Prvky teórie množín

Koncept súboru

V matematike existuje široká škála súpravy. Môžeme hovoriť o množine plôch mnohostenu, bodoch na priamke, množine prirodzené čísla atď. Pojem množina je jedným z primárnych pojmov, ktoré nie sú definované prostredníctvom iných, jednoduchších. Namiesto slova „súbor“ niekedy hovoria „zbierka“, „zbierka“ predmetov atď. Objekty, ktoré tvoria danú množinu, sa nazývajú prvky danej množiny.

Teória množín sa venuje najmä štúdiu nekonečné množiny. teória konečné množiny niekedy tzv kombinatorika.

Ale tie najjednoduchšie vlastnosti množín, tie, o ktorých tu budeme len hovoriť, vo väčšine prípadov platia rovnako pre konečné aj nekonečné množiny.

Všimnite si, že v matematike je povolená množina, ktorá neobsahuje prvky - prázdna množina. Záznam AÎ X to znamená A je prvkom množiny X.

Definícia. Množina B sa nazýva podmnožina množina A, ak je každý prvok množiny B zároveň prvkom množiny A.

Každý jednotlivý prvok množiny A tvorí podmnožinu pozostávajúcu z tohto jedného prvku. Navyše, prázdna množina je podmnožinou každej množiny.

Podmnožina množiny A sa nazýva nie svoje vlastné, ak sa zhoduje s množinou A.

Ak je množina B podmnožinou množiny A, potom hovoríme, že B je obsiahnutá v A a označíme B Í A. Podmnožina B množiny A je tzv. vlastné podmnožina, ak B nie je prázdna a nezhoduje sa s A (to znamená, že existuje prvok množiny A, ktorý nie je obsiahnutý v B).

Nastaviť operácie

Nech A a B sú ľubovoľné množiny.

Definícia. Spojením dvoch množín A a B je množina C = AÈB, pozostávajúca zo všetkých prvkov patriacich aspoň do jednej z množín A a B (pozri obr. 1).

Zjednotenie ľubovoľného (konečného alebo nekonečného) počtu množín je definované podobne: ak A i sú ľubovoľné množiny, potom ich spojenie je súbor prvkov, z ktorých každý patrí aspoň do jednej z množín A i.

Obr.1 Obr.2

Definícia. Priesečníkom množín A a B je množina C = AÇB, pozostávajúca zo všetkých prvkov patriacich do A aj B (pozri obr. 2). Priesečník ľubovoľného (konečného alebo nekonečného) počtu množín A i je množina prvkov patriacich do každej z množín A i.

Operácie zjednotenia a prieniku množín sú z definície komutatívne a asociatívne, t.j.

AÈB = B È A, (A ÈB) ÈC = A È (B È C),

A Ç B = B Ç A, (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C).

Okrem toho sa navzájom distribuujú:

(A È B) Ç C = (A Ç C) È (B Ç C), (1)

(A Ç B) È C = (A È C) Ç (B È C). (2)

Definícia. Rozdielom množiny A a B sú množinou tých prvkov z A, ktoré nie sú obsiahnuté v B ( ryža. 3).

Pojem funkcie. Zobrazovanie sád

Nech X a Y sú dve ľubovoľné množiny.

Definícia. Hovorí sa, že funkcia je definovaná na X f, pričom každý prvok získa hodnotu z Y xÎ X je spojené s jedným a iba jedným prvkom rО Y. V tomto prípade sa volá množina X doména definície danú funkciu a množina Y je jej rozsah hodnôt.

Pre množiny ľubovoľného charakteru sa namiesto pojmu „funkcia“ často používa pojem „mapovanie“, ktorý hovorí o mapovaní jednej množiny na druhú.

Ak A prvok z X, potom zodpovedajúci prvok b = f(A) z Y sa nazýva spôsob a pri zobrazení f. Súhrn všetkých týchto prvkov A z X, ktorého obrazom je daný prvok bО Y, volal prototyp(alebo presnejšie kompletný prototyp) prvok b a je určený f –1 (b).

Nech A je nejaká množina z X; nastaviť ( f (A): AÎ A) všetky prvky formulára f (A), kde AÎ A sa nazýva obraz A a označuje sa f(A). Na druhej strane, pre každú množinu B z Y sa určí jej úplný inverzný obraz f–1 (V), konkrétne: f–1 (B) je zbierka všetkých prvkov z X, ktorých obrázky patria do B.

Definícia. Povedzme si to f je zobrazenie z množiny X do množiny Y, ak f(X) = Y; takémuto mapovaniu sa hovorí tvrdenie. Vo všeobecnom prípade, t.j. Kedy f(X) М Y, hovoria to f existuje mapovanie v Y. Ak pre akékoľvek dva odlišné prvky X 1 a X 2 z X ich obrázkov r 1 = f (x 1) a r 2 = f (x 2) sú teda tiež odlišné f volal injekciou. Displej f: X®Y, čo je surjekcia aj injekcia, sa nazýva individuálna korešpondencia medzi X a Y.

Nech sú dané dve množiny X a Y Definícia 2.1. Mapovanie f množiny X na množinu Y alebo funkcia definovaná na množine X s hodnotami v množine Y je korešpondencia, ktorá ku každému prvku x £ X je spojená s určitým jedinečným prvkom y € Y. Množina X sa nazýva definičný obor definovanej funkcie / a označuje sa D(f ), prvok xbX je argument funkcie a prvok y £ Y je závislý. V tomto prípade prvok y £ Y zodpovedajúci prvku z £ X sa nazýva obraz prvku x pod zobrazením / alebo hodnota funkcie f v bode x a označuje sa f(x). Rozsah hodnôt funkcie / (alebo obrázok množiny X pod mapovaním /) je množina označená D(/). Množina X = D(f) je inverzným obrazom množiny f(X) = R(f) pod mapou /. Pre daný prvok y £ Y sa množina všetkých prvkov x 6 Xy takých, že f(x) = y nazýva inverzný obraz prvku y a označuje sa /-1(y), t.j. Skutočnosť špecifikácie zobrazenia (alebo funkcie) zodpovedá zápisu / : X Y, alebo /: x y, alebo jednoducho y = /(i). Funkcia / sa teda často označuje /(g). Označenie funkcie a jej hodnoty v bode x € X rovnakým symbolom f(x) zvyčajne nespôsobuje nedorozumenia, pretože v každom konkrétnom prípade je spravidla jasné, o čo ide. Označenie f(x) je často vhodnejšie ako f:x-+y. Napríklad pre analytické transformácie je zápis f(x) = x2 vhodnejší v porovnaní s /: x -> x2. Aby sme odlíšili označenie špecifickej hodnoty f(x) funkcie pre konkrétnu hodnotu jej argumentu x od označenia samotnej funkcie, v druhom prípade niekedy píšeme f(x), x eX. Koncept funkcie sa teda skladá z troch integrálnych častí: 1) oblasť definície X\ 2) množina Y obsahujúca hodnoty funkcie; 3) pravidlo /, ktoré pre každý prvok x £ X určuje jeden prvok y = f(x) £ Y. Definícia 2.1 neukladá žiadne obmedzenia na množiny X a Y. V závislosti od toho, aké sú tieto množiny, získame jednu alebo druhú triedu funkcií. Takže ak Y C R, potom f(x) sa nazýva reálna (alebo skalárna) funkcia a ak Y C Rn, potom f(x) sa nazýva vektorová funkcia. Keď je doména X funkcie f(x) množinou R alebo nejakou jej podmnožinou, f(x) sa nazýva funkcia reálnej (alebo reálnej) premennej. Keď a XCR.h Y CR, f(x) sa nazýva reálna funkcia reálnej premennej. Ak je definičný obor funkcie množina prirodzených čísel N = (1, 2, ...), potom sa nazýva postupnosť prvkov množiny Y a označuje sa Vn] alebo (yn), čo znamená, že vn = /n = /(n) €U pre n€ N a pre Y C R - číselná postupnosť(alebo len postupnosť). Podmnožina je obrazom podmnožiny A C X pod zobrazením / : X Y. Pre obrazy podmnožín A C X a B C X platia tieto vzťahy: a v prípade L C B Podmnožinou bude inverzný obraz podmnožiny S C Y pod zobrazením f: X->Y. Takže inverzný obrázok množiny 5 pozostáva zo všetkých tých prvkov x € Xy, ktoré funkcia / mapuje na prvky z S, alebo, čo je to isté, inverzný obrázok množiny 5 pozostáva zo všetkých inverzných obrázkov prvkov. y G 5, t.j. Pre inverzné obrazy množín 5 С У a Г С У platia vzťahy a to za podmienky S ST /-1(S) С /-1(Г). V prípade A C X generuje zobrazenie /: X zobrazenie /q: A Y) definované vzorcom /a(α) = f(x) pre x € A. Toto zobrazenie sa nazýva obmedzenie zobrazenia (funkcie) f do množiny A. Hovorí sa tiež, že f je pokračovaním zobrazenia (funkcie) fA množiny A na množinu Y do množiny X, ale zvyčajne namiesto toho píšu /

Displeje (funkcie)

Funkcie zohrávajú ústrednú úlohu v matematike, kde sa používajú na opis akéhokoľvek procesu, v ktorom sa prvky jednej množiny nejakým spôsobom transformujú na prvky inej. Takéto transformácie prvkov sú základnou myšlienkou, ktorá má prvoradý význam pre všetky výpočtové procesy.

Definícia. Vzťah f na AB sa nazýva displej (funkcia) od A do B, ak pre každé xA pripadá len jedno yB. nastaviť ekvivalenciu binárneho vzťahu

f: AB alebo y=f(x)

Množina A sa nazýva doména definície. Sada B - rozsah hodnôt.

Ak y=f(x), potom sa volá x argument, a y - funkčná hodnota.

Nech f: AB teda

súbor definícií Vlastnosti:

viac významov Vlastnosti:

Definičná množina funkcie je podmnožinou definičného oboru, t.j. Dom f A a množina funkčných hodnôt je podmnožinou funkčného rozsahu, t.j. Im f B. Ak, potom sa funkcia nazýva celková funkcia a ak ide o čiastočnú funkciu. Venn diagram teda slúži ako vhodná ilustrácia funkcie definovanej na množine A s hodnotami v množine B.

Metódy na určenie funkcie:

• 1) Verbálne.
• 2) Analytické.
• 3) Pomocou grafu alebo kresby.
• 4) Pomocou tabuliek.

Definícia. Ak MA, potom sa volá množina f(M)=y f(x)=y pre nejaké x z M spôsobom súpravy M.

Ak KB, potom sa volá množina f -1 (K)=x f(x)K prototyp súpravy K.

Definícia Funkcia sa nazýva n-argumentová funkcia alebo n-árna funkcia. Táto funkcia mapuje n-ticu na bB, .

Vlastnosti zobrazení (funkcií).

1) Volá sa zobrazenie f: AB injekčne, ak je rôzne prvky z máp A na rôzne prvky z B: .

Túto vlastnosť je možné zobraziť pomocou Vennových diagramov.

2) Volá sa zobrazenie f: AB subjektívny alebo zobrazenie na celú množinu B, ak aspoň jeden prvok z A je namapovaný na každý prvok množiny B: .

Túto vlastnosť je možné zobraziť aj pomocou Vennových diagramov.

3) Zobrazenie f: AB, ktoré je injektívne aj surjektívne, sa nazýva bijektívny alebo mapovanie jedna ku jednej z množiny A do množiny B.

Príklad. Dostaneme zobrazenie f: RR, ktoré je definované tak, že. Zistite, aké vlastnosti má toto mapovanie.

Riešenie. Funkcia f nie je injektívna, pretože f (2) = f (2), ale 2 2.

Funkcia f tiež nie je surjektívna, pretože neexistuje žiadne reálne číslo x, pre ktoré by f (x) = 1.

Definícia. Nech f je bijektívne zobrazenie množiny A do množiny B. Ak každý prvok z B priradíme k pridruženému prvku z A, potom takáto korešpondencia je zobrazením množiny B do A. Toto zobrazenie sa označuje a nazýva inverzné zobrazenie na f.

Inverzné zobrazenie má niektoré vlastnosti, ktoré sformulujeme v nasledujúcej vete.

Veta 3. Ak f: AB je bijekcia, potom

1) pre ktorékoľvek y z B;

2) pre ľubovoľné x z A.

Dôkaz. 1) Nech yB a. Potom f(x)=y. Ale odvtedy

2) Podobne je dokázané, že pre ľubovoľné x z A.

Definícia. Kompozícia (superpozícia, práca) zobrazenia f: AB a g: BC sa nazývajú zobrazenie h:, ktoré sa píše h=g f.

Tento spôsob zápisu superpozície funkcií sa vysvetľuje tým, že označenie funkcie sa zvyčajne zapisuje naľavo od zoznamu argumentov:

Dôležitú úlohu v matematike zohráva vytváranie spojení medzi dvoma množinami a spojené s uvažovaním o dvojiciach objektov vytvorených z prvkov prvej množiny a zodpovedajúcich prvkov druhej množiny. Mimoriadny význam má mapovanie množín.

Nech sú ľubovoľné množiny. Displej súpravy X nastaviť Y každé pravidlo sa volá f, podľa ktorej je každý prvok množiny spojený s úplne špecifickým (jediným) prvkom množiny.

Skutočnosť, že f existuje mapovanie, stručne napísané v tvare: .

Používa sa aj označenie. Displeje sú najčastejšie označené písmenami f, q, F.

Takže na nastavenie displeja súpravy X v množine musí byť každý prvok spojený s jedným a iba jedným prvkom.

Ak prvok X od X zhodný prvok z Y, potom zavolajú prvky spôsobu , A X – prototyp prvku pri zobrazení, ktoré je zapísané ako .

Z definície mapovania vyplýva, že každý prvok z X obrázok je jedinečný, ale pre prvok môže existovať veľa prototypov alebo nemusia existovať žiadne. Množina všetkých predobrazov prvku sa nazýva jeho kompletný prototyp a označuje sa . Teda, .

Prirodzene obraz podmnožiny A a inverzný obraz podmnožiny IN pri zobrazení:

Napríklad, nechať a byť mapovaním A V A, zodpovedajúce každému prvku A od A zvyšok divízie Ačíslom 4. Potom máme:

V závislosti od vlastností, obrázkov a prototypov sa rozlišujú zobrazenia: surjektívne, injektívne a bijektívne.

Mapovanie sa nazýva subjektívny , ak , t.j. každý prvok z zobrazuje aspoň jeden prvok z X, alebo pre akékoľvek .

Mapovanie sa nazýva injekčne , ak sú rôzne prvky súpravy X sú mapované na rôzne prvky množiny t.j. , alebo je buď prázdny, alebo je nastavený ako singleton pre ľubovoľný . Injekčné mapovania sú tiež tzv investície .

Mapovanie sa nazýva bijektívny , alebo jedna k jednej mapovanie na ak je surjektívne a injektívne, t.j. ak existuje jednotná sada pre akékoľvek . V tomto prípade môžeme definovať mapovania zadaním pre ľubovoľné: . Volá sa obrátene k a označuje sa ako .

Pre názornosť si ilustrujme typy zobrazení.

Surjective Injective Bijective

Obrázok 12

Nastaviť zobrazenie A povolaný do seba transformácia súpravy A. Bijektívna transformácia množiny A volal nahradenie množiny A.

Príkladom substitúcie množiny celých čísel je zobrazenie definované rovnosťou.

Všimnite si tiež, že mapovanie množiny A V IN aj tzv funkciu , definované na súprave A s hodnotami v množine IN. V tomto prípade sa prvok nazýva význam funkcie bod A. Samé množstvo A volal regiónu definície funkcie a množina je rozsah hodnôt funkcie.

S funkciou sa často zaobchádza ako s premennou, ktorá preberá hodnoty IN a tak v závislosti od premennej X, pričom hodnoty z A, že ku každej hodnote A variabilná veľkosť X zodpovedá veľmi konkrétnej hodnote. Zároveň píšu a namiesto „funkcie“ hovoria „funkcia“.

Pozrime sa na rôzne mapovania a definujme ich typy.

1) Nechajte X– súbor kruhov na rovine. Priradením každej kružnice k jej stredu získame zobrazenie X na . Toto mapovanie nie je injektívne, keďže ten istý bod môže byť stredom nekonečné číslo kruhy. Ale je to surjektívne, pretože akýkoľvek bod je stredom nejakého kruhu. Preto je inverzná korešpondencia všade definovaná, surjektívna, ale nie funkčná.

2) Korešpondencia je číselná funkcia definovaná na celej množine reálne čísla. Množina hodnôt tejto funkcie je množina nezáporných čísel. Keďže funkcia nie je surjektívna. Nie je injekčná, keďže . Preto nemá inverznú funkciu.

3) Zobrazenie je surjektívne a injektívne: pre ľubovoľné existuje len jedno číslo také, že . Toto číslo je .

4) Zobrazenie ( - množina nezáporných čísel) množiny do seba je definované všade, injektívne, ale nie surjektívne. Pre zlomok je to skutočne splnené.

Preto je množinou hodnôt tejto funkcie interval. Inverzná funkcia je definovaný na tomto intervale a nadobúda nezáporné hodnoty.

5) Mapovanie definované pravidlom je injektívne mapovanie. Nie je to bijektívne, pretože . Ak však zadefinujeme mapovanie rovnakým spôsobom, získame bijektívne zobrazenie. . ; zo surjektivity vyplýva len surjektivita a z injektivity len injektivita.

3. Ak a sú nastavené transformácie A, potom je premenou zostavy aj ich skladba A.

Korešpondencia medzi množinami A a B je podmnožina ich karteziánskeho súčinu

Inými slovami, páry definujú korešpondenciu medzi množinami A=( ​​) a B=(), ak je špecifikované pravidlo R, podľa ktorého je prvok z množiny B vybraný pre prvok množiny A.

Ak je prvok spojený s nejakým prvkom, volá sa b spôsobom prvok a a zapisuje sa takto: b = R (a). potom - prototyp prvok, ktorý má vlastnosti jedinečnosti a úplnosti:

1. Každý prototyp zodpovedá jednému obrázku;

2. Obraz musí byť kompletný, rovnako ako prototyp musí byť kompletný.

Príklad. Ak A je množina parabol, B je množina bodov na rovine a R je korešpondenčný „vrchol paraboly“, potom R (a) je bod, ktorý je vrcholom paraboly a a pozostáva zo všetkých paraboly s vrcholom v bode b (obr. 6)

Obraz množiny A s korešpondenciou R sa nazýva súbor významov Táto korešpondencia je označená R (A), ak R (A) pozostáva z obrazov všetkých prvkov množiny A.

Inverzný obraz množiny B s nejakou korešpondenciou R sa nazýva doména definície táto korešpondencia je označená . Na druhej strane je obrátene zodpovedajúce pre R.

Takže, aby som zodpovedal R, daná bodmi súradnicová rovina, oblasťou definície je množina bodov na osi x a množina hodnôt je priemet bodov na zvislú os (obr. 7). Preto do určitého bodu

M (x, y) y je obraz a x je inverzný obraz pre nejakú korešpondenciu R: Y = R (x), Korešpondencia medzi množinami X je výhodne vo forme bodu v rovine pomocou metódy karteziánskych súradníc.

Nech je daný vzťah medzi R a Y=R (X). Zodpovedá bodom M so súradnicami (x; y) (obr. 7). Potom bude množina bodov roviny odlíšená zobrazením R harmonogram.

Na opis korešpondencie medzi množinami sa používa koncept mapovania (funkcie) jednej množiny do druhej.

Ak chcete nastaviť zobrazenie, musíte zadať:

1. Množina, ktorá je mapovaná (doména definície danej mapy, často označovaná ako );

2. Množina (on), v ktorej je daná doména definície mapovaná (množina hodnôt tohto mapovania sa často označuje );

3. Zákon alebo korešpondencia medzi týmito množinami, podľa ktorej sa prvky (obrázky) z druhej množiny vyberajú za prvky prvej množiny (prototypy, argumenty).

Označenia: .

Spôsoby určenia displejov: analytické(vo forme vzorcov), tabuľkový, grafický(diagramy alebo grafy).

Existujú dva hlavné typy jednohodnotových zobrazení (funkcií). Podľa sily sa delia na subjektívny A injekčne.

1. Korešpondencia, v ktorej je každý prvok množiny A označený jedným prvkom množiny B a každý prvok množiny B môže byť označený aspoň jedným prvkom množiny A, sa nazýva zobrazenie množiny A nastaviť B(odmietnutie).

2. Korešpondencia, v ktorej každý prvok množiny A zodpovedá jednému prvku množiny B a každý prvok množiny B zodpovedá najviac jednému predobrazu z A, sa nazýva zobrazenie množiny A. v mnohých B (injekcia).

Zobrazenie z množiny A do množiny B, v ktorom každý prvok množiny B zodpovedá jedinému prvku množiny A, sa nazýva jedna k jednej korešpondencia medzi dvoma súbormi, príp bijekcia.vstrekovanie a tvrdenie.