Aritmetický postup a1. Ako nájsť súčet aritmetickej progresie: vzorce a príklad ich použitia

Matematika má svoju krásu, rovnako ako maľba a poézia.

Ruský vedec, mechanik N.E. Žukovského

Veľmi časté úlohy v prijímacie skúšky v matematike sú problémy súvisiace s pojmom aritmetická progresia. Na úspešné vyriešenie takýchto problémov musíte mať dobré znalosti o vlastnostiach aritmetickej progresie a mať určité zručnosti pri ich aplikácii.

Najprv si pripomeňme základné vlastnosti aritmetickej postupnosti a predstavme najdôležitejšie vzorce, spojené s týmto konceptom.

Definícia. Poradie čísel, v ktorej sa každý nasledujúci výraz líši od predchádzajúceho rovnakým číslom, nazývaná aritmetická progresia. V tomto prípade číslonazývaný progresívny rozdiel.

Pre aritmetickú postupnosť platia tieto vzorce:

, (1)

Kde . Vzorec (1) sa nazýva vzorec všeobecného člena aritmetickej postupnosti a vzorec (2) predstavuje hlavnú vlastnosť aritmetickej postupnosti: každý člen postupnosti sa zhoduje s aritmetickým priemerom susedných členov a .

Všimnite si, že práve kvôli tejto vlastnosti sa uvažovaná progresia nazýva „aritmetická“.

Vyššie uvedené vzorce (1) a (2) sú zovšeobecnené takto:

(3)

Na výpočet sumy najprv podmienky aritmetického postupuzvyčajne sa používa vzorec

(5) kde a .

Ak vezmeme do úvahy vzorec (1), potom zo vzorca (5) vyplýva

Ak označíme , tak

Kde . Pretože vzorce (7) a (8) sú zovšeobecnením zodpovedajúcich vzorcov (5) a (6).

najmä zo vzorca (5) vyplýva, Čo?

Pre väčšinu študentov je málo známa vlastnosť aritmetickej progresie, formulovaná pomocou nasledujúcej vety.

Veta. Ak, potom

Dôkaz. Ak, potom

Veta bola dokázaná.

napr. pomocou vety, dá sa to ukázať

Prejdime k typickým príkladom riešenia problémov na tému „Aritmetický postup“.

Príklad 1 Nechaj to tak. Nájsť .

Riešenie. Použitím vzorca (6) dostaneme . Od a , potom alebo .

Príklad 2 Nech je trikrát väčšia a pri delení kvocientom je výsledok 2 a zvyšok 8. Určte a .

Riešenie. Z podmienok príkladu vyplýva sústava rovníc

Keďže , , a , tak zo sústavy rovníc (10) dostaneme

Riešením tohto systému rovníc je a .

Príklad 3 Zistite, či a .

Riešenie. Podľa vzorca (5) máme alebo . Avšak pomocou vlastnosti (9) získame .

Od a , potom z rovnosti nasleduje rovnica alebo .

Príklad 4. Nájdite, ak .

Riešenie.Podľa vzorca (5) máme

Pomocou vety však môžeme písať

Odtiaľ a zo vzorca (11) získame .

Príklad 5. Dané: . Nájsť .

Riešenie. Odvtedy. Avšak, preto.

Príklad 6. Nechajte , a . Nájsť .

Riešenie. Pomocou vzorca (9) dostaneme . Preto ak , tak alebo .

Od a potom tu máme systém rovníc

Vyriešením ktorého dostaneme a .

Prirodzený koreň rovnice je .

Príklad 7. Zistite, či a .

Riešenie. Keďže podľa vzorca (3) máme to , potom systém rovníc vyplýva z problémových podmienok

Ak dosadíme výrazdo druhej rovnice systému, potom dostaneme alebo .

Korene kvadratickej rovnice sú A .

Zoberme si dva prípady.

1. Nechajte , potom . Odvtedy a potom.

V tomto prípade podľa vzorca (6) máme

2. Ak , potom , a

Odpoveď: a.

Príklad 8. Je známe, že a. Nájsť .

Riešenie. Berúc do úvahy vzorec (5) a podmienku príkladu, píšeme a .

To znamená systém rovníc

Ak vynásobíme prvú rovnicu sústavy 2 a potom ju pripočítame k druhej rovnici, dostaneme

Podľa vzorca (9) máme. V tejto súvislosti vyplýva z (12) alebo .

Odvtedy a potom.

Odpoveď: .

Príklad 9. Zistite, či a .

Riešenie. Od , a podľa podmienky , potom alebo .

Zo vzorca (5) je to známe, Čo . Odvtedy.

preto tu máme systém lineárnych rovníc

Odtiaľto dostávame a . Berúc do úvahy vzorec (8), píšeme .

Príklad 10. Vyriešte rovnicu.

Riešenie. Od daná rovnica z toho vyplýva. Predpokladajme, že , , a . V tom prípade.

Podľa vzorca (1) môžeme písať alebo .

Keďže , potom rovnica (13) má jediný vhodný koreň .

Príklad 11. Nájdite maximálnu hodnotu za predpokladu, že a .

Riešenie. Od , potom uvažovaná aritmetická progresia klesá. V tomto ohľade výraz nadobúda svoju maximálnu hodnotu, keď je číslom minimálneho kladného člena progresie.

Použime vzorec (1) a fakt, to a . Potom dostaneme, že alebo .

Od , potom resp . Avšak v tejto nerovnostinajväčšie prirodzené číslo, Preto .

Ak sú hodnoty , a dosadené do vzorca (6), dostaneme .

Odpoveď: .

Príklad 12. Určte súčet všetkých dvojciferných prirodzených čísel, z ktorých po delení číslom 6 zostane zvyšok 5.

Riešenie. Označme množinou všetkých dvojciferných prirodzených čísel, t.j. . Ďalej zostrojíme podmnožinu pozostávajúcu z tých prvkov (čísel) množiny, ktoré po delení číslom 6 dávajú zvyšok 5.

Jednoduchá inštalácia, Čo . samozrejme , že prvky zostavytvoria aritmetický postup, v ktorom a .

Na stanovenie mohutnosti (počet prvkov) množiny predpokladáme, že . Keďže a , vyplýva zo vzorca (1) alebo . Ak vezmeme do úvahy vzorec (5), dostaneme .

Vyššie uvedené príklady riešenia problémov si v žiadnom prípade nemôžu tvrdiť, že sú vyčerpávajúce. Tento článok je napísaný na základe analýzy moderné metódy riešenie typických problémov na danú tému. Pre hlbšie štúdium metód na riešenie problémov súvisiacich s aritmetickou progresiou je vhodné pozrieť sa na zoznam odporúčanej literatúry.

1. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov na vysoké školy / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mier a vzdelanie, 2013. – 608 s.

2. Suprun V.P. Matematika pre stredoškolákov: doplnkové časti školské osnovy. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 s.

3. Medýnsky M.M. Celý kurz elementárna matematika v úlohách a cvičeniach. Kniha 2: Číselné postupnosti a postupnosti. – M.: Editus, 2015. – 208 s.

Stále máte otázky?

Ak chcete získať pomoc od tútora, zaregistrujte sa.

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na zdroj.

Tak si sadnime a začnime písať nejaké čísla. Napríklad:
Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete (v našom prípade ich je). Bez ohľadu na to, koľko čísel napíšeme, vždy vieme povedať, ktoré je prvé, ktoré druhé a tak ďalej až do posledného, čiže ich vieme očíslovať. Toto je príklad číselná postupnosť:

Poradie čísel
Napríklad pre našu postupnosť:

Priradené číslo je špecifické len pre jedno číslo v poradí. Inými slovami, v poradí nie sú žiadne tri sekundové čísla. Druhé číslo (ako te číslo) je vždy rovnaké.
Číslo s číslom sa nazýva tý člen postupnosti.

Celú postupnosť zvyčajne nazývame nejakým písmenom (napríklad) a každý člen tejto postupnosti je rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena: .

V našom prípade:

Povedzme, že máme číselnú postupnosť, v ktorej je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovnaký.
Napríklad:

atď.
Táto postupnosť čísel sa nazýva aritmetická progresia.
Pojem „progresia“ zaviedol rímsky autor Boethius ešte v 6. storočí a v širšom zmysle bol chápaný ako nekonečná číselná postupnosť. Názov "aritmetika" bol prenesený z teórie spojitých proporcií, ktorú študovali starí Gréci.

Ide o číselnú postupnosť, ktorej každý člen sa rovná predchádzajúcemu pripočítanému k rovnakému číslu. Toto číslo sa nazýva rozdiel aritmetickej progresie a označuje sa.

Pokúste sa určiť, ktoré postupnosti čísel sú aritmetickým postupom a ktoré nie:

a)
b)
c)
d)

rozumieš? Porovnajme naše odpovede:
Je aritmetická progresia - b, c.
nie je aritmetická progresia - a, d.

Vráťme sa k danej postupnosti () a skúsme nájsť hodnotu jej tého členu. Existuje dve spôsob, ako to nájsť.

1. Spôsob

Číslo progresie môžeme pripočítať k predchádzajúcej hodnote, kým nedosiahneme tý člen postupu. Je dobré, že nemáme veľa čo zhrnúť - iba tri hodnoty:

Čiže tý člen opísanej aritmetickej progresie sa rovná.

2. Metóda

Čo keby sme potrebovali nájsť hodnotu tého člena progresie? Sčítanie by nám zabralo viac ako jednu hodinu a nie je pravda, že by sme sa pri sčítaní čísel nemýlili.
Samozrejme, matematici prišli na spôsob, pri ktorom nie je potrebné pripočítať k predchádzajúcej hodnote rozdiel aritmickej progresie. Pozrite sa bližšie na nakreslený obrázok... Určite ste si už všimli istý vzor, a to:

Pozrime sa napríklad, z čoho pozostáva hodnota druhého člena tejto aritmetickej progresie:

Inými slovami:

Skúste sami takto nájsť hodnotu člena danej aritmetickej postupnosti.

Počítal si? Porovnajte svoje poznámky s odpoveďou:

Upozorňujeme, že ste dostali presne rovnaké číslo ako v predchádzajúcej metóde, keď sme k predchádzajúcej hodnote postupne pridali podmienky aritmetickej progresie.
Pokúsme sa „odosobniť“ tento vzorec – vnesme ho do neho celkový pohľad a dostaneme:

Aritmetická progresívna rovnica.

Aritmetické progresie sa môžu zvyšovať alebo znižovať.

Zvyšovanie- postupnosti, v ktorých každá nasledujúca hodnota členov je väčšia ako predchádzajúca.
Napríklad:

Zostupne- postupnosti, v ktorých každá nasledujúca hodnota členov je menšia ako predchádzajúca.
Napríklad:

Odvodený vzorec sa používa pri výpočte členov v rastúcom aj klesajúcom člene aritmetickej progresie.
Overme si to v praxi.
Dostali sme aritmetickú postupnosť pozostávajúcu z nasledujúcich čísel: Pozrime sa, aké bude te číslo tejto aritmetickej postupnosti, ak na jej výpočet použijeme náš vzorec:

Odvtedy:

Preto sme presvedčení, že vzorec funguje v klesajúcom aj rastúcom aritmetickom postupe.
Skúste sami nájsť th a th term tohto aritmetického postupu.

Porovnajme výsledky:

Vlastnosť aritmetického postupu

Zkomplikujme problém – odvodíme vlastnosť aritmetickej progresie.
Povedzme, že máme nasledujúcu podmienku:
- aritmetický postup, nájsť hodnotu.
Jednoducho, poviete a začnete počítať podľa vzorca, ktorý už poznáte:

Nechaj, ah, potom:

Absolútna pravda. Ukazuje sa, že najprv nájdeme, potom ho pridáme k prvému číslu a dostaneme to, čo hľadáme. Ak je progresia reprezentovaná malými hodnotami, tak na tom nie je nič zložité, ale čo ak dostaneme v podmienke čísla? Súhlasím, existuje možnosť urobiť chybu vo výpočtoch.
Teraz sa zamyslite nad tým, či je možné vyriešiť tento problém v jednom kroku pomocou akéhokoľvek vzorca? Samozrejme, že áno, a to sa teraz pokúsime ukázať.

Označme požadovaný člen aritmetickej progresie, pretože vzorec na jeho nájdenie je nám známy - ide o rovnaký vzorec, ktorý sme odvodili na začiatku:
, Potom:

predchádzajúci termín postupu je:
ďalší termín postupu je:

Zhrňme si predchádzajúce a nasledujúce podmienky postupu:

Ukazuje sa, že súčet predchádzajúcich a nasledujúcich členov progresie je dvojnásobkom hodnoty člena progresie nachádzajúceho sa medzi nimi. Inými slovami, ak chcete nájsť hodnotu progresívneho člena so známymi predchádzajúcimi a nasledujúcimi hodnotami, musíte ich pridať a vydeliť.

Presne tak, máme rovnaké číslo. Zabezpečme materiál. Vypočítajte si hodnotu postupu sami, nie je to vôbec ťažké.

Výborne! O progresii viete takmer všetko! Zostáva zistiť iba jeden vzorec, ktorý si podľa legendy ľahko odvodil jeden z najväčších matematikov všetkých čias, „kráľ matematikov“ - Carl Gauss...

Keď mal Carl Gauss 9 rokov, učiteľ, zaneprázdnený kontrolou práce žiakov v iných triedach, položil v triede nasledujúcu úlohu: „Vypočítajte súčet všetkých prirodzených čísel od do (podľa iných zdrojov po) vrátane. Predstavte si prekvapenie učiteľa, keď jeden z jeho študentov (to bol Karl Gauss) o minútu neskôr dal správnu odpoveď na úlohu, zatiaľ čo väčšina spolužiakov odvážlivca po dlhých výpočtoch dostala nesprávny výsledok...

Mladý Carl Gauss si všimol istý vzor, ktorý si môžete ľahko všimnúť aj vy.
Povedzme, že máme aritmetickú progresiu pozostávajúcu z -tých členov: Potrebujeme nájsť súčet týchto členov aritmetickej progresie. Samozrejme, všetky hodnoty môžeme sčítať manuálne, ale čo ak úloha vyžaduje nájsť súčet jej členov, ako to hľadal Gauss?

Ukážme si pokrok, ktorý nám bol daný. Pozrite sa bližšie na zvýraznené čísla a skúste s nimi vykonávať rôzne matematické operácie.

Skúšali ste to? čo si si všimol? Správne! Ich sumy sú rovnaké

Teraz mi povedzte, koľko takýchto párov je celkovo v postupe, ktorý nám bol daný? Samozrejme, presne polovica všetkých čísel, tj.
Na základe skutočnosti, že súčet dvoch členov aritmetickej progresie je rovnaký a podobný rovnaké páry, dostaneme, že súčet je:
.
Vzorec pre súčet prvých členov akejkoľvek aritmetickej progresie teda bude:

V niektorých problémoch nepoznáme tý člen, ale poznáme rozdiel v progresii. Pokúste sa nahradiť vzorec tého členu do súčtového vzorca.
čo si dostal?

Výborne! Teraz sa vráťme k problému, ktorý bol položený Carlovi Gaussovi: vypočítajte si sami, čomu sa rovná súčet čísel začínajúcich od th a súčtu čísel začínajúcich od th.

Koľko ste dostali?
Gauss zistil, že súčet členov sa rovná a súčet členov sa rovná. Rozhodli ste sa tak?

V skutočnosti vzorec na súčet členov aritmetickej postupnosti dokázal už v 3. storočí staroveký grécky vedec Diophantus a počas tejto doby vtipní ľudia naplno využívali vlastnosti aritmetického postupu.
Predstavte si napríklad Staroveký Egypt a najväčší stavebný projekt tej doby - stavba pyramídy... Na obrázku je jedna jej strana.

Kde je tu progres, hovoríte? Pozrite sa pozorne a nájdite vzor v počte pieskových blokov v každom rade steny pyramídy.

Prečo nie aritmetický postup? Vypočítajte, koľko blokov je potrebných na stavbu jednej steny, ak sú blokové tehly umiestnené na základni. Dúfam, že nebudete počítať pri pohybe prstom po monitore, pamätáte si posledný vzorec a všetko, čo sme povedali o aritmetickom postupe?

V tomto prípade priebeh vyzerá takto: .
Rozdiel aritmetického postupu.
Počet členov aritmetického postupu.
Dosadíme naše údaje do posledných vzorcov (počet blokov vypočítame 2 spôsobmi).

Metóda 1.

Metóda 2.

A teraz môžete vypočítať na monitore: porovnajte získané hodnoty s počtom blokov, ktoré sú v našej pyramíde. rozumieš? Výborne, zvládli ste súčet n-tých členov aritmetického postupu.
Samozrejme, nemôžete postaviť pyramídu z blokov na základni, ale z? Skúste si vypočítať, koľko pieskových tehál je potrebných na stavbu steny s týmto stavom.
Zvládli ste to?
Správna odpoveď je bloky:

Školenie

Úlohy:

Máša sa dostáva do letnej formy. Každý deň zvyšuje počet drepov. Koľkokrát urobí Máša drepy za týždeň, ak na prvom tréningu urobila drepy?
Aký je súčet všetkých nepárnych čísel obsiahnutých v.
Pri ukladaní guľatiny ich drevorubači ukladajú tak, aby každá vrchná vrstva obsahovala o jedno poleno menej ako predchádzajúca. Koľko guľatiny je v jednom murive, ak základom muriva sú guľatiny?

Odpovede:

Definujme parametre aritmetickej progresie. V tomto prípade
(týždne = dni).
odpoveď: Za dva týždne by Masha mala robiť drepy raz denne.
Prvé nepárne číslo, posledné číslo.
Rozdiel aritmetického postupu.
Počet nepárnych čísel je polovičný, skontrolujme však túto skutočnosť pomocou vzorca na nájdenie tého člena aritmetickej postupnosti:
Čísla obsahujú nepárne čísla.
Nahraďte dostupné údaje do vzorca:
odpoveď: Súčet všetkých nepárnych čísel obsiahnutých v je rovnaký.
Spomeňme si na problém o pyramídach. V našom prípade a , keďže každá vrchná vrstva je zmenšená o jeden log, tak celkovo existuje veľa vrstiev, tj.
Dosadíme údaje do vzorca:
odpoveď: V murive sú guľatiny.

Poďme si to zhrnúť

- číselný rad, v ktorom je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovný. Môže sa zvyšovať alebo znižovať.
Hľadanie vzorcaČlen aritmetickej postupnosti je zapísaný vzorcom - , kde je počet čísel v postupnosti.
Vlastnosť členov aritmetického postupu- - kde je počet čísel v postupnosti.
Súčet členov aritmetickej progresie možno nájsť dvoma spôsobmi:

, kde je počet hodnôt.

ARITMETICKÝ POSTUP. STREDNÁ ÚROVEŇ

Poradie čísel

Sadneme si a začneme písať nejaké čísla. Napríklad:

Môžete napísať ľubovoľné čísla a môže ich byť toľko, koľko chcete. Ale vždy môžeme povedať, ktorý je prvý, ktorý druhý atď., čiže ich vieme očíslovať. Toto je príklad číselnej postupnosti.

Poradie čísel je množina čísel, z ktorých každému možno priradiť jedinečné číslo.

Inými slovami, každé číslo môže byť spojené s určitým prirodzeným číslom, a to jedinečným. A toto číslo nepriradíme žiadnemu inému číslu z tejto sady.

Číslo s číslom sa nazýva tý člen postupnosti.

Celú postupnosť zvyčajne nazývame nejakým písmenom (napríklad) a každý člen tejto postupnosti je rovnaké písmeno s indexom rovným číslu tohto člena: .

Je veľmi výhodné, ak môže byť tý člen postupnosti špecifikovaný nejakým vzorcom. Napríklad vzorec

nastaví postupnosť:

A vzorec je nasledujúca postupnosť:

Napríklad aritmetická progresia je postupnosť (prvý člen je tu rovnaký a rozdiel je). Alebo (rozdiel).

vzorec n-tého členu

Vzorec nazývame rekurentný, v ktorom na zistenie tého výrazu potrebujete poznať predchádzajúci alebo niekoľko predchádzajúcich:

Aby sme našli napríklad tý člen progresie pomocou tohto vzorca, budeme musieť vypočítať predchádzajúcich deväť. Napríklad, nechajte to. potom:

Je už jasné, aký je vzorec?

V každom riadku sčítame, vynásobíme nejakým číslom. Ktorý? Veľmi jednoduché: toto je číslo aktuálneho člena mínus:

Teraz je to oveľa pohodlnejšie, však? Kontrolujeme:

Rozhodnite sa sami:

V aritmetickej postupnosti nájdite vzorec pre n-tý člen a nájdite stý člen.

Riešenie:

Prvý termín je rovnaký. v čom je rozdiel? Tu je čo:

(Preto sa to nazýva rozdiel, pretože sa rovná rozdielu po sebe nasledujúcich členov postupu).

Takže vzorec:

Potom sa stý člen rovná:

Aký je súčet všetkých prirodzených čísel od do?

Podľa legendy, veľký matematik Karl Gauss ako 9-ročný chlapec spočítal túto sumu za pár minút. Všimol si, že súčet prvého a posledného čísla je rovnaký, súčet druhého a predposledného je rovnaký, súčet tretieho a 3. od konca je rovnaký atď. Koľko je takých párov celkovo? Presne tak, presne polovičný počet všetkých čísel, tj. takže,

Všeobecný vzorec pre súčet prvých členov akejkoľvek aritmetickej progresie bude:

Príklad:
Nájdite súčet všetkých dvojciferné čísla, násobky.

Riešenie:

Prvé takéto číslo je toto. Každé nasledujúce číslo sa získa pripočítaním k predchádzajúcemu číslu. Čísla, ktoré nás zaujímajú, teda tvoria aritmetickú postupnosť s prvým členom a rozdielom.

Vzorec druhého členu pre túto postupnosť:

Koľko výrazov je v postupe, ak všetky musia byť dvojciferné?

Veľmi jednoduché: .

Posledný termín postupu bude rovnaký. Potom suma:

Odpoveď: .

Teraz sa rozhodnite sami:

Každý deň prebehne športovec viac metrov ako predchádzajúci deň. Koľko kilometrov celkovo nabehá za týždeň, ak prvý deň zabehol km m?
Cyklista prejde každý deň viac kilometrov ako predchádzajúci deň. Prvý deň precestoval km. Koľko dní potrebuje na cestu, aby prešiel kilometer? Koľko kilometrov prejde počas posledného dňa svojej cesty?
Cena chladničky v obchode každým rokom klesá o rovnakú sumu. Zistite, o koľko sa cena chladničky každý rok znížila, ak bola ponúknutá na predaj za ruble a o šesť rokov neskôr bola predaná za ruble.

Odpovede:

Tu je najdôležitejšie rozpoznať aritmetickú progresiu a určiť jej parametre. V tomto prípade (týždne = dni). Musíte určiť súčet prvých podmienok tohto postupu:
.
odpoveď:
Tu je uvedené: , musí sa nájsť.
Je zrejmé, že musíte použiť rovnaký sumárny vzorec ako v predchádzajúcom probléme:
.
Nahraďte hodnoty:
Koreň zjavne nesedí, takže odpoveď je.
Vypočítajme cestu prejdenú za posledný deň pomocou vzorca tého členu:
(km).
odpoveď:
Dané: . Nájsť: .
Jednoduchšie to už nemôže byť:
(drhnúť).
odpoveď:

ARITMETICKÝ POSTUP. STRUČNE O HLAVNÝCH VECIACH

Ide o číselnú postupnosť, v ktorej je rozdiel medzi susednými číslami rovnaký a rovnaký.

Aritmetický postup môže byť rastúci () a klesajúci ().

Napríklad:

Vzorec na nájdenie n-tého člena aritmetickej postupnosti

sa zapisuje vzorcom, kde je počet čísel v postupnosti.

Vlastnosť členov aritmetického postupu

Umožňuje vám ľahko nájsť člen postupu, ak sú známe jeho susedné členy - kde je počet čísel v postupnosti.

Súčet členov aritmetickej progresie

Sumu možno zistiť dvoma spôsobmi:

Kde je počet hodnôt.

OSTATNÉ 2/3 ČLÁNKOV SÚ K DISPOZÍCII LEN PRE MLADÝCH ŠTUDENTOV!

Staňte sa študentom YouClever,

Pripravte sa na Jednotnú štátnu skúšku alebo Jednotnú štátnu skúšku z matematiky za cenu „šálky kávy mesačne“.

A tiež získate neobmedzený prístup k učebnici „YouClever“, Prípravnému programu (pracovnému zošitu) „100gia“, neobmedzene skúšobná Jednotná štátna skúška a OGE, 6000 problémov s analýzou riešení a ďalšími službami YouClever a 100gia.

Áno, áno: aritmetický postup nie je pre vás hračka :)

Priatelia, ak čítate tento text, potom mi vnútorný overovací dôkaz hovorí, že ešte neviete, čo je to aritmetická progresia, ale naozaj (nie, takto: TÁÁÁÁ!) to chcete vedieť. Nebudem vás preto trápiť dlhými úvodmi a prejdem rovno k veci.

Najprv pár príkladov. Pozrime sa na niekoľko skupín čísel:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Čo majú všetky tieto súpravy spoločné? Na prvý pohľad nič. Ale v skutočnosti tam niečo je. menovite: každý nasledujúci prvok sa líši od predchádzajúceho o rovnaké číslo.

Veď posúďte sami. Prvá množina sú jednoducho po sebe idúce čísla, pričom každé ďalšie je o jedno viac ako predchádzajúce. V druhom prípade je rozdiel medzi susednými číslami už päť, ale tento rozdiel je stále konštantný. V treťom prípade neexistujú vôbec žiadne korene. Avšak $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ a $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, t.j. a v tomto prípade sa každý ďalší prvok jednoducho zvýši o $\sqrt(2)$ (a nebojte sa, že toto číslo je iracionálne).

Takže: všetky takéto postupnosti sa nazývajú aritmetické postupnosti. Dajme presnú definíciu:

Definícia. Postupnosť čísel, v ktorých sa každé nasledujúce líši od predchádzajúceho presne o rovnakú hodnotu, sa nazýva aritmetická postupnosť. Samotná suma, o ktorú sa čísla líšia, sa nazýva progresívny rozdiel a najčastejšie sa označuje písmenom $d$.

Zápis: $\left(((a)_(n)) \right)$ je samotný priebeh, $d$ je jeho rozdiel.

A len pár dôležitých poznámok. Po prvé, berie sa do úvahy iba progresia objednal poradie čísel: môžu sa čítať striktne v poradí, v akom sú napísané - a nič iné. Čísla nie je možné preskupovať ani zamieňať.

Po druhé, samotná postupnosť môže byť buď konečná alebo nekonečná. Napríklad množina (1; 2; 3) je zjavne konečná aritmetická postupnosť. Ale ak napíšete niečo v duchu (1; 2; 3; 4; ...) - to je už nekonečný postup. Elipsa za štvorkou akoby naznačovala, že nás čaká ešte niekoľko čísel. Napríklad nekonečne veľa :)

Chcel by som tiež poznamenať, že progresie sa môžu zvyšovať alebo znižovať. Už sme videli pribúdajúce - rovnakú množinu (1; 2; 3; 4; ...). Tu sú príklady klesajúcej progresie:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Dobre, dobre: posledný príklad sa môže zdať príliš komplikovaný. Ale zvyšok, myslím, chápeš. Preto uvádzame nové definície:

Definícia. Aritmetický postup sa nazýva:

zvýšenie, ak je každý ďalší prvok väčší ako predchádzajúci;

klesajúci, ak je naopak každý nasledujúci prvok menší ako predchádzajúci.

Okrem toho existujú takzvané „stacionárne“ sekvencie - pozostávajú z rovnakého opakujúceho sa čísla. Napríklad (3; 3; 3; ...).

Zostáva len jedna otázka: ako rozlíšiť rastúcu progresiu od klesajúcej? Našťastie tu všetko závisí len od znamienka čísla $d$, t.j. rozdiely v postupe:

Ak $d \gt 0$, potom sa progresia zvyšuje;
Ak $d \lt 0$, potom progresia zjavne klesá;
Nakoniec je tu prípad $d=0$ - v tomto prípade je celá postupnosť redukovaná na stacionárnu postupnosť rovnakých čísel: (1; 1; 1; 1; ...) atď.

Skúsme vypočítať rozdiel $d$ pre tri klesajúce priebehy uvedené vyššie. Na tento účel stačí vziať ľubovoľné dva susedné prvky (napríklad prvý a druhý) a odpočítať číslo vľavo od čísla vpravo. Bude to vyzerať takto:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Ako vidíme, vo všetkých troch prípadoch sa rozdiel skutočne ukázal ako negatívny. A teraz, keď sme viac-menej prišli na definície, je čas zistiť, ako sú progresie opísané a aké vlastnosti majú.

Podmienky progresie a vzorec opakovania

Keďže prvky našich sekvencií nie je možné zamieňať, možno ich očíslovať:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \vpravo$\]

Jednotlivé prvky tohto súboru sa nazývajú členy progresie. Sú označené číslom: prvý člen, druhý člen atď.

Okrem toho, ako už vieme, susedné členy progresie súvisia podľa vzorca:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Šípka doprava ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Stručne povedané, aby ste našli $n$-tý člen progresie, musíte poznať $n-1$-tý člen a rozdiel $d$. Tento vzorec sa nazýva rekurentný, pretože s jeho pomocou môžete nájsť ľubovoľné číslo iba tým, že poznáte predchádzajúce (a v skutočnosti všetky predchádzajúce). To je veľmi nepohodlné, takže existuje prefíkanejší vzorec, ktorý znižuje akékoľvek výpočty na prvý výraz a rozdiel:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

S týmto vzorcom ste sa už určite stretli. Radi to uvádzajú vo všetkých druhoch referenčných kníh a kníh riešení. A v každej rozumnej učebnici matematiky je jednou z prvých.

Odporúčam vám však trochu trénovať.

Úloha č.1. Napíšte prvé tri členy aritmetickej postupnosti $\left(((a)_(n)) \right)$, ak $((a)_(1))=8,d=-5$.

Riešenie. Poznáme teda prvý člen $((a)_(1))=8$ a rozdiel progresie $d=-5$. Použime práve daný vzorec a nahraďme $n=1$, $n=2$ a $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(zarovnať)\]

Odpoveď: (8; 3; −2)

To je všetko! Poznámka: náš postup sa znižuje.

Samozrejme, $n=1$ sa nedalo nahradiť – prvý výraz je nám už známy. Nahradením jednoty sme sa však presvedčili, že aj na prvý termín náš vzorec funguje. V iných prípadoch všetko padlo na banálnu aritmetiku.

Úloha č.2. Napíšte prvé tri členy aritmetickej postupnosti, ak sa jej siedmy člen rovná -40 a sedemnásty člen sa rovná -50.

Riešenie. Napíšme problémový stav známymi výrazmi:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(zarovnať) \vpravo.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \správne.\]

Označil som systém, pretože tieto požiadavky musia byť splnené súčasne. Teraz si všimnime, že ak odpočítame prvú od druhej rovnice (máme na to právo, keďže máme systém), dostaneme toto:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(zarovnať)\]

Takto ľahko sa dá nájsť rozdiel v postupe! Zostáva len dosadiť nájdené číslo do ktorejkoľvek z rovníc sústavy. Napríklad v prvom:

\[\begin(matica) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matica)\]

Teraz, keď poznáme prvý výraz a rozdiel, zostáva nájsť druhý a tretí výraz:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(zarovnať)\]

Pripravený! Problém je vyriešený.

Odpoveď: (-34; -35; -36)

Všimnite si zaujímavú vlastnosť progresie, ktorú sme objavili: ak vezmeme $n$-tý a $m$-tý člen a odpočítame ich od seba, dostaneme rozdiel progresie vynásobený číslom $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Jednoduchá, ale veľmi užitočná vlastnosť, ktorú určite potrebujete vedieť – s jej pomocou môžete výrazne urýchliť riešenie mnohých progresívnych problémov. Tu je jasný príklad:

Úloha č.3. Piaty člen aritmetického postupu je 8,4 a jeho desiaty člen je 14,4. Nájdite pätnásty termín tohto postupu.

Riešenie. Keďže $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$ a musíme nájsť $((a)_(15)))$, všimneme si nasledovné:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(zarovnať)\]

Ale podľa podmienky $((a)_(10))-((a)_(5))=14,4-8,4=6$, teda $5d=6$, z čoho máme:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(zarovnať)\]

Odpoveď: 20.4

To je všetko! Nepotrebovali sme vytvárať žiadne systémy rovníc a počítať prvý člen a rozdiel - všetko bolo vyriešené v niekoľkých riadkoch.

Teraz sa pozrime na iný typ problému – hľadanie negatívnych a pozitívnych pojmov progresie. Nie je žiadnym tajomstvom, že ak sa progresia zvyšuje a jej prvý termín je negatívny, skôr či neskôr sa v ňom objavia pozitívne termíny. A naopak: podmienky klesajúcej progresie sa skôr či neskôr stanú negatívnymi.

Zároveň nie je vždy možné nájsť tento moment „hlavou“ postupným prechádzaním prvkov. Často sú úlohy napísané tak, že bez znalosti vzorcov by výpočty zabrali niekoľko listov papiera – jednoducho by sme zaspali, kým by sme našli odpoveď. Preto sa pokúsme tieto problémy vyriešiť rýchlejšie.

Úloha č.4. Koľko záporných členov je v aritmetickej progresii −38,5; -35,8; ...?

Riešenie. Takže $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, odkiaľ okamžite nájdeme rozdiel:

Všimnite si, že rozdiel je pozitívny, takže progresia sa zvyšuje. Prvý člen je záporný, takže v určitom bode skutočne narazíme na kladné čísla. Jedinou otázkou je, kedy sa tak stane.

Skúsme zistiť: dokedy (t.j. do čoho prirodzené číslo$n$) negatívnosť výrazov je zachovaná:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((a)_(n)) \lt 0\šípka doprava ((a)_(1))+\vľavo(n-1 \vpravo)d \lt 0; \\ & -38,5+\left(n-1 \right)\cdot 2,7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \vpravo. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\šípka doprava ((n)_(\max ))=15. \\ \end(zarovnať)\]

Posledný riadok si vyžaduje vysvetlenie. Takže vieme, že $n \lt 15\frac(7)(27)$. Na druhej strane sa uspokojíme len s celočíselnými hodnotami čísla (navyše: $n\in \mathbb(N)$), takže najväčšie prípustné číslo je práve $n=15$ a v žiadnom prípade nie 16 .

Úloha č.5. V aritmetickom postupe $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Nájdite číslo prvého kladného termínu tejto progresie.

Bol by to presne ten istý problém ako ten predchádzajúci, ale nevieme $((a)_(1))$. Ale susedné výrazy sú známe: $((a)_(5))$ a $((a)_(6))$, takže môžeme ľahko nájsť rozdiel v postupnosti:

Okrem toho sa pokúsme vyjadriť piaty člen cez prvý a rozdiel pomocou štandardného vzorca:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(zarovnať)\]

Teraz pokračujeme analogicky s predchádzajúcou úlohou. Poďme zistiť, v ktorom bode v našej sekvencii sa objavia kladné čísla:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\šípka doprava ((n)_(\min ))=56. \\ \end(zarovnať)\]

Minimálne celočíselné riešenie tejto nerovnosti je číslo 56.

Poznámka: v poslednej úlohe sa všetko zvrhlo na striktnú nerovnosť, takže možnosť $n=55$ nám nebude vyhovovať.

Teraz, keď sme sa naučili riešiť jednoduché problémy, prejdime k zložitejším. Najprv si však preštudujme ďalšiu veľmi užitočnú vlastnosť aritmetických postupností, ktorá nám v budúcnosti ušetrí veľa času a nerovných buniek :)

Aritmetický priemer a rovnaké zarážky

Uvažujme niekoľko po sebe nasledujúcich členov rastúcej aritmetickej progresie $\left(((a)_(n)) \right)$. Skúsme ich označiť na číselnej osi:

Podmienky aritmetického postupu na číselnej osi

Konkrétne som označil ľubovoľné výrazy $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, a nie nejaké $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ atď. Pretože pravidlo, o ktorom vám teraz poviem, funguje rovnako pre všetky „segmenty“.

A pravidlo je veľmi jednoduché. Zapamätajme si opakujúci sa vzorec a napíšme ho pre všetky označené výrazy:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(zarovnať)\]

Tieto rovnosti však možno prepísať inak:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(zarovnať)\]

Tak čo? A skutočnosť, že výrazy $((a)_(n-1))$ a $((a)_(n+1)))$ ležia v rovnakej vzdialenosti od $((a)_(n)) $ . A táto vzdialenosť sa rovná $d$. To isté možno povedať o výrazoch $((a)_(n-2))$ a $((a)_(n+2))$ – sú tiež odstránené z $((a)_(n) )$ v rovnakej vzdialenosti rovnajúcej sa $2d$. Môžeme pokračovať donekonečna, ale význam je dobre znázornený na obrázku

Podmienky progresie ležia v rovnakej vzdialenosti od stredu

Čo to pre nás znamená? To znamená, že $((a)_(n))$ možno nájsť, ak sú známe susedné čísla:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Odvodili sme vynikajúce tvrdenie: každý člen aritmetickej postupnosti sa rovná aritmetickému priemeru susedných členov! Navyše: od nášho $((a)_(n))) môžeme ustúpiť doľava a doprava nie o jeden krok, ale o $k$ krokov – a vzorec bude stále správny:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Tie. môžeme ľahko nájsť nejaké $((a)_(150))$, ak poznáme $((a)_(100))$ a $((a)_(200))$, pretože $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na prvý pohľad sa môže zdať, že táto skutočnosť nám nedáva nič užitočné. V praxi je však veľa problémov špeciálne prispôsobených na použitie aritmetického priemeru. Pozrite sa:

Úloha č.6. Nájdite všetky hodnoty $x$, pre ktoré sú čísla $-6((x)^(2))$, $x+1$ a $14+4((x)^(2))$ po sebe idúce výrazy aritmetický postup (v uvedenom poradí).

Riešenie. Keďže tieto čísla sú členmi progresie, podmienka aritmetického priemeru je pre ne splnená: centrálny prvok $x+1$ možno vyjadriť pomocou susedných prvkov:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(zarovnať)\]

Ukázalo sa to klasicky kvadratická rovnica. Jeho korene: $x=2$ a $x=-3$ sú odpovede.

Odpoveď: −3; 2.

Úloha č.7. Nájdite hodnoty $$, pre ktoré čísla $-1;4-3;(()^(2))+1$ tvoria aritmetickú postupnosť (v tomto poradí).

Riešenie. Vyjadrime opäť stredný člen aritmetickým priemerom susedných členov:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \vpravo.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(zarovnať)\]

Opäť kvadratická rovnica. A opäť sú tu dva korene: $x=6$ a $x=1$.

Odpoveď: 1; 6.

Ak v procese riešenia problému prídete na nejaké brutálne čísla alebo si nie ste úplne istí správnosťou nájdených odpovedí, potom existuje úžasná technika, ktorá vám umožní skontrolovať: vyriešili sme problém správne?

Povedzme, že v úlohe č. 6 sme dostali odpovede −3 a 2. Ako môžeme skontrolovať, či sú tieto odpovede správne? Zapojme ich do pôvodného stavu a uvidíme, čo sa stane. Dovoľte mi pripomenúť, že máme tri čísla ($-6(()^(2))$, $+1$ a $14+4(()^(2))$), ktoré musia tvoriť aritmetickú postupnosť. Nahradime $x=-3$:

\[\začiatok(zarovnanie) & x=-3\šípka doprava \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Dostali sme čísla -54; -2; 50, ktoré sa líšia o 52, je nepochybne aritmetický postup. To isté sa stane pre $ x = 2 $:

\[\začiatok(zarovnanie) & x=2\šípka doprava \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Opäť postup, ale s rozdielom 27. Úloha bola teda vyriešená správne. Tí, ktorí chcú, môžu sami skontrolovať druhý problém, ale hneď poviem: aj tam je všetko správne.

Vo všeobecnosti sme pri riešení posledných problémov narazili na ďalší zaujímavý fakt, čo je tiež potrebné pripomenúť:

Ak sú tri čísla také, že druhé je stred najprv aritmetika a nakoniec tieto čísla tvoria aritmetický postup.

Pochopenie tohto tvrdenia nám v budúcnosti umožní doslova „konštruovať“ potrebné postupy na základe podmienok problému. Ale skôr, než sa pustíme do takejto „stavby“, mali by sme venovať pozornosť ešte jednej skutočnosti, ktorá priamo vyplýva z už diskutovaného.

Zoskupovanie a sčítanie prvkov

Vráťme sa opäť na číselnú os. Všimnime si tam niekoľko členov progresie, medzi ktorými možno. stojí za veľa ďalších členov:

Na číselnej osi je označených 6 prvkov

Skúsme vyjadriť „ľavý chvost“ cez $((a)_(n))$ a $d$ a „pravý chvost“ cez $((a)_(k))$ a $d$. Je to veľmi jednoduché:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(zarovnať)\]

Teraz si všimnite, že nasledujúce sumy sú rovnaké:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Jednoducho povedané, ak vezmeme do úvahy ako začiatok dva prvky postupu, ktoré sa celkovo rovnajú nejakému číslu $S$, a potom začneme z týchto prvkov vychádzať do protiľahlé strany(smerom k sebe alebo naopak vzdialiť sa), potom súčty prvkov, o ktoré zakopneme, budú tiež rovnaké$ S$. Najjasnejšie to možno znázorniť graficky:

Rovnaké zarážky dávajú rovnaké množstvá

Pochopenie tejto skutočnosti nám umožní riešiť problémy zásadne viac vysokej úrovniťažkosti ako tie, o ktorých sme uvažovali vyššie. Napríklad tieto:

Úloha č.8. Určte rozdiel aritmetickej postupnosti, v ktorej je prvý člen 66 a súčin druhého a dvanásteho člena je najmenší možný.

Riešenie. Zapíšme si všetko, čo vieme:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min. \end(align)\]

Nepoznáme teda progresívny rozdiel $d$. V skutočnosti bude celé riešenie postavené na tomto rozdiele, pretože produkt $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ možno prepísať takto:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Pre tých v nádrži: Z druhej zátvorky som vybral celkový násobiteľ 11. Požadovaný súčin je teda kvadratická funkcia vzhľadom na premennú $d$. Zvážte preto funkciu $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - jej graf bude parabola s vetvami nahor, pretože ak rozbalíme zátvorky, dostaneme:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Ako vidíte, koeficient najvyššieho termínu je 11 - to je kladné číslo, takže naozaj máme do činenia s parabolou s vetvami nahor:

harmonogram kvadratickej funkcie- parabola
Poznámka: táto parabola má svoju minimálnu hodnotu vo svojom vrchole s osou $((d)_(0))$. Samozrejme, môžeme túto úsečku vypočítať pomocou štandardnej schémy (existuje vzorec $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ale bolo by oveľa rozumnejšie poznamenať že požadovaný vrchol leží na osovej symetrii paraboly, preto je bod $((d)_(0))$ rovnako vzdialený od koreňov rovnice $f\left(d \right)=0$:

\[\začiatok(zarovnanie) & f\vľavo(d \vpravo)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(zarovnať)\]

Preto som sa s otváraním zátvoriek nijak zvlášť neponáhľal: v pôvodnej podobe sa korene dali veľmi, veľmi ľahko nájsť. Preto sa úsečka rovná aritmetickému priemeru čísel -66 a -6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Čo nám nájdené číslo dáva? S ním požadovaný produkt trvá najmenšia hodnota(mimochodom, nikdy sme nepočítali $((y)_(\min ))$ - to sa od nás nevyžaduje). Toto číslo je zároveň rozdielom pôvodnej progresie, t.j. našli sme odpoveď :)

Odpoveď: -36

Úloha č.9. Medzi čísla $-\frac(1)(2)$ a $-\frac(1)(6)$ vložte tri čísla tak, aby spolu s týmito číslami tvorili aritmetickú postupnosť.

Riešenie. V podstate musíme vytvoriť postupnosť piatich čísel, pričom prvé a posledné číslo je už známe. Chýbajúce čísla označme premennými $x$, $y$ a $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Všimnite si, že číslo $y$ je „stred“ našej postupnosti – je rovnako vzdialené od čísel $x$ a $z$ a od čísel $-\frac(1)(2)$ a $-\frac (1) (6) $. A ak momentálne nemôžeme získať $y$ z čísel $x$ a $z$, potom je situácia s koncami progresie iná. Pripomeňme si aritmetický priemer:

Teraz, keď poznáme $y$, nájdeme zvyšné čísla. Všimnite si, že $x$ leží medzi číslami $-\frac(1)(2)$ a $y=-\frac(1)(3)$, ktoré sme práve našli. Preto

Použitím podobného uvažovania nájdeme zostávajúce číslo:

Pripravený! Našli sme všetky tri čísla. Napíšme ich do odpovede v poradí, v akom majú byť vložené medzi pôvodné čísla.

Odpoveď: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Úloha č.10. Medzi čísla 2 a 42 vložte niekoľko čísel, ktoré spolu s týmito číslami tvoria aritmetickú postupnosť, ak viete, že súčet prvého, druhého a posledného z vložených čísel je 56.

Riešenie. Ešte viac náročná úloha, ktoré sa však riešia podľa rovnakej schémy ako predchádzajúce - aritmetickým priemerom. Problém je v tom, že nevieme presne, koľko čísel treba vložiť. Predpokladajme teda s určitosťou, že po vložení všetkého bude presne $n$ čísel, pričom prvé z nich je 2 a posledné je 42. V tomto prípade môže byť požadovaná aritmetická postupnosť vyjadrená v tvare:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \vpravo$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Všimnite si však, že čísla $((a)_(2))$ a $((a)_(n-1))$ sú získané z čísel 2 a 42 na hranách o krok k sebe, t.j. do stredu sekvencie. A to znamená, že

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ale potom výraz napísaný vyššie možno prepísať takto:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(zarovnať)\]

Keď poznáme $((a)_(3))$ a $((a)_(1))$, môžeme ľahko nájsť rozdiel v progresii:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\šípka doprava d=5. \\ \end(zarovnať)\]

Zostáva len nájsť zostávajúce výrazy:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(zarovnať)\]

Už v 9. kroku sa teda dostaneme na ľavý koniec postupnosti - číslo 42. Celkovo bolo treba vložiť len 7 čísel: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odpoveď: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Slovné úlohy s postupmi

Na záver by som rád zvážil niekoľko relatívne jednoduchých problémov. No, ako to je jednoduché: pre väčšinu študentov, ktorí študujú matematiku v škole a nečítali, čo je napísané vyššie, sa tieto problémy môžu zdať ťažké. Napriek tomu sú to typy problémov, ktoré sa objavujú v OGE a Jednotnej štátnej skúške z matematiky, preto odporúčam, aby ste sa s nimi oboznámili.

Úloha č.11. Tím v januári vyrobil 62 dielov a v každom nasledujúcom mesiaci vyrobili o 14 dielov viac ako v predchádzajúcom mesiaci. Koľko dielov tím vyrobil v novembri?

Riešenie. Je zrejmé, že počet častí uvedených podľa mesiacov bude predstavovať rastúci aritmetický postup. Navyše:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

November je 11. mesiac v roku, takže musíme nájsť $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

V novembri sa teda vyrobí 202 dielov.

Úloha č.12. Kníhviazačská dielňa zviazala v januári 216 kníh a každý ďalší mesiac zviazala o 4 knihy viac ako v predchádzajúcom mesiaci. Koľko kníh zviazal workshop v decembri?

Riešenie. Všetko je rovnaké:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

December je posledný, 12. mesiac v roku, takže hľadáme $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Toto je odpoveď – v decembri bude zviazaných 260 kníh.

Ak ste sa dočítali až sem, ponáhľam sa vám zablahoželať: úspešne ste dokončili „kurz mladého bojovníka“ v aritmetických postupoch. Môžete bezpečne prejsť na ďalšiu lekciu, kde budeme študovať vzorec pre súčet progresie, ako aj dôležité a veľmi užitočné dôsledky z toho.

Koncept číselnej postupnosti znamená, že každé prirodzené číslo zodpovedá nejakej skutočnej hodnote. Takáto séria čísel môže byť ľubovoľná alebo môže mať určité vlastnosti - progresiu. V druhom prípade možno každý nasledujúci prvok (člen) sekvencie vypočítať pomocou predchádzajúceho.

Aritmetický postup je postupnosť číselných hodnôt, v ktorých sa susedné členy navzájom líšia rovnakým číslom (všetky prvky série, počnúc 2., majú podobnú vlastnosť). Toto číslo– rozdiel medzi predchádzajúcimi a nasledujúcimi členmi je konštantný a nazýva sa progresívny rozdiel.

Rozdiel v postupe: definícia

Uvažujme postupnosť pozostávajúcu z j hodnôt A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j patrí do množiny prirodzených čísel N. Aritmetika progresia je podľa svojej definície postupnosť, v ktorej a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Hodnota d je požadovaný rozdiel tejto progresie.

d = a(j) – a(j-1).

Zvýrazniť:

Rastúca progresia, v tomto prípade d > 0. Príklad: 4, 8, 12, 16, 20, ...
Klesajúca progresia, potom d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresia rozdielov a jej arbitrárne prvky

Ak sú známe 2 ľubovoľné členy progresie (i-tá, k-tá), potom rozdiel pre danú postupnosť možno určiť na základe vzťahu:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, čo znamená d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Rozdiel progresie a jej prvý termín

Tento výraz pomôže určiť neznámu hodnotu iba v prípadoch, keď je známe číslo prvku sekvencie.

Postupový rozdiel a jeho súčet

Súčet progresie je súčtom jej členov. Na výpočet celkovej hodnoty jeho prvých j prvkov použite príslušný vzorec:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ale keďže a(j) = a(1) + d(j – 1), potom S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Ak pre každé prirodzené číslo n zápas skutočné číslo a n , potom hovoria, že je to dané číselná postupnosť :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Takže postupnosť čísel je funkciou prirodzeného argumentu.

číslo a 1 volal prvý člen sekvencie , číslo a 2 — druhý člen sekvencie , číslo a 3 — tretí a tak ďalej. číslo a n volal n-tý termín sekvencie a prirodzené číslo n — jeho číslo .

Od dvoch susedných členov a n A a n +1 člen sekvencie a n +1 volal následné (vzhľadom na a n ), A a n — predchádzajúce (vzhľadom na a n +1 ).

Ak chcete definovať postupnosť, musíte zadať metódu, ktorá vám umožní nájsť člena postupnosti s ľubovoľným číslom.

Často sa postupnosť špecifikuje pomocou vzorce n-tého členu , teda vzorec, ktorý umožňuje určiť člen postupnosti podľa jeho čísla.

napr.

postupnosť kladných nepárnych čísel môže byť daná vzorcom

a n= 2n- 1,

a postupnosť striedania 1 A -1 - vzorec

b n = (-1)n +1 . ◄

Poradie sa dá určiť opakujúci sa vzorec, teda vzorec, ktorý vyjadruje ľubovoľný člen postupnosti, počnúc niektorým, cez predchádzajúce (jeden alebo viacero) členov.

napr.

Ak a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ak 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , potom sa prvých sedem členov číselnej postupnosti stanoví takto:

1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvencie môžu byť konečná A nekonečné .

Sekvencia je tzv konečný , ak má konečný počet členov. Sekvencia je tzv nekonečné , ak má nekonečne veľa členov.

napr.

postupnosť dvojciferných prirodzených čísel:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

konečná.

Poradie prvočísel:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

nekonečné. ◄

Sekvencia je tzv zvyšujúci sa , ak je každý z jeho členov, počnúc druhým, väčší ako predchádzajúci.

Sekvencia je tzv klesajúci , ak je každý jeho člen, počnúc druhým, menší ako predchádzajúci.

napr.

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — zvyšovanie poradia;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — klesajúca postupnosť. ◄

Postupnosť, ktorej prvky pri zvyšovaní čísla neklesajú, alebo naopak nerastú, sa nazýva monotónna postupnosť .

Monotónne sekvencie sú najmä rastúce sekvencie a klesajúce sekvencie.

Aritmetický postup

Aritmetický postup je postupnosť, v ktorej sa každý člen počnúc druhým rovná predchádzajúcemu, ku ktorému sa pridá rovnaké číslo.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

je aritmetický postup pre akékoľvek prirodzené číslo n podmienka je splnená:

a n +1 = a n + d,

Kde d - určitý počet.

Rozdiel medzi nasledujúcimi a predchádzajúcimi členmi danej aritmetickej progresie je teda vždy konštantný:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

číslo d volal rozdiel aritmetického postupu.

Na definovanie aritmetickej progresie stačí uviesť jej prvý člen a rozdiel.

napr.

Ak a 1 = 3, d = 4 , potom nájdeme prvých päť členov postupnosti takto:

1 =3,

a 2 = 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Pre aritmetický postup s prvým členom a 1 a rozdiel d jej n

a n = 1 + (n- 1)d.

napr.

nájdite tridsiaty člen aritmetického postupu

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, d = 3,

30 = 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = 1 + (n- 2)d,

a n= 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

potom samozrejme

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Každý člen aritmetického postupu, počnúc druhým, sa rovná aritmetickému priemeru predchádzajúceho a nasledujúceho člena.

čísla a, b a c sú po sebe idúce členy nejakej aritmetickej postupnosti vtedy a len vtedy, ak sa jedno z nich rovná aritmetickému priemeru ostatných dvoch.

napr.

a n = 2n- 7 , je aritmetický postup.

Využime vyššie uvedené tvrdenie. Máme:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

teda

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Všimnite si to n Termín aritmetického postupu možno nájsť nielen prostredníctvom a 1 , ale aj akékoľvek predchádzajúce a k

a n = a k + (n- k)d.

napr.

Pre a 5 dá sa zapísať

a 5 = 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

potom samozrejme

a n=	a n-k + a n+k
	2

ktorýkoľvek člen aritmetickej postupnosti, začínajúc od druhého, sa rovná polovici súčtu členov tejto aritmetickej postupnosti, ktoré sú od nej rovnako vzdialené.

Okrem toho pre každý aritmetický postup platí nasledujúca rovnosť:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

napr.

v aritmetickej progresii

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, pretože

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

najprv n členy aritmetickej progresie sa rovná súčinu polovice súčtu extrémnych členov a počtu členov:

Odtiaľto najmä vyplýva, že ak potrebujete zrátať termíny

a k, a k +1 , . . . , a n,

potom si predchádzajúci vzorec zachová svoju štruktúru:

napr.

v aritmetickej progresii 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ak je daná aritmetická postupnosť, potom množstvá a 1 , a n, d, n AS n spojené dvoma vzorcami:

Preto, ak sú uvedené hodnoty troch z týchto veličín, zodpovedajúce hodnoty ďalších dvoch veličín sa určia z týchto vzorcov, skombinovaných do systému dvoch rovníc s dvoma neznámymi.

Aritmetický postup je monotónna postupnosť. V tomto prípade:

Ak d > 0 , potom sa zvyšuje;
Ak d < 0 , potom sa znižuje;
Ak d = 0 , potom bude sekvencia nehybná.

Geometrická progresia

Geometrická progresia je postupnosť, v ktorej sa každý člen počnúc druhým rovná predchádzajúcemu vynásobenému rovnakým číslom.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

je geometrická postupnosť pre akékoľvek prirodzené číslo n podmienka je splnená:

b n +1 = b n · q,

Kde q ≠ 0 - určitý počet.

Pomer nasledujúceho člena danej geometrickej postupnosti k predchádzajúcemu je teda konštantné číslo:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

číslo q volal menovateľ geometrickej progresie.

Na definovanie geometrickej progresie stačí uviesť jej prvý člen a menovateľ.

napr.

Ak b 1 = 1, q = -3 , potom nájdeme prvých päť členov postupnosti takto:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 a menovateľ q jej n Termín možno nájsť pomocou vzorca:

b n = b 1 · qn -1 .

napr.

nájdite siedmy člen geometrickej postupnosti 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

potom samozrejme

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

každý člen geometrickej postupnosti, začínajúc od druhého, sa rovná geometrickému priemeru (proporcionálnemu) predchádzajúceho a nasledujúceho člena.

Keďže platí aj opak, platí nasledujúce tvrdenie:

čísla a, b a c sú po sebe nasledujúce členy určitej geometrickej postupnosti vtedy a len vtedy, ak sa druhá mocnina jedného z nich rovná súčinu ostatných dvoch, to znamená, že jedno z čísel je geometrickým priemerom ostatných dvoch.

napr.

Dokážme, že postupnosť daná vzorcom b n= -3 · 2 n , je geometrický postup. Využime vyššie uvedené tvrdenie. Máme:

b n= -3 · 2 n,

b n -1 = -3 · 2 n -1 ,

b n +1 = -3 · 2 n +1 .

teda

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

čo dokazuje želané tvrdenie. ◄

Všimnite si to n Termín geometrickej progresie možno nájsť nielen prostredníctvom b 1 , ale aj ktorýkoľvek predchádzajúci člen b k , na čo stačí použiť vzorec

b n = b k · qn - k.

napr.

Pre b 5 dá sa zapísať

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

potom samozrejme

b n 2 = b n - k· b n + k

druhá mocnina ktoréhokoľvek člena geometrickej postupnosti, počínajúc druhým, sa rovná súčinu rovnako vzdialených členov tejto postupnosti.

Okrem toho pre akúkoľvek geometrickú postupnosť platí rovnosť:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

napr.

v geometrickom postupe

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , pretože

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

najprv n členy geometrickej postupnosti s menovateľom q ≠ 0 vypočítané podľa vzorca:

A kedy q = 1 - podľa vzorca

S n= nb 1

Všimnite si, že ak potrebujete zhrnúť podmienky

b k, b k +1 , . . . , b n,

potom sa použije vzorec:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

napr.

v geometrickom postupe 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ak je daný geometrická progresia, potom množstvá b 1 , b n, q, n A S n spojené dvoma vzorcami:

Preto, ak sú uvedené hodnoty akýchkoľvek troch z týchto veličín, potom zodpovedajúce hodnoty ďalších dvoch veličín sa určia z týchto vzorcov, skombinovaných do systému dvoch rovníc s dvoma neznámymi.

Pre geometrický postup s prvým členom b 1 a menovateľ q prebieha nasledovné vlastnosti monotónnosti :

progresia sa zvyšuje, ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:

b 1 > 0 A q> 1;

b 1 < 0 A 0 < q< 1;

Progresia sa znižuje, ak je splnená jedna z nasledujúcich podmienok:

b 1 > 0 A 0 < q< 1;

b 1 < 0 A q> 1.

Ak q< 0 , potom sa geometrická postupnosť strieda: jej členy s nepárnymi číslami majú rovnaké znamienko ako jej prvý člen a členy s párnymi číslami majú opačné znamienko. Je jasné, že striedavý geometrický postup nie je monotónny.

Produkt prvého n členy geometrickej progresie možno vypočítať pomocou vzorca:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

napr.

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Nekonečne klesajúca geometrická progresia

Nekonečne klesajúca geometrická progresia nazývaná nekonečná geometrická progresia, ktorej menovateľný modul je menší 1 , teda

|q| < 1 .

Všimnite si, že nekonečne klesajúca geometrická progresia nemusí byť klesajúca postupnosť. Hodí sa k príležitosti

1 < q< 0 .

S takýmto menovateľom sa postupnosť strieda. napr.

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Súčet nekonečne klesajúcej geometrickej progresie pomenujte číslo, ku ktorému sa súčet prvých bez obmedzenia približuje n členov progresie s neobmedzeným nárastom počtu n . Toto číslo je vždy konečné a je vyjadrené vzorcom