- Do funkcie nahraďte kladné číselné hodnoty x (\displaystyle x) a zodpovedajúce záporné číselné hodnoty. Napríklad vzhľadom na funkciu f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Nahraďte do nej nasledujúce hodnoty x (\displaystyle x):
Skontrolujte, či je graf funkcie symetrický okolo osi Y. Symetria znamená zrkadlový obraz grafu vzhľadom na zvislú os. Ak je časť grafu napravo od osi Y (kladné hodnoty nezávislej premennej) rovnaká ako časť grafu naľavo od osi Y (záporné hodnoty nezávislej premennej ), graf je symetrický podľa osi y Ak je funkcia symetrická podľa osi y, je funkcia párna.
Skontrolujte, či je graf funkcie symetrický podľa počiatku. Počiatok je bod so súradnicami (0,0). Symetria o pôvode znamená, že kladná hodnota y (\displaystyle y)(s kladnou hodnotou x (\displaystyle x)) zodpovedá zápornej hodnote y (\displaystyle y)(so zápornou hodnotou x (\displaystyle x)), a naopak. Nepárne funkcie majú symetriu okolo pôvodu.
Skontrolujte, či má graf funkcie nejakú symetriu. Posledným typom funkcie je funkcia, ktorej graf nemá žiadnu symetriu, to znamená, že neexistuje zrkadlový obraz vzhľadom na zvislú os, ani vzhľadom na počiatok. Napríklad vzhľadom na funkciu .
- Nahraďte do funkcie niekoľko kladných a zodpovedajúcich záporné hodnoty x (\displaystyle x):
- Podľa získaných výsledkov neexistuje žiadna symetria. hodnoty y (\displaystyle y) Pre opačné významy x (\displaystyle x) nezhodujú sa a nie sú opačné. Funkcia teda nie je ani párna, ani nepárna.
- Upozorňujeme, že funkcia f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) dá sa napísať takto: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Pri zápise v tomto tvare sa funkcia objaví aj preto, že existuje párny exponent. Tento príklad však dokazuje, že typ funkcie nemožno rýchlo určiť, ak je nezávislá premenná uzavretá v zátvorkách. V tomto prípade musíte otvoriť zátvorky a analyzovať získané exponenty.
Definícia 1. Funkcia sa volá dokonca
(nepárne
), ak sú spolu s každou hodnotou premennej 
význam - X tiež patrí 
a platí rovnosť
Funkcia teda môže byť párna alebo nepárna len vtedy, ak je jej definičný obor symetrický podľa pôvodu súradníc na číselnej osi (číslo X a - X patria zároveň 
). Napríklad funkcia 
nie je ani párne, ani nepárne, keďže je doménou definície 
nie sú symetrické podľa pôvodu.
Funkcia 
dokonca, pretože 
symetrické podľa pôvodu a.
Funkcia 
zvláštne, pretože 
A 
.
Funkcia 
nie je párne a nepárne, keďže hoci 
a je symetrický vzhľadom na pôvod, nie sú splnené rovnosti (11.1). Napríklad,.
Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi Oh, pretože ak bod 
patrí tiež do rozvrhu. Graf nepárnej funkcie je symetrický okolo počiatku, keďže ak 
patrí do grafu, potom bod 
patrí tiež do rozvrhu.
Pri dokazovaní, či je funkcia párna alebo nepárna, sú užitočné nasledujúce tvrdenia.
Veta 1. a) Súčet dvoch párnych (nepárnych) funkcií je párna (nepárna) funkcia.
b) Súčin dvoch párnych (nepárnych) funkcií je párna funkcia.
c) Súčin párnej a nepárnej funkcie je nepárna funkcia.
d) Ak f– rovnomerná funkcia na televízore X a funkciu g
definované na súprave 
, potom funkciu 
– dokonca.
d) Ak f– nepárna funkcia na prijímači X a funkciu g
definované na súprave 
a párne (nepárne), potom funkcia 
– párne (nepárne).
Dôkaz. Dokážme napríklad b) ad).
b) Nechajte 
A 
– párne funkcie. Potom teda. Prípad nepárnych funkcií sa rieši podobne 
A 
.
d) Nechajte f je rovnomerná funkcia. Potom.
Zvyšné tvrdenia vety možno dokázať podobným spôsobom. Veta bola dokázaná.
Veta 2. Akákoľvek funkcia 
, definované na súprave X, symetrický podľa pôvodu, môže byť reprezentovaný ako súčet párnych a nepárnych funkcií.
Dôkaz. Funkcia 
možno napísať vo forme
.
Funkcia 
– dokonca, pretože 
a funkciu 
– zvláštne, pretože. teda 
, Kde 
– párne a 
– nepárne funkcie. Veta bola dokázaná.
Definícia 2. Funkcia 
volal periodické
, ak existuje číslo 
, a to tak, že pre akékoľvek 
čísla 
A 
patria tiež do oblasti definície 
a rovnosti sú uspokojené
Takéto číslo T volal obdobie
funkcie 
.
Z definície 1 vyplýva, že ak T– obdobie funkcie 
, potom číslo – T To isté
je obdobie funkcie
(od momentu výmeny T na – T je zachovaná rovnosť). Pomocou metódy matematickej indukcie možno ukázať, že ak T– obdobie funkcie f, potom 
, je tiež obdobie. Z toho vyplýva, že ak má funkcia periódu, potom má nekonečne veľa periód.
Definícia 3. Najmenšia z kladných periód funkcie sa nazýva jej hlavné obdobie.
Veta 3. Ak T– hlavné obdobie funkcie f, potom zostávajúce obdobia sú jeho násobky.
Dôkaz. Predpokladajme opak, teda že existuje obdobie 
funkcie f
(
>0), nie viacnásobné T. Potom delenie 
na T so zvyškom dostaneme 
, Kde 
. Preto
to jest 
– obdobie funkcie f, a 
, a to odporuje skutočnosti, že T– hlavné obdobie funkcie f. Z výsledného rozporu vyplýva tvrdenie vety. Veta bola dokázaná.
Je dobre známe, že goniometrické funkcie sú periodické. Hlavné obdobie 
A 
rovná sa 
,
A 
. Nájdite obdobie funkcie 
. Nechaj 
- obdobie tejto funkcie. Potom
(pretože 
.
oror 
.
Význam T, určená z prvej rovnosti, nemôže byť bodkou, keďže závisí od X, t.j. je funkciou X, a nie konštantné číslo. Obdobie sa určuje od druhej rovnosti: 
. Období je nekonečne veľa, s 
najmenšia kladná perióda sa získa pri 
:
. Toto je hlavné obdobie funkcie 
.
Príkladom zložitejšej periodickej funkcie je Dirichletova funkcia
Všimnite si, že ak T je teda racionálne číslo 
A 
sú racionálne čísla pre racionálne X a iracionálne, keď iracionálne X. Preto
pre akékoľvek racionálne číslo T. Preto akékoľvek racionálne číslo T je obdobie Dirichletovej funkcie. Je zrejmé, že táto funkcia nemá hlavné obdobie, pretože existujú pozitívne racionálne čísla, ľubovoľne blízko nule (napríklad je možné zvoliť racionálne číslo nľubovoľne blízko nule).
Veta 4. Ak je funkcia f
definované na súprave X a má obdobie T a funkciu g
definované na súprave 
, teda komplexná funkcia 
má tiež obdobie T.
Dôkaz. Máme teda
to znamená, že tvrdenie vety je dokázané.
Napríklad od r cos
x
má obdobie 
, potom funkcie 
mať obdobie 
.
Definícia 4. Volajú sa funkcie, ktoré nie sú periodické neperiodické .
Štúdia funkcie.
1) D(y) – Definičný obor: množina všetkých týchto hodnôt premennej x. pre ktoré dávajú zmysel algebraické výrazy f(x) a g(x).
Ak je funkcia daná vzorcom, potom oblasť definície pozostáva zo všetkých hodnôt nezávislej premennej, pre ktoré má vzorec zmysel.
2) Vlastnosti funkcie: párne/nepárne, periodicita:
Nepárne A dokonca volajú sa funkcie, ktorých grafy sú symetrické vzhľadom na zmeny znamienka argumentu.
Neobyčajná funkcia- funkcia, ktorá pri zmene znamienka nezávislej premennej (symetricky voči stredu súradníc) mení svoju hodnotu na opačnú.
Dokonca aj funkcia- funkcia, ktorá nemení svoju hodnotu pri zmene znamienka nezávisle premennej (symetricky podľa ordináty).
Ani párna, ani nepárna funkcia (funkcia celkový pohľad) - funkcia, ktorá nemá symetriu. Táto kategória obsahuje funkcie, ktoré nespadajú pod predchádzajúce 2 kategórie.
Volajú sa funkcie, ktoré nepatria do žiadnej z vyššie uvedených kategórií ani párne, ani nepárne(alebo všeobecné funkcie).
Nepárne funkcie
Nepárna mocnina kde je ľubovoľné celé číslo.
Dokonca aj funkcie
Dokonca aj mocnina kde je ľubovoľné celé číslo.
Periodická funkcia- funkcia, ktorá opakuje svoje hodnoty v určitom pravidelnom intervale argumentov, to znamená, že nemení svoju hodnotu pri pridávaní nejakého pevného nenulového čísla do argumentu ( obdobie funkcie) v celej oblasti definície.
3) Nuly (korene) funkcie sú body, kde sa stáva nulou.
Nájdenie priesečníka grafu s osou Oj. Aby ste to dosiahli, musíte vypočítať hodnotu f(0). Nájdite tiež priesečníky grafu s osou Ox, prečo nájsť korene rovnice f(x) = 0 (alebo sa uistite, že neexistujú žiadne korene).
Body, v ktorých graf pretína os, sa nazývajú funkčné nuly. Ak chcete nájsť nuly funkcie, musíte vyriešiť rovnicu, teda nájsť tieto významy "x", pri ktorom sa funkcia stáva nulou.
4) Intervaly stálosti znakov, znaky v nich.
Intervaly, v ktorých si funkcia f(x) zachováva znamienko.
Interval stálosti znamienka je interval v každom bode ktorej funkcia je pozitívna alebo negatívna.
NAD osou x.
POD osou.
5) Spojitosť (body diskontinuity, povaha diskontinuity, asymptoty).
Nepretržitá funkcia- funkcia bez „skokov“, teda taká, v ktorej malé zmeny v argumente vedú k malým zmenám v hodnote funkcie.
Odnímateľné body zlomu
Ak je limita funkcie existuje, ale funkcia nie je v tomto bode definovaná alebo sa limit nezhoduje s hodnotou funkcie v tomto bode:
,
potom sa bod nazýva odnímateľný bod zlomu funkcie (v komplexnej analýze odnímateľný singulárny bod).
Ak funkciu „opravíme“ v bode odstrániteľnej diskontinuity a vložíme 
, potom dostaneme funkciu, ktorá je v danom bode spojitá. Takáto operácia s funkciou sa nazýva rozšírenie funkcie na nepretržitú alebo predefinovanie funkcie kontinuitou, čo odôvodňuje názov bodu ako bod odnímateľné prasknutie.
Body diskontinuity prvého a druhého druhu
Ak má funkcia v danom bode diskontinuitu (to znamená, že limita funkcie v danom bode chýba alebo sa nezhoduje s hodnotou funkcie v danom bode), potom pre numerické funkcie existujú dve možné možnosti: spojené s existenciou numerických funkcií jednostranné limity:
ak obe jednostranné limity existujú a sú konečné, potom sa takýto bod nazýva bod diskontinuity prvého druhu.
Odnímateľné body diskontinuity sú body diskontinuity prvého druhu; ak aspoň jedna z jednostranných limitov neexistuje alebo nie je konečnou hodnotou, potom sa takýto bod nazýva.
bod diskontinuity druhého druhu - Asymptota rovno , ktorá má vlastnosť, že vzdialenosť od bodu na krivke k tomuto priamy
má tendenciu k nule, keď sa bod vzďaľuje pozdĺž vetvy do nekonečna.
Vertikálne 
.
Vertikálna asymptota - limitná čiara
Spravidla pri určovaní vertikálnej asymptoty nehľadajú jednu limitu, ale dve jednostranné (ľavú a pravú). Toto sa robí s cieľom určiť, ako sa funkcia správa, keď sa približuje k vertikálnej asymptote z rôznych smerov. Napríklad:
Horizontálne Asymptota Horizontálna asymptota - druhov, ktoré podliehajú existencii
.
limit
Naklonený Asymptota Horizontálna asymptota - Šikmá asymptota -
limity
Poznámka: funkcia nemôže mať viac ako dve šikmé (horizontálne) asymptoty.
Poznámka: ak aspoň jedna z dvoch limitov uvedených vyššie neexistuje (alebo sa rovná ), potom šikmá asymptota v (alebo ) neexistuje. ak v položke 2.), potom , a limit sa zistí podľa vzorca, 
.
6) horizontálna asymptota Hľadanie intervalov monotónnosti. f(x Nájdite intervaly monotónnosti funkcie f(x) (teda intervaly zvyšovania a znižovania). Robí sa to skúmaním znamienka derivácie f(x). Ak to chcete urobiť, nájdite derivát f(x) a vyriešte nerovnosť f(x)0. Na intervaloch, kde platí táto nerovnosť, funkcia f(x)zvyšuje. Kde platí obrátená nerovnosť f(x)0, funkcia
) klesá. Nájdenie lokálneho extrému.
Po zistení intervalov monotónnosti môžeme okamžite určiť miestne extrémy, kde je nárast nahradený poklesom, nachádzajú sa lokálne maximá a kde je pokles nahradený nárastom, nachádzajú sa lokálne minimá. Vypočítajte hodnotu funkcie v týchto bodoch. Ak má funkcia kritické body, ktoré nie sú lokálnymi extrémnymi bodmi, potom je užitočné vypočítať hodnotu funkcie aj v týchto bodoch. Nájdenie najväčšieho a najnižšie hodnoty funkcie y = f(x) na intervale
|
1. (pokračovanie) f(x). 2. Nájdite deriváciu funkcie: f(x)=0x 1, x 2 ,... 3. Nájdite body, v ktorých je derivácia nula: X 1 ,Určte príslušnosť bodov 2 , … X segment [; a b x 1segment [;a]: nech x 2segment [;a . 4. Nájdite hodnoty funkcie vo vybraných bodoch a na koncoch segmentu: f(x 1), f(x 2),..., f(x segment [),f(x a), 5. Výber najväčších a najmenších funkčných hodnôt z nájdených. Komentujte. Ak na segmente [ segment [; a] existujú body nespojitosti, potom je potrebné na nich vypočítať jednostranné limity a potom ich hodnoty zohľadniť pri výbere najväčšej a najmenšej hodnoty funkcie. |
7) Hľadanie intervalov konvexnosti a konkávnosti. Robí sa to skúmaním znamienka druhej derivácie f(x). Nájdite inflexné body na križovatkách konvexných a konkávnych intervalov. Vypočítajte hodnotu funkcie v inflexných bodoch. Ak má funkcia iné body spojitosti (okrem inflexných bodov), v ktorých je druhá derivácia 0 alebo neexistuje, potom je tiež užitočné vypočítať hodnotu funkcie v týchto bodoch. Po nájdení f(x), riešime nerovnosť f(x)0. Na každom z intervalov riešenia bude funkcia konvexná smerom nadol. Riešenie inverznej nerovnosti f(x)0 nájdeme intervaly, v ktorých je funkcia konvexná smerom nahor (teda konkávna). Inflexné body definujeme ako tie body, v ktorých funkcia mení smer konvexnosti (a je spojitá).
Inflexný bod funkcie- je to bod, v ktorom je funkcia spojitá a pri prechode cez ktorý funkcia mení smer konvexnosti.
Podmienky existencie
Nevyhnutná podmienka pre existenciu inflexného bodu: ak je funkcia dvakrát diferencovateľná v nejakom punktovanom okolí bodu, potom alebo 
.
Ktoré vám boli v tej či onej miere povedomé. Bolo tam tiež poznamenané, že zásoba funkčných vlastností sa bude postupne dopĺňať. V tejto časti sa budú diskutovať dve nové vlastnosti.
Definícia 1.
Funkcia y = f(x), x є X sa volá aj vtedy, ak pre ľubovoľnú hodnotu x z množiny X platí rovnosť f (-x) = f (x).
Definícia 2.
Funkcia y = f(x), x є X sa nazýva nepárna, ak pre ľubovoľnú hodnotu x z množiny X platí rovnosť f (-x) = -f (x).
Dokážte, že y = x 4 je párna funkcia.
Riešenie. Máme: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Ale (-x) 4 = x 4. To znamená, že pre ľubovoľné x platí rovnosť f(-x) = f(x), t.j. funkcia je párna.
Podobne sa dá dokázať, že funkcie y - x 2, y = x 6, y - x 8 sú párne.
Dokážte, že y = x 3 ~ nepárna funkcia.
Riešenie. Máme: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Ale (-x) 3 = -x 3. To znamená, že pre ľubovoľné x platí rovnosť f (-x) = -f (x), t.j. funkcia je nepárna.
Podobne sa dá dokázať, že funkcie y = x, y = x 5, y = x 7 sú nepárne.
Už viackrát sme sa presvedčili, že nové pojmy v matematike majú najčastejšie „pozemský“ pôvod, t. dajú sa nejako vysvetliť. To je prípad párnych aj nepárnych funkcií. Pozri: y - x 3, y = x 5, y = x 7 - nepárne funkcie, pričom y = x 2, y = x 4, y = x 6 sú párne funkcie. A vo všeobecnosti, pre akúkoľvek funkciu tvaru y = x" (nižšie budeme konkrétne študovať tieto funkcie), kde n je prirodzené číslo, môžeme dospieť k záveru: ak je n nepárne číslo, potom funkcia y = x" je nepárny; ak je n párne číslo, potom funkcia y = xn je párna.
Existujú aj funkcie, ktoré nie sú ani párne, ani nepárne. Takou je napríklad funkcia y = 2x + 3. Skutočne, f(1) = 5 a f (-1) = 1. Ako vidíte, tu teda ani identita f(-x) = f (x), ani identitu f(-x) = -f(x).
Takže funkcia môže byť párna, nepárna alebo žiadna.
Štúdium otázky, či danú funkciu párne alebo nepárne sa zvyčajne nazýva štúdium funkcie pre paritu.
V definíciách 1 a 2 hovoríme o o hodnotách funkcie v bodoch x a -x. To predpokladá, že funkcia je definovaná v bode x aj v bode -x. To znamená, že bod -x patrí do definičného oboru funkcie súčasne s bodom x. Ak číselná množina X spolu s každým jej prvkom x obsahuje aj opačný prvok -x, potom sa X nazýva symetrická množina. Povedzme, že (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sú symetrické množiny, zatiaľ čo )
