3.1. ධ්රැවීය ඛණ්ඩාංක

බොහෝ විට ගුවන් යානයක භාවිතා වේ ධ්රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතිය . O ලක්ෂ්‍යයක් ලබා දී ඇත්නම් එය අර්ථ දැක්වේ පොල්ල, සහ ධ්‍රැවයෙන් නිකුත් වන කිරණ (අපට මෙය අක්ෂය වේ Ox) - ධ්‍රැවීය අක්ෂය. M ලක්ෂ්‍යයේ පිහිටීම අංක දෙකකින් සවි කර ඇත: අරය (හෝ අරය දෛශිකය) සහ ධ්‍රැවීය අක්ෂය සහ දෛශිකය අතර කෝණය φ.කෝණය φ ලෙස හැඳින්වේ ධ්රැවීය කෝණය; රේඩියන වලින් මනිනු ලබන අතර ධ්‍රැවීය අක්ෂයේ සිට වාමාවර්තව ගණනය කෙරේ.

ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ලක්ෂ්‍යයක පිහිටීම ඇණවුම් කළ සංඛ්‍යා යුගලයකින් (r; φ) ලබා දේ. ධ්රැවයේ r = 0,සහ φ අර්ථ දක්වා නැත. අනෙකුත් සියලුම කරුණු සඳහා r > 0,සහ φ යනු 2π හි ගුණාකාර පදයක් දක්වා අර්ථ දක්වා ඇත. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සංඛ්‍යා යුගල (r; φ) සහ (r 1 ; φ 1) නම් එකම ලක්ෂ්‍යය සමඟ සම්බන්ධ වේ.

සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් සඳහා xOy කාටිසියානු ඛණ්ඩාංකධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංක අනුව ලකුණු පහසුවෙන් ප්‍රකාශ කළ හැකිය:

3.2. සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ ජ්‍යාමිතික අර්ථ නිරූපණය

ගුවන් යානයේ Cartesian සෘජුකෝණාස්රාකාර ඛණ්ඩාංක පද්ධතියක් අපි සලකා බලමු xOy.

ඕනෑම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් z=(a, b) ඛණ්ඩාංක සහිත තලයේ ලක්ෂ්‍යයක් සමඟ සම්බන්ධ වේ ( x, y), කොහෙද ඛණ්ඩාංක x = ​​a, i.e. සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ සැබෑ කොටස, සහ ඛණ්ඩාංක y = bi යනු මනඃකල්පිත කොටසයි.

ලක්ෂ්‍ය සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සහිත තලයක් සංකීර්ණ තලයකි.

රූපයේ, සංකීර්ණ සංඛ්යාවක් z = (a, b)ලක්ෂ්යයකට අනුරූප වේ M(x, y).

ව්යායාම කරන්න.අඳින්න සම්බන්ධීකරණ තලයසංකීර්ණ සංඛ්යා:

3.3. සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරය

තලයේ ඇති සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවකට ලක්ෂ්‍යයක ඛණ්ඩාංක ඇත M(x;y). මේ අවස්ථාවේ දී:

සංකීර්ණ අංකයක් ලිවීම - සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරය.

අංකය r ලෙස හැඳින්වේ මොඩියුලය සංකීර්ණ අංකය zසහ නම් කර ඇත. මාපාංකය යනු සෘණ නොවන තාත්වික සංඛ්‍යාවකි. සඳහා .

මාපාංකය ශුන්‍ය වේ නම් සහ නම් පමණි z = 0, i.e. a = b = 0.

අංකය φ ලෙස හැඳින්වේ තර්කය z සහ නම් කර ඇත. ධ්‍රැවීය ඛණ්ඩාංක පද්ධතියේ ධ්‍රැවීය කෝණය මෙන්, එනම් 2π හි ගුණාකාර පදයක් දක්වා z තර්කය අපැහැදිලි ලෙස අර්ථ දක්වා ඇත.

එවිට අපි පිළිගනිමු: , කොහෙද φ – කුඩාම අගයතර්කය. ඒක පැහැදිලියි

.

මාතෘකාව වඩාත් ගැඹුරින් අධ්‍යයනය කරන විට, සහායක තර්කයක් φ* හඳුන්වා දෙනු ලැබේ

උදාහරණ 1. සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක ත්‍රිකෝණමිතික ස්වරූපය සොයන්න.

විසඳුම. 1) මොඩියුලය සලකා බලන්න:

2) φ සොයමින්: ;

3) ත්‍රිකෝණමිතික ආකෘතිය:

උදාහරණය 2.සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක වීජීය ආකාරය සොයන්න .

මෙහිදී අගයන් ආදේශ කිරීමට ප්රමාණවත් වේ ත්‍රිකෝණමිතික ශ්‍රිතසහ ප්රකාශනය පරිවර්තනය කරන්න:

උදාහරණය 3.සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක මාපාංකය සහ තර්කය සොයන්න;

1) ;

2) ; φ - කාර්තු 4 කින්:

3.4. සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සහිත ක්‍රියා ත්රිකෝණමිතික ආකෘතිය

· එකතු කිරීම සහ අඩු කිරීමවීජීය ස්වරූපයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සමඟ කිරීම වඩාත් පහසු ය:

· ගුණ කිරීම- සරල ත්‍රිකෝණමිතික පරිවර්තනයන් භාවිතයෙන් එය පෙන්විය හැක ගුණ කරන විට, සංඛ්යා මොඩියුල ගුණ කරනු ලැබේ, සහ තර්ක එකතු කරනු ලැබේ: ;

සංකීර්ණ අංක XI

§ 256. සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවල ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරය

සංකීර්ණ අංකයකට ඉඩ දෙන්න a + bi දෛශිකයට අනුරූප වේ ඕ.ඒ.> ඛණ්ඩාංක සමඟ ( a, b ) (රූපය 332 බලන්න).

අපි මෙම දෛශිකයේ දිග දක්වන්නෙමු ආර් , සහ එය අක්ෂය සමඟ සාදන කෝණය X , හරහා φ . සයින් සහ කොසයින් අර්ථ දැක්වීම අනුව:

a / ආර් =කොස් φ , ආ / ආර් = පව් φ .

ඒක තමයි ඒ = ආර් cos φ , ආ = ආර් පව් φ . නමුත් මෙම නඩුවේ සංකීර්ණ අංකය a + bi මෙසේ ලිවිය හැක.

a + bi = ආර් cos φ + ir පව් φ = ආර් (කොස් φ + i පව් φ ).

ඔබ දන්නා පරිදි, ඕනෑම දෛශිකයක දිග වර්ග එහි ඛණ්ඩාංකවල වර්ගවල එකතුවට සමාන වේ. ඒක තමයි ආර් 2 = a 2 + ආ 2, කොහෙන්ද ආර් = √a 2 + ආ 2

ඉතින්, ඕනෑම සංකීර්ණ අංකයක් a + bi ස්වරූපයෙන් නිරූපණය කළ හැකිය :

a + bi = ආර් (කොස් φ + i පව් φ ), (1)

එහිදී ආර් = √a 2 + ආ 2 සහ කෝණය φ කොන්දේසිය අනුව තීරණය වේ:

මෙම සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ලිවීමේ ක්‍රමය හැඳින්වේ ත්රිකෝණමිතික.

අංකය ආර් සූත්‍රයේ (1) ලෙස හැඳින්වේ මොඩියුලය, සහ කෝණය φ - තර්කය, සංකීර්ණ අංකය a + bi .

සංකීර්ණ අංකයක් නම් a + bi ශුන්‍යයට සමාන නොවේ, එවිට එහි මාපාංකය ධනාත්මක වේ; නම් a + bi = 0, එවිට a = b = 0 සහ පසුව ආර් = 0.

ඕනෑම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක මාපාංකය අනන්‍ය ලෙස තීරණය වේ.

සංකීර්ණ අංකයක් නම් a + bi ශුන්‍යයට සමාන නොවේ, එවිට එහි තර්කය සූත්‍ර (2) මගින් තීරණය වේ නියත වශයෙන්ම 2න් බෙදිය හැකි කෝණයකට නිවැරදිය π . නම් a + bi = 0, එවිට a = b = 0. මෙම අවස්ථාවේදී ආර් = 0. (1) සූත්‍රයෙන් එය තර්කයක් ලෙස තේරුම් ගැනීම පහසුය φ මෙම අවස්ථාවේදී, ඔබට ඕනෑම කෝණයක් තෝරා ගත හැකිය: සියල්ලට පසු, ඕනෑම දෙයක් සඳහා φ

0 (කොස් φ + i පව් φ ) = 0.

එබැවින් ශුන්‍ය තර්කය නිර්වචනය නොවේ.

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක මාපාංකය ආර් සමහර විට දක්වා ඇත | z |, සහ තර්කය arg z . ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්‍යා නිරූපණය කිරීමේ උදාහරණ කිහිපයක් බලමු.

උදාහරණය. 1. 1 + i .

අපි මොඩියුලය සොයා ගනිමු ආර් සහ තර්කය φ මෙම අංකය.

ආර් = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

ඒ නිසා පව් φ = 1 / √ 2, පිරිවැය φ = 1 / √ 2, කොහෙන්ද φ = π / 4 + 2nπ .

මේ අනුව,

1 + i = √ 2 ,

කොහෙද n - ඕනෑම පූර්ණ සංඛ්යාවක්. සාමාන්යයෙන් සිට අනන්ත සංඛ්යාවසංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක තර්කයේ අගයන්, 0 සහ 2 අතර ඇති එකක් තෝරන්න π . මෙම අවස්ථාවේදී, මෙම අගය වේ π / 4. ඒක තමයි

1 + i = √ 2 (කොස් π / 4 + i පව් π / 4)

උදාහරණය 2.ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් ලියන්න √ 3 - i . අපිට තියෙනවා:

ආර් = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3/2, පව් φ = - 1 / 2

එබැවින්, 2 න් බෙදිය හැකි කෝණයක් දක්වා π , φ = 11 / 6 π ; එබැවින්,

√ 3 - i = 2 (කොස් 11/6 π + i පාපය 11/6 π ).

උදාහරණය 3ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් ලියන්න i.

සංකීර්ණ අංකය i දෛශිකයට අනුරූප වේ ඕ.ඒ.> , අක්ෂයේ A ලක්ෂ්‍යයෙන් අවසන් වේ දී ඕඩිනේට් 1 සමඟ (රූපය 333). එවැනි දෛශිකයක දිග 1 වන අතර එය x අක්ෂය සමඟ සාදන කෝණය සමාන වේ π / 2. ඒක තමයි

i =කොස් π / 2 + i පව් π / 2 .

උදාහරණය 4.සංකීර්ණ අංක 3 ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් ලියන්න.

සංකීර්ණ අංක 3 දෛශිකයට අනුරූප වේ ඕ.ඒ. > X abscissa 3 (රූපය 334).

එවැනි දෛශිකයක දිග 3 වන අතර එය x අක්ෂය සමඟ සාදන කෝණය 0 වේ.

3 = 3 (cos 0 + i sin 0),

උදාහරණ 5.සංකීර්ණ අංකය -5 ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් ලියන්න.

සංකීර්ණ අංකය -5 දෛශිකයකට අනුරූප වේ ඕ.ඒ.> අක්ෂ ලක්ෂ්‍යයකින් අවසන් වේ X abscissa සමග -5 (රූපය 335). එවැනි දෛශිකයක දිග 5 වන අතර එය x අක්ෂය සමඟ සාදන කෝණය සමාන වේ π . ඒක තමයි

5 = 5 (කොස් π + i පව් π ).

අභ්යාස

2047. මෙම සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් ලියන්න, ඒවායේ මොඩියුල සහ තර්ක නිර්වචනය කරන්න:

1) 2 + 2√3 i , 4) 12i - 5; 7).3i ;

2) √3 + i ; 5) 25; 8) -2i ;

3) 6 - 6i ; 6) - 4; 9) 3i - 4.

2048. මාපාංකය r සහ තර්ක φ කොන්දේසි සපුරාලන සංකීර්ණ සංඛ්‍යා නියෝජනය කරන ලක්ෂ්‍ය සමූහයක් තලය මත දක්වන්න:

1) ආර් = 1, φ = π / 4 ; 4) ආර් < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) ආර් =2; 5) 2 < ආර් <3; 8) 0 < φ < я;

3) ආර් < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < ආර් < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. සංඛ්‍යා එකවර සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක මාපාංකය විය හැකිද? ආර් සහ - ආර් ?

2050. සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක තර්කය එකවර කෝණ විය හැකිද? φ සහ - φ ?

මෙම සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් ඉදිරිපත් කරන්න, ඒවායේ මොඩියුල සහ තර්ක නිර්වචනය කරන්න:

2051*. 1 + cos α + i පව් α . 2054*. 2(20° පිරිවැය - i sin 20°).

2052*. පව් φ + i cos φ . 2055*. 3(- වියදම 15° - i sin 15°).

දේශනය

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරය

සැලසුම් කරන්න

1. සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ජ්‍යාමිතික නිරූපණය.

2. සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවල ත්‍රිකෝණමිතික අංකනය.

3. ත්රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්යා මත ක්රියා.

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ජ්‍යාමිතික නිරූපණය.

අ) පහත රීතියට අනුව තලයක ඇති ලක්ෂ්‍ය මගින් සංකීර්ණ සංඛ්‍යා නිරූපණය කෙරේ: a + ද්වි = එම් ( a ; ආ ) (රූපය 1).

රූපය 1

b) ලක්ෂ්‍යයෙන් ආරම්භ වන දෛශිකයකින් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් නිරූපණය කළ හැකගැන සහ දී ඇති ලක්ෂ්යයක අවසානය (රූපය 2).

රූපය 2

උදාහරණ 7. සංකීර්ණ සංඛ්‍යා නියෝජනය කරන ලක්ෂ්‍ය සාදන්න:1; - i ; - 1 + i ; 2 – 3 i (රූපය 3).

රූපය 3

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවල ත්‍රිකෝණමිතික අංකනය.

සංකීර්ණ අංකයz = a + ද්වි අරය දෛශිකය භාවිතයෙන් නියම කළ හැක ඛණ්ඩාංක සමඟ( a ; ආ ) (රූපය 4).

රූපය 4

අර්ථ දැක්වීම . දෛශික දිග , සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් නියෝජනය කරයිz , මෙම අංකයේ මාපාංකය ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර එය දැක්වේ හෝආර් .

ඕනෑම සංකීර්ණ අංකයක් සඳහාz එහි මොඩියුලයආර් = | z | සූත්රය මගින් අද්විතීය ලෙස තීරණය කරනු ලැබේ .

අර්ථ දැක්වීම . සැබෑ අක්ෂයේ සහ දෛශිකයේ ධනාත්මක දිශාව අතර කෝණයේ විශාලත්වය , සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් නියෝජනය කිරීම, මෙම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ තර්කය ලෙස හඳුන්වනු ලබන අතර එය දක්වනු ලැබේඒ rg z හෝφ .

සංකීර්ණ සංඛ්‍යා තර්කයz = 0 අර්ථ දක්වා නැත. සංකීර්ණ සංඛ්‍යා තර්කයz≠ 0 - බහු-වටිනා අගයක් සහ කාල සීමාවක් තුළ තීරණය වේ2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πk , කොහෙදarg z - පරතරය තුළ අඩංගු තර්කයේ ප්රධාන අගය(-π; π] , එනම්-π < arg z ≤ π (සමහර විට විරාමයට අයත් අගයක් තර්කයේ ප්‍රධාන අගය ලෙස ගනු ලැබේ .

විට මෙම සූත්රයආර් =1 බොහෝ විට Moivre සූත්‍රය ලෙස හැඳින්වේ:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

උදාහරණ 11: ගණනය කරන්න(1 + i ) 100 .

අපි සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් ලියමු1 + i ත්රිකෝණමිතික ආකාරයෙන්.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (කොස් + මම පව් )] 100 = ( ) 100 (කොස් 100 + මම පව් ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක වර්ගමූලය උපුටා ගැනීම.

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක වර්ගමූලය ගන්නා විටa + ද්වි අපට අවස්ථා දෙකක් තිබේ:

නම්ආ >o , ඒ ;

2.3 සංකීර්ණ සංඛ්‍යා වල ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරය

දෛශිකය සංකීර්ණ තලය මත අංකයෙන් නියම කරමු.

ධන අර්ධ අක්ෂය Ox සහ දෛශිකය අතර කෝණය φ මගින් දක්වමු (කෝණය φ වාමාවර්තව මනිනු ලැබුවහොත් ධනාත්මක ලෙස සලකනු ලැබේ, සහ වෙනත් ආකාරයකින් සෘණ).

දෛශිකයේ දිග r මගින් දක්වමු. එතකොට . අපි ද දක්වන්නෙමු

පෝරමයේ ශුන්‍ය නොවන සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් z ලිවීම

සංකීර්ණ අංකය z හි ත්‍රිකෝණමිතික ස්වරූපය ලෙස හැඳින්වේ. r සංඛ්‍යාව z සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ මාපාංකය ලෙසත්, φ සංඛ්‍යාව මෙම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවේ තර්කය ලෙසත් හඳුන්වනු ලබන අතර එය Arg z මගින් දැක්වේ.

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් ලිවීමේ ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරය - (ඉයුලර්ගේ සූත්‍රය) - සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් ලිවීමේ ඝාතීය ආකාරය:

z සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවට අනන්තවත් තර්ක ඇත: φ0 යනු z සංඛ්‍යාවේ කිසියම් තර්කයක් නම්, අනෙක් සියල්ල සූත්‍රය භාවිතයෙන් සොයා ගත හැක.

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් සඳහා තර්කය සහ ත්‍රිකෝණමිතික ස්වරූපය අර්ථ දක්වා නැත.

මේ අනුව, ශුන්‍ය නොවන සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක තර්කය සමීකරණ පද්ධතියට ඕනෑම විසඳුමකි:

(3)

අසමානතා තෘප්තිමත් කරමින් සංකීර්ණ සංඛ්‍යා z හි තර්කයේ φ අගය ප්‍රධාන අගය ලෙස හඳුන්වන අතර එය arg z මගින් දැක්වේ.

Arg z සහ arg z යන තර්ක සම්බන්ධ වේ

, (4)

සූත්‍රය (5) යනු පද්ධතියේ (3) ප්‍රතිවිපාකයකි, එබැවින් සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක සියලුම තර්ක සමානාත්මතාවය (5) තෘප්තිමත් කරයි, නමුත් (5) සමීකරණයේ φ සියලු විසඳුම් z අංකයේ තර්ක නොවේ.

ශුන්‍ය නොවන සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක තර්කයේ ප්‍රධාන අගය සූත්‍ර අනුව සොයා ගැනේ:

ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ගුණ කිරීම සහ බෙදීම සඳහා සූත්‍ර පහත පරිදි වේ:

. (7)

තුළ ඉදිකරන විට ස්වභාවික උපාධියසංකීර්ණ අංකය, Moivre සූත්‍රය භාවිතා කරන්න:

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක මුල නිස්සාරණය කිරීමේදී සූත්‍රය භාවිතා වේ:

, (9)

මෙහි k=0, 1, 2, …, n-1.

ගැටලුව 54. කොතැනදැයි ගණනය කරන්න.

අපි මෙම ප්‍රකාශනයට විසඳුම සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් ලිවීමේ ඝාතීය ආකාරයෙන් ඉදිරිපත් කරමු: .

එසේ නම්.

එවිට, . එබැවින්, එවිට සහ , කොහෙද .

පිළිතුර: , දී.

ගැටලුව 55. සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් ලියන්න:

A) ; ආ) ; V) ; G) ; ඈ) ; ඉ) ; සහ) .

සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක ත්‍රිකෝණමිතික ස්වරූපය වන බැවින්, එසේ නම්:

අ) සංකීර්ණ අංකයකින්: .

,

ඒක තමයි

b) , කොහෙද,

G) , කොහෙද,

ඉ) .

සහ) , ඒ ඒ .

ඒක තමයි

පිළිතුර: ; 4; ; ; ; ; .

ගැටළුව 56. සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක ත්‍රිකෝණමිතික ස්වරූපය සොයන්න

.

ඉඩ දෙන්න .

එවිට, , .

සිට සහ , , පසුව , සහ

එබැවින්, එබැවින්

පිළිතුර: , කොහෙද .

ගැටළුව 57. සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක ත්‍රිකෝණමිතික ස්වරූපය භාවිතා කරමින්, පහත ක්‍රියා සිදු කරන්න: .

අපි හිතමු ඉලක්කම් සහ ත්රිකෝණමිතික ආකාරයෙන්.

1), කොහෙද එතකොට

ප්‍රධාන තර්කයේ අගය සොයන්න:

අපි අගයන් සහ ප්‍රකාශනයට ආදේශ කරමු, අපට ලැබේ

2) , කෝ එතකොට

එතකොට

3) අපි ප්‍රමාණය සොයා ගනිමු

k=0, 1, 2 උපකල්පනය කළහොත්, අපට අපේක්ෂිත මූලයේ විවිධ අගයන් තුනක් ලැබේ:

නම්, එසේ නම්

නම්, එසේ නම්

නම්, එසේ නම් .

පිළිතුර::

:

: .

ගැටලුව 58. , , , වෙනස් සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සහ . ඒක ඔප්පු කරන්න

අ) අංකය වලංගු වේ ධනාත්මක අංකය;

ආ) සමානාත්මතාවය පවතින්නේ:

අ) අපි මෙම සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් නිරූපණය කරමු:

මොකද .

අපි එහෙම හිතමු. එතකොට

.

අවසාන ප්‍රකාශනය ධනාත්මක සංඛ්‍යාවක් වේ, මන්ද සයින් සලකුණු වල පරතරයේ සිට සංඛ්‍යා අඩංගු වේ.

අංකය සිට සැබෑ සහ ධනාත්මක. ඇත්ත වශයෙන්ම, a සහ b සංකීර්ණ සංඛ්‍යා නම් සහ තාත්වික සහ ශුන්‍යයට වඩා විශාල නම්, එවිට .

ඊට අමතරව,

එබැවින් අවශ්ය සමානාත්මතාවය ඔප්පු කර ඇත.

ගැටලුව 59. වීජීය ආකාරයෙන් අංකය ලියන්න .

අපි සංඛ්‍යාව ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් නිරූපණය කර එහි වීජීය ස්වරූපය සොයා ගනිමු. අපිට තියෙනවා . සඳහා අපි පද්ධතිය ලබා ගනිමු:

සමානාත්මතාවය මෙයින් ඇඟවෙන්නේ: .

Moivre සූත්‍රය යෙදීම: ,

අපට ලැබෙනවා

ලබා දී ඇති අංකයේ ත්‍රිකෝණමිතික ස්වරූපය හමු වේ.

අපි දැන් මෙම අංකය වීජීය ආකාරයෙන් ලියන්නෙමු:

.

පිළිතුර: .

ගැටලුව 60. එකතුව සොයන්න, ,

ප්‍රමාණය සලකා බලමු

Moivre ගේ සූත්‍රය යෙදීමෙන් අපි සොයා ගනිමු

මෙම එකතුව n පදවල එකතුවයි ජ්යාමිතික ප්රගතියහරය සමඟ සහ පළමු සාමාජිකයා .

එවැනි ප්‍රගතියක ​​නියමයන්ගේ එකතුව සඳහා සූත්‍රය යෙදීම, අපට තිබේ

ඉස්මතු කිරීම මනඃකල්පිත කොටසඅවසාන ප්රකාශනයේ දී, අපි සොයා ගනිමු

සැබෑ කොටස හුදකලා කරමින්, අපි පහත සූත්‍රය ද ලබා ගනිමු: , , .

ගැටලුව 61. එකතුව සොයන්න:

A) ; ආ) .

නිව්ටන්ගේ ඝාතන සූත්‍රයට අනුව අපට තිබේ

Moivre සූත්‍රය භාවිතා කරමින් අපි සොයා ගන්නේ:

සඳහා ලැබෙන ප්‍රකාශනවල සැබෑ සහ මනඃකල්පිත කොටස් සම කරමින්, අපට ඇත්තේ:

සහ .

මෙම සූත්‍ර පහත පරිදි සංයුක්ත ආකාරයෙන් ලිවිය හැක.

,

, a අංකයේ පූර්ණ සංඛ්‍යා කොටස කොහෙද.

ගැටලුව 62. සියල්ල සොයන්න , ඒ සඳහා .

මොකද , පසුව, සූත්රය භාවිතා කරමින්

, මූලයන් උකහා ගැනීම සඳහා, අපි ලබා ගනිමු ,

එබැවින්, , ,

, .

සංඛ්‍යා වලට අනුරූප ලක්ෂ්‍ය පිහිටා ඇත්තේ කේන්ද්‍රය (0;0) ලක්ෂ්‍යයේ ඇති අරය 2 ක රවුමක කොටා ඇති චතුරස්‍රයක සිරස් වලය (රූපය 30).

පිළිතුර: , ,

, .

ගැටළුව 63. සමීකරණය විසඳන්න , .

කොන්දේසිය අනුව; එබැවින්, මෙම සමීකරණයට මූලයක් නොමැත, එබැවින් එය සමීකරණයට සමාන වේ.

දී ඇති සමීකරණයක මූලය z අංකය වීමට නම්, එම සංඛ්‍යාව විය යුතුය n වන මූලයඅංක 1 සිට උපාධි.

මෙතැන් සිට අපි නිගමනය කරන්නේ මුල් සමීකරණයට සමානතා වලින් නිර්ණය කරන ලද මූලයන් ඇති බවයි

,

මේ අනුව,

,

i.e. ,

පිළිතුර: .

ගැටළුව 64. සංකීර්ණ සංඛ්යා කට්ටලයේ සමීකරණය විසඳන්න.

සංඛ්‍යාව මෙම සමීකරණයේ මුල නොවන බැවින්, මෙම සමීකරණය සඳහා සමීකරණයට සමාන වේ

එනම් සමීකරණයයි.

මෙම සමීකරණයේ සියලුම මූලයන් සූත්‍රයෙන් ලබා ගනී (ගැටලු 62 බලන්න):

; ; ; ; .

ගැටළුව 65. සංකීර්ණ තලය මත අසමානතා තෘප්තිමත් කරන ලක්ෂ්ය මාලාවක් අඳින්න: . (45 ගැටලුව විසඳීමට දෙවන මාර්ගය)

ඉඩ දෙන්න .

සමාන මොඩියුල ඇති සංකීර්ණ සංඛ්‍යා මූලාරම්භය කේන්ද්‍ර කරගත් කවයක් මත පිහිටා ඇති තලයේ ලක්ෂ්‍යවලට අනුරූප වේ, එබැවින් අසමානතාවය මූලාරම්භය සහ අරය සහ (රූපය 31) හි පොදු මධ්‍යස්ථානයක් සහිත කව වලින් මායිම් කරන ලද විවෘත වළල්ලේ සියලුම ලක්ෂ්‍ය තෘප්තිමත් කරන්න. සංකීර්ණ තලයේ යම් ලක්ෂ්‍යයක් w0 අංකයට අනුරූප කරමු. අංකය , w0 මොඩියුලයට වඩා කිහිප ගුණයකින් කුඩා මොඩියුලයක් ඇත, සහ තර්කය w0 ට වඩා විශාල තර්කයක් ඇත. සමඟ ජ්යාමිතික ලක්ෂ්යයදෘෂ්ටි කෝණයෙන්, w1 ට අනුරූප ලක්ෂ්‍යය මූලාරම්භයේ කේන්ද්‍රය සහ සංගුණකය සමඟ සමජාතීය භාවිතයෙන් මෙන්ම වාමාවර්තව කෝණයකින් මූලාරම්භයට සාපේක්ෂව භ්‍රමණයක් ලබා ගත හැකිය. මෙම පරිවර්තන දෙක වළල්ලේ ලක්ෂ්‍යවලට යෙදීමේ ප්‍රතිඵලයක් ලෙස (රූපය 31), දෙවැන්න එකම කේන්ද්‍රය සහ අරය 1 සහ 2 (රූපය 32) සහිත රවුම් වලින් සීමා වූ වළල්ලක් බවට පරිවර්තනය වේ.

පරිවර්තනය භාවිතයෙන් ක්රියාත්මක කර ඇත සමාන්තර මාරු කිරීමදෛශිකයට. ලක්ෂ්‍යයේ කේන්ද්‍රය සමඟ වළල්ල සඳහන් කරන ලද දෛශිකය වෙත මාරු කිරීමෙන්, අපි ලක්ෂ්‍යයේ කේන්ද්‍රය සමඟ එකම ප්‍රමාණයේ වළල්ලක් ලබා ගනිමු (රූපය 22).

ගුවන් යානයක ජ්යාමිතික පරිවර්තනයන් පිළිබඳ අදහස භාවිතා කරන යෝජිත ක්රමය, විස්තර කිරීමට පහසු නැත, නමුත් ඉතා අලංකාර සහ ඵලදායී වේ.

ගැටලුව 66. සොයන්න .

ඉඩ දෙන්න, එහෙනම් සහ. ආරම්භක සමානාත්මතාවය ස්වරූපය ගනී . සංකීර්ණ සංඛ්‍යා දෙකක සමානාත්මතාවයේ කොන්දේසියෙන් අපි ලබා ගනිමු , එයින් , . මේ අනුව, .

අපි z අංකය ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් ලියමු:

, කොහෙද, . Moivre ගේ සූත්රය අනුව, අපි සොයා ගනිමු.

පිළිතුර: - 64.

ගැටළුව 67. සංකීර්ණ සංඛ්‍යාවක් සඳහා, සියලු සංකීර්ණ සංඛ්‍යා සොයා ගන්න, සහ .

ත්‍රිකෝණමිතික ආකාරයෙන් සංඛ්‍යාව නිරූපණය කරමු:

. මෙතැන් සිට, . අපට ලැබෙන අංකය සඳහා, සමාන හෝ විය හැක.

පළමු අවස්ථාවේ දී , දෙවනුව

.

පිළිතුර:, .

ගැටලුව 68. එවැනි සංඛ්‍යාවල එකතුව සොයන්න. කරුණාකර මෙම අංකවලින් එකක් සඳහන් කරන්න.

මූලයන් ගණනය කිරීමකින් තොරව සමීකරණයේ මූලයන්ගේ එකතුව සොයාගත හැකි බව ගැටළුව සූත්‍රගත කිරීමේ සිටම තේරුම් ගත හැකි බව සලකන්න. ඇත්ත වශයෙන්ම, සමීකරණයේ මූලයන්ගේ එකතුව සඳහා සංගුණකය වේ, ප්‍රතිවිරුද්ධ ලකුණ සමඟ ගනු ලැබේ (සාමාන්‍ය කළ වියේටා ප්‍රමේයය), i.e.

සිසුන්, පාසල් ලියකියවිලි, මෙම සංකල්පයේ ප්‍රවීණතා උපාධිය පිළිබඳ නිගමන උකහා ගන්න. ගණිතමය චින්තනයේ ලක්ෂණ සහ සංකීර්ණ සංඛ්යාවක සංකල්පය ගොඩනැගීමේ ක්රියාවලිය සාරාංශ කරන්න. ක්රම විස්තරය. රෝග විනිශ්චය: I අදියර. 10 වැනි ශ්‍රේණියේ වීජ ගණිතය සහ ජ්‍යාමිතිය උගන්වන ගණිත ගුරුවරියක් සමඟ මෙම සංවාදය පවත්වන ලදී. කතාව පටන් ගත්තේ ටික වෙලාවක් ගියාට පස්සේ...

අනුනාදනය" (!)), එයට තමන්ගේම හැසිරීම පිළිබඳ තක්සේරුවක් ද ඇතුළත් වේ. 4. තත්වය පිළිබඳ කෙනෙකුගේ අවබෝධය පිළිබඳ විවේචනාත්මක තක්සේරුව (සැක) 5. අවසාන වශයෙන්, නිර්දේශ භාවිතා කිරීම නීතිමය මනෝවිද්යාව(නීතිඥයෙකු විසින් ගිණුම්කරණය මනෝවිද්යාත්මක අංශවෘත්තීය ක්රියා සිදු කරන ලදී - වෘත්තීය සහ මනෝවිද්යාත්මක සූදානම). අපි දැන් සලකා බලමු මනෝවිද්යාත්මක විශ්ලේෂණයනීතිමය කරුණු. ...

ත්‍රිකෝණමිතික ආදේශකයේ ගණිතය සහ සංවර්ධිත ඉගැන්වීම් ක්‍රමවේදයේ සඵලතාවය පරීක්ෂා කිරීම. කාර්යයේ අදියර: 1. සංවර්ධනය තේරීම් පාඨමාලාවමාතෘකාව මත: "වීජීය ගැටළු විසඳීම සඳහා ත්රිකෝණමිතික ආදේශක භාවිතය" සමඟ පන්තිවල සිසුන් සමඟ ගැඹුරු අධ්යයනයගණිතය. 2. සංවර්ධිත තේරීම් පාඨමාලාව පැවැත්වීම. 3. රෝග විනිශ්චය පරීක්ෂණයක් සිදු කිරීම...

ප්‍රජානන කර්තව්‍යයන් දැනට පවතින ඉගැන්වීම් ආධාරක සම්පූර්ණ කිරීම සඳහා පමණක් අදහස් කරන අතර සියලු සම්ප්‍රදායික මාධ්‍යයන් සහ මූලද්‍රව්‍ය සමඟ යෝග්‍ය සංයෝජනයක් විය යුතුය. අධ්යාපන ක්රියාවලිය. වෙනස අධ්යාපනික කාර්යයන්ඉගැන්වීමේ දී මානව ශාස්ත්රහරියටම, සිට ගණිතමය ගැටළුඑකම ප්‍රශ්නය නම් ඓතිහාසික ගැටලුවලට සූත්‍ර, දැඩි ඇල්ගොරිතම ආදිය නොමැති වීම නිසා ඒවායේ විසඳුම සංකීර්ණ වීමයි. ...