මෙම ලිපියෙන් අපි රේඛාවක් සහ තලයක ලම්බකතාව ගැන කතා කරමු. පළමුව, තලයකට ලම්බක රේඛාවක නිර්වචනය ලබා දී ඇති අතර, ග්‍රැෆික් නිදර්ශනයක් සහ උදාහරණයක් ලබා දී ඇති අතර තලයකට ලම්බක රේඛාවක් නම් කිරීම පෙන්වයි. මෙයින් පසු, සරල රේඛාවක් සහ තලයක ලම්බක ලකුණ සකස් කර ඇත. ඊළඟට, සරල රේඛාව සහ තලය යම් යම් සමීකරණ මගින් ලබා දී ඇති විට, සරල රේඛාවක් සහ තලයක ලම්බක බව ඔප්පු කිරීමට හැකි වන කොන්දේසි ලබා ගනී. සෘජුකෝණාස්රාකාර පද්ධතියසම්බන්ධීකරණය කරයි ත්රිමාණ අවකාශය. අවසාන වශයෙන්, සාමාන්ය උදාහරණ සහ ගැටළු සඳහා සවිස්තරාත්මක විසඳුම් පෙන්වා ඇත.

පිටු සංචලනය.

ලම්බක සරල රේඛාව සහ තලය - මූලික තොරතුරු.

තලයකට ලම්බක රේඛාවක නිර්වචනය රේඛාවල ලම්බකතාව හරහා ලබා දෙන බැවින්, ඔබ මුලින්ම ලම්බක රේඛා නිර්වචනය නැවත නැවත කරන ලෙස අපි නිර්දේශ කරමු.

අර්ථ දැක්වීම.

ඔවුන් එහෙම කියනවා රේඛාව ගුවන් යානයට ලම්බක වේ, එය මෙම තලයේ ඇති ඕනෑම රේඛාවකට ලම්බක නම්.

තලයක් රේඛාවකට ලම්බක හෝ රේඛාවක් සහ තලයක් ලම්බක බව අපට පැවසිය හැකිය.

ලම්බකතාව දැක්වීමට, "" වැනි අයිකනයක් භාවිතා කරන්න. එනම්, c සරල රේඛාව තලයට ලම්බක නම්, අපට කෙටියෙන් ලිවිය හැකිය.

ගුවන් යානයකට ලම්බක රේඛාවක් සඳහා උදාහරණයක් වන්නේ කාමරයක යාබද බිත්ති දෙකක් ඡේදනය වන රේඛාවයි. මෙම රේඛාව තලයට සහ සිවිලිමේ තලයට ලම්බක වේ. ජිම් එකක කඹයක් බිම තලයට ලම්බකව සරල රේඛා ඛණ්ඩයක් ලෙසද සැලකිය හැක.

ලිපියේ මෙම ඡේදය අවසානයේ, සරල රේඛාවක් තලයකට ලම්බක නම්, සරල රේඛාව සහ තලය අතර කෝණය අංශක අනූවකට සමාන ලෙස සලකනු ලැබේ.

සරල රේඛාවක් සහ තලයක ලම්බකතාව - ලම්බකතාවයේ ලකුණක් සහ කොන්දේසි.

ප්රායෝගිකව, ප්රශ්නය බොහෝ විට පැන නගී: "දී ඇති සරල රේඛාව සහ තලය ලම්බකද?" මේකට උත්තර දෙන්න තියෙනවා රේඛාවක් සහ ගුවන් යානයක ලම්බකතාව සඳහා ප්රමාණවත් කොන්දේසියක්, එනම්, එවැනි කොන්දේසියක්, සරල රේඛාවේ සහ තලයේ ලම්බකතාව සහතික කරන ඉටු කිරීම. මෙම ප්රමාණවත් කොන්දේසිය රේඛාවක් සහ තලයක ලම්බක ලකුණ ලෙස හැඳින්වේ. අපි එය ප්‍රමේයයක ආකාරයෙන් සකස් කරමු.

ප්රමේයය.

ලබා දී ඇති රේඛාවක් සහ තලයක් ලම්බක වීමට නම්, මෙම තලයේ ඇති ඡේදනය වන රේඛා දෙකකට එම රේඛාව ලම්බකව තිබීම ප්‍රමාණවත් වේ.

10-11 ශ්‍රේණි සඳහා ජ්‍යාමිතික පෙළපොතක රේඛාවක සහ තලයක ලම්බක ලකුණ පිළිබඳ සාක්ෂි ඔබට බැලිය හැකිය.

රේඛාවක සහ තලයක ලම්බකතාව ස්ථාපිත කිරීමේ ගැටළු විසඳීමේදී, පහත සඳහන් ප්‍රමේයය ද බොහෝ විට භාවිතා වේ.

ප්රමේයය.

සමාන්තර රේඛා දෙකෙන් එකක් තලයකට ලම්බක නම්, දෙවන පේළිය ද තලයට ලම්බක වේ.

පාසැලේදී, බොහෝ ගැටළු සලකා බලනු ලැබේ, විසඳුම සඳහා රේඛාවක් සහ තලයක ලම්බක ලකුණ මෙන්ම අවසාන ප්‍රමේයය ද භාවිතා වේ. අපි ඔවුන් ගැන මෙහි වාසය නොකරමු. ලිපියේ මෙම ඡේදයේ අපි පහත සඳහන් අවශ්‍ය සහ යෙදීම කෙරෙහි අවධානය යොමු කරමු ප්රමාණවත් තත්ත්වයසරල රේඛාවක් සහ තලයක ලම්බකතාව.

මෙම කොන්දේසිය පහත ආකෘතියෙන් නැවත ලිවිය හැක.

ඉඩ දෙන්න a රේඛාවේ දිශා දෛශිකය වේ, සහ යානයේ සාමාන්‍ය දෛශිකය වේ. සරල රේඛාව a සහ තලය ලම්බක වීමට නම්, එය අවශ්ය සහ ප්රමාණවත් වේ සහ : , t යනු යම් තාත්වික සංඛ්‍යාවක් වේ.

රේඛාවක සහ තලයක ලම්බකතාව සඳහා මෙම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් කොන්දේසිය සනාථ කිරීම පදනම් වන්නේ රේඛාවක දිශා දෛශිකයේ සහ තලයක සාමාන්‍ය දෛශිකයේ නිර්වචන මතය.

පැහැදිලිවම, ස්ථාවර ත්‍රිමාන අවකාශයක රේඛාවේ දිශානති දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සහ තලයේ සාමාන්‍ය දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක පහසුවෙන් සොයාගත හැකි විට, රේඛාවක සහ තලයක ලම්බක බව ඔප්පු කිරීමට මෙම කොන්දේසිය භාවිතා කිරීම පහසුය. . තලය සහ රේඛාව ගමන් කරන ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක ලබා දෙන අවස්ථා සඳහා මෙන්ම, අවකාශයේ රේඛාවක සමහර සමීකරණ මගින් රේඛාව තීරණය කරන අවස්ථා සඳහා සහ තලය සමීකරණයකින් ලබා දෙන අවස්ථා සඳහා මෙය සත්‍ය වේ. යම් ආකාරයක ගුවන් යානයක්.

උදාහරණ කිහිපයකට විසඳුම් බලමු.

උදාහරණය.

රේඛාවේ ලම්බක බව ඔප්පු කරන්න සහ ගුවන් යානා.

විසඳුම.

අභ්‍යවකාශයේ ඇති රේඛාවක කැනොනිකල් සමීකරණවල හරයේ ඇති සංඛ්‍යා මෙම රේඛාවේ දිශා දෛශිකයේ අනුරූප ඛණ්ඩාංක බව අපි දනිමු. මේ අනුව, - සෘජු දෛශිකය .

තලයක සාමාන්‍ය සමීකරණයේ x, y සහ z යන විචල්‍යවල සංගුණක මෙම තලයේ සාමාන්‍ය දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක වේ, එනම්, යානයේ සාමාන්‍ය දෛශිකය වේ.

රේඛාවක සහ තලයක ලම්බකතාව සඳහා අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් කොන්දේසි සපුරාලීම අපි පරීක්ෂා කරමු.

මොකද , පසුව දෛශික සහ සම්බන්ධතාවය මගින් සම්බන්ධ වේ , එනම්, ඒවා collinear වේ. එබැවින්, කෙළින්ම ගුවන් යානයට ලම්බකව.

උදාහරණය.

රේඛා ලම්බකද? සහ ගුවන් යානය.

විසඳුම.

රේඛාවේ සහ තලයේ ලම්බකතාව සඳහා අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් කොන්දේසිය තෘප්තිමත් වේද යන්න පරීක්ෂා කිරීම සඳහා ලබා දී ඇති සරල රේඛාවක දිශා දෛශිකය සහ තලයේ සාමාන්‍ය දෛශිකය සොයා ගනිමු.

යොමු කරන දෛශිකය සෘජු ය වේ

මෙම පාඩමේදී අපි බලමු අභ්‍යවකාශයේ ඇති රේඛාවල ලම්බකතාව, රේඛාවක සහ තලයක ලම්බකතාව සහ තලයකට ලම්බකව ඇති සමාන්තර රේඛා.
පළමුව, අපි අභ්‍යවකාශයේ ලම්බක රේඛා දෙකක අර්ථ දැක්වීම සහ ඒවායේ නම් කිරීම ලබා දෙන්නෙමු. අපි තුන්වන පේළියට ලම්බකව සමාන්තර රේඛා ගැන lemma සලකා බලමු. ඊළඟට, අපි තලයකට ලම්බක රේඛාවක අර්ථ දැක්වීම ලබා දෙන අතර, මතක තබා ගනිමින් එවැනි රේඛාවක දේපල සලකා බලමු. සාපේක්ෂ පිහිටීමසෘජු සහ ගුවන් යානය. ඊළඟට අපි සරල රේඛාව ඔප්පු කරමු සහ පරිවර්තන ප්රමේයයගුවන් යානයට ලම්බකව සමාන්තර රේඛා දෙකක් පමණ.
පාඩම අවසානයේදී, අපි සමාන්තර පයිප්පයක සහ ටෙට්‍රාහෙඩ්‍රෝනයක රේඛාවල ලම්බකතාව පිළිබඳ ගැටළු දෙකක් විසඳන්නෙමු.

මාතෘකාව: රේඛාවක සහ තලයක ලම්බකතාව

පාඩම: අවකාශයේ ලම්බක රේඛා. තලයකට ලම්බකව සමාන්තර රේඛා

මෙම පාඩමේදී අපි බලමු අභ්‍යවකාශයේ ඇති රේඛාවල ලම්බකතාව, රේඛාවක සහ තලයක ලම්බකතාවය සහ තලයකට ලම්බකව ඇති සමාන්තර රේඛා.

අර්ථ දැක්වීම. රේඛා දෙකක් අතර කෝණය 90 ° නම් ලම්බක ලෙස හැඳින්වේ.

තනතුරු. .

සරල රේඛා සලකා බලන්න ඒසහ ආ. රේඛා ඡේදනය, හරස් කිරීම හෝ සමාන්තර විය හැක. ඔවුන් අතර කෝණයක් ගොඩනැගීම සඳහා, ඔබ ලක්ෂ්යයක් තෝරා එය හරහා ඇද ගත යුතුය A,සහ රේඛාවට සමාන්තර රේඛාවක් ආ. සෘජු සහ ඡේදනය. ඒවා අතර කෝණය රේඛා අතර කෝණයයි ඒසහ ආ.කෝණය 90 ° නම්, කෙළින්ම ඒසහ ආලම්බක.

සමාන්තර රේඛා දෙකෙන් එකක් තුන්වන පේළියට ලම්බක නම්, අනෙක් රේඛාව මෙම රේඛාවට ලම්බක වේ.

සාක්ෂි:

සමාන්තර රේඛා දෙකක් දෙන්න ඒසහ b,සහ කෙළින්ම සමඟ, සහ . ඒ බව ඔප්පු කිරීම අවශ්ය වේ.

අපි හිතුවක්කාර කරුණක් ගනිමු එම්. කාරණය හරහා එම්රේඛාවට සමාන්තරව රේඛාවක් අඳින්න ඒසහ රේඛාවට සමාන්තර රේඛාවක් c(රූපය 2). එවිට කෝණය AMC 90 ° සමාන වේ.

කෙලින්ම ආරේඛාවට සමාන්තරව ඒකොන්දේසිය අනුව, රේඛාව රේඛාවට සමාන්තර වේ ඒඉදිකිරීම් මගින්. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සෘජු සහ ආසමාන්තරව.

අපිට තියෙනවා, කෙළින්ම සහ ආසමාන්තර, සෘජු සමඟසහ ඉදිකිරීම් වලදී සමාන්තරව. ඉතින්, රේඛා අතර කෝණය ආසහ සමග -යනු සරල රේඛා අතර කෝණය සහ, එනම් කෝණයයි AMC, 90 ° ට සමාන වේ. ඉතින් ඒක කෙලින් ආසහ සමඟඔප්පු කිරීමට අවශ්ය පරිදි ලම්බක වේ.

අර්ථ දැක්වීම. මෙම තලයේ ඇති ඕනෑම රේඛාවකට ලම්බක නම් රේඛාවක් තලයකට ලම්බක ලෙස හැඳින්වේ.

තනතුරු. .

1. ජ්යාමිතිය. 10-11 ශ්‍රේණි: සිසුන් සඳහා පෙළපොත් අධ්යාපන ආයතන(මූලික සහ පැතිකඩ මට්ටම්) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5 වන සංස්කරණය, නිවැරදි කරන ලද සහ පුළුල් කරන ලද - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 pp.: ill.

කාර්යයන් 5, 6, 7 පි 54

2. අභ්‍යවකාශයේ ඇති රේඛාවල ලම්බකතාව පිළිබඳ අර්ථ දැක්වීම දෙන්න.

3. සමාන පැති ABසහ සීඩීහතරැස් ABCDසමහර තලයකට ලම්බකව. චතුරස්රාකාර වර්ගය තීරණය කරන්න.

4. ත්රිකෝණයේ පැත්ත යම් රේඛාවකට ලම්බක වේ ඒ.ත්‍රිකෝණයේ එක් මධ්‍ය රේඛාවක් රේඛාවට ලම්බක බව ඔප්පු කරන්න ඒ.

පාඩම 3.2.1

රේඛාවල ලම්බකතාව.

ලම්බක සහ ආනත.

ලම්බක තුනක ප්‍රමේය.

අර්ථ දැක්වීම:අවකාශයේ ඇති රේඛා දෙකක් ඒවා අතර කෝණය අංශක 90ක් නම් ලම්බක (අන්‍යෝන්‍ය වශයෙන් ලම්බක) ලෙස හැඳින්වේ.

තනතුරු. .

සරල රේඛා සලකා බලන්න ඒසහ ආ.

රේඛා ඡේදනය, හරස් කිරීම හෝ සමාන්තර විය හැක. ඒවා අතර කෝණයක් තැනීම සඳහා, ඔබ ලක්ෂ්‍යයක් තෝරාගෙන ඒ හරහා සරල රේඛාවට සමාන්තරව a` රේඛාවක් අඳින්න. A,සහ රේඛාවට සමාන්තරව b` රේඛාවක් ආ.

රේඛා a` සහ b` ඡේදනය වේ. ඒවා අතර කෝණය රේඛා අතර කෝණයයි ඒසහ ආ.කෝණය 90 ° නම්, කෙළින්ම a සහ bලම්බක.

Lemma: පේළි දෙකෙන් එකක් තුන්වන පේළියට ලම්බක නම්, අනෙක් පේළිය මෙම රේඛාවට ලම්බක වේ.

සාක්ෂි:

අපි හිතුවක්කාර කරුණක් ගනිමු එම්. කාරණය හරහා එම්රේඛාවට සමාන්තරව a` රේඛාවක් අඳින්න ඒසහ රේඛාවට සමාන්තරව c` රේඛාවක් c. එවිට කෝණය AMC 90 ° සමාන වේ.

කෙලින්ම ආරේඛාවට සමාන්තරව ඒකොන්දේසිය අනුව, රේඛාව a` රේඛාවට සමාන්තර වේ ඒඉදිකිරීම් මගින්. මෙයින් අදහස් කරන්නේ සරල රේඛා a` සහ ආසමාන්තරව.

අපිට තියෙනවා, කෙළින්ම සහ ආසමාන්තර, සෘජු සමඟසහ ඉදිකිරීම් වලදී සමාන්තරව. ඉතින්, රේඛා අතර කෝණය ආසහ සමග - a` සහ b` රේඛා අතර කෝණය මෙයයි, එනම් කෝණය AMC, 90 ° ට සමාන වේ. ඉතින් ඒක කෙලින් ආසහ සමඟඔප්පු කිරීමට අවශ්ය පරිදි ලම්බක වේ.

රේඛාවක සහ තලයක ලම්බකතාව.

අර්ථ දැක්වීම: මෙම තලයේ ඇති ඕනෑම රේඛාවකට ලම්බක නම් රේඛාවක් තලයකට ලම්බක ලෙස හැඳින්වේ.

දේපල: රේඛාවක් තලයකට ලම්බක නම්, එය මෙම තලය ඡේදනය කරයි.

(නම් a┴ α, එහෙනම් a∩ α.)

සිහිකැඳවීම. සරල රේඛාවක් සහ තලයක් එක් ස්ථානයක ඡේදනය වේ, නැතහොත් සමාන්තර වේ, නැතහොත් සරල රේඛාව තලයෙහි පිහිටා ඇත.

ලම්බක රේඛා සහ තලවල ගුණ:

ප්රමේයය:සමාන්තර රේඛා දෙකෙන් එකක් තලයකට ලම්බක නම්, අනෙක් රේඛාව ද මෙම තලයට ලම්බක වේ.

පළමු පාඩමේදී, අපි Lemma අධ්‍යයනය කළෙමු - එක් සමාන්තර රේඛාවක් තලය ඡේදනය කරන්නේ නම්, අනෙක් සමාන්තර රේඛාව තලය ඡේදනය කරයි. කෙලින්ම ඒ 90 0 කෝණයකින් ඡේදනය වේ, එනම් ලම්බකව, එවිට අනෙක් සමාන්තර රේඛාව ලම්බක වේ

ප්රමේයය:රේඛා දෙකක් තලයකට ලම්බක නම්, ඒවා සමාන්තර වේ.

රේඛාවක සහ තලයක ලම්බක ලකුණ

ප්රමේයය:රේඛාවක් තලයක ඇති ඡේදනය වන රේඛා දෙකකට ලම්බක නම්, එය තලයට ලම්බක වේ.

ප්රමේයය:අභ්‍යවකාශයේ ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක් හරහා දී ඇති තලයකට ලම්බකව සරල රේඛාවක් ගමන් කරන අතර, එපමනක් නොව, එකක් පමණි.

වීඩියෝ නිබන්ධනය 2: ලම්බක තුනක ප්‍රමේයය. න්යාය

වීඩියෝ නිබන්ධනය 3: ලම්බක තුනක ප්‍රමේයය. කාර්යය

දේශනය: සරල රේඛාවක් සහ තලයක ලම්බකතාව, සංඥා සහ ගුණාංග; ලම්බක සහ ආනත; ලම්බක ප්‍රමේයය තුනක්

රේඛාවක සහ තලයක ලම්බකතාව

රේඛාවල ලම්බකතාව යනු කුමක්දැයි මතක තබා ගනිමු. අංශක 90 ක කෝණයකින් ඡේදනය වන රේඛා ලම්බක වේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ඒවා අතර කෝණය යම් ස්ථානයක ඡේදනය වීමේදී හෝ හරස් කිරීමකදී විය හැකිය. සමහර රේඛා සෘජු කෝණවලින් ඡේදනය වන්නේ නම්, ඒවා ලම්බක රේඛා ලෙසද හැඳින්විය හැක. සමාන්තර මාරු කිරීමසරල රේඛාව දෙවන සරල රේඛාවේ ලක්ෂ්යයකට මාරු කරනු ලැබේ.

අර්ථ දැක්වීම:රේඛාවක් තලයකට අයත් ඕනෑම රේඛාවකට ලම්බක නම්, එය මෙම තලයට ලම්බක ලෙස සැලකිය හැකිය.

ලකුණ:යම් තලයක ලම්බක රේඛා දෙකක් තිබේ නම් සහ සමහර තුන්වන පේළිය ඒ සෑම එකක් සඳහාම ලම්බක වේ නම්, මෙම තුන්වන පේළිය තලයට ලම්බක වේ.

ගුණ:

• සමහර රේඛා එක් තලයකට ලම්බක නම්, ඒවා එකිනෙකට සමාන්තර වේ.

• සමාන්තර තල දෙකක් මෙන්ම එක් තලයකට ලම්බක වන සරල රේඛාවක් තිබේ නම්, එය දෙවැන්නට ලම්බක වේ.
• ප්‍රතිවිරුද්ධ ප්‍රකාශය කිරීමට ද හැකිය: යම් රේඛාවක් විවිධ තල දෙකකට ලම්බක නම්, එවැනි ගුවන් යානා අනිවාර්යයෙන්ම සමාන්තර වේ.

නැඹුරු වී ඇත

කිසියම් සරල රේඛාවක් තලය මත නොපවතින අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් තලයේ කිසිදු ලක්ෂ්‍යයක් සමඟ සම්බන්ධ කරන්නේ නම්, එවැනි සරල රේඛාවක් ලෙස හැඳින්වේ. නැඹුරු.

එය නැඹුරු වන්නේ එය සහ තලය අතර කෝණය අංශක 90 ක් නොවේ නම් පමණක් බව කරුණාවෙන් සලකන්න.

රූපයේ, AB α තලයට නැඹුරු වේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ලක්ෂ්යය B නැඹුරුවෙහි පදනම ලෙස හැඳින්වේ.

අපි A ලක්ෂ්‍යයේ සිට තලය දක්වා කොටසක් අඳින්නේ නම්, එය තලය සමඟ අංශක 90 ක කෝණයක් සාදනු ඇත, එවිට මෙම කොටස ලම්බක ලෙස හැඳින්වේ. ලම්බක ගුවන් යානයකට ඇති කෙටිම දුර ලෙසද හැඳින්වේ.

AC යනු A ලක්ෂ්‍යයේ සිට α තලය දක්වා ලම්බකව ඇද ගන්නා ලම්බකි. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ලක්ෂ්යය C ලම්බක පදනම ලෙස හැඳින්වේ.

මෙම චිත්‍රයේ අපි ලම්බක (C) හි පාදය නැඹුරුවන (B) පාදය සමඟ සම්බන්ධ කරන කොටසක් අඳින්නේ නම්, එහි ප්‍රතිඵලය වන කොටස ලෙස හැඳින්වේ. ප්රක්ෂේපණය.

සරල ඉදිකිරීම්වල ප්රතිඵලයක් ලෙස අපට ලැබුණි සෘජු ත්රිකෝණය. මෙම ත්‍රිකෝණයේ ABC කෝණය ආනත සහ ප්‍රක්ෂේපණය අතර කෝණය ලෙස හැඳින්වේ.

ලම්බක ප්‍රමේයය තුනක්

අර්ථ දැක්වීම. ලබා දී ඇති තලයේ පිහිටා ඇති ඕනෑම සරල රේඛාවකට ලම්බක වන අතර ඡේදනය වන ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන්නේ නම් සෘජු ඡේදනය වන තලයක් මෙම තලයට ලම්බක ලෙස හැඳින්වේ.
අත්සන් කරන්නසරල රේඛාවක් සහ තලයක ලම්බකතාව.රේඛාවක් තලයක ඡේදනය වන රේඛා දෙකකට ලම්බක නම්, එය මෙම තලයට ලම්බක වේ.
සාක්ෂි. ඉඩ දෙන්න ඒ- සරල රේඛාවලට ලම්බකව ආසහ සමඟගුවන් යානයට අයත් වේ a. A යනු රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය වේ. ගුවන් යානය තුළ a A ලක්ෂ්‍යය හරහා සරල රේඛාවක් අඳින්න ඈ, සරල රේඛා සමග සමපාත නොවේ ආසහ සමඟ. දැන් ගුවන් යානයේ aඅපි direct එකක් කරමු කේ, රේඛා ඡේදනය වීම ඈසහ සමඟසහ A ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් නොකරයි. ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍ය පිළිවෙළින් D, B සහ C වේ, අපි එය සරල රේඛාවක් මත සැලසුම් කරමු ඒවී විවිධ පැති A ලක්ෂයේ සිට AA 1 සහ AA 2 සමාන කොටස් ඇත. ත්‍රිකෝණය A 1 CA 2 සමද්වීපයකි, මන්ද උස AC ද මධ්‍යයයි (විශේෂාංග 1), i.e. A 1 C=CA 2. ඒ හා සමානව, ත්‍රිකෝණයේ A 1 BA 2 පැති A 1 B සහ BA 2 සමාන වේ.එබැවින් තුන්වන නිර්ණායකයට අනුව A 1 BC සහ A 2 BC ත්‍රිකෝණ සමාන වේ, එබැවින් A 1 BC සහ A 2 BC කෝණ සමාන වේ. මෙයින් අදහස් කරන්නේ පළමු නිර්ණායකයට අනුව A 1 BD සහ A 2 BD ත්‍රිකෝණ සමාන වන බවයි. එබැවින් A 1 D සහ A 2 D. එබැවින් A 1 DA 2 ත්‍රිකෝණය නිර්වචනය අනුව සමද්වීප වේ. සමද්වීපාද ත්‍රිකෝණයක A 1 D A 2 ඒඩී A යනු මධ්‍ය (ඉදිකිරීම් අනුව), එබැවින් උස, එනම් A 1 AD කෝණය සෘජු වන අතර එම නිසා සරල රේඛාවකි.සරල රේඛාවකට ලම්බකව ඒඈ මේ අනුව සරල රේඛාව බව ඔප්පු කළ හැකිය a A ලක්ෂ්‍යය හරහා ගමන් කරන ඕනෑම රේඛාවකට ලම්බකව සහ ඒගුවන් යානයට අයත් වේ a.

. අර්ථ දැක්වීමෙන් එය සරල රේඛාවක් අනුගමනය කරයිගුවන් යානයට ලම්බකව
ඉදිකිරීම් aමෙම තලයට පිටතින් ගත් ලක්ෂ්‍යයකින් දී ඇති තලයකට ලම්බකව ඇති සරල රේඛාවක්. ඒඉඩ දෙන්න ඒ- තලය, A - ලම්බකව පහත් කළ යුතු ලක්ෂ්‍යය. අපි ගුවන් යානයේ සරල රේඛාවක් අඳින්නෙමු ආ. A ලක්ෂ්යය සහ සරල රේඛාව හරහා ආඅපි ගුවන් යානයක් අඳිමු ඒ(සරල රේඛාවක් සහ ලක්ෂ්‍යයක් තලයක් නිර්වචනය කරයි, සහ එකක් පමණි). ගුවන් යානය තුළ a A ලක්ෂයේ සිට අපි සරල රේඛාවකට වැටෙමු සමඟලම්බක AB. B ස්ථානයේ සිට ගුවන් යානය දක්වා සමඟ- තලය, A - ලම්බකව පහත් කළ යුතු ලක්ෂ්‍යය. අපි ගුවන් යානයේ සරල රේඛාවක් අඳින්නෙමු අපි ලම්බකව ප්‍රතිස්ථාපනය කර මෙම ලම්බකයෙන් ඔබ්බට ඇති සරල රේඛාව නම් කරමු. AB කොටස සහ සරල රේඛාව හරහා අපි ලම්බකව ප්‍රතිස්ථාපනය කර මෙම ලම්බකයෙන් ඔබ්බට ඇති සරල රේඛාව නම් කරමු g සමඟ(ඡේදනය වන රේඛා දෙකක් ගුවන් යානයක් නිර්වචනය කරයි, සහ එකක් පමණි). ගුවන් යානය තුළ ආ A ලක්ෂයේ සිට අපි සරල රේඛාවකට වැටෙමු ඒ AC වලට ලම්බකව. AC කොටස ගුවන් යානයට ලම්බක බව ඔප්පු කරමු සමඟ. සාක්ෂි. කෙලින්ම අපි ලම්බකව ප්‍රතිස්ථාපනය කර මෙම ලම්බකයෙන් ඔබ්බට ඇති සරල රේඛාව නම් කරමු, මෙම ඡේදනය වන රේඛා දෙක පිහිටා ඇත (රේඛාවේ සහ තලයේ ලම්බකතාව මත පදනම්ව). තවද එය මෙම තලයට ලම්බක වන බැවින්, එය මෙම තලයේ ඕනෑම සරල රේඛාවකට ලම්බක වේ, එනම් එය සරල රේඛාවකි. ඒ AC වලට ලම්බකව. රේඛා AC තලයේ ඇති රේඛා දෙකකට ලම්බක වේ α: සමඟ(ඉදිකිරීම් මගින්) සහ ඒ(ඔප්පු කර ඇති දේ අනුව), එයින් අදහස් වන්නේ එය තලයට ලම්බක වන බවයි (රේඛාව සහ තලයේ ලම්බකතාව මත පදනම්ව)

ප්රමේයය 1 . ඡේදනය වන රේඛා දෙකක් ලම්බක රේඛා දෙකකට සමාන්තර වේ නම්, ඒවා ද ලම්බක වේ.
සාක්ෂි. ඉඩ දෙන්න ඒසහ ආ- ලම්බක රේඛා, ඒ 1 සහ ආ 1 - ඒවාට සමාන්තරව ඡේදනය වන රේඛා. අපි සරල රේඛා බව ඔප්පු කරමු ඒ 1 සහ ආ 1 ලම්බක වේ.
කෙළින් නම් ඒ, ආ, ඒ 1 සහ ආ 1 එකම තලය තුළ බොරු, එවිට ඔවුන් ප්ලැනිමෙට්රි වලින් දන්නා පරිදි, ප්රමේයයේ දක්වා ඇති දේපල ඇත.
අපි දැන් උපකල්පනය කරමු අපගේ රේඛා එකම තලයක නොපවතින බව. එවිට කෙළින්ම ඒසහ ආසමහර තලයක බොරු α, සහ සරල රේඛා ඒ 1 සහ ආ 1 - සමහර තලයක β. ගුවන් යානා වල සමාන්තරතාවය මත පදනම්ව, ගුවන් යානා α සහ β සමාන්තර වේ. C රේඛාවල ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්‍යය වීමට ඉඩ දෙන්න ඒසහ ආ, සහ C 1 - රේඛාවල මංසන්ධි ඒ 1 සහ ආ 1. අපි සමාන්තර රේඛාවල තලය ඇද ගනිමු ඒසහ ඒ ඒසහ ඒ A සහ A 1 ලකුණු වලදී 1. සමාන්තර රේඛා තලයේ ආසහ ආ CC 1 සරල රේඛාවට සමාන්තරව පේළි 1ක්. ඇය සීමාවන් ඉක්මවා යනු ඇත ආසහ ආ B සහ B 1 යන ස්ථානවල 1.
CAA 1 C 1 සහ SVV 1 C 1 චතුරස්‍ර සමාන්තර චලිත වේ, මන්ද ඒවායේ ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති සමාන්තර වේ. චතුරස්රාකාර ABC 1 A 1 ද සමාන්තර චලිතයකි. එහි පැති AA 1 සහ BB 1 සමාන්තර වේ, මන්ද ඒ සෑම එකක්ම CC 1 රේඛාවට සමාන්තර වේ. මේ අනුව, AA 1 සහ BB 1 යන සමාන්තර රේඛා හරහා ගමන් කරන තලයේ චතුරස්රය පිහිටා ඇත. තවද එය AB සහ A 1 B 1 යන සමාන්තර සරල රේඛා ඔස්සේ සමාන්තර තල α සහ β ඡේදනය කරයි.
සමාන්තර චලිතයක ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති සමාන බැවින්, AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1 වේ. සමානාත්මතාවයේ තුන්වන ලකුණට අනුව ABC සහ A 1 B 1 C 1 ත්‍රිකෝණ සමාන වේ. එබැවින්, A 1 C 1 B 1 කෝණය, ACB කෝණයට සමාන, සෘජු වේ, i.e. කෙලින්ම ඒ 1 සහ ආ 1 ලම්බක වේ. ආදිය.

දේපලසරල රේඛාවකට සහ තලයකට ලම්බකව.
ප්රමේයය 2 . තලයක් සමාන්තර රේඛා දෙකෙන් එකකට ලම්බක නම්, එය අනෙකට ලම්බක වේ.
සාක්ෂි. ඉඩ දෙන්න ඒ 1 සහ ඒ 2 - සමාන්තර රේඛා දෙකක් සහ α - රේඛාවට ලම්බක තලයක් ඒ 1. මෙම තලය සරල රේඛාවට ලම්බක බව ඔප්පු කරමු ඒ 2 .
A ලක්ෂ්‍යය හරහා රේඛාවක මංසන්ධි 2ක් අඳිමු ඒ 2 තලය සමඟ α හිතුවක්කාර සරල රේඛාවක් සමඟ 2 α තලයේ. රේඛාවේ ඡේදනය A 1 ලක්ෂ්‍යය හරහා α තලයේ අඳින්නෙමු ඒ 1 තලය සමඟ α කෙළින්ම සමඟ 1 රේඛාවට සමාන්තරව සමඟ 2. ඒක කෙලින් නිසා ඒ 1 තලයට ලම්බක වේ α, පසුව සරල රේඛා ඒ 1 සහ සමඟ 1 ලම්බක වේ. තවද ප්‍රමේයය 1 ට අනුව, ඒවාට සමාන්තරව ඡේදනය වන රේඛා ඒ 2 සහ සමඟ 2 ද ලම්බක වේ. මේ අනුව, කෙළින්ම ඒ 2 ඕනෑම රේඛාවකට ලම්බක වේ සමඟ 2 α තලයේ. සහ මෙයින් අදහස් කරන්නේ කෙළින්ම බවයි ඒ 2 තලයට ලම්බක වේ α. ප්රමේයය ඔප්පු කර ඇත.

ප්රමේයය 3 . එකම තලයට ලම්බක රේඛා දෙකක් එකිනෙකට සමාන්තර වේ.
අපි ගුවන් යානයක් α සහ එයට ලම්බක රේඛා දෙකක් ඇත ඒසහ ආ. ඒක ඔප්පු කරමු ඒ || ආ.
ගුවන් යානයේ සරල රේඛා ඡේදනය වන ස්ථාන හරහා, සරල රේඛාවක් අඳින්න සමඟ. අපට ලැබෙන ලක්ෂණය මත පදනම්ව ඒ ^ cසහ ආ ^ c. සරල රේඛා හරහා ඒසහ ආඅපි තලයක් අඳිමු (සමාන්තර රේඛා දෙකක් ගුවන් යානයක් අර්ථ දක්වයි, සහ එකක් පමණි). මෙම තලයේ අපට සමාන්තර රේඛා දෙකක් ඇත ඒසහ ආසහ සෙකන්ට් සමඟ. අභ්‍යන්තර ඒකපාර්ශ්වික කෝණවල එකතුව 180° නම්, රේඛා සමාන්තර වේ. අපට ඇත්තේ එවැනි අවස්ථාවක් පමණි - සෘජු කෝණ දෙකක්. ඒක තමයි ඒ || ආ.