. π (\ displaystyle \pi ) සාහිත්යය