Vida r= f(x), x O N, Kde N– veľa prirodzené čísla(alebo funkcia prirodzeného argumentu), označovaná r=f(n) alebo r 1 ,r 2 ,…, y n,…. hodnoty r 1 ,r 2 ,r 3 ,… sa nazývajú prvý, druhý, tretí, ... člen postupnosti.

Napríklad pre funkciu r= n 2 možno napísať:

r 1 = 1 2 = 1;

r 2 = 2 2 = 4;

r 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Metódy špecifikácie sekvencií. Je možné špecifikovať sekvencie rôznymi spôsobmi, medzi ktorými sú obzvlášť dôležité tri: analytický, popisný a opakujúci sa.

1. Postupnosť je daná analyticky, ak je daný jej vzorec nčlen:

y n=f(n).

Príklad. y n= 2n – 1 – postupnosť nepárnych čísel: 1, 3, 5, 7, 9, …

2. Opisný Spôsob, ako špecifikovať číselnú postupnosť, je vysvetliť, z ktorých prvkov je postupnosť zostavená.

Príklad 1. „Všetky členy postupnosti sa rovnajú 1.“ to znamená, hovoríme o o stacionárnej postupnosti 1, 1, 1, …, 1, ….

Príklad 2: „Sekvencia pozostáva zo všetkých prvočísel vo vzostupnom poradí.“ Daná postupnosť je teda 2, 3, 5, 7, 11, …. Pri tejto metóde špecifikácie postupnosti v tomto príklade je ťažké odpovedať, čomu sa rovná povedzme 1000. prvok postupnosti.

3. Opakovanou metódou určenia postupnosti je zadanie pravidla, ktoré vám umožní počítať n-tý člen postupnosti, ak sú známe jeho predchádzajúce členy. Názov rekurentná metóda pochádza z latinského slova opakujúce sa- vráť sa. Najčastejšie sa v takýchto prípadoch uvádza vzorec, ktorý umožňuje vyjadriť sa nčlena sekvencie cez predchádzajúce a špecifikujte 1–2 počiatočné členy sekvencie.

Príklad 1 r 1 = 3; y n = y n–1 + 4 ak n = 2, 3, 4,….

Tu r 1 = 3; r 2 = 3 + 4 = 7;r 3 = 7 + 4 = 11; ….

Môžete vidieť, že sekvenciu získanú v tomto príklade možno špecifikovať aj analyticky: y n= 4n – 1.

Príklad 2 r 1 = 1; r 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 ak n = 3, 4,….

tu: r 1 = 1; r 2 = 1; r 3 = 1 + 1 = 2; r 4 = 1 + 2 = 3; r 5 = 2 + 3 = 5; r 6 = 3 + 5 = 8;

Postupnosť v tomto príklade je študovaná najmä v matematike, pretože má množstvo zaujímavých vlastností a aplikácií. Nazýva sa Fibonacciho postupnosť, pomenovaná podľa talianskeho matematika z 13. storočia. Je veľmi ľahké definovať Fibonacciho sekvenciu opakovane, ale veľmi ťažké analyticky. n Fibonacciho číslo je vyjadrené prostredníctvom jeho poradového čísla nasledujúcim vzorcom.

Na prvý pohľad vzorec pre n Fibonacciho číslo sa zdá byť nepravdepodobné, pretože samotný vzorec, ktorý určuje postupnosť prirodzených čísel, obsahuje odmocniny, ale platnosť tohto vzorca môžete pre prvých pár skontrolovať „ručne“. n.

Vlastnosti číselných radov.

Číselná postupnosť – špeciálny prípadčíselná funkcia, preto sa pri postupnostiach uvažuje aj o množstve vlastností funkcií.

Definícia . Následná sekvencia ( y n} sa nazýva rastúci, ak každý z jeho členov (okrem prvého) je väčší ako predchádzajúci:

r 1 r 2 r 3 r n n +1

Definícia.Sekvencia ( y n} sa nazýva klesajúci, ak každý z jeho členov (okrem prvého) je menší ako predchádzajúci:

r 1 > r 2 > r 3 > … > y n> y n +1 > … .

Rastúce a klesajúce sekvencie sa spájajú pod spoločný pojem - monotónne sekvencie.

Príklad 1 r 1 = 1; y n= n 2 – rastúca postupnosť.

Nasledujúca veta je teda pravdivá (charakteristická vlastnosť aritmetickej progresie). Postupnosť čísel je aritmetická vtedy a len vtedy, ak sa každý z jej členov, okrem prvého (a posledného v prípade konečnej postupnosti), rovná aritmetickému priemeru predchádzajúceho a nasledujúceho člena.

Príklad. V akej hodnote xčísla 3 x + 2, 5x- 4 a 11 x+ 12 tvorí konečnú aritmetickú postupnosť?

Podľa charakteristickej vlastnosti musia dané výrazy vyhovovať vzťahu

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Riešenie tejto rovnice dáva x= –5,5. Pri tejto hodnote x dané výrazy 3 x + 2, 5x- 4 a 11 x+ 12 naberá hodnoty –14,5, –31,5, –48,5. toto - aritmetická progresia, jeho rozdiel je –17.

Geometrická progresia.

Číselná postupnosť, ktorej všetky členy sú nenulové a každý z nich, počnúc druhým, sa získa z predchádzajúceho člena vynásobením rovnakým číslom q, volal geometrická progresia, a číslo q- menovateľ geometrickej postupnosti.

Geometrický postup je teda postupnosť čísel ( b n), definované rekurzívne vzťahmi

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(b A q – dané čísla, b ≠ 0, q ≠ 0).

Príklad 1. 2, 6, 18, 54, ... – rastúca geometrická postupnosť b = 2, q = 3.

Príklad 2. 2, –2, 2, –2, … – geometrická progresia b= 2,q= –1.

Príklad 3. 8, 8, 8, 8, … – geometrická progresia b= 8, q= 1.

Geometrický postup je rastúca postupnosť, ak b 1 > 0, q> 1 a znižovaním, ak b 1 > 0, 0 q

Jeden z zrejmé vlastnosti geometrická postupnosť je, že ak je postupnosť geometrickou postupnosťou, tak postupnosť štvorcov, t.j.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,... je geometrická postupnosť, ktorej prvý člen sa rovná b 1 2 a menovateľ je q 2 .

Vzorec n- tý člen geometrickej postupnosti má tvar

b n= b 1 qn– 1 .

Môžete získať vzorec pre súčet členov konečnej geometrickej postupnosti.

Nech je daná konečná geometrická postupnosť

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

nech S n – súčet jej členov, t.j.

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

To sa uznáva qč 1. Určiť S n používa sa umelá technika: vykonajú sa niektoré geometrické transformácie výrazu S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

teda S n q= S n +b n q – b 1 a preto

Toto je vzorec s umma n z hľadiska geometrickej progresie pre prípad, keď q≠ 1.

O q= 1 vzorec sa nemusí odvodzovať samostatne, je zrejmé, že v tomto prípade S n= a 1 n.

Postupnosť sa nazýva geometrická, pretože každý člen v nej, okrem prvého, sa rovná geometrickému priemeru predchádzajúcich a nasledujúcich členov. Skutočne, odvtedy

bn=bn- 1 q;

bn = bn+ 1 /q,

teda, b n 2=bn– 1 miliárd + 1 a platí nasledujúca veta (charakteristická vlastnosť geometrickej postupnosti):

číselná postupnosť je geometrická postupnosť vtedy a len vtedy, ak druhá mocnina každého z jej členov, okrem prvého (a posledného v prípade konečnej postupnosti), sa rovná súčinu predchádzajúcich a nasledujúcich členov.

Limit konzistencie.

Nech existuje postupnosť ( c n} = {1/n}. Táto postupnosť sa nazýva harmonická, pretože každý z jej členov, počnúc druhým, je harmonickým priemerom medzi predchádzajúcimi a nasledujúcimi členmi. Priemerná geometrické čísla a A b je tam číslo

V opačnom prípade sa postupnosť nazýva divergentná.

Na základe tejto definície je možné napríklad dokázať existenciu limity A = 0 pre harmonickú postupnosť ( c n} = {1/n). Nech ε je ľubovoľne malé kladné číslo. Rozdiel sa zvažuje

Existuje niečo také? N to je pre všetkých n ≥ N nerovnosť 1 platí /N ? Ak to berieme ako N akékoľvek prirodzené číslo väčšie ako 1/ε , teda pre všetkých n ≥ N nerovnosť 1 platí /n ≤ 1/N ε , Q.E.D.

Dokázanie prítomnosti limitu pre konkrétnu sekvenciu môže byť niekedy veľmi ťažké. Najčastejšie sa vyskytujúce sekvencie sú dobre preštudované a sú uvedené v referenčných knihách. Existujú dôležité vety, ktoré vám umožňujú dospieť k záveru, že daná postupnosť má limitu (a dokonca ju vypočítať), na základe už preštudovaných postupností.

Veta 1. Ak má postupnosť limitu, potom je ohraničená.

Veta 2. Ak je postupnosť monotónna a ohraničená, potom má limitu.

Veta 3. Ak postupnosť ( a n} má limit A, potom sekvencie ( ca n}, {a n+ c) a (| a n|} mať limity cA, A +c, |A| podľa toho (tu c– ľubovoľné číslo).

Veta 4. Ak postupnosti ( a n} a ( b n) majú limity rovné A A B pa n + qbn) má limit pA+ qB.

Veta 5. Ak postupnosti ( a n) A ( b n) majú limity rovné A A B podľa toho potom postupnosť ( a n b n) má limit AB.

Veta 6. Ak postupnosti ( a n} a ( b n) majú limity rovné A A B podľa toho a okrem toho b n ≠ 0 a B≠ 0, potom postupnosť ( a n / b n) má limit A/B.

Anna Chugainová

Následná sekvencia

Následná sekvencia- Toto súprava prvky nejakej sady:

• pre každé prirodzené číslo môžete určiť prvok danej množiny;
• toto číslo je číslo prvku a označuje pozíciu tohto prvku v poradí;
• Pre ktorýkoľvek prvok (člen) sekvencie môžete zadať ďalší prvok sekvencie.

Výsledkom je teda postupnosť konzistentné výber prvkov daného súboru. A ak je ľubovoľná množina prvkov konečná a hovoríme o vzorke konečného objemu, potom sa postupnosť ukáže ako vzorka nekonečného objemu.

Sekvencia je svojou povahou mapovanie, takže by sa nemala zamieňať s množinou, ktorá „prebieha“ sekvenciou.

V matematike sa uvažuje o mnohých rôznych postupnostiach:

• časové rady číselnej aj nečíselnej povahy;
• postupnosti prvkov metrického priestoru
• sekvencie prvkov funkčného priestoru
• postupnosti stavov riadiacich systémov a strojov.

Účelom štúdia všetkých možných sekvencií je hľadať vzory, predpovedať budúce stavy a vytvárať sekvencie.

Definícia

Nech je daný určitý súbor prvkov ľubovoľnej povahy. | Zavolá sa akékoľvek zobrazenie z množiny prirodzených čísel do danej množiny sekvencie(prvky súpravy).

Obraz prirodzeného čísla, konkrétne prvku, sa nazýva - th členom alebo sekvenčný prvok a poradové číslo člena postupnosti je jeho index.

Súvisiace definície

• Ak vezmeme rastúcu postupnosť prirodzených čísel, potom ju možno považovať za postupnosť indexov nejakej postupnosti: ak vezmeme prvky pôvodnej postupnosti so zodpovedajúcimi indexmi (prevzatými z rastúcej postupnosti prirodzených čísel), potom môže opäť získať sekvenciu tzv podsekvencia daná sekvencia.

Komentáre

• V matematickej analýze je dôležitý pojem limita číselnej postupnosti.

Označenia

Sekvencie formulára

Je obvyklé písať kompaktne pomocou zátvoriek:

alebo

Kučeravé zátvorky sa niekedy používajú:

Umožňujúc určitú slobodu prejavu, môžeme tiež uvažovať o konečných postupnostiach formy

,

ktoré predstavujú obraz počiatočného segmentu postupnosti prirodzených čísel.

Pozri tiež

Nadácia Wikimedia.

2010.:

Synonymá

Pozrite sa, čo je „Sekvencia“ v iných slovníkoch:

NÁSLEDOK. V článku I. V. Kireevského „Devätnáste storočie“ (1830) čítame: „Od samého pádu Rímskej ríše až po naše časy sa nám osvietenie Európy javí v postupnom vývoji a v nepretržitom slede“ (zv. 1, s. ... ... História slov SEKVENCIA, sequences, plurál. nie, samica (kniha). roztržitý podstatné meno na sekvenčné. Sled udalostí. Konzistentnosť v meniacich sa prílivoch a odlivoch. Dôslednosť v uvažovaní. Slovník Ushakova......

Ušakovov vysvetľujúci slovník Stálosť, kontinuita, logika; rad, postup, záver, séria, reťazec, otočka, reťaz, reťaz, kaskáda, štafeta; vytrvalosť, platnosť, súbor, metodickosť, usporiadanie, harmónia, húževnatosť, podsekvencia, spojenie, rad,... ...

Slovník synoným SEKVENCIA, čísla alebo prvky usporiadané organizovaným spôsobom. Postupnosti môžu byť konečné (s obmedzeným počtom prvkov) alebo nekonečné, ako napríklad úplná postupnosť prirodzených čísel 1, 2, 3, 4 ........ ...

Vedecko-technický encyklopedický slovník SEQUENCE, súbor čísel ( matematické výrazy atď.; hovoria: prvky akejkoľvek povahy), očíslované prirodzenými číslami. Postupnosť sa zapisuje ako x1, x2,..., xn,... alebo stručne (xi) ...

Moderná encyklopédia Jeden zo základných pojmov matematiky. Postupnosť tvoria prvky ľubovoľného charakteru, očíslované prirodzenými číslami 1, 2, ..., n, ... a zapísané ako x1, x2, ..., xn, ... alebo stručne (xn) . ..

Následná sekvencia Veľký encyklopedický slovník - SEKVENCIA, množina čísel (matematické výrazy a pod.; hovoria: prvky akejkoľvek povahy), číslované prirodzenými číslami. Postupnosť sa zapisuje ako x1, x2, ..., xn, ... alebo stručne (xi). ...

Ilustrovaný encyklopedický slovník SEQUENCE, a, samica. 1. Pozri sekvenčné. 2. V matematike: nekonečná usporiadaná množina čísel. Ozhegovov výkladový slovník. S.I. Ozhegov, N.Yu. Švedova. 1949 1992 …

Ozhegovov výkladový slovník angličtina postupnosť/sekvencia; nemecký Konsequenz. 1. Poradie jedného po druhom. 2. Jeden zo základných pojmov matematiky. 3. Kvalita je správna logické myslenie Encyklopédia sociológie

Následná sekvencia- „funkcia definovaná na množine prirodzených čísel, ktorej množina hodnôt môže pozostávať z prvkov akejkoľvek povahy: čísla, body, funkcie, vektory, množiny, náhodné premenné atď., očíslované prirodzenými číslami... Ekonomický a matematický slovník

knihy

• Vytvárame postupnosť. Mačiatka. 2-3 roky. Hra "Mačiatka". Vytvárame postupnosť. Úroveň 1. séria" Predškolská výchova". Veselé mačiatka sa rozhodli opaľovať na pláži! Ale jednoducho nedokážu rozdeliť priestor. Pomôžte im to zistiť!…

Ak je funkcia definovaná na množine prirodzených čísel N, potom sa takáto funkcia nazýva nekonečná postupnosť čísel. Typicky sa číselná postupnosť označuje ako (Xn), kde n patrí do množiny prirodzených čísel N.

Číselná postupnosť môže byť určená vzorcom. Napríklad Xn=1/(2*n). Každé prirodzené číslo n teda spájame s určitým prvkom postupnosti (Xn).

Ak teraz postupne vezmeme n rovné 1,2,3, …., dostaneme postupnosť (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), …

Typy sekvencií

Postupnosť môže byť obmedzená alebo neobmedzená, rastúca alebo klesajúca.

Sekvencia (Xn) volá obmedzený, ak existujú dve čísla m a M také, že pre ľubovoľné n patriace do množiny prirodzených čísel bude platiť rovnosť m<=Xn

sekvencia (Xn), nebyť obmedzený, nazývaná neobmedzená postupnosť.

rastúce, ak pre všetky prirodzené n platí rovnosť X(n+1) > Xn. Inými slovami, každý člen postupnosti, počnúc druhým, musí byť väčší ako predchádzajúci člen.

Zavolá sa postupnosť (Xn). klesajúci, ak pre všetky prirodzené n platí nasledujúca rovnosť X(n+1).< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.

Príklad sekvencie

Skontrolujme, či postupnosti 1/n a (n-1)/n klesajú.

Ak je postupnosť klesajúca, potom X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.

X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.

(n-1)/n:

X(n+1) - Xn = n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. To znamená postupnosť (n-1)/n sa zvyšuje.

Nechaj X (\displaystyle X) je buď množina reálnych čísel R (\displaystyle \mathbb (R) ) alebo súpravu komplexné čísla C (\displaystyle \mathbb (C) ). Potom postupnosť ( x n ) n = 1 ∞ (\displaystyle \(x_(n)\)_(n=1)^(\infty )) prvky súpravy X (\displaystyle X) volal číselná postupnosť.

Príklady

Operácie na sekvenciách

Následky

Následná sekvencia sekvencie (x n) (\displaystyle (x_(n)))- toto je postupnosť (x n k) (\displaystyle (x_(n_(k)))), Kde (n k) (\displaystyle (n_(k)))- rastúca postupnosť prvkov množiny prirodzených čísel.

Inými slovami, podsekvencia sa získa zo sekvencie odstránením konečného alebo spočítateľného počtu prvkov.

Príklady

• Postupnosť prvočísel je podsekvenciou postupnosti prirodzených čísel.
• Postupnosť prirodzených čísel, násobky , je podsekvenciou postupnosti párnych prirodzených čísel.

Vlastnosti

Limitný bod sekvencie je bod v ktoromkoľvek okolí, v ktorom je nekonečne veľa prvkov tejto postupnosti. Pre konvergentné postupnosti čísel sa limitný bod zhoduje s limitou.

Limit sekvencie

Limit sekvencie - ide o objekt, ku ktorému sa pri zvyšovaní čísla približujú členovia postupnosti. V ľubovoľnom topologickom priestore je teda limita postupnosti prvkom, v ktorého okolí ležia všetky členy postupnosti od určitého bodu. Najmä pre číselné postupnosti je limita číslo, v ktorého okolí ležia všetky členy postupnosti začínajúce od určitého bodu.

Základné sekvencie

Základná postupnosť (konvergentná postupnosť , Cauchyho sekvencia ) je postupnosť prvkov metrického priestoru, v ktorom pre akúkoľvek vopred danú vzdialenosť existuje prvok, ktorého vzdialenosť k žiadnemu z nasledujúcich prvkov nepresahuje danú vzdialenosť. Pre číselné postupnosti sú pojmy základných a konvergentných postupností ekvivalentné, ale vo všeobecnosti to tak nie je.