Bod a čiara sú základné geometrické tvary v lietadle.

Definícia bodu a priamky sa v geometrii nezavádza;

Body sú uvedené veľkými písmenami (veľké písmená, veľké písmená) latinskými písmenami: A, B, C, D, …

Priame čiary sú označené jedným malým (malým) latinským písmenom, napr.

- rovný a.

Priama čiara pozostáva z nekonečné číslo bodov a nemá začiatok ani koniec. Obrázok zobrazuje iba časť priamky, ale rozumie sa, že sa tiahne nekonečne ďaleko v priestore a pokračuje donekonečna v oboch smeroch.

Hovorí sa, že body, ktoré ležia na priamke, patria do tejto priamky. Príslušnosť je označená znakom ∈. O bodoch mimo čiary sa hovorí, že do tejto čiary nepatria. Znak „nepatrí“ je ∉.

Napríklad bod B patrí do riadku a (napíšte: B∈a),

bod F nepatrí do riadku a, (napíš: F∉a).

Základné vlastnosti spolupatričnosti bodov a čiar na rovine:

Nech je čiara akákoľvek, existujú body, ktoré patria do tejto čiary a body, ktoré do nej nepatria.

Cez ľubovoľné dva body môžete nakresliť priamku a iba jeden.

Čiary sa označujú aj dvoma veľkými latinskými písmenami za názvami bodov, ktoré na čiare ležia.

- rovný AB.

- tento riadok sa môže nazývať MK alebo MN alebo NK.

Dve čiary sa môžu, ale nemusia pretínať. Ak sa čiary nepretínajú, majú č spoločné body. Ak sa priamky pretínajú, majú jeden spoločný bod. Značka prechodu - ∩ .

Napríklad priamky a a b sa pretínajú v bode O

(napíš: a ∩ b=O).

Priamky c a d sa tiež pretínajú, hoci ich priesečník nie je na obrázku znázornený.

Známky spolupatričnosti sú dobre známe z kurzu planimetrie. Našou úlohou je uvažovať ich vo vzťahu k projekciám geometrických objektov.

Bod patrí do roviny, ak patrí do priamky ležiacej v tejto rovine.

Príslušnosť k priamej rovine je určená jedným z dvoch kritérií:

a) dvoma bodmi ležiacimi v tejto rovine prechádza priamka;

b) bodom prechádza priamka a je rovnobežná s priamkami ležiacimi v tejto rovine.

Pomocou týchto vlastností vyriešme problém ako príklad. Nech je rovina definovaná trojuholníkom ABC. Je potrebné vytvoriť chýbajúcu projekciu D 1 bod D patriace do tejto roviny. Postupnosť konštrukcií je nasledovná (obr. 2.5).

Ryža. 2.5.

Zostrojiť projekcie bodu patriaceho do roviny D Cez bod 2 vykonáme priamkové premietanie d  ABC, ležiaci v lietadle , ktorá pretína jednu zo strán trojuholníka a bod A , ktorá pretína jednu zo strán trojuholníka a bod 2 D 2. Potom bod 1 2 patrí čiaram 2 a 2 C IN 2 a 1 C 2. Preto môžeme získať jeho horizontálny priemet 1 1 na , ktorá pretína jednu zo strán trojuholníka a bod 1 cez komunikačnú linku. Spojovacie body 1 1 a 2 vykonáme priamkové premietanie 1, dostaneme vodorovnú projekciu D 1. D 2 .

Je jasné, že pointa

1 patrí k nej a leží na línii projekčného spojenia s bodom

Problémy určenia, či patrí bod alebo priama rovina, sa riešia pomerne jednoducho. Na obr. Na obrázku 2.6 je znázornený priebeh riešenia takýchto problémov. Pre názornosť prezentácie úlohy definujeme rovinu trojuholníkom. Ryža. 2.6. Úlohy na určenie, či bod patrí do priamej roviny. Aby bolo možné určiť, či bod patrí  ABC E lietadlo, nakreslite priamku cez jej čelný priemet E 2  ABC A lietadlo 2. Za predpokladu, že priamka a patrí do roviny lietadlo, zostrojme jeho vodorovný priemet Ryža. 2.6. Úlohy na určenie, či bod patrí do priamej roviny. 1 v priesečníkoch 1 a 2. Ako vidíme (obr. 2.6, a), rovno Ryža. 2.6. Úlohy na určenie, či bod patrí do priamej roviny. ABC.

1 neprechádza cez bod 1. Preto pointa V probléme príslušnosti k línii ABC V 1. Preto pointa trojuholníkové roviny 1. Preto pointa(obr. 2.6, b), stačí použiť jednu z priamkových projekcií 1. Preto pointa ABC 2 postaviť ďalší 1. Preto pointa 1 * vzhľadom na to 1. Preto pointa. Ako vidíme, 1. Preto pointa   ABC.

1* a

1 sa nezhodujú. Preto rovno 2.4. Vyrovnané čiary v rovine Definícia úrovňových čiar bola uvedená skôr. Úrovňové čiary patriace do danej roviny sa nazývajú

hlavné

. Tieto čiary (priamky) zohrávajú významnú úlohu pri riešení množstva problémov deskriptívnej geometrie.

Uvažujme zostrojenie nivelačných čiar v rovine definovanej trojuholníkom (obr. 2.7).  ABC Ryža. 2.7. Zostrojenie hlavných čiar roviny definovanej trojuholníkom Horizontálna rovina začneme nakreslením jeho čelnej projekcie h 2, o ktorom je známe, že je rovnobežný s osou  ABC OH , ktorá pretína jednu zo strán trojuholníka a bod. Keďže táto vodorovná čiara patrí do tejto roviny, prechádza dvoma bodmi roviny , konkrétne body , ktorá pretína jednu zo strán trojuholníka a bod a 1. Mať ich , ktorá pretína jednu zo strán trojuholníka a bodčelné projekcie , ktorá pretína jednu zo strán trojuholníka a bod 2 a 1 2, cez komunikačnú líniu získame horizontálne projekcie ( Horizontálna rovina 1 už existuje) 1 1 . Spájanie bodov  ABC 1 a 11 máme vodorovnú projekciu Horizontálna rovina 1 horizontálna rovina  ABC. Profilová projekcia h 3 horizontálne roviny

bude rovnobežná s osou  ABC podľa definície. Predná rovina je konštruovaný podobným spôsobom (obr. 2.7) len s tým rozdielom, že jeho kresba začína vodorovným priemetom Predná rovina f 1, pretože je známe, že je rovnobežná s osou OX. Profilová projekcia 3 čelá musia byť rovnobežné s osou OZ a prechádzať cez výstupky 1, pretože je známe, že je rovnobežná s osou OX. Profilová projekcia S

3, 2 3 tých istých bodov  ABC a 2. Profilová čiara roviny 1 a spredu Profilová čiara roviny 2 výstupky rovnobežné s osami OY A OZ a projekcia profilu Profilová čiara roviny 3 možno získať spredu pomocou priesečníkov C a 3 s  ABC.

Pri konštrukcii hlavných línií roviny si musíte pamätať iba na jedno pravidlo: na vyriešenie problému musíte vždy získať dva priesečníky s danou rovinou. Konštrukcia hlavných línií ležiacich v rovine definovanej iným spôsobom nie je o nič zložitejšia, ako je uvedené vyššie. Na obr. Obrázok 2.8 znázorňuje konštrukciu vodorovnej a čelnej roviny vymedzenej dvoma pretínajúcimi sa priamkami lietadlo A 1. Preto pointa.

Ryža. 2.8. Konštrukcia hlavných čiar roviny definovanej pretínajúcimi sa priamkami.

Ryža. 3.2Relatívna poloha čiar

Čiary v priestore môžu voči sebe zaberať jednu z troch pozícií:

1) byť paralelné;

2) pretínajú sa;

3) krížiť sa.

Paralelnésa nazývajú priame čiary, ktoré ležia v rovnakej rovine a nemajú žiadne spoločné body.

Ak sú čiary navzájom rovnobežné, potom na KN sú rovnobežné aj ich výbežky s rovnakým názvom (pozri časť 1.2).

Pretínajúce sasa nazývajú priame čiary, ktoré ležia v rovnakej rovine a majú jeden spoločný bod.

Pri pretínajúcich sa čiarach na KN sa výbežky rovnakého mena pretínajú v výbežkoch bodu , ktorá pretína jednu zo strán trojuholníka a bod. Okrem toho čelné () a horizontálne () projekcie tohto bodu musia byť na rovnakej komunikačnej línii.

Kríženiesa nazývajú rovné čiary ležiace v rovnobežné roviny a nemajú spoločné body.

Ak sa priamky pretínajú, tak na KN sa ich výbežky rovnakého mena môžu pretínať, ale priesečníky výbežkov rovnakého mena nebudú ležať na tej istej spojovacej línii.

Na obr. 3,4 bodu 1, pretože je známe, že je rovnobežná s osou OX. Profilová projekcia patrí do línie b a bod D- rovný lietadlo. Tieto body sú v rovnakej vzdialenosti od čelnej roviny projekcií. Podobne ako bod E A F patria k rôznym čiaram, ale sú v rovnakej vzdialenosti od horizontálnej roviny projekcií. Preto sa na KN ich čelné projekcie zhodujú.

Existujú dva možné prípady umiestnenia bodu vzhľadom na rovinu: bod môže do roviny patriť alebo do nej nepatriť (obr. 3.5).

Znak príslušnosti bodu a priamej roviny:

Bod patrí rovine, ak patrí k priamke ležiacej v tejto rovine.

Priamka patrí k rovine, ak má s ňou dva spoločné body alebo má s ňou jeden spoločný bod a je rovnobežná s inou priamkou ležiacou v tejto rovine.

Na obr. 3.5 znázorňuje rovinu a body D A Ryža. 2.6. Úlohy na určenie, či bod patrí do priamej roviny.. Bodka D patrí do roviny, pretože patrí k čiare l, ktorá má s touto rovinou dva spoločné body - 1 A , ktorá pretína jednu zo strán trojuholníka a bod. Bodka Ryža. 2.6. Úlohy na určenie, či bod patrí do priamej roviny. nepatrí do lietadla, lebo nie je možné cez ňu nakresliť priamku ležiacu v danej rovine.

Na obr. 3.6 znázorňuje rovinu a priamku t, ležiace v tejto rovine, pretože má s ňou spoločný bod 1 a rovnobežne s čiarou lietadlo.

Na karteziánsky súčin, kde M je množina bodov, zavedieme 3 - miestny postoj d. Ak do tohto vzťahu patrí usporiadaná trojica bodov (A, B, C), potom povieme, že bod B leží medzi bodmi A a C a použijeme označenie: A-B-C. Zavedený vzťah musí spĺňať nasledujúce axiómy:

Ak bod B leží medzi bodmi A a C, potom A, B, C sú tri rôzne body na tej istej priamke a B leží medzi C a A.

Nech sú body A a B akékoľvek, existuje aspoň jeden bod C taký, že B leží medzi A a C.

Medzi ľubovoľnými tromi bodmi na priamke je najviac jeden, ktorý leží medzi ostatnými dvoma.

Na sformulovanie poslednej, štvrtej axiómy druhej skupiny je vhodné zaviesť nasledujúci pojem.

Definícia 3.1. Úsečkou (podľa Hilberta) rozumieme dvojicu bodov AB. Body A a B budeme nazývať koncami úsečky, body ležiace medzi jej koncami - vnútorné body úsečky alebo jednoducho body úsečky a body priamky AB, ktoré neležia medzi koncami. A a B - vonkajšie body segmentu.

. (Pashova axióma) Nech A, B a C sú tri body, ktoré neležia na tej istej priamke a l je priamka roviny ABC prechádzajúca týmito bodmi. Potom, ak priamka l prechádza bodom na úsečke AB, potom obsahuje buď bod na úsečke AC alebo bod na úsečke BC.

Z axióm prvej a druhej skupiny vyplýva pomerne veľa. geometrické vlastnosti body, čiary a segmenty. Dá sa dokázať, že každý úsečka má aspoň jeden vnútorný bod, medzi tromi bodmi na priamke je vždy jeden a len jeden leží medzi dvoma ďalšími, medzi dvoma bodmi na priamke je vždy nekonečne veľa bodov, čo znamená, že je nekonečne veľa veľa bodov na priamke. Dá sa tiež dokázať, že tvrdenie Pashovej axiómy platí aj pre body ležiace na tej istej priamke: ak body A, B a C patria tej istej priamke, priamka l týmito bodmi neprechádza a pretína jednu z úsečiek. napríklad AB vo vnútornom bode, potom pretína buď segment AC alebo segment BC vo vnútornom bode. Všimnite si tiež, že z axióm prvej a druhej skupiny nevyplýva, že množina bodov na priamke je nespočetná. Pre tieto tvrdenia nebudeme poskytovať dôkazy. Čitateľ sa s nimi môže zoznámiť v príručkách, a. Zastavme sa podrobnejšie pri základných geometrických pojmoch, a to lúč, polrovina a polpriestor, ktoré sú zavedené pomocou axióm príslušnosti a poriadku.

Nasledujúce tvrdenie je pravdivé:

Bod O priamky l rozdeľuje množinu zostávajúcich bodov tejto priamky na dve neprázdne podmnožiny tak, že pre ľubovoľné dva body A a B patriace tej istej podmnožine je bod O vonkajším bodom segmentu AB a dva body C a D patriace do rôznych podmnožín, bod O je vnútorným bodom segmentu CD.

Každá z týchto podmnožín je tzv lúč priamka l so začiatkom v bode O. Lúče budeme označovať h, l, k, ...OA, OB, OC,..., kde O je začiatok lúča a A, B a C sú body lúča. Dôkaz tohto tvrdenia poskytneme neskôr, v časti 7, ale s použitím inej axiomatiky trojrozmerného euklidovského priestoru. Pojem lúč nám umožňuje určiť najdôležitejšie geometrický objekt- roh.

Definícia 3.2.Uhlom (podľa Hilberta) rozumieme dvojicu lúčov h a k, majúcich všeobecný začiatok A nie ležať na rovnakej priamke.

Bod O sa nazýva vrchol uhla a lúče h a k sú jeho strany. Pre uhly budeme používať označenie . Zoberme si najdôležitejší pojem elementárnej geometrie - pojem polroviny.

Veta 3.1.Priamka a ležiaca v rovine a rozdeľuje svoju množinu bodov nepatriacich do priamky na dve neprázdne podmnožiny, takže ak body A a B patria do tej istej podmnožiny, potom úsečka AB nemá žiadne spoločné body s priamkou l a ak body A a B patria do rôznych podmnožín, potom úsečka AB pretína priamku l v jej vnútornom bode.

Dôkaz. Pri dôkaze použijeme nasledujúcu vlastnosť vzťahu ekvivalencie. Ak sa na určitej množine zavedie binárna relácia, ktorá je reláciou ekvivalencie, t.j. spĺňa podmienky reflexivity, symetrie a tranzitivity, potom sa celá množina rozdelí na disjunktné podmnožiny – triedy ekvivalencie a do tej istej triedy patria ľubovoľné dva prvky práve vtedy, ak sú ekvivalentné.

Uvažujme množinu bodov roviny, ktoré nepatria do priamky a. Budeme predpokladať, že dva body A a B sú v binárnom vzťahu d: AdB práve vtedy, ak na úsečke AB nie sú žiadne vnútorné body, ktoré patria do priamky a. Uvažujme tiež Znamená to, že každý bod je v binárnom vzťahu d sám so sebou. Ukážme, že pre každý bod A, ktorý nepatrí do priamky a, existujú body odlišné od A, a to tie, ktoré sú, aj tie, ktoré s ňou nie sú v binárnom vzťahu. Zvoľme si ľubovoľný bod P na priamke a (pozri obr. 6). Potom, v súlade s axiómou, existuje bod B na priamke AP taký, že P-A-B. Priamka AB pretína a v bode P, ktorý neleží medzi bodmi A a B, preto body A a B sú vo vzťahu d. V súlade s rovnakou axiómou existuje bod C taký, že A-R-C. Preto bod P leží medzi A a C, body A a C nie sú vo vzťahu k d.

Dokážme, že relácia d je relácia ekvivalencie. Podmienka reflexivity je evidentne splnená vďaka definícii binárneho vzťahu d: AdA. Nech sú body A a B vo vzťahu d. Potom nie sú žiadne body na priamke a na segmente AB. Z toho vyplýva, že na úsečke BA nie sú žiadne body na priamke a, teda BdA, vzťah symetrie je splnený. Nakoniec nech sú uvedené tri body A, B a C, teda AdB a BdC. Ukážme, že body A a C sú v binárnom vzťahu d. Predpokladajme opak, na úsečke AC je bod P priamky a (obr. 7). Potom na základe axiómy, Pashovej axiómy, priamka a pretína buď úsečku BC, alebo úsečku AB (na obr. 7 priamka a pretína úsečku BC). Dospeli sme k rozporu, keďže z podmienok АdВ a ВdС vyplýva, že priamka а tieto úseky nepretína. Vzťah d je teda vzťahom ekvivalencie a rozdeľuje množinu bodov roviny, ktoré nepatria do priamky a, do tried ekvivalencie.

Skontrolujte, či existujú presne dve takéto triedy ekvivalencie. Na to stačí dokázať, že ak body A a C a B a C nie sú ekvivalentné, potom body A a B sú si navzájom ekvivalentné. Keďže body A a C a B a C nie sú vo vzťahu ekvivalencie d, priamka a pretína úsečky AC a BC v bodoch P a Q (pozri obr. 7). Ale potom, na základe Pashovej axiómy, táto čiara nemôže pretínať segment AB. Preto sú body A a B navzájom ekvivalentné. Veta bola dokázaná.

Každá z tried ekvivalencie definovaných vo vete 3.2 sa volá polorovina. Akákoľvek priamka roviny ju teda rozdeľuje na dve polroviny, na ktoré slúži hranica.

Podobne ako pojem polrovina sa zavádza aj pojem polpriestor. Je dokázaná veta, ktorá hovorí, že akákoľvek rovina a priestoru rozdeľuje body v priestore na dve množiny. Úsečka, ktorej konce sú bodmi jednej množiny, nemá spoločné body s rovinou a. Ak konce úsečky patria do rôznych množín, potom má takáto úsečka ako vnútro rovinný bod a. Dôkaz tohto tvrdenia je podobný dôkazu vety 3.2, nebudeme ho uvádzať.

Definujme pojem vnútorného bodu uhla. Nech je daný uhol. Uvažujme priamku OA obsahujúcu lúč OA, stranu tohto uhla. Je zrejmé, že bod lúča OB patrí do rovnakej polroviny a relatívne k priamke OA. Podobne body lúča OA, strany daného uhla, patria do tej istej polroviny b, ktorej hranica je priamy OB (obr. 8). Body patriace priesečníku polrovín a a b sa nazývajú vnútorné body rohu. Na obrázku 8 je bod M vnútorným bodom. Množina všetkých vnútorných bodov uhla sa nazýva jeho vnútorný priestor. Lúč, ktorého vrchol sa zhoduje s vrcholom uhla a ktorého všetky body sú vnútorné, sa nazýva vnútorný nosník rohu. Obrázok 8 znázorňuje vnútorný lúč h uhla AOB.

Nasledujúce tvrdenia sú pravdivé.

1 0 . Ak lúč začínajúci vo vrchole uhla obsahuje aspoň jeden zo svojich vnútorných bodov, potom ide o vnútorný lúč tohto uhla.

2 0 . Ak sú konce segmentu umiestnené na dvoch rôznych stranách uhla, potom akýkoľvek vnútorný bod segmentu je vnútorným bodom uhla.

3 0 . Akýkoľvek vnútorný lúč uhla pretína segment, ktorého konce sú po stranách uhla.

Dôkazom týchto tvrdení sa budeme zaoberať neskôr, v odseku 5. Pomocou axióm druhej skupiny sa definujú pojmy prerušovaná čiara, trojuholník, mnohouholník, pojem vnútornej oblasti jednoduchého mnohouholníka a je dokázané, že jednoduchý mnohouholník rozdeľuje rovinu na dve oblasti, vnútornú a vonkajšiu.

Tretiu skupinu Hilbertových axióm trojrozmerného euklidovského priestoru tvoria takzvané kongruenčné axiómy. Nech S je množina úsečiek, A množina uhlov. Na karteziánskych súčinoch zavedieme binárne vzťahy, ktoré budeme nazývať vzťah kongruencie.

Všimnite si, že takto zavedený vzťah nie je vzťahom hlavných predmetov uvažovanej axiomatiky, t.j. body priamok a rovín. Tretiu skupinu axióm je možné zaviesť až vtedy, keď sú definované pojmy segment a uhol, t.j. bola zavedená prvá a druhá skupina Hilbertových axióm.

Dohodnime sa tiež, že zhodné úsečky alebo uhly budeme nazývať aj geometricky rovnaké alebo jednoducho rovnaké úsečky alebo uhly, ak to nevedie k nedorozumeniam, nahradíme výrazom zhodné a označíme ho ; symbol „=“.