n වන අනුපිළිවෙලෙහි වර්ග න්යාසයක් තිබිය යුතුය
Matrix A -1 ලෙස හැඳින්වේ ප්රතිලෝම න්යාසය A න්‍යාසයට අදාළව, A*A -1 = E නම්, E යනු n වන අනුපිළිවෙලෙහි අනන්යතා න්‍යාසයයි.
අනන්යතා අනුකෘතිය- ඉහළ වම් කෙළවරේ සිට පහළ දකුණු කෙළවර දක්වා ගමන් කරන ප්‍රධාන විකර්ණය දිගේ ඇති සියලුම මූලද්‍රව්‍ය එකක් වන අතර ඉතිරිය ශුන්‍ය වේ, උදාහරණයක් ලෙස:
ප්රතිලෝම න්යාසයපවතින්න පුළුවන් හතරැස් න්යාස සඳහා පමණිඒවා. පේළි සහ තීරු ගණන සමපාත වන න්යාස සඳහා.
ප්රතිලෝම න්යාසයක පැවැත්මේ තත්ත්වය සඳහා ප්රමේයය
න්‍යාසයකට ප්රතිලෝම න්යාසයක් තිබීම සඳහා එය ඒකීය නොවන බව අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ.
න්යාසය A = (A1, A2,...A n) ලෙස හැඳින්වේ නොපිරිහුණු, තීරු දෛශික රේඛීයව ස්වාධීන නම්. අනුකෘතියක රේඛීය ස්වාධීන තීරු දෛශික ගණන න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය ලෙස හැඳින්වේ. එබැවින්, ප්රතිලෝම න්යාසයක් පැවතීම සඳහා, න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය එහි මානයට සමාන වීම අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් බව අපට පැවසිය හැකිය, එනම්. r = n.
ප්රතිලෝම න්යාසය සොයා ගැනීම සඳහා ඇල්ගොරිතම
- Gaussian ක්රමය භාවිතයෙන් සමීකරණ පද්ධති විසඳීම සඳහා වගුවේ A න්යාසය ලියන්න සහ එයට දකුණු පස ඇති matrix E ලබා දෙන්න (සමීකරණවල දකුණු පස වෙනුවට).
- ජෝර්දාන් පරිවර්තන භාවිතා කරමින්, න්යාසය A ඒකක තීරු වලින් සමන්විත අනුකෘතියකට අඩු කරන්න; මෙම අවස්ථාවේදී, න්යාසය E එකවර පරිවර්තනය කිරීම අවශ්ය වේ.
- අවශ්ය නම්, මුල් වගුවේ A න්යාසය යටතේ ඔබට E අනන්යතා න්යාසය ලැබෙන පරිදි අවසාන වගුවේ පේළි (සමීකරණ) නැවත සකස් කරන්න.
- මුල් වගුවේ E න්යාසය යටතේ අවසාන වගුවේ ඇති A -1 ප්රතිලෝම න්යාසය ලියන්න.
A න්යාසය සඳහා, A -1 ප්රතිලෝම න්යාසය සොයා ගන්න
විසඳුම: අපි න්යාසය A ලියන අතර, Jordan පරිවර්තන භාවිතා කරමින්, අපි අනුකෘතිය A අනන්යතා අනුකෘතිය E ලෙස අඩු කරමු. ගණනය කිරීම් 31.1 වගුවේ දක්වා ඇත.
මුල් න්යාසය A සහ ප්රතිලෝම න්යාසය A -1 ගුණ කිරීමෙන් ගණනය කිරීම් වල නිවැරදි බව පරීක්ෂා කරමු.
න්යාස ගුණ කිරීමේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස අනන්යතා අනුකෘතිය ලබා ගන්නා ලදී. එබැවින් ගණනය කිරීම් නිවැරදිව සිදු කරන ලදී.
පිළිතුර: 
අනුකෘති සමීකරණ විසඳීම
න්යාස සමීකරණ මේ වගේ විය හැක:
AX = B, HA = B, AXB = C,
මෙහි A, B, C නිශ්චිත න්යාස වේ, X යනු අපේක්ෂිත න්‍යාසයයි.
න්යාස සමීකරණ විසඳනු ලබන්නේ සමීකරණය ප්රතිලෝම න්යාස මගින් ගුණ කිරීමෙනි.
උදාහරණයක් ලෙස, සමීකරණයෙන් න්යාසය සොයා ගැනීමට, ඔබ මෙම සමීකරණය වමෙන් ගුණ කළ යුතුය.
එබැවින්, සමීකරණයට විසඳුමක් සෙවීම සඳහා, ඔබ ප්රතිලෝම න්යාසය සොයාගත යුතු අතර සමීකරණයේ දකුණු පැත්තේ ඇති න්යාසයෙන් එය ගුණ කළ යුතුය.
අනෙකුත් සමීකරණ ද එලෙසම විසඳනු ලැබේ.
AX = B නම් සමීකරණය විසඳන්න 
විසඳුම: ප්රතිලෝම න්යාසය සමාන වන බැවින් (උදාහරණ 1 බලන්න)
ආර්ථික විශ්ලේෂණයේ Matrix ක්රමය
අනෙක් අය සමඟ ඒවා ද භාවිතා වේ matrix ක්රම. මෙම ක්රම රේඛීය සහ දෛශික-න්යාස වීජ ගණිතය මත පදනම් වේ. සංකීර්ණ හා බහුමාන ආර්ථික සංසිද්ධි විශ්ලේෂණය කිරීමේ අරමුණු සඳහා එවැනි ක්රම භාවිතා කරනු ලැබේ. බොහෝ විට මෙම ක්රම අවශ්ය විට භාවිතා වේ සංසන්දනාත්මක තක්සේරුවසංවිධානවල ක්රියාකාරිත්වය සහ ඒවායේ ව්යුහාත්මක බෙදීම්.
අනුකෘති විශ්ලේෂණ ක්රම යෙදීමේ ක්‍රියාවලියේදී, අදියර කිහිපයක් වෙන්කර හඳුනාගත හැකිය.
පළමු අදියරේදීපද්ධතිය සකස් වෙමින් පවතී ආර්ථික දර්ශකසහ එහි පදනම මත, මූලාශ්‍ර දත්ත අනුකෘතියක් සම්පාදනය කරනු ලැබේ, එය පද්ධති අංක එහි තනි පේළිවල දැක්වෙන වගුවකි. (i = 1,2,....,n), සහ සිරස් තීරු වල - දර්ශක සංඛ්යාව (j = 1,2,....,m).
දෙවන අදියරේදීසෑම සිරස් තීරුවක් සඳහාම, පවතින දර්ශක අගයන්ගෙන් විශාලතම අගය හඳුනාගෙන ඇති අතර එය එකක් ලෙස ගනු ලැබේ.
මෙයින් පසු, මෙම තීරුවේ පිළිබිඹු වන සියලුම ප්රමාණවලින් බෙදනු ලැබේ ඉහළම අගයසහ ප්රමිතිගත සංගුණකවල අනුකෘතියක් සෑදී ඇත.
තුන්වන අදියරේදීඅනුකෘතියේ සියලුම සංරචක වර්ග කර ඇත. ඒවාට විවිධ වැදගත්කමක් තිබේ නම්, එක් එක් අනුකෘති දර්ශකයට නිශ්චිත බර සංගුණකයක් පවරනු ලැබේ කේ. දෙවැන්නෙහි වටිනාකම විශේෂඥ මතය අනුව තීරණය වේ.
අන්තිම එකේදී, හතරවන අදියරශ්‍රේණිගත කිරීමේ අගයන් සොයා ගන්නා ලදී ආර් ජේඒවායේ වැඩිවීම හෝ අඩුවීම අනුපිළිවෙලින් කාණ්ඩගත කර ඇත.
දක්වා ඇති matrix ක්රම භාවිතා කළ යුතුය, උදාහරණයක් ලෙස, විට සංසන්දනාත්මක විශ්ලේෂණයවිවිධ ආයෝජන ව්‍යාපෘති මෙන්ම සංවිධානවල අනෙකුත් ආර්ථික දර්ශක තක්සේරු කිරීමේදී.
අන්තර්ජාලයෙන් ප්රතිලෝම න්යාසය සොයා ගැනීම සඳහා, ඔබ න්‍යාසයේ ප්‍රමාණයම දැක්වීමට අවශ්ය වනු ඇත. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, ඔබ තීරු සහ පේළි ගණනින් සෑහීමකට පත් වන තෙක් "+" හෝ "-" අයිකන මත ක්ලික් කරන්න. ඊළඟට, ක්ෂේත්රවල අවශ්ය අංග ඇතුළත් කරන්න. පහත දැක්වෙන්නේ “ගණනය කරන්න” බොත්තමයි - එය ක්ලික් කිරීමෙන් ඔබට සවිස්තරාත්මක විසඳුමක් සමඟ තිරය මත පිළිතුරක් ලැබෙනු ඇත.
රේඛීය වීජ ගණිතයේදී, බොහෝ විට කෙනෙකුට ප්රතිලෝම න්යාසය ගණනය කිරීමේ ක්‍රියාවලිය සමඟ කටයුතු කිරීමට සිදුවේ. එය පවතින්නේ ප්‍රකාශ නොකළ න්යාස සඳහා සහ නිර්ණය ශුන්‍ය නොවන බව සපයා ඇති වර්ග න්යාස සඳහා පමණි. මූලධර්මය අනුව, එය ගණනය කිරීම විශේෂයෙන් දුෂ්කර නොවේ, විශේෂයෙන් ඔබ කුඩා matrix සමඟ කටයුතු කරන්නේ නම්. නමුත් ඔබට වඩාත් සංකීර්ණ ගණනය කිරීම් හෝ ඔබේ තීරණය පිළිබඳ සවිස්තරාත්මක දෙවරක් පරීක්ෂා කිරීමට අවශ්ය නම්, මෙම මාර්ගගත කැල්ක්යුලේටරය භාවිතා කිරීම වඩා හොඳය. එහි ආධාරයෙන්, ඔබට ඉක්මනින් හා නිවැරදිව ප්රතිලෝම අනුකෘතියක් විසඳා ගත හැකිය.
මෙය භාවිතා කරමින් මාර්ගගත කැල්ක්යුලේටරයඔබට ඔබේ ගණනය කිරීම් වඩාත් පහසු කළ හැකිය. ඊට අමතරව, එය න්‍යායාත්මකව ලබාගත් ද්‍රව්‍ය ඒකාබද්ධ කිරීමට උපකාරී වේ - එය මොළය සඳහා වන සිමියුලේටරයකි. එය අතින් ගණනය කිරීම් සඳහා ආදේශකයක් ලෙස නොසැලකිය යුතුය; ඊට අමතරව, ඔබ ගැන දෙවරක් පරීක්ෂා කිරීම කිසි විටෙකත් රිදවන්නේ නැත.
$A^(-1)$ $A^(-1)$ කොන්දේසිය $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$ තෘප්තිමත් නම් $A$ වර්ග න්‍යාසයේ ප්‍රතිලෝමය ලෙස හැඳින්වේ. $E $ යනු අනන්යතා න්යාසය වන අතර, එහි අනුපිළිවෙල $A$ අනුකෘතියේ අනුපිළිවෙලට සමාන වේ.
ඒකීය නොවන න්යාසයක් යනු නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන නොවන න්‍යාසයකි. ඒ අනුව, ඒකීය න්යාසයක් යනු නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන වේ.
ප්රතිලෝම න්යාසය $A^(-1)$ පවතින්නේ නම් සහ $A$ න්යාසය ඒකීය නොවන නම් පමණි. $A^(-1)$ ප්රතිලෝම න්යාසය පවතී නම්, එය අනන්‍ය වේ.
න්යාසයක ප්‍රතිලෝමය සොයා ගැනීමට ක්රම කිහිපයක් ඇත, අපි ඒවායින් දෙකක් දෙස බලමු. මෙම පිටුව බොහෝ උසස් ගණිත පාඨමාලා වල සම්මත ලෙස සලකනු ලබන adjoint matrix ක්රමය ගැන සාකච්ඡා කරනු ඇත. Gauss ක්රමය හෝ Gauss-Jordan ක්රමය භාවිතා කිරීම සම්බන්ධ වන ප්රතිලෝම න්යාසය (මූලික පරිවර්තන ක්රමය) සොයා ගැනීමේ දෙවන ක්රමය දෙවන කොටසේ සාකච්ඡා කෙරේ.
Adjoint matrix ක්රමය
$A_(n\times n)$ න්යාසය ලබා දීමට ඉඩ දෙන්න. $A^(-1)$ ප්රතිලෝම න්යාසය සොයා ගැනීම සඳහා, පියවර තුනක් අවශ්ය වේ:
- $A$ අනුකෘතියේ නිර්ණායකය සොයාගෙන $\Delta A\neq 0$, i.e. A matrix ඒක ඒකීය නොවන බව.
- $A$ න්‍යාසයේ එක් එක් මූලද්රව්යයේ වීජීය අනුපූරක $A_(ij)$ සම්පාදනය කර සොයාගත් වීජ ගණිතයෙන් $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ න්යාසය ලියන්න. අනුපූරක.
- $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ සූත්‍රය සැලකිල්ලට ගනිමින් ප්රතිලෝම න්යාසය ලියන්න.
න්යාසය $(A^(*))^T$ බොහෝ විට $A$ න්‍යාසයට යාබද (ප්‍රත්‍යාවර්ත, මිත්‍ර) ලෙස හැඳින්වේ.
විසඳුම අතින් සිදු කරන්නේ නම්, පළමු ක්රමය හොඳ වන්නේ සාපේක්ෂව කුඩා ඇණවුම් වල matrices සඳහා පමණි: දෙවන (), තෙවන (), සිව්වන (). න්යාසයක ප්‍රතිලෝමය සොයා ගැනීමට ඉහළ අනුපිළිවෙල, වෙනත් ක්රම භාවිතා කරනු ලැබේ. උදාහරණයක් ලෙස, දෙවන කොටසේ සාකච්ඡා කෙරෙන Gaussian ක්රමය.
උදාහරණ අංක 1
$A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 න්‍යාසයේ ප්‍රතිලෝමය සොයන්න & -9 සහ 0 \ end(array) \ right)$.
සිව්වන තීරුවේ සියලුම මූලද්‍රව්‍ය ශුන්‍යයට සමාන වන බැවින්, $\Delta A=0$ (එනම් $A$ අනුකෘතිය ඒකීය වේ). $\Delta A=0$ නිසා $A$ න්‍යාසයට ප්රතිලෝම න්යාසයක් නොමැත.
උත්තර දෙන්න: න්යාසය $A^(-1)$ නොපවතී.
උදාහරණ අංක 2
න්‍යාසයේ ප්‍රතිලෝමය සොයන්න $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$. චෙක්පත සිදු කරන්න.
අපි adjoint matrix ක්රමය භාවිතා කරමු. පළමුව, ලබා දී ඇති න්යාසය $A$ හි නිර්ණායකය සොයා ගනිමු:
$$ \Delta A=\left| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$
$\Delta A \neq 0$ නිසා, ප්රතිලෝම න්යාසය පවතින බැවින්, අපි විසඳුම දිගටම කරගෙන යන්නෙමු. වීජීය අනුපූරක සොයා ගැනීම
\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(පෙළගැසී ඇත)
අපි වීජීය එකතු කිරීම් න්යාසයක් සම්පාදනය කරමු: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.
අපි ලැබෙන න්යාසය මාරු කරමු: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (the ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන න්යාසය බොහෝ විට $A$ න්‍යාසයට අනුබද්ධ හෝ අනුබද්ධ අනුකෘතිය ලෙස හැඳින්වේ. $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ සූත්‍රය භාවිතා කරමින්, අපට ඇත්තේ:
$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\දකුණ) =\left (\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\ right) $$
එබැවින්, ප්රතිලෝම න්යාසය හමු වේ: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array )\දකුණ) $. ප්‍රතිඵලයේ සත්‍යතාව පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, $A^(-1)\cdot A=E$ හෝ $A\cdot A^(-1)=E$ යන සමානතා වලින් එකක සත්‍යතාව පරීක්ෂා කිරීම ප්රමාණවත් වේ. අපි $A^(-1)\cdot A=E$ සමානාත්මතාවය පරීක්ෂා කරමු. භාග සමඟ අඩුවෙන් වැඩ කිරීම සඳහා, අපි $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 ආකාරයෙන් $A^(-1)$ න්යාසය ආදේශ කරන්නෙමු. & 5/103 \ end(array)\ right)$, සහ $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ end(array )\දකුණ)$:
$$ A^(-1)\cdot(A) =-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end( array)\ right)\cdot\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\ right) =-\frac(1)(103)\cdot\left( \begin(array) (cc) -103 & 0 \\ 0 & -103 \end(array)\right) =\ left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array )\දකුණ) =E $$
උත්තර දෙන්න: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\ right)$.
උදාහරණ අංක 3
$A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\ end(array) \ right)$ සඳහා ප්රතිලෝම න්යාසය සොයන්න . චෙක්පත සිදු කරන්න.
$A$ න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ගණනය කිරීමෙන් ආරම්භ කරමු. එබැවින්, $A$ න්‍යාසයේ නිර්ණායකය වන්නේ:
$$ \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\ end(array) \right| = 18-36+56-12=26. $$
$\Delta A\neq 0$ නිසා, ප්රතිලෝම න්යාසය පවතී, එබැවින් අපි විසඳුම දිගටම කරගෙන යන්නෙමු. දී ඇති න්යාසයක එක් එක් මූලද්රව්යයේ වීජීය අනුපූරක අපි සොයා ගනිමු:
$$ \begin(aligned) & A_(11)=(-1)^(2)\cdot\left|\begin(array)(cc) 9 & 4\\ 3 & 2\end(array)\right| =6;\; A_(12)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(array)(cc) -4 &4 \\ 0 & 2\end(array)\right|=8;\; A_(13)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) -4 & 9\\ 0 & 3\end(array)\right|=-12;\\ & A_(21)=(-1)^(3)\cdot\left|\begin(array)(cc) 7 & 3\\ 3 & 2\end(array)\right|=-5;\; A_(22)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 3\\ 0 & 2\end(array)\right|=2;\; A_(23)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 7\\ 0 & 3\end(array)\right|=-3;\\ & A_ (31)=(-1)^(4)\cdot\left|\begin(array)(cc) 7 & 3\\ 9 & 4\end(array)\right|=1;\; A_(32)=(-1)^(5)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 3\\ -4 & 4\end(array)\right|=-16;\; A_(33)=(-1)^(6)\cdot\left|\begin(array)(cc) 1 & 7\\ -4 & 9\end(array)\right|=37. \අවසන් (පෙළගැසී) $$
අපි වීජීය එකතු කිරීම් අනුකෘතියක් සම්පාදනය කර එය මාරු කරන්නෙමු:
$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \ right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \ right) . $$
$A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$ සූත්‍රය භාවිතා කරමින්, අපට ලැබෙන්නේ:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ අන්ත(අරාව) \දකුණට) $$
ඉතින් $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 සහ 37/26 \ end(array) \ right)$. ප්‍රතිඵලයේ සත්‍යතාව පරීක්ෂා කිරීම සඳහා, $A^(-1)\cdot A=E$ හෝ $A\cdot A^(-1)=E$ යන සමානතා වලින් එකක සත්‍යතාව පරීක්ෂා කිරීම ප්රමාණවත් වේ. අපි $A\cdot A^(-1)=E$ සමානාත්මතාවය පරීක්ෂා කරමු. භාග සමඟ අඩුවෙන් වැඩ කිරීම සඳහා, අපි $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ ආකාරයෙන් $A^(-1)$ න්යාසය ආදේශ කරන්නෙමු. \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 සහ 37/26 \ end(array) \ right)$, සහ $\frac(1)(26 ආකාරයෙන් )\cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \ right)$:
$$ A\cdot(A^(-1)) =\left(\begin(array)(ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4\\ 0 & 3 & 2\end(array) \දකුණ)\cdot \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\ end(array) \right) =\frac(1)(26)\cdot\left(\begin(array) (ccc) 26 & 0 & 0 \\ 0 & 26 & 0 \\ 0 & 0 & 26\ end (අරාව) \right) =\left(\begin(array) (ccc) 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end(array) \right) =E $$
චෙක්පත සාර්ථක විය, $A^(-1)$ ප්රතිලෝම න්යාසය නිවැරදිව සොයා ගන්නා ලදී.
උත්තර දෙන්න: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 සහ 37/26 \ end(array) \ right)$.
උදාහරණ අංක 4
$A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 න්‍යාසයේ ප්රතිලෝම න්යාසය සොයන්න & 8 & -8 & -3 \ end(array) \ right)$.
සිව්වන අනුපිළිවෙල න්යාසයක් සඳහා වීජීය එකතු කිරීම් භාවිතයෙන් ප්රතිලෝම න්යාසය සොයා ගැනීම තරමක් අපහසු වේ. කෙසේ වෙතත්, එවැනි උදාහරණ වල පරීක්ෂණහමුවෙනවා.
න්යාසයක ප්‍රතිලෝමය සොයා ගැනීමට, ඔබ ප්‍රථමයෙන් $A$ න්‍යාසයේ නිර්ණායකය ගණනය කළ යුතුය. මෙම තත්ත්වය තුළ මෙය කිරීමට හොඳම ක්රමය වන්නේ පේළියක් (තීරුව) දිගේ නිර්ණායකය පුළුල් කිරීමයි. අපි ඕනෑම පේළියක් හෝ තීරුවක් තෝරාගෙන තෝරාගත් පේළියේ හෝ තීරුවේ එක් එක් මූලද්රව්යයේ වීජීය අනුපූරකය සොයා ගනිමු.
උදාහරණයක් ලෙස, පළමු පේළිය සඳහා අපට ලැබෙන්නේ:
$$ A_(11)=\left|\begin(array)(ccc) 7 & 5 & 2\\ 5 & 3 & 7\\ 8 & -8 & -3 \end(array)\right|=556; \; A_(12)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 & 5 & 2\\ 7 & 3 & 7 \\ -4 & -8 & -3 \end(array)\right|=-300 ; $$ $$ A_(13)=\left|\begin(array)(ccc) 9 & 7 & 2\\ 7 & 5 & 7\\ -4 & 8 & -3 \end(array)\right|= -536;\; A_(14)=-\left|\begin(array)(ccc) 9 & 7 & 5\\ 7 & 5 & 3\\ -4 & 8 & -8 \end(array)\right|=-112. $$
$A$ අනුකෘතියේ නිර්ණායකය පහත සූත්‍රය භාවිතයෙන් ගණනය කෙරේ:
$$ \Delta(A)=a_(11)\cdot A_(11)+a_(12)\cdot A_(12)+a_(13)\cdot A_(13)+a_(14)\cdot A_(14) )=6\cdot 556+(-5)\cdot(-300)+8\cdot(-536)+4\cdot(-112)=100. $$
$$ \begin(aligned) & A_(21)=-77;\;A_(22)=50;\;A_(23)=87;\;A_(24)=4;\\ & A_(31) =-93;\;A_(32)=50;\;A_(33)=83;\;A_(34)=36;\\ & A_(41)=473;\;A_(42)=-250 ;\;A_(43)=-463;\;A_(44)=-96. \අවසන් (පෙළගැසී) $$
වීජීය අනුපූරක අනුකෘතිය: $A^*=\left(\begin(array)(cccc) 556 & -300 & -536 & -112\\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36\\ 473 & -250 & -463 & -96\ end(array)\ right)$.
අනුකෘති අනුකෘතිය: $(A^*)^T=\left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463 \\ -112 & 4 & 36 & -96\ end(array)\ right)$.
ප්රතිලෝම අනුකෘතිය:
$$ A^(-1)=\frac(1)(100)\cdot \left(\begin(array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473\\ -300 & 50 & 50 & -250 =\ & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/ 25 සහ 1/25 සහ 9/25 & -24/25 \ අන්ත(අරාව) \දකුණ) $$
චෙක්පත, අවශ්ය නම්, පෙර උදාහරණවල මෙන් ම සිදු කළ හැකිය.
උත්තර දෙන්න: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \ end(array) \ right) $.
දෙවන කොටසේදී, අපි Gaussian ක්‍රමයේ හෝ Gauss-Jordan ක්‍රමයේ පරිවර්තන භාවිතා කිරීම ඇතුළත් ප්රතිලෝම න්යාසය සොයා ගැනීමට තවත් ක්‍රමයක් සලකා බලමු.
ප්රතිලෝම න්යාසය matrix වේ A−1, දී ඇති ආරම්භක න්යාසයෙන් ගුණ කළ විට ඒඅවසානයේ අනන්යතා න්යාසය ලබා දෙයි ඊ:
AA -1 = A -1 A =ඊ.
ප්රතිලෝම න්යාස ක්රමය.
ප්රතිලෝම න්යාස ක්රමය- මෙය න්යාස විසඳීම සඳහා වඩාත් පොදු ක්‍රමයක් වන අතර නොදන්නා සංඛ්යාව සමීකරණ ගණනට අනුරූප වන අවස්ථා වලදී රේඛීය වීජීය සමීකරණ (SLAEs) පද්ධති විසඳීමට භාවිතා කරයි.
ක්‍රමයක් ඇති වේවා n රේඛීය සමීකරණසමඟ nනොදන්නා:
එවැනි පද්ධතියක් අනුකෘති සමීකරණයක් ලෙස ලිවිය හැකිය A* X = B,
කොහෙද 
- පද්ධති අනුකෘතිය,
- නොදන්නා තීරුව,
- නිදහස් අවාසි තීරුව.
ව්‍යුත්පන්න න්යාස සමීකරණයෙන්, අපි X ප්‍රකාශ කරන්නේ වම් පස ඇති න්යාස සමීකරණයේ දෙපැත්තම ගුණ කිරීමෙන් A-1, එයින් ප්රතිඵල වන:
A -1 * A * X = A -1 * B
ඒක දැනගෙන A -1 * A = E, එහෙනම් E * X = A -1 * Bහෝ X = A -1 * B.
ඊළඟ පියවර වන්නේ ප්රතිලෝම අනුකෘතිය තීරණය කිරීමයි A-1සහ නිදහස් පදවල තීරුවෙන් ගුණ කරනු ලැබේ බී.
අනුකෘතියට ප්රතිලෝම න්යාසය ඒපවතින විට පමණි det ඒ≠ 0 . මේ අනුව, ප්රතිලෝම න්යාස ක්රමය භාවිතයෙන් SLAEs විසඳන විට, පළමු පියවර වන්නේ සොයා ගැනීමයි. det ඒ. නම් det ඒ≠ 0 , එවිට පද්ධතියට ඇත්තේ එක් විසඳුමක් පමණි, එය ප්රතිලෝම න්යාස ක්රමය භාවිතයෙන් ලබා ගත හැක, නමුත් නම් det A = 0, එවිට එවැනි පද්ධතියක් ප්රතිලෝම matrix ක්රමයවිසඳන්න බැහැ.
ප්රතිලෝම න්යාසය විසඳීම.
සඳහා ක්රියා අනුපිළිවෙල ප්රතිලෝම matrix විසඳුම්:
- අපි matrix හි නිර්ණායකය ලබා ගනිමු ඒ. නිර්ණායකය ශුන්‍යයට වඩා වැඩි නම්, අපි න්‍යාසයේ ප්‍රතිලෝමය තවදුරටත් විසඳන්නෙමු, එය ශුන්‍යයට සමාන නම්, අපට මෙහි ප්රතිලෝම න්යාසය සොයාගත නොහැක.
- මාරු කළ අනුකෘතිය සොයා ගැනීම AT.
- අපි වීජීය අනුපූරක සඳහා සොයන්නෙමු, ඉන්පසු අපි අනුකෘතියේ සියලුම මූලද්‍රව්‍ය ඒවායේ වීජීය අනුපූරක සමඟ ප්‍රතිස්ථාපනය කරමු.
- වීජීය එකතු කිරීම් වලින් අපි ප්රතිලෝම න්යාසය එකලස් කරමු: ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන න්‍යාසයේ සියලුම මූලද්‍රව්‍ය මුලින් ලබා දුන් න්‍යාසයේ නිර්ණායකයෙන් අපි බෙදන්නෙමු. අවසාන න්යාසය මුල් එකට සාපේක්ෂව අවශ්ය ප්රතිලෝම න්යාසය වේ.
පහත ඇල්ගොරිතම ප්රතිලෝම matrix විසඳුම්අත්‍යවශ්‍යයෙන්ම ඉහත එක හා සමානයි, වෙනස ඇත්තේ පියවර කිහිපයකින් පමණි: පළමුව අපි වීජීය අනුපූරක නිර්වචනය කරමු, ඉන්පසු අපි අනුබද්ධ අනුකෘතිය ගණනය කරමු සී.
- දී ඇති න්යාසයක් හතරැස් ද යන්න තීරණය කරන්න. පිළිතුර සෘණ නම්, ඒ සඳහා ප්රතිලෝම න්යාසයක් තිබිය නොහැකි බව පැහැදිලි වේ.
- දී ඇති න්යාසයක් හතරැස් ද යන්න තීරණය කරන්න. පිළිතුර සෘණ නම්, ඒ සඳහා ප්රතිලෝම න්යාසයක් තිබිය නොහැකි බව පැහැදිලි වේ.
- අපි වීජීය අනුපූරක ගණනය කරමු.
- අපි සංගමයක් (අන්‍යෝන්‍ය, යාබද) අනුකෘතියක් සම්පාදනය කරමු සී.
- අපි වීජීය එකතු කිරීම් වලින් ප්රතිලෝම න්යාසය සම්පාදනය කරමු: යාබද න්‍යාසයේ සියලුම අංග සීආරම්භක න්‍යාසයේ නිර්ණායකයෙන් බෙදන්න. අවසාන න්යාසය ලබා දී ඇති එකට සාපේක්ෂව අවශ්ය ප්රතිලෝම න්යාසය වේ.
- අපි සිදු කරන ලද කාර්යය පරීක්ෂා කරන්න: ආරම්භක සහ ප්රතිඵල න්යාස ගුණ කරන්න, ප්රතිඵලය අනන්යතා න්යාසයක් විය යුතුය.
අමුණා ඇති අනුකෘතියක් භාවිතයෙන් මෙය සිදු කිරීම වඩාත් සුදුසුය.
ප්රමේයය: අපි දකුණු පැත්තේ ඇති හතරැස් න්‍යාසයකට එම අනුපිළිවෙලෙහි අනන්යතා න්යාසයක් පවරන්නේ නම් සහ පේළි හරහා මූලික පරිවර්තන භාවිතා කරමින්, වම් පස ඇති ආරම්භක න්යාසය අනන්යතා න්යාසය බවට පරිවර්තනය කරන්නේ නම්, දකුණු පැත්තේ ලබා ගන්නා එක මුල් එකේ ප්රතිලෝම වෙන්න.
ප්රතිලෝම න්යාසයක් සොයා ගැනීමේ උදාහරණයක්.
ව්යායාම කරන්න. matrix සඳහා 
adjoint matrix ක්රමය භාවිතයෙන් ප්‍රතිලෝමය සොයා ගන්න.
විසඳුම. ලබා දී ඇති න්‍යාසයට එක් කරන්න ඒදකුණු පසින් 2 වන අනුපිළිවෙල අනන්යතා අනුකෘතියක් ඇත:
1 වන පේළියේ සිට අපි 2 වන පේළිය අඩු කරමු:
දෙවන පේළියේ සිට අපි පළමු 2 අඩු කරමු:
www.siteඔබට සොයා ගැනීමට ඉඩ සලසයි ප්රතිලෝම matrix සමඟ අමුත්තන්. වෙබ් අඩවිය ගණනය කිරීම සිදු කරයි ප්රතිලෝම matrix සමඟ අමුත්තන්. තත්පර කිහිපයකින් සේවාදායකය නිවැරදි විසඳුමක් ලබා දෙනු ඇත. ප්රතිලෝම න්යාසයමේ වගේ වෙයි matrix, මුල් පිටපත ගුණ කිරීම matricesසඳහා ඒකකය ලබා දෙයි matrix, ආරම්භකයේ නිර්ණායකය සපයන ලදී matricesශුන්‍යයට සමාන නොවේ, එසේ නොමැති නම් ප්රතිලෝම න්යාසයඇය වෙනුවෙන් නොපවතියි. අපි ගණනය කිරීමේදී ගැටළු වලදී ප්රතිලෝම matrix සමඟ අමුත්තන්, එය නිර්ණය කිරීම අවශ්ය වේ matricesඑසේ නොමැති නම් ශුන්‍ය නොවන විය www.siteගණනය කිරීමේ නොහැකියාව පිළිබඳ අනුරූප පණිවිඩයක් පෙන්වනු ඇත ප්රතිලෝම matrix සමඟ අමුත්තන්. මෙවැනි matrixපිරිහුණු ලෙසද හැඳින්වේ. සොයන්න ප්රතිලෝම න්යාසයමාදිලියේ සමඟ අමුත්තන්හැකි වන්නේ හතරැස් සඳහා පමණි matrices. මෙහෙයුම සොයා ගැනීම ප්රතිලෝම matrix සමඟ අමුත්තන්නිර්ණායකය ගණනය කිරීම දක්වා අඩු කරයි matrices, පසුව අතරමැදියක් matrixසුප්‍රසිද්ධ රීතියකට අනුව, සහ මෙහෙයුම අවසානයේ - පෙර සොයාගත් නිර්ණායකය මාරු කළ අතරමැදියෙන් ගුණ කිරීම matrix. අර්ථ දැක්වීමෙන් නිශ්චිත ප්රතිඵලය ප්රතිලෝම matrix සමඟ අමුත්තන්මෙම පාඨමාලාවේ න්යාය අධ්යයනය කිරීමෙන් සාක්ෂාත් කරගත හැකිය. මෙම මෙහෙයුම න්යාය තුළ විශේෂ ස්ථානයක් ගනී matricesසහ රේඛීය වීජ ගණිතය, ඔබට ඊනියා රේඛීය සමීකරණ පද්ධති විසඳීමට ඉඩ සලසයි matrix ක්රමය. සොයා ගැනීමේ කාර්යය ප්රතිලෝම matrix සමඟ අමුත්තන්උසස් ගණිතය අධ්යයනය ආරම්භයේදීම සිදු වන අතර ව්‍යවහාරික ගැටළු වලදී ගණිතමය මෙවලමක් වන වීජ ගණිතයේ මූලික සංකල්පයක් ලෙස සෑම ගණිතමය විෂයයක් තුළම පාහේ පවතී. www.siteසොයා ගනී ප්රතිලෝම න්යාසයමාදිලියේ මානය ලබා දී ඇත සමඟ අමුත්තන්ක්ෂණිකව. ගණනය කිරීම ප්රතිලෝම matrix සමඟ අමුත්තන්එහි මානය අනුව, මෙය සොයා ගැනීමකි matricesගණනය කිරීමේ රීතියට අනුව එහි සංඛ්‍යාත්මක අගයෙහි මෙන්ම සංකේතාත්මක අගයෙහි එකම මානය ප්රතිලෝම න්යාසය. සොයා ගැනීම ප්රතිලෝම matrix සමඟ අමුත්තන්න්‍යායාත්මකව පුළුල් ලෙස පිළිගැනේ matrices. ප්රතිඵල සොයා ගැනීම ප්රතිලෝම matrix සමඟ අමුත්තන්විසඳීමේදී භාවිතා වේ රේඛීය පද්ධතිය matrix ක්රමය භාවිතා කරන සමීකරණ. නිර්ණායකය නම් matricesඑවිට ශුන්‍යයට සමාන වනු ඇත ප්රතිලෝම න්යාසය, ශුන්‍ය නිර්ණායකය සොයා ගන්නා, නොපවතියි. ගණනය කිරීම සඳහා ප්රතිලෝම න්යාසයනැතහොත් කිහිප දෙනෙකුට එකවර සොයා ගන්න matricesඒවාට අනුරූප වේ ආපසු හැරවීම, ඔබ බොහෝ කාලයක් හා වෑයමක් වැය කළ යුතු අතර, අපගේ සේවාදායකය තත්පර කිහිපයකින් සොයා ගනු ඇත ප්රතිලෝම matrix සමඟ අමුත්තන්. මෙම අවස්ථාවේ දී, සොයා ගැනීමට පිළිතුර ප්රතිලෝම න්යාසයසොයා ගැනීමේදී සංඛ්යා වුවද නිවැරදි හා ප්රමාණවත් නිරවද්යතාවකින් යුක්ත වනු ඇත ප්රතිලෝම matrix සමඟ අමුත්තන්අතාර්කික වනු ඇත. වෙබ් අඩවියේ www.siteමූලද්‍රව්‍ය තුළ අක්ෂර ඇතුළත් කිරීම් ඉඩ දෙනු ලැබේ matrices, එනම් ප්රතිලෝම matrix සමඟ අමුත්තන්ගණනය කිරීමේදී සාමාන්ය සංකේතාත්මක ස්වරූපයෙන් නිරූපණය කළ හැකිය ප්රතිලෝම matrix සමඟ අමුත්තන්. සොයා ගැනීමේ ගැටලුව විසඳීමේදී ලබාගත් පිළිතුර පරීක්ෂා කිරීම ප්රයෝජනවත් වේ ප්රතිලෝම matrix සමඟ අමුත්තන්අඩවිය භාවිතා කරමින් www.site. ගණනය කිරීමේ මෙහෙයුමක් සිදු කරන විට ප්රතිලෝම matrix සමඟ අමුත්තන්මෙම ගැටළුව විසඳීමේදී ඔබ ප්‍රවේශම් විය යුතු අතර අතිශයින්ම අවධානයෙන් සිටිය යුතුය. අනෙක් අතට, මාතෘකාව පිළිබඳ ඔබේ තීරණය පරීක්ෂා කිරීමට අපගේ වෙබ් අඩවිය ඔබට උපකාර කරනු ඇත ප්රතිලෝම matrix සමඟ අමුත්තන්. විසඳන ලද ගැටළු පිළිබඳ දිගු චෙක්පත් සඳහා ඔබට කාලය නොමැති නම්, එසේ නම් www.siteසොයා ගැනීම සහ ගණනය කිරීමේදී පරීක්ෂා කිරීම සඳහා පහසු මෙවලමක් වනු ඇත ප්රතිලෝම matrix සමඟ අමුත්තන්.
