සමාන්තර චලිත නිර්වචනයක් යනු කුමක්ද? සමාන්තර චලිත ප්‍රමේය

සමාන්තර චලිතයක් යනු ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති යුගල වශයෙන් සමාන්තර වන චතුරස්‍රයකි.

මෙම නිර්වචනය දැනටමත් ප්රමාණවත්ය, මන්දයත් සමාන්තර චලිතයේ ඉතිරි ගුණාංග එය අනුගමනය කරන අතර ප්රමේය ස්වරූපයෙන් ඔප්පු කර ඇත.

සමාන්තර චලිතයක ප්‍රධාන ගුණාංග වන්නේ:
සමාන්තර චලිතයක් යනු උත්තල චතුරස්‍රයකි;
සමාන්තර චලිතයක යුගල වශයෙන් සමාන වන ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති ඇත;
සමාන්තර චලිතයක, ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණ යුගල වශයෙන් සමාන වේ;

සමාන්තර චලිතයක විකර්ණ ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යයෙන් අඩකින් බෙදී ඇත.

සමාන්තර චලිතය - උත්තල හතරැස් අපි මුලින්ම ඒ ප්‍රමේයය ඔප්පු කරමුසමාන්තර චලිතයක් යනු උත්තල චතුරස්‍රයකි

. බහුඅස්‍රයක් උත්තල වන්නේ එහි කුමන පැත්තක් සරල රේඛාවකට දිගු කළත්, බහුඅස්‍රයේ අනෙක් සියලුම පැති මෙම සරල රේඛාවේ එකම පැත්තේ වේ.

ABCD සමාන්තර චලිතයක් ලබා දෙමු, එහි AB යනු CD සඳහා ප්‍රතිවිරුද්ධ පැත්ත වන අතර BC යනු AD සඳහා ප්‍රතිවිරුද්ධ පැත්ත වේ. එවිට සමාන්තර චලිතයක අර්ථ දැක්වීමෙන් එය අනුගමනය කරන්නේ AB || CD, BC || ක්රි.ව. සමාන්තර රේඛා නොමැතපොදු කරුණු

, ඒවා ඡේදනය නොවේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සංයුක්ත තැටිය AB හි එක් පැත්තක පිහිටා ඇති බවයි. BC ඛණ්ඩය AB කොටසේ B ලක්ෂ්‍යය CD ඛණ්ඩයේ C ලක්ෂ්‍යය සමඟ සම්බන්ධ කරන බැවින් සහ AD කොටස AB සහ CD වෙනත් ලක්ෂ්‍ය සම්බන්ධ කරන බැවින්, BC සහ AD යන කොටස්ද CD තැබූ AB රේඛාවේ එකම පැත්තේ පිහිටා ඇත. මේ අනුව, පැති තුනම - CD, BC, AD - AB හි එකම පැත්තේ පිහිටා ඇත.

ඒ හා සමානව, සමාන්තර චලිතයේ අනෙක් පැතිවලට සාපේක්ෂව අනෙක් පැති තුනම එකම පැත්තක පිහිටා ඇති බව ඔප්පු වේ.

ප්රතිවිරුද්ධ පැති සහ කෝණ සමාන වේ සමාන්තර චලිතයක එක් ගුණාංගයක් වන්නේ එයයිසමාන්තර චලිතයක, ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති සහ ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණ යුගල වශයෙන් සමාන වේ

. උදාහරණයක් ලෙස, ABCD සමාන්තර චලිතයක් ලබා දෙන්නේ නම්, එහි AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. මෙම ප්‍රමේයය පහත පරිදි සනාථ වේ.

සමාන්තර චලිතයක් යනු චතුරස්‍රයකි. මෙයින් අදහස් කරන්නේ එහි විකර්ණ දෙකක් ඇති බවයි. සමාන්තර චලිතයක් උත්තල චතුරස්‍රයක් බැවින්, ඒවායින් ඕනෑම එකක් එය ත්‍රිකෝණ දෙකකට බෙදයි. ABCD සමාන්තර චලිතයෙහි, විකර්ණ AC ඇඳීමෙන් ලබාගත් ABC සහ ADC ත්‍රිකෝණ සලකා බලන්න.

මෙම ත්‍රිකෝණවල, AB පැත්ත CD පැත්තට අනුරූප වන අතර BC පැත්ත AD ට අනුරූප වේ. එබැවින්, AB = CD සහ BC = AD.

B කෝණය D කෝණයට අනුරූප වේ, එනම් ∠B = ∠D. සමාන්තර චලිතයක A කෝණය යනු කෝණ දෙකක එකතුවයි - ∠BAC සහ ∠CAD. C කෝණය ∠BCA සහ ∠ACD ට සමාන වේ. කෝණ යුගල එකිනෙකට සමාන බැවින්, ∠A = ∠C.

මේ අනුව, සමාන්තර චලිතයක ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති සහ කෝණ සමාන බව ඔප්පු වේ.

විකර්ණ දෙකට බෙදී ඇත

සමාන්තර චලිතයක් උත්තල චතුරස්‍රයක් බැවින් එයට විකර්ණ දෙකක් ඇති අතර ඒවා ඡේදනය වේ. ABCD සමාන්තර චලිතය ලබා දෙන්න, එහි විකර්ණ AC සහ BD E ලක්ෂ්‍යයේදී ඡේදනය වේ. ඒවායින් සෑදූ ABE සහ CDE ත්‍රිකෝණ සලකා බලන්න.

මෙම ත්‍රිකෝණවල පැති AB සහ CD සමාන්තර චලිතයක ප්‍රතිවිරුද්ධ පැතිවලට සමාන වේ. සමාන්තර රේඛා AB සහ CD සමඟ හරස් අතට පිහිටා ඇති බැවින් ABE කෝණය CDE කෝණයට සමාන වේ. එකම හේතුව නිසා, ∠BAE = ∠DCE. මෙයින් අදහස් වන්නේ ∆ABE = ∆CDE කෝණ දෙකකින් සහ ඒවා අතර පැත්තයි.

AEB සහ CED කෝණ සිරස් වන අතර එම නිසා එකිනෙකට සමාන බව ද ඔබට දැක ගත හැක.

ABE සහ CDE ත්‍රිකෝණ එකිනෙක සමාන වන බැවින්, ඒවායේ සියලුම අනුරූප මූලද්‍රව්‍ය සමාන වේ. පළමු ත්‍රිකෝණයේ AE පැත්ත දෙවන CE පැත්තට අනුරූප වේ, එනම් AE = CE යන්නයි. ඒ හා සමානව BE = DE. සෑම සමාන කොටස් යුගලයක්ම සමාන්තර චලිතයක විකර්ණයක් සාදයි. ඒ බව මේ අනුව ඔප්පු වී ඇත සමාන්තර චලිතයක විකර්ණ ඒවායේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයෙන් බෙදනු ලැබේ.

සමාන්තර චලිතයක් යනු ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති යුගල වශයෙන් සමාන්තර වන චතුරස්‍රයකි. සමාන්තර චලිතයක වර්ගඵලය එහි පාදයේ (a) සහ උස (h) ගුණිතයට සමාන වේ. ඔබට එහි ප්‍රදේශය පැති දෙකක් සහ කෝණයක් හරහා සහ විකර්ණ හරහා ද සොයාගත හැකිය.

සමාන්තර චලිතයක ගුණ

1. විරුද්ධ පැති සමාන වේ

මුලින්ම අපි විකර්ණය අඳිමු $AC$ . අපට ත්‍රිකෝණ දෙකක් ලැබේ: $ABC$ සහ $ADC$.

$ABCD$ සමාන්තර චලිතයක් බැවින්, පහත සඳහන් දේ සත්‍ය වේ:

$ක්‍රි.ව || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2$හරස් අතට බොරු කියනවා වගේ.

$AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4$හරස් අතට බොරු කියනවා වගේ.

එබැවින්, (දෙවන නිර්ණායකයට අනුව: සහ $AC$ පොදු වේ).

ඒ කියන්නේ $\ත්‍රිකෝණය ABC = \triangle ADC$, පසුව $AB = CD$ සහ $AD = BC$ .

2. ප්රතිවිරුද්ධ කෝණ සමාන වේ

සාක්ෂියට අනුව ගුණාංග 1අපි ඒක දන්නවා $\angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4$. එබැවින් ප්රතිවිරුද්ධ කෝණවල එකතුව වන්නේ: $\angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4$. ඒ ගැන සලකා බලමින් $\ත්‍රිකෝණය ABC = \triangle ADC$අපි $\angle A = \angle C $ , $\angle B = \angle D $ .

3. විකර්ණ ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යයෙන් අඩකින් බෙදී ඇත

විසින් දේපල 1ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති සමාන බව අපි දනිමු: $AB = CD$ . නැවත වරක්, හරස් අතට සමාන කෝණ සටහන් කරන්න.

ඒ අනුව පැහැදිලියි $\ත්‍රිකෝණය AOB = \ ත්‍රිකෝණය COD$ත්රිකෝණවල සමානාත්මතාවයේ දෙවන ලකුණ අනුව (කෝණ දෙකක් සහ ඒවා අතර පැත්ත). එනම්, $BO = OD$ (කෝණවලට ප්‍රතිවිරුද්ධව $\කෝණය 2$ සහ $\කෝණය 1$ ) සහ $AO = OC$ (කෝණවලට ප්‍රතිවිරුද්ධව $\කෝණය 3$ සහ $ \angle 4$ පිළිවෙලින්).

සමාන්තර චලිතයක සලකුණු

ඔබගේ ගැටලුවේ එක් අංගයක් පමණක් තිබේ නම්, එම රූපය සමාන්තර චලිතයක් වන අතර ඔබට මෙම රූපයේ සියලුම ගුණාංග භාවිතා කළ හැකිය.

වඩා හොඳ කටපාඩම් කිරීම සඳහා, සමාන්තර චලිත ලකුණ පහත ප්‍රශ්නයට පිළිතුරු සපයන බව සලකන්න - "කොහොමද දැනගන්නේ?". එනම්, දී ඇති රූපයක් සමාන්තර චලිතයක් බව සොයා ගන්නේ කෙසේද යන්නයි.

1. සමාන්තර චලිතයක් යනු පැති දෙක සමාන සහ සමාන්තර වන චතුරස්‍රයකි

$AB = CD$ ; $AB || CD \Rightarrow ABCD$- සමාන්තර චලිතය.

අපි සමීපව බලමු. ඇයි $ක්‍රි.පූ. $ ?

$\ත්‍රිකෝණය ABC = \triangle ADC$විසින් දේපල 1: $AB = CD $ , $\angle 1 = \angle 2 $ හරස් අතට වැතිර සිටින විට $AB $ සහ $CD $ සහ secant $AC $ සමාන්තර වේ.

නමුත් නම් $\ත්‍රිකෝණය ABC = \triangle ADC$, එවිට $\angle 3 = \angle 4 $ (ප්‍රතිවිරුද්ධ $AD || BC $ ($\angle 3 $ සහ $\angle 4 $ - හරස් අතට වැතිර සිටින අයද සමාන වේ).

පළමු ලකුණ නිවැරදි ය.

2. සමාන්තර චලිතයක් යනු ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති සමාන වන චතුරස්‍රයකි

$AB = CD $ , $AD = BC \Rightarrow ABCD $ යනු සමාන්තර චලිතයකි.

මෙම ලකුණ සලකා බලමු. අපි නැවත විකර්ණ $AC$ අඳිමු.

විසින් දේපල 1$\ත්‍රිකෝණය ABC = \ ත්‍රිකෝණය ACD$.

මෙයින් පහත දැක්වෙන්නේ: $\angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC $සහ $\angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD $, එනම්, $ABCD$ යනු සමාන්තර චලිතයකි.

දෙවන ලකුණ නිවැරදි ය.

3. සමාන්තර චලිතයක් යනු ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණ සමාන වන චතුරස්‍රයකි

$\angle A = \angle C$ , $\angle B = \angle D \Rightarrow ABCD$- සමාන්තර චලිතය.

$2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ) $($\angle A = \angle C$ , $\angle B = \angle D$ කොන්දේසිය අනුව).

එය හැරෙනවා, . නමුත් $\alpha $ සහ $\beta $ secant $AB $ හිදී අභ්යන්තර ඒකපාර්ශ්වික වේ.

සහ මොකක්ද $\alpha + \beta = 180^(\circ) $$ක්‍රි.ව. || ක්‍රි. $ .

1. සමාන්තර චලිතයක අර්ථ දැක්වීම.

අපි සමාන්තර රේඛා යුගලයක් තවත් සමාන්තර රේඛා යුගලයක් සමඟ ඡේදනය කළහොත්, අපට ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති යුගල වශයෙන් සමාන්තර වන චතුරස්රයක් ලැබේ.

චතුරස්රාකාර ABDC සහ EFNM (රූපය 224) ВD || AC සහ AB || CD;

EF || MN සහ EM || එෆ්එන්.

ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති යුගල වශයෙන් සමාන්තර වන චතුරස්‍රයක් සමාන්තර චලිතයක් ලෙස හැඳින්වේ.

2. සමාන්තර චලිතයක ගුණ.

ප්රමේයය. සමාන්තර චලිතයක විකර්ණය එය සමාන ත්‍රිකෝණ දෙකකට බෙදයි.

සමාන්තර චලිතයක් ABDC (රූපය 225), එහි AB || CD සහ AC || ඩී.

විකර්ණය එය සමාන ත්‍රිකෝණ දෙකකට බෙදන බව ඔබ ඔප්පු කළ යුතුය.

අපි සමාන්තර චලිතය ABDC හි විකර්ණ CB අඳින්නෙමු. අපි ඔප්පු කරමු $\Delta$CAB = $\Delta$СДВ.

NE පැත්ත මෙම ත්රිකෝණ සඳහා පොදු වේ; ∠ABC = ∠BCD, සමාන්තර AB සහ CD සහ secant CB සමඟ අභ්‍යන්තර හරස් කෝණ ලෙස; ∠ACB = ∠СВD, සමාන්තර AC සහ BD සහ secant CB සහිත අභ්‍යන්තර හරස් කෝණ මෙන් ද වේ.

එබැවින් $\Delta$CAB = $\Delta$СДВ.

එලෙසම, විකර්ණ AD මගින් සමාන්තර චලිතය ACD සහ ABD ලෙස සමාන ත්‍රිකෝණ දෙකකට බෙදන බව කෙනෙකුට ඔප්පු කළ හැක.

ප්රතිවිපාක:

1 . සමාන්තර චලිතයක ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණ එකිනෙකට සමාන වේ.

∠A = ∠D, මෙය CAB සහ CDB ත්‍රිකෝණවල සමානාත්මතාවයෙන් අනුගමනය කරයි.

එලෙසම, ∠C = ∠B.

2. සමාන්තර චලිතයක ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති එකිනෙකට සමාන වේ.

AB = CD සහ AC = BD, මේවා සමාන ත්‍රිකෝණවල පැති වන අතර සමාන කෝණවලට ප්‍රතිවිරුද්ධව පිහිටා ඇත.

ප්රමේයය 2. සමාන්තර චලිතයක විකර්ණ ඒවායේ ඡේදනය වන ස්ථානයේ අඩකට බෙදී ඇත.

BC සහ AD සමාන්තර චලිත ABC හි විකර්ණ වීමට ඉඩ දෙන්න (රූපය 226). අපි AO = OD සහ CO = OB බව ඔප්පු කරමු.

මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ප්රතිවිරුද්ධව පිහිටා ඇති ත්රිකෝණ යුගල කිහිපයක් සංසන්දනය කරන්න, උදාහරණයක් ලෙස $\Delta$AOB සහ $\Delta$СOD.

මෙම ත්‍රිකෝණවල AB = CD, සමාන්තර චලිතයක ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති වැනි;

∠1 = ∠2, සමාන්තර AB සහ CD සහ secant AD සමඟ හරස් අතට පිහිටා ඇති අභ්‍යන්තර කෝණ ලෙස;

∠3 = ∠4 එකම හේතුව නිසා, AB || සීඩී සහ එස්වී ඔවුන්ගේ සෙකන්ට් වේ.

එය අනුගමනය කරන්නේ $\Delta$AOB = $\Delta$СOD. සහ තුළ සමාන ත්රිකෝණසමාන කෝණවලට ප්රතිවිරුද්ධව පිහිටා ඇත සමාන පැති. එබැවින්, AO = OD සහ CO = OB.

ප්රමේයය 3. සමාන්තර චලිතයක එක් පැත්තකට යාබද කෝණවල එකතුව සමාන වේ 180°.

ABCD සමාන්තර චලිතයේ දී අපි විකර්ණ AC ඇද ගන්නා අතර ABC සහ ADC ත්‍රිකෝණ දෙකක් ලබා ගනිමු.

∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (සමාන්තර රේඛා සඳහා හරස් කෝණ) සහ පැති AC පොදු බැවින් ත්‍රිකෝණ සමාන වේ.
සමානාත්මතාවයෙන් $\Delta$ABC = $\Delta$ADC එය අනුගමනය කරන්නේ AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.

එක් පැත්තකට යාබද කෝණවල එකතුව, උදාහරණයක් ලෙස A සහ D කෝණ, සමාන්තර රේඛා සඳහා ඒකපාර්ශ්වික කෝණ ලෙස 180° ට සමාන වේ.

අර්ථ දැක්වීම

සමාන්තර චලිතයයනු ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති යුගල වශයෙන් සමාන්තර වන චතුරස්‍රයකි.

සමාන්තර චලිතයක විකර්ණ ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය ලෙස හැඳින්වේ කේන්ද්රය.

සමාන්තර චලිතයක ගුණ:

සමාන්තර චලිතයක යාබද කෝණ දෙකක එකතුව $180^(\circ)$ වන අතර ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණ සමාන වේ.
සමාන්තර චලිතයක ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති සමාන වේ.
සමාන්තර චලිතයක විකර්ණ ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යයේදී ඡේදනය වේ.

සාක්ෂි

$ABCD$ සමාන්තර චලිතයක් ලබා දෙන්න.

1. සමාන්තර චලිතයක යාබද කෝණ $A$ සහ $B$ සමාන්තර රේඛා $AD$ සහ $BC$ සහ තත්පර $AB$ සහිත ඒක පාර්ශවීය අභ්‍යන්තර කෝණ බව සලකන්න, එනම් ඒවායේ එකතුව $180^ට සමාන වේ. \circ$. වෙනත් කෝණ යුගල සඳහාද එසේමය.

$\angle A + \angle B=180^\circ$ සහ $\angle C + \angle B=180^\circ$ නම්, $\angle A = \angle C$. ඒ හා සමානව, $\angle B = \angle D$.

2. $ABC$ සහ $CDA$ ත්‍රිකෝණ සලකා බලන්න. සමාන්තර චලිතයක ප්‍රතිවිරුද්ධ පැතිවල සමාන්තරකරණයෙන් එය $\angle BAC=\angle DCA$ සහ $\angle BCA=\angle DAC$ ලෙස අනුගමනය කරයි. $AC$ පොදු බැවින්, දෙවන නිර්ණායකයට අනුව $ABC$ සහ $CDA$ ත්‍රිකෝණ සමාන වේ. ත්රිකෝණවල සමානාත්මතාවයෙන් එය $AB=CD$ සහ $BC=AD$ ලෙස අනුගමනය කරයි.

3. සමාන්තර චලිතයක් උත්තල චතුරස්‍රයක් බැවින් එහි විකර්ණ ඡේදනය වේ. $O$ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය වීමට ඉඩ දෙන්න. සමාන්තර චලිතයේ $BC$ සහ $AD$ යන පැතිවල සමාන්තරකරණයෙන් එය $\angle OAD=\angle OCB$ සහ $\angle ODA=\angle OBC$ ලෙස අනුගමනය කරයි. $BC=AD$ සමානාත්මතාවය සැලකිල්ලට ගනිමින්, දෙවන නිර්ණායකයට අනුව $AOD$ සහ $COB$ ත්‍රිකෝණ සමාන බව අපි ලබා ගනිමු. එබැවින්, $AO=CO$ සහ $DO=BO$, අවශ්‍ය පරිදි.

සමාන්තර චලිතයක සලකුණු:

චතුරස්‍රයක යාබද කෝණ දෙකක එකතුව $180^(\circ)$ වේ නම්, මෙම චතුරස්‍රය සමාන්තර චලිතයකි.
චතුරස්‍රයක ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණ යුගල වශයෙන් සමාන නම්, මෙම චතුරස්‍රය සමාන්තර චලිතයකි.
චතුරස්‍රයක ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති යුගල වශයෙන් සමාන නම්, මෙම චතුරස්‍රය සමාන්තර චලිතයකි.
චතුරස්‍රයක පැති දෙකක් සමාන සහ සමාන්තර නම්, චතුරස්‍රය සමාන්තර චලිතයකි.
චතුරස්‍රයක විකර්ණ ඒවායේ ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යයෙන් බෙදී ඇත්නම්, චතුරස්‍රය සමාන්තර චලිතයකි.

සාක්ෂි

$ABCD$ චතුරස්‍රයක් වීමට ඉඩ දෙන්න.

1. යාබද කෝණ $A$ සහ $B$ සරල රේඛා $AD$ සහ $BC$ සහ හරස් $AB$ සහිත ඒක පාර්ශවීය අභ්‍යන්තර කෝණ බව සලකන්න. ඒවායේ එකතුව $180^\circ$ වන බැවින්, $AD$ සහ $BC$ පේළි සමාන්තර වේ. ඒ හා සමානව තවත් රේඛා යුගලයක් සඳහා, එනම් $ABCD$ යනු අර්ථ දැක්වීම අනුව සමාන්තර චලිතයකි.

2. $\angle A + \angle B + \angle C + \angle D=360^\circ$ බව සලකන්න. $\angle A = \angle C$, සහ $\angle B = \angle D$ නම්, $\angle A + \angle B=180^\circ$ සහ ඒ හා සමානව යාබද කෝණ යුගල සඳහා. ඊළඟට අපි පෙර ලකුණ භාවිතා කරමු.

3. $ABC$ සහ $CDA$ ත්‍රිකෝණ සලකා බලන්න. $AC$ පොදු වන බැවින්, එය සමාන්තර චලිතයේ ප්‍රතිවිරුද්ධ පැතිවල සමානාත්මතාවයෙන් අනුගමනය කරන්නේ තුන්වන නිර්ණායකයට අනුව $ABC$ සහ $CDA$ ත්‍රිකෝණ සමාන වන බවයි. එබැවින්, $\angle BAC=\angle DCA$ සහ $\angle BCA=\angle DAC$, එනම් ප්‍රතිවිරුද්ධ පැතිවල සමාන්තර බව ගම්‍ය වේ.

4. $BC$ සහ $AD$ සමාන හා සමාන්තර වීමට ඉඩ දෙන්න. $ABC$ සහ $CDA$ ත්‍රිකෝණ සලකා බලන්න. රේඛාවල සමාන්තරකරණයෙන් එය $\angle BCA=\angle DAC$ බව අනුගමනය කරයි. $AC$ සාමාන්‍ය වන අතර $BC=AD$ බැවින් $ABC$ සහ $CDA$ යන ත්‍රිකෝණ පළමු නිර්ණායකයට අනුව සමාන වේ. එබැවින්, $AB=CD$. ඊළඟට අපි පෙර ලකුණ භාවිතා කරමු.

5. $O$ යනු විකර්ණවල ඡේදනය වීමට ඉඩ හරින්න සහ $AO=CO$, සහ $DO=BO$ සිරස් කෝණවල සමානාත්මතාවය සැලකිල්ලට ගනිමින්, අපි $AOD$ සහ $COB$ යන ත්‍රිකෝණ ලබා ගනිමු. පළමු නිර්ණායකයට අනුව සමාන වේ. එබැවින්, $\angle OAD=\angle OCB$, එය $BC$ සහ $AD$ හි සමාන්තර බව ගම්‍ය වේ. අනෙක් පැති යුගල සඳහාද එසේමය.

අර්ථ දැක්වීම

සෘජු කෝණ තුනක් ඇති චතුරස්රයක් ලෙස හැඳින්වේ සෘජුකෝණාස්රය.

සෘජුකෝණාස්රාකාර ගුණාංග:

සෘජුකෝණාස්රයක විකර්ණ සමාන වේ.

සාක්ෂි

$ABCD$ සෘජුකෝණාස්රයක් ලබා දෙන්න. සෘජුකෝණාස්රය සමාන්තර චලිතයක් බැවින් එහි ප්රතිවිරුද්ධ පැති සමාන වේ. එතකොට සෘජු ත්රිකෝණ$ABD$ සහ $DCA$ කකුල් දෙකේ සමාන වේ, එනම් $BD=AC$.

සෘජුකෝණාස්රයක ලක්ෂණ:

සමාන්තර චලිතයකට සෘජු කෝණයක් තිබේ නම්, මෙම සමාන්තර චලිතය සෘජුකෝණාස්‍රයකි.
සමාන්තර චලිතයක විකර්ණ සමාන නම්, මෙම සමාන්තර චලිතය සෘජුකෝණාස්‍රයකි.

සාක්ෂි

1. සමාන්තර චලිතයක එක් කෝණයක් සෘජු නම්, යාබද කෝණවල එකතුව $180^(\circ)$ බව සැලකිල්ලට ගනිමින්, ඉතිරි කෝණ ද සෘජු බව අපි ලබා ගනිමු.

2. $ABCD$ සමාන්තර චලිතයෙහි විකර්ණ $AC$ සහ $BD$ සමාන වීමට ඉඩ දෙන්න. $AB$ සහ $DC$ යන ප්‍රතිවිරුද්ධ පැතිවල සමානාත්මතාවය සැලකිල්ලට ගනිමින්, තුන්වන නිර්ණායකයට අනුව $ABD$ සහ $DCA$ යන ත්‍රිකෝණ සමාන බව අපි ලබා ගනිමු. එබැවින්, $\angle BAD=\angle CDA$, එනම් ඒවා කෙළින් වේ. පෙර ලකුණ භාවිතා කිරීමට එය ඉතිරිව ඇත.

අර්ථ දැක්වීම

සියලුම පැති සමාන වන චතුරස්රයක් ලෙස හැඳින්වේ දියමන්ති

රොම්බස් වල ගුණාංග:

රොම්බස් වල විකර්ණ අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් ලම්බක වන අතර එහි කෝණවල ද්විභාණ්ඩ වේ.

සාක්ෂි

රොම්බස් $ABCD$ හි විකර්ණ $AC$ සහ $BD$ $O$ ලක්ෂ්‍යයේදී ඡේදනය වීමට ඉඩ දෙන්න. රොම්බස් යනු සමාන්තර චලිතයක් බැවින්, $AO=OC$. අපි සලකා බලමු සමද්වීපාද ත්රිකෝණය$ABC$. $AO$ යනු පාදයට ඇද ගන්නා මධ්‍යස්ථය වන බැවින්, අවශ්‍ය වූයේ ද්වි අංශය සහ උස වේ.

දියමන්තියේ සලකුණු:

සමාන්තර චලිතයක විකර්ණ අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් ලම්බක නම්, මෙම සමාන්තර චලිතය රොම්බස් වේ.
සමාන්තර චලිතයක විකර්ණය එහි කෝණයේ ද්වි අංශය නම්, මෙම සමාන්තර චලිතය රොම්බස් වේ.

සාක්ෂි

සමාන්තර චලිතය $ABCD$ හි විකර්ණ $AC$ සහ $BD$ $O$ ලක්ෂ්‍යයේදී ඡේදනය වීමට ඉඩ දෙන්න. $ABC$ ත්‍රිකෝණය සලකා බලන්න.

1. විකර්ණ ලම්බක නම්, $BO$ යනු ත්‍රිකෝණයේ මධ්‍ය සහ උස වේ.

2. විකර්ණ $BD$ හි $ABC$ කෝණයේ ද්වි අංශය අඩංගු වන්නේ නම්, $BO$ යනු ත්‍රිකෝණයේ මධ්‍යස්ථය සහ ද්වි අංශයයි.

අවස්ථා දෙකේදීම, $ABC$ ත්‍රිකෝණය සමද්වීපක වන අතර සමාන්තර චලිතයක යාබද පැති සමාන බව අපට පෙනී යයි. එබැවින්, එය අවශ්ය වූ රොම්බස් වේ.

අර්ථ දැක්වීම

යාබද පැති දෙකක් සමාන වන සෘජුකෝණාස්රයක් ලෙස හැඳින්වේ හතරැස්.

චතුරස්රයක සලකුණු:

රොම්බස් එකකට සෘජු කෝණයක් තිබේ නම්, එම රොම්බස් චතුරස්‍රයකි.
රොම්බස් එකකට සමාන විකර්ණ තිබේ නම්, රොම්බස් චතුරස්‍රයකි.

සාක්ෂි

සමාන්තර චලිතයකට සෘජු කෝණයක් හෝ සමාන විකර්ණ තිබේ නම්, එය සෘජුකෝණාස්‍රයකි. චතුරස්රයක් සෘජුකෝණාස්රයක් සහ රොම්බස් නම්, එය චතුරස්රයකි.

අර්ථ දැක්වීම

සමාන්තර චලිතයයනු ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති යුගල වශයෙන් සමාන්තර වන චතුරස්‍රයකි.

රූප සටහන 1 $A B C D, A B\|C D, B C\| සමාන්තර චලිතය පෙන්වයි D$ එකක්.

සමාන්තර චලිතයක ගුණ

සමාන්තර චලිතයක, ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති සමාන වේ: $A B=C D, B C=A D$ (රූපය 1).
සමාන්තර චලිතයක, ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණ $\angle A=\angle C, \angle B=\angle D$ ට සමාන වේ (රූපය 1).
ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යයේ සමාන්තර චලිතයේ විකර්ණ $A O=O C, B O=O D$ (රූපය 1) භාගයකට බෙදා ඇත.
සමාන්තර චලිතයක විකර්ණය එය සමාන ත්‍රිකෝණ දෙකකට බෙදයි.

එක් පැත්තකට යාබද සමාන්තර චලිතයක කෝණවල එකතුව $180^(\circ)$:

$$\angle A+\angle B=180^(\circ), \angle B+\angle C=180^(\circ)$$

$$\angle C+\angle D=180^(\circ), \angle D+\angle A=180^(\circ)$$

සමාන්තර චලිතයක විකර්ණ සහ පැති පහත සම්බන්ධතාවයෙන් සම්බන්ධ වේ:

$$d_(1)^(2)+d_(2)^(2)=2 a^(2)+2 b^(2)$$

සමාන්තර චලිතයක, උස අතර කෝණය එහි සමාන වේ තියුණු කොන: $\angle K B H=\angle A$.
සමාන්තර චලිතයක එක් පැත්තකට යාබද කෝණවල ද්විභාණ්ඩ අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් ලම්බක වේ.
සමාන්තර චලිතයක ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණ දෙකක ද්විභාණ්ඩ සමාන්තර වේ.

සමාන්තර චලිතයක සලකුණු

$ABCD$ චතුරශ්‍රය සමාන්තර චලිතයක් නම්

$A B=C D$ සහ $A B \| C D$
$A B=C D$ සහ $B C=A D$
$A O=O C$ සහ $B O=O D$
$\angle A=\angle C$ සහ $\angle B=\angle D$

සමාන්තර චලිතයක ප්‍රදේශය පහත සූත්‍රවලින් එකක් භාවිතයෙන් ගණනය කළ හැක:

$S=a \cdot h_(a), \quad S=b \cdot h_(b)$

$S=a \cdot b \cdot \sin \alpha, \quad S=\frac(1)(2) d_(1) \cdot d_(2) \cdot \sin \phi$

ගැටළු විසඳීමේ උදාහරණ

උදාහරණය

ව්යායාම කරන්න.සමාන්තර චලිතයක කෝණ දෙකක එකතුව $140^(\circ)$ වේ. සමාන්තර චලිතයේ විශාලතම කෝණය සොයන්න.

විසඳුම.සමාන්තර චලිතයක, ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණ සමාන වේ. සමාන්තර චලිතයේ විශාල කෝණය $\alpha$ ලෙසත් කුඩා කෝණය $\beta$ ලෙසත් දක්වමු. $\alpha$ සහ $\beta$ කෝණවල එකතුව $180^(\circ)$ වේ, එබැවින් දී ඇති මුදල $140^(\circ)$ ට සමාන ප්‍රතිවිරුද්ධ කෝණ දෙකක එකතුව වේ, පසුව $140^(\circ) : 2=70 ^(\circ)$. මේ අනුව කුඩා කෝණය $\beta=70^(\circ)$ වේ. අපි $\alpha$ විශාල කෝණය සම්බන්දයෙන් සොයා ගනිමු:

$\alpha+\beta=180^(\circ) \Rightarrow \alpha=180^(\circ)-\beta \Rightarrow$

$\Rightarrow \alpha=180^(\circ)-70^(\circ) \Rightarrow \alpha=110^(\circ)$

උත්තර දෙන්න.$\alpha=110^(\circ)$

උදාහරණය

ව්යායාම කරන්න.සමාන්තර චලිතයේ පැති 18 cm සහ 15 cm වන අතර, කෙටි පැත්තට ඇඳ ඇති උස 6 cm වේ.

විසඳුම.අපි චිත්රයක් සාදන්න (රූපය 2)