Od spoločnosti Masterweb

22.09.2018 22:00

Geometrická postupnosť je spolu s aritmetickou postupnosťou dôležitým číselným radom, ktorý sa študuje v kurze školskej algebry v 9. ročníku. V tomto článku sa pozrieme na menovateľa geometrickej progresie a na to, ako jej hodnota ovplyvňuje jej vlastnosti.

Definícia geometrickej progresie

Najprv si dajme definíciu tohto číselného radu. Geometrická postupnosť je séria racionálnych čísel, ktorá vzniká postupným násobením jej prvého prvku konštantným číslom nazývaným menovateľ.

Napríklad čísla v rade 3, 6, 12, 24, ... sú geometrickým postupom, pretože ak vynásobíte 3 (prvý prvok) 2, dostanete 6. Ak vynásobíte 6 2, dostanete 12 a tak ďalej.

Členy uvažovanej postupnosti sa zvyčajne označujú symbolom ai, kde i je celé číslo označujúce číslo prvku v rade.

Vyššie uvedená definícia progresie môže byť napísaná v matematickom jazyku takto: an = bn-1 * a1, kde b je menovateľ. Je ľahké skontrolovať tento vzorec: ak n = 1, potom b1-1 = 1 a dostaneme a1 = a1. Ak n = 2, potom an = b * a1 a opäť sa dostávame k definícii príslušného číselného radu. Podobná úvaha môže pokračovať pre veľké hodnoty n.

Menovateľ geometrickej progresie

Číslo b úplne určuje, aký charakter bude mať celý číselný rad. Menovateľ b môže byť kladný, záporný alebo väčší alebo menší ako jedna. Všetky vyššie uvedené možnosti vedú k rôznym sekvenciám:

• b > 1. Existuje rastúci rad racionálnych čísel. Napríklad 1, 2, 4, 8, ... Ak je prvok a1 záporný, potom sa celá postupnosť zvýši iba v absolútnej hodnote, ale zníži sa v závislosti od znamienka čísel.
• b = 1. Tento prípad sa často nenazýva progresia, pretože existuje obyčajný rad rovnakých racionálnych čísel. Napríklad -4, -4, -4.

Vzorec pre množstvo

Predtým, ako prejdeme k úvahám o konkrétnych problémoch pomocou menovateľa typu uvažovanej progresie, mal by sa uviesť dôležitý vzorec pre súčet jej prvých n prvkov. Vzorec vyzerá takto: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Tento výraz môžete získať sami, ak vezmete do úvahy rekurzívnu postupnosť členov postupu. Všimnite si tiež, že vo vyššie uvedenom vzorci stačí poznať iba prvý prvok a menovateľ, aby ste našli súčet ľubovoľného počtu členov.

Nekonečne klesajúca sekvencia

Vyššie bolo uvedené vysvetlenie, čo to je. Teraz, keď poznáme vzorec pre Sn, aplikujme ho na tento číselný rad. Pretože každé číslo, ktorého modul nepresahuje 1, má sklon k nule, keď sa zvýši na veľké mocniny, to znamená, že b∞ => 0, ak -1

Keďže rozdiel (1 - b) bude vždy kladný, bez ohľadu na hodnotu menovateľa, znamienko súčtu nekonečne klesajúcej geometrickej postupnosti S∞ je jednoznačne určené znamienkom jej prvého prvku a1.

Teraz sa pozrime na niekoľko problémov, kde si ukážeme, ako aplikovať získané poznatky na konkrétnych číslach.

Úloha č. 1. Výpočet neznámych prvkov progresie a súčtu

Pri geometrickej postupnosti je menovateľ postupnosti 2 a jej prvý prvok je 3. Čomu sa bude rovnať jej 7. a 10. člen a aký je súčet jej siedmich počiatočných prvkov?

Podmienka problému je pomerne jednoduchá a zahŕňa priame použitie vyššie uvedených vzorcov. Na výpočet čísla prvku n teda použijeme výraz an = bn-1 * a1. Pre 7. prvok máme: a7 = b6 * a1, dosadením známych údajov dostaneme: a7 = 26 * 3 = 192. To isté urobíme pre 10. člen: a10 = 29 * 3 = 1536.

Použime známy vzorec pre súčet a určme túto hodnotu pre prvých 7 prvkov radu. Máme: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Úloha č. 2. Určenie súčtu ľubovoľných prvkov progresie

Nech -2 sa rovná menovateľovi geometrickej postupnosti bn-1 * 4, kde n je celé číslo. Je potrebné určiť súčet od 5. do 10. prvku tohto radu vrátane.

Nastolený problém nemožno vyriešiť priamo pomocou známych vzorcov. Dá sa to vyriešiť 2 rôznymi spôsobmi. Na dokončenie prezentácie témy uvádzame obe.

Metóda 1. Myšlienka je jednoduchá: musíte vypočítať dva zodpovedajúce súčty prvých výrazov a potom od jedného odpočítať druhý. Vypočítame menšie množstvo: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Teraz vypočítame väčší súčet: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Všimnite si, že v poslednom výraze boli sčítané iba 4 výrazy, pretože 5. je už zahrnutý v sume, ktorú je potrebné vypočítať podľa podmienok problému. Nakoniec vezmeme rozdiel: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Metóda 2. Pred dosadením čísel a počítaním môžete získať vzorec pre súčet medzi m a n členmi daného radu. Postupujeme úplne rovnako ako pri spôsobe 1, len najskôr pracujeme so symbolickým znázornením sumy. Máme: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Do výsledného výrazu môžete dosadiť známe čísla a vypočítať konečný výsledok: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Úloha č. 3. Aký je menovateľ?

Nech a1 = 2, nájdite menovateľa geometrickej postupnosti za predpokladu, že jej nekonečný súčet je 3 a je známe, že ide o klesajúci rad čísel.

Na základe podmienok problému nie je ťažké uhádnuť, ktorý vzorec by sa mal použiť na jeho vyriešenie. Samozrejme, pre súčet progresie nekonečne klesajúci. Máme: S∞ = a1 / (1 - b). Odkiaľ vyjadrujeme menovateľ: b = 1 - a1 / S∞. Zostáva nahradiť známe hodnoty a získať požadované číslo: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 alebo -0,333 (3). Tento výsledok môžeme kvalitatívne skontrolovať, ak si zapamätáme, že pre tento typ sekvencie by modul b nemal prekročiť 1. Ako je možné vidieť, |-1 / 3|

Úloha č. 4. Obnovenie série čísel

Nech sú dané 2 prvky číselného radu, napríklad 5. sa rovná 30 a 10. sa rovná 60. Z týchto údajov je potrebné rekonštruovať celý rad s vedomím, že spĺňa vlastnosti geometrickej postupnosti.

Ak chcete problém vyriešiť, musíte si najprv zapísať zodpovedajúci výraz pre každý známy výraz. Máme: a5 = b4 * a1 a a10 = b9 * a1. Teraz vydeľte druhý výraz prvým, dostaneme: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Odtiaľ určíme menovateľa tak, že vezmeme piaty odmocninec z pomeru pojmov známych z úlohy, b = 1,148698. Výsledné číslo dosadíme do jedného z výrazov pre známy prvok, dostaneme: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Geometrická postupnosť je nový typ postupnosti čísel, s ktorým sa čoskoro zoznámime. Pre úspešné randenie nezaškodí aspoň poznať a pochopiť. Potom nebudú žiadne problémy s geometrickým postupom.)

Čo je geometrická progresia? Koncept geometrickej progresie.

Prehliadku začíname, ako inak, základmi. Píšem nedokončenú postupnosť čísel:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Dokážete rozpoznať vzor a povedať, ktoré čísla budú nasledovať? Paprika je jasná, potom budú nasledovať čísla 100 000, 1 000 000 a tak ďalej. Aj bez veľkého duševného úsilia je všetko jasné, však?)

OK. Ďalší príklad. Píšem túto postupnosť:

1, 2, 4, 8, 16, …

Môžete povedať, ktoré čísla budú nasledovať po čísle 16 a mene ôsmyčlen sekvencie? Ak ste prišli na to, že to bude číslo 128, tak veľmi dobre. Polovica úspechu je teda v porozumení význam A kľúčové body geometrický postup už bol urobený. Môžete rásť ďalej.)

A teraz opäť prejdeme od vnemov k prísnej matematike.

Kľúčové body geometrickej progresie.

Kľúčový bod #1

Geometrická progresia je postupnosť čísel. Rovnako aj progresia. Nič vymyslené. Iba táto postupnosť je usporiadaná inak. Preto má, prirodzene, iný názov, áno...

Kľúčový bod č. 2

S druhým kľúčovým bodom bude otázka zložitejšia. Vráťme sa trochu späť a pripomeňme si kľúčovú vlastnosť aritmetickej progresie. Tu je: každý člen je iný ako predchádzajúci o rovnakú sumu.

Je možné sformulovať podobnú kľúčovú vlastnosť pre geometrickú progresiu? Zamyslite sa trochu... Pozrite sa bližšie na uvedené príklady. Uhádli ste to? Áno! V geometrickej postupnosti (akejkoľvek!) sa každý jej člen líši od predchádzajúceho rovnaký počet krát. Vždy!

V prvom príklade je toto číslo desať. Ktorýkoľvek člen sekvencie si vezmete, je väčší ako predchádzajúci desaťkrát.

V druhom príklade je to dvojka: každý člen je väčší ako predchádzajúci dvakrát.

Práve týmto kľúčovým bodom sa geometrická progresia líši od aritmetickej progresie. V aritmetickom postupe sa získa každý nasledujúci člen pridaním rovnakú hodnotu ako predchádzajúci výraz. A tu - násobenie predchádzajúce obdobie o rovnakú sumu. To je celý rozdiel.)

Kľúčový bod č. 3

Tento kľúčový bod je úplne identický s bodom aritmetického postupu. menovite: Každý člen geometrickej postupnosti stojí na svojom mieste. Všetko je úplne rovnaké ako v aritmetickom postupe a komentáre sú podľa mňa zbytočné. Je tu prvý termín, je tam sto prvý atď. Prehoďme aspoň dva pojmy – vzor (a s ním aj geometrická postupnosť) zmizne. Zostane len postupnosť čísel bez akejkoľvek logiky.

To je všetko. To je celý zmysel geometrického postupu.

Termíny a označenia.

Ale teraz, keď sme pochopili význam a kľúčové body geometrickej progresie, môžeme prejsť k teórii. Inak, čo je teória bez pochopenia významu, však?

Ako označiť geometrickú progresiu?

Ako sa geometrická postupnosť píše vo všeobecnej forme? Žiadny problém! Každý termín postupu je tiež napísaný ako list. Iba na aritmetický postup sa zvyčajne používa písmeno "A", pre geometrické – písm "b". Číslo člena, ako obvykle, je uvedené index vpravo dole. Jednoducho uvádzame samotné členy progresie oddelené čiarkami alebo bodkočiarkami.

takto:

b 1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Stručne povedané, tento postup je napísaný takto: (b n) .

Alebo takto pre konečný postup:

b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.

b 1, b 2, …, b 29, b 30.

Alebo v skratke:

(b n), n=30 .

To je vlastne celé označenie. Všetko je rovnaké, len písmeno je iné, áno.) A teraz prejdeme priamo k definícii.

Definícia geometrickej progresie.

Geometrická postupnosť je postupnosť čísel, v ktorej je prvý člen nenulový a každý nasledujúci člen sa rovná predchádzajúcemu členu vynásobenému rovnakým nenulovým číslom.

To je celá definícia. Väčšina slov a fráz je vám jasná a známa. Ak, samozrejme, rozumiete významu geometrickej progresie „na prstoch“ a vo všeobecnosti. Existuje však aj niekoľko nových fráz, ktorým by som chcel venovať osobitnú pozornosť.

Najprv slová: „prvým členom ktorej nenulové".

Toto obmedzenie v prvom volebnom období nebolo zavedené náhodou. Čo si myslíte, že sa stane, ak prvý člen b 1 bude sa rovnať nule? Čomu sa bude rovnať druhý člen, ak je každý člen väčší ako predchádzajúci? rovnaký počet krát? Povedzme trikrát? Pozrime sa... Vynásobte prvý člen (t. j. 0) 3 a dostanete... nulu! A čo tretí člen? Tiež nula! A štvrtý termín je tiež nula! A tak ďalej…

Dostaneme len vrece rožkov, sekvenciu núl:

0, 0, 0, 0, …

Samozrejme, že takáto sekvencia má právo na život, ale nemá praktický význam. Všetko je jasné. Ktorýkoľvek jeho člen je nula. Súčet ľubovoľného počtu pojmov je tiež nula... Čo zaujímavé sa s tým dá robiť? nič…

Nasledujúce kľúčové slová: "vynásobené rovnakým nenulovým číslom."

Toto isté číslo má tiež svoje špeciálne meno - menovateľ geometrickej progresie. Začnime sa zoznamovať.)

Menovateľ geometrickej postupnosti.

Všetko je také jednoduché ako lúskanie hrušiek.

Menovateľom geometrickej progresie je nenulové číslo (alebo veličina) označujúce koľkokrátkaždé obdobie postupu viac ako predchádzajúca.

Opäť, podobne ako pri aritmetickej progresii, kľúčové slovo, ktoré treba v tejto definícii hľadať, je slovo "viac". To znamená, že sa získa každý člen geometrickej progresie násobenie práve tomuto menovateľovi predchádzajúci člen.

Dovoľte mi vysvetliť.

Na výpočet, povedzme druhý péro, treba zobrať najprvčlenom a množiť to na menovateľa. Pre výpočet desiaty péro, treba zobrať deviatyčlenom a množiť to na menovateľa.

Menovateľom samotnej geometrickej progresie môže byť čokoľvek. Úplne ktokoľvek! Celé, zlomkové, pozitívne, negatívne, iracionálne - všetko. Okrem nuly. To nám hovorí slovo „nenulové“ v definícii. Prečo je toto slovo potrebné tu - viac o tom neskôr.

Menovateľ geometrickej progresie najčastejšie označené písmenom q.

Ako to nájsť q? Žiadna otázka! Musíme vziať akýkoľvek termín postupu a vydeliť predchádzajúcim termínom. Rozdelenie je zlomok. Odtiaľ pochádza názov - „menovateľ postupu“. Menovateľ, ten väčšinou sedí v zlomku, áno...) Aj keď, logicky, hodnota q treba zavolať súkromné geometrická progresia, podobne ako rozdiel pre aritmetický postup. Ale dohodli sme sa, že si zavoláme menovateľ. A nevynájdeme ani koleso.)

Definujme napríklad množstvo q pre túto geometrickú postupnosť:

2, 6, 18, 54, …

Všetko je elementárne. Vezmime si to akékoľvek poradové číslo. Berieme si, čo chceme. Okrem toho úplne prvého. Napríklad 18. A deliť podľa predchádzajúce číslo. Teda o 6.

Získame:

q = 18/6 = 3

To je všetko. Toto je správna odpoveď. Pre túto geometrickú postupnosť je menovateľ tri.

Poďme teraz nájsť menovateľa q pre ďalší geometrický postup. Napríklad tento:

1, -2, 4, -8, 16, …

Všetko je rovnaké. Bez ohľadu na to, aké znaky majú samotní členovia, stále berieme akékoľvekčíslo sekvencie (napríklad 16) a vydeliť predchádzajúce číslo(t.j. -8).

Získame:

d = 16/(-8) = -2

A to je všetko.) Tentokrát sa menovateľ progresie ukázal ako negatívny. Mínus dva. Stáva sa.)

Zoberme si teraz tento postup:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

A opäť, bez ohľadu na typ čísel v postupnosti (či celé čísla, párne zlomky, dokonca záporné, dokonca iracionálne), vezmeme ľubovoľné číslo (napríklad 1/9) a vydelíme predchádzajúcim číslom (1/3). Podľa pravidiel pre prácu so zlomkami, samozrejme.

Získame:

To je všetko.) Tu sa ukázalo, že menovateľ je zlomkový: q = 1/3.

Čo si myslíte o tomto „pokroku“?

3, 3, 3, 3, 3, …

Očividne tu q = 1 . Formálne ide tiež o geometrický postup, len s identických členov.) Ale takéto pokroky nie sú zaujímavé pre štúdium a praktickú aplikáciu. To isté ako progresie s plnými nulami. Preto ich nebudeme zvažovať.

Ako vidíte, menovateľom progresie môže byť čokoľvek – celé číslo, zlomok, kladné, záporné – čokoľvek! Nemôže to byť len nula. Neviete hádať prečo?

No, poďme použiť nejaký konkrétny príklad, aby sme videli, čo sa stane, ak vezmeme ako menovateľa q nula.) Nech máme napr b 1 = 2 , A q = 0 . Čomu sa potom bude rovnať druhý termín?

Počítame:

b 2 = b 1 · q= 20 = 0

A čo tretí člen?

b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0

Typy a správanie geometrických postupností.

Všetko bolo viac-menej jasné: ak je rozdiel v postupe d je pozitívny, potom sa progresia zvyšuje. Ak je rozdiel záporný, progresia klesá. Sú len dve možnosti. Neexistuje žiadna tretia možnosť.)

Ale so správaním geometrickej progresie bude všetko oveľa zaujímavejšie a pestrejšie!)

Bez ohľadu na to, ako sa tu pojmy správajú: pribúdajú a klesajú a donekonečna sa približujú k nule a dokonca menia znamienka, pričom sa striedavo vrhajú do „plus“ a potom do „mínusu“! A v celej tejto rozmanitosti musíte byť schopní dobre rozumieť, áno...

Poďme na to?) Začnime s najjednoduchším prípadom.

Menovateľ je kladný ( q >0)

S kladným menovateľom, po prvé, môžu vstúpiť podmienky geometrickej progresie plus nekonečno(t.j. zvýšenie bez obmedzenia) a môže ísť do mínus nekonečno(t.j. bez obmedzenia). Už sme si na toto správanie progresií zvykli.

Napríklad:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

Všetko je tu jednoduché. Získa sa každý termín postupu viac ako predchádzajúce. Navyše sa ukáže každý termín násobenie predchádzajúci člen na pozitívnečíslo +2 (t.j. q = 2 ). Správanie takejto progresie je zrejmé: všetci členovia progresie rastú bez obmedzenia a idú do vesmíru. Navyše nekonečno...

A teraz je postup:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

Aj tu sa získava každý člen postupu násobenie predchádzajúci člen na pozitívnečíslo +2. Ale správanie takejto progresie je presne opačné: získa sa každý člen progresie menej ako predchádzajúce a všetky jeho členy klesajú bez obmedzenia až do mínus nekonečna.

Teraz sa zamyslime: čo majú tieto dve progresie spoločné? Správne, menovateľ! A tam a tam q = +2 . Kladné číslo. Dvaja. Ale správanie Tieto dve progresie sú zásadne odlišné! Neviete hádať prečo? Áno! Ide o všetko prvý člen! Je to on, ako sa hovorí, kto volá melódiu.) Presvedčte sa sami.

V prvom prípade prvý termín progresie pozitívne(+1), a teda všetky nasledujúce výrazy získané vynásobením pozitívne menovateľ q = +2 , bude tiež pozitívne.

Ale v druhom prípade prvý termín negatívne(-1). Preto všetky nasledujúce podmienky progresie, získané vynásobením pozitívne q = +2 , bude tiež získaný negatívne. Pretože „mínus“ až „plus“ vždy dáva „mínus“, áno.)

Ako vidíte, na rozdiel od aritmetickej progresie sa geometrická progresia môže správať úplne inak nielen v závislosti od menovateľaq, ale aj v závislosti od prvého člena, áno.)

Pamätajte: správanie geometrickej progresie je jednoznačne určené jej prvým členom b 1 a menovateľq .

A teraz začneme analyzovať menej známe, ale oveľa zaujímavejšie prípady!

Zoberme si napríklad túto postupnosť:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Táto postupnosť je tiež geometrickým postupom! Každý termín tohto postupu sa tiež ukáže násobenie predchádzajúci člen rovnakým číslom. Je to len číslo - zlomkový: q = +1/2 . Alebo +0,5 . Navyše (dôležité!) číslo menej ako jeden:q = 1/2<1.

Prečo je tento geometrický postup zaujímavý? Kam smerujú jej členovia? Pozrime sa:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Čo zaujímavé si tu môžete všimnúť? Po prvé, pokles z hľadiska progresie je okamžite viditeľný: každý z jeho členov menej presne ten predchádzajúci 2 krát. Alebo podľa definície geometrickej progresie každý pojem viac predchádzajúce 1/2 krát, pretože menovateľ progresie q = 1/2 . A pri vynásobení kladným číslom menším ako jedna sa výsledok väčšinou zníži, áno...

Čo? viac možno vidieť v správaní tejto progresie? Ubúdajú jej členovia? neobmedzené, ísť do mínus nekonečna? Nie! Miznú zvláštnym spôsobom. Najprv klesajú pomerne rýchlo a potom čoraz pomalšie. A zatiaľ čo zostáva po celý čas pozitívne. Aj keď veľmi, veľmi malé. A o čo sa oni sami usilujú? Neuhádli ste? Áno! Usilujú sa o nulu!) Navyše pozor, členovia našej progresie sú na nule nikdy nedosiahnu! Len tak približuje sa k nemu nekonečne blízko. Toto je veľmi dôležité.)

Podobná situácia nastane v nasledujúcom postupe:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Tu b 1 = -1 , A q = 1/2 . Všetko je po starom, len teraz sa budú podmienky blížiť k nule z druhej strany, zdola. Zostať celý čas negatívne.)

Taký geometrický postup, ktorého podmienky priblížiť sa k nule bez obmedzenia(bez ohľadu na pozitívnu alebo negatívnu stránku), v matematike má špeciálny názov - nekonečne klesajúca geometrická progresia. Tento vývoj je taký zaujímavý a nezvyčajný, že sa o ňom bude dokonca diskutovať samostatná lekcia .)

Takže sme zvážili všetko možné pozitívne menovatele sú veľké aj menšie. Samotnú jednotku z vyššie uvedených dôvodov nepovažujeme za menovateľa (pamätajte na príklad s postupnosťou trojíc...)

Poďme si to zhrnúť:

pozitívneA viac ako jeden (q>1), potom podmienky postupu:

a) zvýšenie bez obmedzenia (akb 1 >0);

b) bez obmedzenia (akb 1 <0).

Ak je menovateľom geometrickej progresie pozitívne A menej ako jeden (0< q<1), то члены прогрессии:

a) nekonečne blízko nule vyššie(Akb 1 >0);

b) nekonečne blízko nule zospodu(Akb 1 <0).

Teraz zostáva zvážiť prípad záporný menovateľ.

Menovateľ je záporný ( q <0)

Pre príklad nepôjdeme ďaleko. Prečo práve huňatá baba?!) Nech je napríklad prvý termín postupu b 1 = 1 , a zoberme si menovateľa q = -2.

Dostaneme nasledujúcu postupnosť:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

A tak ďalej.) Získa sa každý termín postupu násobenie predchádzajúci člen na záporné číslo-2. V tomto prípade budú všetci členovia stojaci na nepárnych miestach (prvý, tretí, piaty atď.). pozitívne a na párnych miestach (druhé, štvrté atď.) – negatívne. Znaky sa striktne striedajú. Plus-mínus-plus-mínus... Táto geometrická postupnosť sa nazýva - rastúce znamenie striedanie.

Kam smerujú jej členovia? Ale nikde.) Áno, v absolútnej hodnote (t.j. modulo)členovia našej progresie pribúdajú neobmedzene (odtiaľ názov „rastúce“). Ale zároveň vás každý člen progresie striedavo hádže do tepla, potom do chladu. Buď „plus“ alebo „mínus“. Naša progresia kolíše... Navyše rozsah výkyvov každým krokom rapídne rastie, áno.) Preto ašpirácie členov progresie niekam smerujú konkrétne Tu Nie Ani do plus nekonečna, ani do mínus nekonečna, ani do nuly – nikde.

Uvažujme teraz o nejakom zlomkovom menovateli medzi nulou a mínus jedna.

Napríklad, nechajme to tak b 1 = 1 , A q = -1/2.

Potom dostaneme priebeh:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

A opäť tu máme striedanie znamení! Ale na rozdiel od predchádzajúceho príkladu je tu už jasná tendencia, aby sa členy blížili k nule.) Len tentoraz sa naše členy nepribližujú k nule striktne zhora alebo zdola, ale opäť váhanie. Striedavo prijímanie kladných a záporných hodnôt. Ale zároveň oni modulov sú stále bližšie a bližšie k drahocennej nule.)

Táto geometrická postupnosť sa nazýva nekonečne klesajúci znak, striedavý.

Prečo sú tieto dva príklady zaujímavé? A skutočnosť, že v oboch prípadoch sa koná striedanie znakov! Tento trik je typický len pre postupnosti so záporným menovateľom, áno.) Ak teda v niektorej úlohe uvidíte geometrickú postupnosť so striedajúcimi sa členmi, budete už s istotou vedieť, že jej menovateľ je 100% záporný a neurobíte chybu. v znamení.)

Mimochodom, v prípade negatívneho menovateľa znamienko prvého termínu vôbec neovplyvňuje správanie samotnej progresie. Bez ohľadu na znamienko prvého členu postupu bude v každom prípade dodržané znamienko termínov. Jedinou otázkou je, na akých miestach(párne alebo nepárne) budú členovia so špecifickými znakmi.

Pamätajte:

Ak je menovateľom geometrickej progresie negatívne , potom sú znaky podmienok progresie vždy striedať.

Zároveň samotní členovia:

a) zvýšenie bez obmedzeniamodulo, Akq<-1;

b) približovať sa k nule donekonečna, ak -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

To je všetko. Všetky typické prípady boli analyzované.)

V procese analýzy rôznych príkladov geometrických postupností som pravidelne používal slová: "inklinuje k nule", "sklon k plus nekonečnu", "má tendenciu k mínus nekonečnu"... To je v poriadku.) Tieto slovné spojenia (a konkrétne príklady) sú len úvodným úvodom správanie rôzne číselné postupnosti. Na príklade geometrickej progresie.

Prečo vôbec potrebujeme poznať správanie progresie? Aký je rozdiel v tom, kam ide? Smerom k nule, k plus nekonečnu, k mínus nekonečnu... Čo to s nami robí?

Ide o to, že už na univerzite, na kurze vyššej matematiky, budete potrebovať schopnosť pracovať so širokou škálou číselných postupností (s akýmikoľvek, nielen postupnosťami!) a schopnosť presne si predstaviť, ako tá či oná postupnosť sa správa - či rastie, či neobmedzene klesá, či smeruje ku konkrétnemu číslu (a nie nevyhnutne k nule), alebo dokonca neinklinuje vôbec k ničomu... Tejto téme je venovaná celá jedna sekcia v kurze matematiky analýza - teória limitov. A trochu konkrétnejšie – koncept limit číselnej postupnosti. Veľmi zaujímavá téma! Má zmysel ísť na vysokú školu a prísť na to.)

Niektoré príklady z tejto časti (sekvencie s limitom) a najmä, nekonečne klesajúca geometrická progresia Začínajú si zvykať v škole. Zvykáme si.)

Navyše schopnosť dobre študovať správanie sekvencií vám v budúcnosti veľmi prospeje a bude veľmi užitočná funkčný výskum. Najrozmanitejšie. Ale schopnosť kompetentne pracovať s funkciami (vypočítať derivácie, študovať ich v plnom rozsahu, zostaviť ich grafy) už dramaticky zvyšuje vašu matematickú úroveň! Máte nejaké pochybnosti? Netreba. Pamätajte tiež na moje slová.)

Pozrime sa na geometrický postup v živote?

V živote okolo nás sa s geometrickým postupom stretávame veľmi, veľmi často. Aj bez toho, aby ste o tom vedeli.)

Napríklad rôzne mikroorganizmy, ktoré nás všade obklopujú v obrovských množstvách a ktoré bez mikroskopu ani nevidíme, sa množia presne geometrickým postupom.

Povedzme, že jedna baktéria sa rozmnožuje tak, že sa rozdelí na polovicu, čím sa potomstvo rozdelí na 2 baktérie. Na druhej strane sa každý z nich pri množení rozdelí na polovicu, čím sa získajú spoločné potomstvo 4 baktérií. Ďalšia generácia bude produkovať 8 baktérií, potom 16 baktérií, 32, 64 atď. S každou ďalšou generáciou sa počet baktérií zdvojnásobuje. Typický príklad geometrickej progresie.)

Tiež niektorý hmyz – vošky a muchy – sa množia exponenciálne. A niekedy aj králiky, mimochodom.)

Ďalším príkladom geometrickej progresie, bližšej každodennému životu, je tzv zložené úročenie. Tento zaujímavý jav sa často nachádza v bankových vkladoch a je tzv kapitalizácia úrokov.čo to je

Vy sám ste, samozrejme, ešte mladý. Chodíš do školy, nechoď do bánk. Ale vaši rodičia sú už dospelí a nezávislí ľudia. Chodia do práce, zarábajú peniaze na svoj každodenný chlieb a časť peňazí vkladajú do banky, čím ušetria.)

Povedzme, že váš otec si chce našetriť určitú sumu peňazí na rodinnú dovolenku v Turecku a vloží 50 000 rubľov do banky pri 10 % ročne na obdobie troch rokov. s ročnou úrokovou kapitalizáciou. Navyše počas celého tohto obdobia sa s vkladom nedá nič robiť. Nemôžete ani doplniť vklad, ani vybrať peniaze z účtu. Aký zisk bude mať po týchto troch rokoch?

V prvom rade musíme zistiť, čo je 10 % ročne. To znamená, že o rok K počiatočnej vkladovej sume banka pripočíta 10 %. z čoho? Samozrejme, od výška počiatočného vkladu.

Veľkosť účtu vypočítame po roku. Ak bola počiatočná výška vkladu 50 000 rubľov (t. j. 100%), potom bude po roku aký veľký úrok bude na účte? Presne tak, 110%! Od 50 000 rubľov.

Takže vypočítame 110% z 50 000 rubľov:

50 000 · 1,1 = 55 000 rubľov.

Dúfam, že chápete, že nájdenie 110 % hodnoty znamená vynásobenie tejto hodnoty číslom 1,1? Ak nerozumiete, prečo je to tak, spomeňte si na piaty a šiesty ročník. Totiž – spojenie medzi percentami a zlomkami a časťami.)

Nárast za prvý rok teda bude 5 000 rubľov.

Koľko peňazí bude na účte o dva roky? 60 000 rubľov? Bohužiaľ (alebo skôr našťastie) nie je všetko také jednoduché. Celý trik kapitalizácie úrokov je v tom, že s každým novým prírastkom úrokov sa tieto rovnaké úroky už zohľadnia z novej sumy! Od toho, kto už je na účte momentálne. A úroky naakumulované za predchádzajúce obdobie sa pripočítavajú k pôvodnej výške vkladu a tým sa sám podieľa na výpočte nového úroku! To znamená, že sa stanú plnohodnotnou súčasťou celkového účtu. Alebo všeobecné kapitál. Odtiaľ názov - kapitalizácia úrokov.

Je to v ekonomike. A v matematike sa takéto percentá nazývajú zložené úročenie. Alebo percento úroku.) Ich trik je v tom, že pri postupnom výpočte sa percentá počítajú zakaždým z novej hodnoty. A nie z originálu...

Preto pre výpočet sumy cez dva roky, potrebujeme vypočítať 110% sumy, ktorá bude na účte o rok. To znamená, že už od 55 000 rubľov.

Počítame 110% z 55 000 rubľov:

55000·1,1 = 60500 rubľov.

To znamená, že percentuálny nárast za druhý rok bude 5 500 rubľov a na dva roky - 10 500 rubľov.

Teraz už môžete hádať, že po troch rokoch bude suma na účte 110% zo 60 500 rubľov. To je zase 110% z predchádzajúceho (minulého roku) sumy.

Tu si myslíme:

60500·1,1 = 66550 rubľov.

Teraz usporiadame naše peňažné sumy podľa rokov v poradí:

50000;

55000 = 50000·1,1;

60500 = 55000 1,1 = (50000 1,1) 1,1;

66550 = 60500 1,1 = ((50 000 1,1) 1,1) 1,1

Tak ako? Prečo nie geometrický postup? Prvý člen b 1 = 50000 a menovateľ q = 1,1 . Každý výraz je striktne 1,1-krát väčší ako predchádzajúci. Všetko je v prísnom súlade s definíciou.)

A koľko dodatočných úrokových bonusov „nahromadí“ váš otec, zatiaľ čo jeho 50 000 rubľov leží na jeho bankovom účte už tri roky?

Počítame:

66550 – 50000 = 16550 rubľov

Nie veľa, samozrejme. To však platí, ak je počiatočná suma vkladu malá. Čo ak je toho viac? Povedzme, že nie 50, ale 200 tisíc rubľov? Potom nárast za tri roky bude 66 200 rubľov (ak to spočítate). Čo je už veľmi dobré.) Čo ak je príspevok ešte väčší? to je všetko...

Záver: čím je počiatočný vklad vyšší, tým je úroková kapitalizácia výnosnejšia. Preto vklady s úrokovou kapitalizáciou poskytujú banky na dlhé obdobia. Povedzme na päť rokov.

Tiež všetky druhy zlých chorôb ako chrípka, osýpky a ešte hroznejšie choroby (rovnaký SARS na začiatku 21. storočia alebo mor v stredoveku) sa radi šíria exponenciálne. Preto rozsah epidémií, áno...) A to všetko kvôli tomu, že geometrický postup s celý kladný menovateľ (q>1) – vec, ktorá rastie veľmi rýchlo! Pamätajte na rozmnožovanie baktérií: z jednej baktérie sa získajú dve, z dvoch - štyri, zo štyroch - osem atď.... Rovnako je to s šírením akejkoľvek infekcie.)

Najjednoduchšie úlohy o geometrickom postupe.

Začnime ako vždy jednoduchým problémom. Čisto na pochopenie významu.

1. Je známe, že druhý člen geometrickej postupnosti sa rovná 6 a menovateľ sa rovná -0,5. Nájdite prvý, tretí a štvrtý výraz.

Takže sme dané nekonečné geometrický postup, ale známy druhý termín tento postup:

b2 = 6

Okrem toho tiež vieme menovateľ progresie:

q = -0,5

A musíte nájsť prvý, tretí A štvrtýčlenov tohto postupu.

Takže konáme. Postupnosť zapíšeme podľa podmienok úlohy. Priamo vo všeobecnej forme, kde druhý výraz je šesť:

b 1, 6,b 3 , b 4 , …

Teraz začnime hľadať. Začíname ako vždy tým najjednoduchším. Môžete vypočítať napríklad tretí termín b 3? Môže! Vy aj ja už vieme (priamo v zmysle geometrického postupu), že tretí termín (b 3) viac ako druhý (b 2 ) V "q" raz!

Takže píšeme:

b 3 =b 2 · q

Namiesto toho do tohto výrazu dosadíme šesť b 2 a -0,5 namiesto toho q a počítame. A nezanedbávame ani mínusy, samozrejme...

b3 = 6·(-0,5) = -3

Takto. Tretí termín dopadol negatívne. Niet divu: náš menovateľ q– negatívny. A vynásobenie plus mínusom bude, samozrejme, mínus.)

Teraz počítame ďalšie, štvrté obdobie postupu:

b4 =b 3 · q

b4 = -3·(-0,5) = 1,5

Štvrtý termín je opäť s plusom. Piaty termín bude opäť mínus, šiesty plus atď. Znaky sa striedajú!

Takže sa našiel tretí a štvrtý výraz. Výsledkom je nasledujúca postupnosť:

b1; 6; -3; 1,5; ...

Teraz už zostáva len nájsť prvý termín b 1 podľa známeho druhého. Aby sme to urobili, vykročíme iným smerom, doľava. To znamená, že v tomto prípade nepotrebujeme násobiť druhý člen progresie menovateľom, ale rozdeliť.

Rozdelíme a dostaneme:

To je všetko.) Odpoveď na problém bude takáto:

-12; 6; -3; 1,5; …

Ako vidíte, princíp riešenia je rovnaký ako v . Vieme akékoľvekčlenom a menovateľ geometrická postupnosť – môžeme nájsť akýkoľvek jej ďalší člen. Nájdeme tú, ktorú chceme.) Jediný rozdiel je v tom, že sčítanie/odčítanie je nahradené násobením/delením.

Zapamätajte si: ak poznáme aspoň jeden člen a menovateľ geometrickej postupnosti, vždy môžeme nájsť akýkoľvek iný člen tejto postupnosti.

Nasledujúci problém podľa tradície pochádza zo skutočnej verzie OGE:

2.

...; 150; X; 6; 1,2; ...

Tak ako? Tentoraz neexistuje žiadny prvý termín, žiadny menovateľ q, je daná len postupnosť čísel... Niečo už známe, však? Áno! Podobný problém už bol vyriešený v aritmetickej postupnosti!

Takže sa nebojíme. Všetko je rovnaké. Obráťme sa na hlavu a spomeňme si na elementárny význam geometrického postupu. Pozorne sa pozrieme na našu postupnosť a zistíme, ktoré parametre geometrickej postupnosti troch hlavných (prvý člen, menovateľ, číslo člena) sú v nej skryté.

Čísla členov? Nie sú tam žiadne členské čísla, áno... Ale sú štyri po sebe idúcichčísla. Nevidím zmysel vo vysvetľovaní toho, čo toto slovo v tejto fáze znamená.) Sú v tomto poradí dve? susedné známe čísla? Jedzte! Toto je 6 a 1,2. Takže môžeme nájsť menovateľ progresie. Takže vezmeme číslo 1,2 a rozdelíme na predchádzajúce číslo. Do šiestich.

Získame:

Získame:

x= 150,0,2 = 30

odpoveď: x = 30 .

Ako vidíte, všetko je celkom jednoduché. Hlavná ťažkosť je len vo výpočtoch. Obzvlášť ťažké je to v prípade záporných a zlomkových menovateľov. Takže tí, ktorí majú problémy, opakujte aritmetiku! Ako pracovať so zlomkami, ako pracovať so zápornými číslami a podobne... Inak tu nemilosrdne spomalíte.

Teraz trochu zmeníme problém. Teraz to bude zaujímavé! Odstránime z neho posledné číslo 1,2. Teraz poďme vyriešiť tento problém:

3. Je napísaných niekoľko po sebe nasledujúcich členov geometrickej postupnosti:

...; 150; X; 6; ...

Nájdite člen progresie označený písmenom x.

Všetko je rovnaké, len dva susedia slávny Už nemáme členov progresie. Toto je hlavný problém. Pretože veľkosť q cez dva susediace členy môžeme ľahko určiť nemôžeme. Máme šancu sa s úlohou vyrovnať? Určite!

Zapíšme si neznámy výraz " x„priamo v zmysle geometrickej progresie! Vo všeobecnosti.

Áno, áno! Práve s neznámym menovateľom!

Na jednej strane pre X môžeme napísať nasledujúci pomer:

x= 150 ·q

Na druhej strane máme plné právo opísať to isté X ďalšiečlen, cez šesť! Vydeľte šesť menovateľom.

takto:

x = 6/ q

Je zrejmé, že teraz môžeme dať oba tieto pomery rovnítkom. Keďže sa vyjadrujeme ten istý magnitúda (x), ale dve rôznymi spôsobmi.

Dostaneme rovnicu:

Vynásobením všetkého q, zjednodušením a skrátením dostaneme rovnicu:

q2 = 1/25

Riešime a dostaneme:

q = ±1/5 = ±0,2

Ojoj! Menovateľ sa ukázal byť dvojnásobný! +0,2 a -0,2. A ktorý by ste si mali vybrať? Slepá ulička?

Pokojne! Áno, problém naozaj je dve riešenia! Na tom nie je nič zlé. Stáva sa.) Nečudujete sa, keď napríklad pri riešení bežného problému dostanete dva korene? Tu je ten istý príbeh.)

Pre q = +0,2 dostaneme:

X = 150 0,2 = 30

A pre q = -0,2 bude:

X = 150.(-0,2) = -30

Dostávame dvojitú odpoveď: x = 30; x = -30.

Čo znamená tento zaujímavý fakt? A čo existuje dve progresie, splnenie podmienok problému!

Tu sú:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Obidve sú vhodné.) Prečo si myslíte, že sme sa rozdelili v odpovediach? Už len z dôvodu vyradenia konkrétneho člena postupu (1,2), prichádzajúceho po šiestej. A keďže poznáme iba predchádzajúci (n-1) a nasledujúci (n+1) člen geometrickej postupnosti, nemôžeme už jednoznačne povedať nič o tom, že medzi nimi stojí n-tý člen. Sú dve možnosti – s plusom a mínusom.

Ale žiadny problém. V úlohách o geometrickom postupe sú spravidla ďalšie informácie, ktoré dávajú jednoznačnú odpoveď. Povedzme si slová: "striedavý postup" alebo "progresia s pozitívnym menovateľom" a tak ďalej... Práve tieto slová by mali slúžiť ako vodítko, aké znamienko plus alebo mínus zvoliť pri príprave konečnej odpovede. Ak takéto informácie neexistujú, potom áno, úloha bude mať dve riešenia.)

Teraz sa rozhodujeme sami.

4. Určte, či číslo 20 je členom geometrickej postupnosti:

4 ; 6; 9; …

5. Znamienko striedavého geometrického postupu je dané:

…; 5; x ; 45; …

Nájdite termín progresie označený písmenom x .

6. Nájdite štvrtý kladný člen geometrickej postupnosti:

625; -250; 100; …

7. Druhý člen geometrickej progresie sa rovná -360 a jeho piaty člen sa rovná 23,04. Nájdite prvý termín tohto postupu.

Odpovede (v neporiadku): -15; 900; nie; 2.56.

Gratulujeme, ak všetko klapne!

Niečo nesedí? Niekde bola dvojitá odpoveď? Pozorne si prečítajte podmienky zadania!

Posledný problém nevyrieši? Nie je tam nič zložité.) Pracujeme priamo podľa významu geometrickej postupnosti. No, môžeš si nakresliť obrázok. Toto pomáha.)

Ako vidíte, všetko je elementárne. Ak je progresia krátka. Čo ak je to dlhé? Alebo je počet požadovaného člena veľmi veľký? Chcel by som, analogicky s aritmetickým postupom, nejakým spôsobom získať vhodný vzorec, ktorý uľahčí nájdenie akékoľvek termín ľubovoľnej geometrickej progresie podľa jeho čísla. Bez násobenia mnohokrát q. A existuje taký vzorec!) Podrobnosti sú v ďalšej lekcii.

Matematika je čoľudia ovládajú prírodu a seba.

Sovietsky matematik, akademik A.N. Kolmogorov

Geometrická progresia.

Spolu s problémami o aritmetických postupnostiach sú na prijímacích skúškach z matematiky bežné aj problémy súvisiace s pojmom geometrická postupnosť. Na úspešné vyriešenie takýchto problémov potrebujete poznať vlastnosti geometrických postupností a mať dobré zručnosti pri ich používaní.

Tento článok je venovaný prezentácii základných vlastností geometrickej progresie. Tu sú uvedené aj príklady riešenia typických problémov., požičané z úloh prijímacích skúšok z matematiky.

Najprv si všimnime základné vlastnosti geometrickej postupnosti a pripomeňme si najdôležitejšie vzorce a tvrdenia, spojené s týmto konceptom.

Definícia.Číselná postupnosť sa nazýva geometrická postupnosť, ak sa každé číslo, začínajúce od druhého, rovná predchádzajúcemu, vynásobené rovnakým číslom. Číslo sa nazýva menovateľ geometrickej progresie.

Pre geometrický postupvzorce sú platné

, (1)

Kde . Vzorec (1) sa nazýva vzorec všeobecného členu geometrickej postupnosti a vzorec (2) predstavuje hlavnú vlastnosť geometrickej postupnosti: každý člen postupnosti sa zhoduje s geometrickým priemerom susedných členov a .

poznámka, že práve pre túto vlastnosť sa spomínaná progresia nazýva „geometrická“.

Vyššie uvedené vzorce (1) a (2) sú zovšeobecnené takto:

, (3)

Na výpočet sumy najprv členov geometrickej progresieplatí vzorec

Ak označíme , tak

Kde . Pretože vzorec (6) je zovšeobecnením vzorca (5).

V prípade, keď a geometrický postupnekonečne klesá. Na výpočet sumyzo všetkých členov nekonečne klesajúcej geometrickej progresie sa používa vzorec

. (7)

napr. pomocou vzorca (7) môžeme ukázať, Čo?

Kde . Tieto rovnosti sa získajú zo vzorca (7) za podmienky, že , (prvá rovnosť) a , (druhá rovnosť).

Veta. Ak, potom

Dôkaz. Ak, potom

Veta bola dokázaná.

Poďme ďalej zvážiť príklady riešenia problémov na tému „Geometrická progresia“.

Príklad 1 Vzhľadom na to: , a . Nájsť .

Riešenie. Ak použijeme vzorec (5), potom

Odpoveď: .

Príklad 2 Nechaj to tak. Nájsť .

Riešenie. Od a používame vzorce (5), (6) a získame sústavu rovníc

Ak je druhá rovnica sústavy (9) delená prvou, potom alebo . Z toho vyplýva, že . Zoberme si dva prípady.

1. Ak, potom z prvej rovnice sústavy (9) máme.

2. Ak , potom .

Príklad 3 Nechajte , a . Nájsť .

Riešenie. Zo vzorca (2) vyplýva, že alebo . Od , potom alebo .

Podľa stavu. Avšak, preto. Od a potom tu máme systém rovníc

Ak je druhá rovnica systému delená prvou, potom alebo .

Pretože rovnica má jedinečný vhodný koreň. V tomto prípade to vyplýva z prvej rovnice sústavy.

Ak vezmeme do úvahy vzorec (7), dostaneme.

Odpoveď: .

Príklad 4. Vzhľadom na to: a . Nájsť .

Riešenie. Odvtedy.

Od , potom resp

Podľa vzorca (2) máme . V tomto smere z rovnosti (10) získame alebo .

Avšak podľa podmienok teda.

Príklad 5. To je známe. Nájsť .

Riešenie. Podľa vety máme dve rovnosti

Od , potom alebo . Pretože teda.

Odpoveď: .

Príklad 6. Vzhľadom na to: a . Nájsť .

Riešenie. Ak vezmeme do úvahy vzorec (5), dostaneme

Odvtedy. Od , a , potom .

Príklad 7. Nechaj to tak. Nájsť .

Riešenie. Podľa vzorca (1) môžeme písať

Preto máme alebo . Je známe, že a preto a .

Odpoveď: .

Príklad 8. Nájdite menovateľa nekonečnej klesajúcej geometrickej postupnosti, ak

A .

Riešenie. Zo vzorca (7) to vyplýva A . Odtiaľ a z podmienok úlohy získame sústavu rovníc

Ak je prvá rovnica sústavy druhá mocnina, a potom výslednú rovnicu vydeľte druhou rovnicou, potom dostaneme

Alebo .

Odpoveď: .

Príklad 9. Nájdite všetky hodnoty, pre ktoré je postupnosť , , geometrickou progresiou.

Riešenie. Nechajte , a . Podľa vzorca (2), ktorý definuje hlavnú vlastnosť geometrickej postupnosti, môžeme písať alebo .

Odtiaľ dostaneme kvadratickú rovnicu, ktorých korene sú A .

Skontrolujeme: ak, potom , a ;

ak , potom , a . V prvom prípade máme

a , a v druhom – a .

Odpoveď: ,.Príklad 10.

, (11)

Vyriešte rovnicu

kde a .

Zo vzorca (7) to vyplýva, Čo? Riešenie. Ľavá strana rovnice (11) je súčtom nekonečnej klesajúcej geometrickej postupnosti, v ktorej a , s výhradou: a .. V tomto ohľade má rovnica (11) tvar alebo . Vhodný koreň

Odpoveď: .

kvadratická rovnica je Príklad 11. Ppostupnosť kladných čísel tvorí aritmetický postup , A- geometrický postup

Riešenie., a tu. Nájsť . Pretože aritmetická postupnosť , To(hlavná vlastnosť aritmetickej progresie). Od r , potom alebo . Z toho vyplýva,že geometrická postupnosť má tvar. Podľa vzorca (2)

, potom to zapíšeme . Odvtedy a potom. V tomto prípade výraz má podobu alebo . Podľa stavu,takže z rov. získame jedinečné riešenie uvažovaného problému

Odpoveď: .

, t.j. . Príklad 12.

. (12)

Riešenie. Vypočítajte súčet

Vynásobme obe strany rovnosti (12) 5 a dostaneme aritmetická postupnosť

Ak od výsledného výrazu odčítame (12).

alebo .

Odpoveď: .

Na výpočet nahradíme hodnoty do vzorca (7) a získame . Odvtedy., Tu uvedené príklady riešenia problémov budú užitočné pre uchádzačov pri príprave na prijímacie skúšky. Pre hlbšie štúdium metód riešenia problémov, súvisiaci s geometrickou progresiou

1. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov na vysoké školy / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir a vzdelávanie, 2013. – 608 s.

2. Suprun V.P. Matematika pre stredoškolákov: doplnkové časti školského vzdelávacieho programu. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 s.

3. Medýnsky M.M. Kompletný kurz elementárnej matematiky v úlohách a cvičeniach. Kniha 2: Číselné postupnosti a postupnosti. – M.: Editus, 2015. – 208 s.

Stále máte otázky?

Ak chcete získať pomoc od tútora, zaregistrujte sa.

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

Uvažujme o určitej sérii.

7 28 112 448 1792...

Je úplne jasné, že hodnota ktoréhokoľvek z jeho prvkov je presne štyrikrát väčšia ako u predchádzajúceho. To znamená, že táto séria je progresívna.

Geometrická postupnosť je nekonečná postupnosť čísel, ktorej hlavnou črtou je, že ďalšie číslo sa získa z predchádzajúceho vynásobením konkrétnym číslom. To je vyjadrené nasledujúcim vzorcom.

a z +1 =a z ·q, kde z je číslo vybraného prvku.

Preto z ∈ N.

Obdobie, kedy sa v škole študuje geometrická postupnosť, je 9. ročník. Príklady vám pomôžu pochopiť tento koncept:

0.25 0.125 0.0625...

Na základe tohto vzorca možno nájsť menovateľa progresie takto:

Ani q, ani b z nemôže byť nula. Každý z prvkov progresie by sa tiež nemal rovnať nule.

Preto, aby ste zistili ďalšie číslo v rade, musíte vynásobiť posledné číslo q.

Ak chcete nastaviť túto postupnosť, musíte zadať jej prvý prvok a menovateľ. Potom je možné nájsť ktorýkoľvek z nasledujúcich výrazov a ich súčet.

Odrody

V závislosti od q a a 1 je táto progresia rozdelená do niekoľkých typov:

• Ak sú a 1 aj q väčšie ako jedna, potom je takáto postupnosť geometrická postupnosť, ktorá sa zvyšuje s každým nasledujúcim prvkom. Príklad je uvedený nižšie.

Príklad: a 1 =3, q=2 - oba parametre sú väčšie ako jedna.

Potom je možné číselnú postupnosť zapísať takto:

3 6 12 24 48 ...

• Ak |q| je menšia ako jedna, to znamená, že násobenie ňou je ekvivalentné deleniu, potom je postupnosť s podobnými podmienkami klesajúca geometrická postupnosť. Príklad je uvedený nižšie.

Príklad: a 1 = 6, q = 1/3 - a 1 je väčšie ako jedna, q je menšie.

Potom je možné číselnú postupnosť zapísať takto:

6 2 2/3 ... - každý prvok je 3-krát väčší ako prvok, ktorý za ním nasleduje.

• Striedavý znak. Ak q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Príklad: a 1 = -3, q = -2 - oba parametre sú menšie ako nula.

Potom je možné číselnú postupnosť zapísať takto:

3, 6, -12, 24,...

Vzorce

Existuje mnoho vzorcov na pohodlné používanie geometrických postupností:

• Z-term vzorec. Umožňuje vypočítať prvok pod určitým číslom bez počítania predchádzajúcich čísel.

Príklad:q = 3, a 1 = 4. Je potrebné započítať štvrtý prvok postupu.

Riešenie:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Súčet prvých prvkov, ktorých počet sa rovná z. Umožňuje vypočítať súčet všetkých prvkov sekvencie až doa zvrátane.

Od (1-q) je v menovateli, potom (1 - q)≠ 0, preto sa q nerovná 1.

Poznámka: ak q=1, potom by postupnosť bola séria nekonečne sa opakujúcich čísel.

Súčet geometrickej postupnosti, príklady:a 1 = 2, q= -2. Vypočítajte S5.

Riešenie:S 5 = 22 - výpočet pomocou vzorca.

• Suma, ak |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Príklad:a 1 = 2 , q= 0,5. Nájdite sumu.

Riešenie:S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Niektoré vlastnosti:

• Charakteristická vlastnosť. Ak je splnená nasledujúca podmienka funguje pre akékoľvekz, potom je daný číselný rad geometrickou postupnosťou:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Druhá mocnina ľubovoľného čísla v geometrickej postupnosti sa tiež nájde sčítaním druhých mocnín ľubovoľných dvoch ďalších čísel v danom rade, ak sú od tohto prvku rovnako vzdialené.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Kdet- vzdialenosť medzi týmito číslami.

• Prvkysa líšia v qraz.
• Logaritmy prvkov progresie tiež tvoria progresiu, ale aritmetickú, to znamená, že každý z nich je o určité číslo väčší ako predchádzajúci.

Príklady niektorých klasických problémov

Aby ste lepšie pochopili, čo je geometrická progresia, môžu vám pomôcť príklady s riešeniami pre triedu 9.

• Podmienky:a 1 = 3, a 3 = 48. Nájdiq.

Riešenie: každý nasledujúci prvok je väčší ako predchádzajúciq raz.Niektoré prvky je potrebné vyjadriť inými pomocou menovateľa.

tedaa 3 = q 2 · a 1

Pri striedaníq= 4

• Podmienky:a 2 = 6, a 3 = 12. Vypočítajte S 6.

Riešenie:Ak to chcete urobiť, stačí nájsť q, prvý prvok a nahradiť ho do vzorca.

a 3 = q· a 2 , teda,q= 2

a 2 = q · a 1 ,Preto a 1 = 3

S6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Nájdite štvrtý prvok postupu.

Riešenie: na to stačí vyjadriť štvrtý prvok cez prvý a cez menovateľ.

a 4 = q 3· a1 = -80

Príklad aplikácie:

• Klient banky vložil zálohu vo výške 10 000 rubľov, podľa ktorej sa klientovi každý rok pripočíta 6 % z nej k sume istiny. Koľko peňazí bude na účte po 4 rokoch?

Riešenie: Počiatočná suma je 10 tisíc rubľov. To znamená, že rok po investícii bude na účte suma rovnajúca sa 10 000 + 10 000 · 0,06 = 10 000 1,06

V súlade s tým bude suma na účte po ďalšom roku vyjadrená takto:

(10 000 · 1,06) · 0,06 + 10 000 · 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10 000

To znamená, že každý rok sa suma zvýši 1,06-krát. To znamená, že na zistenie množstva prostriedkov na účte po 4 rokoch stačí nájsť štvrtý prvok progresie, ktorý je daný prvým prvkom rovným 10 tisíc a menovateľom rovným 1,06.

S = 1,06 1,06 1,06 1,06 10 000 = 12625

Príklady problémov s výpočtom súčtu:

Geometrická progresia sa používa v rôznych problémoch. Príklad na nájdenie súčtu možno uviesť takto:

a 1 = 4, q= 2, vypočítajteS 5.

Riešenie: všetky údaje potrebné na výpočet sú známe, stačí ich dosadiť do vzorca.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Vypočítajte súčet prvých šiestich prvkov.

Riešenie:

V geom. postupnosť, každý ďalší prvok je q-krát väčší ako predchádzajúci, to znamená, že na výpočet súčtu potrebujete poznať prvoka 1 a menovateľq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Podobne je potrebné nájsťa 1 , vediaca 2 Aq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Napríklad, sekvencia \(3\); \(6\); \(12\); \(24\); \(48\)... je geometrická postupnosť, pretože každý nasledujúci prvok sa od predchádzajúceho líši koeficientom dva (inými slovami, dá sa získať od predchádzajúceho vynásobením dvoma):

Ako každá postupnosť, aj geometrická postupnosť je označená malým latinským písmenom. Čísla, ktoré tvoria postupnosť, sa nazývajú členov(alebo prvky). Označujú sa rovnakým písmenom ako geometrická postupnosť, ale s číselným indexom rovným číslu prvku v poradí.

Napríklad, geometrická postupnosť \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48…\)\) pozostáva z prvkov \(b_1=3\); \(b_2=6\); \(b_3=12\) a tak ďalej. Inými slovami:

Ak porozumiete vyššie uvedeným informáciám, budete už schopní vyriešiť väčšinu problémov na túto tému.

Príklad (OGE):
Riešenie:

Odpoveď : \(-686\).

Príklad (OGE): Sú uvedené prvé tri členy postupu \(324\); \(-108\); \(36\)…. Nájsť \(b_5\).
Riešenie:

	Aby sme mohli pokračovať v postupnosti, musíme poznať menovateľa. Zistime to z dvoch susediacich prvkov: čím musíme vynásobiť \(324\), aby sme dostali \(-108\)?
\(324·q=-108\)	Odtiaľ môžeme ľahko vypočítať menovateľa.
\(q=-\) \(\frac(108)(324)\) \(=-\) \(\frac(1)(3)\)	Teraz môžeme ľahko nájsť prvok, ktorý potrebujeme.
	Odpoveď je pripravená.

Odpoveď : \(4\).

Príklad: Postup je určený podmienkou \(b_n=0,8·5^n\). Ktoré číslo je členom tohto postupu:

a) \(-5\) b) \(100\) c) \(25\) d) \(0,8\) ?

Riešenie: Zo znenia úlohy je zrejmé, že jedno z týchto čísel je určite v našom postupe. Preto môžeme jednoducho vypočítať jeho členy jeden po druhom, kým nenájdeme hodnotu, ktorú potrebujeme. Keďže náš postup je daný vzorcom, vypočítame hodnoty prvkov nahradením rôznych \(n\):
\(n=1\); \(b_1=0,8·5^1=0,8·5=4\) – v zozname takéto číslo nie je. Pokračujme.
\(n=2\); \(b_2=0,8·5^2=0,8·25=20\) - a ani toto tam nie je.
\(n=3\); \(b_3=0,8·5^3=0,8·125=100\) - a tu je náš šampión!

odpoveď: \(100\).

Príklad (OGE): Je uvedených niekoľko po sebe nasledujúcich členov geometrickej postupnosti...\(8\); \(x\); \(50\); \(-125\)…. Nájdite hodnotu prvku označeného \(x\).

Riešenie:

odpoveď: \(-20\).

Príklad (OGE): Postup je určený podmienkami \(b_1=7\), \(b_(n+1)=2b_n\). Nájdite súčet prvých \(4\) členov tejto postupnosti.

Riešenie:

odpoveď: \(105\).

Príklad (OGE): Je známe, že v geometrickom postupe \(b_6=-11\), \(b_9=704\). Nájdite menovateľa \(q\).

Riešenie:

	Z diagramu vľavo môžete vidieť, že aby sme sa „dostali“ z \(b_6\) do \(b_9\), urobíme tri „kroky“, to znamená, že vynásobíme \(b_6\) trikrát menovateľom progresie. Inými slovami, \(b_9=b_6·q·q·q=b_6·q^3\).
\(b_9=b_6·q^3\)	Nahradme hodnoty, ktoré poznáme.
\(704=(-11)q^3\)	Otočme rovnicu a vydeľme ju \((-11)\).
\(q^3=\) \(\frac(704)(-11)\) \(\:\:\: ⇔ \:\:\: \)\(q^3=-\) \(64 \)	Aké číslo v kocke dáva \(-64\)? Samozrejme, \(-4\)!
	Odpoveď sa našla. Dá sa to skontrolovať obnovením reťazca čísel od \(-11\) do \(704\).
	Všetko sa spojilo - odpoveď je správna.

odpoveď: \(-4\).

Najdôležitejšie vzorce

Ako vidíte, väčšina problémov s geometrickým postupom sa dá vyriešiť pomocou čistej logiky, jednoducho pochopením podstaty (to je vo všeobecnosti typické pre matematiku). Ale niekedy znalosť určitých vzorcov a vzorcov riešenie urýchli a výrazne uľahčí. Budeme študovať dva takéto vzorce.

Vzorec \(n\)-teho člena: \(b_n=b_1·q^(n-1)\), kde \(b_1\) je prvý člen postupnosti; \(n\) – číslo požadovaného prvku; \(q\) – menovateľ progresie; \(b_n\) – člen postupnosti s číslom \(n\).

Pomocou tohto vzorca môžete napríklad vyriešiť problém z prvého príkladu doslova jednou akciou.

Príklad (OGE): Geometrická postupnosť je určená podmienkami \(b_1=-2\); \(q=7\). Nájsť \(b_4\).
Riešenie:

odpoveď: \(-686\).

Tento príklad bol jednoduchý, takže vzorec nám výpočty príliš neuľahčil. Pozrime sa na problém trochu zložitejšie.

Príklad: Geometrická postupnosť je určená podmienkami \(b_1=20480\); \(q=\frac(1)(2)\). Nájdite \(b_(12)\).
Riešenie:

odpoveď: \(10\).

Samozrejme, zvýšiť \(\frac(1)(2)\) na \(11\)-nú mocninu nie je veľmi radostné, ale stále je to jednoduchšie ako \(11\) deliť \(20480\) dvoma.

Súčet \(n\) prvých členov: \(S_n=\)\(\frac(b_1·(q^n-1))(q-1)\) , kde \(b_1\) je prvý člen progresie; \(n\) – počet sčítaných prvkov; \(q\) – menovateľ progresie; \(S_n\) – súčet \(n\) prvých členov postupnosti.

Príklad (OGE): Daná geometrická postupnosť \(b_n\), ktorej menovateľ je \(5\) a prvý člen je \(b_1=\frac(2)(5)\). Nájdite súčet prvých šiestich členov tohto postupu.
Riešenie:

odpoveď: \(1562,4\).

A opäť by sme mohli problém vyriešiť priamočiaro – nájsť postupne všetkých šesť prvkov a potom pridať výsledky. Počet výpočtov, a tým aj možnosť náhodnej chyby, by sa však prudko zvýšil.

Pre geometrický postup existuje niekoľko ďalších vzorcov, ktoré sme tu neuvažovali pre ich nízke praktické využitie. Tieto vzorce nájdete.

Zvyšovanie a znižovanie geometrickej progresie

Pre postupnosť \(b_n = \(3; 6; 12; 24; 48...\)\) uvažovanú na samom začiatku článku je menovateľ \(q\) väčší ako jedna, a preto každý ďalší člen je väčšia ako predchádzajúca. Takéto progresie sa nazývajú zvyšujúci sa.

Ak je \(q\) menšie ako jedna, ale je kladné (to znamená, že leží v rozsahu od nuly do jedna), potom každý ďalší prvok bude menší ako predchádzajúci. Napríklad v postupnosti \(4\); \(2\); \(1\); \(0,5\); \(0,25\)... menovateľ \(q\) sa rovná \(\frac(1)(2)\).

Tieto progresie sa nazývajú klesajúci. Všimnite si, že žiadny z prvkov takéhoto postupu nebude negatívny, len sa každým krokom zmenšujú a zmenšujú. To znamená, že sa postupne priblížime k nule, no nikdy ju nedosiahneme a neprekročíme. V takýchto prípadoch matematici hovoria „inklinujú k nule“.

Upozorňujeme, že so záporným menovateľom prvky geometrickej progresie nevyhnutne zmenia znamienko. Napríklad, y postupnosť \(5\); \(-15\); \(45\); \(-135\); \(675\)... menovateľ \(q\) je \(-3\), a preto znamienka prvkov „blikajú“.