Ežová Elena Sergejevna
Názov pracovnej pozície: učiteľ matematiky
Vzdelávacia inštitúcia: Mestský vzdelávací ústav "Stredná škola č. 77"
lokalita: Saratov
Názov materiálu: metodologický vývoj
Predmet: Racionalizačná metóda riešenia nerovností v príprave na Jednotnú štátnu skúšku“
Dátum vydania: 16.05.2018
kapitola:úplné vzdelanie

Je zrejmé, že rovnakú nerovnosť možno vyriešiť niekoľkými spôsobmi. Úspešne

zvoleným spôsobom alebo, ako sme zvykli hovorievať, racionálnym spôsobom, ľubovoľným

nerovnosť sa vyrieši rýchlo a jednoducho, jej riešenie bude krásne a zaujímavé.

Chcel by som podrobnejšie zvážiť takzvanú racionalizačnú metódu, keď

riešenie logaritmických a exponenciálne nerovnosti, ako aj nerovnosti obsahujúce

premenná pod znamienkom modulu.

Hlavná myšlienka metódy.

Metóda nahradenia faktorov rieši nerovnosti, ktoré sa dajú zredukovať do tvaru

kde je symbol"

“ označuje jedno zo štyroch možných znakov nerovnosti:

Pri riešení nerovnosti (1) nás v čitateli zaujíma len znamienko ľubovoľného činiteľa

alebo menovateľ, a nie jeho absolútnu hodnotu. Preto, ak z nejakého dôvodu sme

s touto násobilkou je nepohodlné pracovať, môžeme ju nahradiť inou

sa zhoduje v znamienku s ním v oblasti definície nerovnosti a má v tejto oblasti

rovnaké korene.

To určuje hlavnú myšlienku metódy nahradenia multiplikátora. Je dôležité to zaznamenať

skutočnosť, že nahradenie faktorov sa vykonáva len pod podmienkou vyvolania nerovnosti

do formy (1), teda keď je potrebné porovnať súčin s nulou.

Hlavná časť nahradenia je spôsobená nasledujúcimi dvoma ekvivalentnými vyhláseniami.

Výrok 1. Funkcia f(x) je striktne rastúca práve vtedy, ak pre

akékoľvek hodnoty t

) sa zhoduje s

znamienko s rozdielom (f(t

)), teda f<=>(t

(↔ znamená zhodu znamienok)

Výrok 2. Funkcia f(x) je striktne klesajúca práve vtedy, ak pre

akékoľvek hodnoty t

z oblasti definície funkčného rozdielu (t

) sa zhoduje s

znamienko s rozdielom (f(t

)), teda f ↓<=>(t

Zdôvodnenie týchto tvrdení vyplýva priamo z definície striktne

monotónna funkcia. Podľa týchto vyjadrení možno konštatovať, že

Rozdiel v mocniciach pre ten istý základ sa vždy zhoduje v znamienku s

súčin rozdielu medzi indexmi týchto mocnín a odchýlkou ​​základne od jednoty,

Rozdiel logaritmov na rovnakú základňu sa vždy zhoduje v znamienku s

potom súčin rozdielu medzi číslami týchto logaritmov a odchýlkou ​​základne od jednoty

Skutočnosť, že rozdiel nezáporných veličín sa zhoduje v znamienku s rozdielom

štvorce týchto veličín umožňuje nasledujúce substitúcie:

Vyriešte nerovnosť

Riešenie.

Prejdime k ekvivalentnému systému:

Z prvej nerovnosti dostaneme

Druhá nerovnosť platí pre všetkých

Z tretej nerovnosti dostaneme

Množina riešení pôvodnej nerovnosti je teda:

Vyriešte nerovnosť

Riešenie.

Vyriešme nerovnosť:

ODPOVEĎ: (−4; −3)

Vyriešte nerovnosť

Znížme nerovnosť na formu, v ktorej je rozdiel v logaritmických hodnotách

Nahradme rozdiel medzi hodnotami logaritmickej funkcie a rozdielom medzi hodnotami argumentu. IN

čitateľ je rastúca funkcia a menovateľ je klesajúci, takže znamienko nerovnosti

sa zmení na opak. Je dôležité nezabudnúť vziať do úvahy doménu definície

logaritmickej funkcie, preto je táto nerovnosť ekvivalentná systému nerovností.

Korene čitateľa: 8; 8;

Hlavný menovateľ: 1

Vyriešte nerovnosť

Nahradme v čitateli rozdiel medzi modulmi dvoch funkcií rozdielom ich štvorcov a v

menovateľ je rozdiel medzi hodnotami logaritmickej funkcie a rozdielom v argumentoch.

Menovateľ má klesajúcu funkciu, čo znamená, že znamienko nerovnosti sa zmení na

opak.

V tomto prípade je potrebné vziať do úvahy doménu definície logaritmiky

Vyriešme prvú nerovnosť pomocou intervalovej metódy.

Korene čitateľa:

Korene menovateľa:

Vyriešte nerovnosť

Nahradme rozdiel v hodnotách monotónnych funkcií v čitateli a menovateli rozdielom

hodnoty argumentov, berúc do úvahy oblasť definície funkcií a povahu monotónnosti.

Korene čitateľa:

Korene menovateľa:

Najčastejšie používané náhrady (okrem O D Z).

a) Nahradenie konštantných znakov.

b) Nahradenie nekonštantných multiplikátorov modulom.

c) Nahradenie faktorov neznámeho znamienka exponenciálnymi a logaritmickými faktormi

výrazov.

Riešenie. ODZ:

Výmena multiplikátorov:

Máme systém:

V tejto nerovnosti už nie je možné faktorizovať

považovať za rozdiely nezáporných veličín, keďže výrazy 1

ODZ môže nadobúdať kladné aj záporné hodnoty.

Máme systém:

Výmena multiplikátorov:

Máme systém:

Výmena multiplikátorov:

Máme systém:

Výmena multiplikátorov:

Máme systém:

Výsledkom je: x

Racionalizačná metóda(metóda rozkladu, metóda náhrady multiplikátora, náhradná metóda

funkcie, znakové pravidlo) spočíva v nahradení komplexného výrazu F(x) výrazom viac

jednoduchý výraz G(x), pod ktorým je nerovnosť G(x)

0 je ekvivalentná nerovnosti F (x

0 v oblasti definície výrazu F(x).

Racionalizačná metóda vám umožňuje prejsť od nerovností obsahujúcich zložité exponenciálne, logaritmické atď. vyjadrenie na ekvivalentnú jednoduchšiu racionálnu nerovnosť.

Preto skôr, ako začneme hovoriť o racionalizácii v nerovnostiach, povedzme si o ekvivalencii.

Ekvivalencia

Ekvivalent alebo ekvivalent sa nazývajú rovnice (nerovnice), ktorých množiny koreňov sa zhodujú. Rovnice (nerovnice), ktoré nemajú korene, sa tiež považujú za ekvivalentné.

Príklad 1 Rovnice a sú ekvivalentné, pretože majú rovnaké korene.

Príklad 2 Rovnice a sú tiež ekvivalentné, pretože riešením každej z nich je prázdna množina.

Príklad 3 Nerovnice a sú ekvivalentné, pretože riešením oboch je množina .

Príklad 4. a – sú nerovné. Riešenie druhej rovnice je iba 4 a riešenie prvej je 4 aj 2.

Príklad 5. Nerovnosť je ekvivalentná nerovnosti, pretože v oboch nerovnostiach je riešenie 6.

To znamená, že ekvivalentné nerovnosti (rovnice) môžu byť na pohľad veľmi vzdialené.

V skutočnosti, keď riešime zložité, dlhé rovnice (nerovnice), ako je táto, a dostaneme odpoveď, to, čo máme v rukách, nie je nič iné ako rovnica (nerovnosť) ekvivalentná tej pôvodnej. Vzhľad je iný, ale podstata je rovnaká!

Príklad 6. Pripomeňme si, ako sme riešili nerovnosť pred oboznámením sa s intervalovou metódou. Pôvodnú nerovnosť sme nahradili množinou dvoch systémov:

To znamená, že nerovnosť a posledný agregát sú navzájom ekvivalentné.

Tiež by sme mohli mať vo svojich rukách totalitu

nahraďte ju nerovnosťou, ktorú je možné rýchlo vyriešiť intervalovou metódou.

K racionalizačnej metóde sme sa priblížili v r logaritmické nerovnosti Oh.

Racionalizačná metóda v logaritmických nerovnostiach

Zoberme si nerovnosť.

Reprezentujeme 4 ako logaritmus:

Máme do činenia s premenlivým základom logaritmu, preto v závislosti od toho, či je základ logaritmu väčší ako 1 alebo menší ako 1 (to znamená, že máme do činenia s rastúcou alebo klesajúcou funkciou), znamienko nerovnosti zostane rovnaké alebo zmeniť na „“. Vzniká tak spojenie (zjednotenie) dvoch systémov:

Ale, POZOR, tento systém sa musí rozhodnúť s prihliadnutím na DL! Zámerne som nenačítal systém ODZ, aby sa nestratila hlavná myšlienka.

Pozrite, teraz prepíšeme náš systém takto (presunieme všetko v každom riadku nerovnosti doľava):

Pripomína vám to niečo? Analogicky s príklad 6 Túto množinu systémov nahradíme nasledujúcou nerovnosťou:

Vyriešením tejto nerovnosti na ODZ získame riešenie nerovnosti.

Najprv nájdime ODZ pôvodnej nerovnosti:

Teraz sa poďme rozhodnúť

Riešenie poslednej nerovnosti s prihliadnutím na ODZ:

Takže tu je táto „magická“ tabuľka:

Upozorňujeme, že tabuľka funguje za podmienok

kde sú funkcie,

– funkcia alebo číslo,

- jedno zo znamení

Všimnite si tiež, že druhý a tretí riadok tabuľky sú dôsledkom prvého. V druhom riadku je 1 reprezentovaná najprv ako a v treťom riadku je 0 reprezentovaná ako .

A pár ďalších užitočných dôsledkov (dúfam, že je pre vás ľahké pochopiť, odkiaľ pochádzajú):

kde sú funkcie,

– funkcia alebo číslo,

- jedno zo znamení

Metóda racionalizácie v exponenciálnych nerovnostiach

Vyriešme nerovnosť.

Riešenie pôvodnej nerovnosti je ekvivalentné s riešením nerovnosti

Odpoveď: .

Tabuľka pre racionalizáciu v exponenciálnych nerovnostiach:

– funkcie , – funkcia alebo číslo, – jeden zo znakov Tabuľka funguje pod podmienkou . Aj v treťom, štvrtom riadku – navyše –

Opäť si v podstate musíte zapamätať prvý a tretí riadok tabuľky. Druhý riadok - špeciálny prípad prvý a štvrtý riadok je špeciálny prípad tretieho.

Racionalizačná metóda v nerovnostiach obsahujúcich modul

Pri práci s nerovnicami typu , kde sú funkcie nejakej premennej, sa môžeme riadiť nasledujúcimi ekvivalentnými prechodmi:

Vyriešme nerovnosť.“

A Tu tiež navrhujem zvážte niekoľko príkladov na tému „Racionalizácia nerovností“.

Sekcie: Matematika

Pri riešení logaritmických nerovností sa často vyskytujú problémy s premenlivým logaritmickým základom. Teda nerovnosť formy

je štandardná školská nerovnosť. Na jeho vyriešenie sa spravidla používa prechod na ekvivalentnú sadu systémov:

Nevýhodou tejto metódy je nutnosť riešiť sedem nerovností, nerátajúc dva systémy a jednu populáciu. Už pri týchto kvadratických funkciách môže riešenie populácie zabrať veľa času.

Je možné navrhnúť alternatívny, časovo menej náročný spôsob riešenia tejto štandardnej nerovnosti. Aby sme to dosiahli, berieme do úvahy nasledujúcu vetu.

Veta 1. Nech je spojitá rastúca funkcia na množine X. Potom na tejto množine bude znamienko prírastku funkcie zhodné so znamienkom prírastku argumentu, t.j. , Kde .

Poznámka: ak na množine X funguje súvislé klesanie, potom .

Vráťme sa k nerovnosti. Prejdime k desiatkovému logaritmu (môžete prejsť na ľubovoľný s konštantným základom väčším ako jedna).

Teraz môžete použiť vetu a všimnúť si prírastok funkcií v čitateli a v menovateli. Takže je to pravda

Výsledkom je, že počet výpočtov vedúcich k odpovedi sa zníži približne o polovicu, čo šetrí nielen čas, ale tiež umožňuje potenciálne robiť menej aritmetických a neopatrných chýb.

Príklad 1

Porovnaním s (1) zistíme , , .

Prejdeme na (2) budeme mať:

Príklad 2

Porovnaním s (1) nájdeme , , .

Prejdeme na (2) budeme mať:

Príklad 3

Keďže ľavá strana nerovnosti je rastúca funkcia ako a , potom bude odpovedí veľa.

Množstvo príkladov, v ktorých je možné použiť tému 1, možno jednoducho rozšíriť zohľadnením témy 2.

Pustite na scénu X sú definované funkcie , , , a na tejto množine sa znamienka a zhodujú, t.j. , potom to bude spravodlivé.

Príklad 4.

Príklad 5.

Pri štandardnom prístupe je príklad riešený podľa nasledujúcej schémy: súčin je menší ako nula, keď faktory majú rôzne znamienka. Tie. uvažuje sa o množine dvoch systémov nerovností, v ktorých, ako už bolo naznačené na začiatku, sa každá nerovnosť rozpadá na ďalších sedem.

Ak vezmeme do úvahy vetu 2, potom každý z faktorov, berúc do úvahy (2), môže byť nahradený inou funkciou, ktorá má v tomto príklade rovnaké znamienko O.D.Z.

Metóda nahradenia prírastku funkcie prírastkom argumentu, berúc do úvahy vetu 2, sa pri riešení ukazuje ako veľmi výhodná typické úlohy Jednotná štátna skúška C3.

Príklad 6.

Príklad 7.

. Označme . dostaneme

. Všimnite si, že nahradenie znamená: . Keď sa vrátime k rovnici, dostaneme .

Príklad 8.

V teorémoch, ktoré používame, neexistujú žiadne obmedzenia na triedy funkcií. V tomto článku boli ako príklad použité vety na riešenie logaritmických nerovností. Nasledujúcich niekoľko príkladov demonštruje prísľub metódy na riešenie iných typov nerovností.

Sekcie: Matematika

Prax kontroly skúšok ukazuje, že najväčším problémom pre školákov je riešenie transcendentálnych nerovností, najmä logaritmických nerovností s premenlivým základom. Zhrnutie lekcie, ktoré vám ponúkame, je preto prezentáciou metódy racionalizácie (iné názvy - metóda rozkladu (Modenov V.P.), metóda nahradenia faktorov (Golubev V.I.)), ktorá vám umožňuje znížiť zložité logaritmické, exponenciálne, kombinované nerovnosti na systém jednoduchších racionálne nerovnosti. Metóda intervalov aplikovaná na racionálne nerovnosti je spravidla dobre pochopená a praktizovaná v čase, keď sa študuje téma „Riešenie logaritmických nerovností“. Študenti preto s veľkým záujmom a nadšením vnímajú tie metódy, ktoré im umožňujú zjednodušiť riešenie, skrátiť ho a v konečnom dôsledku ušetriť čas na Jednotnej štátnej skúške na riešenie iných úloh.

Ciele lekcie:

• Vzdelávacie: aktualizácia základných poznatkov pri riešení logaritmických nerovností;
• zavedenie nového spôsobu riešenia nerovností; zlepšenie zručností pri riešení
• Vývojový: rozvoj matematického rozhľadu, matematickej reči, analytického myslenia

Vzdelávacie

: výchova k presnosti a sebaovládaniu. PRIEBEH LEKCIE

1. Organizačný moment.

Vyriešte nerovnosti:

3. Kontrola domácich úloh(č. 11.81*a)

Pri riešení nerovnosti

Na riešenie logaritmických nerovností s variabilnou základňou ste museli použiť nasledujúcu schému:

Tie. Musíme zvážiť 2 prípady: základňa je väčšia ako 1 alebo základňa je menšia ako 1.

4. Vysvetlenie nového materiálu

Ak sa na tieto vzorce pozorne pozriete, všimnete si, že je to znak rozdielu g(x) – h(x) sa zhoduje so znamienkom rozdielu log f(x) g(x) – denník f(x) h(x) v prípade zvyšujúcej sa funkcie ( f(x) > 1, t.j. f(x) – 1 > 0) a je opačný ako znamienko logaritmu rozdielu f(x) g(x) – denník f(x) h(x) v prípade klesajúcej funkcie (0< f(x) < 1, т.е. f(x) – 1 < 0)

V dôsledku toho možno túto množinu zredukovať na systém racionálnych nerovností:

To je podstata racionalizačnej metódy – nahradenie zložitejšieho výrazu A jednoduchším výrazom B, ktorý je racionálny. V tomto prípade bude nerovnosť B V 0 ekvivalentná nerovnosti A V 0 na doméne definície výrazu A.

Príklad 1 Prepíšme nerovnosť do podoby ekvivalentného systému racionálnych nerovností.

Všimnite si, že podmienky (1)–(4) sú podmienky pre oblasť definície nerovnosti, ktorú odporúčam nájsť na začiatku riešenia.

Príklad 2 Vyriešte nerovnosť pomocou racionalizačnej metódy:

Oblasť definície nerovnosti je špecifikovaná podmienkami:

Získame:

Zostáva napísať nerovnosť (5)

Berúc do úvahy doménu definície

Odpoveď: (3; 5)

5. Konsolidácia študovaného materiálu

I. Napíšte nerovnosť ako systém racionálnych nerovností:

II. Prezentujte pravú stranu nerovnosti ako logaritmus na požadovanú základňu a prejdite na ekvivalentný systém:

Učiteľ zavolá na tabuľu žiakov, ktorí zapísali sústavy zo skupín I a II, a vyzve jedného z najsilnejších žiakov, aby riešil domácu nerovnosť (č. 11,81 * a) racionalizačnou metódou.

6. Testovacia práca

Možnosť 1

Možnosť 2

1. Napíšte systém racionálnych nerovníc na vyriešenie nerovností:

2. Riešiť nerovnosť pomocou racionalizačnej metódy

Kritériá hodnotenia:

3-4 body – „uspokojivé“;
5-6 bodov – „dobré“;
7 bodov – „výborne“.

7. Reflexia

Odpovedzte na otázku: ktorá z metód, ktoré poznáte na riešenie logaritmických nerovností s premenlivým základom, vám umožní efektívnejšie využiť čas pri skúške?

8. Domáce úlohy: č.11,80* (a,b), 11,81*(a,b), 11,84*(a,b) riešiť racionalizačnou metódou.

Zoznam použitej literatúry:

1. Algebra a začiatky analýzy: Učebnica. Pre 11. ročník.
2. všeobecné vzdelanie Inštitúcie /[S.M. Nikolsky, M.K.. Materiály kurzu „Príprava dobrých a výborných študentov na jednotnú štátnu skúšku“: prednášky 1.-4. – M.: Pedagogickej univerzity"Prvý september", 2012.

Mestská autonómna Všeobecná vzdelávacia inštitúcia"Yarkovskaya stredná škola"

Vzdelávací projekt

Riešenie logaritmických nerovností pomocou racionalizačnej metódy

MAOU "Yarkovskaya Stredná škola"

Shanskikh Daria

Vedúci: učiteľ matematiky

MAOU "Yarkovskaya Stredná škola"

Jarkovo 2013

1) Úvod……………………………………………………………….2

2) Hlavná časť………………………………………………………………………………..3

3) Záver…………………………………………………………..9

4) Zoznam literatúry 10

5) Žiadosti………………………………………………………………… 11-12

1. Úvod

Často sa pri riešení USE úloh z časti „C“ a najmä v úlohách C3 stretávate s nerovnosťami obsahujúcimi logaritmické výrazy s neznámou v základe logaritmu. Napríklad tu je štandardná nerovnosť:

Na riešenie takýchto problémov sa spravidla používa klasická metóda, to znamená prechod na ekvivalentnú množinu systémov

Pri štandardnom prístupe je príklad riešený podľa nasledujúcej schémy: súčin je menší ako nula, keď faktory majú rôzne znamienka. To znamená, že sa uvažuje súbor dvoch systémov nerovností, v ktorých je každá nerovnosť rozdelená na sedem ďalších. Preto možno navrhnúť menej časovo náročný spôsob riešenia tejto štandardnej nerovnosti. Ide o racionalizačnú metódu, ktorá je v matematickej literatúre známa ako dekompozícia.

Pri dokončovaní projektu som si stanovil nasledujúce ciele :

1) Zvládnite túto rozhodovaciu techniku

2) Precvičte si zručnosti riešenia na úlohách C3 z tréningu a diagnostická práca 2013

Cieľ projektuje študovať teoretický základ racionalizačnej metódy.

Relevanciapráca je taká túto metódu umožňuje úspešne riešiť logaritmické nerovnosti časti C3 Jednotnej štátnej skúšky z matematiky.

2. Hlavná časť

Zvážte logaritmickú nerovnosť formulára

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%">, (1)

kde font-size:14.0pt;line-height:150%"> Štandardná metóda na riešenie takejto nerovnosti zahŕňa analýzu dvoch prípadov do rozsahu prijateľných hodnôt nerovnosti.

V prvom prípade, keď základy logaritmov spĺňajú podmienku

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%">, znak nerovnosti sa nakreslí: font-size:14.0pt;line-height:150%">V druhom prípade , keď základ spĺňa podmienku, znak nerovnosti je zachovaný: .

Na prvý pohľad je všetko logické, zvážme dva prípady a potom skombinujme odpovede. Pravda, pri zvažovaní druhého prípadu nastáva istý diskomfort – musíte zopakovať 90 percent výpočtov z prvého prípadu (transformovať, nájsť korene pomocných rovníc, určiť intervaly monotónnosti znamienka). Vynára sa prirodzená otázka: je možné to všetko nejako skombinovať?

Odpoveď na túto otázku je obsiahnutá v nasledujúcej vete.

Veta 1. Logaritmická nerovnosť

font-size:14.0pt;line-height:150%">ekvivalent nasledujúcemu systému nerovností :

veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%"> (2)

Dôkaz.

1. Začnime tým, že prvé štyri nerovnosti systému (2) definujú množinu prípustných hodnôt pôvodnej logaritmickej nerovnosti. Obráťme teraz našu pozornosť na piatu nerovnosť. Ak veľkosť písma:14,0pt; line-height:150%">, potom bude prvý faktor tejto nerovnosti záporný. Pri zmenšení o ňu budete musieť zmeniť znamienko nerovnosti na opačné, potom dostanete nerovnosť .

Ak , To prvý faktor piatej nerovnosti je kladný, zrušíme ho bez zmeny znamienka nerovnosti, dostaneme nerovnosť font-size:14.0pt;line-height: 150%"> Piata nerovnosť systému teda zahŕňa oba prípady predchádzajúcej metódy.

Téma sa osvedčila.

Základné ustanovenia teórie racionalizačnej metódy.

Racionalizačná metóda má nahradiť zložitý výraz F(x ) k jednoduchšiemu výrazu G(x ), pri ktorej je nerovnosť G(x )SK" style="font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:Calibri">F(x )0 v oblasti definície výrazu F(x).

Vyzdvihnime niektoré výrazy F a ich zodpovedajúce racionalizačné výrazy G, kde u, v,, p, q - výrazy s dvoma premennými ( u > 0; u ≠ 1; v > 0, > 0), a - pevné číslo (a > 0, a ≠ 1).

	Výraz F	Výraz G
		(a –1)( v – φ)
1b
		)
2b

Dôkaz

1. Nechajte logav - logaφ > 0, to jest logav > logaφ, a a > 0, a ≠ 1, v > 0,

φ > 0.

Ak 0< a < 1, то по свойству убывающей логарифмической функции имеем v < φ . To znamená, že systém nerovností platí

a -1<0

v – φ < 0

Odkiaľ nasleduje nerovnosť (a – 1)( v – φ ) > 0 pravda v oblasti výrazuF = logav - logaφ.

Ak a > 1, To v > φ . Preto existuje nerovnosť ( a – 1)( v – φ )> 0. Naopak, ak nerovnosť platí ( a – 1)( v – φ )> 0 v rozsahu prijateľných hodnôt ( a > 0, a ≠ 1, v> 0, φ > 0),potom v tejto oblasti je ekvivalentná kombinácii dvoch systémov.

a – 1<0 a – 1 > 0

v – φ < 0 v – φ > 0

Každý systém znamená nerovnosťlogav > logaφ, to jest logav - logaφ > 0.

Podobne uvažujeme o nerovnostiach F< 0, F ≤ 0, F ≥ 0.

2. Nechajte nejaké číslo A> 0 a A≠ 1, potom máme

logu v- loguφ = EN-US" style="font-size:14.0pt;line-height:150%">v - 1)( u- 1)(φ –u).

4.Z nerovnosti uv- uφ > 0 by mal uv > uφ. Nech je teda číslo a > 1loga uv > logauφ alebo

( u – φ) loga u > 0.

Preto, berúc do úvahy náhradu 1b a podmienkua > 1 dostaneme

( v – φ)( a – 1)( u – 1) > 0, ( v – φ)( u – 1) > 0. Podobne sa dokazujú nerovnosti F< 0,

F ≤ 0, F ≥ 0.

5. Dôkaz je podobný dôkazu 4.

6. Dôkaz substitúcie 6 vyplýva z ekvivalencie nerovností | p | > | q | a p2 > q2

(|p|< | q | и p 2 < q 2 ).

Porovnajme objem riešení s nerovnicami obsahujúcimi premennú v základe logaritmu klasický spôsob a metóda racionalizácie

3. Záver

Verím, že úlohy, ktoré som si pri dokončovaní práce stanovil, sa mi podarilo splniť. Projekt má praktický význam, keďže metóda navrhovaná v práci môže výrazne zjednodušiť riešenie logaritmických nerovností. Výsledkom je, že počet výpočtov vedúcich k odpovedi sa zníži približne o polovicu, čo šetrí nielen čas, ale tiež umožňuje potenciálne robiť menej aritmetických a neopatrných chýb. Teraz pri riešení problémov C3 používam túto metódu.

4. Zoznam použitej literatúry

1. , – Metódy riešenia nerovníc s jednou premennou. – 2011.

2. – Matematická príručka. – 1972.

3. - Matematika pre uchádzačov. Moskva: MTsNMO, 2008.