V tejto video lekcii som podrobne analyzoval dosť vážny problém 15 z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky, ktorý obsahuje logaritmické aj zlomkovo-racionálne nerovnosti. Osobitná pozornosť je venovaná Bezoutovej vete (na hľadanie koreňov polynómu), ako aj metóde delenia polynómov rohom (na faktorizáciu).

V tejto lekcii budeme analyzovať systém dvoch nerovností z Jednotnej štátnej skúšky z matematiky:

⎧⎩⎨⎪⎪ log7-2x(x+6) ≤0x− x-3x+6−x2 +27x+90x2 +8x+12≤−1 \left\( \begin(align)& ((\log )_(7-2x))\left(x+6 \right)\le 0 \\& x-\frac(x-3)(x+6 )-\frac(((x)^(2))+27x+90)(((x)^(2))+8x+12)\le -1 \\\koniec(zarovnanie) \vpravo.

Riešenie systému nerovností

Ako vidíte, systém pozostáva z logaritmickej nerovnosti aj klasickej zlomkovo-racionálnej nerovnosti, no v procese riešenia zistíme, že táto nerovnosť nie je taká jednoduchá, ako by sa na prvý pohľad mohlo zdať. Začnime logaritmikou. Aby sme to dosiahli, napíšeme to samostatne:

log7-2x(x+6) ≤ 0

((\log )_(7-2x))\left(x+6 \right)\le \text( )0

Ako každý logaritmická nerovnosť, je táto konštrukcia redukovaná na kanonická forma t.j. naľavo necháme všetko nezmenené, ale napravo to napíšeme takto:

log7-2x(x+6) ≤ log7-2x 1

((\log )_(7-2x))\vľavo(x+6 \vpravo)\le ((\log )_(7-2x))1

Ako používať racionalizačnú metódu

Teraz použijeme racionalizačnú metódu. Pripomínam, že ak máme nerovnosť formy

logk (x) f(x)⋃ logk (x) g(x),

((\log )_(k\vľavo(x \vpravo)))f\vľavo(x \vpravo)\bigcup ((\log )_(k\vľavo(x \vpravo)))g\vľavo(x \ správne),

potom môžeme prejsť na túto konštrukciu:

(f (x) −g(x) )(k (x)-1)⋃0

\left(f\left(x \right)-g\left(x \right) \right)\left(k\left(x \right)-1 \right)\bigcup 0

Samozrejme, táto nerovnosť neberie do úvahy oblasť definície logaritmu:

f (x) >0

f\left(x\right)>0

g (x) >0

g\left(x\right)>0

1≠k (x) >0

1\ne k\vľavo(x\vpravo)>0

Takže v úlohe f (x) f\left(x\right) pôsobí lineárna funkcia x+6 x+6 a v úlohe g (x) g\left(x\right) je jednoducho 1. Preto prepíšeme našu logaritmickú nerovnosť systému takto:

(x+6-1) (7-2x-1)

\left(x+6-1 \right)\left(7-2x-1 \right)

Posledná 1 je tá x−1 x-1, ktorý je v druhej zátvorke. Všetky sú menšie alebo rovné 0. Znamienko nerovnosti pri vykonávaní tejto transformácie je uložený. Tu sú podobné v každej zátvorke:

(x+5) (6−2x) ≤0

\left(x+5 \right)\left(6-2x \right)\le 0

Aplikácia intervalovej metódy

Je zrejmé, že máme jednoduchú nerovnosť, ktorá sa dá ľahko vyriešiť intervalovou metódou. Prirovnajme každú zátvorku k 0:

(+5) =0→= −5

\left(+5 \right)=0\to =-5

6−2=0→2=6

x=3

Všetky tieto body (sú dva také body) označme na súradnicovej čiare. Všimnite si, že sú zatienené:

Všimnime si znamenia. Ak to chcete urobiť, zoberte akékoľvek číslo väčšie ako 3. Prvé bude „mínus“. Potom sa znamenia striedajú všade, pretože neexistujú korene rovnomernej mnohosti. Zaujíma nás znamienko menšie alebo rovné, teda znamienko mínus. Natrite požadované plochy. Pripomeniem, že pri riešení nerovníc intervalovou metódou dosadíme 1 miliardu do posledného výrazu, ktorý sme získali pred prechodom na rovnice.

Tak sme našli sady. Ale, ako ste pochopili, toto ešte nie je riešenie nerovnosti. Teraz musíme nájsť doménu definície logaritmu. Aby sme to dosiahli, napíšeme nasledujúce funkcie:

Chybné vnorenie štruktúr rovníc

\left[ \begin(zarovnať)& x+6>0 \\& 7-2x>0 \\& 7-2x\ne 1 \\\end(zarovnať) \right.=>\left[ \begin(zarovnať )& x>-6 \\& 7>2x \\& 6\ne 2x \\\koniec(zarovnanie) \vpravo.=>\vľavo[ ​​\začiatok(zarovnanie)& \\& x<\text{ }3,5 \\& x\ne \text{ }3 \\\end{align} \right.

Dostali sme teda tri simultánne požiadavky, t.j. všetky tieto nerovnosti musia byť splnené súčasne. Narysujme čiaru rovnobežnú s našou kandidátskou odpoveďou:

Dostali sme konečnú odpoveď na prvý prvok systému:

(−6;−5] ⋃(3;3,5)

\left(-6,-5 \right]\bigcup \left(3,3,5 \right). V tomto bode má veľa študentov otázku. Pozrite, 3 - na jednej strane je vydlabaný, ale na na druhej strane je bod zafarbený. Ako ho teda označiť, aby ste sa s týmto problémom správne a raz a navždy vysporiadali, zapamätajte si jedno jednoduché pravidlo?

Čo znamená priesečník množín? Ide o sadu, ktorá je súčasne zaradená do prvej aj druhej sady. Inými slovami, pri vypĺňaní nižšie nakresleného obrázku hľadáme body, ktoré súčasne patria do prvého aj druhého riadku. V dôsledku toho, ak niektorý bod nepatrí aspoň do jednej z týchto čiar, potom bez ohľadu na to, ako vyzerá na druhej čiare, nevyhovuje nám. A najmä s 3 sa deje presne takýto príbeh: na jednej strane nám v kandidátoch na odpoveď vyhovuje bod 3, pretože je zatienený, ale na druhej strane je 3 odstránená kvôli doméne definícia logaritmu, a preto v konečnom súbore musí byť tento bod vylúštený. To je všetko, odpoveď na prvú logaritmickú nerovnosť systému je úplne oprávnená. Pre istotu to ešte raz duplikujem:

(−6;−5] ⋃(3;3,5)

\left(-6;-5 \right]\bigcup \left(3;3.5 \right)

Riešenie zlomkovej racionálnej nerovnosti

x− x-3x+6−x2 +27x+90x2 +8x+12≤−1 x-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(((x)^(2))+8x+12)\le - 1

Teraz posuňte -1 doľava:

x+1- x-3x+6−x2 +27x+90(x+6) (x+2)≤0 x+1-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(\vľavo(x+6 \vpravo)\vľavo(x+2) \vpravo))\le 0

x+1 1 −x-3x+6−x2 +27x+90(x+6) (x+2)≤0 \frac(x+1)(1)-\frac(x-3)(x+6)-\frac(((x)^(2))+27x+90)(\left(x+6 \right )\vľavo(x+2 \vpravo))\le 0

Celú štruktúru privádzame k spoločnému menovateľovi:

(x+1) (x+6) (x+2) −(x−3) (x+2) − (x2 +27x+90)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+1 \right)\left(x+6 \right)\left(x+2 \right)-\left(x-3 \right)\left(x+2 \right)- \left(((x)^(2))+27x+90 \right))(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0

Rozšírime zátvorky:

(x+2) ( (x+1) (x+6) −(x−3) )−x2 -27x-90(x+6) (x+2)≤0 \frac(\vľavo(x+2 \vpravo)\vľavo(\vľavo(x+1 \vpravo)\vľavo(x+6 \vpravo)-\vľavo(x-3 \vpravo) \vpravo)-((x )^(2))-27x-90)(\vľavo(x+6 \vpravo)\vľavo(x+2 \vpravo))\le 0

x3 +6x2 +9x+2 x2 +12x+18− x2 -27x-90(x+6) (x+2)≤0 \frac(((x)^(3))+6((x)^(2))+9x+2((x)^(2))+12x+18-((x)^(2)) -27x-90)(\vľavo(x+6 \vpravo)\vľavo(x+2 \vpravo))\le 0

x3 +7x2 −6x−72(x+6) (x+2)≤0 \frac(((x)^(3))+7((x)^(2))-6x-72)(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right))\le 0

Čo poviete na výslednú nerovnosť? Po prvé, je zlomkovo-racionálne, pričom menovateľ je už rozložený. Najlepšou možnosťou by preto bolo vyriešiť túto nerovnosť pomocou intervalovej metódy. Aby sme to však vyriešili intervalovou metódou, je potrebné rozložiť čitateľa na faktor. Toto je hlavný problém, pretože čitateľ je polynóm tretieho stupňa. Kto si pamätá vzorec pre korene tretieho stupňa? Osobne si to nepamätám. Ale toto nepotrebujeme.

Všetko, čo potrebujeme, je Bezoutova veta, alebo skôr nie samotná veta, ale jeden z jej najdôležitejších dôsledkov, ktorý hovorí nasledovné: ak má polynóm s celočíselnými koeficientmi koreň x1 ((x)_(1)), a je to celé číslo, potom bude voľný koeficient (v našom prípade 72) nutne vydelený x1 ((x)_(1)). Inými slovami, ak chceme nájsť korene tejto kubickej rovnice, potom všetko, čo musíme urobiť, je hrabať sa vo faktoroch, ktoré ovplyvňujú faktor 72.

Rozložme číslo 72 na prvočísla:

72=8⋅9=2⋅2⋅2⋅3⋅3

72=8\bodka 9=2\bodka 2\bodka 2\bodka 3\bodka 3

Takže musíme prejsť všetkými kombináciami dvojiek a trojíc, aby sme dostali aspoň jeden koreň nášho kubického výrazu. Na prvý pohľad sa môže zdať, že ide o kombinatorický problém, ale v skutočnosti nie je všetko také strašidelné. Začnime s minimálnym počtom:

x=2

Pozrime sa, či je odpoveď 2. Aby sme to dosiahli, spomeňme si, čo je koreň. Toto je číslo, ktoré po dosadení do polynómu zmení na 0. Dosaďte:

(2) =8+28−12−72<0

\left(2 \right)=8+28-12-72<0

Chápeme to x−2 x-2 nie je vhodné. Poďme ďalej. Vezmime si 4:

(4) =64+112−24−72>0

\left(4 \right)=64+112-24-72>0

x=4 x=4 tiež nie je koreňom našej konštrukcie.

Poďme ďalej. Ktorý je ďalší? x x rozoberieme? Na zodpovedanie tejto otázky si všimnime zaujímavý fakt: kedy x−2 x-2 náš polynóm bol záporný a pri x=4 x=4 sa ukázalo ako pozitívne. To znamená, že niekde medzi bodmi 2 a 4 náš polynóm pretína os x x. Inými slovami, niekde na tomto segmente sa naša zmení na 0. To znamená, že tento bod bude požadované číslo. Zamyslime sa nad tým, aké celé číslo leží medzi 4 a 2. Je zrejmé, že v expanzii sú prítomné iba 3 a 3, preto môže byť skutočne koreňom nášho výrazu. Zvážte túto možnosť:

x=3

(3) =27+63−18−72=90−90=0

\left(3 \right)=27+63-18-72=90-90=0

Výborne, naša hypotéza sa potvrdila. naozaj, x=3 x=3 je koreňom našej konštrukcie. Ale ako nám to pomôže faktor tohto polynómu? Veľmi jednoduché. Z tej istej Bezoutovej vety vyplýva, že ak x1 ((x)_(1)) je koreň polynómu p (x) p\left(x \right), to znamená, že môžeme napísať nasledovné:

x1 :p(x) =Q(x) (x- x1 )

((x)_(1)):p\vľavo (x \vpravo)=Q\vľavo (x \vpravo)\vľavo (x-((x)_(1)) \vpravo)

Inými slovami, vedieť x1 ((x)_(1)) môžeme tvrdiť, že pri rozklade nášho výrazu na faktory bude nevyhnutne existovať faktor x1 ((x)_(1)). V našom prípade môžeme napísať, že náš polynóm má nevyhnutne faktor pri jeho expanzii (x-3)\left(x-3 \right), pretože 3 je jeho koreň.

x3 +7x2 −6x−72x-3=x2 +10x+24\frac(((x)^(3))+7((x)^(2))-6x-72)(x-3)=((x)^(2))+10x+24

Inými slovami, svoju nerovnosť môžeme prepísať zo systému takto:

(x+3) (x2 +10x+24)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))+10x+24 \right))(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right ))\le 0

Všimnite si, že v druhej zátvorke čitateľa je štvorcová trojčlenka, ktorú možno tiež veľmi jednoducho rozložiť na faktor, dostaneme:

(x+3) (x+6) (x+4)(x+6) (x+2)≤0 \frac(\left(x+3 \right)\left(x+6 \right)\left(x+4 \right))(\left(x+6 \right)\left(x+2 \right) )\le 0

To je všetko, zostáva len napísať korene:

x=3

≠−6(2k)

\ne -6\left(2k \right)

=−4

≠−2

Všetky tieto body, ktoré by mohli byť riešením sústavy, označme na súradnici x x:

Aby sme určili znamienka, vezmeme akékoľvek číslo väčšie ako 3, dosadíme ho do každej z týchto zátvoriek a dostaneme päť kladných čísel, to znamená, že napravo od 3 je znamienko plus. Potom sa znamienka menia všade, ale v -6 sa nič nezmení, pretože -6 je koreň druhej násobnosti. Zaujímajú nás tie oblasti, kde je znamienko funkcie záporné, takže „mínusy“ tieňujeme.

Celkovo môžeme zapísať riešenie našej pôvodnej nerovnosti - bude to nasledovné:

(−∞;−6) ⋃(−6;−4] ⋃(−2;3]

\left(-\infty ;-6 \right)\bigcup \left(-6;-4 \right]\bigcup \left(-2;3 \right]

Záverečné kroky

Vyriešili sme druhú nerovnosť našej sústavy a teraz zostáva vyriešiť samotnú sústavu, teda pretínať množiny, ktoré sme získali. Na tento účel navrhujem postaviť ďalšiu čiaru paralelnú k našim dvom starým čiaram zodpovedným za logaritmickú nerovnosť zo systému:

Môžeme zapísať konečnú odpoveď druhého prvku systému nerovností: (−6;−5] \left(-6;-5 \right]. Teraz sa môžeme vrátiť do nášho systému a zapísať si konečnú množinu:

x∈ (−6; −5]

x\in \left(-6;\text( )-5 \right]

Kľúčové body

V tejto úlohe je niekoľko kľúčových bodov:

1. Musíte byť schopní vyriešiť logaritmické nerovnosti pomocou prechodu na kanonickú formu.
2. Musíte vedieť pracovať so zlomkovými racionálnymi nerovnosťami. Vo všeobecnosti ide o materiál 8. – 9. ročníka, takže ak pracujete s logaritmami, pochopíte zlomkové racionálne nerovnosti.
3. Bezoutova veta. Najdôležitejším dôsledkom tejto vety je skutočnosť, že korene polynómu s celočíselnými koeficientmi sú deliteľmi jeho voľného člena.

V opačnom prípade ide o jednoduchú, aj keď pomerne objemnú úlohu riešenia sústavy rovníc. Isté ťažkosti pri riešení sústavy môžu nastať aj v priesečníku všetkých množín, najmä tých, ktoré sú spojené s bodom 3. Tu je všetko veľmi jednoduché: len nezabudnite, že priesečník znamená požiadavku na súčasné splnenie všetkých nerovností, t.j. požadovaný bod musí byť tieňované na všetkých troch osiach. Ak aspoň na jednej osi nie je prefarbený alebo prerazený, potom takýto bod nemôže byť súčasťou odpovede.

Jednotná štátna skúška 2018. Matematika. Úroveň profilu. Riešenie rovníc a nerovníc. Sadovnichy Yu.V.

M.: 2018. - 96 s.

Táto kniha je venovaná problémom podobným úlohe 15 Jednotnej štátnej skúšky z matematiky (riešenie rovníc a nerovníc). Zvažujú sa rôzne metódy riešenia takýchto problémov, vrátane originálnych. Kniha bude užitočná pre študentov stredných škôl, učiteľov matematiky a tútorov.

Formát: pdf

Veľkosť: 860 kB

Sledujte, sťahujte:drive.google

OBSAH
ÚVOD 4
KAPITOLA 1. INTERVALOVÁ METÓDA RIEŠENIA NEROVNOSTÍ 6
Problémy na samostatné riešenie 10
KAPITOLA 2. ZVEREJNENIE MODULOV V ROVNICI A NEROVNOSTIACH 13
Problémy na samostatné riešenie 23
KAPITOLA 3. IRACIONÁLNE ROVNICE A NEROVNOSTI 25
Problémy na samostatné riešenie 33
KAPITOLA 4. EXPONENTÁRNE A LOGARITMICKÉ ROVNICE A NEROVNOSTI 35
4.1. Základné vzorce a riešenia jednoduchých rovníc a nerovníc 35
4.2. Prevod súčtu a rozdielu logaritmov 36
Problémy na samostatné riešenie 41
4.3. Variabilná metóda výmeny 42
Problémy na samostatné riešenie 47
4.4. Rozdelenie nerovností 49
Problémy na samostatné riešenie 55
4.5. Prechod na novú nadáciu 56
Úlohy na samostatné riešenie 60
KAPITOLA 5. ROVNICE A NEROVNOSTI ZMIEŠANÉHO TYPU 61
Problémy na samostatné riešenie 68
KAPITOLA 6. LOGARITMICKÁ INTERVALOVÁ METÓDA 70
Problémy na samostatné riešenie 75
KAPITOLA 7. SYSTÉMY ALGEBRAICKÝCH ROVNICE A NEROVNICE 76
Problémy na samostatné riešenie 84
ODPOVEDE NA PROBLÉMY PRE SAMOSTATNÉ RIEŠENIE 88

Táto kniha je venovaná problémom podobným úlohe 15 profilu Jednotná štátna skúška z matematiky (rovnice a nerovnice). Kniha je rozdelená do kapitol podľa tém, materiál v každej kapitole je prezentovaný „od jednoduchých po zložité“.
Nie je tajomstvom, že úlohy 16-19 (planimetria, slovná úloha, parametrická úloha, celočíselná úloha) sú pre drvivú väčšinu maturantov náročné. To isté možno povedať o probléme 14 (stereometria). Vyriešený problém 15 (spolu s problémom 13) je preto príležitosťou na zvýšenie skóre na Jednotnej štátnej skúške na dobrú úroveň.
Prvé tri kapitoly sú prípravné a pokrývajú riešenie nerovníc intervalovou metódou, rovnice a nerovnice obsahujúce modul, iracionálne rovnice a nerovnice.
Štvrtá kapitola je hlavnou v tejto knihe, keďže problémy v nej sú najbližšie k skutočnému problému 15. profilovej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Táto kapitola je rozdelená do niekoľkých odsekov, z ktorých každý skúma metódu riešenia takéhoto problému.