“තලයක රේඛාවක සමීකරණය” යන මාතෘකාවේ එක් උප අයිතමයක් වන්නේ තලයක රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ ඇඳීමේ ප්‍රශ්නයයි. සෘජුකෝණාස්රාකාර පද්ධතියඛණ්ඩාංක පහත ලිපියෙන් සමහර දන්නා දත්ත ලබා දී එවැනි සමීකරණ සම්පාදනය කිරීමේ මූලධර්මය සාකච්ඡා කරයි. පරාමිතික සමීකරණවල සිට වෙනත් වර්ගයක සමීකරණ වෙත ගමන් කරන්නේ කෙසේදැයි අපි පෙන්වන්නෙමු; සාමාන්ය ගැටළු විසඳීම දෙස බලමු.
මෙම රේඛාවට අයත් ලක්ෂ්‍යයක් සහ රේඛාවේ දිශා දෛශිකයක් නියම කිරීමෙන් නිශ්චිත රේඛාවක් අර්ථ දැක්විය හැක.
අපි හිතමු අපිට O x y සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් ලබා දුන්නා කියලා. තවද a සරල රේඛාවක් ලබා දී ඇත, එය මත ඇති M 1 ලක්ෂ්යය (x 1, y 1) සහ ලබා දී ඇති සරල රේඛාවේ දිශා දෛශිකය දක්වයි. a → = (a x , a y) . ලබා දී ඇති සරල රේඛාව පිළිබඳ විස්තරයක් සමීකරණ භාවිතා කරමු.
අපි අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් M (x, y) භාවිතා කර දෛශිකයක් ලබා ගනිමු M 1 M → ; ආරම්භක සහ අවසාන ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක වලින් එහි ඛණ්ඩාංක ගණනය කරමු: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) . අපට ලැබුණු දේ විස්තර කරමු: සරල රේඛාවක් M (x, y) ලක්ෂ්‍ය සමූහයකින් අර්ථ දක්වා ඇත, M 1 (x 1, y 1) ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන අතර දිශා දෛශිකයක් ඇත. a → = (a x , a y) . මෙම කට්ටලය සරල රේඛාවක් අර්ථ දක්වන්නේ M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) සහ a → = (a x, a y) දෛශික වූ විට පමණි.
අවශ්ය සහ ඇත ප්රමාණවත් තත්ත්වයදෛශිකවල සහසම්බන්ධතාවය, මෙම අවස්ථාවේ දී දෛශික සඳහා M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) සහ a → = (a x, a y) සමීකරණයක් ලෙස ලිවිය හැකිය:
M 1 M → = λ · a → , මෙහි λ යනු යම් තාත්වික සංඛ්‍යාවක් වේ.
අර්ථ දැක්වීම 1
M 1 M → = λ · a → සමීකරණය රේඛාවේ දෛශික-පරාමිතික සමීකරණය ලෙස හැඳින්වේ.
ඛණ්ඩාංක ස්වරූපයෙන් එය පෙනෙන්නේ:
M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ යන පද්ධතියේ සමීකරණ සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක තලයක සරල රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ ලෙස හැඳින්වේ. නමේ සාරය පහත පරිදි වේ: සරල රේඛාවක ඇති සියලුම ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ආකෘතියේ තලයක පරාමිතික සමීකරණ මගින් තීරණය කළ හැක. පරාමිතියෙහි අගයන් λ
ඉහත සඳහන් පරිදි, x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ තලයේ සරල රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ, සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක අර්ථ දක්වා ඇති සරල රේඛාවක් නිර්වචනය කරයි, M ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරයි. 1 (x 1, y 1) සහ මාර්ගෝපදේශ දෛශිකයක් ඇත a → = (a x , a y) . ප්‍රතිඵලයක් ලෙස, රේඛාවක යම් ලක්ෂයක ඛණ්ඩාංක සහ එහි දිශා දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක ලබා දෙන්නේ නම්, ලබා දී ඇති රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ වහාම ලියා තැබිය හැකිය.
උදාහරණ 1
සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක තලයක සරල රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ සකස් කිරීම අවශ්ය වන්නේ එයට අයත් M 1 (2, 3) ලක්ෂ්යය සහ එහි දිශා දෛශිකය ලබා දී ඇත්නම් a → = (3 , 1) .
විසඳුම
ආරම්භක දත්ත මත පදනම්ව, අපි ලබා ගන්නේ: x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y = 1. පරාමිතික සමීකරණ මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + 1 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ
අපි පැහැදිලිව නිදර්ශනය කරමු:
පිළිතුර: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ
එය සටහන් කළ යුතුය: දෛශිකය නම් a → = (a x , a y) a ඍජු රේඛාවේ දිශා දෛශිකය ලෙස ක්‍රියා කරන අතර M 1 (x 1, y 1) සහ M 2 (x 2, y 2) ලක්ෂ්‍ය මෙම රේඛාවට අයත් වේ, එවිට එය පෝරමයේ පරාමිතික සමීකරණ නියම කිරීමෙන් තීරණය කළ හැක: x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , මෙන්ම මෙම විකල්පය: x = x 2 + a x · λ y = y 2 + a y · λ .
උදාහරණයක් ලෙස, අපට සරල රේඛාවක දිශා දෛශිකයක් ලබා දී ඇත a → = (2, - 1), මෙන්ම ලකුණු M 1 (1, - 2) සහ M 2 (3, - 3) මෙම රේඛාවට අයත් වේ. එවිට සරල රේඛාව පරාමිතික සමීකරණ මගින් තීරණය වේ: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ හෝ x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ.
ඔබ පහත සඳහන් කරුණ කෙරෙහි ද අවධානය යොමු කළ යුතුය: නම් a → = (a x , a y) a රේඛාවේ දිශා දෛශිකය වේ, එවිට ඕනෑම දෛශිකයක් එහි දිශා දෛශිකය වේ μ · a → = (μ · a x , μ · a y) , මෙහි μ ϵ R , μ ≠ 0 .
මේ අනුව, සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක තලයක සරල රේඛාව a පරාමිතික සමීකරණ මගින් තීරණය කළ හැක: x = x 1 + μ · a x · λ y = y 1 + μ · a y · λ ශුන්‍යයට වඩා μ හි ඕනෑම අගයක් සඳහා.
x = 3 + 2 · λ y = - 2 - 5 · λ යන පරාමිතික සමීකරණ මගින් සරල රේඛාව a ලබා දී ඇතැයි කියමු. එතකොට a → = (2 , - 5) - මෙම සරල රේඛාවේ දිශා දෛශිකය. තවද μ · a → = (μ · 2, μ · - 5) = 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0 ඕනෑම දෛශිකයක් දී ඇති රේඛාවක් සඳහා මාර්ගෝපදේශක දෛශිකයක් බවට පත්වේ. පැහැදිලිකම සඳහා, විශේෂිත දෛශිකයක් සලකා බලන්න - 2 · a → = (- 4, 10), එය μ = - 2 අගයට අනුරූප වේ. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ලබා දී ඇති සරල රේඛාව x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ යන පරාමිතික සමීකරණ මගින් ද තීරණය කළ හැකිය.
තලයක රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණවල සිට දී ඇති රේඛාවක සහ පසුපසට වෙනත් සමීකරණ වෙත සංක්රමණය වීම
සමහර ගැටළු විසඳීමේදී, පරාමිතික සමීකරණ භාවිතා කිරීම වඩාත් ප්රශස්ත විකල්පය නොවේ, එවිට සරල රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ වෙනත් ආකාරයේ සරල රේඛාවක සමීකරණ බවට පරිවර්තනය කිරීම අවශ්ය වේ. මෙය කරන්නේ කෙසේදැයි බලමු.
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ආකෘතියේ රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ x - x 1 a x = y - y 1 a y තලයේ රේඛාවක කැනොනිකල් සමීකරණයට අනුරූප වේ.
අපි λ පරාමිතිය සම්බන්ධයෙන් එක් එක් පරාමිතික සමීකරණ විසඳා, ලැබෙන සමානාත්මතාවයේ දකුණු පස සමාන කර ලබා දී ඇති සරල රේඛාවේ කැනොනිකල් සමීකරණය ලබා ගනිමු:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y
මෙම අවස්ථාවේදී, x හෝ y ශුන්‍යයට සමාන නම් එය ව්‍යාකූල නොවිය යුතුය.
උදාහරණය 2
x = 3 y = - 2 - 4 · λ සරල රේඛාවේ පරාමිතික සමීකරණ වලින් කැනොනිකල් සමීකරණයට සංක්‍රමණයක් සිදු කිරීම අවශ්ය වේ.
විසඳුම
ලබා දී ඇති පරාමිතික සමීකරණ පහත ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු: x = 3 + 0 · λ y = - 2 - 4 · λ
අපි එක් එක් සමීකරණවල λ පරාමිතිය ප්රකාශ කරමු: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4
අපි සමීකරණ පද්ධතියේ දකුණු පස සමාන කර තලයේ සරල රේඛාවක අවශ්ය කැනොනිකල් සමීකරණය ලබා ගනිමු:
x - 3 0 = y + 2 - 4
පිළිතුර: x - 3 0 = y + 2 - 4
A x + B y + C = 0 පෝරමයේ රේඛාවක සමීකරණයක් ලිවීමට අවශ්ය වූ විට සහ තලයක රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ ලබා දී ඇති විට, පළමුව කැනොනිකල් වෙත සංක්රමණය කිරීම අවශ්ය වේ. සමීකරණය, ඉන්පසු රේඛාවේ පොදු සමීකරණයට. අපි සම්පූර්ණ ක්‍රියා අනුපිළිවෙල ලියා තබමු:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ · ⇔ a x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0
උදාහරණය 3
x = - 1 + 2 · λ y = - 3 · λ යන පරාමිතික සමීකරණ ලබා දී ඇත්නම් සරල රේඛාවක සාමාන්ය සමීකරණය ලියා තැබීම අවශ්ය වේ.
විසඳුම
පළමුව, අපි කැනොනිකල් සමීකරණයට සංක්රමණය කරමු:
x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3
ලැබෙන අනුපාතය සමානාත්මතාවයට සමාන වේ - 3 · (x + 1) = 2 · y. අපි වරහන් විවෘත කර රේඛාවේ සාමාන්ය සමීකරණය ලබා ගනිමු: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0.
පිළිතුර: 3 x + 2 y + 3 = 0
ඉහත ක්‍රියාවන්හි තර්කනය අනුගමනය කරමින්, කෝණ සංගුණකයක් සහිත රේඛාවක සමීකරණය ලබා ගැනීම සඳහා, ඛණ්ඩවල රේඛාවක සමීකරණය හෝ සාමාන්ය සමීකරණයසරල රේඛාව, සරල රේඛාවේ සාමාන්ය සමීකරණය ලබා ගැනීම අවශ්ය වන අතර, එයින් තවදුරටත් සංක්රමණය සිදු කරන්න.
දැන් ප්‍රතිලෝම ක්‍රියාව සලකා බලන්න: මෙම රේඛාවේ සමීකරණවල වෙනස් වූ ආකාරයක් සහිත රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ ලිවීම.
සරලම සංක්‍රාන්තිය: කැනොනිකල් සමීකරණයේ සිට පරාමිතික ඒවා දක්වා. පෝරමයේ කැනොනිකල් සමීකරණයක් ලබා දෙන්න: x - x 1 a x = y - y 1 a y. මෙම සමානාත්මතාවයේ එක් එක් සම්බන්ධතාව λ පරාමිතියට සමාන ලෙස ගනිමු.
x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y
අපි x සහ y විචල්‍යයන් සඳහා ලැබෙන සමීකරණ විසඳමු:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ
උදාහරණය 4
තලයේ ඇති රේඛාවේ කැනොනිකල් සමීකරණය දන්නේ නම් රේඛාවේ පරාමිතික සමීකරණ ලිවීම අවශ්ය වේ: x - 2 5 = y - 2 2
විසඳුම
අපි දන්නා සමීකරණයේ කොටස් λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ පරාමිතියට සමාන කරමු. ලැබෙන සමානාත්මතාවයෙන් අපි රේඛාවේ පරාමිතික සමීකරණ ලබා ගනිමු: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ
පිළිතුර: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ
රේඛාවක දී ඇති සාමාන්ය සමීකරණයකින්, කෝණික සංගුණකයක් සහිත රේඛාවක සමීකරණයකින් හෝ ඛණ්ඩවල රේඛාවක සමීකරණයකින් පරාමිතික සමීකරණ වෙත සංක්රමණය වීමට අවශ්ය වූ විට, මුල් සමීකරණය කැනොනිකල් වෙත ගෙන ඒම අවශ්ය වේ. එකක්, ඉන්පසු පරාමිතික සමීකරණ වෙත සංක්රමණය කරන්න.
උදාහරණ 5
මෙම රේඛාවේ දන්නා සාමාන්ය සමීකරණයක් සහිත රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ ලිවීම අවශ්ය වේ: 4 x - 3 y - 3 = 0.
විසඳුම
දී ඇති සාමාන්ය සමීකරණය කැනොනිකල් ආකාරයේ සමීකරණයක් බවට පරිවර්තනය කරමු:
4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4
අපි සමානාත්මතාවයේ දෙපැත්තම λ පරාමිතියට සමාන කර සරල රේඛාවේ අවශ්ය පරාමිතික සමීකරණ ලබා ගනිමු:
x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ
පිළිතුර: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ
ගුවන් යානයක රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ සමඟ උදාහරණ සහ ගැටළු
සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක තලයක රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ භාවිතා කරන වඩාත් පොදු ගැටළු සලකා බලමු.
- පළමු වර්ගයේ ගැටළු වලදී, පරාමිතික සමීකරණ මගින් විස්තර කරන ලද රේඛාවකට අයත් වුවත් නැතත්, ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක ලබා දෙනු ලැබේ.
එවැනි ගැටළු සඳහා විසඳුම පහත සඳහන් කරුණ මත පදනම් වේ: x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ පරාමිතික සමීකරණ වලින් තීරණය කරනු ලබන සංඛ්යා (x, y), යම් සැබෑ අගයක් සඳහා λ, ඛණ්ඩාංක වේ. මෙම පරාමිතික සමීකරණ විස්තර කර ඇති රේඛාවට අයත් ලක්ෂ්‍යයක.
උදාහරණ 6
λ = 3 සඳහා x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ පරාමිතික සමීකරණ මගින් නියම කර ඇති රේඛාවක් මත පිහිටා ඇති ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ.
විසඳුම
අපි දන්නා අගය λ = 3 ලබා දී ඇති පරාමිතික සමීකරණවලට ආදේශ කර අවශ්ය ඛණ්ඩාංක ගණනය කරමු: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5
පිළිතුර: 1 1 2 , 5
පහත කාර්යය ද කළ හැකි ය: සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක තලයක යම් ලක්ෂ්‍යයක් M 0 (x 0 , y 0) ලබා දීමට ඉඩ හරින්න සහ මෙම ලක්ෂ්යය x = x 1 යන පරාමිතික සමීකරණ මගින් විස්තර කර ඇති රේඛාවට අයත් දැයි ඔබ තීරණය කළ යුතුය. + a x · λ y = y 1 + a y · λ .
එවැනි ගැටළුවක් විසඳීම සඳහා, දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක සරල රේඛාවක දන්නා පරාමිතික සමීකරණවලට ආදේශ කිරීම අවශ්ය වේ. පරාමිතික සමීකරණ දෙකම සත්‍ය වන λ = λ 0 පරාමිතියේ අගයක් හැකි බව තීරණය කරන්නේ නම්, ලබා දී ඇති ලක්ෂ්යය ලබා දී ඇති සරල රේඛාවට අයත් වේ.
උදාහරණ 7
ලකුණු M 0 (4, - 2) සහ N 0 (- 2, 1) ලබා දී ඇත. ඒවා x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ පරාමිතික සමීකරණ මගින් අර්ථ දක්වා ඇති රේඛාවට අයත් දැයි තීරණය කිරීම අවශ්ය වේ.
විසඳුම
දී ඇති පරාමිතික සමීකරණවලට M 0 (4, - 2) ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක ආදේශ කරමු:
4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2
M 0 ලක්ෂ්යය ලබා දී ඇති රේඛාවට අයත් බව අපි නිගමනය කරමු, මන්ද λ = 2 අගයට අනුරූප වේ.
2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4
නිසැකවම, N 0 අනුරූප වන λ පරාමිතියක් නොමැත. වෙනත් වචන වලින් කිවහොත්, ලබා දී ඇති සරල රේඛාව N 0 (- 2, 1) ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් නොකරයි.
පිළිතුර:ලක්ෂ්යය M 0 ලබා දී ඇති රේඛාවකට අයත් වේ; ලක්ෂ්යය N 0 ලබා දී ඇති රේඛාවට අයත් නොවේ.
- දෙවන වර්ගයේ ගැටළු වලදී, සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක තලයක රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ සකස් කිරීම අවශ්ය වේ. එවැනි ගැටලුවක සරලම උදාහරණය (රේඛාවේ ලක්ෂ්යයේ සහ දිශා දෛශිකයේ දන්නා ඛණ්ඩාංක සමඟ) ඉහත සලකා බලන ලදී. දැන් අපි මුලින්ම මාර්ගෝපදේශ දෛශිකයේ ඛණ්ඩාංක සොයා ගත යුතු උදාහරණ දෙස බලමු, ඉන්පසු පරාමිතික සමීකරණ ලියන්න.
M 1 1 2, 2 3 ලක්ෂ්යය ලබා දී ඇත. x 2 = y - 3 - 1 රේඛාවට සමාන්තරව මෙම ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ නිර්මාණය කිරීම අවශ්ය වේ.
විසඳුම
ගැටලුවේ කොන්දේසි අනුව, සරල රේඛාව, අපට ඉදිරියට යා යුතු සමීකරණය, x 2 = y - 3 - 1 සරල රේඛාවට සමාන්තර වේ. එවිට, හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවේ දිශා දෛශිකය ලෙස ලබා දී ඇති ලක්ෂ්යය, x 2 = y - 3 - 1 යන සරල රේඛාවේ දිශානති දෛශිකය භාවිතා කළ හැකිය, එය අපි පෝරමයේ ලියන්නෙමු: a → = (2, - 1) . අවශ්ය පරාමිතික සමීකරණ සම්පාදනය කිරීම සඳහා අවශ්ය සියලුම දත්ත දැන් අපි දනිමු:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 1 2 + 2 · λ y = 2 3 + (- 1) · λ ⇔ x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ
පිළිතුර: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ .
උදාහරණ 9
ලක්ෂ්යය M 1 (0, - 7) ලබා දී ඇත. 3 x – 2 y – 5 = 0 රේඛාවට ලම්බකව මෙම ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ ලිවීම අවශ්ය වේ.
විසඳුම
සරල රේඛාවේ දිශා දෛශිකය ලෙස, සම්පාදනය කළ යුතු සමීකරණය, සරල රේඛාවේ 3 x – 2 y – 5 = 0 සාමාන්ය දෛශිකය ගත හැක. එහි ඛණ්ඩාංක (3, - 2) වේ. සරල රේඛාවේ අවශ්ය පරාමිතික සමීකරණ අපි ලියන්නෙමු:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 0 + 3 · λ y = - 7 + (- 2) · λ ⇔ x = 3 · λ y = - 7 - 2 · λ
පිළිතුර: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ
- තුන්වන වර්ගයේ ගැටළු වලදී, දී ඇති රේඛාවක පරාමිතික සමීකරණ වලින් එය තීරණය කරන වෙනත් ආකාරයේ සමීකරණ වෙත සංක්රමණය කිරීම අවශ්ය වේ. ඉහත සමාන උදාහරණ සඳහා අපි තවත් එකක් දෙන්නෙමු.
x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ පරාමිතික සමීකරණ මගින් අර්ථ දක්වා ඇති සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක තලයක සරල රේඛාවක් ලබා දී ඇත. මෙම රේඛාවේ ඕනෑම සාමාන්ය දෛශිකයක ඛණ්ඩාංක සොයා ගැනීම අවශ්ය වේ.
විසඳුම
සාමාන්ය දෛශිකයේ අවශ්ය ඛණ්ඩාංක තීරණය කිරීම සඳහා, අපි පරාමිතික සමීකරණවල සිට සාමාන්ය සමීකරණයට සංක්රමණය කරන්නෙමු:
x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0
x සහ y විචල්‍යවල සංගුණක සාමාන්ය දෛශිකයේ අවශ්ය ඛණ්ඩාංක අපට ලබා දෙයි. මේ අනුව, x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ රේඛාවේ සාමාන්ය දෛශිකයට 1, 3 4 ඛණ්ඩාංක ඇත.
පිළිතුර: 1 , 3 4 .
ඔබ පෙළෙහි දෝෂයක් දුටුවහොත්, කරුණාකර එය උද්දීපනය කර Ctrl+Enter ඔබන්න
සරල රේඛාවක කැනොනිකල් සමීකරණවල එක් එක් කොටස් යම් පරාමිතියකට සමාන කිරීම ටී:
පරාමිතිය හරහා රේඛාවේ එක් එක් ලක්ෂ්යයේ වත්මන් ඛණ්ඩාංක ප්රකාශ කරන සමීකරණ අපි ලබා ගනිමු ටී.
මේ අනුව, රේඛාවේ පරාමිතික සමීකරණවල ස්වරූපය ඇත:
ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණ.
M 1 යන කරුණු දෙකක් දෙන්න (x 1 ,y 1 ,z 1)සහ M 2 (x 2,y 2,z 2). ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණ තලයක සමාන සමීකරණයක් ලෙස ලබා ගනී. එබැවින්, අපි මෙම සමීකරණයේ ස්වරූපය වහාම ඉදිරිපත් කරමු.
ගුවන් යානා දෙකක මංසන්ධියේ සරල රේඛාවක්. සාමාන්ය සමීකරණයකෙලින්ම අභ්යවකාශයේ.
අපි දෙකක් සලකා බැලුවහොත් සමාන්තර ගුවන් යානා, එවිට ඔවුන්ගේ ඡේදනය සරල රේඛාවක් වනු ඇත.
සාමාන්ය දෛශික නම් සහ 
collinear නොවන.
පහතින්, උදාහරණ සලකා බැලීමේදී, එවැනි රේඛා සමීකරණ කැනොනිකල් සමීකරණ බවට පරිවර්තනය කිරීමේ ක්රමයක් අපි පෙන්වමු.
5.4 සරල රේඛා දෙකක් අතර කෝණය. සරල රේඛා දෙකක සමාන්තර සහ ලම්බක තත්ත්වය.
අභ්යවකාශයේ සරල රේඛා දෙකක් අතර කෝණයක් දත්තවලට සමාන්තරව අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ඇද ගන්නා ලද සරල රේඛා දෙකකින් සාදන ඕනෑම කෝණයක් ලෙස හැඳින්වේ.
රේඛා දෙකක් ඒවායේ කැනොනිකල් සමීකරණ මගින් නිර්වචනය කරමු.
දිශා දෛශික අතර කෝණය සරල රේඛා දෙකක් අතර කෝණය ලෙස ගනිමු.
සහ 
සරල රේඛා දෙකක ලම්බක තත්ත්වය ඒවායේ දිශා දෛශිකවල ලම්බක තත්ත්වයට සහ , එනම්, අදිශ නිෂ්පාදනයේ සමානාත්මතාවයට ශුන්‍ය වේ: හෝ ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන්: .
සරල රේඛා දෙකක සමාන්තරතාවයේ තත්ත්වය ඒවායේ දිශා වාහකවල සමාන්තර තත්ත්වය දක්වා අඩු වේ.
5.5 අන්යෝන්ය පිහිටීමසෘජු සහ ගුවන් යානය.
සරල රේඛාවක සමීකරණ ලබා දෙන්න:
සහ ගුවන් යානා. සරල රේඛාවක් සහ තලයක් අතර කෝණය මේ දෙකෙන් ඕනෑම එකක් ලෙස හැඳින්වේ යාබද කොන්, සරල රේඛාවක් සහ එහි ප්රක්ෂේපණය තලයක් මත පිහිටුවා ඇත (රූපය 5.5).
 |
|||||||
රූපය 5.5
රේඛාව තලයට ලම්බක නම්, රේඛාවේ දිශා දෛශිකය සහ තලයට සාමාන්ය දෛශිකය collinear වේ. මේ අනුව, සරල රේඛාවක සහ තලයක ලම්බක තත්ත්වය දෛශිකවල සහසම්බන්ධතා තත්ත්වය දක්වා අඩු වේ.
සරල රේඛාවක් සහ තලයක් සමාන්තර නම්, ඒවායේ ඉහත දෛශික අන්යෝන්ය වශයෙන් ලම්බක වේ. එබැවින්, රේඛාවක් සහ තලයක් සමාන්තරගත වීමේ තත්ත්වය දෛශිකවල ලම්බක තත්ත්වයට අඩු වේ; ඒවා. ඔවුන්ගේ තිත් නිෂ්පාදනයශුන්යයට සමාන වේ හෝ ඛණ්ඩාංක ආකාරයෙන්: .
5 වන පරිච්ඡේදයේ මාතෘකාවට අදාළ ගැටළු විසඳීමේ උදාහරණ පහත දැක්වේ.
උදාහරණ 1:
සමීකරණයෙන් ලබා දී ඇති රේඛාවට ලම්බකව A (1,2,4) ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන තලයක් සඳහා සමීකරණයක් ලියන්න:
විසඳුම:
දී ඇති දෛශිකයකට ලම්බකව දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන තලයක සමීකරණය භාවිතා කරමු.
A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0
ලක්ෂ්‍යයක් ලෙස අපි A (1,2,4) ලක්ෂ්යය ගනිමු, එමඟින් යානය කොන්දේසිය අනුව ගමන් කරයි.
දැනගෙන කැනොනිකල් සමීකරණසරල රේඛාව, අපි සරල රේඛාවට සමාන්තරව දෛශිකය දනිමු.
කොන්දේසිය අනුව, සරල රේඛාව අපේක්ෂිත තලයට ලම්බක වන බැවින්, දිශා දෛශිකය තලයේ සාමාන්ය දෛශිකය ලෙස ගත හැකිය.
මේ අනුව, අපි තලයේ සමීකරණය ස්වරූපයෙන් ලබා ගනිමු:
2(x-1)+1(y-2)+4(z-4)=0
2x+y+4z-16=0
2x+y+4z-20=0
උදාහරණ 2:
ගුවන් යානයෙන් සොයා ගන්න 4х-7у+5z-20=0 OR ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සමඟ සමාන කෝණ සාදන එවැනි ලක්ෂ්‍යයක් P.
විසඳුම:
අපි ක්රමානුරූප ඇඳීමක් කරමු. (රූපය 5.6)
 |
දී
රූපය 5.6
හිස් ලක්ෂ්‍ය P හි ඛණ්ඩාංක ඇත. දෛශිකය ඛණ්ඩාංක අක්ෂ සමඟ සමාන කෝණ සාදන බැවින්, මෙම දෛශිකයේ දිශා කෝසයින් එකිනෙක සමාන වේ
දෛශිකයේ ප්‍රක්ෂේපන සොයා ගනිමු:
එවිට මෙම දෛශිකයේ දිශා කොසයින පහසුවෙන් සොයා ගත හැක.
දිශාවේ සමානාත්මතාවයෙන් සමානාත්මතාවය පහත දැක්වේ:
x p =y p =z p
P ලක්ෂ්යය තලය මත පිහිටා ඇති බැවින්, මෙම ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක තලයේ සමීකරණයට ආදේශ කිරීමෙන් එය අනන්‍යතාවයක් බවට පත් කරයි.
4x р -7х р +5х р -20=0
2x p =20
x p =10
පිළිවෙලින්: y ආර්=10; z ආර්=10.
මේ අනුව, අපේක්ෂිත ලක්ෂ්යය P හි ඛණ්ඩාංක P (10;10;10) ඇත.
උදාහරණ 3:
A (2,-1,-2) සහ B (8,-7,5) ලකුණු දෙකක් ලබා දී ඇත. AB ඛණ්ඩයට ලම්බකව B ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන තලයේ සමීකරණය සොයන්න.
විසඳුම:
ගැටළුව විසඳීම සඳහා, දී ඇති දෛශිකයකට ලම්බකව දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන තලයක සමීකරණය අපි භාවිතා කරමු.
A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)=0
අපි ලක්ෂ්යය B (8,-7,5) ලක්ෂ්‍යයක් ලෙසත්, තලයට ලම්බක දෛශිකයක් දෛශිකයක් ලෙසත් භාවිතා කරමු. දෛශිකයේ ප්‍රක්ෂේපන සොයා ගනිමු:
එවිට අපි ගුවන් යානයේ සමීකරණය ලබා ගනිමු:
6(x-8)-6(y+7)+7(z-5)=0
6х-48-6у-42+7z-35=0
6x-6y+7z-35=0
6x-6y+7z-125=0
උදාහරණ 4:
OY අක්ෂයට සමාන්තරව K(1,-5,1) සහ M(3,2,-2) යන ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන තලයක සමීකරණය සොයන්න.
විසඳුම:
ගුවන් යානය OY අක්ෂයට සමාන්තර වන බැවින්, අපි ගුවන් යානයේ අසම්පූර්ණ සමීකරණය භාවිතා කරමු.
Ax+Cz+D=0
K සහ M ලකුණු තලය මත පිහිටා ඇති නිසා, අපි කොන්දේසි දෙකක් ලබා ගනිමු.
මෙම කොන්දේසි වලින් A සහ C සංගුණක D අනුව ප්රකාශ කරමු.
අපි සොයාගත් සංගුණක ආදේශ කරමු අසම්පූර්ණ සමීකරණයගුවන් යානය:
සිට, අපි D අඩු කරන්නෙමු:
උදාහරණ 5:
M(7,6,7), K(5,10,5), R(-1,8,9) ලක්ෂ්‍ය තුනක් හරහා ගමන් කරන තලයක සමීකරණය සොයන්න
විසඳුම:
ලබා දී ඇති ලකුණු 3 ක් හරහා ගමන් කරන තලයක සමීකරණය භාවිතා කරමු.
ඛණ්ඩාංක ආදේශ කිරීම ලකුණු M,K,Rපළමු, දෙවන සහ තෙවන ලෙස අපට ලැබෙන්නේ:
අපි 1 වන පේළියේ නිර්ණායකය පුළුල් කරමු.
උදාහරණ 6:
ලකුණු M 1 (8, -3,1) හරහා ගමන් කරන තලයේ සමීකරණය සොයා ගන්න; M 2 (4,7,2) සහ ගුවන් යානයට ලම්බකව 3х+5у-7z-21=0
විසඳුම:
අපි ක්රමානුරූප ඇඳීමක් කරමු (රූපය 5.7)
රූපය 5.7
ලබා දී ඇති තලය P 2 සහ අපේක්ෂිත තලය P 2. අපි දක්වන්නෙමු. ලබා දී ඇති තලය P 1 හි සමීකරණයෙන් අපි P 1 තලයට ලම්බකව දෛශිකයේ ප්රක්ෂේපණ තීරණය කරමු.
දෛශිකය විසින් සමාන්තර මාරු කිරීම P2 තලය වෙත ගෙන යා හැක, මන්ද ගැටලුවේ කොන්දේසි අනුව, P2 තලය P1 තලයට ලම්බක වන බැවින් දෛශිකය P2 තලයට සමාන්තර වේ.
P2 තලයේ ඇති දෛශිකයේ ප්‍රක්ෂේපන සොයා ගනිමු:
දැන් අපට දෛශික දෙකක් ඇති අතර P 2 තලයේ වැතිර සිටී. පැහැදිලිවම දෛශිකය දෛශිකයේ දෛශික නිෂ්පාදනයට සමාන වන අතර P 2 තලයට ලම්බක වනු ඇත, මන්ද එය P 2 තලයට ලම්බක වන අතර එබැවින් එහි සාමාන්ය දෛශිකය P 2 තලයට ලම්බක වේ.
දෛශික සහ ඒවායේ ප්‍රක්ෂේපන මගින් නිර්වචනය කරනු ලැබේ එබැවින්:
ඊළඟට, අපි දෛශිකයට ලම්බකව දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන තලයක සමීකරණය භාවිතා කරමු. ලක්ෂ්‍යයක් ලෙස, ඔබට M 1 හෝ M 2 ලකුණු වලින් ඕනෑම එකක් ගත හැකිය, උදාහරණයක් ලෙස M 1 (8,-3,1); අපි P2 යානයට සාමාන්ය දෛශිකය ලෙස ගනිමු.
74(x-8)+25(y+3)+50(z-1)=0
3(x-8)+(y-3)+2(z-1)=0
3x-24+y+3+27-2=0
3x+y+2z-23=0
උදාහරණ 7:
ගුවන් යානා දෙකක ඡේදනය වීමෙන් සරල රේඛාවක් අර්ථ දැක්වේ. රේඛාවේ කැනොනිකල් සමීකරණ සොයන්න.
විසඳුම:
අපට පෝරමයේ සමීකරණය තිබේ:
අපි කාරණය සොයා ගත යුතුයි ( x 0,y 0,z 0), සරල රේඛාව සහ දිශාව දෛශිකය හරහා ගමන් කරයි.
අපි ඛණ්ඩාංක වලින් එකක් හිතුවක්කාර ලෙස තෝරා ගනිමු. උදාහරණ වශයෙන්, z=1, එවිට අපට නොදන්නා දෙකක් සහිත සමීකරණ දෙකක පද්ධතියක් ලැබේ:
මේ අනුව, අපි අපේක්ෂිත රේඛාවේ (2,0,1) පිහිටා ඇති ලක්ෂ්‍යයක් සොයාගෙන ඇත.
අපේක්ෂිත සරල රේඛාවේ දිශා දෛශිකය ලෙස අපි ගනිමු දෛශික කලා කෘතිදෛශික සහ , සාමාන්ය දෛශික නිසා 
, සහ එබැවින් අපේක්ෂිත රේඛාවට සමාන්තරව.
මේ අනුව, රේඛාවේ දිශා දෛශිකය ප්රක්ෂේපණ ඇත. දී ඇති දෛශිකයකට සමාන්තරව දී ඇති ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණය භාවිතා කිරීම:
එබැවින් අවශ්ය කැනොනිකල් සමීකරණයට පෝරමය ඇත:
උදාහරණ 8:
රේඛාවේ ඡේදනය වීමේ ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක සොයන්න 
සහ ගුවන් යානා 2x+3y+3z-8=0
විසඳුම:
සරල රේඛාවේ දී ඇති සමීකරණය පරාමිතික ආකාරයෙන් ලියමු.
x=3t-2; y=-t+2; z=2t-1
රේඛාවේ සෑම ලක්ෂයක්ම තනි පරාමිති අගයකට අනුරූප වේ ටී. පරාමිතිය සොයා ගැනීමට ටීරේඛාවේ සහ තලයේ ඡේදනය වන ස්ථානයට අනුරූපව, අපි ප්‍රකාශනය තලයේ සමීකරණයට ආදේශ කරමු x, y, zපරාමිතිය හරහා ටී.
2(3t-2)+(-t+2)+3(2t-1)-8=0
6t-4-3t+6+6t-3-8=0
t=1
එවිට අපේක්ෂිත ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක
අපේක්ෂිත මංසන්ධි ලක්ෂ්යයේ ඛණ්ඩාංක ඇත (1;1;1).
උදාහරණ 9:
සමාන්තර රේඛා හරහා ගමන් කරන ගුවන් යානයක සමීකරණය සොයා ගන්න.
අපි ක්රමානුරූප ඇඳීමක් කරමු (රූපය 5.9)
රූපය 5.9
සිට ලබා දී ඇති සමීකරණසරල රේඛා සහ මෙම සරල රේඛාවල දිශා වාහකවල ප්රක්ෂේපණ තීරණය කරන්න. P තලයේ වැතිර සිටින දෛශිකයේ ප්‍රක්ෂේපන සොයා බලමු, M 1 (1,-1,2) සහ M 2 (0,1,-2) යන සරල රේඛා වල කැනොනිකල් සමීකරණ වලින් ලකුණු ලබා ගනිමු.
නොදන්නා ප්‍රමාණයකට අමතරව, යම් කලාපයකින් විවිධ අගයන් ගත හැකි තවත් අමතර ප්‍රමාණයක් අඩංගු සමීකරණයක් ලෙස හැඳින්වේ. පරාමිතික. සමීකරණයේ මෙම අතිරේක ප්රමාණය හැඳින්වේ පරාමිතිය. ඇත්ත වශයෙන්ම, එක් එක් පරාමිතික සමීකරණය සමඟ බොහෝ සමීකරණ ලිවිය හැකිය. අපි පරාමිතික සමීකරණ මොඩියුලය සහ සරල පරාමිතික සමීකරණ විසඳීම දෙස බලමු.
ගැටලුව 1$x$ ට අදාළ සමීකරණ විසඳන්න
A) $x + a = 7$
B) $2x + 8a = 4$
C) $x + a = 2a - x$
D) $ax = 5$
E) $a - x = x + b$
F) $ax = 3a$
විසඳුම:
A) $x + a = 7 \Leftrightarrow x = 7 – a$, එනම් මෙම සමීකරණයට විසඳුමක් සොයාගෙන ඇත.
විවිධ පරාමිති අගයන් සඳහා, විසඳුම $x = 7 - a$ වේ
B) $2x + 8a = 4 \Leftrightarrow 2x = 4 - 8a \Leftrightarrow x = 2 – 4a$
C) $x + a = 2a – x \ Leftrightarrow x + x = 2a – a \Leftrightarrow 2x = a \Leftrightarrow x = \frac(a)(2)$
D) $ax = 5$, a 0 ට වඩා වෙනස් වූ විට අපට දෙපැත්තම a වලින් බෙදිය හැකි අතර අපට $x = 5$ ලැබේ.
$a = 0$ නම්, අපට ලැබෙන්නේ විසඳුමක් නොමැති $0.x = 5$ වැනි සමීකරණයක්;
E) $a – x = x + b \Leftrightarrow a – b = x + x \Leftrightarrow 2x = a – b \Leftrightarrow x = \frac(a-b)(2)$
F) a = 0 විට ax = 3a සමීකරණය 0.x = 0 වේ
එබැවින් ඕනෑම x විසඳුමක් වේ. a 0 ට වඩා වෙනස් නම්
$ax = 3a \Leftrightarrow x = \frac(3a)(a) \Leftrightarrow x = 3$
ගැටලුව 2 a පරාමිතියක් නම්, සමීකරණය විසඳන්න:
A) $(a + 1)x = 2a + 3$
B) $2a + x = ax + 4$
C) $a^2x – x = a$
D) $a^2x + x = a$
විසඳුම:
A) $a + 1$ 0 ට වඩා වෙනස් නම්, එනම්.. $a \neq -1$,
එවිට $x = \frac(2a+3)(a+1)$;
$a + 1 = 0$ නම්, i.e. $a = - 1$
සමීකරණය $0\cdot x = (2)\cdot(-1) + 3 \Leftrightarrow$
විසඳුමක් නොමැති $0\cdot x = 1$;
B) $2a + x = ax + 4 \Leftrightarrow$
$x – ax = 4 - 2a \Leftrightarrow$
$(1 – a)\cdot x = 2(2 – a)$
$(1 – a) \neq 0$ නම්, $\neq 1$; විසඳුම වනු ඇත
$x = \frac(2(2 - a))((1 - a))$;
$a = 1$ නම් සමීකරණය $0\cdot x = 2(2 - 1) \Leftrightarrow$ වෙයි
විසඳුමක් නොමැති $0\cdot x = 2$
C) $a^2x – x = a \Leftrightarrow$
$x(a^2 -1) = a\Leftrightarrow$
$(a - 1)(a + 1)x = a$
$a - 1 \neq 0$ සහ $a + 1 \neq 0$ නම් ඒ $a \neq 1, -1$,
විසඳුම $x = \frac(a)((a - 1)(a + 1))$
$a = 1$ හෝ $a = -1$ නම්, සමීකරණය වන්නේ විසඳුමක් නොමැති $0\cdot x = \pm 1$ වේ.
D) $a^2x + x = a\Leftrightarrow$
$(a^2 + 1)x = a$
මෙම අවස්ථාවෙහිදී, ඕනෑම $a$ සඳහා $a^2 + 1 \neq 0$, මන්ද එය ධන අංකයක (1) සහ එක් සෘණ අංකයක එකතුව වන බැවිනි.
$(a^2 \geq 0)$ එබැවින් $x = \frac(a)(a^2 + 1)$
ගැටලුව 3 a සහ b පරාමිති නම්, සමීකරණ විසඳන්න:
A) $ax + b = 0$
B) $ax + 2b = x$
C) $(b - 1)y = 1 – a$
D) $(b^2 + 1)y = a + 2$
විසඳුම:
A) $ax + b = 0 \Leftrightarrow ax = -b$
$a\neq 0$ නම්, විසඳුම $x = -\frac(b)(a)$ වේ.
$a = 0, b\neq 0$ නම්, සමීකරණය $0\cdot x = -b$ පෝරමය ගන්නා අතර විසඳුමක් නොමැත.
$a = 0$ සහ $b = 0$ නම්, සමීකරණය $0\cdot x = 0$ බවට පත් වන අතර ඕනෑම $x$ විසඳුමකි;
B) $ax + 2b = x \Leftrightarrow ax – x = -2b \Leftrightarrow (a - 1)x = -2b$
$a - 1 \neq 0$ නම්, i.e. $a \neq 1$, විසඳුම $x = -\frac(2b)(a-1)$
$a - 1 = 0$, එනම් $a = 1$, සහ $b \neq 0$ නම්, සමීකරණය $0\cdot x = - 2b$ ආකාරය ගන්නා අතර එයට විසඳුමක් නැත.
C) $b - 1 \neq 0$ නම්, එනම් $b \neq 1$,
විසඳුම $y = \frac(1-a)(b-1)$ වේ
$b - 1 = 0$ නම්, එනම් $b = 1$, නමුත් $1 – a \neq 0$,
එනම්, $a \neq 1$, සමීකරණය $0\cdot y = 1 – a$ පෝරමය ගන්නා අතර එයට විසඳුමක් නැත.
$b = 1$ සහ $a = 1$ නම් සමීකරණය $0\cdot y = 0$ ආකාරය ගන්නා අතර ඕනෑම $y$ විසඳුමක් වේ.
D) ඕනෑම $b$ සඳහා $b^2 + 1 \neq 0$ (ඇයි?), එසේ
$y = \frac(a+2)(b^2)$ යනු සමීකරණයට විසඳුමකි.
ගැටලුව $4$$x$ හි කුමන අගයන් සඳහා පහත ප්‍රකාශන සමාන අර්ථයන් තිබේද:
A) $5x + a$ සහ $3ax + 4$
B) $2x - 2$ සහ $4x + 5a$
විසඳුම:
එකම අගයන් ලබා ගැනීම සඳහා අපි සමීකරණ සඳහා විසඳුම් සෙවිය යුතුය
$5x + a = 3ax + 4$ සහ $2x – 2 = 4x + 5a$
A) $5x + a = 3ax + 4 \Leftrightarrow$
$5x - 3ax = 4 – a \Leftrightarrow$
$(5 - 3a)x = 4 – a$
$5 - 3a \neq 0$ නම්, i.e. $a \neq \frac(5)(3)$, විසඳුම් $x = \frac(4-a)(5-3a)$
$5 - 3a = 0$ නම්, i.e. $a = \frac(5)(3)$, සමීකරණය $0\cdot x = 4 - \frac(5)(3) \Leftrightarrow$
විසඳුමක් නොමැති $0\cdot x = \frac(7)(3)$
B) $2x - 2 = 4x + 5a \Leftrightarrow$
$-2 - 5a = 4x - 2x \Leftrightarrow$
$2x = - 2 - 5a \Leftrightarrow$
$x = -\frac(2+5a)(2)$
ගැටලුව 5
A) $|ax + 2| = 4$
B) $|2x + 1| = 3a$
C) $|ax + 2a| = 3$
විසඳුම:
A) $|ax + 2| = 4 \Leftrightarrow ax + 2 = 4$ හෝ $ax + 2 = -4 \Leftrightarrow$
$ax = 2$ හෝ $ax = - 6$
$a \neq 0$ නම්, සමීකරණ $x = \frac(2)(a)$ හෝ $x = -\frac(6)(a)$ ආකාරය ගනී
$a = 0$ නම්, සමීකරණයට විසඳුමක් නැත
B) $a නම් $a > 0$ නම්, මෙය $2x + 1 = 3a$ ට සමාන වේ
හෝ $2x + 1 = -3a \Leftrightarrow 2x = 3a - 1 \Leftrightarrow x = \frac(3a-1)(2)$ හෝ
$2x = -3a - 1 \Leftrightarrow x = \frac(3a-1)(2) = -\frac(3a-1)(2)$
C) $|ax + 2a| = 3 \Leftrightarrow ax + 2a = 3$ හෝ $ax + 2a = - 3$,
සහ අපි $ax = 3 - 2a$ හෝ $ax = -3 - 2a$ සොයා ගනිමු
a = 0 නම්, $a \neq 0$ නම් විසඳුම් නොමැත
විසඳුම් වනුයේ: $x = \frac(3-2a)(a)$ සහ $x = -\frac(3+2a)(a)$
ගැටලුව 6 a සහ b නියම පරාමිති වන $2 – x = 2b – 2ax$ සමීකරණය විසඳන්න. විසඳුමක් ලෙස සමීකරණයේ ඇති අගයන් මොනවාදැයි සොයා බලන්න ස්වභාවික අංකය, $b = 7$ නම්
විසඳුම:
මෙම සමීකරණය පහත ආකාරයෙන් ඉදිරිපත් කරමු: $(2a - 1)x = 2(b - 1)$
පහත විකල්ප හැකි ය:
$2a - 1 \neq 0$ නම්, i.e. $a \neq \frac(1)(2)$, සමීකරණයට අද්විතීය විසඳුමක් ඇත
$x = \frac(2(b-1))(2a-1)$
$a = \frac(1)(2)$ සහ $b = 1$ නම්, සමීකරණය $0\cdot x = 0$ බවට පත්වන අතර ඕනෑම $x$ විසඳුමක් වේ.
$a = \frac(1)(2)$ සහ $b \neq 1$ නම්, අපට $0\cdot x = 2(b - 1)$ ලැබේ, එහිදී $2(b - 1) \neq 0$
මෙම අවස්ථාවේදී, සමීකරණයට විසඳුමක් නොමැත.
$b = 7$ සහ $a \neq \frac(1)(2)$ නම් එකම විසඳුම වේ
$x = \frac(2(7-1))(2a-1) = \frac(12)(2a-1)$
a නිඛිලයක් නම්, $2a - 1$ ද පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් වන අතර විසඳුම වේ
$x = \frac(12)(2a-1)$ යනු ස්වභාවික අංකයකි
$2a - 1$ යනු $12$ සඳහා ධන භාජකයකි.
a නිඛිලයක් වීමට නම් $12$ හි භාජකය ඔත්තේ විය යුතුය. නමුත් $1$ සහ $3$ පමණක් 12න් බෙදිය හැකි ධන ඔත්තේ සංඛ්යා වේ
එබැවින් $2a - 1 = 3 \Leftrightarrow a = 2$ හෝ $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow$
$a = 1 a = 2$ හෝ $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow a = 1$
ගැටලුව 7$|ax - 2 – a| සමීකරණය විසඳන්න = 4$, a යනු පරාමිතියකි. සමීකරණයේ මූලයන් සෘණ නිඛිල වන්නේ කුමන අගයන් සඳහාදැයි සොයා බලන්න.
විසඳුම:
මොඩියුලයේ අර්ථ දැක්වීමෙන් අපට ලැබේ
$|පොරොව - 2 – x| = 4 \Leftrightarrow ax - 2 – x = 4$ හෝ $ax - 2 – x = - 4$
පළමු සමානාත්මතාවයෙන් අපට ලැබෙන්නේ $x(a - 1) - 2 = 4 \Leftrightarrow$
$(a - 1)x = 4 + 2 \Leftrightarrow (a - 1)x = 6$
දෙවන සමානාත්මතාවයෙන් අපට $(a - 1)x = -2$ ලැබේ
$a - 1 = 0$ නම්, i.e. $a = 1$, අවසාන සමීකරණයට විසඳුමක් නැත.
$a \neq 1$ නම් අපි සොයා ගන්නේ $x = \frac(6)(a-1)$ හෝ $x = -\frac(2)(a-1)$
එබැවින් මෙම මූලයන් නොවෙනස්ව පවතී සෘණ සංඛ්යා, පහත සඳහන් දේ කළ යුතුය:
පළමුවැන්න සඳහා, $a - 1$ සමානාත්මතාවය 6 හි සෘණ භාජකයක් විය යුතු අතර, දෙවනුව, එය 2 හි ධන භාජකයක් විය යුතුය.
එවිට $a - 1 = -1; -2; -3; - 6$ හෝ $a - 1 = 1; 2$
අපට $a - 1 = -1 \Leftrightarrow a = 0; a - 1 = -2 \Leftrightarrow$
$a = -1; a - 1 = -3 \Leftrightarrow a = -2; a - 1 = -6 \Leftrightarrow a = -5$
හෝ $a - 1 = 1 \Leftrightarrow a = 2; a - 1 = 2 \Leftrightarrow a = 3$
එවිට $a = -5; -2; -1; 0; 2; 3$ යනු ගැටලුවට විසඳුම් වේ.
ගැටලුව 8සමීකරණය විසඳන්න:
A) $3ax – a = 1 – x$, a යනු පරාමිතියකි;
B) $2ax + b = 2 + x$, a සහ b යනු පරාමිති වේ
විසඳුම:
A) $3ax + x = 1 + a \Leftrightarrow (3a + 1)x = 1 + a$.
$3a + 1 \neq 0$ නම්, i.e. $a \neq -11 /3 /3$ , විසඳුමක් ඇත
$x = \frac(1+a)(3a+1)$
$a = -\frac(1)(3)$ නම් සමීකරණය විසඳුමක් නොමැති $0\cdot x = \frac(1.1)(3)$ ආකාරය ගනී.
B) $2ax – x = 2 – b \Leftrightarrow (2a - 1)x = 2 – b$
$2a - 1 \neq 0$ නම්, i.e. $a \neq \frac(1)(2), x = \frac(2-b)(2a-1)$ යනු විසඳුමයි.
$a = \frac(1)(2)$ නම් සමීකරණය $0.x = 2 – b$ වෙයි
එවිට, $b = 2$ නම්, ඕනෑම x විසඳුමක් වේ, $b \neq 2$ නම්, සමීකරණයට විසඳුමක් නැත.
ගැටලුව 9$6(kx - 6) + 24 = 5kx$ සමීකරණය ලබා දී ඇති අතර, k යනු පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් වේ. k සමීකරණයේ කුමන අගයන් සඳහාදැයි සොයන්න:
A) $-\frac(4)(3)$ මූලය ඇත
B) විසඳුමක් නැත;
C) ස්වභාවික අංකයක් ලෙස මූලයක් ඇත.
විසඳුම:
$6kx - 36 + 24 = 5kx \Leftrightarrow kx = 12$ ආකාරයෙන් සමීකරණය නැවත ලියමු
A) $x = -\frac(4)(3)$ නම්, k සඳහා අපට $-\frac(4)(3k) = 12 \Leftrightarrow k = - 9$ සමීකරණය ලැබේ.
B) $k = 0$ වන විට $kx = 12$ සමීකරණයට විසඳුමක් නොමැත
C) $k \neq 0$ යනු $x = \frac(12)(k)$ හි මුල වන විට සහ එය ස්වභාවික සංඛ්‍යාවක් වන විට, k යනු ධන නිඛිලයක් 12න් බෙදිය හැකි නම්, i.e. $k = 1, 2, 3, 4, 6, 12$
ගැටලුව 10සමීකරණය විසඳන්න:
A) $2ax + 1 = x + a$, a යනු පරාමිතියකි;
B) $2ax + 1 = x + b$, a සහ b යනු පරාමිති වේ.
විසඳුම:
A) $2ax + 1 = x + a \Leftrightarrow 2ax – x = a - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = a - 1$
$2a - 1 \neq 0$ නම්, i.e. $a \neq \frac(1)(2)$, සමීකරණයට ඇති එකම විසඳුම වේ
$x = \frac(a-1)(2a-1)$
$2a - 1 = 0$ නම්, i.e. $a = \frac(1)(2)$, සමීකරණය පෝරමය ගනී
$0.x = \frac(1)(2)- 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(2)$, එයට විසඳුමක් නැත
B) $2ax + 1 = x + b \Leftrightarrow$
$2ax – x = b - 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = b - 1$
$2a - 1 \neq 0$ නම්, i.e. $a \neq \frac(1)(2)$, විසඳුම වේ
$x = \frac(b-1)(2a-1)$
$a = \frac(1)(2)$ නම්, සමීකරණ $0.x = b - 1$ ට සමාන වේ.
b = 1 ඕනෑම x විසඳුමක් නම්, $b \neq 1$ නම් විසඳුමක් නොමැත.
ගැටලුව 11$3(ax - 4) + 4 = 2ax$ යන සමීකරණය ලබා දී ඇති අතර එහිදී පරාමිතිය පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් වේ. සමීකරණයේ මූලයන් ලෙස ඇති අගයන් මොනවාදැයි සොයා බලන්න:
A) $\වම(-\frac(2)(3)\දකුණ)$
B) පූර්ණ සංඛ්යාව
C) ස්වභාවික අංකය
විසඳුම:
A) $x = -\frac(2)(3)$ සමීකරණයට විසඳුමක් නම්, එය සත්‍ය විය යුතුය.
$3\left + 4 = 2a\left(-\frac(2)(3)\දකුණ) \Leftrightarrow$
$-2a - 12 + 4 = -\frac(4a)(3) \Leftrightarrow$
$\frac(4a)(3) - 2a = 8 \Leftrightarrow \frac(4a-6a)(3) = 8 \Leftrightarrow$
$-\frac(2a)(3) = 8 \Leftrightarrow a = -12$
B) $3(ax - 4) + 4 = 2ax \Leftrightarrow 3ax - 2ax = 12 - 4 \Leftrightarrow ax = 8$
$a \neq 0$ විසඳුම $x = \frac(8)(a)$ නම්, a $8$ හි භාජකය නම් එය පූර්ණ සංඛ්‍යාවකි.
ඒක තමයි; $±2; ± 4; ±8$
$a=0$ නම්, සමීකරණයට විසඳුමක් නැත
C) මෙම විසඳුම සඳහා ස්වභාවික (ධන නිඛිල) අංකයක් ලබා ගැනීමට $x=\frac(8)(a)$ අංකය සමාන විය යුතුය: $a=1, 2, 4, 8$
ගැටලුව 12$2 – x = 2b – 2ax$ සමීකරණය ලබා දී ඇත, මෙහි $a$ සහ $b$ පරාමිති වේ. $b = 7$ නම් ස්වභාවික සංඛ්‍යාවක ආකාරයෙන් සමීකරණයේ විසඳුම් ඇත්තේ කුමන අගයන් සඳහාද යන්න සොයා බලන්න.
විසඳුම:
අපි $b = 7$ සමීකරණයට ආදේශ කර $2 – x = 2.7 - 2ax \Leftrightarrow$ ලබා ගනිමු.
$2ax – x = 14 – 2 \Leftrightarrow (2a - 1)x = 12$
$2a -1 \neq 0$ නම්, i.e. $a \neq \frac(1)(2)$, සමීකරණය පෝරමය ගනී
$x = \frac(12)(2a-1)$ වන අතර $2a - 1$ යන හරය $12$ ක ධන ලාභාංශයක් නම් එය ස්වභාවික සංඛ්‍යාවක් වනු ඇති අතර ඊට අමතරව එය පූර්ණ සංඛ්‍යාවක් වීමට නම් එය අවශ්ය වේ. $2a - 1$ ඔත්තේ අංකයක් බව.
එබැවින් $2a - 1$ $1$ හෝ $3$ විය හැක
$2a සිට - 1 = 1 \Leftrightarrow 2a = 2 \Leftrightarrow a = 1$ සහ $2a - 1 = 3$
$\Leftrightarrow 2a = 4 \Leftrightarrow a = 2$
ගැටලුව 13$f(x) = (3a - 1)x - 2a + 1$ ශ්‍රිතයක් ලබා දී ඇත, මෙහි a යනු පරාමිතියකි. ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරයක අගයන් මොනවාදැයි සොයන්න:
A) x අක්ෂය තරණය කරයි;
B) x අක්ෂය තරණය කරයි
විසඳුම:
ශ්‍රිතයක ප්‍රස්ථාරය x-අක්ෂය තරණය කිරීම සඳහා, එය අවශ්ය වේ
$(3a - 1)\cdot x -2a + 1 = 0$ හි විසඳුම් තිබූ අතර x-අක්ෂයේ ඡේදනය නොවීම සඳහා විසඳුමක් නොතිබුණි.
සමීකරණයෙන් අපට $(3a - 1)x = 2a - 1$ ලැබේ
$3a - 1 \neq 0$ නම්, i.e. $a \neq \frac(1)(3)$, සමීකරණයට විසඳුම් ඇත
$x = \frac(2a-1)(3a-1)$, එබැවින් ශ්‍රිතයේ ප්‍රස්ථාරය x-අක්ෂය ඡේදනය කරයි.
$a = \frac(1)(3)$ නම්, අපට ලැබෙන්නේ $0.x = \frac(2)(3) - 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(3)$, එය නොලැබේ විසඳුම් ඇත.
එබැවින්, $a = \frac(1)(3)$ නම්, ශ්‍රිතවල ප්‍රස්ථාරය x-අක්ෂය ඡේදනය නොවේ.
ගැටලුව 14පරාමිතික සමීකරණය විසඳන්න:
A) $|x -2| =a$
B) $|ax -1| = 3$
C) $|ax - 1| = a - 2$
විසඳුම:
A) $a 0$ නම් අපට ලැබෙන්නේ:
$|x - 2| = a \Leftrightarrow x - 2 = a$ හෝ $x - 2 = -a$
$x සිට - 2 = a \Rightarrow x = a + 2$, සහ සිට
$x - 2 = -a \Rightarrow x = 2 – a$
$a = 0$ නම් $x - 2 = 0$ හෝ $x = 2$
B) $|ax - 1| = 3 \Leftrightarrow ax - 1 = 3$ හෝ $ax - 1 = -3$
කොහෙන්ද $ax = 4$ හෝ $ax = - 2$
$a \neq 0$ විසඳුම් නම්: $x = \frac(4)(a)$ හෝ $x = -\frac(2)(a)$
$a = 0$ නම්, මෙහි විසඳුමක් නොමැත
C) $a - 2 නම් $a - 2 > 0$, i.e. $a > 2$ අපිට ලැබෙනවා
$|පොරව - 1| = a - 2 \Leftrightarrow ax - 1 = a - 2$ හෝ $ax - 1 = 2 – a$
ඉතින් අපිට $ax = a - 1$ හෝ $ax = 3 - a$ ලැබෙනවා
මන්ද $a > 2, a\neq 0$, එබැවින්
$x = \frac(a-1)(a)$ හෝ $x = \frac(3-a)(a)$.
$a = 2$ නම්, සමීකරණ සමාන වේ
$2x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = \frac(1)(2)$
ගැටලුව 15 m (a) පරාමිතියේ කුමන අගයන් සඳහා සමීකරණ දෙක සමානදැයි සොයා බලන්න:
A) $\frac(x+m)(2) = 1 – m$ සහ $(-x - 1) ^2 - 1 = x^2$
B) $\frac(x+m)(2) = 1 – m$ සහ $\frac(x-m)(3) = 1 - 2m$
C) $|3 – x| + x^2 -5x + 3 = 0$ සහ $ax + 2a = 1 + x$ නම් $x > 3$
විසඳුම:
A) දෙවන සමීකරණය විසඳමු. අපි එය පෝරමයේ ලියන්නෙමු:
$(-x - 1)^2 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$[(-1)(x + 1) ]^2 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$x^2 + 2x + 1 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$2x = 0 \Leftrightarrow x = 0$
පළමු එකට අපි ලබා ගනිමු
$\frac(x+m)(2) = 1 – m \Leftrightarrow x + m = 2 - 2m \Leftrightarrow x = 2 - 3m$
මෙම සමීකරණ දෙක සමාන මූලයන් තිබේ නම්, i.e.
$2 - 3m = 0 \Leftrightarrow$ $m = \frac(2)(3)$
B) පළමු සමීකරණය සඳහා විසඳුම $x = 2 - 3m$ වන අතර දෙවැන්න සඳහා අපට ලැබේ
$x – m = 3 - 6m \Leftrightarrow$ $x = 3 – 5m$
ඔවුන් විට එකම මූලයන් ඇත
$2 - 3m = 3 - 5m \Leftrightarrow 5m - 3m = 3 - 2 \Leftrightarrow 2m = 1 \Leftrightarrow m = \frac(1)(2)$
C) $x > 3, 3 – x $|3 – x| සිට = -(3 – x) = x - 3$
පළමු සමීකරණය මේ ආකාරයෙන් පෙනෙනු ඇත: $x - 3 + x^2 – 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow$
$x^2 - 4x – 0 \Leftrightarrow x(x - 4) = 0 \Leftrightarrow$
$x = 0$ හෝ $x = 4$
$x > 3$ යන කොන්දේසිය සමඟ, එබැවින් විසඳුම වන්නේ $x = 4$ පමණි. දෙවන සමීකරණය සඳහා අපට ලැබේ
$ax – x = 1 - 2a \Leftrightarrow (a - 1)x = 1 - 2a$
$a - 1 = 0$ නම්, විසඳුමක් නැත (ඇයි?), $a - 1 \neq 0$ නම්, i.e. $a \neq 1$, විසඳුම
$x = \frac(1-2a)(a-1)$ $4 = \frac(1-2a)(a-1) \Leftrightarrow$ $4(a - 1) = 1 - 2a නම් මෙම සමීකරණ දෙක සමාන වේ \Leftrightarrow 4a + 2a = 1 + 4 \Leftrightarrow 6a = 5 \Leftrightarrow a = \frac(5)(6)$
ඉඩ දෙන්න එල්- අවකාශයේ සමහර සරල රේඛාවක්. planimetry හි මෙන්, ඕනෑම දෛශිකයක්
ඒ =/= 0, කොලිනියර් රේඛාව එල්, නමින් මාර්ගෝපදේශ දෛශිකයමෙම සරල රේඛාව.
දිශා දෛශිකය සහ රේඛාවට අයත් ලක්ෂ්යය නියම කිරීමෙන් අවකාශයේ රේඛාවේ පිහිටීම සම්පූර්ණයෙන්ම තීරණය වේ.
එය කෙළින් වීමට ඉඩ දෙන්න එල්මාර්ගෝපදේශ දෛශිකය සමඟ ඒ M 0 ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන අතර M යනු අභ්යවකාශයේ අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍යයකි. පැහැදිලිවම, ලක්ෂ්යය M (රූපය 197) රේඛාවට අයත් වේ එල්දෛශිකය \(\overrightarrow(M_0 M)\) දෛශිකය සමඟ සහසම්බන්ධ වන්නේ නම් සහ පමණි ඒ , i.e.
\(\overrightarrow(M_0 M)\) = ටී a , ටී\(\in\) ආර්. (1)
ලකුණු M සහ M 0 ඒවායේ අරය දෛශික මගින් නියම කර ඇත්නම් ආර් සහ ආර් 0 (රූපය 198) අවකාශයේ O ලක්ෂ්‍යයට සාපේක්ෂව, එවිට \(\overrightarrow(M_0 M)\) = ආර් - ආර් 0 , සහ සමීකරණය (1) ආකෘතිය ගනී
ආර් = ආර් 0 + ටී a , ටී\(\in\) ආර්. (2)
සමීකරණ (1) සහ (2) ලෙස හැඳින්වේ සරල රේඛාවක දෛශික-පරාමිතික සමීකරණ. විචල්ය ටීදෛශික-පරාමිතික සමීකරණවලදී සරල රේඛාව ලෙස හැඳින්වේ පරාමිතිය.
M 0 ලක්ෂ්යය සරල රේඛාවක් වේවා එල්සහ දිශාව දෛශිකය a ඒවායේ ඛණ්ඩාංක මගින් ලබා දී ඇත:
M 0 ( X 0 ; දී 0 , z 0), ඒ = (ඒ 1 ; ඒ 2 ; ඒ 3).
එසේ නම් ( X; y; z) - සරල රේඛාවක අත්තනෝමතික ලක්ෂ්‍ය M හි ඛණ්ඩාංක එල්, ඒ
\(\overrightarrow(M_0 M) \) = ( x - x 0 ; y - y 0 ; z - z 0)
සහ දෛශික සමීකරණය (1) පහත සමීකරණ තුනට සමාන වේ:
x - x 0 = tа 1 , y - y 0 = tа 2 , z - z 0 = tа 3
$$ \begin(cases) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\in R\ end(cases) (3)$$
සමීකරණ (3) ලෙස හැඳින්වේ රේඛාවේ පරාමිතික සමීකරණ අභ්යවකාශයේ.
කාර්යය 1.ලක්ෂ්‍යයක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක් සඳහා පරාමිතික සමීකරණ ලියන්න
M 0 (-3; 2; 4) සහ දිශා දෛශිකයක් තිබීම ඒ = (2; -5; 3).
මේ අවස්ථාවේ දී X 0 = -3, දී 0 = 2, z 0 = 4; ඒ 1 = 2; ඒ 2 = -5; ඒ 3 = 3. මෙම අගයන් සූත්‍රවලට ආදේශ කිරීම (3), අපි මෙම රේඛාවේ පරාමිතික සමීකරණ ලබා ගනිමු.
$$ \begin(cases) x = -3 - 2t \\ y = 2 - 5t \\ z = 4 + 3t, \;\;t\in R\end(cases) $$
පරාමිතිය බැහැර කරමු ටීසමීකරණ වලින් (3). මෙය කළ හැකි නිසා ඒ =/= 0, එබැවින් දෛශික ඛණ්ඩාංක වලින් එකක් ඒ පැහැදිලිවම ශුන්‍යයට වඩා වෙනස් වේ.
පළමුව සියලුම ඛණ්ඩාංක බිංදුවෙන් වෙනස් වීමට ඉඩ දෙන්න. එතකොට
$$ t=\frac(x-x_0)(a_1),\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2),\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$
ඒ නිසා
$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4)$$
මෙම සමීකරණ ලෙස හැඳින්වේ රේඛාවේ කැනොනිකල් සමීකරණ .
සමීකරණ (4) විචල්ය තුනක් සහිත සමීකරණ දෙකක පද්ධතියක් සාදන බව සලකන්න x, yසහ z
සමීකරණවල නම් (3) දෛශික ඛණ්ඩාංක වලින් එකක් ඒ , උදාහරණ වශයෙන් ඒ 1 යනු ශුන්‍යයට සමාන වේ, පසුව පරාමිතිය ඉවත් කිරීමෙන් ටී, අපි නැවතත් විචල්ය තුනක් සහිත සමීකරණ දෙකක පද්ධතියක් ලබා ගනිමු x, yසහ z:
\(x=x_0, \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)
මෙම සමීකරණ කැනොනිකල් රේඛා සමීකරණ ලෙසද හැඳින්වේ. ඒකාකාරිත්වය සඳහා, ඒවා සාම්ප්‍රදායිකව ලියා ඇත්තේ (4)
\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)
හරය ශුන්‍ය නම්, ඊට අනුරූප සංඛ්යාව ද ශුන්‍ය වේ යැයි උපකල්පනය කරයි. මෙම සමීකරණ M 0 ලක්ෂය හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණ වේ ( X 0 ; දී 0 , z 0) සමාන්තරව සම්බන්ධීකරණ තලය yOz, එහි දිශා දෛශිකය (0; ඒ 2 ; ඒ 3).
අවසාන වශයෙන්, සමීකරණ (3) තුළ දෛශික ඛණ්ඩාංක දෙකක් තිබේ නම් ඒ , උදාහරණ වශයෙන් ඒ 1 සහ ඒ 2 ශුන්‍යයට සමාන වේ, එවිට මෙම සමීකරණ ස්වරූපය ගනී
X = X 0 , y = දී 0 , z = z 0 + ටී a 3 , ටී\(\in\) ආර්.
මේවා M 0 ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණ වේ ( X 0 ; දී 0 ; z 0) අක්ෂයට සමාන්තරව Oz. එවැනි සරල රේඛාවක් සඳහා X = X 0 , y = දී 0,ඒ z- ඕනෑම අංකයක්. මෙම අවස්ථාවේ දී, ඒකාකාරිත්වය සඳහා, සරල රේඛාවේ සමීකරණය (එකම වෙන් කිරීමක් සමඟ) පෝරමයේ (4) ලිවිය හැකිය.
\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)\)
මේ අනුව, අභ්යවකාශයේ ඇති ඕනෑම රේඛාවක් සඳහා කෙනෙකුට කැනොනිකල් සමීකරණ (4) ලිවිය හැකි අතර, අනෙක් අතට, (4) පෝරමයේ ඕනෑම සමීකරණයක් අවම වශයෙන් එක් සංගුණකයක් ලබා දී ඇත. ඒ 1 , ඒ 2 , ඒ 3 ශුන්‍යයට සමාන නොවේ, අභ්යවකාශයේ යම් සරල රේඛාවක් අර්ථ දක්වයි.
කාර්යය 2.දෛශිකයට සමාන්තරව M 0 (- 1; 1, 7) ලක්ෂ්යය හරහා ගමන් කරන රේඛාවක කැනොනිකල් සමීකරණ ලියන්න. ඒ = (1; 2; 3).
මෙම නඩුවේ සමීකරණ (4) පහත පරිදි ලියා ඇත:
\(\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)\)
ලබා දී ඇති ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණ ව්‍යුත්පන්න කරමු M 1 ( X 1 ; දී 1 ; z 1) සහ
M2( X 2 ; දී 2 ; z 2) පැහැදිලිවම, අපට දෛශිකය ගත හැකිය a = (X 2 - X 1 ; දී 2 - දී 1 ; z 2 - z 1), සහ සරල රේඛාවක් ගමන් කරන M 0 ලක්ෂ්‍යයෙන් ඔබ්බට, උදාහරණයක් ලෙස, M 1 ලක්ෂ්යය. එවිට සමීකරණ (4) පහත පරිදි ලියා ඇත:
\(\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)\) (5)
මේවා ලක්ෂ්‍ය දෙකක් හරහා ගමන් කරන රේඛාවක සමීකරණ වේ M 1 ( X 1 ; දී 1 ; z 1) සහ
M2( X 2 ; දී 2 ;z 2).
කාර්යය 3. M 1 (-4; 1; -3) සහ M 2 (-5; 0; 3) යන ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන සරල රේඛාවක සමීකරණ ලියන්න.
මේ අවස්ථාවේ දී X 1 = -4, දී 1 = 1, z 1 = -3, X 2 = -5, දී 2 = 0, z 2 = 3. මෙම අගයන් සූත්‍ර (5) බවට ආදේශ කිරීම, අපි ලබා ගනිමු
\(\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)\)
කාර්යය 4. M 1 (3; -2; 1) සහ ලක්ෂ්‍ය හරහා ගමන් කරන රේඛාවේ සමීකරණ ලියන්න.
M 2 (5; -2; 1/2).
M 1 සහ M 2 ලක්ෂ්‍යවල ඛණ්ඩාංක සමීකරණ (5) බවට ආදේශ කිරීමෙන් පසුව, අපි ලබා ගනිමු
\(\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))\)
මෙම ඡේදය කියවීමට වග බලා ගන්න!පරාමිතික සමීකරණ, ඇත්ත වශයෙන්ම, අවකාශීය ජ්යාමිතියෙහි ඇල්ෆා සහ ඔමේගා නොව, බොහෝ ගැටළු වල වැඩ කරන කුහුඹුවන් වේ. එපමණක්ද නොව, මෙම ආකාරයේ සමීකරණ බොහෝ විට අනපේක්ෂිත ලෙස භාවිතා වන අතර, මම අලංකාර ලෙස කියමි.
රේඛාවකට අයත් ලක්ෂ්යය සහ මෙම රේඛාවේ දිශා දෛශිකය දන්නේ නම්, මෙම රේඛාවේ පරාමිතික සමීකරණ පද්ධතිය මඟින් ලබා දෙනු ලැබේ:
මම පන්තියේදී පරාමිතික සමීකරණ සංකල්පය ගැනම කතා කළා ගුවන් යානයක සරල රේඛාවක සමීකරණයසහ පරාමිතිකව අර්ථ දක්වා ඇති ශ්‍රිතයක ව්‍යුත්පන්නය.
තැම්බූ ටර්නිප් වලට වඩා සෑම දෙයක්ම සරලයි, එබැවින් ඔබට ගැටලුව කුළු බඩු කිරීමට සිදු වනු ඇත:
උදාහරණ 7
විසඳුම: රේඛා කැනොනිකල් සමීකරණ මගින් ලබා දී ඇති අතර පළමු අදියරේදී ඔබට රේඛාවට සහ එහි දිශා දෛශිකයට අයත් යම් ලක්ෂ්‍යයක් සොයාගත යුතුය.
a) සමීකරණ වලින් අපි ලක්ෂ්යය සහ දිශාව දෛශිකය ඉවත් කරමු: . ඔබට තවත් කරුණක් තෝරා ගත හැකිය (මෙය කරන්නේ කෙසේද යන්න ඉහත විස්තර කර ඇත), නමුත් වඩාත්ම පැහැදිලි එකක් ගැනීම වඩා හොඳය. මාර්ගය වන විට, වැරදි වළක්වා ගැනීම සඳහා, සෑම විටම එහි ඛණ්ඩාංක සමීකරණවලට ආදේශ කරන්න.
මෙම රේඛාව සඳහා පරාමිතික සමීකරණ නිර්මාණය කරමු:
පරාමිතික සමීකරණවල පහසුව නම්, රේඛාවක් මත වෙනත් ලක්ෂ්‍ය සොයා ගැනීම ඉතා පහසු වීමයි. උදාහරණයක් ලෙස, පරාමිතියේ අගයට අනුරූප වන ඛණ්ඩාංක ඇති ලක්ෂ්‍යයක් සොයා ගනිමු:
මේ අනුව:
ආ) කැනොනිකල් සමීකරණ සලකා බලන්න. මෙහි ලක්ෂ්‍යයක් තෝරා ගැනීම අපහසු නැත, නමුත් ද්‍රෝහී: (ඛණ්ඩාංක ව්‍යාකූල නොකිරීමට ප්‍රවේශම් වන්න!!!). මාර්ගෝපදේශ දෛශිකය ඉවත් කරන්නේ කෙසේද? මෙම රේඛාව සමාන්තර වන්නේ කුමක් දැයි ඔබට අනුමාන කළ හැකිය, නැතහොත් ඔබට සරල විධිමත් තාක්ෂණයක් භාවිතා කළ හැකිය: "Y" සහ "Z" සමානුපාතික වේ, එබැවින් දිශා දෛශිකය ලියා ඉතිරි ඉඩෙහි ශුන්‍යයක් තබමු: .
සරල රේඛාවේ පරාමිතික සමීකරණ සම්පාදනය කරමු:
ඇ) පෝරමයේ සමීකරණ නැවත ලියමු, එනම් "zet" ඕනෑම දෙයක් විය හැකිය. සහ කිසියම් අයෙකු විසින් නම්, උදාහරණයක් ලෙස, ඉඩ දෙන්න. මේ අනුව, ලක්ෂ්යය මෙම රේඛාවට අයත් වේ. දිශා දෛශිකය සොයා ගැනීම සඳහා, අපි පහත විධිමත් තාක්‍ෂණය භාවිතා කරමු: මුල් සමීකරණවල “x” සහ “y” ඇති අතර, මෙම ස්ථානවල දිශා දෛශිකයේ අපි ලියන්නෙමු. බිංදු: . ඉතිරි අවකාශයේ අපි තබමු ඒකකය: . එකක් වෙනුවට, බිංදුව හැර ඕනෑම අංකයක් කරනු ඇත.
සරල රේඛාවේ පරාමිතික සමීකරණ ලියන්නෙමු:
පුහුණුව සඳහා:
උදාහරණ 8
පහත සරල රේඛා සඳහා පරාමිතික සමීකරණ සම්පාදනය කරන්න:
පාඩම අවසානයේ විසඳුම් සහ පිළිතුරු. ඔබට ලැබෙන පිළිතුරු මගේ පිළිතුරු වලට වඩා තරමක් වෙනස් විය හැක, කාරණය එයයි පරාමිතික සමීකරණ එක් ආකාරයකට වඩා ලිවිය හැක. ඔබේ සහ මගේ දිශා දෛශික එක රේඛීය වීම වැදගත් වන අතර ඔබේ ලක්ෂ්යය මගේ සමීකරණවලට “ගැළපේ” (හොඳයි, හෝ අනෙක් අතට, මගේ ලක්ෂ්යය ඔබේ සමීකරණවලට ගැලපේ).
ඔබට අභ්යවකාශයේ සරල රේඛාවක් නිර්වචනය කළ හැක්කේ කෙසේද? මම සාමාන්ය දෛශිකය සමඟ යමක් ඉදිරිපත් කිරීමට කැමතියි. කෙසේ වෙතත්, සංඛ්යාව ක්‍රියා නොකරනු ඇත; අවකාශීය රේඛාවක සාමාන්ය දෛශික සම්පූර්ණයෙන්ම වෙනස් දිශාවන් දෙස බැලිය හැකිය.
තවත් ක්රමයක් දැනටමත් පාඩමෙහි සඳහන් කර ඇත. තල සමීකරණයසහ මෙම ලිපියේ ආරම්භයේ.
