සමානාත්මතාවයන් පිළිබඳ සාමාන්ය අදහසක් ලබාගෙන, ඒවායේ එක් වර්ගයක් - සංඛ්‍යාත්මක සමානාත්මතා පිළිබඳව දැන හඳුනා ගැනීමෙන්, ඔබට ප්‍රායෝගික දෘෂ්ටි කෝණයකින් ඉතා වැදගත් වන වෙනත් සමානතා වර්ගයක් ගැන කතා කිරීමට පටන් ගත හැකිය - සමීකරණ. මෙම ලිපියෙන් අපි බලමු සමීකරණයක් යනු කුමක්ද?, සහ සමීකරණයේ මූලය ලෙස හඳුන්වන දේ. මෙහිදී අපි අනුරූප නිර්වචන ලබා දෙන්නෙමු, එසේම සමීකරණ සහ ඒවායේ මූලයන් සඳහා විවිධ උදාහරණ සපයන්නෙමු.
පිටු සංචලනය.
සමීකරණයක් යනු කුමක්ද?
සමීකරණ සඳහා ඉලක්කගත හැඳින්වීම සාමාන්යයෙන් 2 වන ශ්රේණියේ ගණිත පාඩම් වලින් ආරම්භ වේ. මෙම අවස්ථාවේදී පහත සඳහන් දේ ලබා දී ඇත සමීකරණ අර්ථ දැක්වීම:
අර්ථ දැක්වීම.
සමීකරණයසොයා ගත යුතු නොදන්නා අංකයක් අඩංගු සමානාත්මතාවයකි.
සමීකරණවල නොදන්නා සංඛ්යා සාමාන්යයෙන් කුඩා ලතින් අකුරු භාවිතයෙන් දැක්වේ, උදාහරණයක් ලෙස, p, t, u, ආදිය, නමුත් x, y සහ z අක්ෂර බොහෝ විට භාවිතා වේ.
මේ අනුව, ලිවීමේ ස්වරූපයේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන් සමීකරණය තීරණය වේ. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, සමානාත්මතාවය යනු නිශ්චිත ලිවීමේ නීතිවලට අවනත වන විට සමීකරණයකි - එහි අගය සොයාගත යුතු ලිපියක් අඩංගු වේ.
අපි පළමු සහ වඩාත්ම උදාහරණ දෙන්නෙමු සරල සමීකරණ. x=8, y=3, ආදී ආකෘති පත්‍රයේ සමීකරණ වලින් පටන් ගනිමු. අංක සහ අකුරු සමඟ අංක ගණිතමය සලකුණු අඩංගු සමීකරණ ටිකක් සංකීර්ණ ලෙස පෙනේ, උදාහරණයක් ලෙස, x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.
සමීකරණවල විවිධත්වය හුරුපුරුදු වීමෙන් පසුව වර්ධනය වේ - වරහන් සහිත සමීකරණ දිස් වීමට පටන් ගනී, උදාහරණයක් ලෙස, 2·(x−1)=18 සහ x+3·(x+2·(x−2))=3. සමීකරණයක නොදන්නා අකුරක් කිහිප වතාවක් දිස්විය හැක, උදාහරණයක් ලෙස, x+3+3·x−2−x=9, අකුරු සමීකරණයේ වම් පැත්තේ, එහි දකුණු පැත්තේ හෝ දෙපසද විය හැක. සමීකරණය, උදාහරණයක් ලෙස, x (3+1)−4=8, 7−3=z+1 හෝ 3·x−4=2·(x+12) .
වැඩිදුර ඉගෙනීමෙන් පසු ස්වභාවික සංඛ්යානිඛිල, තාර්කික, තාත්වික සංඛ්යා සමඟ දැන හඳුනා ගැනීම සිදු වේ, නව ගණිතමය වස්තු අධ්යයනය කරනු ලැබේ: බල, මූල, ලඝුගණක යනාදිය, මෙම දේවල් අඩංගු සමීකරණ වැඩි වැඩියෙන් දිස්වන අතර. ඒවායේ උදාහරණ ලිපියේ දැකිය හැකිය මූලික සමීකරණ වර්ගපාසැලේ ඉගෙන ගන්නවා.
7 වන ශ්රේණියේ දී, සමහර නිශ්චිත සංඛ්යා අදහස් කරන අකුරු සමඟ, ඔවුන් විවිධ අගයන් ගත හැකි අකුරු සලකා බැලීමට පටන් ගනී (ලිපිය බලන්න). ඒ අතරම, "විචල්‍ය" යන වචනය සමීකරණයේ අර්ථ දැක්වීමට හඳුන්වා දී ඇති අතර එය මේ ආකාරයට වේ:
අර්ථ දැක්වීම.
සමීකරණයඅගය සොයාගත යුතු විචල්යයක් අඩංගු සමානාත්මතාවයක් ලෙස හැඳින්වේ.
උදාහරණයක් ලෙස, x+3=6·x+7 සමීකරණය x විචල්‍යය සමඟ සමීකරණයක් වන අතර 3·z−1+z=0 යනු z විචල්‍යය සමඟ සමීකරණයකි.
එකම 7 වැනි ශ්රේණියේ වීජ ගණිත පාඩම් අතරතුර, අපට එකක් නොව විවිධ නොදන්නා විචල්‍ය දෙකක් අඩංගු සමීකරණ හමු වේ. ඒවා විචල්‍ය දෙකක සමීකරණ ලෙස හැඳින්වේ. අනාගතයේදී, සමීකරණවල විචල්‍ය තුනක් හෝ වැඩි ගණනක් පැවතීමට ඉඩ දෙනු ලැබේ.
අර්ථ දැක්වීම.
එක, දෙක, තුන, ආදිය සමඟ සමීකරණ. විචල්යයන්– මේවා පිළිවෙළින් එක, දෙක, තුන, ... නොදන්නා විචල්යයන් ලිවීමේ අඩංගු සමීකරණ වේ.
උදාහරණයක් ලෙස, 3.2 x+0.5=1 සමීකරණය x එක් විචල්යයක් සහිත සමීකරණයකි, අනෙක් අතට, x−y=3 ආකෘතියේ සමීකරණය x සහ y විචල්‍ය දෙකක් සහිත සමීකරණයකි. සහ තවත් එක් උදාහරණයක්: x 2 +(y−1) 2 +(z+0.5) 2 =27. එවැනි සමීකරණයක් x, y සහ z යන නොදන්නා විචල්‍ය තුනක් සහිත සමීකරණයක් බව පැහැදිලිය.
සමීකරණයක මූලය කුමක්ද?
සමීකරණයේ නිර්වචනය මෙම සමීකරණයේ මූලයේ නිර්වචනයට සෘජුවම සම්බන්ධ වේ. සමීකරණයේ මූලය කුමක්දැයි තේරුම් ගැනීමට උපකාර වන තර්ක කිහිපයක් අපි සිදු කරමු.
අපි හිතමු අපිට එක අකුරක් (විචල්‍ය) එක්ක සමීකරණයක් තියෙනවා කියලා. මෙම සමීකරණයේ ඇතුළත් කිරීමේදී ඇතුළත් කර ඇති අකුරක් වෙනුවට නිශ්චිත සංඛ්‍යාවක් ආදේශ කරන්නේ නම්, සමීකරණය සංඛ්‍යාත්මක සමානතාවයක් බවට පත්වේ. එපමණක් නොව, ප්රතිඵලය වන සමානාත්මතාවය සත්ය හෝ අසත්ය විය හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, ඔබ a+1=5 සමීකරණයේ a අකුර වෙනුවට අංක 2 ආදේශ කළහොත්, ඔබට වැරදි සංඛ්‍යාත්මක සමානාත්මතාවය 2+1=5 ලැබේ. මෙම සමීකරණයේ a වෙනුවට අංක 4 ආදේශ කළහොත් අපට නිවැරදි සමානාත්මතාවය 4+1=5 ලැබේ.
ප්රායෝගිකව, බොහෝ අවස්ථාවන්හීදී, උනන්දුව විචල්‍යයේ එම අගයන් කෙරෙහි වන අතර එම සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් මෙම අගයන් මෙම සමීකරණයේ මූලයන් හෝ විසඳුම් ලෙස හැඳින්වේ.
අර්ථ දැක්වීම.
සමීකරණයේ මූලය- මෙය අක්ෂරයේ (විචල්‍ය) අගය වන අතර, එය ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් සමීකරණය නිවැරදි සංඛ්‍යාත්මක සමානතාවයක් බවට පත්වේ.
එක් විචල්‍යයක සමීකරණයක මූලය සමීකරණයේ විසඳුම ලෙසද හඳුන්වන බව සලකන්න. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, සමීකරණයේ විසඳුම සහ සමීකරණයේ මූලය එකම දෙයකි.
අපි මෙම නිර්වචනය උදාහරණයකින් පැහැදිලි කරමු. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි a+1=5 ඉහත ලියා ඇති සමීකරණය වෙත ආපසු යමු. සමීකරණයක මූලයේ ප්‍රකාශිත නිර්වචනයට අනුව, අංක 4 මෙම සමීකරණයේ මූලය වේ, මන්ද a අකුර වෙනුවට මෙම සංඛ්‍යාව ආදේශ කරන විට අපට නිවැරදි සමානාත්මතාවය 4+1=5 ලැබෙන අතර අංක 2 එය නොවේ. මූල, එය 2+1= 5 ආකෘතියේ වැරදි සමානාත්මතාවයකට අනුරූප වන බැවිනි.
මෙම අවස්ථාවේදී, ස්වාභාවික ප්‍රශ්න ගණනාවක් පැන නගී: “ඕනෑම සමීකරණයකට මූලයක් තිබේද, එයට මූලයන් කීයක් තිබේද?” ලබා දී ඇති සමීකරණය"? අපි ඒවාට පිළිතුරු දෙන්නෙමු.
මූලයන් ඇති සමීකරණ සහ මූලයන් නොමැති සමීකරණ දෙකම තිබේ. උදාහරණයක් ලෙස, x+1=5 සමීකරණයේ මූල 4 ඇත, නමුත් 0 x=5 සමීකරණයට මූලයන් නොමැත, මන්ද අපි මෙම සමීකරණයේ x විචල්‍යය වෙනුවට කුමන සංඛ්‍යාවක් ආදේශ කළත් අපට ලැබෙන්නේ වැරදි සමානාත්මතාවයයි. .
සමීකරණයක මූල සංඛ්‍යාව සම්බන්ධයෙන් ගත් කල, නිශ්චිත සීමිත මූල සංඛ්‍යාවක් ඇති සමීකරණ (එක, දෙක, තුන, ආදිය) සහ අනන්ත මූලයන් ඇති සමීකරණ දෙකම ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, x−2=4 සමීකරණයට 6 තනි මූලයක් ඇත, x 2 =9 සමීකරණයේ මූලයන් −3 සහ 3 යන සංඛ්යා දෙකකි, x·(x−1)·(x−2)=0 සමීකරණය 0, 1 සහ 2 යන මූලයන් තුනක් ඇති අතර, x=x සමීකරණයේ විසඳුම ඕනෑම අංකයකි, එනම් එයට අසීමිත මූල සංඛ්‍යාවක් ඇත.
සමීකරණයේ මූලයන් සඳහා පිළිගත් අංකනය ගැන වචන කිහිපයක් පැවසිය යුතුය. සමීකරණයකට මූලයන් නොමැති නම්, ඔවුන් සාමාන්යයෙන් "සමීකරණයට මූලයන් නොමැත" හෝ හිස් කුලක ලකුණ ∅ භාවිතා කරයි. සමීකරණයට මූලයන් තිබේ නම්, ඒවා කොමාවෙන් වෙන් කර හෝ ලියා ඇත කට්ටලයේ මූලද්රව්ය curly වරහන් තුළ. උදාහරණයක් ලෙස, සමීකරණයේ මූලයන් අංක -1, 2 සහ 4 නම්, ලියන්න -1, 2, 4 හෝ (-1, 2, 4). සරල සමානතා ආකාරයෙන් සමීකරණයේ මූලයන් ලිවීමට ද අවසර ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, සමීකරණයේ x අක්ෂරය ඇතුළත් වේ නම් සහ මෙම සමීකරණයේ මූලයන් අංක 3 සහ 5 වේ නම්, ඔබට x=3, x=5 ලිවිය හැකි අතර, x 1 =3, x 2 =5 යන අනුපිටපත් බොහෝ විට එකතු වේ. විචල්‍යයට, සමීකරණයේ සංඛ්යා මූලයන් දක්වනවාක් මෙන්. සමීකරණයක අසීමිත මූලයන් සාමාන්යයෙන් ලියා ඇත්තේ හැකි නම්, ස්වාභාවික සංඛ්යා N, නිඛිල Z, සැබෑ සංඛ්යාආර්. උදාහරණයක් ලෙස, x විචල්යයක් සහිත සමීකරණයක මූලය කිසියම් පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් නම්, ලියන්න , සහ y විචල්‍ය සමීකරණයක මූලයන් 1 සිට 9 දක්වා තාත්වික සංඛ්‍යාවක් නම්, ලියන්න.
දෙක, තුන සහ සමීකරණ සඳහා විශාල සංඛ්යාවක්විචල්‍යයන්, රීතියක් ලෙස, "සමීකරණයේ මූල" යන යෙදුම භාවිතා නොකෙරේ, මෙම අවස්ථා වලදී ඔවුන් පවසන්නේ "සමීකරණයේ විසඳුම" යන්නයි. විචල්‍ය කිහිපයක් සහිත සමීකරණ විසඳීම ලෙස හඳුන්වන්නේ කුමක්ද? අපි අනුරූප අර්ථ දැක්වීම ලබා දෙමු.
අර්ථ දැක්වීම.
දෙක, තුන, ආදිය සමඟ සමීකරණයක් විසඳීම. විචල්යයන්යුගලයක්, තුනක්, ආදිය ලෙස හැඳින්වේ. විචල්‍යවල අගයන්, මෙම සමීකරණය නිවැරදි සංඛ්‍යාත්මක සමානතාවක් බවට පත් කරයි.
අපි පැහැදිලි කිරීමේ උදාහරණ පෙන්වමු. x+y=7 යන විචල්‍ය දෙකක් සහිත සමීකරණයක් සලකා බලන්න. අපි x වෙනුවට අංක 1 ද, y වෙනුවට අංක 2 ද ආදේශ කරමු, අපට 1+2=7 සමානාත්මතාවය ඇත. පැහැදිලිවම, එය වැරදියි, එබැවින්, x=1, y=2 යන අගයන් යුගලය ලිඛිත සමීකරණයට විසඳුමක් නොවේ. අපි x=4, y=3 යන අගයන් යුගලයක් ගතහොත්, සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් පසුව අපි නිවැරදි සමානාත්මතාවයට 4+3=7 වෙත පැමිණෙමු, එබැවින්, මෙම විචල්‍ය අගයන් යුගලය, අර්ථ දැක්වීම අනුව, විසඳුමකි. x+y=7 සමීකරණයට.
එක් විචල්යයක් සහිත සමීකරණ වැනි විචල්‍ය කිහිපයක් සහිත සමීකරණවලට මූලයන් නොමැති වීම, සීමිත මූල සංඛ්‍යාවක් හෝ මූලයන් අනන්ත සංඛ්‍යාවක් තිබිය හැක.
යුගල, ත්රිත්ව, සිව් ගුණ, ආදිය. විචල්‍යවල අගයන් බොහෝ විට කෙටියෙන් ලියා ඇති අතර, ඒවායේ අගයන් වරහන් තුළ කොමාවෙන් වෙන් කර ලැයිස්තුගත කර ඇත. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, වරහන් තුළ ලියා ඇති සංඛ්යා විචල්යයන්ට අනුරූප වේ අකාරාදී පිළිවෙල. පෙර සමීකරණය x+y=7 වෙත ආපසු යාමෙන් මෙම කරුණ පැහැදිලි කර ගනිමු. මෙම සමීකරණයේ විසඳුම x=4, y=3 (4, 3) ලෙස කෙටියෙන් ලිවිය හැක.
ගණිතය, වීජ ගණිතය සහ විශ්ලේෂණයේ ආරම්භය පිළිබඳ පාසල් පාඨමාලාවේ විශාලතම අවධානය යොමු කරනු ලබන්නේ එක් විචල්යයක් සමඟ සමීකරණවල මූලයන් සොයා ගැනීම සඳහා ය. මෙම ක්‍රියාවලියේ නීති රීති අපි ලිපියෙන් ඉතා විස්තරාත්මකව සාකච්ඡා කරමු. සමීකරණ විසඳීම.
යොමු කිරීම්.
- ගණිතය. පන්ති 2 ක් පෙළපොත සාමාන්ය අධ්යාපනය සඳහා ආයතන සමග adj. ඉලෙක්ට්රෝනයකට වාහකය. 2 ට 1 කොටස / [එම්. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova, etc.] - 3rd ed. - එම්.: අධ්යාපනය, 2012. - 96 පි.: අසනීප. - (රුසියාවේ පාසල). - ISBN 978-5-09-028297-0.
- වීජ ගණිතය:පෙළ පොත 7 වන ශ්රේණිය සඳහා සාමාන්ය අධ්යාපනය ආයතන / [යූ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; විසින් සංස්කරණය කරන ලදී S. A. Telyakovsky. - 17 වන සංස්කරණය. - එම්.: අධ්යාපනය, 2008. - 240 පි. : අසනීප. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- වීජ ගණිතය: 9 වන ශ්රේණිය: අධ්යාපනික. සාමාන්ය අධ්යාපනය සඳහා ආයතන / [යූ. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; විසින් සංස්කරණය කරන ලදී S. A. Telyakovsky. - 16 වන සංස්කරණය. - එම්.: අධ්යාපනය, 2009. - 271 පි. : අසනීප. - ISBN 978-5-09-021134-5.
අපි සමානාත්මතා සංකල්පය අධ්යයනය කළ පසු, එනම් ඒවායේ එක් වර්ගයක් - සංඛ්‍යාත්මක සමානාත්මතා, අපට තවත් වැදගත් වර්ගයකට යා හැකිය - සමීකරණ. මෙම ද්‍රව්‍යයේ රාමුව තුළ, අපි සමීකරණයක් යනු කුමක්ද සහ එහි මූලය පැහැදිලි කර, මූලික අර්ථ දැක්වීම් සකස් කර ලබා දෙන්නෙමු. විවිධ උදාහරණසමීකරණ සහ ඒවායේ මූලයන් සොයා ගැනීම.
සමීකරණ සංකල්පය
සාමාන්යයෙන් සමීකරණයේ සංකල්පය ආරම්භයේදීම අධ්යයනය කරනු ලැබේ පාසල් පාඨමාලාවවීජ ගණිතය. එවිට එය මෙසේ අර්ථ දක්වා ඇත.
අර්ථ දැක්වීම 1
සමීකරණයසමග සමානාත්මතාවය ලෙස හැඳින්වේ නොදන්නා අංකය, සොයා ගත යුතු ය.
නොදන්නා දේ කුඩා ලෙස නම් කිරීම සිරිතකි ලතින් අක්ෂර වලින්, උදාහරණයක් ලෙස, t, r, m යනාදිය, නමුත් බොහෝ විට x, y, z භාවිතා වේ. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, සමීකරණය තීරණය වන්නේ එහි පටිගත කිරීමේ ස්වරූපයෙනි, එනම් සමානාත්මතාවය සමීකරණයක් වනු ඇත්තේ එය යම් ආකාරයකට අඩු කළ විට පමණි - එහි අකුරක් අඩංගු විය යුතුය, සොයාගත යුතු අගය.
අපි සරලම සමීකරණ සඳහා උදාහරණ කිහිපයක් ලබා දෙමු. මේවා x = 5, y = 6, ආදියෙහි සමානාත්මතාවයන් විය හැකිය, මෙන්ම අංක ගණිතමය මෙහෙයුම් ඇතුළත් ඒවා විය හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස, x + 7 = 38, z - 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.
වරහන් සංකල්පය අධ්යයනය කිරීමෙන් පසුව, වරහන් සමඟ සමීකරණ පිළිබඳ සංකල්පය දිස්වේ. මේවාට 7 · (x - 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x - 8)) = 3, ආදිය ඇතුළත් වේ. සොයා ගැනීමට අවශ්ය අකුර එක් වරකට වඩා දිස්විය හැකි නමුත් කිහිප වතාවක්, වැනි , උදාහරණයක් ලෙස, x + 2 + 4 · x - 2 - x = 10 සමීකරණයේ. එසේම, නොදන්නා අය වම් පසින් පමණක් නොව, දකුණු පසින් හෝ එකවර කොටස් දෙකෙහිම ස්ථානගත කළ හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස, x (8 + 1) - 7 = 8, 3 - 3 = z + 3 හෝ 8 x - 9 = 2 (x + 17) .
තවද, සිසුන් පූර්ණ සංඛ්යා, තාත්වික, තාර්කික, ස්වාභාවික සංඛ්යා මෙන්ම ලඝුගණක, මූලයන් සහ බල යන සංකල්ප පිළිබඳව හුරුපුරුදු වූ පසු, මෙම සියලු වස්තූන් ඇතුළත් නව සමීකරණ දිස්වේ. එවැනි ප්රකාශනයන් සඳහා උදාහරණ සඳහා අපි වෙනම ලිපියක් කැප කර ඇත.
7 වන ශ්රේණියේ විෂය මාලාවේ පළමු වරට විචල්‍ය සංකල්පය දිස්වේ. මේවා ගත හැකි ලිපි වේ විවිධ අර්ථ(වැඩිදුර තොරතුරු සඳහා, සංඛ්‍යාත්මක, වචනාර්ථ සහ විචල්‍ය ප්‍රකාශන පිළිබඳ ලිපිය බලන්න). මෙම සංකල්පය මත පදනම්ව, අපට සමීකරණය නැවත අර්ථ දැක්විය හැකිය:
අර්ථ දැක්වීම 2
සමීකරණයඅගය ගණනය කළ යුතු විචල්යයක් ඇතුළත් සමානාත්මතාවයකි.
එනම්, උදාහරණයක් ලෙස, x + 3 = 6 x + 7 යන ප්‍රකාශනය x විචල්‍යය සමඟ සමීකරණයක් වන අතර 3 y - 1 + y = 0 යනු y විචල්‍යය සමඟ සමීකරණයකි.
එක් සමීකරණයකට විචල්‍ය එකකට වඩා තිබිය හැකි නමුත් දෙකක් හෝ වැඩි ගණනක් ඇත. ඒවා පිළිවෙලින්, දෙකක්, තුනක් විචල්යයන් සහිත සමීකරණ ලෙස හැඳින්වේ. අපි අර්ථ දැක්වීම ලියා තබමු:
අර්ථ දැක්වීම 3
විචල්‍ය දෙකක් (තුන, හතර හෝ වැඩි) සහිත සමීකරණ යනු ඊට අනුරූප නොදන්නා සංඛ්‍යාවක් ඇතුළත් සමීකරණ වේ.
උදාහරණයක් ලෙස, 3, 7 · x + 0, 6 = 1 ආකෘති පත්‍රයේ සමානාත්මතාවය x එක් විචල්යයක් සහිත සමීකරණයක් වන අතර x - z = 5 යනු x සහ z යන විචල්‍ය දෙකක් සහිත සමීකරණයකි. විචල්‍ය තුනක් සහිත සමීකරණයක උදාහරණයක් වනුයේ x 2 + (y - 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26 ය.
සමීකරණයේ මූලය
අපි සමීකරණයක් ගැන කතා කරන විට, එහි මූලයේ සංකල්පය නිර්වචනය කිරීමේ අවශ්යතාව වහාම පැන නගී. එහි තේරුම පැහැදිලි කිරීමට උත්සාහ කරමු.
උදාහරණ 1
අපට එක් විචල්යයක් ඇතුළත් යම් සමීකරණයක් ලබා දී ඇත. අපි නොදන්නා අකුර සඳහා අංකයක් ආදේශ කළහොත්, සමීකරණය සංඛ්‍යාත්මක සමානතාවයක් බවට පත්වේ - සත්ය හෝ අසත්ය. ඉතින්, a + 1 = 5 සමීකරණයේ අපි අක්ෂරය අංක 2 සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කරන්නේ නම්, සමානාත්මතාවය අසත්ය වනු ඇත, සහ 4 නම්, නිවැරදි සමානාත්මතාවය 4 + 1 = 5 වේ.
විචල්‍යය සැබෑ සමානාත්මතාවයක් බවට පත්වන අගයන් පිළිබඳව අපි වඩාත් උනන්දු වෙමු. ඒවා මූලයන් හෝ විසඳුම් ලෙස හැඳින්වේ. අපි අර්ථ දැක්වීම ලියා තබමු.
අර්ථ දැක්වීම 4
සමීකරණයේ මූලයදී ඇති සමීකරණයක් සැබෑ සමානාත්මතාවයක් බවට පත් කරන විචල්‍යයක අගය ඔවුන් හඳුන්වයි.
මූලය විසඳුමක් ලෙසද හැඳින්විය හැක, නැතහොත් අනෙක් අතට - මෙම සංකල්ප දෙකම එකම දේ අදහස් කරයි.
උදාහරණය 2
මෙම නිර්වචනය පැහැදිලි කිරීම සඳහා අපි උදාහරණයක් ගනිමු. ඉහත අපි a + 1 = 5 සමීකරණය ලබා දුන්නා. අර්ථ දැක්වීමට අනුව, මෙම නඩුවේ මූලය 4 වනු ඇත, මක්නිසාද යත් අකුරක් වෙනුවට ආදේශ කළ විට එය නිවැරදි සංඛ්‍යාත්මක සමානාත්මතාවය ලබා දෙන අතර දෙකක් විසඳුමක් නොවනු ඇත, මන්ද එය වැරදි සමානාත්මතාවය 2 + 1 = 5 ට අනුරූප වේ.
එක් සමීකරණයකට මූලයන් කීයක් තිබිය හැකිද? සෑම සමීකරණයකටම මූලයක් තිබේද? අපි මෙම ප්රශ්නවලට පිළිතුරු දෙමු.
තනි මූලයක් නොමැති සමීකරණ ද පවතී. උදාහරණයක් ලෙස 0 x = 5 වේ. අපට එයට විවිධ සංඛ්යා අනන්ත සංඛ්‍යාවක් ආදේශ කළ හැකිය, නමුත් ඒවායින් කිසිවක් එය සැබෑ සමානාත්මතාවයක් බවට පත් නොකරනු ඇත, මන්ද 0 න් ගුණ කිරීමෙන් සෑම විටම 0 ලැබේ.
මූලයන් කිහිපයක් ඇති සමීකරණ ද ඇත. ඒවාට පරිමිත හෝ අනන්ත මූලයන් තිබිය හැක.
උදාහරණය 3
එබැවින්, x - 2 = 4 සමීකරණයේ ඇත්තේ එක් මූලයක් පමණි - හය, x 2 = 9 හි මූල දෙක - තුන සහ අඩු තුන, x · (x - 1) · (x - 2) = 0 මූල තුනක් - ශුන්‍ය, එක සහ දෙක, x=x සමීකරණයේ අසීමිත මූලයන් ඇත.
දැන් අපි සමීකරණයේ මූලයන් නිවැරදිව ලියන්නේ කෙසේදැයි පැහැදිලි කරමු. කිසිවක් නොමැති නම්, අපි ලියන්නෙමු: "සමීකරණයට මූලයන් නොමැත." මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබට හිස් කට්ටලයේ ලකුණ ද දැක්විය හැකිය ∅. මූලයන් තිබේ නම්, අපි ඒවා කොමාවකින් වෙන් කර ලියන්නෙමු, නැතහොත් ඒවා කට්ටලයක මූලද්රව්ය ලෙස දක්වන්නෙමු, ඒවා කැරලි වරහන් තුළ කොටු කරන්නෙමු. එබැවින්, ඕනෑම සමීකරණයකට මූල තුනක් තිබේ නම් - 2, 1 සහ 5, අපි ලියන්නේ - 2, 1, 5 හෝ (- 2, 1, 5).
සරල සමානාත්මතා ආකාරයෙන් මුල් ලිවීමට අවසර ඇත. එබැවින්, සමීකරණයේ නොදන්නා අකුර y අක්ෂරයෙන් දැක්වේ නම් සහ මූලයන් 2 සහ 7 නම්, අපි y = 2 සහ y = 7 ලියන්නෙමු. සමහර විට අකුරු වලට දායක එකතු කරනු ලැබේ, උදාහරණයක් ලෙස, x 1 = 3, x 2 = 5. මේ ආකාරයෙන් අපි මුල්වල සංඛ්යා වෙත යොමු කරමු. සමීකරණයට අසීමිත විසඳුම් ගණනක් තිබේ නම්, අපි පිළිතුර සංඛ්‍යාත්මක පරතරයක් ලෙස ලියන්නෙමු හෝ සාමාන්යයෙන් පිළිගත් අංකනය භාවිතා කරන්නෙමු: ස්වාභාවික සංඛ්යා සමූහය N, නිඛිල - Z, තාත්වික සංඛ්යා - R ලෙස දැක්වේ. අපි කියමු, සමීකරණයට විසඳුම ඕනෑම පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් වනු ඇතැයි ලිවිය යුතු නම්, අපි x ∈ Z ලෙසත්, 1 සිට නවය දක්වා තාත්වික සංඛ්‍යාවක් නම්, y ∈ 1, 9 ලෙසත් ලියන්නෙමු.
සමීකරණයකට මූලයන් දෙකක්, තුනක් හෝ වැඩි ගණනක් ඇති විට, රීතියක් ලෙස, අපි කතා කරන්නේ මූලයන් ගැන නොව, සමීකරණයට විසඳුම් ගැන ය. විචල්‍ය කිහිපයක් සහිත සමීකරණයකට විසඳුමක නිර්වචනය අපි සකස් කරමු.
අර්ථ දැක්වීම 5
විචල්‍ය දෙකක්, තුනක් හෝ වැඩි ගණනක් සහිත සමීකරණයකට විසඳුම වන්නේ දී ඇති සමීකරණය නිවැරදි සංඛ්‍යාත්මක සමානතාවයක් බවට පත් කරන විචල්‍යවල අගයන් දෙකක්, තුනක් හෝ වැඩි ගණනකි.
අපි උදාහරණ සමඟ අර්ථ දැක්වීම පැහැදිලි කරමු.
උදාහරණය 4
විචල්‍ය දෙකක් සහිත සමීකරණයක් වන x + y = 7 ප්‍රකාශනය අපට ඇතැයි සිතමු. පළමුවැන්න වෙනුවට එකක් සහ දෙවැන්න වෙනුවට දෙකක් ආදේශ කරමු. අපට වැරදි සමානාත්මතාවයක් ලැබෙනු ඇත, එයින් අදහස් කරන්නේ මෙම අගයන් යුගලය මෙම සමීකරණයට විසඳුමක් නොවන බවයි. අපි 3 සහ 4 යුගලය ගත්තොත්, සමානාත්මතාවය සැබෑ වෙනවා, ඒ කියන්නේ අපි විසඳුමක් සොයාගෙන ඇති බවයි.
එවැනි සමීකරණවලට මූලයන් හෝ ඒවායේ අනන්ත ගණනක් නොතිබිය හැකිය. අපට අගයන් දෙකක්, තුනක්, හතරක් හෝ වැඩි ගණනක් ලිවීමට අවශ්ය නම්, අපි ඒවා වරහන් තුළ කොමාවෙන් වෙන් කර ලියන්නෙමු. එනම්, ඉහත උදාහරණයේ, පිළිතුර (3, 4) ලෙස පෙනෙනු ඇත.
ප්රායෝගිකව, ඔබට බොහෝ විට එක් විචල්යයක් අඩංගු සමීකරණ සමඟ කටයුතු කිරීමට සිදු වේ. සමීකරණ විසඳීම සඳහා කැප වූ ලිපියේ ඒවා විසඳීමේ ඇල්ගොරිතම අපි විස්තරාත්මකව සලකා බලමු.
ඔබ පෙළෙහි දෝෂයක් දුටුවහොත්, කරුණාකර එය උද්දීපනය කර Ctrl+Enter ඔබන්න
ගණිතයේ සමීකරණ විසඳීම විශේෂ ස්ථානයක් ගනී. මෙම ක්‍රියාවලියට පෙර පැය ගණනාවක් න්‍යාය අධ්යයනය කරන අතර, එම කාලය තුළ ශිෂ්‍යයා සමීකරණ විසඳන ආකාරය, ඒවායේ වර්ගය තීරණය කරන ආකාරය සහ සම්පූර්ණ ස්වයංක්‍රීයකරණය සඳහා කුසලතාව ගෙන එයි. කෙසේ වෙතත්, මූලයන් සෙවීම සැමවිටම අර්ථවත් නොවේ, මන්ද ඒවා සරලව නොපවතින බැවිනි. මූලයන් සොයා ගැනීම සඳහා විශේෂ තාක්ෂණික ක්රම තිබේ. මෙම ලිපියෙන් අපි ප්රධාන කාර්යයන්, ඒවායේ නිර්වචන වසම් මෙන්ම ඒවායේ මූලයන් අතුරුදහන් වූ අවස්ථා විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු.
මූලයන් නොමැති සමීකරණය කුමක්ද?
සමීකරණය සර්වසම සත්ය වන x සැබෑ තර්ක නොමැති නම් සමීකරණයකට මූලයන් නොමැත. විශේෂඥ නොවන අය සඳහා, මෙම සූත්රය, බොහෝ ගණිතමය ප්‍රමේයන් සහ සූත්ර මෙන්, ඉතා අපැහැදිලි සහ වියුක්ත ලෙස පෙනේ, නමුත් මෙය න්‍යායික වේ. ප්රායෝගිකව, සෑම දෙයක්ම අතිශයින්ම සරල වනු ඇත. උදාහරණයක් ලෙස: 0 * x = -53 සමීකරණයට විසඳුමක් නැත, මන්ද x අංකයක් නොමැති බැවින් ශුන්‍යය සහිත නිෂ්පාදනයක් බිංදුව හැර වෙනත් දෙයක් ලබා දෙයි.
දැන් අපි වැඩිපුරම බලමු මූලික වර්ගසමීකරණ.
1. රේඛීය සමීකරණය
සමීකරණයක් එහි දකුණු සහ වම් පැති ස්වරූපයෙන් නිරූපණය කරන්නේ නම් රේඛීය ලෙස හැඳින්වේ රේඛීය කාර්යයන්: ax + b = cx + d හෝ සාමාන්‍යකරණය වූ ආකාරයෙන් kx + b = 0. මෙහි a, b, c, d දන්නා සංඛ්යා වන අතර x යනු නොදන්නා ප්‍රමාණයකි. මූලයන් නොමැති සමීකරණය කුමක්ද? රේඛීය සමීකරණ සඳහා උදාහරණ පහත රූපයේ දැක්වේ.
මූලික වශයෙන්, රේඛීය සමීකරණ විසඳනු ලබන්නේ සංඛ්යා කොටස එක් කොටසකට සහ x හි අන්තර්ගතය තවත් කොටසකට මාරු කිරීමෙනි. ප්රතිඵලය වන්නේ mx = n ආකාරයේ සමීකරණයක් වන අතර, m සහ n යනු සංඛ්යා වන අතර x යනු නොදන්නා කරුණකි. x සොයා ගැනීමට, දෙපැත්තම m වලින් බෙදන්න. එවිට x = n/m. බොහෝ රේඛීය සමීකරණවලට ඇත්තේ එක් මූලයක් පමණි, නමුත් එක්කෝ අනන්තවත් මූලයන් හෝ මුලක් නොමැති අවස්ථා තිබේ. m = 0 සහ n = 0 විට, සමීකරණය 0 * x = 0 ආකාරය ගනී. එවැනි සමීකරණයකට විසඳුම නියත වශයෙන්ම ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් වනු ඇත.
කෙසේ වෙතත්, මූලයන් නොමැති සමීකරණය කුමක්ද?
m = 0 සහ n = 0 සඳහා, සමීකරණයට තාත්වික සංඛ්යා කට්ටලයේ මූලයන් නොමැත. 0 * x = -1; 0 * x = 200 - මෙම සමීකරණවලට මූලයන් නොමැත.
2. චතුරස්රාකාර සමීකරණය
චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් යනු a = 0 සඳහා ax 2 + bx + c = 0 පෝරමයේ සමීකරණයකි. වඩාත්ම පොදු විසඳුම වන්නේ වෙනස්කම් කරන්නා හරහාය. චතුරස්රාකාර සමීකරණයක වෙනස්කම් සොයා ගැනීම සඳහා සූත්රය වන්නේ: D = b 2 - 4 * a * c. ඊළඟට x 1.2 = (-b ± √D) / 2 * a මූලයන් දෙකක් ඇත.
D > 0 සඳහා සමීකරණයට මූල දෙකක් ඇත, D = 0 සඳහා එක් මූලයක් ඇත. නමුත් මූලයන් නොමැති චතුරස්‍ර සමීකරණය කුමක්ද? චතුරස්‍ර සමීකරණයක මූලයන් සංඛ්‍යාව නිරීක්ෂණය කිරීමට ඇති පහසුම ක්‍රමය වන්නේ පරාවලයක් වන ශ්‍රිතය ප්‍රස්ථාර කිරීමෙනි. a > 0 සඳහා ශාඛා ඉහළට යොමු කර ඇත, a සඳහා< 0 ветви опущены вниз. Если дискриминант отрицателен, такое квадратное уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.
වෙනස්කම් කිරීම ගණනය කිරීමකින් තොරව ඔබට මුල් ගණන දෘශ්‍යමය වශයෙන් තීරණය කළ හැකිය. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ පැරබෝලාවේ ශීර්ෂය සොයා ගත යුතු අතර ශාඛා යොමු කරන්නේ කුමන දිශාවටද යන්න තීරණය කරන්න. ශීර්ෂයේ x ඛණ්ඩාංකය සූත්රය භාවිතයෙන් තීරණය කළ හැක: x 0 = -b / 2a. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ශීර්ෂයේ y ඛණ්ඩාංකය සොයාගනු ලබන්නේ සරලව x 0 අගය මුල් සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙනි.
x 2 - 8x + 72 = 0 යන චතුරස්‍ර සමීකරණයට මූලයන් නොමැත, මන්ද එයට සෘණ වෙනස්කම් D = (-8) 2 - 4 * 1 * 72 = -224 ඇත. මෙයින් අදහස් කරන්නේ පැරබෝලා x-අක්ෂය ස්පර්ශ නොකරන අතර ශ්‍රිතය කිසි විටෙකත් 0 අගය නොගන්නා බවයි, එබැවින් සමීකරණයට සැබෑ මූලයන් නොමැත.
3. ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ
ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිත ත්රිකෝණමිතික කවය මත සලකනු ලැබේ, නමුත් ඒවා තුළ ද නිරූපණය කළ හැක කාටිසියානු පද්ධතියඛණ්ඩාංක මෙම ලිපියෙන් අපි ප්රධාන දෙකක් දෙස බලමු ත්රිකෝණමිතික ශ්‍රිතසහ ඒවායේ සමීකරණ: sinx සහ cosx. මෙම ශ්‍රිතයන් අරය 1 සහිත ත්රිකෝණමිතික කවයක් සාදන බැවින්, |sinx| සහ |cosx| 1 ට වඩා වැඩි විය නොහැක. එසේ නම්, මූලයන් නොමැති කුමන sinx සමීකරණයටද? අපි ප්රස්ථාරය දෙස බලමු sinx කාර්යයන්, පහත පින්තූරයේ පෙන්වා ඇත.
ශ්‍රිතය සමමිතික වන අතර 2pi පුනරාවර්තන කාල සීමාවක් ඇති බව අපට පෙනේ. මෙය මත පදනම්ව, මෙම ශ්රිතයේ උපරිම අගය 1 විය හැකි අතර අවම -1 විය හැකි බව අපට පැවසිය හැකිය. උදාහරණයක් ලෙස, cosx = 5 යන ප්‍රකාශනයට මූලයන් නොමැත, මන්ද එහි නිරපේක්ෂ අගය එකකට වඩා වැඩි බැවිනි.
ත්රිකෝණමිතික සමීකරණ සඳහා සරලම උදාහරණය මෙයයි. ඇත්ත වශයෙන්ම, ඒවා විසඳීමට බොහෝ පිටු ගත විය හැකිය, අවසානයේ ඔබ වැරදි සූත්‍රයක් භාවිතා කළ බවත් නැවත ආරම්භ කිරීමට අවශ්ය බවත් ඔබට වැටහෙනු ඇත. සමහර විට සමඟ පවා නිවැරදි ස්ථානයමූලයන්, ඔබට ODZ මත සීමාවන් සැලකිල්ලට ගැනීමට අමතක විය හැක, එම නිසා පිළිතුරේ අමතර මූලයක් හෝ විරාමයක් දිස්වන අතර සම්පූර්ණ පිළිතුර වැරදියි. එමනිසා, සියලු සීමාවන් දැඩි ලෙස අනුගමනය කරන්න, මන්ද සියලු මූලයන් කාර්යයේ විෂය පථයට නොගැලපේ.
4. සමීකරණ පද්ධති
සමීකරණ පද්ධතියක් යනු රැලි සහිත හෝ හතරැස් වරහන් මගින් සම්බන්ධ වන සමීකරණ සමූහයකි. කැරලි වරහන් මගින් පෙන්නුම් කරන්නේ සියලුම සමීකරණ එකට ධාවනය වන බවයි. එනම්, අවම වශයෙන් එක් සමීකරණයකට මූලයන් නොමැති නම් හෝ වෙනත් සමීකරණයකට පටහැනි නම්, සමස්ත පද්ධතියටම විසඳුමක් නොමැත. හතරැස් වරහන් "හෝ" යන වචනය දක්වයි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ අවම වශයෙන් පද්ධතියේ එක් සමීකරණයකට විසඳුමක් තිබේ නම්, සමස්ත පද්ධතියටම විසඳුමක් ඇති බවයි.
c පද්ධතියේ පිළිතුර තනි සමීකරණවල සියලුම මූලයන් සමූහයකි. සහ රැලි සහිත වරහන් සහිත පද්ධති වලට ඇත්තේ පොදු මූලයන් පමණි. සමීකරණ පද්ධතිවලට සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් ශ්‍රිත ඇතුළත් විය හැකිය, එබැවින් එවැනි සංකීර්ණත්වය අපට මූලයන් නොමැති සමීකරණයට වහාම කීමට ඉඩ නොදේ.
ගැටළු සහිත පොත් සහ පෙළපොත් වල විවිධ ආකාරයේ සමීකරණ ඇත: මුල් ඇති සහ නැති ඒවා. පළමුවෙන්ම, ඔබට මූලයන් සොයාගත නොහැකි නම්, කිසිවක් නොමැති බව නොසිතන්න. සමහර විට ඔබ කොතැනක හෝ වැරැද්දක් කර ඇත, එවිට ඔබ ඔබේ තීරණය හොඳින් පරීක්ෂා කර බැලිය යුතුය.
අපි වඩාත් මූලික සමීකරණ සහ ඒවායේ වර්ග දෙස බැලුවෙමු. මූලයන් නොමැති සමීකරණය කුමක්දැයි දැන් ඔබට පැවසිය හැකිය. බොහෝ අවස්ථාවලදී මෙය කිරීමට අපහසු නැත. සමීකරණ විසඳීමේ සාර්ථකත්වය ළඟා කර ගැනීම සඳහා අවධානය සහ සාන්ද්රණය පමණක් අවශ්ය වේ. වැඩිපුර පුහුණු වන්න, එය ඔබට ද්‍රව්‍ය වඩා හොඳ සහ වේගවත් ලෙස සැරිසැරීමට උපකාරී වේ.
එබැවින්, සමීකරණයට මූලයන් නොමැති නම්:
- වී රේඛීය සමීකරණය mx = n අගය m = 0 සහ n = 0;
- වී චතුරස්රාකාර සමීකරණය, වෙනස්කම් කරන්නා ශුන්‍යයට වඩා අඩු නම්;
- වී ත්රිකෝණමිතික සමීකරණයආකෘතියේ cosx = m / sinx = n, නම් |m| > 0, |n| > 0;
- කැරලි වරහන් සහිත සමීකරණ පද්ධතියක, අවම වශයෙන් එක් සමීකරණයකට මුල් නොමැති නම් සහ හතරැස් වරහන් සමඟ, සියලු සමීකරණවලට මුල් නොමැති නම්.
