ප්‍රදේශ සූත්‍රයරූපයක ප්රදේශය තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ, එය යුක්ලීඩීය තලයේ යම් පන්තියක රූප මත නිර්වචනය කර ඇති සහ කොන්දේසි 4ක් තෘප්තිමත් කරන සැබෑ අගය ශ්‍රිතයකි:
- ධනාත්මක බව - ප්රදේශය ශුන්යයට වඩා අඩු විය නොහැක;
- සාමාන්යකරණය - පැති ඒකකයක් සහිත චතුරස්රයක් ප්රදේශය 1 ඇත;
- සමානාත්මතාවය - සමපාත සංඛ්යා ඇත සමාන ප්රදේශයක්;
- ආකලන - පොදු අභ්‍යන්තර ලක්ෂ්‍ය නොමැති සංඛ්යා 2 ක එකමුතුවේ ප්රදේශය මෙම සංඛ්‍යාවල ක්ෂේත්‍රවල එකතුවට සමාන වේ.
| ජ්යාමිතික රූපය | සූත්රය | ඇඳීම |
|---|---|---|
|
මධ්‍ය ලක්ෂ්‍ය අතර දුර එකතු කිරීමේ ප්රතිඵලය විරුද්ධ පැතිඋත්තල චතුරස්රයක එහි අර්ධ පරිමිතියට සමාන වේ. |
||
|
කව අංශය. රවුමක අංශයක වර්ගඵලය එහි චාපයේ ගුණිතයට සහ එහි අරයෙන් අඩකට සමාන වේ. |
|
|
|
කව කොටස. ASB කොටසේ ප්රදේශය ලබා ගැනීම සඳහා, AOB ත්රිකෝණයේ ප්රදේශය AOB අංශයෙන් අඩු කිරීම ප්‍රමාණවත් වේ. |
S = 1/2 R(s - AC) |
|
|
ඉලිප්සයේ ප්රදේශය ඉලිප්සයේ ප්‍රධාන සහ කුඩා අර්ධ අක්ෂවල දිග සහ pi අංකයේ ගුණිතයට සමාන වේ. |
|
|
|
ඉලිප්සය. ඉලිප්සයක වර්ගඵලය ගණනය කිරීම සඳහා තවත් විකල්පයක් වන්නේ එහි අරය දෙකක් හරහාය. |
|
|
|
ත්රිකෝණය. පාදම සහ උස හරහා. එහි අරය සහ විෂ්කම්භය භාවිතා කරමින් රවුමක ප්රදේශය සඳහා සූත්රය. |
||
|
හතරැස් . ඔහුගේ පැත්ත හරහා. චතුරස්රයක වර්ගඵලය එහි පැත්තේ දිග ප්‍රමාණයට සමාන වේ. |
|
|
|
චතුරස්රය. එහි විකර්ණ හරහා. චතුරස්රයක වර්ගඵලය එහි විකර්ණයේ දිග වර්ගයෙන් අඩකට සමාන වේ. |
||
|
නිතිපතා බහුඅස්ර. සාමාන්‍ය බහුඅස්‍රයක ප්රදේශය තීරණය කිරීම සඳහා, ඔබ එය බෙදිය යුතුය සමාන ත්රිකෝණ, එය සටහන් කර ඇති කවයේ කේන්ද්‍රයේ පොදු සිරස් තලයක් ඇත. |
S= r p = 1/2 r n a |
ජ්යාමිතික රූපයක ප්රදේශය- මෙම රූපයේ ප්‍රමාණය පෙන්වන ජ්යාමිතික රූපයක සංඛ්‍යාත්මක ලක්ෂණයක් (පෘෂ්ඨයේ කොටස සීමිතය සංවෘත ලූපයමෙම රූපයේ). ප්රදේශයේ විශාලත්වය එහි අඩංගු වර්ග ඒකක සංඛ්යාවෙන් ප්රකාශ වේ.
ත්රිකෝණ ප්රදේශයේ සූත්ර
- ත්රිකෝණයක ප්රදේශය පැත්තකින් සහ උසින් සූත්රය
ත්රිකෝණයක ප්රදේශයත්‍රිකෝණයක පැත්තක දිග සහ මෙම පැත්තට ඇද ගන්නා උන්නතාංශයේ දිගෙහි ගුණිතයෙන් අඩකට සමාන වේ - පැති තුනක් සහ වට රවුමේ අරය මත පදනම් වූ ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සඳහා සූත්රය
- ත්රිකෝණයක ප්රදේශය සඳහා සූත්රය පැති තුනක් සහ ලියා ඇති කවයේ අරය මත පදනම් වේ
ත්රිකෝණයක ප්රදේශයත්‍රිකෝණයේ අර්ධ පරිමිතියෙහි ගුණිතය සහ ශිලාලේඛන රවුමේ අරය සමාන වේ. මෙහි S යනු ත්රිකෝණයේ ප්රදේශය වේ,
- ත්රිකෝණයේ පැතිවල දිග,
- ත්රිකෝණයේ උස,
- පැති අතර කෝණය සහ,
- ලියා ඇති කවයේ අරය,
R - වටකුරු කවයේ අරය,
වර්ග ප්‍රදේශ සූත්ර
- හතරැස් පැත්තක දිග සඳහා සූත්රය
හතරැස් ප්රදේශයඑහි පැත්තේ දිගෙහි චතුරස්රයට සමාන වේ. - විකර්ණ දිග දිගේ චතුරස්රයක ප්රදේශය සඳහා සූත්රය
හතරැස් ප්රදේශයඑහි විකර්ණයේ දිග වර්ගයෙන් අඩකට සමාන වේ.S= 1 2 2 මෙහි S යනු චතුරස්රයේ ප්රදේශය වේ,
- චතුරස්රයේ පැත්තේ දිග,
- චතුරස්රයේ විකර්ණයේ දිග.
සෘජුකෝණාස්රාකාර ප්රදේශය සූත්රය
- සෘජුකෝණාස්රයක ප්රදේශයඑහි යාබද පැති දෙකේ දිග වල නිෂ්පාදනයට සමාන වේ
S යනු සෘජුකෝණාස්රයේ ප්රදේශය වේ,
- සෘජුකෝණාස්රයේ පැතිවල දිග.
සමාන්තර චලිත ප්‍රදේශ සූත්ර
- පැති දිග සහ උස මත පදනම්ව සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශය සඳහා සූත්රය
සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශය - පැති දෙකක් සහ ඒවා අතර කෝණය මත පදනම් වූ සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශය සඳහා සූත්රය
සමාන්තර චලිතයක ප්රදේශයඑහි පැතිවල දිග වල ගුණිතයට සමාන වන අතර ඒවා අතර කෝණයේ සයින් ගුණ කරයි.a b sin α
මෙහි S යනු සමාන්තර චලිතයේ ප්රදේශය වේ,
- සමාන්තර චලිතයේ පැතිවල දිග,
- සමාන්තර චලිත උස දිග,
- සමාන්තර චලිතයේ පැති අතර කෝණය.
රොම්බස් ප්රදේශය සඳහා සූත්ර
- පැති දිග සහ උස මත පදනම්ව රොම්බස් ප්රදේශය සඳහා සූත්රය
රොම්බස් ප්රදේශයඑහි පැත්තේ දිග සහ මෙම පැත්තට පහත් කර ඇති උසෙහි දිග නිෂ්පාදනයට සමාන වේ. - පැති දිග සහ කෝණය මත පදනම්ව රොම්බස් ප්රදේශය සඳහා සූත්රය
රොම්බස් ප්රදේශයඑහි පැත්තේ දිග සහ rhombus පැති අතර කෝණයේ සයින් වර්ග නිෂ්පාදනයට සමාන වේ. - රොම්බස් ප්රදේශය සඳහා සූත්රය එහි විකර්ණවල දිග මත පදනම් වේ
රොම්බස් ප්රදේශයඑහි විකර්ණවල දිග වල නිෂ්පාදිතයෙන් අඩකට සමාන වේ. මෙහි S යනු රොම්බස් ප්රදේශය වේ,
- රොම්බස් පැත්තේ දිග,
- රොම්බස් උසෙහි දිග,
- රොම්බස් වල පැති අතර කෝණය,
1, 2 - විකර්ණ වල දිග.
Trapezoid ප්රදේශයේ සූත්ර
- trapezoid සඳහා හෙරොන්ගේ සූත්රය
S යනු trapezoid ප්රදේශය වන තැන,
- trapezoid වල පාදවල දිග,
- trapezoid හි පැතිවල දිග,
බහුඅස්ර ප්රදේශයක්
අපි බහුඅස්‍රයක ප්රදේශය යන සංකල්පය මේ සමඟ සම්බන්ධ කරමු ජ්යාමිතික රූපයචතුරස්රයක් වගේ. බහුඅස්‍රයක ඒකක ප්රදේශය සඳහා අපි එකකට සමාන පැත්තක් සහිත චතුරස්රයක ප්රදේශය ගනිමු. බහුඅස්ර ප්රදේශය යන සංකල්පය සඳහා මූලික ගුණාංග දෙකක් හඳුන්වා දෙමු.
දේපල 1: සමාන බහුඅස්ර සඳහා, ඒවායේ ප්‍රදේශ සමාන වේ.
දේපල 2: ඕනෑම බහුඅස්‍රයක් බහුඅස්ර කිහිපයකට බෙදිය හැකිය. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, මුල් බහුඅස්‍රයේ ප්රදේශය මෙම බහුඅස්‍රය බෙදී ඇති සියලුම බහුඅස්‍රවල ප්‍රදේශ වල එකතුවට සමාන වේ.
හතරැස් ප්රදේශය
ප්රමේයය 1
චතුරස්රයක ප්රදේශය එහි පැත්තේ දිග වර්ග ලෙස අර්ථ දැක්වේ.
මෙහි $a$ යනු චතුරස්රයේ පැත්තේ දිග වේ.
සාක්ෂි.
මෙය සනාථ කිරීම සඳහා අපි අවස්ථා තුනක් සලකා බැලිය යුතුය.
ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.
සෘජුකෝණාස්රයක ප්රදේශය
ප්රමේයය 2
සෘජුකෝණාස්රයක ප්රදේශය තීරණය වන්නේ එහි යාබද පැතිවල දිග ප්‍රමාණය අනුවය.
ගණිතමය වශයෙන් මෙය මෙසේ ලිවිය හැක
සාක්ෂි.
අපට $AB=b,\ AD=a$ සමඟ $ABCD$ සෘජුකෝණාස්‍රයක් ලබා දෙමු. අපි එය වර්ග $APRV$ දක්වා ගොඩනඟමු, එහි පැති දිග $a+b$ ට සමාන වේ (රූපය 3).
රූපය 3.
අපට ඇති ප්‍රදේශ වල දෙවන දේපල අනුව
\ \ \
ප්රමේයය 1 මගින්
\ \
ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.
නියැදි කාර්යයන්
උදාහරණ 1
$5$ සහ $3$ පැති සහිත සෘජුකෝණාස්රයක ප්රදේශය සොයන්න.
චතුරස්රයක ප්රදේශය යනු මෙම චතුරස්රයේ පැතිවලින් සීමා වූ තලයේ කොටසයි.
චතුරස්රයක් යනු සෘජුකෝණාස්රයක විශේෂ අවස්ථාවක් වන අතර, එහි ප්රදේශය එහි එක් පැත්තක අනෙක් පැත්තේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස සොයාගත හැකි අතර, චතුරස්රයක සියලුම පැති සමාන වන බැවින්, එහි වර්ගඵලය එහි දිගේ වර්ගයට සමාන වේ. පැත්ත:
එසේම, චතුරස්රයක වර්ගඵලය එහි විකර්ණයේ (d) දිගේ වර්ගයෙන් අඩකට සමාන වේ, එනම්:
චතුරස්රයක් වටා ඇති රවුමක විෂ්කම්භය මෙම චතුරස්රයේ විකර්ණය සමඟ සමපාත වේ, එවිට එහි ප්රදේශය වටකුරු රවුමේ විෂ්කම්භය (D) දිග හරහා සොයාගත හැකිය:
රවුමක විෂ්කම්භය එහි අරයට වඩා 2 ගුණයකින් වැඩි බැවින්, චතුරස්රයේ ප්රදේශය වටකුරු රවුමේ අරය හරහා ද සොයාගත හැකිය:
S = (2 * R)²/2 = (4 * R²)/2 = 2 * R².
චතුරස්රයක් යනු නිත්ය චතුරස්රයකි, එනම්, සියලු පැති සමාන වන චතුරස්රයකි. චතුරස්රයක ප්රදේශය ක්රම තුනකින් සොයාගත හැකිය:
- චතුරස්රයේ පැත්ත හරහා.
- චතුරස්රයේ පරිමිතිය හරහා.
- චතුරස්රයේ විකර්ණය හරහා.
චතුරස්රයක ප්රදේශය සොයා ගැනීම සඳහා එක් එක් ක්රමය සලකා බලමු.
එහි පැත්ත භාවිතා කරමින් චතුරස්රයක ප්රදේශය ගණනය කිරීම
a චතුරස්රයේ පැත්තට ඉඩ දෙන්න. චතුරස්රයක සියලුම පැති සමාන බැවින්, චතුරස්රයේ සෑම පැත්තක්ම a ට සමාන වේ. මෙම අවස්ථාවේ දී, සූත්රය භාවිතයෙන් S වර්ග ප්රදේශය ගණනය කළ හැකිය:
S = a * a = a 2 . උදාහරණයක් ලෙස, චතුරස්රයක පැත්ත 5 වීමට ඉඩ දෙන්න, එවිට එහි වර්ගඵලය වනුයේ:
S = 5 2 = 25.
එහි පරිමිතිය භාවිතා කරමින් චතුරස්රයක ප්රදේශය ගණනය කිරීම
P යනු චතුරස්රයේ පරිමිතිය වීමට ඉඩ දෙන්න. පරිමිතිය යනු සියලු පැතිවල එකතුවයි, එවිට P = a + a + a + a = 4 * a. S = a 2 (කලින් ලියා ඇති සූත්‍රයට අනුව) බැවින්, පරිමිතියෙන් ප්රකාශ කළ හැක:
a = P / 4. එවිට S = P 2 / 16. උදාහරණයක් ලෙස, චතුරස්රයක පරිමිතිය 20 ක් බව දන්නා කරුණකි, එවිට ඔබට එහි ප්රදේශය සොයාගත හැකිය: S = 20 2 / 16 = 400 / 16 = 25.
චතුරස්රයක වර්ගඵලය එහි විකර්ණය භාවිතයෙන් ගණනය කිරීම
චතුරස්රයක විකර්ණය එය සමාන සෘජුකෝණාස්රාකාර ත්රිකෝණ දෙකකට බෙදයි. සෘජු ත්රිකෝණවලින් එකක් සලකා බලන්න. එහි පාද a සහ a (චතුරස්රයේ පැති දෙකක්) ට සමාන වන අතර කර්ණය චතුරස්රයේ විකර්ණයට සමාන වේ (d). පයිතගරස් ප්රමේයය භාවිතා කරමින්, අපි උපකල්පනය ගණනය කරමු:
d 2 = a 2 + a 2 ;
d 2 = 2 * a 2;
d = a * √2.
මෙම අවස්ථාවේදී, චතුරස්රයේ ප්රදේශය පහත පරිදි ලියා ඇත: S = d 2/2. උදාහරණයක් ලෙස, චතුරස්රයක විකර්ණය ලබා දී ඇත: d = √18, එවිට චතුරස්රයේ වර්ගඵලය වනුයේ: S = (√18) 2 / 2 = 18 / 2 = 9.
මෙම සියලු සූත්ර වර්ග වර්ග ප්‍රමාණය ගණනය කිරීම සඳහා පහසු වේ.
චතුරස්රයයනු සියලුම කෝණ සහ පැති එකිනෙකට සමාන වන නිත්ය චතුරස්රයකි.
බොහෝ විට මෙම අගය ලෙස සැලකේ විශේෂ නඩුවහෝ . චතුරස්රයක විකර්ණ එකිනෙකට සමාන වන අතර විකර්ණය හරහා චතුරස්රයේ ප්රදේශය සඳහා සූත්රයෙහි භාවිතා වේ.
ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා, විකර්ණ භාවිතා කරමින් චතුරස්රයක ප්රදේශය සඳහා සූත්රය සලකා බලන්න:
එනම්, චතුරස්රයේ ප්රදේශය විකර්ණයේ දිග වර්ග දෙකකින් බෙදීමට සමාන වේ. රූපයේ පැති සමාන බැවින්, ඔබට ප්‍රදේශ සූත්‍රයෙන් විකර්ණයේ දිග ගණනය කළ හැකිය සෘජු ත්රිකෝණයනැතහොත් පයිතගරස් ප්රමේයය මගිනි.
විකර්ණය භාවිතා කරමින් චතුරස්රයක වර්ගඵලය ගණනය කිරීමේ උදාහරණයක් බලමු. විකර්ණ d = 3 cm සහිත චතුරස්රයක් එහි ප්රදේශය ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ. 
විකර්ණ භාවිතයෙන් චතුරස්රයක වර්ගඵලය ගණනය කිරීමේ මෙම උදාහරණය භාවිතා කරමින්, අපට ප්රතිඵලය 4.5 ලැබුණි. 
.
පසෙකින් චතුරස්රයක ප්රදේශය
ඔබට එහි පැත්තෙන් නිත්ය චතුරස්රයක ප්රදේශය ද සොයාගත හැකිය. චතුරස්රයක ප්රදේශය සඳහා සූත්රය ඉතා සරල ය:
චතුරස්රයක ප්රදේශය ගණනය කිරීමේ පෙර උදාහරණයේදී අපි විෂ්කම්භය අනුව අගය ගණනය කළ බැවින්, දැන් අපි පැත්තේ දිග සොයා ගැනීමට උත්සාහ කරමු:
ප්‍රකාශනයට අගය ආදේශ කරමු: 
චතුරස්රයේ පැති දිග සෙන්ටිමීටර 2.1 ක් වනු ඇත.
ඔබට රවුමක කොටා ඇති චතුරස්රයක ප්රදේශය සඳහා සූත්රය ඉතා සරලව භාවිතා කළ හැකිය. 
වටකුරු රවුමේ විෂ්කම්භය චතුරස්රයේ විෂ්කම්භයට සමාන වේ. චතුරස්රයක් සාමාන්‍ය රොම්බස් ලෙස සලකනු ලබන බැවින්, ඔබට රොම්බස් ප්රදේශය ගණනය කිරීම සඳහා සූත්රය භාවිතා කළ හැකිය. එය එහි විකර්ණවල නිෂ්පාදිතයෙන් අඩකට සමාන වේ. චතුරස්රයේ විකර්ණ සමාන වේ, එබැවින් සූත්රය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:
රවුමක කොටා ඇති චතුරස්රයක වර්ගඵලය ගණනය කිරීමේ උදාහරණයක් සලකා බලමු.
රවුමක කොටා ඇති චතුරස්රයක් ලබා දී ඇත. රවුමේ විකර්ණය d = 6 සෙ.මී.
රවුමක විකර්ණය චතුරස්රයක විකර්ණයට සමාන බව අපට මතකයි. චතුරස්රයක වර්ගඵලය එහි විකර්ණ හරහා ගණනය කිරීමේ සූත්‍රයට අපි අගය ආදේශ කරමු: 
චතුරස්රයේ ප්රදේශය 18 කි
පරිමිතිය හරහා චතුරස්රයක ප්රදේශය
සමහර ගැටළු වලදී, කොන්දේසි චතුරස්රයක පරිමිතිය ලබා දෙන අතර එහි ප්රදේශය ගණනය කිරීම අවශ්ය වේ. පරිමිතිය හරහා චතුරස්රයක ප්රදේශය සඳහා සූත්රය පරිමිතියෙහි අගයෙන් ලබා ගනී. පරිමිතියරූපයේ සියලුම පැතිවල දිග එකතුව වේ. මොකද වර්ග 4 සමාන පැති, එවිට එය සමාන වනු ඇත මෙහි සිට අපි සාමාන්‍ය සූත්‍රයට අනුව චතුරස්රයක ප්රදේශය ගණනය කරමු:
එහි පරිමිතිය භාවිතා කරමින් චතුරස්රයක ප්රදේශය ගණනය කිරීමේ උදාහරණයක් බලමු.
