ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය සඳහා සූදානම් වීම. ඝාතීය සමීකරණ

සියලුම නව වීඩියෝ පාඩම් සමඟ යාවත්කාලීනව සිටීමට අපගේ වෙබ් අඩවියේ youtube නාලිකාව වෙත යන්න.

පළමුව, බලයන් සහ ඒවායේ ගුණාංගවල මූලික සූත්ර මතක තබා ගනිමු.

අංකයක නිෂ්පාදනයක් a n වාරයක් සිදු වේ, අපට මෙම ප්‍රකාශය a ... a=a n ලෙස ලිවිය හැක

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m = a n - m

බලය හෝ ඝාතීය සමීකරණ- මේවා විචල්‍යයන් බලවල (හෝ ඝාතක) ඇති සමීකරණ වන අතර පාදය සංඛ්‍යාවක් වේ.

ඝාතීය සමීකරණ සඳහා උදාහරණ:

මෙම උදාහරණයේ දී, අංක 6 යනු පාදම වන අතර, එය සෑම විටම පහළින් ඇති අතර, විචල්යය වේ xඋපාධිය හෝ දර්ශකය.

අපි ඝාතීය සමීකරණ සඳහා තවත් උදාහරණ ලබා දෙමු.
2 x *5=10
16 x - 4 x - 6=0

දැන් අපි බලමු ඝාතීය සමීකරණ විසඳන ආකාරය?

අපි සරල සමීකරණයක් ගනිමු:

2 x = 2 3

මෙම උදාහරණය ඔබේ හිස තුළ පවා විසඳිය හැකිය. x=3 බව දැකිය හැක. සියල්ලට පසු, වම් සහ දකුණු පැති සමාන වීමට නම්, ඔබ x වෙනුවට අංක 3 තැබිය යුතුය.
මෙම තීරණය විධිමත් කරන්නේ කෙසේදැයි දැන් අපි බලමු:

2 x = 2 3
x = 3

එවැනි සමීකරණයක් විසඳීම සඳහා අපි ඉවත් කළා සමාන බිම්(එනම් දෙකක්) ඉතිරි වූ දේ ලියා තැබුවේ ය, මේවා උපාධි ය. අපි සොයන පිළිතුර අපට ලැබුණා.

දැන් අපි අපේ තීරණය සාරාංශ කරමු.

ඝාතීය සමීකරණය විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම:
1. පරීක්ෂා කිරීමට අවශ්යයි සමානසමීකරණයට දකුණේ සහ වමෙහි පාද තිබේද යන්න. හේතු සමාන නොවේ නම්, අපි මෙම උදාහරණය විසඳීමට විකල්ප සොයමින් සිටිමු.
2. පාද සමාන වූ පසු, සමාන කරන්නඅංශක සහ ප්රතිඵලය වන නව සමීකරණය විසඳන්න.

දැන් අපි උදාහරණ කිහිපයක් බලමු:

අපි සරල දෙයකින් පටන් ගනිමු.

වම් සහ දකුණු පැතිවල පාදයන් අංක 2 ට සමාන වේ, එයින් අදහස් කරන්නේ අපට පාදය ඉවත දැමිය හැකි අතර ඒවායේ බලය සමාන කළ හැකිය.

x+2=4 සරලම සමීකරණය ලබා ගනී.
x=4 - 2
x=2
පිළිතුර: x=2

පහත උදාහරණයේ පදනම වෙනස් බව ඔබට පෙනෙනු ඇත: 3 සහ 9.

3 3x - 9 x+8 = 0

පළමුව, නවය දකුණු පැත්තට ගෙන යන්න, අපට ලැබෙන්නේ:

දැන් ඔබට එකම පදනමක් සෑදිය යුතුය. අපි දන්නවා 9=3 2 කියලා. බල සූත්‍රය (a n) m = a nm භාවිතා කරමු.

3 3x = (3 2) x+8

අපට 9 x+8 =(3 2) x+8 =3 2x+16 ලැබේ

3 3x = 3 2x+16 දැන් පැහැදිලියි වම් සහ දකුණු පැති දෙකේ පාද සමාන වන අතර තුනට සමාන වේ, එනම් අපට ඒවා ඉවත දමා අංශක සමාන කළ හැකිය.

3x=2x+16 අපට සරලම සමීකරණය ලැබේ
3x - 2x=16
x=16
පිළිතුර: x=16.

පහත උදාහරණය දෙස බලමු:

2 2x+4 - 10 4 x = 2 4

පළමුවෙන්ම, අපි පදනම්, පාද දෙක සහ හතර දෙස බලමු. ඒවගේම අපිත් ඒවගේම වෙන්න ඕන. අපි (a n) m = a nm සූත්‍රය භාවිතා කරමින් හතර පරිවර්තනය කරමු.

4 x = (2 2) x = 2 2x

තවද අපි එක් සූත්‍රයක් a n a m = a n + m ද භාවිතා කරමු:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

සමීකරණයට එකතු කරන්න:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

අපි එකම හේතු නිසා උදාහරණයක් දුන්නා. නමුත් වෙනත් අංක 10 සහ 24 ඔවුන් සමඟ කුමක් කළ යුතුද? ඔබ සමීපව බැලුවහොත් ඔබට වම් පැත්තේ 2 2x නැවත නැවත ඇති බව ඔබට පෙනේ, මෙන්න පිළිතුර - අපට වරහන් වලින් 2 2x දැමිය හැකිය:

2 2x (2 4 - 10) = 24

වරහන් තුළ ප්‍රකාශනය ගණනය කරමු:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

අපි සම්පූර්ණ සමීකරණය 6 න් බෙදන්නෙමු:

අපි හිතමු 4=2 2:

2 2x = 2 2 පදනම් සමාන වේ, අපි ඒවා ඉවත දමා අංශක සමාන කරමු.
2x = 2 යනු සරලම සමීකරණයයි. එය 2 න් බෙදන්න, අපි ලබා ගනිමු
x = 1
පිළිතුර: x = 1.

අපි සමීකරණය විසඳමු:

9 x – 12*3 x +27= 0

අපි පරිවර්තනය කරමු:
9 x = (3 2) x = 3 2x

අපි සමීකරණය ලබා ගනිමු:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

අපගේ පාදයන් සමාන වේ, මෙම උදාහරණයේ දී, පළමු තුනට දෙවන (පමණක් x) ට වඩා දෙගුණයක් (2x) ඇති බව ඔබට පෙනේ. මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබට විසඳා ගත හැකිය ආදේශන ක්රමය. අපි අංකය කුඩාම උපාධිය සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කරමු:

එවිට 3 2x = (3 x) 2 = t 2

අපි සමීකරණයේ සියලුම x බල t සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කරමු:

t 2 - 12t+27 = 0
අපට චතුරස්රාකාර සමීකරණයක් ලැබේ. වෙනස්කම් කරන්නා හරහා විසඳීම, අපට ලැබෙන්නේ:
D=144-108=36
t 1 = 9
t2 = 3

විචල්‍යය වෙත ආපසු යාම x.

t 1 ගන්න:
t 1 = 9 = 3 x

එබැවින්,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

එක් මූලයක් හමු විය. අපි t 2 සිට දෙවැන්න සොයන්නෙමු:
t 2 = 3 = 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
පිළිතුර: x 1 = 2; x 2 = 1.

වෙබ් අඩවියේ ඔබට උපකාර තීරණය කොටසේ ඇති ඕනෑම ප්‍රශ්නයක් ඇසීමට හැකිය, අපි ඔබට අනිවාර්යයෙන්ම පිළිතුරු දෙන්නෙමු.

කණ්ඩායමට එකතු වන්න

අවසාන පරීක්ෂණය සඳහා සූදානම් වීමේ අදියරේදී, උසස් පාසල් සිසුන් මාතෘකාව පිළිබඳ ඔවුන්ගේ දැනුම වැඩි දියුණු කළ යුතුය. ඝාතීය සමීකරණ" පසුගිය වසරවල අත්දැකීම් පෙන්නුම් කරන්නේ එවැනි කාර්යයන් පාසල් සිසුන්ට යම් යම් දුෂ්කරතා ඇති කරන බවයි. එමනිසා, උසස් පාසැල් සිසුන්, ඔවුන්ගේ සූදානම් වීමේ මට්ටම කුමක් වුවත්, න්යාය හොඳින් ප්රගුණ කිරීම, සූත්ර මතක තබා ගැනීම සහ එවැනි සමීකරණ විසඳීමේ මූලධර්මය අවබෝධ කර ගැනීම අවශ්ය වේ. මෙම ආකාරයේ කාර්යය සමඟ සාර්ථකව කටයුතු කිරීමට ඉගෙන ගත් පසු, උපාධිධාරීන්ට ගණන් ගත හැකි වනු ඇත ඉහළ ලකුණුගණිතයේ ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය සමත් වන විට.

Shkolkovo සමඟ විභාග පරීක්ෂණ සඳහා සූදානම් වන්න!

ඔවුන් ආවරණය කර ඇති ද්රව්ය සමාලෝචනය කරන විට, බොහෝ සිසුන් සමීකරණ විසඳීමට අවශ්ය සූත්ර සොයා ගැනීමේ ගැටලුවට මුහුණ දී සිටිති. පාසල් පෙළ පොතසෑම විටම අත ළඟ නැති අතර, අන්තර්ජාලයේ මාතෘකාවක් පිළිබඳ අවශ්ය තොරතුරු තෝරාගැනීමට බොහෝ කාලයක් ගත වේ.

Shkolkovo අධ්‍යාපනික ද්වාරය අපගේ දැනුම පදනම භාවිතා කිරීමට සිසුන්ට ආරාධනා කරයි. අපි සම්පූර්ණයෙන්ම ක්රියාත්මක කරනවා නව ක්රමයඅවසාන පරීක්ෂණය සඳහා සූදානම් වීම. අපගේ වෙබ් අඩවියේ අධ්‍යයනය කිරීමෙන්, ඔබට දැනුමේ හිඩැස් හඳුනා ගැනීමටත්, වඩාත්ම දුෂ්කරතාවයට හේතු වන එම කාර්යයන් කෙරෙහි අවධානය යොමු කිරීමටත් ඔබට හැකි වේ.

Shkolkovo ගුරුවරුන් සාර්ථක වීමට අවශ්‍ය සියල්ල එකතු කර, ක්‍රමානුකූල කර ඉදිරිපත් කර ඇත ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය සමත් වීමසරලම හා වඩාත්ම ප්රවේශ විය හැකි ආකාරයේ ද්රව්ය.

මූලික නිර්වචන සහ සූත්‍ර "න්‍යායාත්මක පසුබිම" කොටසේ ඉදිරිපත් කෙරේ.

ද්රව්යය වඩා හොඳින් අවබෝධ කර ගැනීම සඳහා, ඔබ පැවරුම් සම්පූර්ණ කිරීමට පුරුදු වන ලෙස අපි නිර්දේශ කරමු. ගණනය කිරීමේ ඇල්ගොරිතම තේරුම් ගැනීම සඳහා මෙම පිටුවේ ඉදිරිපත් කර ඇති විසඳුම් සමඟ ඝාතීය සමීකරණවල උදාහරණ ප්රවේශමෙන් සමාලෝචනය කරන්න. ඊට පසු, "ඩිරෙක්ටරි" කොටසෙහි කාර්යයන් ඉටු කිරීමට ඉදිරියට යන්න. ඔබට පහසුම ගැටළු වලින් ආරම්භ කළ හැකිය, නැතහොත් නොදන්නා කරුණු කිහිපයක් සමඟ සංකීර්ණ ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමට කෙලින්ම යා හැකිය. අපගේ වෙබ් අඩවියේ අභ්‍යාසවල දත්ත සමුදාය නිරන්තරයෙන් පරිපූරක සහ යාවත්කාලීන වේ.

ඔබට දුෂ්කරතා ඇති කළ දර්ශක සහිත එම උදාහරණ "ප්රියතම" වෙත එකතු කළ හැකිය. මේ ආකාරයෙන් ඔබට ඉක්මනින් ඔවුන් සොයා ගැනීමට සහ ඔබේ ගුරුවරයා සමඟ විසඳුම සාකච්ඡා කළ හැකිය.

ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය සාර්ථකව සමත් වීමට, සෑම දිනකම Shkolkovo ද්වාරය මත අධ්යයනය කරන්න!

මෙම පාඩම ඝාතීය සමීකරණ ඉගෙන ගැනීමට පටන් ගන්නා අය සඳහා අදහස් කෙරේ. සෑම විටම මෙන්, අපි අර්ථ දැක්වීම සහ සරල උදාහරණ සමඟ ආරම්භ කරමු.

ඔබ මෙම පාඩම කියවන්නේ නම්, ඔබට දැනටමත් සරලම සමීකරණ - රේඛීය සහ හතරැස්: $56x-11=0$ පිළිබඳ අවම අවබෝධයක් ඇතැයි මම සැක කරමි; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$, ආදිය. දැන් සාකච්ඡා කරනු ලබන මාතෘකාව තුළ "හිරවී" නොසිටීම සඳහා එවැනි ඉදිකිරීම් විසඳීමට හැකි වීම අතිශයින්ම අවශ්ය වේ.

ඉතින්, ඝාතීය සමීකරණ. මම ඔබට උදාහරණ කිහිපයක් දෙන්නම්:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

ඒවායින් සමහරක් ඔබට වඩාත් සංකීර්ණ බවක් පෙනෙන්නට ඇති අතර අනෙක් ඒවා ඊට පටහැනිව ඉතා සරල ය. නමුත් ඒ සියල්ලටම පොදු එක් වැදගත් අංගයක් ඇත: ඒවායේ අංකනය $f\left(x \right)=((a)^(x))$ යන ඝාතීය ශ්‍රිතය අඩංගු වේ. එබැවින්, අපි අර්ථ දැක්වීම හඳුන්වා දෙමු:

ඝාතීය සමීකරණයක් යනු ඝාතීය ශ්‍රිතයක් අඩංගු ඕනෑම සමීකරණයකි, i.e. $((a)^(x))$ ආකෘතියේ ප්‍රකාශනය. නිශ්චිත ශ්‍රිතයට අමතරව, එවැනි සමීකරණවල වෙනත් ඕනෑම වීජීය ඉදිකිරීම් අඩංගු විය හැකිය - බහුපද, මූල, ත්‍රිකෝණමිතිය, ලඝුගණක ආදිය.

හරි එහෙනම්. අපි අර්ථ දැක්වීම නිරාකරණය කර ඇත. දැන් ප්‍රශ්නය: මේ සියල්ල විසඳන්නේ කෙසේද? පිළිතුර සරල හා සංකීර්ණ දෙකම වේ.

අපි ශුභාරංචිය සමඟ ආරම්භ කරමු: බොහෝ සිසුන්ට ඉගැන්වීමේ මගේ අත්දැකීමෙන්, ඔවුන්ගෙන් බොහෝ දෙනෙකුට එකම ලඝුගණකවලට වඩා ඝාතීය සමීකරණ වඩාත් පහසු වන අතර ඊටත් වඩා ත්‍රිකෝණමිතිය සොයා ගන්නා බව මට පැවසිය හැකිය.

නමුත් නරක ආරංචියක් ඇත: සමහර විට සියලු වර්ගවල පෙළපොත් සහ විභාග සඳහා ගැටළු සම්පාදනය කරන්නන් “ආනුභාවයෙන්” පහර දෙන අතර, ඔවුන්ගේ මත්ද්‍රව්‍ය දැවිල්ල ඇති මොළය එවැනි ම්ලේච්ඡ සමීකරණ නිපදවීමට පටන් ගනී, ඒවා විසඳීම සිසුන්ට පමණක් නොව බොහෝ ගුරුවරුන්ට පවා ගැටළු සහගත වේ. එවැනි ගැටළු වලට හසු වන්න.

කෙසේ වෙතත්, කණගාටුදායක දේවල් ගැන කතා නොකරමු. ඒ වගේම අපි කතාව ආරම්භයේදීම ලබා දී ඇති සමීකරණ තුන වෙත ආපසු යමු. අපි ඒවා එක් එක් විසඳීමට උත්සාහ කරමු.

පළමු සමීකරණය: $((2)^(x))=4$. හොඳයි, අංක 4 ලබා ගැනීම සඳහා අංක 2 ඉහළ නැංවීමට ඔබට අවශ්ය බලය කුමක්ද? සමහරවිට දෙවැන්නද? සියල්ලට පසු, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ - සහ අපට නිවැරදි සංඛ්‍යාත්මක සමානාත්මතාවය ලැබුණි, i.e. ඇත්ත වශයෙන්ම $x=2$. හොඳයි, ස්තූතියි, කැප්, නමුත් මෙම සමීකරණය මගේ පූසාට පවා විසඳිය හැකි තරම් සරල විය.

පහත සමීකරණය දෙස බලමු:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

නමුත් මෙන්න එය ටිකක් සංකීර්ණයි. බොහෝ සිසුන් දන්නවා $((5)^(2))=25$ යනු ගුණ කිරීමේ වගුව බව. $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ යනු සෘණ බලවල නිර්වචනයයි ($(a)^(-n))= \ සූත්‍රයට සමාන බව ද සමහරු සැක කරති. frac(1)(((අ)^(n)))$).

අවසාන වශයෙන්, මෙම කරුණු ඒකාබද්ධ කර පහත ප්‍රතිඵල ලබා ගත හැකි බව වටහා ගන්නේ තෝරාගත් කිහිප දෙනෙකුට පමණි:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

මේ අනුව, අපගේ මුල් සමීකරණය පහත පරිදි නැවත ලියනු ලැබේ:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

නමුත් මෙය දැනටමත් සම්පූර්ණයෙන්ම විසඳා ගත හැකිය! සමීකරණයේ වම් පසින් ඝාතීය ශ්‍රිතයක් ඇත, සමීකරණයේ දකුණු පසින් ඝාතීය ශ්‍රිතයක් ඇත, ඒවා හැර වෙන කොහේවත් නැත. එබැවින්, අපට පදනම් "ඉවත දැමීමට" සහ දර්ශක මෝඩ ලෙස සමාන කළ හැකිය:

ඕනෑම සිසුවෙකුට පේළි කිහිපයකින් විසඳිය හැකි සරලම රේඛීය සමීකරණය අප ලබාගෙන ඇත. හරි, පේළි හතරකින්:

\[\begin(align)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\ end(align)\]

අවසාන පේළි හතරේ සිදුවන්නේ කුමක්ද යන්න ඔබට නොතේරෙන්නේ නම්, මාතෘකාවට ආපසු යාමට වග බලා ගන්න " රේඛීය සමීකරණ"සහ එය නැවත කරන්න. මක්නිසාද යත් මෙම මාතෘකාව පිළිබඳ පැහැදිලි අවබෝධයක් නොමැතිව, ඔබට ඝාතීය සමීකරණ ලබා ගැනීමට කල් වැඩිය.

\[((9)^(x))=-3\]

ඉතින් අපි මෙය විසඳන්නේ කෙසේද? පළමු සිතුවිල්ල: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, එබැවින් මුල් සමීකරණය පහත පරිදි නැවත ලිවිය හැක:

\[(\වම(((3)^(2)) \දකුණ))^(x))=-3\]

එවිට අපට මතක ඇති බලයක් බලයකට ඔසවන විට, ඝාතකයන් ගුණ කරනු ලැබේ:

\[((\) 3)^(1))\]

\[\begin(align)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

එවැනි තීරණයක් සඳහා අපට අවංකව ලැබිය යුතු දෙදෙනෙකු ලැබෙනු ඇත. මක්නිසාද යත්, Pokemon එකක සමානාත්මතාවයෙන්, අපි මෙම තිදෙනාගේම බලයට තුනට ඉදිරියෙන් ඇති අඩුපාඩු ලකුණ යැව්වෙමු. නමුත් ඔබට එය කළ නොහැක. සහ මෙන්න ඇයි. තුනේ විවිධ බලයන් දෙස බලන්න:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& ((( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\ end(matrix)\]

මෙම ටැබ්ලටය සම්පාදනය කරන විට, මම හැකි තරම් විකෘති නොකළෙමි: මම ධනාත්මක අංශක, සහ සෘණ සහ භාගික ඒවා පවා සලකා බැලුවෙමි ... හොඳයි, අවම වශයෙන් එකක්වත් තිබේද? සෘණ අංකය? ඔහු ගිහින්! එය එසේ විය නොහැක, මන්ද ඝාතීය ශ්‍රිතය $y=((a)^(x))$, පළමුව, සෑම විටම ධනාත්මක අගයන් පමණක් ගනී (එකක් කොපමණ ගුණ කළත්, දෙකකින් බෙදුවත්, එය තවමත් a වේ. ධන අංකය), සහ දෙවනුව, එවැනි ශ්‍රිතයක පදනම - $a$ - නිර්වචනය අනුව ධන අංකයකි!

හොඳයි, $(9)^(x))=-3$ සමීකරණය විසඳන්නේ කෙසේද? නමුත් ක්රමයක් නැත: මූලයන් නොමැත. මෙම අර්ථයෙන් ගත් කල, ඝාතීය සමීකරණ චතුරස්රාකාර සමීකරණවලට බෙහෙවින් සමාන ය - මූලයන් ද නොතිබිය හැකිය. නමුත් ඇතුලේ නම් චතුරස්රාකාර සමීකරණමුල් ගණන තීරණය වන්නේ වෙනස් කොට සැලකීම (ධන වෙනස් කොට සැලකීම - මූල 2, සෘණ - මුල් නැත), එවිට ඝාතීය වලදී සෑම දෙයක්ම සමාන ලකුණේ දකුණට ඇති දේ මත රඳා පවතී.

මේ අනුව, අපි ප්‍රධාන නිගමනය සකස් කරමු: $((a)^(x))=b$ පෝරමයේ සරලම ඝාතීය සමීකරණයට මූලයක් ඇත්තේ නම් සහ $b \gt 0$ නම් පමණි. මෙම සරල කරුණ දැන ගැනීමෙන්, ඔබට යෝජනා කරන ලද සමීකරණයට මූලයන් තිබේද නැද්ද යන්න පහසුවෙන් තීරණය කළ හැකිය. ඒ. එය කිසිසේත් විසඳීම වටී ද නැතහොත් මූලයන් නොමැති බව වහාම ලිවීම වටී.

අපට වැඩිපුර තීරණය කිරීමට සිදු වූ විට මෙම දැනුම බොහෝ විට අපට උපකාරී වනු ඇත සංකීර්ණ කාර්යයන්. දැනට, ප්‍රමාණවත් ගී පද - ඝාතීය සමීකරණ විසඳීම සඳහා මූලික ඇල්ගොරිතම අධ්‍යයනය කිරීමට කාලයයි.

ඝාතීය සමීකරණ විසඳන්නේ කෙසේද?

ඉතින්, අපි ගැටලුව සකස් කරමු. ඝාතීය සමීකරණය විසඳීම අවශ්ය වේ:

\[((අ)^(x))=b,\quad a,b \gt 0\]

අප කලින් භාවිතා කළ "අමුතු" ඇල්ගොරිතමයට අනුව, $b$ අංකය $a$ හි බලයක් ලෙස නිරූපණය කිරීම අවශ්‍ය වේ:

ඊට අමතරව $x$ විචල්‍යය වෙනුවට කිසියම් ප්‍රකාශනයක් තිබේ නම්, අපට දැනටමත් විසඳිය හැකි නව සමීකරණයක් ලැබෙනු ඇත. උදාහරණ වශයෙන්:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2) \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]

පුදුමයට කරුණක් නම්, මෙම යෝජනා ක්‍රමය 90% ක් පමණ ක්‍රියාත්මක වේ. එවිට ඉතිරි 10% ගැන කුමක් කිව හැකිද? ඉතිරි 10% තරමක් "භින්නෝන්මාද" ඝාතීය සමීකරණ වේ:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

හොඳයි, 3 ලබා ගැනීමට 2 වැඩි කිරීමට ඔබට අවශ්ය බලය කුමක්ද? මුලින්ම? නමුත් නැත: $((2)^(1))=2$ ප්‍රමාණවත් නොවේ. දෙවනුව? එක්කෝ නැහැ: $((2)^(2))=4$ වැඩියි. එතකොට කොයි එකද?

දැනුමැති සිසුන් දැනටමත් අනුමාන කර ඇත: එවැනි අවස්ථාවන්හිදී, එය "ලස්සන ලෙස" විසඳීමට නොහැකි වූ විට, "බර කාලතුවක්කු" - ලඝුගණක - ක්රියාත්මක වේ. ලඝුගණක භාවිතයෙන් ඕනෑම ධන සංඛ්‍යාවක් වෙනත් ඕනෑම බලයක් ලෙස නිරූපණය කළ හැකි බව මම ඔබට මතක් කරමි ධනාත්මක අංකය(එකක් හැර):

මේ සූත්‍රය මතකද? මම ලඝුගණක ගැන මගේ සිසුන්ට පවසන විට, මම නිතරම අනතුරු අඟවන්නෙමි: මෙම සූත්‍රය (එය ප්‍රධාන ලඝුගණක අනන්‍යතාවය හෝ, ඔබ කැමති නම්, ලඝුගණකයේ නිර්වචනය ද වේ) ඉතා දිගු කාලයක් ඔබව හොල්මන් කරන අතර බොහෝ දුරට “උත්පත්ති” කරනු ඇත. අනපේක්ෂිත ස්ථාන. හොඳයි, ඇය මතු වුණා. අපගේ සමීකරණය සහ මෙම සූත්‍රය දෙස බලමු:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\ end(align) \]

අපි උපකල්පනය කරන්නේ නම් $a=3$ යනු දකුණු පස ඇති අපගේ මුල් අංකය වන අතර $b=2$ යනු ඉතා පාදම වේ. ඝාතීය ශ්රිතය, අපට දකුණු පස අඩු කිරීමට අවශ්‍ය, අපට පහත දේ ලැබේ:

\[\begin(align)& a=((b)^((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rightarrow x=( (\log )_(2))3. \\\අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]

අපිට ටිකක් අමුතු පිළිතුරක් ලැබුණා: $x=((\log )_(2))3$. වෙනත් කාර්යයකදී, බොහෝ දෙනෙකුට එවැනි පිළිතුරක් සමඟ සැකයක් ඇති වන අතර ඔවුන්ගේ විසඳුම දෙවරක් පරීක්ෂා කිරීමට පටන් ගනී: කොහේ හරි දෝෂයක් රිංගා ඇත්නම් කුමක් කළ යුතුද? මම ඔබව සතුටු කිරීමට ඉක්මන් වෙමි: මෙහි කිසිදු දෝෂයක් නොමැති අතර, ඝාතීය සමීකරණවල මූලයන් හි ලඝුගණක සම්පූර්ණයෙන්ම සාමාන්‍ය තත්වයකි. ඒ නිසා පුරුදු වෙන්න.

දැන් අපි ඉතිරි සමීකරණ දෙක ප්‍රතිසමයෙන් විසඳමු:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=(4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]

ඒක තමයි! මාර්ගය වන විට, අවසාන පිළිතුර වෙනස් ලෙස ලිවිය හැකිය:

අපි ලඝුගණකයේ තර්කයට සාධකයක් හඳුන්වා දුන්නෙමු. නමුත් මෙම සාධකය පදනමට එකතු කිරීමෙන් කිසිවෙකු අපව වළක්වන්නේ නැත:

එපමණක් නොව, විකල්ප තුනම නිවැරදියි - ඒවා එකම අංකයක් ලිවීමේ විවිධ ආකාරයන් පමණි. මෙම විසඳුමේ තෝරා ගැනීමට සහ ලිවීමට කුමන එකක්ද යන්න තීරණය කිරීම ඔබ සතුය.

මේ අනුව, $a$ සහ $b$ යන සංඛ්‍යා දැඩි ලෙස ධන වන $((a)^(x))=b$ ආකාරයේ ඕනෑම ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමට අපි ඉගෙන ගත්තෙමු. කෙසේ වෙතත්, අපේ ලෝකයේ කටුක යථාර්ථය නම්, එවැනි සරල කාර්යයන් ඉතා කලාතුරකින් හමු වනු ඇත. බොහෝ විට ඔබට මෙවැනි දෙයක් හමුවනු ඇත:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]

ඉතින් අපි මෙය විසඳන්නේ කෙසේද? මෙය කිසිසේත් විසඳිය හැකිද? සහ එසේ නම්, කෙසේද?

සංත්‍රාසයට පත් නොවන්න. මෙම සියලු සමීකරණ ඉක්මනින් හා පහසුවෙන් අප දැනටමත් සලකා බැලූ සරල සූත්‍රවලට අඩු කරයි. ඔබට වීජ ගණිත පාඨමාලාවේ උපක්‍රම කිහිපයක් මතක තබා ගත යුතුය. ඇත්ත වශයෙන්ම, උපාධි සමඟ වැඩ කිරීම සඳහා නීති නොමැත. මම දැන් මේ සියල්ල ගැන කියන්නම්.

ඝාතීය සමීකරණ පරිවර්තනය කිරීම

මතක තබා ගත යුතු පළමු දෙය: ඕනෑම ඝාතීය සමීකරණයක්, එය කොතරම් සංකීර්ණ වුවත්, එක් ආකාරයකින් හෝ වෙනත් සරලම සමීකරණවලට අඩු කළ යුතුය - අප දැනටමත් සලකා බැලූ සහ විසඳිය යුතු ආකාරය අපි දන්නා ඒවා. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ඕනෑම ඝාතීය සමීකරණයක් විසඳීමේ යෝජනා ක්‍රමය මේ ආකාරයෙන් පෙනේ:

මුල් සමීකරණය ලියන්න. උදාහරණයක් ලෙස: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
අමුතු ජරාවක් කරන්න. එසේත් නැතිනම් "සමීකරණයක් පරිවර්තනය කිරීම" යනුවෙන් හැඳින්වෙන සමහර ජරාවක් පවා;
ප්‍රතිදානයේදී, $((4)^(x))=4$ පෝරමයේ සරලම ප්‍රකාශන හෝ එවැනි වෙනත් දෙයක් ලබා ගන්න. එපමනක් නොව, එක් ආරම්භක සමීකරණයක් එකවර එවැනි ප්රකාශන කිහිපයක් ලබා දිය හැක.

පළමු කරුණ සමඟ සියල්ල පැහැදිලිය - මගේ බළලාට පවා කඩදාසි කැබැල්ලක සමීකරණය ලිවිය හැකිය. තුන්වන කරුණ ද අඩු වැඩි වශයෙන් පැහැදිලි බව පෙනේ - ඉහත එවැනි සමීකරණ සමූහයක් අප දැනටමත් විසඳා ඇත.

නමුත් දෙවන කරුණ ගැන කුමක් කිව හැකිද? කුමන ආකාරයේ පරිවර්තනයන් ද? කුමක් බවට පරිවර්තනය කරන්නද? සහ කෙසේද?

හොඳයි, අපි එය තේරුම් ගනිමු. පළමුවෙන්ම, මම පහත සඳහන් කරුණු සටහන් කිරීමට කැමැත්තෙමි. සියලුම ඝාතීය සමීකරණ වර්ග දෙකකට බෙදා ඇත:

සමීකරණය එකම පාදයක් සහිත ඝාතීය ශ්‍රිත වලින් සමන්විත වේ. උදාහරණය: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
සූත්‍රයේ විවිධ පදනම් සහිත ඝාතීය ශ්‍රිත අඩංගු වේ. උදාහරණ: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ සහ $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=$0.09.

පළමු වර්ගයේ සමීකරණ සමඟ ආරම්භ කරමු - ඒවා විසඳීමට පහසුම වේ. ඒවා විසඳීමේදී, ස්ථායී ප්‍රකාශන උද්දීපනය කිරීම වැනි තාක්‍ෂණයකින් අපට උපකාර වනු ඇත.

ස්ථාවර ප්රකාශනයක් හුදකලා කිරීම

අපි නැවතත් මෙම සමීකරණය දෙස බලමු:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

අපි දකින්නේ කුමක්ද? සතර විවිධ මට්ටම්වලට නංවා ඇත. නමුත් මෙම සියලු බලයන් වෙනත් අංක සමඟ $x$ විචල්‍යයේ සරල එකතුවකි. එබැවින්, උපාධි සමඟ වැඩ කිරීමේ නීති මතක තබා ගැනීම අවශ්ය වේ:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((අ)^(x-y))=((අ)^(x)):((අ)^(y))=\frac((((අ)^(x)))(((අ) )^(y))). \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]

සරලව කිවහොත්, එකතු කිරීම බලවල නිෂ්පාදනයක් බවට පරිවර්තනය කළ හැකි අතර අඩු කිරීම පහසුවෙන් බෙදීම බවට පරිවර්තනය කළ හැකිය. අපගේ සමීකරණයෙන් අංශක වලට මෙම සූත්‍ර යෙදීමට උත්සාහ කරමු:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=(4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]

මෙම කරුණ සැලකිල්ලට ගනිමින් මුල් සමීකරණය නැවත ලියමු, ඉන්පසු වම් පස ඇති සියලුම නියමයන් එකතු කරමු:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -11; \\& (((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]

පළමු පද හතරේ $((4)^(x))$ මූලද්‍රව්‍යය අඩංගු වේ - අපි එය වරහනෙන් ඉවත් කරමු:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \දකුණ)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]

සමීකරණයේ දෙපැත්තම $-\frac(11)(4)$ කොටසින් බෙදීමට ඉතිරිව ඇත, i.e. අත්‍යවශ්‍යයෙන්ම ප්‍රතිලෝම භාගයෙන් ගුණ කරන්න - $-\frac(4)(11)$. අපට ලැබෙන්නේ:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \දකුණ )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& (((4)^(x))=((4)^(1)); \\& x=1. \\\අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]

ඒක තමයි! අපි මුල් සමීකරණය එහි සරලම ස්වරූපයට අඩු කර අවසාන පිළිතුර ලබා ගත්තෙමු.

ඒ අතරම, විසඳීමේ ක්‍රියාවලියේදී අපි $((4)^(x))$ යන පොදු සාධකය සොයා ගත්තෙමු (සහ එය වරහනෙන් පවා ඉවත් කළෙමු) - මෙය ස්ථායී ප්‍රකාශනයකි. එය නව විචල්‍යයක් ලෙස නම් කළ හැකිය, නැතහොත් ඔබට එය ප්‍රවේශමෙන් ප්‍රකාශ කර පිළිතුර ලබා ගත හැකිය. ඕනෑම අවස්ථාවක, විසඳුමේ ප්රධාන මූලධර්මය පහත පරිදි වේ:

සියලුම ඝාතීය ශ්‍රිත වලින් පහසුවෙන් වෙන්කර හඳුනාගත හැකි විචල්‍යයක් අඩංගු ස්ථායී ප්‍රකාශනයක් මුල් සමීකරණයේ සොයන්න.

ශුභාරංචිය නම් සෑම ඝාතීය සමීකරණයක්ම පාහේ ඔබට එවැනි ස්ථායී ප්‍රකාශනයක් හුදකලා කිරීමට ඉඩ සලසයි.

නමුත් නරක ආරංචිය නම් මෙම ප්‍රකාශන තරමක් උපක්‍රමශීලී විය හැකි අතර හඳුනා ගැනීමට තරමක් අපහසු විය හැකි බවයි. එබැවින් අපි තවත් එක් ගැටළුවක් දෙස බලමු:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

සමහර විට දැන් යමෙකුට ප්‍රශ්නයක් තිබේ: “පාෂා, ඔබ ගල් ගැසී තිබේද? මෙහි විවිධ පදනම් ඇත - 5 සහ 0.2. නමුත් බලය 0.2 පාදයට පරිවර්තනය කිරීමට උත්සාහ කරමු. උදාහරණයක් ලෙස, එය සාමාන්‍ය එකකට අඩු කිරීමෙන් දශම භාගය ඉවත් කරමු:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=(\left(\frac(2)(10) ) \දකුණ))^(-\left(x+1 \right)))=(\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

ඔබට පෙනෙන පරිදි, හරය තුළ වුවද අංක 5 තවමත් දර්ශනය විය. ඒ සමගම, දර්ශකය සෘණ ලෙස නැවත ලියා ඇත. දැන් අපි උපාධි සමඟ වැඩ කිරීම සඳහා වඩාත් වැදගත් නීති වලින් එකක් මතක තබා ගනිමු:

\[((අ)^(-n))=\frac(1)(((අ)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \දකුණ))^( -\left(x+1 \right)))=(\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

මෙන්න, ඇත්තෙන්ම, මම ටිකක් බොරු කිව්වා. සම්පූර්ණ අවබෝධයක් සඳහා, ඍණාත්මක දර්ශක ඉවත් කිරීමේ සූත්රය මෙසේ ලිවිය යුතුය:

\[((අ)^(-n))=\frac(1)(((අ)^(n)))=(\වම(\frac(1)(අ) \දකුණ))^(n) ))\Rightarrow ((\ left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=(\left(\frac(5)(1) \ දකුණ))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

අනෙක් අතට, භාග සමඟ වැඩ කිරීමෙන් කිසිවක් අපට බාධා කළේ නැත:

\[((\frac(1)(5) \දකුණ))^(-\left(x+1 \right)))=(\left(((5)^(-1)) \ දකුණ))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

නමුත් මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබට වෙනත් බලයකට බලයක් ඉහළ නැංවීමට හැකි විය යුතුය (මම ඔබට මතක් කර දෙන්න: මෙම අවස්ථාවේදී, දර්ශක එකට එකතු වේ). නමුත් මට භාග "ආපසු හැරවීමට" සිදු නොවීය - සමහර විට මෙය සමහරුන්ට පහසු වනු ඇත.

ඕනෑම අවස්ථාවක, මුල් ඝාතීය සමීකරණය මෙසේ නැවත ලියනු ලැබේ:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]

එබැවින් මුල් සමීකරණය කලින් සලකා බැලූ එකට වඩා සරලව විසඳිය හැකි බව පෙනේ: මෙහිදී ඔබට ස්ථාවර ප්‍රකාශනයක් තෝරා ගැනීමට පවා අවශ්‍ය නැත - සියල්ල තනිවම අඩු කර ඇත. අපට ලැබෙන $1=((5)^(0))$ බව මතක තබා ගැනීමට පමණක් ඉතිරිව ඇත:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\& x+2=0; \\& x=-2. \\\අවසන් (පෙළගැසෙන්න)\]

ඒක තමයි විසඳුම! අපට අවසාන පිළිතුර ලැබුණි: $x=-2$. ඒ අතරම, අප සඳහා සියලු ගණනය කිරීම් බෙහෙවින් සරල කළ එක් තාක්ෂණයක් සටහන් කිරීමට මම කැමැත්තෙමි:

ඝාතීය සමීකරණවලදී, ඉවත් කිරීමට වග බලා ගන්න දශම, ඒවා සාමාන්‍ය ඒවා බවට පරිවර්තනය කරන්න. මෙය ඔබට එකම අංශක පාදයන් දැකීමට සහ විසඳුම බෙහෙවින් සරල කිරීමට ඉඩ සලසයි.

අපි දැන් තවත් ඉදිරියට යමු සංකීර්ණ සමීකරණ, උපාධි භාවිතයෙන් එකිනෙකාට කිසිසේත් අඩු කළ නොහැකි විවිධ පාද ඇති.

උපාධි දේපල භාවිතා කිරීම

අපට තවත් විශේෂයෙන් දරුණු සමීකරණ දෙකක් ඇති බව මම ඔබට මතක් කරමි:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09. \\\අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]

මෙහි ඇති ප්‍රධාන දුෂ්කරතාවය වන්නේ කුමක් දිය යුතුද සහ කුමන පදනමක් මතද යන්න පැහැදිලි නොවීමයි. කොහෙද ප්රකාශන සකසන්න? එකම බිම් කොහෙද? මේ කිසිවක් නැත.

නමුත් අපි වෙනස් ආකාරයකින් යාමට උත්සාහ කරමු. සූදානම් කළ සමාන පදනමක් නොමැති නම්, පවතින පාදයන් සාධක කිරීමෙන් ඔබට ඒවා සොයා ගැනීමට උත්සාහ කළ හැකිය.

පළමු සමීකරණයෙන් පටන් ගනිමු:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot((3)^(3x)). \\\අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]

නමුත් ඔබට ප්‍රතිවිරුද්ධ දෙය කළ හැකිය - අංක 7 සහ 3 වලින් අංක 21 කරන්න. අංශක දෙකෙහිම දර්ශක සමාන බැවින් මෙය වම් පසින් කිරීම විශේෂයෙන් පහසුය:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6 ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]

ඒක තමයි! ඔබ නිෂ්පාදනයෙන් පිටත ඝාතකය ගෙන වහාම පේළි කිහිපයකින් විසඳිය හැකි අලංකාර සමීකරණයක් ලබා ගත්තා.

දැන් අපි දෙවන සමීකරණය දෙස බලමු. මෙහි සෑම දෙයක්ම වඩා සංකීර්ණයි:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2.7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \දකුණ))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

මෙම අවස්ථාවේ දී, භාග අඩු කළ නොහැකි බවට පත් විය, නමුත් යමක් අඩු කළ හැකි නම්, එය අඩු කිරීමට වග බලා ගන්න. බොහෝ විට, ඔබට දැනටමත් වැඩ කළ හැකි සිත්ගන්නා හේතු දිස්වනු ඇත.

අවාසනාවකට මෙන්, අප වෙනුවෙන් විශේෂ කිසිවක් දර්ශනය නොවීය. නමුත් නිෂ්පාදනයේ වම් පස ඇති ඝාතකයන් ප්‍රතිවිරුද්ධ බව අපට පෙනේ:

මම ඔබට මතක් කර දෙන්නම්: දර්ශකයේ us ණ ලකුණ ඉවත් කිරීමට, ඔබට අවශ්‍ය වන්නේ භාගය “පෙරළීම” පමණි. හොඳයි, අපි මුල් සමීකරණය නැවත ලියමු:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \දකුණ))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\ වම(\frac(1000)(27) \දකුණ))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]

දෙවන පේළියේ, අපි $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a) යන රීතියට අනුව වරහනෙන් භාණ්ඩයේ සම්පූර්ණ ඝාතකය ලබා ගත්තෙමු. \cdot b \right))^ (x))$, සහ අවසාන එකේ ඔවුන් සරලව 100 අංකය භාගයකින් ගුණ කළා.

දැන් වම් පසින් (පාදමෙහි) සහ දකුණු පසෙහි සංඛ්යා තරමක් සමාන බව සලකන්න. කෙසේද? ඔව්, එය පැහැදිලිය: ඒවා එකම අංකයක බලයන් වේ! අපිට තියෙනවා:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=(\left(\frac( 10)(3) \දකුණ))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=(\left(\frac(3)(10) \දකුණ))^(2)). \\\අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]

මේ අනුව, අපගේ සමීකරණය පහත පරිදි නැවත ලියනු ලැබේ:

\[(\left((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=(\left(\frac(3) )(10)\දකුණ))^(2))\]

\[(\left((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=(\left(\frac(10) )(3) \දකුණ))^(3\වම(x-1 \දකුණ)))=(\වම(\frac(10)(3) \දකුණ))^(3x-3))\]

මෙම අවස්ථාවේ දී, දකුණු පසින් ඔබට එකම පදනමක් සහිත උපාධියක් ද ලබා ගත හැකිය, ඒ සඳහා භාගය සරලව “හැරීමට” ප්‍රමාණවත් වේ:

\[((\ වම(\frac(3)(10) \දකුණ))^(2))=(\වම(\frac(10)(3) \දකුණ))^(-2))\]

අපගේ සමීකරණය අවසානයේ ස්වරූපය ගනී:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(10)(3) \දකුණ))^(3x-3))=(\left(\frac(10)(3) \දකුණ)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\අවසන්(පෙළගැසෙන්න)\]

ඒක තමයි විසඳුම. ඔහුගේ ප්‍රධාන අදහස වන්නේ විවිධ පදනමකින් වුවද, අපි මෙම පදනම් එකම දෙයකට අඩු කිරීමට කොක්කෙන් හෝ වංචාවෙන් උත්සාහ කරමු. බලතල සමඟ වැඩ කිරීම සඳහා සමීකරණ සහ රීතිවල මූලික පරිවර්තනයන් මේ සඳහා අපට උපකාරී වේ.

නමුත් කුමන නීති සහ භාවිතා කළ යුතුද? එක් සමීකරණයකදී දෙපැත්තම යම් දෙයකින් බෙදිය යුතු බවත්, තවත් සමීකරණයකදී ඝාතීය ශ්‍රිතයේ පාදය සාධක කළ යුතු බවත් ඔබ තේරුම් ගන්නේ කෙසේද?

මෙම ප්රශ්නයට පිළිතුර අත්දැකීමෙන් ලැබෙනු ඇත. ප්‍රථමයෙන් සරල සමීකරණ වෙත ඔබේ අත උත්සාහ කරන්න, පසුව ක්‍රමයෙන් ගැටළු සංකීර්ණ කරන්න - සහ ඉතා ඉක්මනින් ඔබේ කුසලතා එකම ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාගයකින් හෝ ස්වාධීන/පරීක්ෂණ කාර්යයකින් ඕනෑම ඝාතීය සමීකරණයක් විසඳීමට ප්‍රමාණවත් වනු ඇත.

මෙම දුෂ්කර කාරණයේදී ඔබට උපකාර කිරීම සඳහා, සමීකරණ කට්ටලයක් බාගත කිරීමට මම යෝජනා කරමි ස්වාධීන තීරණය. සියලුම සමීකරණ වලට පිළිතුරු ඇත, එබැවින් ඔබට සැමවිටම ඔබම පරීක්ෂා කර බැලිය හැක.

පොදුවේ, මම ඔබට සාර්ථක පුහුණුවක් ප්රාර්ථනා කරමි. ඊළඟ පාඩමෙන් ඔබව හමුවෙමු - එහිදී අපි ඉහත විස්තර කර ඇති ක්‍රම තවදුරටත් ප්‍රමාණවත් නොවන සංකීර්ණ ඝාතීය සමීකරණ විශ්ලේෂණය කරන්නෙමු. සරල පුහුණුවක් ද ප්රමාණවත් නොවේ.

ආපසු ඉදිරියට

අවධානය! විනිවිදක පෙරදසුන් තොරතුරු අරමුණු සඳහා පමණක් වන අතර ඉදිරිපත් කිරීමේ සියලුම විශේෂාංග නියෝජනය නොකළ හැකිය. ඔබ මෙම කාර්යයට කැමති නම්, කරුණාකර සම්පූර්ණ අනුවාදය බාගත කරන්න.

පාඩම් වර්ගය

: “ඝාතීය සමීකරණ සහ ඒවා විසඳීමේ ක්‍රම” යන මාතෘකාව යටතේ දැනුම, කුසලතා සහ හැකියාවන් සාමාන්‍යකරණය සහ සංකීර්ණ ලෙස භාවිතා කිරීම පිළිබඳ පාඩම.

පාඩම් අරමුණු.

අධ්යාපනික:
"ඝාතීය සමීකරණ, ඒවායේ විසඳුම්" යන මාතෘකාවේ ප්රධාන ද්රව්ය පුනරුච්චාරණය කිරීම සහ ක්රමවත් කිරීම; විවිධ වර්ගවල ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමේදී සුදුසු ඇල්ගොරිතම භාවිතා කිරීමේ හැකියාව තහවුරු කිරීම; ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය සඳහා සූදානම් වීම.
අධ්යාපනික:
සිසුන්ගේ තාර්කික සහ ආශ්රිත චින්තනය වර්ධනය කිරීම; දැනුම ස්වාධීනව භාවිතා කිරීමේ කුසලතා වර්ධනය ප්රවර්ධනය කිරීම.
අධ්යාපනික:
සමීකරණ විසඳීමේදී කැපවීම, අවධානය සහ නිරවද්‍යතාවය වර්ධනය කරන්න.

උපකරණ:

පරිගණක සහ බහුමාධ්‍ය ප්‍රොජෙක්ටරය.

පන්තියේ භාවිතා වේ තොරතුරු තාක්ෂණය : ක්රමවේද සහායපාඩමට - Microsoft Power Point හි ඉදිරිපත් කිරීම.

පාඩමේ ප්‍රගතිය

සෑම කුසලතාවයක්ම වෙහෙස මහන්සි වී වැඩ කරයි

අයි. පාඩම් ඉලක්කයක් සැකසීම(විනිවිදක අංක 2 )

මෙම පාඩමේදී, අපි "ඝාතීය සමීකරණ, ඒවායේ විසඳුම්" යන මාතෘකාව සාරාංශ කර සාමාන්යකරණය කරමු. අපි සාමාන්‍ය දේ සමඟ දැන හඳුනා ගනිමු ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාග පැවරුම්මෙම මාතෘකාව මත විවිධ වසර.

ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමේ ගැටළු ඒකාබද්ධ රාජ්‍ය විභාග කාර්යයන්හි ඕනෑම කොටසකින් සොයාගත හැකිය. කොටසේ " IN" සාමාන්යයෙන් ඔවුන් සරලම ඝාතීය සමීකරණ විසඳීමට ඉදිරිපත් කරයි. කොටසේ " සමග" ඔබට වඩාත් සංකීර්ණ ඝාතීය සමීකරණ සොයාගත හැකිය, එහි විසඳුම සාමාන්යයෙන් කාර්යය සම්පූර්ණ කිරීමේ එක් අදියරකි.

උදාහරණ වශයෙන් ( විනිවිදක අංක 3 ).

ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය - 2007

Q 4 - ප්රකාශනයේ විශාලතම අගය සොයන්න x y, කොහෙද ( X; දී) - පද්ධතියේ විසඳුම:

ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය - 2008

Q 1 - සමීකරණ විසඳන්න:

A) X 6 3X – 36 6 3X = 0;

ආ) 4 X +1 + 8 4X= 3.

ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය - 2009

Q 4 - ප්රකාශනයේ තේරුම සොයන්න x + y, කොහෙද ( X; දී) - පද්ධතියේ විසඳුම:

ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය - 2010

– සමීකරණය විසඳන්න: 7 X– 2 = 49. - සමීකරණයේ මූලයන් සොයන්න: 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X – 1 = 0. - සමීකරණ පද්ධතිය විසඳන්න:

II. මූලික දැනුම යාවත්කාලීන කිරීම. පුනරාවර්තනය

(විනිවිදක අංක 4 - 6 පාඩම සඳහා ඉදිරිපත් කිරීම්)

තිරය මත පෙන්වයි න්‍යායාත්මක ද්‍රව්‍යවල පසුබිම් සාරාංශය මාතෘකාව මත.

පහත සඳහන් ගැටළු සාකච්ඡා කෙරේ:

කුමන සමීකරණ ලෙස හැඳින්වේ ඇඟවුම් කරන?
ඒවා විසඳීමට ප්රධාන ක්රම නම් කරන්න. ඔවුන්ගේ වර්ග සඳහා උදාහරණ දෙන්න ( විනිවිදක අංක 4 )

(එක් එක් ක්‍රමය සඳහා යෝජිත සමීකරණ ස්වාධීනව විසඳා ස්ලයිඩය භාවිතයෙන් ස්වයං පරීක්ෂණයක් කරන්න)

පෝරමයේ සරල ඝාතීය සමීකරණ විසඳන විට භාවිතා කරන ප්‍රමේයය: සහ f(x) = a g(x) ?
ඝාතීය සමීකරණ විසඳීම සඳහා පවතින වෙනත් ක්‍රම මොනවාද? ( ස්ලයිඩ අංක 5 )

සාධකකරණ ක්රමය

සමජාතීය ඝාතීය සමීකරණ විසඳන විට ශුන්‍ය හැර වෙනත් ඝාතීය ප්‍රකාශනයකින් බෙදීමේ ක්‍රමය (ගුණ කිරීම)

උපදෙස්:

ඝාතීය සමීකරණ විසඳන විට, සමීකරණයේ දෙපසම එකම පාද සහිත බලතල ලබා ගනිමින් ප්රථමයෙන් පරිවර්තනයන් සිදු කිරීම ප්රයෝජනවත් වේ.

පසු විවරණ සමඟ අවසන් ක්රම දෙක භාවිතා කරමින් සමීකරණ විසඳීම

(විනිවිදක අංක 6 ).

. 4 X+ 1 – 2 4 X– 2 = 124, 4 X– 2 (4 3 - 2) = 124, 4 X– 2 62 = 124,

4 X– 2 = 2, 4 X– 2 = 4 0,5 , X– 2 = 0,5, x = 2,5 .

2 2 2x - 3 2 X 5X - 5 5 2X= 0¦: 5 2 X 0,

2 (2/5) 2х - 3 (2/5) X - 5 = 0,

t = (2/5) x, ටී > 0, 2ටී 2 - 3t- 5 = 0,ටී= -1(?...), t = 5/2; 5/2 = (2/5) x, X= ?...

III. ඒකාබද්ධ රාජ්ය විභාගය 2010 කාර්යයන් විසඳීම

විසඳුම සඳහා උපදෙස් භාවිතා කරමින්, විනිවිදක අංක 3 හි පාඩම ආරම්භයේ දී යෝජනා කරන ලද කාර්යයන් සිසුන් ස්වාධීනව විසඳා, විසඳීමේ ප්‍රගතිය පරීක්ෂා කර ඉදිරිපත් කිරීමක් භාවිතයෙන් ඒවාට පිළිතුරු සපයයි ( ස්ලයිඩ අංක 7) කාර්යය අතරතුර, විකල්ප සහ විසඳුම් සාකච්ඡා කරනු ලබන අතර, විසඳුමේ ඇති විය හැකි දෝෂ කෙරෙහි අවධානය යොමු කෙරේ.

: a) 7 X– 2 = 49, b) (1/6) 12 - 7 x = 36. පිළිතුර: A) X= 4, ආ) X = 2. : 4 X 2 + 3X – 2 - 0,5 2x2 + 2X– 1 = 0. (0.5 = 4 – 0.5 මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැක)

විසඳුම. ,

X 2 + 3X – 2 = -X 2 - 4X + 0,5 …

පිළිතුර: X= -5/2, X = 1/2.

: 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y, cos දී y< 0.

විසඳුම සඳහා උපදෙස්

. 5 5 tg y+ 4 = 5 -tg y¦ 5 tg y 0,

5 5 2 ග්රෑම් y+ 4 5 tg y - 1 = 0. ඉඩ දෙන්න X= 5 tg y , …

5 tg y = -1 (?...), 5 tg y= 1/5.

tg සිට y= -1 සහ පිරිවැය y< 0, පසුව දී II සම්බන්ධීකරණ කාර්තුව

පිළිතුර: දී= 3/4 + 2කේ, කේ එන්.

IV. මණ්ඩලයේ කණ්ඩායම් වැඩ

ඉහළ මට්ටමේ පුහුණු කාර්යයක් සලකා බලනු ලැබේ - ස්ලයිඩ අංක 8. මෙම විනිවිදකයේ ආධාරයෙන්, ගුරුවරයා සහ සිසුන් අතර සංවාදයක් ඇති වන අතර, විසඳුමක් සංවර්ධනය කිරීමට පහසුකම් සපයයි.

- කුමන පරාමිතියකින්ද ඒ සමීකරණය 2 2 X – 3 2 X + ඒ 2 – 4ඒ= 0 ට මූල දෙකක් තිබේද?

ඉඩ දෙන්න ටී= 2 X, කොහෙද ටී > 0 . අපිට ලැබෙනවා ටී 2 – 3ටී + (ඒ 2 – 4ඒ) = 0 .

1) සමීකරණයට මූලයන් දෙකක් ඇති බැවින්, D > 0;

2) මොකද ටී 1,2 > 0, එවිට ටී 1 ටී 2 > 0, එනම් ඒ 2 – 4ඒ> 0 (?...).

පිළිතුර: ඒ(- 0.5; 0) හෝ (4; 4.5).

V. පරීක්ෂණ වැඩ

(ස්ලයිඩ අංක 9 )

සිසුන් ඉටු කරයි පරීක්ෂණ කටයුතුකඩදාසි කැබලි මත, ඉදිරිපත් කිරීමක් භාවිතයෙන් සිදු කරන ලද කාර්යය ස්වයං-අධීක්ෂණය සහ ස්වයං-ඇගයීම, මාතෘකාව තුළ ස්ථාපිත වීම. වැඩපොත් වල ඇති වැරදි මත පදනම්ව දැනුම නියාමනය කිරීම සහ නිවැරදි කිරීම සඳහා වැඩසටහනක් ඔවුන් ස්වාධීනව තීරණය කරයි. සම්පුර්ණ කරන ලද ස්වාධීන වැඩ සහිත තහඩු පරීක්ෂා කිරීම සඳහා ගුරුවරයාට භාර දෙනු ලැබේ.

යටින් ඉරි ඇඳ ඇති සංඛ්‍යා මූලික මට්ටමේ වේ, තරු ලකුණක් ඇති ඒවා සංකීර්ණත්වය වැඩි වේ.