Ako nájsť n v aritmetickej progresii. Súčet prvých n-členov aritmetickej progresie

Niektorí ľudia zaobchádzajú so slovom „progresia“ opatrne, ako s veľmi zložitým termínom z oblastí vyššej matematiky. Medzitým je najjednoduchším aritmetickým postupom práca taxametra (kde stále existujú). A pochopiť podstatu (a v matematike nie je nič dôležitejšie ako „získať podstatu“) aritmetickej postupnosti nie je také ťažké, po analýze niekoľkých základných konceptov.

Matematická postupnosť čísel

Číselná postupnosť sa zvyčajne nazýva séria čísel, z ktorých každé má svoje vlastné číslo.

a 1 je prvý člen sekvencie;

a 2 je druhý člen sekvencie;

a 7 je siedmy člen sekvencie;

a n je n-tý člen sekvencie;

Nás však nezaujíma žiadna ľubovoľná množina čísel a čísel. Svoju pozornosť zameriame na číselnú postupnosť, v ktorej hodnota n-tého člena súvisí s jeho poradovým číslom vzťahom, ktorý možno matematicky jasne sformulovať. Inými slovami: číselná hodnota n-tého čísla je nejakou funkciou n.

a je hodnota člena číselnej postupnosti;

n je jeho sériové číslo;

f(n) je funkcia, kde poradové číslo v číselnej postupnosti n je argument.

Definícia

Aritmetická postupnosť sa zvyčajne nazýva číselná postupnosť, v ktorej je každý nasledujúci člen väčší (menší) ako predchádzajúci o rovnaké číslo. Vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti je nasledujúci:

a n - hodnota aktuálneho člena aritmetickej progresie;

a n+1 - vzorec nasledujúceho čísla;

d - rozdiel (určité číslo).

Je ľahké určiť, že ak je rozdiel kladný (d>0), potom každý nasledujúci člen uvažovaného radu bude väčší ako predchádzajúci a takáto aritmetická progresia sa bude zvyšovať.

V nižšie uvedenom grafe je ľahké pochopiť prečo číselná postupnosť nazývaný "rastúce".

V prípadoch, keď je rozdiel záporný (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Zadaná hodnota člena

Niekedy je potrebné určiť hodnotu ľubovoľného člena an aritmetickej progresie. To sa dá dosiahnuť postupným výpočtom hodnôt všetkých členov aritmetickej progresie, počnúc prvým po požadovaný. Táto cesta však nie je vždy prijateľná, ak je napríklad potrebné nájsť hodnotu päťtisícového alebo osemmiliónového členu. Tradičné výpočty zaberú veľa času. Špecifický aritmetický postup však možno študovať pomocou určitých vzorcov. Existuje aj vzorec pre n-tý člen: hodnotu ľubovoľného člena aritmetickej progresie možno určiť ako súčet prvého člena progresie s rozdielom progresie, vynásobený číslom požadovaného člena, znížený o jeden.

Vzorec je univerzálny na zvýšenie a zníženie progresie.

Príklad výpočtu hodnoty daného výrazu

Vyriešme nasledujúci problém hľadania hodnoty n-tého člena aritmetickej postupnosti.

Podmienka: existuje aritmetická progresia s parametrami:

Prvý člen sekvencie je 3;

Rozdiel v číselnom rade je 1,2.

Úloha: musíte nájsť hodnotu 214 výrazov

Riešenie: Na určenie hodnoty daného pojmu použijeme vzorec:

a(n) = a1 + d(n-1)

Nahradením údajov z problémového príkazu do výrazu máme:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Odpoveď: 214. člen postupnosti sa rovná 258,6.

Výhody tohto spôsobu výpočtu sú zrejmé - celé riešenie nezaberie viac ako 2 riadky.

Súčet daného počtu výrazov

Veľmi často je v danej aritmetickej sérii potrebné určiť súčet hodnôt niektorých jej segmentov. Na tento účel tiež nie je potrebné počítať hodnoty každého výrazu a potom ich sčítať. Táto metóda je použiteľná, ak je počet členov, ktorých súčet je potrebné nájsť, malý. V iných prípadoch je vhodnejšie použiť nasledujúci vzorec.

Súčet členov aritmetickej postupnosti od 1 do n sa rovná súčtu prvého a n-tého členu, vynásobený číslom člena n a delený dvoma. Ak je vo vzorci hodnota n-tého člena nahradená výrazom z predchádzajúceho odseku článku, dostaneme:

Príklad výpočtu

Napríklad vyriešme problém s nasledujúcimi podmienkami:

Prvý člen postupnosti je nula;

Rozdiel je 0,5.

Problém vyžaduje určenie súčtu členov radu od 56 do 101.

Riešenie. Na určenie veľkosti progresie použijeme vzorec:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Najprv určíme súčet hodnôt 101 členov progresie dosadením daných podmienok nášho problému do vzorca:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Je zrejmé, že na zistenie súčtu členov postupu od 56. do 101. je potrebné odpočítať S 55 od S 101.

s55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Súčet aritmetickej progresie pre tento príklad je teda:

s 101 - s 55 = 2 525 - 742,5 = 1 782,5

Príklad praktickej aplikácie aritmetickej progresie

Na konci článku sa vráťme k príkladu aritmetickej postupnosti uvedenej v prvom odseku – taxametra (taxi car meter). Uvažujme o tomto príklade.

Vstup do taxíka (ktorý zahŕňa 3 km cesty) stojí 50 rubľov. Každý nasledujúci kilometer sa platí sadzbou 22 rubľov/km. Dojazdová vzdialenosť je 30 km. Vypočítajte si náklady na cestu.

1. Vyhoďme prvé 3 km, ktorých cena je zahrnutá v cene pristátia.

30 - 3 = 27 km.

2. Ďalší výpočet nie je nič iné ako analýza aritmetického číselného radu.

Členské číslo – počet najazdených kilometrov (mínus prvé tri).

Hodnota člena je súčet.

Prvý termín v tomto probléme sa bude rovnať 1 = 50 rubľov.

Postupový rozdiel d = 22 r.

číslo, ktoré nás zaujíma, je hodnota (27+1) člena aritmetického postupu - stav merača na konci 27. kilometra je 27,999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Výpočty kalendárnych údajov za ľubovoľne dlhé obdobie sú založené na vzorcoch popisujúcich určité číselné postupnosti. V astronómii je dĺžka obežnej dráhy geometricky závislá od vzdialenosti nebeského telesa od hviezdy. Okrem toho sa rôzne číselné rady úspešne používajú v štatistike a iných aplikovaných oblastiach matematiky.

Iný typ číselnej postupnosti je geometrický

Geometrická progresia charakterizované veľkými mierami zmien v porovnaní s aritmetickými. Nie je náhoda, že v politike, sociológii a medicíne, aby ukázali vysokú rýchlosť šírenia určitého javu, napríklad choroby počas epidémie, hovoria, že proces sa vyvíja v geometrickom postupe.

N-tý člen geometrického číselného radu sa líši od predchádzajúceho v tom, že je vynásobený nejakým konštantným číslom - menovateľ, napríklad prvý člen je 1, menovateľ sa zodpovedajúcim spôsobom rovná 2, potom:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - hodnota aktuálneho členu geometrickej progresie;

b n+1 - vzorec ďalšieho člena geometrickej postupnosti;

q je menovateľ geometrickej postupnosti (konštantné číslo).

Ak je graf aritmetickej progresie priamka, potom geometrická progresia vykresľuje trochu iný obraz:

Rovnako ako v prípade aritmetiky, geometrická postupnosť má vzorec pre hodnotu ľubovoľného člena. Akýkoľvek n-tý člen geometrickej postupnosti sa rovná súčinu prvého člena a menovateľa postupnosti k mocnine n zníženému o jednotku:

Príklad. Máme geometrickú postupnosť s prvým členom rovným 3 a menovateľom postupnosti rovným 1,5. Nájdite 5. člen postupu

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Súčet daného počtu členov sa tiež vypočíta pomocou špeciálneho vzorca. Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti sa rovná rozdielu medzi súčinom n-tého člena postupnosti a jeho menovateľa a prvého člena postupnosti, vydelenému menovateľom zníženým o jednu:

Ak sa b n nahradí pomocou vyššie uvedeného vzorca, hodnota súčtu prvých n členov uvažovaného číselného radu bude mať tvar:

Príklad. Geometrická postupnosť začína prvým členom rovným 1. Menovateľ je nastavený na 3. Nájdite súčet prvých ôsmich členov.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Pri štúdiu algebry na strednej škole (9. ročník) je jednou z dôležitých tém náuka o číselných postupnostiach, ktoré zahŕňajú postupnosti - geometrické a aritmetické. V tomto článku sa pozrieme na aritmetický postup a príklady s riešeniami.

Čo je to aritmetická progresia?

Aby sme to pochopili, je potrebné definovať príslušný postup, ako aj poskytnúť základné vzorce, ktoré sa neskôr použijú pri riešení problémov.

Aritmetická alebo algebraická postupnosť je množina usporiadaných racionálnych čísel, z ktorých každý člen sa líši od predchádzajúceho o nejakú konštantnú hodnotu. Táto hodnota sa nazýva rozdiel. To znamená, že ak poznáte ktoréhokoľvek člena zoradeného radu čísel a rozdiel, môžete obnoviť celý aritmetický postup.

Uveďme si príklad. Nasledujúca postupnosť čísel bude aritmetickým postupom: 4, 8, 12, 16, ..., pretože rozdiel je v tomto prípade 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ale množinu čísel 3, 5, 8, 12, 17 už nemožno pripísať typu uvažovanej progresie, pretože rozdiel pre ňu nie je konštantná hodnota (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Dôležité vzorce

Predstavme si teraz základné vzorce, ktoré budú potrebné na riešenie problémov pomocou aritmetickej progresie. Označme symbolom a n n-tý člen postupnosti, kde n je celé číslo. Rozdiel označujeme latinským písmenom d. Potom platia nasledujúce výrazy:

Na určenie hodnoty n-tého člena je vhodný vzorec: a n = (n-1)*d+a 1 .
Na určenie súčtu prvých n členov: S n = (a n +a 1)*n/2.

Aby sme pochopili príklady aritmetického postupu s riešeniami v 9. ročníku, stačí si zapamätať tieto dva vzorce, pretože všetky problémy uvažovaného typu sú založené na ich použití. Mali by ste tiež pamätať na to, že progresívny rozdiel je určený vzorcom: d = a n - a n-1.

Príklad č. 1: nájdenie neznámeho člena

Uveďme jednoduchý príklad aritmetickej progresie a vzorcov, ktoré je potrebné použiť na jej riešenie.

Nech je daná postupnosť 10, 8, 6, 4, ..., treba v nej nájsť päť pojmov.

Z podmienok úlohy už vyplýva, že prvé 4 termíny sú známe. Piatu možno definovať dvoma spôsobmi:

Najprv vypočítame rozdiel. Máme: d = 8 - 10 = -2. Podobne si môžete vziať ľubovoľných dvoch ďalších členov stojacich vedľa seba. Napríklad d = 4 - 6 = -2. Keďže je známe, že d = a n - a n-1, potom d = a 5 - a 4, z čoho dostaneme: a 5 = a 4 + d. Dosadíme známe hodnoty: a 5 = 4 + (-2) = 2.
Druhá metóda tiež vyžaduje znalosť rozdielu príslušnej progresie, takže ju najprv musíte určiť, ako je uvedené vyššie (d = -2). Keď vieme, že prvý člen a 1 = 10, použijeme vzorec pre n číslo postupnosti. Máme: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Dosadením n = 5 do posledného výrazu dostaneme: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Ako vidíte, obe riešenia viedli k rovnakému výsledku. Všimnite si, že v tomto príklade je progresívny rozdiel d záporná hodnota. Takéto postupnosti sa nazývajú klesajúce, pretože každý ďalší člen je menší ako predchádzajúci.

Príklad č. 2: rozdiel v postupe

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme, uvedieme príklad ako

Je známe, že v niektorých sa 1. člen rovná 6 a 7. člen sa rovná 18. Je potrebné nájsť rozdiel a obnoviť túto postupnosť na 7. člen.

Na určenie neznámeho členu použijeme vzorec: a n = (n - 1) * d + a 1 . Dosadíme do nej známe údaje z podmienky, teda čísla a 1 a a 7, máme: 18 = 6 + 6 * d. Z tohto výrazu ľahko vypočítate rozdiel: d = (18 - 6) /6 = 2. Tým sme odpovedali na prvú časť úlohy.

Ak chcete obnoviť postupnosť na 7. člen, mali by ste použiť definíciu algebraickej progresie, to znamená a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d atď. V dôsledku toho obnovíme celú postupnosť: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Príklad č. 3: zostavenie postupu

Poďme si problém ešte viac skomplikovať. Teraz musíme odpovedať na otázku, ako nájsť aritmetickú progresiu. Môžeme uviesť nasledujúci príklad: sú uvedené dve čísla, napríklad - 4 a 5. Je potrebné vytvoriť algebraickú postupnosť tak, aby sa medzi ne umiestnili ďalšie tri členy.

Predtým, ako začnete tento problém riešiť, musíte pochopiť, aké miesto budú v budúcom postupe zaberať dané čísla. Keďže medzi nimi budú ďalšie tri členy, potom a 1 = -4 a a 5 = 5. Keď sme to určili, prejdeme k problému, ktorý je podobný predchádzajúcemu. Opäť pre n-tý člen použijeme vzorec, dostaneme: a 5 = a 1 + 4 * d. Od: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. To, čo sme tu dostali, nie je celočíselná hodnota rozdielu, ale je to racionálne číslo, takže vzorce pre algebraickú postupnosť zostávajú rovnaké.

Teraz pripočítajme nájdený rozdiel k 1 a obnovíme chýbajúce členy progresie. Získame: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, čo sa zhoduje s podmienkami problému.

Príklad č. 4: prvý termín postupu

Pokračujme v uvádzaní príkladov aritmetickej progresie s riešeniami. Vo všetkých predchádzajúcich úlohách bolo známe prvé číslo algebraickej progresie. Teraz uvažujme úlohu iného typu: nech sú dané dve čísla, kde a 15 = 50 a a 43 = 37. Je potrebné zistiť, ktorým číslom táto postupnosť začína.

Doteraz používané vzorce predpokladajú znalosť a 1 a d. Vo vyhlásení o probléme nie je o týchto číslach nič známe. Napriek tomu si zapíšeme výrazy pre každý výraz, o ktorom sú dostupné informácie: a 15 = a 1 + 14 * d a a 43 = a 1 + 42 * d. Dostali sme dve rovnice, v ktorých sú 2 neznáme veličiny (a 1 a d). To znamená, že problém je redukovaný na riešenie sústavy lineárnych rovníc.

Najjednoduchším spôsobom riešenia tohto systému je vyjadrenie 1 v každej rovnici a následné porovnanie výsledných výrazov. Prvá rovnica: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druhá rovnica: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Prirovnaním týchto výrazov dostaneme: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, odkiaľ je rozdiel d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (uvedené sú len 3 desatinné miesta).

Ak poznáte d, môžete pre 1 použiť ktorýkoľvek z 2 vyššie uvedených výrazov. Napríklad po prvé: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Ak máte pochybnosti o dosiahnutom výsledku, môžete si ho skontrolovať, napríklad určiť 43. termín progresie, ktorý je uvedený v podmienke. Získame: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Malá chyba je spôsobená tým, že pri výpočtoch bolo použité zaokrúhľovanie na tisíciny.

Príklad č. 5: suma

Teraz sa pozrime na niekoľko príkladov s riešeniami pre súčet aritmetickej progresie.

Nech je daný číselný postup v nasledujúcom tvare: 1, 2, 3, 4, ...,. Ako vypočítať súčet 100 z týchto čísel?

Vďaka rozvoju výpočtovej techniky je možné tento problém vyriešiť, to znamená sčítať postupne všetky čísla, čo počítač urobí hneď, ako človek stlačí kláves Enter. Problém sa však dá vyriešiť mentálne, ak budete venovať pozornosť skutočnosti, že prezentovaný rad čísel je algebraická postupnosť a jej rozdiel sa rovná 1. Použitím vzorca pre súčet dostaneme: S n = n * ( a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Je zaujímavé, že tento problém sa nazýva „gausovský“, pretože začiatkom 18. storočia ho slávny Nemec, ešte len 10-ročný, dokázal vyriešiť v hlave za pár sekúnd. Chlapec nepoznal vzorec pre súčet algebraickej postupnosti, ale všimol si, že ak sčítate čísla na koncoch postupnosti v pároch, vždy dostanete rovnaký výsledok, teda 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a keďže tieto súčty budú presne 50 (100 / 2), na získanie správnej odpovede stačí vynásobiť 50 číslom 101.

Príklad č. 6: súčet členov od n do m

Ďalší typický príklad súčtu aritmetickej progresie je nasledujúci: ak je daný rad čísel: 3, 7, 11, 15, ..., musíte zistiť, aký bude súčet jej členov od 8 do 14. .

Problém sa rieši dvoma spôsobmi. Prvý z nich zahŕňa nájdenie neznámych výrazov od 8 do 14 a ich následné sčítanie. Keďže existuje málo výrazov, táto metóda nie je celkom náročná na prácu. Napriek tomu sa navrhuje vyriešiť tento problém pomocou druhej metódy, ktorá je univerzálnejšia.

Cieľom je získať vzorec pre súčet algebraickej postupnosti medzi členmi m a n, kde n > m sú celé čísla. Pre oba prípady napíšeme pre súčet dva výrazy:

Sm = m* (am + a 1) / 2.
Sn = n* (an + a 1) / 2.

Keďže n > m, je zrejmé, že 2. súčet zahŕňa prvý. Posledný záver znamená, že ak zoberieme rozdiel medzi týmito súčtami a pripočítame k nemu člen a m (v prípade brania rozdielu sa odpočíta od súčtu S n), dostaneme potrebnú odpoveď na úlohu. Máme: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m* (1- m/2). Do tohto výrazu je potrebné dosadiť vzorce pre a n a a m. Potom dostaneme: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m/2) = a 1* (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m2 - 2) / 2.

Výsledný vzorec je trochu ťažkopádny, avšak súčet S mn závisí len od n, m, a 1 a d. V našom prípade a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Dosadením týchto čísel dostaneme: S mn = 301.

Ako vidno z vyššie uvedených riešení, všetky úlohy vychádzajú zo znalosti výrazu pre n-tý člen a vzorca pre súčet množiny prvých členov. Pred začatím riešenia niektorého z týchto problémov sa odporúča, aby ste si pozorne prečítali stav, jasne pochopili, čo potrebujete nájsť, a až potom pokračujte v riešení.

Ďalším tipom je usilovať sa o jednoduchosť, to znamená, že ak môžete odpovedať na otázku bez použitia zložitých matematických výpočtov, musíte to urobiť, pretože v tomto prípade je pravdepodobnosť, že urobíte chybu, menšia. Napríklad v príklade aritmetickej progresie s riešením č. 6 by sme sa mohli zastaviť pri vzorci S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, a prestávka spoločná úloha do samostatných podúloh (v tomto prípade najskôr nájdite pojmy a n a a m).

Ak máte pochybnosti o dosiahnutom výsledku, odporúča sa ho skontrolovať, ako to bolo urobené v niektorých uvedených príkladoch. Zistili sme, ako nájsť aritmetickú progresiu. Ak na to prídete, nie je to také ťažké.

Aritmetické a geometrické postupnosti

Teoretické informácie

Teoretické informácie

	Aritmetický postup	Geometrická progresia
Definícia	Aritmetický postup a n je postupnosť, v ktorej sa každý člen počnúc druhým rovná predchádzajúcemu členu pripočítanému k rovnakému číslu d (d- progresívny rozdiel)	Geometrická progresia b n je postupnosť nenulových čísel, z ktorých každý člen počnúc druhým sa rovná predchádzajúcemu členu vynásobenému rovnakým číslom q (q- menovateľ progresie)
Vzorec opakovania	Pre akékoľvek prírodné n a n + 1 = a n + d	Pre akékoľvek prírodné n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Vzorec n-tý termín	a n = a 1 + d (n – 1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Charakteristická vlastnosť
Súčet prvých n členov

Príklady úloh s komentármi

Úloha 1

V aritmetickom postupe ( a n) 1 = -6, a 2

Podľa vzorca n-tého členu:

22 = 1+ d (22 - 1) = 1+ 21 d

Podľa podmienky:

1= -6 teda 22= -6 + 21 d.

Je potrebné nájsť rozdiel v postupnosti:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

odpoveď: 22 = -48.

Úloha 2

Nájdite piaty člen geometrickej postupnosti: -3; 6;...

1. metóda (použitím n-členného vzorca)

Podľa vzorca pre n-tý člen geometrickej postupnosti:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Pretože b 1 = -3,

2. metóda (použitím opakujúceho sa vzorca)

Keďže menovateľ progresie je -2 (q = -2), potom:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

odpoveď: b 5 = -48.

Úloha 3

V aritmetickom postupe ( a n) a 74 = 34; 76= 156. Nájdite sedemdesiaty piaty člen tohto postupu.

Pre aritmetickú progresiu má charakteristická vlastnosť tvar .

Z toho vyplýva:

Dosadíme údaje do vzorca:

odpoveď: 95.

Úloha 4

V aritmetickom postupe ( a n) a n= 3n - 4. Nájdite súčet prvých sedemnástich členov.

Na nájdenie súčtu prvých n členov aritmetickej progresie sa používajú dva vzorce:

Ktorý z nich je v tomto prípade vhodnejší?

Podľa podmienky je známy vzorec pre n-tý člen pôvodnej progresie ( a n) a n= 3n - 4. Môžete okamžite nájsť a 1, A 16 bez nájdenia d. Preto použijeme prvý vzorec.

Odpoveď: 368.

Úloha 5

V aritmetickom postupe ( a n) 1 = -6; a 2= -8. Nájdite dvadsiaty druhý termín postupu.

Podľa vzorca n-tého členu:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = 1+ 21 d.

Podľa podmienky, ak 1= -6 teda 22= -6 + 21 d. Je potrebné nájsť rozdiel v postupnosti:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

odpoveď: 22 = -48.

Úloha 6

Je napísaných niekoľko po sebe nasledujúcich pojmov geometrickej postupnosti:

Nájdite člen postupnosti označený x.

Pri riešení použijeme vzorec pre n-tý člen b n = b 1 ∙ q n - 1 Pre geometrické postupnosti. Prvý termín progresie. Ak chcete nájsť menovateľa progresie q, musíte vziať ktorýkoľvek z daných členov progresie a vydeliť ho predchádzajúcim. V našom príklade môžeme brať a deliť podľa. Dostaneme, že q = 3. Namiesto n dosadíme do vzorca 3, keďže je potrebné nájsť tretí člen danej geometrickej postupnosti.

Nahradením nájdených hodnôt do vzorca dostaneme: