Nechaj l- nejaká priamka priestoru. Rovnako ako v planimetrii, akýkoľvek vektor
A =/= 0, kolineárna čiara l, volal vodiaci vektor túto priamku.
Poloha čiary v priestore je úplne určená určením smerového vektora a bodu prislúchajúceho k čiare.
Nech je to rovno l s vodiacim vektorom A prechádza bodom M 0 a M je ľubovoľný bod v priestore. Je zrejmé, že bod M (obr. 197) patrí priamke l vtedy a len vtedy, ak je vektor \(\overrightarrow(M_0 M)\) kolineárny s vektorom A , t.j.
\(\overrightarrow(M_0 M)\) = t a , t\(\in\) R. (1)
Ak sú body M a M 0 určené ich vektormi polomerov r A r 0 (obr. 198) vzhľadom na nejaký bod O v priestore, potom \(\overrightarrow(M_0 M)\) = r - r 0 a rovnica (1) má tvar
r = r 0 + t a , t\(\in\) R. (2)
Nazývajú sa rovnice (1) a (2). vektorovo-parametrické rovnice priamky. Variabilné t vo vektorovo-parametrických rovniciach sa nazýva priamka parameter.
Nech bod M 0 je priamka l a smerový vektor a sú dané ich súradnicami:
M 0 ( X 0 ; pri 0 , z 0), A = (A 1 ; A 2 ; A 3).
Potom ak ( X; y; z) - súradnice ľubovoľného bodu M priamky l, To
\(\overrightarrow(M_0 M) \) = ( x - x 0 ; y - y 0 ; z - z 0)
a vektorová rovnica (1) je ekvivalentná nasledujúcim trom rovniciam:
x - x 0 = ta 1 , y - y 0 = ta 2 , z - z 0 = ta 3
$$ \začiatok(prípady) x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + ta_2 \\ z = z_0 + ta_3, \;\;t\v R\koniec(prípady) (3)$$
Rovnice (3) sa nazývajú parametrické rovnice priamky vo vesmíre.
Úloha 1. Napíšte parametrické rovnice pre priamku prechádzajúcu bodom
M 0 (-3; 2; 4) a majúci smerový vektor A = (2; -5; 3).
V tomto prípade X 0 = -3, pri 0 = 2, z 0 = 4; A 1 = 2; A 2 = -5; A 3 = 3. Nahradením týchto hodnôt do vzorcov (3) získame parametrické rovnice tohto riadku
$$ \začiatok(prípady) x = -3 - 2 t \\ y = 2 - 5 t \\ z = 4 + 3 t, \;\;t\v R\koniec (prípady) $$
Vylúčme parameter t z rovníc (3). To sa dá urobiť, pretože A =/= 0, a teda jedna z vektorových súradníc A sa zjavne líši od nuly.
Najprv nech sú všetky súradnice odlišné od nuly. Potom
$$ t=\frac(x-x_0)(a_1),\;\;t=\frac(y-y_0)(a_2),\;\;t=\frac(z-z_0)(a_3) $$
a preto
$$ \frac(x-x_0)(a_1)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3) \;\; (4) $$
Tieto rovnice sa nazývajú kanonické rovnice priamky .
Všimnite si, že rovnice (4) tvoria systém dvoch rovníc s tromi premennými x, y A z.
Ak je v rovniciach (3) jedna z vektorových súradníc A , Napríklad A 1 sa rovná nule, potom odstránením parametra t, opäť získame sústavu dvoch rovníc s tromi premennými x, y A z:
\(x=x_0, \;\; \frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)
Tieto rovnice sa tiež nazývajú kanonické priamkové rovnice. Kvôli jednotnosti sa tiež bežne píšu vo forme (4)
\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(a_2)=\frac(z-z_0)(a_3)\)
za predpokladu, že ak je menovateľ nula, potom zodpovedajúci čitateľ je tiež nula. Tieto rovnice sú rovnicami priamky prechádzajúcej bodom M 0 ( X 0 ; pri 0 , z 0) paralelne súradnicová rovina yOz, pretože jeho smerový vektor (0; A 2 ; A 3).
Nakoniec, ak v rovniciach (3) existujú dve vektorové súradnice A , Napríklad A 1 a A 2 sa rovnajú nule, potom tieto rovnice nadobudnú tvar
X = X 0 , r = pri 0 , z = z 0 + t a 3 , t\(\in\) R.
Toto sú rovnice priamky prechádzajúcej bodom M 0 ( X 0 ; pri 0 ; z 0) rovnobežne s osou Oz. Na takú priamku X = X 0 , r = pri 0, a z- ľubovoľné číslo. A v tomto prípade, kvôli jednotnosti, môže byť rovnica priamky napísaná (s rovnakou výhradou) v tvare (4)
\(\frac(x-x_0)(0)=\frac(y-y_0)(0)=\frac(z-z_0)(a_3)\)
Teda pre ktorúkoľvek priamku v priestore možno napísať kanonické rovnice (4), a naopak, akúkoľvek rovnicu tvaru (4), za predpokladu, že aspoň jeden z koeficientov A 1 , A 2 , A 3 sa nerovná nule, definuje nejakú priamku v priestore.
Úloha 2. Napíšte kanonické rovnice priamky prechádzajúcej bodom M 0 (- 1; 1, 7) rovnobežne s vektorom A = (1; 2; 3).
Rovnice (4) sú v tomto prípade napísané takto:
\(\frac(x+1)(1)=\frac(y-1)(2)=\frac(z-7)(3)\)
Odvoďme rovnice priamky prechádzajúcej cez dva dané body M 1 ( X 1 ; pri 1 ; z 1) a
M2( X 2 ; pri 2 ; z 2). Je zrejmé, že môžeme vziať vektor a = (X 2 - X 1 ; pri 2 - pri 1 ; z 2 - z 1) a za bod M 0, ktorým prechádza priamka, napríklad bod M 1. Potom rovnice (4) budú napísané takto:
\(\frac(x-x_1)(x_2 - x_1)=\frac(y-y_1)(y_2 - y_1)=\frac(z-z_1)(z_2 - z_1)\) (5)
Toto sú rovnice priamky prechádzajúcej cez dva body M 1 ( X 1 ; pri 1 ; z 1) a
M2( X 2 ; pri 2 ;z 2).
Úloha 3. Napíšte rovnice priamky prechádzajúcej bodmi M 1 (-4; 1; -3) a M 2 (-5; 0; 3).
V tomto prípade X 1 = -4, pri 1 = 1, z 1 = -3, X 2 = -5, pri 2 = 0, z 2 = 3. Nahradením týchto hodnôt do vzorcov (5) dostaneme
\(\frac(x+4)(-1)=\frac(y-1)(-1)=\frac(z+3)(6)\)
Úloha 4. Napíšte rovnice priamky prechádzajúcej bodmi M 1 (3; -2; 1) a
M2 (5; -2; 1/2).
Po dosadení súradníc bodov M 1 a M 2 do rovníc (5) dostaneme
\(\frac(x-3)(2)=\frac(y+2)(0)=\frac(z-1)(-\frac(1)(2))\)
Rovnica, ktorá okrem neznámej veličiny obsahuje aj ďalšiu dodatočnú veličinu, ktorá môže nadobudnúť rôzne hodnoty z určitej oblasti, sa nazýva parametrické. Táto dodatočná veličina v rovnici sa nazýva parameter. V skutočnosti je možné s každou parametrickou rovnicou napísať veľa rovníc. Pozrieme sa na modul parametrických rovníc a riešenie jednoduchých parametrických rovníc.
Problém 1 Riešte rovnice vo vzťahu k $x$
A) $x + a = 7 $
B) $ 2x + 8a = 4 $
C) $x + a = 2a – x$
D) $ax = 5$
E) $a – x = x + b$
F) $ax = 3a$
Riešenie:
A) $x + a = 7 \Šípka doľava doprava x = 7 – a$, to znamená, že sa našlo riešenie tejto rovnice.
Pre rôzne hodnoty parametrov je riešením $x = 7 – a$
B) $2x + 8a = 4 \Šípka doľava doprava 2x = 4 - 8a \Šípka doľava doprava x = 2 – 4a$
C) $x + a = 2a – x \Šípka doľava doprava x + x = 2a – a \Šípka doľava doprava 2x = a \Šípka doľava doprava x = \frac(a)(2)$
D) $ax = 5$, keď a je iné ako 0, môžeme obe strany vydeliť a a dostaneme $x = 5$
Ak $a = 0$, dostaneme rovnicu ako $0.x = 5$, ktorá nemá riešenie;
E) $a – x = x + b \Šípka doľava doprava a – b = x + x \Šípka doľava doprava 2x = a – b \Šípka doľava doprava x = \frac(a-b)(2)$
F) Keď a = 0, rovnica ax = 3a je 0,x = 0
Preto akékoľvek x je riešením. Ak je a odlišné od 0, potom
$ax = 3a \Šípka doľava doprava x = \frac(3a)(a) \Šípka doľava doprava x = 3$
Problém 2 Ak a je parameter, vyriešte rovnicu:
A) $(a + 1)x = 2a + 3 $
B) $ 2a + x = ax + 4 $
C) $a^2x – x = a$
D) $a^2x + x = a$
Riešenie:
A) Ak sa $a + 1$ líši od 0, to znamená .. $a \neq -1$,
potom $x = \frac(2a+3)(a+1)$;
ak $a + 1 = 0 $, t.j. $a = -1 $
rovnica sa zmení na $0\cdot x = (2)\cdot(-1) + 3 \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 1$, ktoré nemá riešenie;
B) $2a + x = ax + 4 \Šípka vľavo$
$x – ax = 4 - 2a \Šípka vľavo$
$(1 – a)\cdot x = 2(2 – a)$
Ak $(1 – a) \neq 0$, potom $\neq 1$; riešenie bude
$x = \frac(2(2 - a)) ((1 - a)) $;
Ak $a = 1$, rovnica sa zmení na $0\cdot x = 2(2 - 1) \Leftrightarrow$
$0\cdot x = 2$, čo nemá žiadne riešenie
C) $a^2x – x = a \Šípka vľavo$
$x(a^2 -1) = a\šípka vľavo$
$(a - 1)(a + 1)x = a$
Ak $a - 1 \neq 0$ a $a + 1 \neq 0$, potom je to $a \neq 1, -1$,
riešenie je $x = \frac(a)((a - 1)(a + 1))$
Ak $a = 1$ alebo $a = -1$, rovnica bude $0\cdot x = \pm 1$, ktorá nemá riešenie
D) $a^2x + x = a\Šípka vľavo$
$(a^2 + 1)x = a$
V tomto prípade $a^2 + 1 \neq 0$ pre ľubovoľné $a$, pretože ide o súčet kladného čísla (1) a jedného záporného čísla
$(a^2 \geq 0)$ preto $x = \frac(a)(a^2 + 1)$
Problém 3 Ak sú a a b parametre, vyriešte rovnice:
A) $ax + b = 0 $
B) $ax + 2b = x$
C) $(b – 1)y = 1 – a$
D) $(b^2 + 1)y = a + 2 $
Riešenie:
A) $ax + b = 0 \ľavá šípka ax = -b$
Ak $a \neq 0$, potom riešenie je $x = -\frac(b)(a)$.
Ak $a = 0, b\neq 0$, rovnica má tvar $0\cdot x = -b$ a nemá riešenie.
Ak $a = 0$ a $b = 0$, rovnica sa zmení na $0\cdot x = 0$ a akékoľvek $x$ je riešením;
B) $ax + 2b = x \Ľavá šípka ax – x = -2b \Ľavá šípka (a - 1)x = -2b$
Ak $a - 1 \neq 0$, t.j. $a \neq 1$, riešenie je $x = -\frac(2b)(a-1)$
Ak $a - 1 = 0$, teda $a = 1$ a $b \neq 0$, rovnica má tvar $0\cdot x = - 2b$ a nemá žiadne riešenie
C) Ak $b - 1 \neq 0$, to znamená $b \neq 1$,
riešenie je $y = \frac(1-a)(b-1)$
Ak $b – 1 = 0$, to znamená $b = 1$, ale $1 – a \neq 0$,
teda $a \neq 1$, rovnica má tvar $0\cdot y = 1 – a$ a nemá riešenie.
Ak $b = 1$ a $a = 1$, rovnica má tvar $0\cdot y = 0$ a akékoľvek $y$ je riešením
D) $b^2 + 1 \neq 0$ za akékoľvek $b$ (prečo?), takže
$y = \frac(a+2)(b^2)$ je riešením rovnice.
Problém 4 $ Pre aké hodnoty $ x $ majú nasledujúce výrazy rovnaký význam:
A) $ 5x + a$ a $ 3ax + 4 $
B) $2x – 2$ a $4x + 5a$
Riešenie:
Aby sme získali rovnaké hodnoty, musíme nájsť riešenia rovníc
5 $ + a = 3ax + 4 $ a 2 x – 2 = 4 x + 5a $
A) $5x + a = 3ax + 4 \Šípka vľavo$
$5x – 3ax = 4 – a \Ľavá šípka$
$(5 – 3a)x = 4 – a$
Ak $5 - 3a \neq 0$, t.j. $a \neq \frac(5)(3)$, riešenia sú $x = \frac(4-a)(5-3a)$
Ak $5 - 3a = 0 $, t.j. $a = \frac(5)(3)$, rovnica sa zmení na $0\cdot x = 4 – \frac(5)(3) \Leftrightarrow$
$0\cdot x = \frac(7)(3)$, ktoré nemá riešenie
B) $ 2x - 2 = 4x + 5a \Leftrightarrow$
$-2 - 5a = 4x - 2x \Leftrightarrow$
$2x = - 2 - 5a \Leftrightarrow$
$x = -\frac(2+5a)(2)$
Problém 5
A) $|ax + 2| = 4 doláre
B) $|2x + 1| = 3a$
C) $|ax + 2a| = 3 doláre
Riešenie:
A) $|ax + 2| = 4 \ľavá šípka ax + 2 = 4$ alebo $ax + 2 = -4 \ľavá pravá šípka$
$ax = 2 $ alebo $ax = - 6 $
Ak $a \neq 0$, rovnice majú tvar $x = \frac(2)(a)$ alebo $x = -\frac(6)(a)$
Ak $a = 0$, rovnica nemá riešenie
B) Ak $a Ak $a > 0$, je to ekvivalentné $2x + 1 = 3a$
alebo $2x + 1 = -3a \Leftrightarrow 2x = 3a - 1 \Leftrightarrow x = \frac(3a-1)(2)$ alebo
$2x = -3a - 1 \Šípka doľava doprava x = \frac(3a-1)(2) = -\frac(3a-1)(2)$
C) $|ax + 2a| = 3 \ľavá šípka ax + 2a = 3 $ alebo $ax + 2a = - 3 $,
a nájdeme $ax = 3 - 2a$ alebo $ax = -3 - 2a$
Ak a = 0, potom neexistujú žiadne riešenia, ak $a \neq 0$
riešenia sú: $x = \frac(3-2a)(a)$ a $x = -\frac(3+2a)(a)$
Problém 6 Vyriešte rovnicu $2 – x = 2b – 2ax$, kde a a b sú reálne parametre. Nájdite, aké hodnoty má rovnica ako riešenie prirodzené číslo, ak $b = 7 $
Riešenie:
Uveďme túto rovnicu v nasledujúcom tvare: $(2a - 1)x = 2(b - 1)$
Možné sú nasledujúce možnosti:
Ak $2a - 1 \neq 0$, t.j. $a \neq \frac(1)(2)$, rovnica má jedinečné riešenie
$x = \frac(2(b-1))(2a-1)$
Ak $a = \frac(1)(2)$ a $b = 1$, rovnica sa zmení na $0\cdot x = 0$ a akékoľvek $x$ je riešením
Ak $a = \frac(1)(2)$ a $b \neq 1$, dostaneme $0\cdot x = 2(b - 1)$, kde $2(b - 1) \neq 0$
V tomto prípade rovnica nemá riešenie.
Ak $b = 7$ a $a \neq, \frac(1)(2)$ je jediným riešením
$x = \frac(2(7-1))(2a-1) = \frac(12)(2a-1)$
Ak a je celé číslo, potom $2a - 1$ je tiež celé číslo a riešenie je
$x = \frac(12)(2a-1)$ je prirodzené číslo, keď
$2a - 1$ je kladný deliteľ pre číslo $12$.
Aby a bolo celé číslo, musí byť deliteľ $12$ nepárny. Ale iba $ 1 $ a $ 3 $ sú kladné nepárne čísla, ktoré sú deliteľné 12
Preto $2a - 1 = 3 \Leftrightarrow a = 2$ alebo $2a - 1 = 1 \Leftrightarrow$
$a = 1 a = 2$ alebo $2a - 1 = 1 \Šípka doľava doprava a = 1$
Problém 7 Vyriešte rovnicu $|ax - 2 – a| = 4$, kde a je parameter. Zistite, pre ktoré hodnoty a korene rovnice sú záporné celé čísla.
Riešenie:
Z definície modulu dostaneme
$|ax - 2 – x| = 4 \ľavá šípka ax - 2 – x = 4$ alebo $ax - 2 – x = - 4$
Z prvej rovnosti dostaneme $x(a - 1) - 2 = 4 \Leftrightarrow$
$(a - 1)x = 4 + 2 \Šípka doľava doprava (a - 1)x = 6$
Z druhej rovnosti dostaneme $(a - 1)x = -2$
Ak $a - 1 = 0 $, t.j. $a = 1$, posledná rovnica nemá riešenie.
Ak $a \neq 1$ zistíme, že $x = \frac(6)(a-1)$ alebo $x = -\frac(2)(a-1)$
Aby tieto korene boli neporušené záporné čísla, je potrebné urobiť nasledovné:
V prvom prípade musí byť rovnosť $a - 1$ záporným deliteľom 6 a v druhom prípade musí byť kladným deliteľom 2.
Potom $a - 1 = -1; -2; -3; - 6$ alebo $a - 1 = 1; 2 doláre
Dostaneme $a - 1 = -1 \Šípka doľava doprava a = 0; a - 1 = -2 \Šípka doľava doprava$
$a = -1; a - 1 = -3 \Šípka doľava doprava a = -2; a - 1 = -6 \Šípka doľava doprava a = -5$
alebo $a - 1 = 1 \Šípka doľava doprava a = 2; a - 1 = 2 \Šípka doľava doprava a = 3$
Potom $a = -5; -2; -1; 0; 2; 3 doláre sú riešenia problému.
Problém 8 Vyriešte rovnicu:
A) $3ax – a = 1 – x$, kde a je parameter;
B) $2ax + b = 2 + x$, kde a a b sú parametre
Riešenie:
A) $3ax + x = 1 + a \Leftrightarrow (3a + 1)x = 1 + a$.
Ak $3a + 1 \neq 0$, t.j. $a \neq -11 /3 /3$ , existuje riešenie
$x = \frac(1+a)(3a+1)$
Ak $a = -\frac(1)(3)$, rovnica má tvar $0\cdot x = \frac(1.1)(3)$, ktorá nemá riešenie.
B) $2ax – x = 2 – b \Leftrightarrow (2a – 1)x = 2 – b$
Ak $2a - 1 \neq 0$, t.j. $a \neq \frac(1)(2), x = \frac(2-b)(2a-1)$ je riešením.
Ak $a = \frac(1)(2)$, rovnica sa zmení na $0.x = 2 – b$
Potom, ak $b = 2$, akékoľvek x je riešením, ak $b \neq 2$, rovnica nemá riešenie.
Problém 9 Daná rovnica $6(kx - 6) + 24 = 5kx$ , kde k je celé číslo. Nájdite, pre aké hodnoty k platí rovnica:
A) má koreň $-\frac(4)(3)$
B) nemá riešenie;
C) má koreň ako prirodzené číslo.
Riešenie:
Prepíšme rovnicu v tvare $6kx - 36 + 24 = 5kx \Leftright kx = 12$
A) Ak $x = -\frac(4)(3)$, pre k dostaneme rovnicu $-\frac(4)(3k) = 12 \Šípka doľava doprava k = - 9$
B) Rovnica $kx = 12$ nemá riešenie, keď $k = 0$
C) Keď $k \neq 0$ je odmocnina $x = \frac(12)(k)$ a je to prirodzené číslo, ak k je kladné celé číslo deliteľné 12, t.j. $k = 1, 2, 3, 4, 6, 12 $
Problém 10 Vyriešte rovnicu:
A) $2ax + 1 = x + a$, kde a je parameter;
B) $2ax + 1 = x + b$, kde a a b sú parametre.
Riešenie:
A) $2ax + 1 = x + a \Leftrightarrow 2ax – x = a – 1 \Leftrightarrow$
$(2a - 1)x = a - 1 $
Ak $2a - 1 \neq 0$, t.j. $a \neq \frac(1)(2)$, jediné riešenie rovnice je
$x = \frac(a-1)(2a-1)$
Ak $2a - 1 = 0 $, t.j. $a = \frac(1)(2)$, rovnica má tvar
$0.x = \frac(1)(2)- 1 \Šípka doľava doprava 0.x = -\frac(1)(2)$, čo nemá žiadne riešenie
B) $2ax + 1 = x + b \Leftrightarrow$
$2ax – x = b – 1 \Šípka doľava doprava$
$(2a – 1)x = b – 1$
Ak $2a - 1 \neq 0$, t.j. $a \neq \frac(1)(2)$, riešenie je
$x = \frac(b-1)(2a-1)$
Ak $a = \frac(1)(2)$, rovnice sú ekvivalentné $0.x = b - 1$
Ak b = 1 akékoľvek x je riešenie, ak $b \neq 1$, potom riešenie neexistuje.
Problém 11 Daná rovnica $3(ax - 4) + 4 = 2ax$, kde parameter je celé číslo. Nájdite, aké hodnoty má rovnica ako korene:
A) $\vľavo(-\frac(2)(3)\vpravo)$
B) celé číslo
C) prirodzené číslo
Riešenie:
A) Ak $x = -\frac(2)(3)$ je riešením rovnice, potom to musí byť pravda
$3\left + 4 = 2a\left(-\frac(2)(3)\right) \Leftrightarrow$
$-2a - 12 + 4 = -\frac(4a)(3) \Leftrightarrow$
$\frac(4a)(3) - 2a = 8 \Šípka doľava doprava \frac(4a-6a)(3) = 8 \Šípka doľava doprava$
$-\frac(2a)(3) = 8 \Šípka doľava doprava a = -12$
B) $ 3 (ax - 4) + 4 = 2 os \šípka vľavo doprava 3 os - 2 os = 12 - 4 \ os šípka vľavo = 8 $
Ak $a \neq 0$ riešenie je $x = \frac(8)(a)$, je to celé číslo, ak a je deliteľom $8$.
To je dôvod, prečo; $ ± 2; ±4; ±8 $
Ak $a=0$, rovnica nemá riešenie
C) Ak chcete získať prirodzené (kladné celé číslo) číslo pre toto riešenie $x=\frac(8)(a)$, číslo sa musí rovnať: $a=1, 2, 4, 8$
Problém 12 Je daná rovnica $2 – x = 2b – 2ax$, kde $a$ a $b$ sú parametre. Nájdite, pre aké hodnoty rovnice má riešenie vo forme prirodzeného čísla, ak $b = 7$
Riešenie:
Do rovnice dosadíme $b = 7$ a dostaneme $2 – x = 2,7 – 2ax \Leftrightarrow$
$2ax – x = 14 – 2 \Ľavá šípka (2a – 1)x = 12 $
Ak $2a -1 \neq 0$, t.j. $a \neq \frac(1)(2)$, rovnica má tvar
$x = \frac(12)(2a-1)$ a toto bude prirodzené číslo, ak menovateľ $2a - 1$ je kladná dividenda $12$ a navyše, aby to bolo celé číslo, je potrebné, aby $2a - 1$ bolo nepárne číslo.
Takže $ 2a - 1 $ môže byť $ 1 $ alebo $ 3 $
Od $2a – 1 = 1 \Ľavá šípka 2a = 2 \Ľavá šípka a = 1 $ a $2a – 1 = 3 $
$\Šípka doľava doprava 2a = 4 \Šípka doľava doprava a = 2$
Problém 13 Daná funkcia $f(x) = (3a - 1)x - 2a + 1$, kde a je parameter. Nájdite pre aké hodnoty grafu funkcie:
A) pretína os x;
B) pretína os x
Riešenie:
Aby graf funkcie pretínal os x, je to potrebné
$(3a - 1)\cdot x -2a + 1 = 0$ mal riešenia a nemal riešenie pre nepretínanie osi x.
Z rovnice dostaneme $(3a - 1)x = 2a - 1$
Ak $3a - 1 \neq 0$, t.j. $a \neq \frac(1)(3)$, rovnica má riešenia
$x = \frac(2a-1)(3a-1)$, teda graf funkcie pretína os x.
Ak $a = \frac(1)(3)$, dostaneme $0.x = \frac(2)(3) - 1 \Leftrightarrow 0.x = -\frac(1)(3)$, čo nie mať riešenia.
Ak teda $a = \frac(1)(3)$, graf funkcií nepretína os x.
Problém 14 Vyriešte parametrickú rovnicu:
A) $|x -2| =a$
B) $|ax -1| = 3 doláre
C) $|ax - 1| = a - 2 doláre
Riešenie:
A) Ak $a 0$ dostaneme:
$|x – 2| = a \Šípka doľava x - 2 = a$ alebo $x - 2 = -a$
Od $x - 2 = a \Šípka doprava x = a + 2$ a od
$x - 2 = -a \Šípka doprava x = 2 – a$
Ak $a = 0$, potom $x - 2 = 0 $ alebo $x = 2 $
B) $|ax - 1| = 3 \Šípka doľava a doprava - 1 = 3$ alebo $ax - 1 = -3$
odkiaľ $ax = 4$ alebo $ax = - 2$
Ak $a \neq 0$ riešení: $x = \frac(4)(a)$ alebo $x = -\frac(2)(a)$
Ak $a = 0$, neexistuje tu žiadne riešenie
C) Ak $a - 2 Ak $a - 2 > 0$, t.j. $a > 2$ dostaneme
$|ax – 1| = a - 2 \ľavá šípka ax - 1 = a - 2$ alebo $ax - 1 = 2 – a$
Takže dostaneme $ax = a – 1$ alebo $ax = 3 – a$
Pretože $a > 2, a\neq 0$, teda
$x = \frac(a-1)(a)$ alebo $x = \frac(3-a)(a)$.
Ak $a = 2$, rovnice sú ekvivalentné
$2x – 1 = 0 \Šípka doľava doprava 2x = 1 \Šípka doľava doprava x = \frac(1)(2)$
Problém 15 Zistite, pre aké hodnoty parametra m (a) sú tieto dve rovnice ekvivalentné:
A) $\frac(x+m)(2) = 1 – m$ a $(-x – 1) ^2 – 1 = x^2$
B) $\frac(x+m)(2) = 1 – m$ a $\frac(x-m)(3) = 1 – 2 mil.
C) $|3 – x| + x^2 -5x + 3 = 0$ a $ax + 2a = 1 + x$, ak $x > 3 $
Riešenie:
A) Vyriešme druhú rovnicu. Napíšeme to v tvare:
$(-x - 1)^2 - 1 = x^2 \šípka vľavo$
$[(-1)(x + 1) ]^2 - 1 = x^2 \Leftrightarrow$
$x^2 + 2x + 1 - 1 = x^2 \Šípka doľava doprava$
$2x = 0 \Šípka doľava doprava x = 0$
Za prvý dostaneme
$\frac(x+m)(2) = 1 – m \šípka vľavo x + m = 2 - 2 m \šípka vľavo x = 2 - 3 m$
Tieto dve rovnice sú ekvivalentné, ak majú rovnaké korene, t.j.
$2 – 3m = 0 \Šípka doľavadoprava$ $m = \frac(2)(3)$
B) Pre prvú rovnicu je riešenie $x = 2 - 3m$ a pre druhú dostaneme
$ x – m = 3 – 6 m \ľavá doprava$ $ x = 3 – 5 mil. $
Majú rovnaké korene kedy
$2 - 3m = 3 - 5m \Šípka doľavadoprava 5m - 3m = 3-2 \Šípka doľavadoprava 2m = 1 \Šípka doľavadoprava m = \frac(1)(2)$
C) Keďže $x > 3, 3 – x $|3 – x| = -(3 – x) = x – 3 $
Prvá rovnica bude vyzerať takto: $x - 3 + x^2 – 5x + 3 = 0 \Leftrightarrow$
$x^2 - 4x – 0 \Šípka doľava doprava x(x - 4) = 0 \Šípka doľava doprava$
$ x = 0 $ alebo $ x = 4 $
S podmienkou, že $x > 3$ je teda riešením iba $x = 4$. Pre druhú rovnicu dostaneme
$ax – x = 1 – 2a \šípka doľava doprava (a – 1)x = 1 – 2a$
Ak $a - 1 = 0$, neexistuje riešenie (Prečo?), ak $a - 1 \neq 0$, t.j. $a \neq 1$, riešenie je
$x = \frac(1-2a)(a-1)$ Tieto dve rovnice sa budú rovnať, ak $4 = \frac(1-2a)(a-1) \Leftrightarrow$ $4(a - 1) = 1 - 2a \Šípka doľavadoprava 4a + 2a = 1 + 4 \Šípka doľavadoprava 6a = 5 \Šípka doľavadoprava a = \frac(5)(6)$
V tomto článku sa budeme zaoberať parametrickou rovnicou priamky v rovine. Uveďme príklady zostrojenia parametrickej rovnice priamky, ak sú známe dva body tejto priamky alebo ak je známy jeden bod a smerový vektor tejto priamky. Uveďme metódy na transformáciu rovnice v parametrickom tvare do kanonických a všeobecných foriem.
Parametrická rovnica priamky L na rovine je reprezentovaný nasledujúcim vzorcom:
| (1) |
Kde x 1 , r 1 súradnice nejakého bodu M 1 na rovinke L. Vektor q={m, p) je smerový vektor čiary L, t- nejaký parameter.
Všimnite si, že pri písaní rovnice priamky v parametrickom tvare by smerový vektor priamky nemal byť nulový vektor, t.j. aspoň jedna súradnica smerového vektora. q sa musí líšiť od nuly.
Zostrojiť priamku na karteziánskej rovine pravouhlý systém súradnice dané parametrickou rovnicou (1), stačí nastaviť parameter t dve rôzne významy, vypočítať x A r a nakreslite priamku cez tieto body. O t=0 máme bod M 1 (x 1 , r 1) pri t= 1, získame bod M 2 (x 1 +m, r 1 +p).
Zostaviť parametrickú rovnicu priamky na rovine L stačí mať bod na priamke L a smerový vektor úsečky alebo dvoch bodov patriacich úsečke L. V prvom prípade na zostavenie parametrickej rovnice priamky je potrebné vložiť súradnice bodu a smerový vektor do rovnice (1). V druhom prípade musíte najprv nájsť smerový vektor čiary q={m, p), výpočet rozdielov medzi zodpovedajúcimi súradnicami bodov M 1 a M 2: m=x 2 −x 1 , p=r 2 −r 1 (obr. 1). Ďalej, podobne ako v prvom prípade, dosaďte súradnice jedného z bodov (nezáleží na tom, ktorý) a smerový vektor q priamka v (1).
Príklad 1. Bodom prechádza priamka M=(3,−1) a má smerový vektor q= (-3, 5). Zostrojte parametrickú rovnicu priamky.
Riešenie. Na zostavenie parametrickej rovnice priamky dosadíme súradnice bodu a smerového vektora do rovnice (1):
Zjednodušme výslednú rovnicu:
Z výrazov (3) môžeme napísať kanonickú rovnicu priamky na rovine:
Preveďte túto priamku do kanonickej podoby.
Riešenie: Vyjadrite parameter t cez premenné x A r:
 | (5) |
Z výrazov (5) môžeme napísať:
Jednou z podpoložiek témy „Rovnica priamky v rovine“ je problematika zostavovania parametrických rovníc priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme. Nasledujúci článok rozoberá princíp zostavovania takýchto rovníc na základe určitých známych údajov. Ukážeme si, ako prejsť od parametrických rovníc k rovniciam iného typu; Pozrime sa na riešenie typických problémov.
Špecifickú čiaru je možné definovať zadaním bodu, ktorý patrí tejto čiare a smerového vektora čiary.
Povedzme, že máme obdĺžnikový súradnicový systém O x y. A tiež je daná priamka a označujúca na nej ležiaci bod M 1 (x 1, y 1) a smerový vektor danej priamky. a → = (a x, a y) . Uveďme popis danej priamky a pomocou rovníc.
Použijeme ľubovoľný bod M (x, y) a získame vektor M1M ->; vypočítajme jeho súradnice zo súradníc začiatočného a koncového bodu: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) . Popíšme, čo sme dostali: priamka je definovaná množinou bodov M (x, y), prechádza bodom M 1 (x 1, y 1) a má smerový vektor a → = (a x, a y) . Táto množina definuje priamku iba vtedy, keď vektory M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) a a → = (a x, a y) sú kolineárne.
Existuje potrebné a dostatočný stav kolinearita vektorov, ktorú v tomto prípade pre vektory M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) a a → = (a x, a y) môžeme zapísať ako rovnicu:
M 1 M → = λ · a → , kde λ je nejaké reálne číslo.
Definícia 1
Rovnica M 1 M → = λ · a → sa nazýva vektorovo-parametrická rovnica priamky.
V súradnicovom tvare to vyzerá takto:
M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ
Rovnice výslednej sústavy x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ sa nazývajú parametrické rovnice priamky na rovine v pravouhlej súradnicovej sústave. Podstata názvu je nasledovná: súradnice všetkých bodov na priamke je možné určiť pomocou parametrických rovníc na rovine tvaru x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ vyčíslením všetkých skutočných hodnoty parametra λ
Podľa vyššie uvedeného parametrické rovnice priamky v rovine x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ definujú priamku, ktorá je definovaná v pravouhlom súradnicovom systéme, prechádza bodom M. 1 (x 1, y 1) a má vodiaci vektor a → = (a x, a y) . Následne, ak sú uvedené súradnice určitého bodu na priamke a súradnice jej smerového vektora, je možné okamžite zapísať parametrické rovnice danej priamky.
Príklad 1
Parametrické rovnice priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme je potrebné zostaviť, ak je daný k nej patriaci bod M 1 (2, 3) a jeho smerový vektor. a → = (3, 1) .
Riešenie
Na základe počiatočných údajov získame: x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y = 1. Parametrické rovnice bude vyzerať takto:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + 1 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ
Jasne si to ilustrujme:
Odpoveď: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ
Treba poznamenať: ak vektor a → = (a x , a y) slúži ako smerový vektor priamky a a do tejto priamky patria body M 1 (x 1, y 1) a M 2 (x 2, y 2), potom sa dá určiť zadaním parametrických rovníc v tvare: x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ , ako aj túto možnosť: x = x 2 + a x · λ y = y 2 + a y · λ .
Napríklad dostaneme smerový vektor priamky a → = (2, - 1), ako aj body M 1 (1, - 2) a M 2 (3, - 3) patriace tejto priamke. Potom je priamka určená parametrickými rovnicami: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ alebo x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ.
Pozor si treba dať aj na nasledujúcu skutočnosť: ak a → = (a x, a y) je smerový vektor priamky a, potom ktorýkoľvek z vektorov bude jej smerovým vektorom μ · a → = (μ · a x , μ · a y), kde μ ϵ R , μ ≠ 0 .
Teda priamku a v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme možno určiť pomocou parametrických rovníc: x = x 1 + μ · a x · λ y = y 1 + μ · a y · λ pre akúkoľvek hodnotu μ inú ako nulu.
Povedzme, že priamka a je daná parametrickými rovnicami x = 3 + 2 · λ y = - 2 - 5 · λ. Potom a → = (2 , - 5) - smerový vektor tejto priamky. A tiež ktorýkoľvek z vektorov μ · a → = (μ · 2, μ · - 5) = 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0 sa stane vodiacim vektorom pre danú čiaru. Pre prehľadnosť zvážte konkrétny vektor - 2 · a → = (- 4, 10), zodpovedá hodnote μ = - 2. V tomto prípade možno danú priamku určiť aj parametrickými rovnicami x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ.
Prechod z parametrických rovníc priamky na rovine do iných rovníc danej priamky a späť
Pri riešení niektorých problémov nie je použitie parametrických rovníc najoptimálnejšou možnosťou, potom je potrebné previesť parametrické rovnice priamky na rovnice priamky iného typu. Pozrime sa, ako to urobiť.
Parametrické rovnice priamky v tvare x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ budú zodpovedať kanonickej rovnici priamky v rovine x - x 1 a x = y - y 1 a y .
Vyriešme každú z parametrických rovníc vzhľadom na parameter λ, vyrovnáme pravé strany výsledných rovníc a získame kanonickú rovnicu danej priamky:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y
V tomto prípade by nemalo byť mätúce, ak sa x alebo a y rovnajú nule.
Príklad 2
Je potrebné urobiť prechod z parametrických rovníc priamky x = 3 y = - 2 - 4 · λ ku kanonickej rovnici.
Riešenie
Dané parametrické rovnice zapíšme v tomto tvare: x = 3 + 0 · λ y = - 2 - 4 · λ
Vyjadrime parameter λ v každej z rovníc: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4
Dajme rovnítko medzi pravé strany sústavy rovníc a získajme požadovanú kanonickú rovnicu priamky v rovine:
x - 30 = y + 2 - 4
odpoveď: x - 30 = y + 2 - 4
V prípade, že je potrebné napísať rovnicu priamky v tvare A x + B y + C = 0 a sú dané parametrické rovnice priamky v rovine, je potrebné najskôr prejsť na kanonickú a potom na všeobecnú rovnicu priamky. Zapíšme si celú postupnosť akcií:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ ⇔ a y · (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0
Príklad 3
Musí byť zapísané všeobecná rovnica priamka, ak sú dané parametrické rovnice, ktoré ju definujú: x = - 1 + 2 · λ y = - 3 · λ
Riešenie
Najprv urobme prechod na kanonickú rovnicu:
x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3
Výsledný podiel je zhodný s rovnosťou - 3 · (x + 1) = 2 · y. Otvorme zátvorky a získame všeobecnú rovnicu priamky: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0.
Odpoveď: 3 x + 2 y + 3 = 0
Podľa vyššie uvedenej logiky úkonov na získanie rovnice priamky s uhlovým koeficientom sa použije rovnica priamky v segmentoch resp. normálna rovnica priamka, je potrebné získať všeobecnú rovnicu priamky a z nej vykonať ďalší prechod.
Teraz zvážte opačnú akciu: písanie parametrických rovníc priamky s iným daným tvarom rovníc tejto priamky.
Najjednoduchší prechod: od kanonickej rovnice k parametrickým. Nech je daná kanonická rovnica v tvare: x - x 1 a x = y - y 1 a y. Zoberme si každý zo vzťahov tejto rovnosti rovný parametru λ:
x - x 1 a x = y - y 1 a y = λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y
Vyriešme výsledné rovnice pre premenné x a y:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ
Príklad 4
Parametrické rovnice priamky je potrebné zapísať, ak je známa kanonická rovnica priamky v rovine: x - 2 5 = y - 2 2
Riešenie
Prirovnajme časti známej rovnice k parametru λ: x - 2 5 = y - 2 2 = λ. Z výslednej rovnosti získame parametrické rovnice priamky: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ
Odpoveď: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ
Keď je potrebné urobiť prechod na parametrické rovnice z danej všeobecnej rovnice priamky, rovnice priamky s uhlovým koeficientom alebo rovnice priamky v segmentoch, je potrebné uviesť pôvodnú rovnicu do kanonickej jeden a potom vykonajte prechod na parametrické rovnice.
Príklad 5
Je potrebné zapísať parametrické rovnice priamky so známou všeobecnou rovnicou tejto priamky: 4 x - 3 y - 3 = 0.
Riešenie
Transformujme danú všeobecnú rovnicu na rovnicu kanonického tvaru:
4 x - 3 r - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 r + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 r + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4
Prirovnajme obe strany rovnosti k parametru λ a získajme požadované parametrické rovnice priamky:
x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ
odpoveď: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ
Príklady a úlohy s parametrickými rovnicami priamky v rovine
Uvažujme o najbežnejších typoch problémov pomocou parametrických rovníc priamky v rovine v pravouhlom súradnicovom systéme.
- V úlohách prvého typu sú uvedené súradnice bodov, či už patria alebo nepatria k priamke opísanej parametrickými rovnicami.
Riešenie takýchto úloh je založené na nasledovnom fakte: čísla (x, y), určené z parametrických rovníc x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ pre nejakú reálnu hodnotu λ, sú súradnice bodu patriaceho do priamky, ktorá je opísaná týmito parametrickými rovnicami.
Príklad 6
Je potrebné určiť súradnice bodu, ktorý leží na priamke určenej parametrickými rovnicami x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ pre λ = 3.
Riešenie
Dosadíme známu hodnotu λ = 3 do daných parametrických rovníc a vypočítame požadované súradnice: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5
odpoveď: 1 1 2 , 5
Je možná aj nasledujúca úloha: nech je daný určitý bod M 0 (x 0, y 0) na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme a je potrebné určiť, či tento bod patrí do priamky opísanej parametrickými rovnicami x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ.
Na vyriešenie takéhoto problému je potrebné dosadiť súradnice daného bodu do známych parametrických rovníc priamky. Ak sa zistí, že je možná hodnota parametra λ = λ 0, pre ktorú platia obe parametrické rovnice, potom daný bod patrí do danej priamky.
Príklad 7
Uvedené sú body M 0 (4, - 2) a N 0 (- 2, 1). Je potrebné určiť, či patria do priamky definovanej parametrickými rovnicami x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ .
Riešenie
Dosadíme súradnice bodu M 0 (4, - 2) do daných parametrických rovníc:
4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2
Usúdime, že bod M 0 patrí do danej priamky, pretože zodpovedá hodnote λ = 2.
2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4
Je zrejmé, že neexistuje taký parameter λ, ktorému bude zodpovedať bod N0. Inými slovami, daná priamka neprechádza bodom N 0 (- 2, 1).
odpoveď: bod M 0 patrí danej priamke; bod N 0 nepatrí do danej priamky.
- V úlohách druhého typu sa vyžaduje zostavenie parametrických rovníc priamky na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme. Najjednoduchší príklad takéhoto problému (so známymi súradnicami bodu priamky a smerového vektora) sme uvažovali vyššie. Teraz sa pozrime na príklady, v ktorých musíme najskôr nájsť súradnice vodiaceho vektora a potom zapísať parametrické rovnice.
Daný bod M 1 1 2 , 2 3 . Je potrebné vytvoriť parametrické rovnice priamky prechádzajúcej týmto bodom a rovnobežnej s priamkou x 2 = y - 3 - 1.
Riešenie
Podľa podmienok úlohy je priamka, ktorej rovnicu musíme predbehnúť, rovnobežná s priamkou x 2 = y - 3 - 1. Potom ako smerový vektor prechádzajúcej priamky daný bod, je možné použiť smerovací vektor priamky x 2 = y - 3 - 1, ktorý zapíšeme v tvare: a → = (2, - 1) . Teraz sú známe všetky potrebné údaje na zostavenie požadovaných parametrických rovníc:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 1 2 + 2 · λ y = 2 3 + (- 1) · λ ⇔ x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ
odpoveď: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ.
Príklad 9
Bod M 1 (0, - 7) je daný. Je potrebné zapísať parametrické rovnice priamky prechádzajúcej týmto bodom kolmo na priamku 3 x – 2 y – 5 = 0.
Riešenie
Ako smerový vektor priamky, ktorej rovnicu treba zostaviť, je možné vziať normálový vektor priamky 3 x – 2 y – 5 = 0. Jeho súradnice sú (3, - 2). Zapíšme si požadované parametrické rovnice priamky:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 0 + 3 · λ y = - 7 + (- 2) · λ ⇔ x = 3 · λ y = - 7 - 2 · λ
odpoveď: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ
- V úlohách tretieho typu je potrebné urobiť prechod od parametrických rovníc danej priamky k iným typom rovníc, ktoré ju určujú. Vyššie sme diskutovali o riešení podobných príkladov, uvedieme ďalší.
Daná je priamka na rovine v pravouhlom súradnicovom systéme definovanom parametrickými rovnicami x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ. Je potrebné nájsť súradnice ľubovoľného normálového vektora tejto čiary.
Riešenie
Aby sme určili požadované súradnice normálového vektora, prejdeme z parametrických rovníc na všeobecnú rovnicu:
x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0
Koeficienty premenných x a y nám dávajú požadované súradnice normálového vektora. Normálový vektor priamky x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ má teda súradnice 1, 3 4.
odpoveď: 1 , 3 4 .
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Tento odsek si určite prečítajte! Parametrické rovnice, samozrejme, nie sú alfou a omegou priestorovej geometrie, ale pracovným mravcom mnohých problémov. Navyše, tento typ rovníc sa často používa neočakávane, a povedal by som, že elegantne.
Ak je známy bod patriaci k priamke a smerový vektor tejto priamky, potom sú parametrické rovnice tejto priamky dané systémom:
Na hodine som hovoril o samotnom koncepte parametrických rovníc Rovnica priamky na rovine A Derivácia parametricky definovanej funkcie.
Všetko je jednoduchšie ako dusená repa, takže budete musieť problém okoreniť:
Príklad 7
Riešenie: Priamky sú dané kanonickými rovnicami a v prvej fáze by ste mali nájsť nejaký bod patriaci k priamke a jej smerový vektor.
a) Z rovníc odstránime bod a smerový vektor: . Môžete si vybrať iný bod (ako to urobiť je popísané vyššie), ale je lepšie vziať ten najzrejmejší. Mimochodom, aby ste sa vyhli chybám, vždy dosaďte do rovníc jeho súradnice.
Vytvorme parametrické rovnice pre tento riadok:
Výhodou parametrických rovníc je, že veľmi jednoducho uľahčujú nájdenie ďalších bodov na priamke. Nájdime napríklad bod, ktorého súradnice povedzme zodpovedajú hodnote parametra:
Takto:
b) Zvážte kanonické rovnice. Výber bodu tu nie je ťažký, ale zradný: (pozor, nepomýliť si súradnice!!!). Ako odstrániť vodiaci vektor? Môžete špekulovať o tom, s čím je táto čiara rovnobežná, alebo môžete použiť jednoduchú formálnu techniku: „Y“ a „Z“ sú v pomere, takže si zapíšme smerový vektor a do zvyšného priestoru vložte nulu: .
Zostavme si parametrické rovnice priamky:
c) Prepíšme rovnice do tvaru , čiže „zet“ môže byť čokoľvek. A ak nejakým, tak nech napr. Bod teda patrí do tejto línie. Na nájdenie smerového vektora používame nasledujúcu formálnu techniku: v pôvodných rovniciach sú „x“ a „y“ a do smerového vektora na týchto miestach píšeme nuly: . Do zvyšného priestoru vložíme jednotka: . Namiesto jednotky bude stačiť akékoľvek číslo okrem nuly.
Zapíšme si parametrické rovnice priamky:
Na školenie:
Príklad 8
Zostavte parametrické rovnice nasledujúcich priamych čiar:
Riešenia a odpovede na konci hodiny. Odpovede, ktoré dostanete, sa môžu mierne líšiť od mojich odpovedí, ide o to parametrické rovnice je možné písať viacerými spôsobmi. Je dôležité, aby váš a môj smerový vektor boli kolineárne a váš bod „zodpovedal“ mojim rovniciam (dobre, alebo naopak, môj bod sedí vašim rovniciam).
Ako inak môžete definovať priamku v priestore? Chcel by som vymyslieť niečo s normálnym vektorom. Číslo však nebude fungovať, normálne vektory priestorovej čiary môžu vyzerať úplne inými smermi.
Iná metóda už bola spomenutá v lekcii. Rovinná rovnica a na začiatku tohto článku.
