පදනම අර්ථ දැක්වීම.දෛශික පද්ධතියක් පදනම් වන්නේ නම්:

1) එය රේඛීයව ස්වාධීන වේ,

2) අවකාශයේ ඕනෑම දෛශිකයක් එය හරහා රේඛීයව ප්‍රකාශ කළ හැක.

උදාහරණ 1.අවකාශ පදනම: .

2. දෛශික පද්ධතියේ පදනම දෛශික වේ: , නිසා දෛශික අනුව රේඛීයව ප්‍රකාශිතය.

අදහස් දක්වන්න.දී ඇති දෛශික පද්ධතියක පදනම සොයා ගැනීමට ඔබට අවශ්‍ය වන්නේ:

1) දෛශික ඛණ්ඩාංක අනුකෘතියට ලියන්න,

2) මූලික පරිවර්තන භාවිතා කරමින්, අනුකෘතිය ත්‍රිකෝණාකාර ස්වරූපයකට ගෙන එන්න,

3) අනුකෘතියේ ශුන්‍ය නොවන පේළි පද්ධතියේ පදනම වනු ඇත,

4) පදනමේ ඇති දෛශික ගණන අනුකෘතියේ ශ්‍රේණියට සමාන වේ.

ක්‍රොනෙකර්-කැපෙලි ප්‍රමේයය

ක්‍රොනෙකර්-කැපෙලි ප්‍රමේයය නොදන්නා දේ සමඟ අත්තනෝමතික රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක ගැළපීම පිළිබඳ ප්‍රශ්නයට සවිස්තරාත්මක පිළිතුරක් සපයයි.

Kronecker-Capelli theorem. රේඛීය වීජීය සමීකරණ පද්ධතියක් අනුකූල වන්නේ පද්ධතියේ විස්තීරණ න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය ප්‍රධාන න්‍යාසයේ ශ්‍රේණියට සමාන නම් සහ පමණි.

රේඛීය සමීකරණවල ඒකාබද්ධ පද්ධතියකට සියලු විසඳුම් සෙවීමේ ඇල්ගොරිතම ක්‍රොනෙකර්-කැපෙලි ප්‍රමේයය සහ පහත ප්‍රමේයයන් අනුගමනය කරයි.

ප්රමේයය.ඒකාබද්ධ පද්ධතියක ශ්‍රේණිය නොදන්නා සංඛ්‍යාවට සමාන නම්, පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත.

ප්රමේයය.ඒකාබද්ධ පද්ධතියක ශ්‍රේණිය නොදන්නා සංඛ්‍යාවට වඩා අඩු නම්, පද්ධතියට අසීමිත විසඳුම් තිබේ.

රේඛීය සමීකරණවල අත්තනෝමතික පද්ධතියක් විසඳීම සඳහා ඇල්ගොරිතම:

1. පද්ධතියේ ප්‍රධාන සහ විස්තීර්ණ න්‍යාසවල ශ්‍රේණි සොයන්න. ඒවා සමාන නොවේ නම් (), එවිට පද්ධතිය නොගැලපේ (විසඳුම් නොමැත). තරාතිරම සමාන නම් ( , එවිට පද්ධතිය ස්ථාවර වේ.

2. ඒකාබද්ධ පද්ධතියක් සඳහා, අපි සුළු සුළු පිරිසක් සොයා ගනිමු, එහි අනුපිළිවෙල අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය තීරණය කරයි (එවැනි සුළු එකක් මූලික ලෙස හැඳින්වේ). නොදන්නා අයගේ සංගුණක මූලික කුඩා (මෙම නොදන්නා ඒවා ප්‍රධාන නොදන්නා ඒවා ලෙස හැඳින්වේ) ඇතුළත් වන නව සමීකරණ පද්ධතියක් සම්පාදනය කර ඉතිරි සමීකරණ ඉවත දමමු. අපි වම් පසෙහි සංගුණක සමඟ ප්‍රධාන නොදන්නා දේ තබමු, ඉතිරි නොදන්නා (ඒවා නිදහස් නොදන්නා ඒවා ලෙස හැඳින්වේ) සමීකරණවල දකුණු පැත්තට ගෙන යන්නෙමු.

3. නිදහස් ඒවා අනුව ප්‍රධාන නොදන්නා දේ සඳහා ප්‍රකාශන සොයා ගනිමු. අපි පද්ධතියේ පොදු විසඳුම ලබා ගනිමු.

4. නොමිලේ නොදන්නා අයට අත්තනෝමතික අගයන් ලබා දීමෙන්, අපි ප්‍රධාන නොදන්නා අයගේ අනුරූප අගයන් ලබා ගනිමු. මේ ආකාරයෙන් අපි මුල් සමීකරණ පද්ධතියට අර්ධ විසඳුම් සොයා ගනිමු.

රේඛීය වැඩසටහන්කරණය. මූලික සංකල්ප

රේඛීය වැඩසටහන්කරණයවිචල්‍යයන් සහ රේඛීය නිර්ණායකයක් අතර රේඛීය සම්බන්ධතාවයකින් සංලක්ෂිත වන අන්ත ගැටලු විසඳීමේ ක්‍රම අධ්‍යයනය කරන ගණිතමය ක්‍රමලේඛනයේ ශාඛාවකි.

රේඛීය ක්‍රමලේඛන ගැටළුවක් මතු කිරීම සඳහා අත්‍යවශ්‍ය කොන්දේසියක් වන්නේ සම්පත් ලබා ගැනීමේ හැකියාව, ඉල්ලුමේ ප්‍රමාණය, ව්‍යවසායයේ නිෂ්පාදන ධාරිතාව සහ අනෙකුත් නිෂ්පාදන සාධක සීමා කිරීමයි.

රේඛීය ක්‍රමලේඛනයේ සාරය නම් තර්ක සහ උත්පාදක යන්ත්‍ර මත පනවා ඇති යම් සීමාවන් යටතේ යම් ශ්‍රිතයක විශාලතම හෝ කුඩාම අගයේ ලක්ෂ්‍ය සොයා ගැනීමයි. සීමා පද්ධතිය , රීතියක් ලෙස, අසීමිත විසඳුම් ඇත. එක් එක් විචල්‍ය අගයන් කට්ටලයක් (ක්‍රියාකාරී තර්ක එෆ් ) සීමා පද්ධතිය තෘප්තිමත් කරන ලෙස හැඳින්වේ වලංගු සැලැස්ම රේඛීය ක්‍රමලේඛන ගැටළු. කාර්යය එෆ් , තීරණය කරනු ලබන උපරිම හෝ අවම වශයෙන් හැඳින්වේ ඉලක්ක කාර්යය කාර්යයන්. ශ්‍රිතයක උපරිම හෝ අවමය සාක්ෂාත් කර ගත හැකි ශක්‍ය සැලැස්මකි එෆ් , නමින් ප්රශස්ත සැලැස්ම කාර්යයන්.

බොහෝ සැලසුම් නිර්වචනය කරන සීමා පද්ධතිය නිෂ්පාදන තත්ත්වයන් විසින් නියම කරනු ලැබේ. රේඛීය ක්‍රමලේඛන ගැටළුව ( ZLP ) යනු ශක්‍ය සැලසුම් සමූහයකින් වඩාත්ම ලාභදායී (ප්‍රශස්ත) එකක් තෝරාගැනීමයි.

එහි සාමාන්‍ය සූත්‍රගත කිරීමේදී, රේඛීය ක්‍රමලේඛන ගැටළුව මේ ආකාරයට පෙනේ:

විචල්‍යයන් තිබේද? x = (x 1, x 2, ... x n) සහ මෙම විචල්‍යවල ක්‍රියාකාරිත්වය f(x) = f (x 1, x 2, ... x n) , ලෙස හැඳින්වේ ඉලක්කය කාර්යයන්. කාර්යය සකසා ඇත: වෛෂයික ශ්රිතයේ අන්තය (උපරිම හෝ අවම) සොයා ගැනීමට f(x) විචල්යයන් බව සපයා ඇත x යම් ප්රදේශයකට අයත් වේ ජී :

කාර්යයේ වර්ගය මත රඳා පවතී f(x) සහ කලාප ජී සහ ගණිතමය ක්‍රමලේඛනයේ කොටස් අතර වෙනස හඳුනා ගන්න: චතුරස්‍ර ක්‍රමලේඛනය, උත්තල ක්‍රමලේඛනය, පූර්ණ සංඛ්‍යා ක්‍රමලේඛනය, ආදිය. රේඛීය ක්‍රමලේඛනය මගින් සංලක්ෂිත වේ
a) කාර්යය f(x) විචල්‍යවල රේඛීය ශ්‍රිතයකි x 1, x 2, … x n
b) කලාපය ජී පද්ධතිය විසින් තීරණය කරනු ලැබේ රේඛීය සමානාත්මතා හෝ අසමානතා.

පදනමට ඇතුළත් කර නොමැති දෛශික සහ දෛශික පද්ධතියේ පදනම සොයා ගන්න, පදනම අනුව ඒවා පුළුල් කරන්න:

ඒ 1 = {5, 2, -3, 1}, ඒ 2 = {4, 1, -2, 3}, ඒ 3 = {1, 1, -1, -2}, ඒ 4 = {3, 4, -1, 2}, ඒ 5 = {13, 8, -7, 4}.

විසඳුම. රේඛීය සමීකරණවල සමජාතීය පද්ධතියක් සලකා බලන්න

ඒ 1 X 1 + ඒ 2 X 2 + ඒ 3 X 3 + ඒ 4 X 4 + ඒ 5 X 5 = 0

හෝ පුළුල් ස්වරූපයෙන්.

පේළි සහ තීරු මාරු නොකර අපි මෙම පද්ධතිය ගවුසියන් ක්‍රමය මගින් විසඳන්නෙමු, ඊට අමතරව, ප්‍රධාන මූලද්‍රව්‍යය ඉහළ වම් කෙළවරේ නොව සම්පූර්ණ පේළිය දිගේ තෝරා ගනිමු. අභියෝගයයි පරිවර්තනය කරන ලද දෛශික පද්ධතියේ විකර්ණ කොටස තෝරන්න.

~ ~

~ ~ ~ .

අවසර ලත් දෛශික පද්ධතිය, මුල් එකට සමාන, ආකෘතිය ඇත

ඒ 1 1 X 1 + ඒ 2 1 X 2 + ඒ 3 1 X 3 + ඒ 4 1 X 4 + ඒ 5 1 X 5 = 0 ,

කොහෙද ඒ 1 1 = , ඒ 2 1 = , ඒ 3 1 = , ඒ 4 1 = , ඒ 5 1 = . (1)

දෛශික ඒ 1 1 , ඒ 3 1 , ඒ 4 1 විකර්ණ පද්ධතියක් සාදයි. එබැවින්, වාහකයන් ඒ 1 , ඒ 3 , ඒ 4 දෛශික පද්ධතියේ පදනම වේ ඒ 1 , ඒ 2 , ඒ 3 , ඒ 4 , ඒ 5 .

දැන් අපි දෛශික පුළුල් කරමු ඒ 2 සහ ඒ 5 පදනම මත ඒ 1 , ඒ 3 , ඒ 4. මෙය සිදු කිරීම සඳහා, අපි මුලින්ම අනුරූප දෛශික පුළුල් කරමු ඒ 2 1 සහ ඒ 5 1 විකර්ණ පද්ධතිය ඒ 1 1 , ඒ 3 1 , ඒ 4 1, විකර්ණ පද්ධතිය දිගේ දෛශිකයක ප්‍රසාරණයේ සංගුණක එහි ඛණ්ඩාංක බව මතක තබා ගනිමින් x i.

(1) සිට අපට ඇත්තේ:

ඒ 2 1 = ඒ 3 1 · (-1) + ඒ 4 1 0 + ඒ 1 1 ·1 => ඒ 2 1 = ඒ 1 1 – ඒ 3 1 .

ඒ 5 1 = ඒ 3 1 0 + ඒ 4 1 1 + ඒ 1 1 ·2 => ඒ 5 1 = 2ඒ 1 1 + ඒ 4 1 .

දෛශික ඒ 2 සහ ඒ 5 පදනමින් පුළුල් කර ඇත ඒ 1 , ඒ 3 , ඒ 4 දෛශික වලට සමාන සංගුණක සමඟ ඒ 2 1 සහ ඒ 5 1 විකර්ණ පද්ධතිය ඒ 1 1 , ඒ 3 1 , ඒ 4 1 (එම සංගුණක x i) එබැවින්,

ඒ 2 = ඒ 1 – ඒ 3 , ඒ 5 = 2ඒ 1 + ඒ 4 .

පැවරුම්. 1.පදනමට ඇතුළත් නොවන දෛශික සහ දෛශික පද්ධතියේ පදනම සොයන්න, පදනම අනුව ඒවා පුළුල් කරන්න:

1. a 1 = { 1, 2, 1 }, a 2 = { 2, 1, 3 }, a 3 = { 1, 5, 0 }, a 4 = { 2, -2, 4 }.

2. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 0, 1, 2 }, a 3 = { 2, 1, -4 }, a 4 = { 1, 1, 0 }.

3. a 1 = { 1, -2, 3 }, a 2 = { 0, 1, -1 }, a 3 = { 1, 3, 0 }, a 4 = { 0, -7, 3 }, a 5 = { 1, 1, 1 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

2. දෛශික පද්ධතියේ සියලුම පාද සොයන්න:

1. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 3, 1, 2 }, a 3 = { 1, 2, 1 }, a 4 = { 2, 1, 2 }.

2. a 1 = { 1, 1, 1 }, a 2 = { -3, -5, 5 }, a 3 = { 3, 4, -1 }, a 4 = { 1, -1, 4 }.

දෛශිකවල රේඛීය සංයෝගයක් දෛශිකයකි
, මෙහි λ 1, ..., λ m යනු අත්තනෝමතික සංගුණක වේ.

දෛශික පද්ධතිය
සමාන රේඛීය සංයෝජනයක් තිබේ නම් එය රේඛීය ලෙස රඳා පවතී , අවම වශයෙන් ශුන්‍ය නොවන සංගුණකයක් ඇති.

දෛශික පද්ධතිය
එහි කිසියම් රේඛීය සංයෝජනයක සමාන නම් රේඛීය ස්වාධීන ලෙස හැඳින්වේ , සියලුම සංගුණක ශුන්ය වේ.

දෛශික පද්ධතියේ පදනම
පද්ධතියේ ඕනෑම දෛශිකයක් ප්‍රකාශ කළ හැකි එහි හිස් නොවන රේඛීය ස්වාධීන උප පද්ධතිය ලෙස හැඳින්වේ.

උදාහරණ 2. දෛශික පද්ධතියක පදනම සොයන්න = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) සහ පදනම හරහා ඉතිරි දෛශික ප්රකාශ කරන්න.

විසඳුම: අපි මෙම දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක තීරු ආකාරයෙන් සකස් කර ඇති අනුකෘතියක් ගොඩනඟමු. අපි එය පියවරෙන් පියවර ආකෘතියකට ගෙන එන්නෙමු.

~
~
~
.

මෙම පද්ධතියේ පදනම සෑදී ඇත්තේ දෛශික මගිනි ,,, රේඛාවල ප්‍රමුඛ මූලද්‍රව්‍යවලට අනුරූප වන, රවුම් වලින් උද්දීපනය කර ඇත. දෛශිකයක් ප්රකාශ කිරීමට x 1 සමීකරණය විසඳන්න +x 2 + x 4 =. එය රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් දක්වා අඩු කරයි, එහි අනුකෘතිය තීරුවේ මුල් ප්‍රගමනයට අනුරූප වේ

, නිදහස් කොන්දේසි තීරුව වෙනුවට.

එබැවින්, පද්ධතිය විසඳීම සඳහා, අපි ප්රතිඵලය වන අනුකෘතිය පියවරෙන් පියවර ආකාරයෙන් භාවිතා කරමු, එය තුළ අවශ්ය ප්රතිසංවිධානයන් සිදු කරයි.

= -+2.

අපි නිරන්තරයෙන් සොයා ගන්නේ:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

අභ්‍යාස 2. දෛශික පද්ධතියේ පදනම සොයාගෙන ඉතිරි දෛශික පදනම හරහා ප්‍රකාශ කරන්න:

A) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

V) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. මූලික විසඳුම් පද්ධතිය

රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් එහි සියලුම නිදහස් පද බිංදුවට සමාන නම් සමජාතීය ලෙස හැඳින්වේ.

සමජාතීය රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක විසඳුම්වල මූලික පද්ධතිය එහි විසඳුම් සමූහයේ පදනම වේ.

අපට සමජාතීය රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් ලබා දෙමු. ලබා දී ඇති එකක් හා සම්බන්ධ සමජාතීය පද්ධතියක් යනු සියලු නිදහස් පද ශුන්‍ය මගින් ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමෙන් ලබා දී ඇති එකකින් ලබා ගන්නා පද්ධතියකි.

සමජාතීය පද්ධතිය ස්ථාවර සහ අවිනිශ්චිත නම්, එහි අත්තනෝමතික විසඳුම f n +  1 f o1 + ... +  k f o k පෝරමය ඇත, එහිදී f n යනු අසමජාතීය පද්ධතියේ විශේෂිත විසඳුමක් වන අතර f o1 , ... , f o k යනු ආශ්රිත සමජාතීය පද්ධතියේ මූලික පද්ධති විසඳුම්.

උදාහරණ 3. නිදසුන් 1 සහ ආශ්‍රිත සමජාතීය පද්ධතියට විසඳුම්වල මූලික පද්ධතියෙන් සමජාතීය පද්ධතියට විශේෂිත විසඳුමක් සොයන්න.

විසඳුම 1 උදාහරණයෙන් ලබාගත් විසඳුම දෛශික ආකාරයෙන් ලියා එහි ඇති නිදහස් පරාමිති සහ ස්ථාවර සංඛ්‍යාත්මක අගයන් මත ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන දෛශිකය වියෝජනය කරමු.

= (x 1 , x 2 , x 3 , x 4) = (–2a + 7b – 2, a, –2b + 1, b) = (–2a, a, 0, 0) + (7b, 0, – 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b (7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0 )

අපට f n = (– 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1) ලැබේ.

අදහස් දක්වන්න. සමජාතීය පද්ධතියකට විසඳුම් පිළිබඳ මූලික පද්ධතියක් සොයා ගැනීමේ ගැටලුව ද ඒ හා සමානව විසඳනු ලැබේ.

අභ්‍යාස 3.1 සමජාතීය පද්ධතියක මූලික විසඳුම් පද්ධතිය සොයන්න:

A)

b)

ඇ) 2x 1 – x 2 +3x 3 = 0.

අභ්යාස 3.2. සමජාතීය පද්ධතියට විශේෂිත විසඳුමක් සහ ආශ්‍රිත සමජාතීය පද්ධතියට විසඳුම්වල මූලික පද්ධතියක් සොයන්න:

A)

b)

දෛශිකවල රේඛීය යැපීම සහ රේඛීය ස්වාධීනත්වය.
දෛශික පදනම. Affine ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය

ශ්රවණාගාරයේ චොකලට් සහිත කරත්තයක් ඇති අතර, අද දින සෑම අමුත්තෙක්ම මිහිරි යුවලක් ලැබෙනු ඇත - රේඛීය වීජ ගණිතය සමඟ විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය. මෙම ලිපියෙන් උසස් ගණිතයේ කොටස් දෙකක් එකවර ස්පර්ශ වන අතර, ඒවා එක එතුමක සහජීවනයෙන් පවතින ආකාරය අපි බලමු. විවේකයක් ගන්න, Twix එකක් කන්න! ... අපරාදේ, මොන විකාර ද. කෙසේ වෙතත්, හරි, මම ලකුණු නොලබන්නෙමි, අවසානයේ, ඔබ ඉගෙනීම කෙරෙහි ධනාත්මක ආකල්පයක් තිබිය යුතුය.

දෛශිකවල රේඛීය යැපීම, රේඛීය දෛශික ස්වාධීනත්වය, දෛශික පදනමසහ අනෙකුත් පද වලට ජ්‍යාමිතික අර්ථකථනයක් පමණක් නොව, සියල්ලටත් වඩා වීජීය අර්ථයක් ඇත. රේඛීය වීජ ගණිතයේ දෘෂ්ටි කෝණයෙන් "දෛශිකය" යන සංකල්පය සැමවිටම අපට ගුවන් යානයක හෝ අභ්‍යවකාශයේ නිරූපණය කළ හැකි "සාමාන්‍ය" දෛශිකය නොවේ. ඔබට සාක්ෂි සඳහා වැඩි දුරක් බැලීමට අවශ්‍ය නැත, පංචමාන අවකාශයේ දෛශිකයක් ඇඳීමට උත්සාහ කරන්න . නැත්නම් මම Gismeteo වෙත ගිය කාලගුණ දෛශිකය: පිළිවෙලින් උෂ්ණත්වය සහ වායුගෝලීය පීඩනය. ඇත්ත වශයෙන්ම, දෛශික අවකාශයේ ගුණාංගවල දෘෂ්ටි කෝණයෙන් උදාහරණය වැරදියි, නමුත්, කෙසේ වෙතත්, මෙම පරාමිතීන් දෛශිකයක් ලෙස විධිමත් කිරීම කිසිවෙකු තහනම් නොකරයි. සරත් සෘතුවේ හුස්ම ...

නැහැ, මම ඔබට න්‍යාය, රේඛීය දෛශික අවකාශයන් එපා කරන්නේ නැහැ, කාර්යය වන්නේ තේරුම් ගන්නවාඅර්ථ දැක්වීම් සහ ප්‍රමේය. නව නියමයන් (රේඛීය යැපීම, ස්වාධීනත්වය, රේඛීය සංයෝජනය, පදනම, ආදිය) වීජීය දෘෂ්ටි කෝණයෙන් සියලුම දෛශික සඳහා අදාළ වේ, නමුත් ජ්යාමිතික උදාහරණ ලබා දෙනු ඇත. මේ අනුව, සෑම දෙයක්ම සරල, ප්රවේශ විය හැකි සහ පැහැදිලි ය. විශ්ලේෂණාත්මක ජ්යාමිතිය පිළිබඳ ගැටළු වලට අමතරව, අපි සාමාන්ය වීජ ගණිත ගැටළු කිහිපයක් ද සලකා බලමු. ද්රව්යය ප්රගුණ කිරීම සඳහා, පාඩම් සමඟ ඔබ හුරුපුරුදු වීම යෝග්ය වේ ඩමි සඳහා දෛශිකසහ නිර්ණායකය ගණනය කරන්නේ කෙසේද?

ගුවන් යානා දෛශිකවල රේඛීය යැපීම සහ ස්වාධීනත්වය.
ප්ලේන් පදනම සහ affine ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය

ඔබේ පරිගණක මේසයේ තලය (මේසයක්, ඇඳ අසල මේසයක්, බිම, සිවිලිම, ඔබ කැමති ඕනෑම දෙයක්) සලකා බලමු. කාර්යය පහත ක්‍රියා වලින් සමන්විත වනු ඇත:

1) ගුවන් යානා පදනම තෝරන්න. දළ වශයෙන් කිවහොත්, මේස පුවරුවක දිගක් සහ පළලක් ඇත, එබැවින් පදනම තැනීමට දෛශික දෙකක් අවශ්‍ය වනු ඇතැයි සිතිය හැක. එක් දෛශිකයක් පැහැදිලිවම ප්‍රමාණවත් නොවේ, දෛශික තුනක් ඕනෑවට වඩා වැඩිය.

2) තෝරාගත් පදනම මත පදනම්ව සකසන්න සම්බන්ධීකරණ පද්ධතිය(ඛණ්ඩාංක ජාලය) මේසය මත ඇති සියලුම වස්තූන් සඳහා ඛණ්ඩාංක පැවරීමට.

පුදුම වෙන්න එපා, මුලින්ම පැහැදිලි කිරීම් ඇඟිලි මත වනු ඇත. එපමණක්ද නොව, ඔබේ මත. කරුණාකර තබන්න වම් දර්ශක ඇඟිල්ලඔහු මොනිටරය දෙස බලන පරිදි මේසයේ කෙළවරේ. මෙය දෛශිකයක් වනු ඇත. දැන් තියන්න දකුණු කුඩා ඇඟිල්ලමේසයේ කෙළවරේ එකම ආකාරයකින් - එය මොනිටරයේ තිරය වෙත යොමු කරනු ලැබේ. මෙය දෛශිකයක් වනු ඇත. සිනාසෙන්න, ඔබ විශිෂ්ටයි! දෛශික ගැන අපට කුමක් කිව හැකිද? දත්ත දෛශික collinear, එනම් රේඛීයඑකිනෙකා හරහා ප්රකාශිත:
, හොඳයි, හෝ අනෙක් අතට: , ශුන්‍යයට වඩා යම් සංඛ්‍යාවක් වෙනස් වන්නේ කොහිද?

ඔබට මෙම ක්‍රියාවෙහි පින්තූරයක් පන්තියේ දැකිය හැකිය. ඩමි සඳහා දෛශික, එහිදී මම දෛශිකයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීමේ රීතිය පැහැදිලි කළෙමි.

ඔබේ ඇඟිලි පරිගණක මේසයේ තලයේ පදනම සකසයිද? පැහැදිලිවම නැහැ. කොලිනියර් දෛශික හරහා එහා මෙහා ගමන් කරයි තනියමදිශාව, සහ ගුවන් යානයක දිග සහ පළල ඇත.

එවැනි දෛශික ලෙස හැඳින්වේ රේඛීයව රඳා පවතී.

යොමුව: "රේඛීය", "රේඛීය" යන වචන වලින් අදහස් කරන්නේ ගණිතමය සමීකරණ සහ ප්‍රකාශනවල වර්ග, කැට, වෙනත් බල, ලඝුගණක, සයිනස් යනාදිය නොමැති බවයි. ඇත්තේ රේඛීය (1 වන උපාධිය) ප්‍රකාශන සහ පරායත්තතා පමණි.

ගුවන් යානා දෛශික දෙකක් රේඛීයව රඳා පවතීනම් සහ ඒවා collinear නම් පමණි.

අංශක 0 හෝ 180 හැර වෙනත් ඕනෑම කෝණයක් ඒවා අතර ඇති වන පරිදි මේසය මත ඔබේ ඇඟිලි හරස් කරන්න. ගුවන් යානා දෛශික දෙකක්රේඛීය නැතරඳා පවතී නම් සහ ඒවා collinear නොවේ නම් පමණි. එබැවින්, පදනම ලබා ගනී. විවිධ දිගින් යුත් ලම්බක නොවන දෛශික සමඟ පදනම “ඇලවී” ඇති බව ලැජ්ජාවට පත් විය යුතු නැත. එහි ඉදිකිරීම් සඳහා අංශක 90 ක කෝණයක් පමණක් සුදුසු නොවන අතර සමාන දිග ඒකක දෛශික පමණක් නොවන බව ඉතා ඉක්මනින් අපට පෙනෙනු ඇත.

ඕනෑමගුවන් යානා දෛශිකය එකම මාර්ගයපදනම අනුව පුළුල් වේ:
, සැබෑ සංඛ්යා කොහෙද. අංක කැඳවනු ලැබේ දෛශික ඛණ්ඩාංකමෙම පදනම තුළ.

කියලත් කියනවා දෛශිකයලෙස ඉදිරිපත් කර ඇත රේඛීය සංයෝජනයපදනම් දෛශික. එනම්, ප්රකාශනය ලෙස හැඳින්වේ දෛශික වියෝජනයපදනම අනුවහෝ රේඛීය සංයෝජනයපදනම් දෛශික.

උදාහරණයක් ලෙස, තලයේ විකලාංග පදනමක් ඔස්සේ දෛශිකය දිරාපත් වී ඇති බව අපට පැවසිය හැකිය, නැතහොත් එය දෛශිකවල රේඛීය සංයෝජනයක් ලෙස නිරූපණය වන බව අපට පැවසිය හැකිය.

අපි සකස් කරමු පදනම අර්ථ දැක්වීමවිධිමත් ලෙස: ගුවන් යානයේ පදනමරේඛීය ස්වාධීන (කොලීනියර් නොවන) දෛශික යුගලයක් ලෙස හැඳින්වේ, , අතර ඕනෑමතල දෛශිකයක් යනු පදනම් දෛශිකවල රේඛීය සංයෝගයකි.

නිර්වචනයේ අත්‍යවශ්‍ය කරුණක් වන්නේ දෛශික ගන්නා බවයි නිශ්චිත අනුපිළිවෙලකට. පදනම් - මේවා සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් පදනම් දෙකක්! ඔවුන් පවසන පරිදි, ඔබේ දකුණු අතේ කුඩා ඇඟිල්ල වෙනුවට ඔබේ වම් අතේ කුඩා ඇඟිල්ල ප්රතිස්ථාපනය කළ නොහැකිය.

අපි පදනම හදුනාගෙන ඇත, නමුත් ඛණ්ඩාංක ජාලයක් සැකසීමට සහ ඔබේ පරිගණක මේසයේ ඇති එක් එක් අයිතමයට ඛණ්ඩාංක පැවරීම ප්රමාණවත් නොවේ. ඇයි මදිද? වාහකයන් නිදහස් වන අතර මුළු තලය පුරාම සැරිසරයි. ඉතින් සති අන්තයකින් පසු ඉතිරි වන මේසය මත ඇති කුඩා අපිරිසිදු ස්ථාන සඳහා ඔබ ඛණ්ඩාංක පවරන්නේ කෙසේද? ආරම්භක ලක්ෂ්යයක් අවශ්ය වේ. එවැනි සන්ධිස්ථානයක් සෑම කෙනෙකුටම හුරුපුරුදු කරුණකි - ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය. ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය තේරුම් ගනිමු:

මම "පාසල්" පද්ධතියෙන් පටන් ගන්නම්. දැනටමත් හඳුන්වාදීමේ පාඩමෙහි ඩමි සඳහා දෛශිකමම සෘජුකෝණාස්‍රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය සහ විකලාංග පදනම අතර යම් යම් වෙනස්කම් ඉස්මතු කළෙමි. මෙන්න සම්මත පින්තූරය:

ඔවුන් ගැන කතා කරන විට සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය, එවිට බොහෝ විට ඔවුන් අදහස් කරන්නේ මූලාරම්භය, සම්බන්ධීකරණ අක්ෂ සහ අක්ෂ දිගේ පරිමාණය. “සෘජුකෝණාස්‍රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය” සෙවුම් යන්ත්‍රයකට ටයිප් කිරීමට උත්සාහ කරන්න, 5-6 ශ්‍රේණියේ සිට හුරුපුරුදු ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සහ ගුවන් යානයක ලකුණු කරන්නේ කෙසේද යන්න පිළිබඳව බොහෝ මූලාශ්‍ර ඔබට කියනු ඇති බව ඔබට පෙනෙනු ඇත.

අනෙක් අතට, සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් විකලාංග පදනමක් අනුව සම්පූර්ණයෙන්ම අර්ථ දැක්විය හැකි බව පෙනේ. එය බොහෝ දුරට සත්‍යයකි. වාක්‍ය ඛණ්ඩය මෙසේය.

සම්භවය, සහ විකලාංගපදනම සකසා ඇත කාටිසියානු සෘජුකෝණාස්රාකාර තල ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය . එනම්, සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියයි නියත වශයෙන්මතනි ලක්ෂ්‍යයකින් සහ විකලාංග දෛශික ඒකක දෙකකින් අර්ථ දැක්වේ. මා ඉහත දක්වා ඇති චිත්‍රය ඔබට පෙනෙන්නේ එබැවිනි - ජ්‍යාමිතික ගැටළු වලදී, දෛශික සහ ඛණ්ඩාංක අක්ෂ දෙකම බොහෝ විට (නමුත් සෑම විටම නොවේ) අඳිනු ලැබේ.

ලක්ෂ්‍යයක් (සම්භවයක්) සහ විකලාංග පදනමක් භාවිතා කිරීම සෑම කෙනෙකුටම වැටහෙන බව මම සිතමි ගුවන් යානයේ ඕනෑම ලක්ෂයක් සහ ගුවන් යානයේ ඕනෑම දෛශිකයක්ඛණ්ඩාංක පැවරිය හැක. සංකේතාත්මකව කිවහොත්, "ගුවන් යානයක ඇති සෑම දෙයක්ම අංකනය කළ හැකිය."

ඛණ්ඩාංක දෛශික ඒකක වීමට අවශ්‍යද? නැත, ඔවුන්ට අත්තනෝමතික ශුන්‍ය නොවන දිගක් තිබිය හැක. අත්තනෝමතික ශුන්‍ය නොවන දිගකින් යුත් ලක්ෂ්‍යයක් සහ විකලාංග දෛශික දෙකක් සලකා බලන්න:

එවැනි පදනමක් ලෙස හැඳින්වේ විකලාංග. දෛශික සමඟ ඛණ්ඩාංකවල මූලාරම්භය ඛණ්ඩාංක ජාලයකින් අර්ථ දක්වා ඇති අතර, තලයේ ඕනෑම ලක්ෂ්‍යයක්, ඕනෑම දෛශිකයකට එහි ඛණ්ඩාංක යම් පදනමක් තුළ ඇත. උදාහරණයක් ලෙස, හෝ. පැහැදිලි අපහසුතාවය වන්නේ ඛණ්ඩාංක දෛශිකයි සාමාන්ය නඩුවේඑකමුතුකම හැර වෙනත් දිග ඇත. දිග එකමුතුකමට සමාන නම්, සුපුරුදු විකලාංග පදනම ලබා ගනී.

! සටහන : විකලාංග පදනමින් මෙන්ම පහතින් තලයේ සහ අභ්‍යවකාශයේ ඇෆයින් පාදවල අක්ෂ දිගේ ඒකක සලකනු ලැබේ. කොන්දේසි සහිත. උදාහරණයක් ලෙස, x-අක්ෂය දිගේ එක් ඒකකයක් සෙන්ටිමීටර 4 ක්, ඕඩිනේට් අක්ෂය දිගේ එක් ඒකකයක් සෙන්ටිමීටර 2 ක් අඩංගු වේ, අවශ්ය නම්, "සම්මත නොවන" ඛණ්ඩාංක "අපගේ සාමාන්ය සෙන්ටිමීටර" බවට පරිවර්තනය කිරීමට මෙම තොරතුරු ප්රමාණවත් වේ.

දෙවන ප්‍රශ්නය, ඇත්ත වශයෙන්ම දැනටමත් පිළිතුරු දී ඇත, පදනම් දෛශික අතර කෝණය අංශක 90 ට සමාන විය යුතුද? නැහැ! නිර්වචනයේ සඳහන් පරිදි, පදනම් දෛශික විය යුතුය collinear නොවන පමණි. ඒ අනුව, කෝණය අංශක 0 සහ 180 හැර ඕනෑම දෙයක් විය හැකිය.

ගුවන් යානයේ ලක්ෂ්යයක් ලෙස හැඳින්වේ සම්භවය, සහ collinear නොවනදෛශික, , කට්ටලය affine plane ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය :

සමහර විට එවැනි සම්බන්ධීකරණ පද්ධතියක් ලෙස හැඳින්වේ ආනතපද්ධතිය. උදාහරණ ලෙස, ඇඳීම ලකුණු සහ දෛශික පෙන්වයි:

ඔබ තේරුම් ගත් පරිදි, අපි පාඩමේ දෙවන කොටසේ සාකච්ඡා කළ දෛශික සහ කොටස්වල දිග සඳහා වන සූත්‍ර ඊටත් වඩා අඩු පහසු ය; ඩමි සඳහා දෛශික, සම්බන්ධ බොහෝ රසවත් සූත්ර දෛශිකවල අදිශ නිෂ්පාදනය. නමුත් දෛශික එකතු කිරීම සහ දෛශිකයක් සංඛ්‍යාවකින් ගුණ කිරීම සඳහා වන නීති, මෙම සම්බන්ධතාවයේ කොටසක් බෙදීමේ සූත්‍ර මෙන්ම අපි ඉක්මනින් සලකා බලන වෙනත් ගැටළු වර්ග වලංගු වේ.

තවද නිගමනය වන්නේ affine ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක වඩාත් පහසු විශේෂ අවස්ථාව වන්නේ Cartesian සෘජුකෝණාස්රාකාර පද්ධතියයි. ඒ නිසා ඔබ බොහෝ විට ඇයව දැකීමට සිදු වේ, මගේ ආදරණීය. ...කෙසේ වෙතත්, මේ ජීවිතයේ සෑම දෙයක්ම සාපේක්ෂයි - ආනත කෝණයක් ඇති බොහෝ අවස්ථා තිබේ (හෝ වෙනත් එකක්, උදාහරණයක් ලෙස, ධ්රැවීය) සම්බන්ධීකරණ පද්ධතිය. මානව හිතවාදීන් එවැනි පද්ධති වලට කැමති විය හැකිය =)

අපි ප්‍රායෝගික කොටස වෙත යමු. මෙම පාඩමේ ඇති සියලුම ගැටළු සෘජුකෝණාස්‍රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියට සහ සාමාන්‍ය affine නඩුව සඳහා වලංගු වේ. මෙහි සංකීර්ණ කිසිවක් නොමැත; සියලුම ද්‍රව්‍ය පාසල් දරුවෙකුට පවා ප්‍රවේශ විය හැකිය.

තල වාහකවල සහසම්බන්ධතාවය තීරණය කරන්නේ කෙසේද?

සාමාන්‍ය දෙයක්. ගුවන් යානා දෛශික දෙකක් සඳහා collinear විය, ඒවායේ අනුරූප ඛණ්ඩාංක සමානුපාතික වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේඅත්යවශ්යයෙන්ම, මෙය පැහැදිලි සම්බන්ධතාවයේ ඛණ්ඩාංක-ඛණ්ඩාංක විස්තර කිරීමකි.

උදාහරණ 1

a) දෛශික collinear ද යන්න පරීක්ෂා කරන්න .
ආ) දෛශික පදනමක් සාදයිද? ?

විසඳුම:
a) දෛශික සඳහා තිබේදැයි අපි සොයා බලමු සමානුපාතික සංගුණකය, සමානතා තෘප්තිමත් වන පරිදි:

ප්‍රායෝගිකව හොඳින් ක්‍රියාත්මක වන මෙම රීතිය ක්‍රියාත්මක කිරීමේ “ෆොපිෂ්” අනුවාදය ගැන මම අනිවාර්යයෙන්ම ඔබට කියමි. අදහස නම් වහාම සමානුපාතය සාදා එය නිවැරදි දැයි බැලීමයි:

දෛශිකවල අනුරූප ඛණ්ඩාංකවල අනුපාතවලින් සමානුපාතිකයක් සාදන්න:

අපි කෙටි කරමු:
, එබැවින් අනුරූප ඛණ්ඩාංක සමානුපාතික වේ, එබැවින්,

සම්බන්ධතාවය වෙනත් ආකාරයකින් සිදු කළ හැකිය, මෙය සමාන විකල්පයකි:

ස්වයං පරීක්ෂාව සඳහා, ඔබට collinear දෛශික එකිනෙක හරහා රේඛීයව ප්‍රකාශ වන බව භාවිතා කළ හැකිය. මෙම අවස්ථාවේ දී, සමානාත්මතාවයන් සිදු වේ . දෛශික සමඟ මූලික මෙහෙයුම් හරහා ඒවායේ වලංගු භාවය පහසුවෙන් තහවුරු කර ගත හැක:

b) තල දෛශික දෙකක් collinear (රේඛීයව ස්වාධීන) නොවේ නම් පදනමක් සාදයි. සහසම්බන්ධතාවය සඳහා අපි දෛශික පරීක්ෂා කරමු . අපි පද්ධතියක් නිර්මාණය කරමු:

පළමු සමීකරණයෙන් එය අනුගමනය කරයි, දෙවන සමීකරණයෙන් එය අනුගමනය කරයි, එනම් පද්ධතිය නොගැලපේ(විසඳුම් නැත). මේ අනුව, දෛශිකවල අනුරූප ඛණ්ඩාංක සමානුපාතික නොවේ.

නිගමනය: දෛශික රේඛීයව ස්වාධීන වන අතර පදනමක් සාදයි.

විසඳුමේ සරල අනුවාදයක් මේ වගේ ය:

දෛශිකවල අනුරූප ඛණ්ඩාංක වලින් සමානුපාතිකයක් කරමු :
, එනම් මෙම දෛශික රේඛීයව ස්වාධීන වන අතර පදනමක් සාදයි.

සාමාන්යයෙන් මෙම විකල්පය සමාලෝචකයින් විසින් ප්රතික්ෂේප නොකෙරේ, නමුත් සමහර ඛණ්ඩාංක ශුන්යයට සමාන වන අවස්ථාවලදී ගැටළුවක් පැන නගී. මෙවැනි: . හෝ මේ වගේ: . හෝ මේ වගේ: . මෙහි සමානුපාතිකව වැඩ කරන්නේ කෙසේද? (ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබට බිංදුවෙන් බෙදිය නොහැක). මම සරල කළ විසඳුම "foppish" ලෙස හැඳින්වූයේ මේ හේතුව නිසා ය.

පිළිතුර: a) , b) ආකෘතිය.

ඔබේම විසඳුම සඳහා කුඩා නිර්මාණාත්මක උදාහරණයක්:

උදාහරණය 2

දෛශික යනු පරාමිතියේ කුමන අගයකද? ඒවා කෝලිනියර් වේවිද?

නියැදි විසඳුමෙහි, පරාමිතිය සමානුපාතිකය හරහා සොයාගත හැකිය.

සහසම්බන්ධතාවය සඳහා දෛශික පරීක්ෂා කිරීමට අලංකාර වීජීය ක්‍රමයක් ඇත, අපි අපගේ දැනුම ක්‍රමානුකූල කර එය පස්වන කරුණ ලෙස එකතු කරමු.

තල දෛශික දෙකක් සඳහා පහත ප්‍රකාශ සමාන වේ:

2) දෛශික පදනමක් සාදයි;
3) දෛශික ඛණ්ඩක නොවේ;

+ 5) මෙම දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක වලින් සමන්විත නිර්ණායකය ශුන්‍ය නොවේ.

පිළිවෙලින්, පහත ප්‍රතිවිරුද්ධ ප්‍රකාශ සමාන වේ:
1) දෛශික රේඛීයව රඳා පවතී;
2) දෛශික පදනමක් සාදන්නේ නැත;
3) දෛශික ඛණ්ඩක වේ;
4) දෛශික එකිනෙක හරහා රේඛීයව ප්‍රකාශ කළ හැක;
+ 5) මෙම දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක වලින් සමන්විත නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන වේ.

ඔබ මුහුණ දී ඇති සියලුම නියමයන් සහ ප්‍රකාශයන් මේ වන විට ඔබ දැනටමත් තේරුම් ගෙන ඇති බව මම සැබවින්ම බලාපොරොත්තු වෙමි.

නව, පස්වන කරුණ දෙස සමීපව බලමු: ගුවන් යානා දෛශික දෙකක් ලබා දී ඇති දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක වලින් සමන්විත නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන නම් සහ ඛණ්ඩාංක නම් පමණි:. මෙම විශේෂාංගය යෙදීම සඳහා, ඇත්ත වශයෙන්ම, ඔබට හැකි විය යුතුය නිර්ණායක සොයා ගන්න.

අපි තීරණය කරමුඋදාහරණ 1 දෙවන ආකාරයෙන්:

a) අපි දෛශික ඛණ්ඩාංක වලින් සෑදූ නිර්ණායකය ගණනය කරමු :
, එනම් මෙම දෛශික collinear බවයි.

b) තල දෛශික දෙකක් collinear (රේඛීයව ස්වාධීන) නොවේ නම් පදනමක් සාදයි. දෛශික ඛණ්ඩාංක වලින් සෑදූ නිර්ණායකය ගණනය කරමු :
, එනම් දෛශික රේඛීයව ස්වාධීන වන අතර පදනමක් සාදයි.

පිළිතුර: a) , b) ආකෘතිය.

එය සමානුපාතික විසඳුමකට වඩා සංයුක්ත හා ලස්සනයි.

සලකා බැලූ ද්රව්යයේ උපකාරයෙන්, දෛශිකවල සහසම්බන්ධතාවය පමණක් නොව, කොටස් සහ සරල රේඛා වල සමාන්තර බව ඔප්පු කිරීමට ද හැකිය. නිශ්චිත ජ්යාමිතික හැඩතල සමඟ ගැටළු කිහිපයක් සලකා බලමු.

උදාහරණය 3

චතුරස්‍රයක සිරස් ලබා දී ඇත. චතුරස්රයක් සමාන්තර චලිතයක් බව ඔප්පු කරන්න.

සාක්ෂි: විසඳුම තනිකරම විශ්ලේෂණාත්මක වන බැවින් ගැටලුව තුළ චිත්‍රයක් නිර්මාණය කිරීම අවශ්‍ය නොවේ. සමාන්තර චලිතයක අර්ථ දැක්වීම මතක තබා ගනිමු:
සමාන්තර චලිතය ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති යුගල වශයෙන් සමාන්තර වන චතුරස්‍රයක් ලෙස හැඳින්වේ.

එබැවින්, ඔප්පු කිරීම අවශ්ය වේ:
1) ප්රතිවිරුද්ධ පැතිවල සමාන්තරකරණය සහ;
2) ප්රතිවිරුද්ධ පැතිවල සමාන්තරකරණය සහ.

අපි ඔප්පු කරන්නේ:

1) දෛශික සොයන්න:

2) දෛශික සොයන්න:

ප්රතිඵලය එකම දෛශිකය ("පාසලට අනුව" - සමාන දෛශික). සහසම්බන්ධතාවය තරමක් පැහැදිලිය, නමුත් විධිවිධානය සමඟ තීරණය පැහැදිලිව විධිමත් කිරීම වඩා හොඳය. දෛශික ඛණ්ඩාංක වලින් සමන්විත නිර්ණායකය ගණනය කරමු:
, එයින් අදහස් වන්නේ මෙම දෛශික collinear වන අතර, .

නිගමනය: චතුරස්‍රයක ප්‍රතිවිරුද්ධ පැති යුගල වශයෙන් සමාන්තර වේ, එයින් අදහස් වන්නේ එය අර්ථ දැක්වීම අනුව සමාන්තර චලිතයක් බවයි. Q.E.D.

වඩා හොඳ සහ විවිධ සංඛ්යා:

උදාහරණය 4

චතුරස්‍රයක සිරස් ලබා දී ඇත. චතුරස්රයක් trapezoid බව ඔප්පු කරන්න.

සාධනය වඩාත් දැඩි ලෙස සකස් කිරීම සඳහා, trapezoid හි නිර්වචනය ලබා ගැනීම වඩා හොඳය, නමුත් එය පෙනෙන්නේ කෙසේද යන්න මතක තබා ගැනීම ප්රමාණවත්ය.

මෙය ඔබ විසින්ම විසඳා ගත යුතු කාර්යයකි. පාඩම අවසානයේ සම්පූර්ණ විසඳුම.

දැන් යානයේ සිට අභ්‍යවකාශයට සෙමින් ගමන් කිරීමට කාලයයි.

අභ්‍යවකාශ දෛශිකවල සහසම්බන්ධතාවය තීරණය කරන්නේ කෙසේද?

රීතිය බෙහෙවින් සමාන ය. අභ්‍යවකාශ දෛශික දෙකක් collinear වීමට නම්, ඒවායේ අනුරූප ඛණ්ඩාංක සමානුපාතික වීම අවශ්‍ය සහ ප්‍රමාණවත් වේ..

උදාහරණ 5

පහත අභ්‍යවකාශ දෛශික collinear ද යන්න සොයා බලන්න:

A) ;
b)
V)

විසඳුම:
අ) දෛශිකවල අනුරූප ඛණ්ඩාංක සඳහා සමානුපාතික සංගුණකයක් තිබේදැයි පරීක්ෂා කර බලමු:

පද්ධතියට විසඳුමක් නැත, එයින් අදහස් වන්නේ දෛශික collinear නොවන බවයි.

"සරල" යනු සමානුපාතිකය පරීක්ෂා කිරීමෙන් විධිමත් කර ඇත. මේ අවස්ථාවේ දී:
- අනුරූප ඛණ්ඩාංක සමානුපාතික නොවේ, එයින් අදහස් වන්නේ දෛශික ඛණ්ඩාංක නොවන බවයි.

පිළිතුර:දෛශික ඛණ්ඩක නොවේ.

b-c) මේවා ස්වාධීන තීරණයක් සඳහා කරුණු වේ. එය ක්රම දෙකකින් උත්සාහ කරන්න.

තුන්වන අනුපිළිවෙලෙහි නිර්ණායකයක් හරහා සහසම්බන්ධතාවය සඳහා අවකාශීය දෛශික පරීක්ෂා කිරීම සඳහා ක්රමයක් ඇත; දෛශික වල දෛශික නිෂ්පාදනය.

ප්ලේන් නඩුවට සමානව, අවකාශීය කොටස් සහ සරල රේඛා සමාන්තරකරණය අධ්යයනය කිරීම සඳහා සලකා බැලූ මෙවලම් භාවිතා කළ හැකිය.

දෙවන කොටස වෙත සාදරයෙන් පිළිගනිමු:

ත්‍රිමාණ අවකාශයේ දෛශිකවල රේඛීය යැපීම සහ ස්වාධීනත්වය.
අවකාශීය පදනම සහ affine ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය

ගුවන් යානයේ අප විසින් පරීක්ෂා කරන ලද බොහෝ රටා අවකාශය සඳහා වලංගු වේ. තොරතුරු වල සිංහ කොටස දැනටමත් හපමින් ඇති බැවින් මම න්‍යාය සටහන් අවම කිරීමට උත්සාහ කළෙමි. කෙසේ වෙතත්, නව නියමයන් සහ සංකල්ප දිස්වනු ඇති බැවින්, ඔබ හඳුන්වාදීමේ කොටස ප්රවේශමෙන් කියවන ලෙස මම නිර්දේශ කරමි.

දැන්, පරිගණක මේසයේ තලය වෙනුවට, අපි ත්රිමාණ අවකාශය ගවේෂණය කරන්නෙමු. පළමුව, අපි එහි පදනම නිර්මාණය කරමු. කවුරුහරි දැන් ගෘහස්ථව, යමෙකු එළිමහනේ, නමුත් ඕනෑම අවස්ථාවක, අපට මානයන් තුනෙන් ගැලවිය නොහැක: පළල, දිග සහ උස. එබැවින්, පදනමක් තැනීම සඳහා, අවකාශීය දෛශික තුනක් අවශ්ය වනු ඇත. දෛශික එකක් හෝ දෙකක් ප්රමාණවත් නොවේ, සිව්වැන්න අතිරික්තය.

නැවතත් අපි අපේ ඇඟිලි මත උණුසුම් කරමු. කරුණාකර ඔබේ අත ඉහළට ඔසවා විවිධ දිශාවලට විහිදුවන්න මාපටැඟිල්ල, මාපටැඟිල්ල සහ මැද ඇඟිල්ල. මේවා දෛශික වනු ඇත, ඒවා විවිධ දිශාවන් දෙස බලයි, විවිධ දිග ඇති අතර ඒවා අතර විවිධ කෝණ ඇත. සුභ පැතුම්, ත්රිමාණ අවකාශයේ පදනම සූදානම්! මාර්ගය වන විට, ඔබ ඔබේ ඇඟිලි කෙතරම් තදින් ඇඹරුවද, මෙය ගුරුවරුන්ට පෙන්වීමට අවශ්‍ය නැත, නමුත් අර්ථ දැක්වීම් වලින් ගැලවීමක් නොමැත =)

ඊළඟට, අපි අපෙන්ම වැදගත් ප්‍රශ්නයක් අසමු: ඕනෑම දෛශික තුනක් ත්‍රිමාන අවකාශයේ පදනමක් ඇති කරයිද?? කරුණාකර පරිගණක මේසයේ ඉහළට ඇඟිලි තුනක් තදින් ඔබන්න. සිදුවුයේ කුමක් ද? දෛශික තුනක් එකම තලයක පිහිටා ඇති අතර, දළ වශයෙන් කථා කිරීම, අපට එක් මානයන් අහිමි වී ඇත - උස. එවැනි දෛශික වේ coplanarසහ, ත්‍රිමාන අවකාශයේ පදනම නිර්මාණය වී නැති බව ඉතා පැහැදිලිය.

කොප්ලැනර් දෛශික එකම තලයක වැතිරීමට අවශ්‍ය නොවන බව සැලකිල්ලට ගත යුතුය, ඒවා සමාන්තර තලවල විය හැකිය (මෙය ඔබේ ඇඟිලිවලින් නොකරන්න, මෙය කළේ සැල්වදෝර් ඩාලි පමණි =)).

අර්ථ දැක්වීම: දෛශික ලෙස හැඳින්වේ coplanar, ඔවුන් සමාන්තර වන ගුවන් යානයක් තිබේ නම්. එවැනි තලයක් නොමැති නම්, දෛශික කොප්ලැනර් නොවන බව මෙහි එකතු කිරීම තර්කානුකූල ය.

කොප්ලැනර් දෛශික තුනක් සෑම විටම රේඛීයව රඳා පවතී, එනම්, ඒවා එකිනෙක හරහා රේඛීයව ප්‍රකාශ වේ. සරල බව සඳහා, ඔවුන් එකම තලයක වැතිර සිටින බව අපි නැවත සිතමු. පළමුව, දෛශික යනු coplanar පමණක් නොවේ, ඒවා collinear ද විය හැකිය, එවිට ඕනෑම දෛශිකයක් ඕනෑම දෛශිකයක් හරහා ප්‍රකාශ කළ හැකිය. දෙවන අවස්ථාවේ දී, උදාහරණයක් ලෙස, දෛශික ඛණ්ඩක නොවේ නම්, තුන්වන දෛශිකය ඒවා හරහා අද්විතීය ආකාරයකින් ප්‍රකාශ වේ: (සහ පෙර කොටසේ ද්රව්ය වලින් අනුමාන කිරීමට පහසු වන්නේ මන්ද).

ප්‍රතිලෝමය ද සත්‍ය ය: කොප්ලැනර් නොවන දෛශික තුනක් සෑම විටම රේඛීයව ස්වාධීන වේ, එනම්, ඔවුන් එකිනෙකා හරහා කිසිදු ආකාරයකින් ප්රකාශ නොවේ. තවද, පැහැදිලිවම, ත්‍රිමාණ අවකාශයේ පදනම සෑදිය හැක්කේ එවැනි දෛශිකවලට පමණි.

අර්ථ දැක්වීම: ත්රිමාණ අවකාශයේ පදනමරේඛීය ස්වාධීන (කොප්ලැනර් නොවන) දෛශික ත්‍රිත්ව ලෙස හැඳින්වේ, නිශ්චිත අනුපිළිවෙලකට ගෙන ඇත, සහ අවකාශයේ ඕනෑම දෛශිකයක් එකම මාර්ගයලබා දී ඇති පදනමක් මත දිරාපත් වේ, මෙම පදනමේ දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක කොහෙද

දෛශිකය ආකෘතියෙන් නිරූපණය වන බව අපට පැවසිය හැකි බව මම ඔබට මතක් කරමි රේඛීය සංයෝජනයපදනම් දෛශික.

ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් පිළිබඳ සංකල්පය හරියටම තලයේ නඩුව සඳහා හඳුන්වා දී ඇති අතර ඕනෑම රේඛීය ස්වාධීන දෛශික තුනක් ප්රමාණවත්ය:

සම්භවය, සහ coplanar නොවනදෛශික, නිශ්චිත අනුපිළිවෙලකට ගෙන ඇත, කට්ටලය ත්‍රිමාන අවකාශයේ affine ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය :

ඇත්ත වශයෙන්ම, ඛණ්ඩාංක ජාලය "ආනත" සහ අපහසු වේ, නමුත්, කෙසේ වෙතත්, ඉදිකරන ලද ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය අපට ඉඩ සලසයි. නියත වශයෙන්මඕනෑම දෛශිකයක ඛණ්ඩාංක සහ අවකාශයේ ඕනෑම ලක්ෂයක ඛණ්ඩාංක තීරණය කරන්න. ගුවන් යානයකට සමානව, මම දැනටමත් සඳහන් කර ඇති සමහර සූත්‍ර අභ්‍යවකාශයේ affine ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ක්‍රියා නොකරනු ඇත.

හැමෝම අනුමාන කරන පරිදි, affine ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක වඩාත්ම හුරුපුරුදු සහ පහසු විශේෂ අවස්ථාව වන්නේ සෘජුකෝණාස්රාකාර අවකාශ ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය:

අභ්‍යවකාශයේ ලක්ෂ්‍යයක් ලෙස හැඳින්වේ සම්භවය, සහ විකලාංගපදනම සකසා ඇත කාටිසියානු සෘජුකෝණාස්රාකාර අවකාශ ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය . හුරුපුරුදු පින්තූරය:

ප්‍රායෝගික කාර්යයන් වෙත යාමට පෙර, අපි නැවත තොරතුරු ක්‍රමවත් කරමු:

අවකාශ දෛශික තුනක් සඳහා පහත ප්‍රකාශ සමාන වේ:
1) දෛශික රේඛීයව ස්වාධීන වේ;
2) දෛශික පදනමක් සාදයි;
3) දෛශික coplanar නොවේ;
4) දෛශික එකිනෙක හරහා රේඛීයව ප්‍රකාශ කළ නොහැක;
5) මෙම දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක වලින් සමන්විත නිර්ණායකය ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වේ.

ප්‍රතිවිරුද්ධ ප්‍රකාශ තේරුම් ගත හැකි යැයි මම සිතමි.

අභ්‍යවකාශ දෛශිකවල රේඛීය යැපීම/ස්වාධීනත්වය සාම්ප්‍රදායිකව නිර්ණායකයක් භාවිතයෙන් පරීක්ෂා කරනු ලැබේ (ලක්ෂ්‍යය 5). ඉතිරි ප්‍රායෝගික කර්තව්‍යයන් පැහැදිලිව වීජීය ස්වභාවයකින් යුක්ත වනු ඇත. ජ්‍යාමිතික සැරයටිය එල්ලා රේඛීය වීජ ගණිතයේ බේස්බෝල් පිත්ත භාවිතා කිරීමට කාලයයි.

අවකාශයේ දෛශික තුනක්ලබා දී ඇති දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක වලින් සමන්විත නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන නම් සහ පමණක් නම් coplanar වේ: .

කුඩා තාක්ෂණික සූක්ෂ්මතාවයක් වෙත ඔබේ අවධානය යොමු කිරීමට මම කැමතියි: දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක තීරු වල පමණක් නොව පේළි වලද ලිවිය හැකිය (නිර්ණකයේ අගය මෙයින් වෙනස් නොවේ - නිර්ණායකවල ගුණාංග බලන්න). නමුත් සමහර ප්‍රායෝගික ගැටළු විසඳීම සඳහා එය වඩාත් ප්‍රයෝජනවත් වන බැවින් තීරු වල එය වඩා හොඳය.

නිර්ණායක ගණනය කිරීමේ ක්‍රම ටිකක් අමතක වී ඇති හෝ ඒවා ගැන එතරම් අවබෝධයක් නොමැති පාඨකයින් සඳහා, මම මගේ පැරණිතම පාඩම් වලින් එකක් නිර්දේශ කරමි: නිර්ණායකය ගණනය කරන්නේ කෙසේද?

උදාහරණ 6

පහත දෛශික ත්‍රිමාන අවකාශයේ පදනම වේද යන්න පරීක්ෂා කරන්න:

විසඳුම: ඇත්ත වශයෙන්ම, සම්පූර්ණ විසඳුම නිර්ණායකය ගණනය කිරීමට පැමිණේ.

අ) අපි දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක වලින් සෑදූ නිර්ණායකය ගණනය කරමු (පළමු පේළියේ නිර්ණායකය අනාවරණය වේ):

, එයින් අදහස් වන්නේ දෛශික රේඛීයව ස්වාධීන (coplanar නොවේ) සහ ත්‍රිමාන අවකාශයේ පදනම සාදයි.

උත්තර දෙන්න: මෙම දෛශික පදනමක් සාදයි

ආ) මෙය ස්වාධීන තීරණයක් සඳහා වන කරුණකි. සම්පූර්ණ විසඳුම සහ පාඩම අවසානයේ පිළිතුර.

නිර්මාණාත්මක කාර්යයන් ද ඇත:

උදාහරණ 7

දෛශික කොප්ලැනර් වන්නේ පරාමිතියේ කුමන අගයකින්ද?

විසඳුම: දෛශික coplanar වන්නේ මෙම දෛශික වල ඛණ්ඩාංක වලින් සමන්විත නිර්ණායකය ශුන්‍යයට සමාන නම් සහ පමණි:

මූලික වශයෙන්, ඔබ නිර්ණායකයක් සමඟ සමීකරණයක් විසඳිය යුතුය. අපි ජර්බෝස් මත සරුංගල් වැනි ශුන්‍ය මත පහළට ඇද දමමු - දෙවන පේළියේ නිර්ණායකය විවෘත කර වහාම අවාසි ඉවත් කිරීම වඩාත් සුදුසුය:

අපි තවදුරටත් සරල කිරීම් සිදු කර කාරණය සරලම රේඛීය සමීකරණයට අඩු කරන්නෙමු:

උත්තර දෙන්න: දී

මෙහි පරීක්ෂා කිරීම පහසුය; , එය නැවත විවෘත කිරීම.

අවසාන වශයෙන්, වඩාත් වීජීය ස්වභාවය සහ සම්ප්‍රදායිකව රේඛීය වීජ ගණිත පාඨමාලාවට ඇතුළත් වන තවත් සාමාන්‍ය ගැටලුවක් දෙස බලමු. එය කෙතරම් සුලභද යත්, එය තමන්ගේම මාතෘකාවට සුදුසු ය:

ත්‍රිමාන අවකාශයේ පදනම දෛශික 3ක් බව ඔප්පු කරන්න
සහ මෙම පදනමින් 4 වන දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගන්න

උදාහරණ 8

දෛශික ලබා දී ඇත. දෛශික ත්‍රිමාන අවකාශයේ පදනමක් ඇති බව පෙන්වන්න සහ මෙම පදනමේ දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගන්න.

විසඳුම: පළමුව, අපි කොන්දේසිය සමඟ කටයුතු කරමු. කොන්දේසිය අනුව, දෛශික හතරක් ලබා දී ඇති අතර, ඔබට පෙනෙන පරිදි, ඒවාට දැනටමත් යම් පදනමකින් ඛණ්ඩාංක ඇත. මෙම පදනම කුමක්ද යන්න අපට උනන්දුවක් නොදක්වයි. පහත සඳහන් කරුණ සිත්ගන්නා කරුණකි: දෛශික තුනක් නව පදනමක් සෑදිය හැකිය. පළමු අදියර නිදසුන් 6 හි විසඳුම සමඟ සම්පුර්ණයෙන්ම සමපාත වේ, දෛශික සැබවින්ම රේඛීයව ස්වාධීනද යන්න පරීක්ෂා කිරීම අවශ්ය වේ:

දෛශික ඛණ්ඩාංක වලින් සමන්විත නිර්ණායකය ගණනය කරමු:

, එනම් දෛශික රේඛීයව ස්වාධීන වන අතර ත්‍රිමාන අවකාශයේ පදනම සාදයි.

! වැදගත් : දෛශික ඛණ්ඩාංක අනිවාර්යයෙන්ලියන්න තීරු බවටනිර්ණායකය, නූල්වලින් නොවේ. එසේ නොමැති නම්, තවදුරටත් විසඳුම් ඇල්ගොරිතමයේ ව්යාකූලත්වයක් ඇති වනු ඇත.

n-මාන දෛශික පිළිබඳ ලිපියේ, අපි n-මාන දෛශික කට්ටලයක් මඟින් ජනනය කරන රේඛීය අවකාශයක් පිළිබඳ සංකල්පයට පැමිණියෙමු. දැන් අපට දෛශික අවකාශයක මානය සහ පදනම වැනි සමාන වැදගත් සංකල්ප සලකා බැලිය යුතුය. ඒවා රේඛීයව ස්වාධීන දෛශික පද්ධතියක් පිළිබඳ සංකල්පයට කෙලින්ම සම්බන්ධ වේ, එබැවින් මෙම මාතෘකාවේ මූලික කරුණු ඔබට මතක් කර ගැනීම අතිරේකව නිර්දේශ කෙරේ.

අපි නිර්වචන කිහිපයක් හඳුන්වා දෙමු.

අර්ථ දැක්වීම 1

දෛශික අවකාශයේ මානය– මෙම අවකාශයේ රේඛීය ස්වාධීන දෛශික උපරිම සංඛ්‍යාවට අනුරූප වන සංඛ්‍යාවක්.

අර්ථ දැක්වීම 2

දෛශික අවකාශය පදනම- රේඛීය ස්වාධීන දෛශික කට්ටලයක්, පිළිවෙලට හා අවකාශයේ මානයට සමාන සංඛ්යාවක්.

n -දෛශික වල නිශ්චිත ඉඩක් සලකා බලමු. එහි මානය අනුරූපව n ට සමාන වේ. අපි n-ඒකක දෛශික පද්ධතියක් ගනිමු:

e (1) = (1, 0, . . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, . . , 1)

අපි මෙම දෛශික A න්‍යාසයේ සංරචක ලෙස භාවිතා කරමු: එය n මගින් n මානය සහිත ඒකක න්‍යාසයක් වනු ඇත. මෙම අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය n වේ. එබැවින්, දෛශික පද්ධතිය e (1) , e (2) , . . . , e(n) රේඛීයව ස්වාධීන වේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, එහි රේඛීය ස්වාධීනත්වය උල්ලංඝනය නොකර පද්ධතියට තනි දෛශිකයක් එකතු කළ නොහැක.

පද්ධතියේ ඇති දෛශික සංඛ්‍යාව n වන බැවින්, n-මාන දෛශිකවල අවකාශයේ මානය n වන අතර ඒකක දෛශික e (1), e (2), . . . , e(n) යනු නිශ්චිත අවකාශයේ පදනම වේ.

ලැබෙන නිර්වචනයෙන් අපට නිගමනය කළ හැක: දෛශික සංඛ්‍යාව n ට වඩා අඩු n-මාන දෛශික පද්ධතියක් අවකාශයේ පදනමක් නොවේ.

අපි පළමු සහ දෙවන දෛශික මාරු කළහොත්, අපට දෛශික පද්ධතියක් ලැබේ e (2) , e (1) , . . . , e (n) . එය n-මාන දෛශික අවකාශයක පදනම ද වනු ඇත. ලැබෙන පද්ධතියේ දෛශික එහි පේළි ලෙස ගෙන න්‍යාසයක් නිර්මාණය කරමු. පළමු පේළි දෙක මාරු කිරීමෙන් අනන්‍යතා න්‍යාසයෙන් න්‍යාසය ලබා ගත හැක, එහි ශ්‍රේණිය n වේ. පද්ධතිය e (2), e (1) , . . . , e(n) රේඛීයව ස්වාධීන වන අතර එය n-මාන දෛශික අවකාශයක පදනම වේ.

මුල් පද්ධතියේ අනෙකුත් දෛශික නැවත සකස් කිරීමෙන්, අපි තවත් පදනමක් ලබා ගනිමු.

අපට ඒකක නොවන දෛශික රේඛීය ස්වාධීන පද්ධතියක් ගත හැකි අතර, එය n-මාන දෛශික අවකාශයක පදනම ද නියෝජනය කරනු ඇත.

අර්ථ දැක්වීම 3

n මානය සහිත දෛශික අවකාශයකට සංඛ්‍යා n හි n-මාන දෛශික රේඛීය ස්වාධීන පද්ධති ඇති තරම් පාද ඇත.

තලය ද්විමාන අවකාශයකි - එහි පදනම ඕනෑම collinear නොවන දෛශික දෙකක් වේ. ත්‍රිමාණ අවකාශයේ පදනම ඕනෑම කොප්ලැනර් නොවන දෛශික තුනක් වේ.

නිශ්චිත උදාහරණ භාවිතා කරමින් මෙම න්‍යායේ යෙදීම සලකා බලමු.

උදාහරණ 1

මූලික දත්ත:දෛශික

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

නිශ්චිත දෛශික ත්‍රිමාන දෛශික අවකාශයක පදනම ද යන්න තීරණය කිරීම අවශ්‍ය වේ.

විසඳුම

ගැටළුව විසඳීම සඳහා, රේඛීය යැපීම සඳහා ලබා දී ඇති දෛශික පද්ධතිය අපි අධ්‍යයනය කරමු. පේළි දෛශිකවල ඛණ්ඩාංක වන න්‍යාසයක් නිර්මාණය කරමු. අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය තීරණය කරමු.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, ගැටලුවේ තත්ත්වය අනුව නිශ්චිතව දක්වා ඇති දෛශික රේඛීයව ස්වාධීන වන අතර, ඒවායේ සංඛ්‍යාව දෛශික අවකාශයේ මානයට සමාන වේ - ඒවා දෛශික අවකාශයේ පදනම වේ.

පිළිතුර:දක්වා ඇති දෛශික දෛශික අවකාශයේ පදනම වේ.

උදාහරණය 2

මූලික දත්ත:දෛශික

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

නිශ්චිත දෛශික පද්ධතිය ත්රිමාණ අවකාශයේ පදනම විය හැකිද යන්න තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ.

විසඳුම

ගැටළු ප්‍රකාශයේ දක්වා ඇති දෛශික පද්ධතිය රේඛීයව රඳා පවතී, මන්ද රේඛීය ස්වාධීන දෛශික උපරිම සංඛ්‍යාව 3. මේ අනුව, දෛශික පද්ධතියට ත්‍රිමාණ දෛශික අවකාශයක් සඳහා පදනමක් ලෙස ක්‍රියා කළ නොහැක. නමුත් මුල් පද්ධතියේ උප පද්ධතිය a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) පදනමක් බව සඳහන් කිරීම වටී.

පිළිතුර:දක්වා ඇති වාහක පද්ධතිය පදනමක් නොවේ.

උදාහරණය 3

මූලික දත්ත:දෛශික

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

ඒවා සිව්මාන අවකාශයේ පදනම විය හැකිද?

විසඳුම

ලබා දී ඇති දෛශික වල ඛණ්ඩාංක පේළි ලෙස භාවිතා කර න්‍යාසයක් නිර්මාණය කරමු

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Gaussian ක්‍රමය භාවිතා කරමින්, අපි අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය තීරණය කරමු:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

එහි ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, ලබා දී ඇති දෛශික පද්ධතිය රේඛීයව ස්වාධීන වන අතර ඒවායේ සංඛ්‍යාව දෛශික අවකාශයේ මානයට සමාන වේ - ඒවා සිව්මාන දෛශික අවකාශයක පදනම වේ.

පිළිතුර:ලබා දී ඇති දෛශික හතර-මාන අවකාශයේ පදනම වේ.

උදාහරණය 4

මූලික දත්ත:දෛශික

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

ඒවා මානය 4 හි අවකාශයක පදනම වේද?

විසඳුම

මුල් දෛශික පද්ධතිය රේඛීයව ස්වාධීන වන නමුත් එහි ඇති දෛශික සංඛ්‍යාව සිව්මාන අවකාශයක පදනම වීමට ප්‍රමාණවත් නොවේ.

පිළිතුර:නැත, ඔවුන් එසේ නොවේ.

දෛශිකයක් පදනමක් බවට වියෝජනය කිරීම

අපි හිතමු හිතුවක්කාර දෛශික e (1) , e (2) , . . . , e (n) යනු n-මාන දෛශික අවකාශයක පදනම වේ. අපි ඒවාට නිශ්චිත n-මාන දෛශිකයක් x → එකතු කරමු: දෛශික පද්ධතිය රේඛීයව රඳා පවතිනු ඇත. රේඛීය යැපීමෙහි ගුණාංගයන් පවසන්නේ එවැනි පද්ධතියක අවම වශයෙන් එක් දෛශිකයක් අනෙක් ඒවා හරහා රේඛීයව ප්‍රකාශ කළ හැකි බවයි. මෙම ප්‍රකාශය ප්‍රතිසංස්කරණය කරමින්, රේඛීයව යැපෙන පද්ධතියක අවම වශයෙන් එක් දෛශිකයක් ඉතිරි දෛශිකවලට ප්‍රසාරණය කළ හැකි බව අපට පැවසිය හැකිය.

මේ අනුව, අපි වඩාත් වැදගත් ප්‍රමේයය සැකසීමට පැමිණියෙමු:

අර්ථ දැක්වීම 4

n-මාන දෛශික අවකාශයක ඕනෑම දෛශිකයක් පදනමක් බවට අනන්‍ය ලෙස වියෝජනය කළ හැක.

සාක්ෂි 1

අපි මෙම ප්‍රමේයය ඔප්පු කරමු:

n-මාන දෛශික අවකාශයේ පදනම සකසමු - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . එයට n-මාන දෛශිකයක් x → එකතු කිරීමෙන් අපි පද්ධතිය රේඛීයව පරායත්ත කරමු. මෙම දෛශිකය මුල් දෛශික අනුව රේඛීයව ප්‍රකාශ කළ හැක e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , මෙහි x 1 , x 2 , . . . , x n - සමහර සංඛ්යා.

දැන් අපි එවැනි වියෝජනය අද්විතීය බව ඔප්පු කරමු. මෙය එසේ නොවන බවත් තවත් සමාන වියෝජනයක් ඇති බවත් උපකල්පනය කරමු:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , මෙහි x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - සමහර සංඛ්යා.

මෙම සමානාත්මතාවයේ වම් සහ දකුණු පැතිවලින් පිළිවෙලින් x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + යන සමානාත්මතාවයේ වම් සහ දකුණු පැති අඩු කරමු. . . + x n · e (n) . අපට ලැබෙන්නේ:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

පාදක දෛශික පද්ධතිය e (1) , e (2) , . . . , e(n) රේඛීයව ස්වාධීන වේ; දෛශික පද්ධතියක රේඛීය ස්වාධීනත්වය නිර්වචනය කිරීම අනුව, ඉහත සමානාත්මතාවය හැකි වන්නේ සියලු සංගුණක (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , , . . . , (x ~ n - x n) ශුන්‍යයට සමාන වනු ඇත. එය සාධාරණ වනු ඇත: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . දෛශිකයක් පදනමක් බවට වියෝජනය කිරීමේ එකම විකල්පය මෙය සනාථ කරයි.

මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සංගුණක x 1, x 2, . . . , x n දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක ලෙස හැඳින්වේ x → පදනමෙහි e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

ඔප්පු කරන ලද න්‍යාය මගින් “n-මාන දෛශිකයක් ලබා දී ඇති x = (x 1 , x 2 , . . , x n)” යන ප්‍රකාශනය පැහැදිලි කරයි: දෛශික x → n-මාන දෛශික අවකාශයක් සලකනු ලබන අතර එහි ඛණ්ඩාංක නියම කරනු ලැබේ නිශ්චිත පදනමක්. n-මාන අවකාශයේ වෙනත් පදනමක ඇති එකම දෛශිකයට විවිධ ඛණ්ඩාංක ඇති බව ද පැහැදිලිය.

පහත උදාහරණය සලකා බලන්න: n-මාන දෛශික අවකාශයේ යම් පදනමක n රේඛීය ස්වාධීන දෛශික පද්ධතියක් ලබා දී ඇතැයි සිතමු.

තවද දෛශිකය x = (x 1 , x 2 , ... , x n) ලබා දී ඇත.

දෛශික e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , මෙම අවස්ථාවෙහි e n (n) ද මෙම දෛශික අවකාශයේ පදනම වේ.

e 1 (1) , e 2 (2) , යන පදනමේ x → දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක තීරණය කිරීම අවශ්‍ය යැයි උපකල්පනය කරමු. . . , e n (n), ලෙස දැක්වෙන්නේ x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

දෛශික x → පහත පරිදි නිරූපණය කෙරේ:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

අපි මෙම ප්රකාශනය සම්බන්ධීකරණ ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු:

(x 1 , x 2 , . . . x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , ඉ (2) 2, . . . ++ x ~ n · (e (n) 1, e (n) 2, . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . + x ~ n e 2 (n)

ප්‍රතිඵලයක් ලෙස ලැබෙන සමානාත්මතාවය n නොදන්නා රේඛීය විචල්‍ය x ~ 1, x ~ 2, සමඟ n රේඛීය වීජීය ප්‍රකාශන පද්ධතියකට සමාන වේ. . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

මෙම පද්ධතියේ අනුකෘතියට පහත පෝරමය ඇත:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

මෙය A matrix එකක් වේවා, එහි තීරු රේඛීය ස්වාධීන දෛශික පද්ධතියක දෛශික වේ e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) . අනුකෘතියේ ශ්‍රේණිය n වන අතර එහි නිර්ණායකය ශුන්‍ය නොවේ. ඕනෑම පහසු ක්‍රමයක් මගින් තීරණය කරනු ලබන සමීකරණ පද්ධතියට අද්විතීය විසඳුමක් ඇති බව මෙයින් පෙන්නුම් කෙරේ: උදාහරණයක් ලෙස, ක්‍රේමර් ක්‍රමය හෝ අනුකෘති ක්‍රමය. මේ ආකාරයෙන් අපට x ~ 1, x ~ 2, ඛණ්ඩාංක තීරණය කළ හැකිය. . . , x ~ n දෛශිකය x → පදනමේ e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

අපි සාකච්ඡා කළ න්‍යාය නිශ්චිත උදාහරණයකට යොදා ගනිමු.

උදාහරණ 6

මූලික දත්ත:දෛශික ත්‍රිමාන අවකාශයේ පදනම මත නියම කර ඇත

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

e (1), e (2), e (3) දෛශික පද්ධතිය ද දී ඇති අවකාශයක පදනම ලෙස ක්‍රියා කරන බව තහවුරු කිරීම අවශ්‍ය වන අතර, යම් පදනමක් තුළ දෛශික x හි ඛණ්ඩාංක තීරණය කිරීම ද අවශ්‍ය වේ.

විසඳුම

e (1), e (2), e (3) දෛශික පද්ධතිය රේඛීයව ස්වාධීන නම් ත්‍රිමාන අවකාශයේ පදනම වනු ඇත. ලබා දී ඇති දෛශික e (1), e (2), e (3) වන පේළි A න්‍යාසයේ ශ්‍රේණිය තීරණය කිරීමෙන් මෙම හැකියාව සොයා ගනිමු.

අපි Gaussian ක්රමය භාවිතා කරමු:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . මේ අනුව, දෛශික පද්ධතිය e (1), e (2), e (3) රේඛීයව ස්වාධීන වන අතර එය පදනමක් වේ.

දෛශිකයේ x → ඛණ්ඩාංක x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 පදනමේ තිබිය යුතුය. මෙම ඛණ්ඩාංක අතර සම්බන්ධතාවය සමීකරණය මගින් තීරණය වේ:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

ගැටලුවේ කොන්දේසි අනුව අගයන් යොදමු:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

ක්‍රේමර් ක්‍රමය භාවිතා කරමින් සමීකරණ පද්ධතිය විසඳමු:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

මේ අනුව, e (1), e (2), e (3) යන පදනමේ x → දෛශිකයට x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1 ඛණ්ඩාංක ඇත.

පිළිතුර: x = (1 , 1 , 1)

පදනම් අතර සම්බන්ධතාවය

n-මාන දෛශික අවකාශයේ යම් පදනමක රේඛීය ස්වාධීන දෛශික පද්ධති දෙකක් ලබා දී ඇති බව අපි උපකල්පනය කරමු:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , ... , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , .. . . e n (n))

මෙම පද්ධති ද ලබා දී ඇති අවකාශයක පදනම වේ.

c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක c (1) පදනමේ e (1) , e (2) , . . . , e (3), එවිට ඛණ්ඩාංක සම්බන්ධතාවය රේඛීය සමීකරණ පද්ධතියක් මඟින් ලබා දෙනු ඇත:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

පද්ධතිය පහත පරිදි අනුකෘතියක් ලෙස දැක්විය හැක.

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) ,. . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

අපි දෛශික c (2) සඳහා සමාන ප්‍රවේශයක්ම කරමු:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ... e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

න්‍යාස සමානතා එක් ප්‍රකාශනයකට ඒකාබද්ධ කරමු:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n)

එය විවිධ භෂ්ම දෙකක දෛශික අතර සම්බන්ධතාවය තීරණය කරනු ඇත.

එකම මූලධර්මය භාවිතා කරමින්, සියලු පදනම් දෛශික e(1), e(2), . . . , e (3) පදනම හරහා c (1) , c (2) , . . . , c (n):

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n)

අපි පහත අර්ථ දැක්වීම් ලබා දෙමු:

අර්ථ දැක්වීම 5

Matrix c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) යනු e (1) , e (2) , යන පදනමේ සිට සංක්‍රාන්ති න්‍යාසයයි. . . , ඉ (3)

පදනමට c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

අර්ථ දැක්වීම 6

Matrix e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) යනු c (1) , c (2) , යන පදනමේ සිට සංක්‍රාන්ති න්‍යාසයයි. . . , c(n)

පදනමට e (1) , e (2) , . . . , ඉ (3) .

මෙම සමානාත්මතාවයෙන් එය පැහැදිලිය

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ~ 1 (2) ~ 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

ඒවා. සංක්‍රාන්ති න්‍යාස අන්‍යෝන්‍ය වේ.

නිශ්චිත උදාහරණයක් භාවිතා කරමින් න්‍යාය දෙස බලමු.

උදාහරණ 7

මූලික දත්ත:පදනමේ සිට සංක්‍රාන්ති අනුකෘතිය සොයා ගැනීම අවශ්‍ය වේ

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

ලබා දී ඇති පාදවල අත්තනෝමතික දෛශිකය x → ඛණ්ඩාංක අතර සම්බන්ධය ද සඳහන් කළ යුතුය.

විසඳුම

1. T සංක්‍රාන්ති අනුකෘතිය වේවා, එවිට සමානාත්මතාවය සත්‍ය වනු ඇත:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තම ගුණ කරන්න

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

සහ අපට ලැබෙන්නේ:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. සංක්‍රාන්ති අනුකෘතිය නිර්වචනය කරන්න:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. අපි දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක අතර සම්බන්ධය නිර්වචනය කරමු x → :

අපි උපකල්පනය කරමු c (1) , c (2) , . . . , c (n) දෛශික x → ඛණ්ඩාංක ඇත x 1 , x 2 , x 3 , එවිට:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

සහ පදනමේ e (1) , e (2) , . . . , e (3) හි ඛණ්ඩාංක x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, පසුව:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

මොකද මෙම සමානාත්මතාවයේ වම් පස සමාන නම්, අපට දකුණු පස ද සමාන කළ හැකිය:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

දකුණේ දෙපැත්තම ගුණ කරන්න

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

සහ අපට ලැබෙන්නේ:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

අනෙක් පැත්තෙන්

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

අවසාන සමානාත්මතාවයන් පාද දෙකෙහිම දෛශිකයේ x → ඛණ්ඩාංක අතර සම්බන්ධතාවය පෙන්වයි.

පිළිතුර:සංක්රාන්ති න්යාසය

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

ලබා දී ඇති පාදවල දෛශිකයේ x → ඛණ්ඩාංක සම්බන්ධය මගින් සම්බන්ධ වේ:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

ඔබ පෙළෙහි දෝෂයක් දුටුවහොත්, කරුණාකර එය උද්දීපනය කර Ctrl+Enter ඔබන්න