Pokyny

Pred nájdením derivácie od koreňa venujte pozornosť ostatným funkciám prítomným v riešenom príklade. Ak má problém veľa radikálnych výrazov, na nájdenie derivácie odmocniny použite nasledujúce pravidlo:

(√x)" = 1/2√x.

A na nájdenie derivátu odmocniny kocky použite vzorec:

(³√x)" = 1 / 3 (³√x)²,

kde ³√x označuje odmocninu x.

Ak je určená na diferenciáciu premenná v zlomku , potom preveďte odmocninu na mocninnú funkciu s príslušným exponentom. Pre druhú odmocninu to bude mocnina ½ a pre odmocninu to bude ⅓:

√x = x^½,
³√х = x ^ ⅓,

kde ^ označuje umocnenie.

Ak chcete nájsť deriváciu mocninnej funkcie vo všeobecnosti a konkrétne x^1, x^⅓, použite nasledujúce pravidlo:

(x^n)" = n * x^(n-1).

Pre deriváciu koreňa tento vzťah znamená:

(x^½)" = ½ x ^ (-½) a
(x^⅓)" = ⅓ x ^ (-⅔).

Po rozlíšení všetkého sa pozorne pozrite na zvyšok príkladu. Ak máte v odpovedi veľmi ťažkopádne vyjadrenie, potom si to zrejme dokážete zjednodušiť. Väčšina školských príkladov je štruktúrovaná tak, že konečným výsledkom je malé číslo alebo kompaktný výraz.

V mnohých derivačných problémoch sa korene (štvorec a kocka) nachádzajú spolu s inými funkciami. Ak chcete v tomto prípade nájsť derivát koreňa, použite nasledujúce pravidlá:
derivácia konštanty (konštantné číslo, C) sa rovná nule: C" = 0;
konštantný faktor sa vyberie z derivačného znamienka: (k*f)" = k * (f)" (f je ľubovoľná funkcia);
derivácia súčtu viacerých funkcií sa rovná súčtu derivácií: (f + g)" = (f)" + (g)";
derivácia súčinu dvoch funkcií sa rovná... nie, nie súčin derivácií, ale nasledujúci výraz: (fg)" = (f)"g + f (g)";
derivácia kvocientu sa tiež nerovná kvocientu derivátov, ale nachádza sa podľa nasledujúceho pravidla: (f/g)" = ((f)"g – f(g)") / g².

Vezmite prosím na vedomie

Na tejto stránke môžete vypočítať deriváciu funkcie online a získať podrobné riešenie problému. Riešenie derivácií funkcie sa robí pomocou pravidiel diferenciácie, ktoré študenti študujú v rámci matematickej analýzy na ústave. Ak chcete nájsť deriváciu funkcie, musíte zadať funkciu na diferenciáciu do poľa „Funkcia“ podľa pravidiel zadávania údajov.

Užitočné rady

Derivácia funkcie je hranica pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, keď prírastok argumentu smeruje k nule: Matematický význam tejto definície nie je veľmi ľahké pochopiť, pretože v škole kurz algebry pojem limita funkcie sa buď vôbec neštuduje, alebo sa študuje veľmi povrchne. Ale aby ste sa naučili nájsť deriváty rôznych funkcií, nie je to potrebné.

Zdroje:

• odvodený koreň x

Odvodenie vzorca pre deriváciu mocninnej funkcie (x na mocninu a). Uvažujú sa deriváty od koreňov x. Vzorec pre deriváciu mocninovej funkcie vyššieho rádu. Príklady výpočtu derivátov.

Obsah

Pozri tiež: Mocninná funkcia a korene, vzorce a graf
Grafy výkonových funkcií

Základné vzorce

Derivácia x na mocninu a sa rovná a krát x x mocnine mínus jedna:
(1) .

Derivácia n-tej odmocniny x na m-tú mocninu je:
(2) .

Odvodenie vzorca pre deriváciu mocninovej funkcie

Prípad x > 0

Uvažujme mocninnú funkciu premennej x s exponentom a:
(3) .
Tu a je ľubovoľné reálne číslo. Najprv zvážime prípad.

Na nájdenie derivácie funkcie (3) použijeme vlastnosti mocninnej funkcie a transformujeme ju do nasledujúceho tvaru:
.

Teraz nájdeme derivát pomocou:
;
.
tu .

Vzorec (1) bol osvedčený.

Odvodenie vzorca pre deriváciu koreňa stupňa n z x na stupeň m

Teraz zvážte funkciu, ktorá je koreňom nasledujúceho formulára:
(4) .

Aby sme našli deriváciu, transformujeme koreň na mocninovú funkciu:
.
Pri porovnaní so vzorcom (3) to vidíme
.
Potom
.

Pomocou vzorca (1) nájdeme deriváciu:
(1) ;
;
(2) .

V praxi nie je potrebné zapamätať si vzorec (2). Oveľa pohodlnejšie je najprv premeniť korene na mocninné funkcie a potom nájsť ich deriváty pomocou vzorca (1) (pozri príklady na konci stránky).

Prípad x = 0

Ak , potom je pre hodnotu premennej x = definovaná výkonová funkcia 0 . 0 Nájdite deriváciu funkcie (3) v x =
.

. 0 :
.
Na tento účel používame definíciu derivátu:

Nahradíme x =
.
V tomto prípade deriváciou rozumieme pravostrannú limitu, pre ktorú .
Tak sme našli:
Tak sme našli:
Tento výsledok je tiež získaný zo vzorca (1):
(1) .
Preto vzorec (1) platí aj pre x = 0 .

Prípad x< 0

Zvážte znova funkciu (3):
(3) .
Pre určité hodnoty konštanty a je definovaná aj pre záporné hodnoty premennej x.
,
Totiž nech a je racionálne číslo. Potom to môže byť reprezentované ako neredukovateľný zlomok:

kde m a n sú celé čísla, ktoré nemajú spoločného deliteľa. 3 Ak je n nepárne, potom je výkonová funkcia definovaná aj pre záporné hodnoty premennej x. 1 Napríklad, keď n =
.
a m =

máme odmocninu x:
.
Je definovaný aj pre záporné hodnoty premennej x.
.
Nájdite deriváciu mocninnej funkcie (3) pre a pre racionálne hodnoty konštanty a, pre ktorú je definovaná. Aby sme to dosiahli, predstavme x v nasledujúcom tvare:

.
potom ,
.
Deriváciu nájdeme umiestnením konštanty mimo znamienka derivácie a uplatnením pravidla na derivovanie komplexnej funkcie:
.
Potom
.
tu . Ale
(1) .

Odvtedy

To znamená, že vzorec (1) platí aj pre:
(3) .
Deriváty vyššieho rádu
.

Teraz nájdime derivácie mocninovej funkcie vyššieho rádu
.
Už sme našli deriváciu prvého rádu:
;

.

Ak vezmeme konštantu a mimo znamienka derivácie, nájdeme deriváciu druhého rádu: Podobne nájdeme deriváty tretieho a štvrtého rádu: Z toho je jasné, že
.

derivát ľubovoľného n-tého rádu má nasledujúci tvar: Všimnite si to
.
ak a je prirodzené číslo
,
, potom je n-tá derivácia konštantná:

Potom sa všetky nasledujúce derivácie rovnajú nule:

v .

Príklady výpočtu derivátov
.

Príklad
;
.
Nájdite deriváciu funkcie:
.

Prevedieme odmocniny na mocniny:
;
.
Potom má pôvodná funkcia tvar:
.

Hľadanie derivácií mocnín:

Derivácia konštanty je nula:

Funkcie komplexného typu nie vždy zodpovedajú definícii komplexnej funkcie. Ak existuje funkcia tvaru y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, potom ju nemožno považovať za komplexnú, na rozdiel od y = sin 2 x.

Tento článok ukáže koncept komplexnej funkcie a jej identifikáciu. Pracujme so vzorcami na nájdenie derivácie s príkladmi riešení v závere. Použitie tabuľky derivátov a pravidiel diferenciácie výrazne skracuje čas na nájdenie derivátu.

Základné definície

Definícia 1

Komplexná funkcia je taká, ktorej argument je tiež funkciou.

Ak existuje funkcia f a je to kotangens funkcia, potom g(x) = ln x je funkcia prirodzeného logaritmu. Zistíme, že komplexnú funkciu f (g (x)) zapíšeme ako arctg (lnx). Alebo funkcia f, čo je funkcia umocnená na 4. mocninu, kde g (x) = x 2 + 2 x - 3 sa považuje za celú racionálnu funkciu, dostaneme, že f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4.

Je zrejmé, že g(x) môže byť komplexný. Z príkladu y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 je zrejmé, že hodnota g má odmocninu zlomku. Tento výraz možno označiť ako y = f (f 1 (f 2 (x))). Z toho, že f je sínusová funkcia a f 1 je funkcia nachádzajúca sa pod druhou odmocninou, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 je zlomková racionálna funkcia.

Definícia 3

Stupeň vnorenia je určený ľubovoľným prirodzeným číslom a zapisuje sa ako y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) .

Definícia 4

Koncept zloženia funkcie sa týka počtu vnorených funkcií podľa podmienok problému. Na riešenie použite vzorec na nájdenie derivácie komplexnej funkcie tvaru

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Príklady

Príklad 1

Nájdite deriváciu komplexnej funkcie v tvare y = (2 x + 1) 2.

Riešenie

Podmienka ukazuje, že f je kvadratická funkcia a g(x) = 2 x + 1 sa považuje za lineárnu funkciu.

Použime derivačný vzorec pre komplexnú funkciu a napíšme:

f" (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1); g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Je potrebné nájsť deriváciu so zjednodušeným pôvodným tvarom funkcie. Získame:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Odtiaľ to máme

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Výsledky boli rovnaké.

Pri riešení problémov tohto typu je dôležité pochopiť, kde sa bude nachádzať funkcia tvaru f a g (x).

Príklad 2

Mali by ste nájsť deriváty komplexných funkcií v tvare y = sin 2 x a y = sin x 2.

Riešenie

Prvý zápis funkcie hovorí, že f je funkcia kvadratúry a g(x) je funkcia sínus. Potom to dostaneme

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Druhý záznam ukazuje, že f je sínusová funkcia a g(x) = x 2 označuje mocninovú funkciu. Z toho vyplýva, že súčin komplexnej funkcie píšeme ako

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Vzorec pre deriváciu y = f (f 1 (f 2 (f 3 (... (f n (x))))) sa zapíše ako y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . )) )) · . . . fn "(x)

Príklad 3

Nájdite deriváciu funkcie y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Riešenie

Tento príklad ukazuje náročnosť zápisu a určovania umiestnenia funkcií. Potom y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) označuje, kde f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) je funkcia sínus, funkcia zvyšovania do 3 stupňov, funkcia s logaritmom a základom e, arkustangens a lineárna funkcia.

Zo vzorca na definovanie komplexnej funkcie to máme

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Dostaneme to, čo potrebujeme nájsť

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) ako derivácia sínusu podľa tabuľky derivácií, potom f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) ako derivácia mocninovej funkcie, potom f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x).
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) ako logaritmická derivácia, potom f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3" (f 4 (x)) ako derivácia arkustangens, potom f 3" (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Pri hľadaní derivácie f 4 (x) = 2 x odstráňte 2 zo znamienka derivácie pomocou vzorca pre deriváciu mocninnej funkcie s exponentom rovným 1, potom f 4 " (x) = (2 x) "= 2 x" = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2.

Skombinujeme medzivýsledky a dostaneme to

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analýza takýchto funkcií pripomína hniezdiace bábiky. Diferenciačné pravidlá nemožno vždy použiť explicitne pomocou derivačnej tabuľky. Často je potrebné použiť vzorec na nájdenie derivátov komplexných funkcií.

Existujú určité rozdiely medzi zložitým vzhľadom a zložitými funkciami. S jasnou schopnosťou to rozlíšiť bude hľadanie derivátov obzvlášť jednoduché.

Príklad 4

Je potrebné zvážiť uvedenie takéhoto príkladu. Ak existuje funkcia tvaru y = t g 2 x + 3 t g x + 1, potom ju možno považovať za komplexnú funkciu tvaru g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Je zrejmé, že pre komplexný derivát je potrebné použiť vzorec:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g2 - 1 (x) + 3 g" (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x)) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Funkcia tvaru y = t g x 2 + 3 t g x + 1 sa nepovažuje za komplexnú, pretože má súčet t g x 2, 3 t g x a 1. Avšak t g x 2 sa považuje za komplexnú funkciu, potom získame mocninnú funkciu v tvare g (x) = x 2 a f, čo je tangensová funkcia. Ak to chcete urobiť, rozlišujte podľa množstva. Chápeme to

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 čo 2 x

Prejdime k hľadaniu derivácie komplexnej funkcie (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Dostaneme, že y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funkcie komplexného typu môžu byť zahrnuté do komplexných funkcií a samotné komplexné funkcie môžu byť zložkami funkcií komplexného typu.

Príklad 5

Uvažujme napríklad komplexnú funkciu v tvare y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Táto funkcia môže byť reprezentovaná ako y = f (g (x)), kde hodnota f je funkciou logaritmu so základom 3 a g (x) sa považuje za súčet dvoch funkcií tvaru h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 a k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Je zrejmé, že y = f (h (x) + k (x)).

Zvážte funkciu h(x). Toto je pomer l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 k m (x) = e x 2 + 3 3

Máme, že l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) je súčet dvoch funkcií n (x) = x 2 + 7 a p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1), kde p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) je komplexná funkcia s číselným koeficientom 3 a p 1 je funkcia kocky, p 2 pomocou kosínusovej funkcie, p 3 (x) = 2 x + 1 pomocou lineárnej funkcie.

Zistili sme, že m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) je súčet dvoch funkcií q (x) = e x 2 a r (x) = 3 3, kde q (x) = q 1 (q 2 (x)) je komplexná funkcia, q 1 je funkcia s exponenciálou, q 2 (x) = x 2 je mocninová funkcia.

To ukazuje, že h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Pri prechode na výraz v tvare k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) = s (x) t (x) je zrejmé, že funkcia je prezentovaná v tvare komplexu s (x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) s racionálnym celým číslom t (x) = x 2 + 1, kde s 1 je funkcia druhej mocniny a s 2 (x) = ln x je logaritmická so základom e .

Z toho vyplýva, že výraz bude mať tvar k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Potom to dostaneme

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Na základe štruktúr funkcie sa ukázalo, ako a aké vzorce je potrebné použiť na zjednodušenie výrazu pri jeho diferenciácii. Pre oboznámenie sa s takýmito problémami a pre koncepciu ich riešenia je potrebné obrátiť sa k bodu diferenciácie funkcie, teda k nájdeniu jej derivácie.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

1. Všeobecný prípad vzorca pre deriváciu odmocniny ľubovoľného stupňa- zlomok, v čitateli ktorého je jedna a v menovateli číslo rovné mocnine odmocniny, pre ktorú bola derivácia vypočítaná, vynásobený odmocninou tej istej mocniny, ktorej radikálnym vyjadrením je premenná v mocnina odmocniny, pre ktorú bola derivácia vypočítaná, znížená o jednotku
2. Derivát druhej odmocniny- je špeciálny prípad predchádzajúceho vzorca. Derivácia druhej odmocniny x je zlomok, ktorého čitateľ je jedna a menovateľ je dvojnásobok druhej odmocniny x
3. Derivát odmocniny kocky, tiež špeciálny prípad všeobecného vzorca. Derivácia odmocniny je jedna delená tromi odmocninami x na druhú.

Nižšie sú uvedené transformácie, ktoré vysvetľujú, prečo sú vzorce na nájdenie derivátov odmocniny a kubickej odmocniny presne rovnaké ako na obrázku.

Samozrejme, tieto vzorce si vôbec nemusíte pamätať, ak vezmete do úvahy, že extrahovanie odmocniny derivovanej mocniny je to isté ako zvýšenie zlomku, ktorého menovateľ sa rovná rovnakej mocnine. Potom sa nájdenie derivácie odmocniny zredukuje na použitie vzorca na nájdenie derivácie mocniny zodpovedajúceho zlomku.

Derivácia premennej pod druhou odmocninou

(√x)" = 1 / (2√x) alebo 1/2 x -1/2

Vysvetlenie:
(√x)" = (x 1/2)"

Druhá odmocnina je presne tá istá operácia ako zvýšenie na 1/2,To znamená, že na nájdenie derivácie odmocniny môžete použiť vzorec z pravidla na nájdenie derivácie premennej na ľubovoľnú mocninu:

(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

Derivát odmocniny kocky (derivát tretieho odmocniny)

Derivácia odmocniny sa nachádza presne na rovnakom princípe ako druhá odmocnina.

Predstavme si odmocninu ako mocninu 1/3 a nájdime deriváciu pomocou všeobecných pravidiel diferenciácie. Stručný vzorec je možné vidieť na obrázku vyššie a nižšie je vysvetlenie, prečo je to tak.

Mocnina -2/3 sa získa odčítaním jednej od 1/3

Operácia nájdenia derivácie sa nazýva diferenciácia.

V dôsledku riešenia problémov hľadania derivácií najjednoduchších (a nie veľmi jednoduchých) funkcií definovaním derivácie ako limity pomeru prírastku k prírastku argumentu sa objavila tabuľka derivácií a presne definované pravidlá diferenciácie. . Prvými, ktorí pracovali v oblasti hľadania derivátov, boli Isaac Newton (1643-1727) a Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Preto v našej dobe na nájdenie derivácie akejkoľvek funkcie nepotrebujete vypočítať vyššie uvedenú hranicu pomeru prírastku funkcie k prírastku argumentu, ale stačí použiť tabuľku deriváty a pravidlá diferenciácie. Na nájdenie derivácie je vhodný nasledujúci algoritmus.

Ak chcete nájsť derivát, potrebujete výraz pod prvočíslom rozdeliť jednoduché funkcie na komponenty a určiť, aké akcie (produkt, súčet, podiel) tieto funkcie spolu súvisia. Ďalej nájdeme derivácie elementárnych funkcií v tabuľke derivácií a vzorce pre derivácie súčinu, súčtu a kvocientu - v pravidlách diferenciácie. Tabuľka derivácií a pravidlá diferenciácie sú uvedené po prvých dvoch príkladoch.

Príklad 1 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Z pravidiel diferenciácie zistíme, že derivácia súčtu funkcií je súčtom derivácií funkcií, t.j.

Z tabuľky derivácií zistíme, že derivácia „X“ sa rovná jednej a derivácia sínusu sa rovná kosínusu. Tieto hodnoty dosadíme do súčtu derivácií a nájdeme deriváciu požadovanú podmienkou problému:

Príklad 2 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Ako deriváciu súčtu, v ktorom má druhý člen konštantný faktor, možno ho vyňať z derivačného znamienka:

Ak stále vznikajú otázky o tom, odkiaľ niečo pochádza, zvyčajne sa vyjasnia po oboznámení sa s tabuľkou derivátov a najjednoduchšími pravidlami diferenciácie. Práve k nim prechádzame.

Tabuľka derivácií jednoduchých funkcií

1. Derivácia konštanty (čísla). Akékoľvek číslo (1, 2, 5, 200...), ktoré je vo výraze funkcie. Vždy sa rovná nule. Toto je veľmi dôležité mať na pamäti, pretože sa to vyžaduje veľmi často
2. Derivát nezávisle premennej. Najčastejšie "X". Vždy sa rovná jednej. To je tiež dôležité mať na pamäti na dlhú dobu
3. Derivácia stupňa. Pri riešení problémov musíte premeniť iné ako odmocniny na mocniny.
4. Derivácia premennej k mocnine -1
5. Derivácia odmocniny
6. Derivácia sínusu
7. Derivácia kosínusu
8. Derivácia dotyčnice
9. Derivácia kotangens
10. Derivácia arcsínusu
11. Derivát arkozínu
12. Derivácia arkustangens
13. Derivácia oblúkového kotangens
14. Derivácia prirodzeného logaritmu
15. Derivácia logaritmickej funkcie
16. Derivácia exponentu
17. Derivácia exponenciálnej funkcie

Pravidlá diferenciácie

1. Derivát sumy alebo rozdielu
2. Derivát produktu
2a. Derivát výrazu vynásobený konštantným faktorom
3. Derivácia kvocientu
4. Derivácia komplexnej funkcie

Pravidlo 1.Ak funkcie

sú v určitom bode diferencovateľné, potom sú funkcie diferencovateľné v tom istom bode

a

tie. derivácia algebraického súčtu funkcií sa rovná algebraickému súčtu derivácií týchto funkcií.

Dôsledok. Ak sa dve diferencovateľné funkcie líšia konštantným členom, potom sú ich derivácie rovnaké, t.j.

Pravidlo 2.Ak funkcie

sú v určitom bode diferencovateľné, potom je ich produkt diferencovateľný v tom istom bode

a

tie. Derivácia súčinu dvoch funkcií sa rovná súčtu súčinov každej z týchto funkcií a derivácie druhej.

Dôsledok 1. Konštantný faktor možno vyňať zo znamienka derivácie:

Dôsledok 2. Derivácia súčinu niekoľkých diferencovateľných funkcií sa rovná súčtu súčinov derivácie každého faktora a všetkých ostatných.

Napríklad pre tri multiplikátory:

Pravidlo 3.Ak funkcie

v určitom bode rozlíšiteľné A , potom je v tomto bode ich kvocient tiež diferencovateľnýu/v a

tie. derivácia kvocientu dvoch funkcií sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je rozdielom medzi súčinmi menovateľa a derivácie čitateľa a čitateľa a derivácie menovateľa a menovateľ je druhá mocnina bývalý čitateľ.

Kde hľadať veci na iných stránkach

Pri hľadaní derivátu súčinu a kvocientu v reálnych problémoch je vždy potrebné aplikovať niekoľko pravidiel diferenciácie naraz, preto je v článku viac príkladov na tieto deriváty"Derivát produktu a kvocient funkcií".

Komentujte. Nemali by ste si zamieňať konštantu (čiže číslo) ako člen v súčte a ako konštantný faktor! V prípade člena sa jeho derivácia rovná nule a v prípade konštantného faktora je vyňatá zo znamienka derivácií. Ide o typickú chybu, ktorá sa vyskytuje v počiatočnom štádiu štúdia derivátov, ale keďže bežný študent rieši niekoľko jedno- a dvojdielnych príkladov, už túto chybu nerobí.

A ak pri rozlišovaní produktu alebo kvocientu máte termín u"v, v ktorom u- číslo, napríklad 2 alebo 5, to znamená konštanta, potom sa derivácia tohto čísla bude rovnať nule, a preto sa celý člen bude rovnať nule (tento prípad je diskutovaný v príklade 10).

Ďalšou častou chybou je mechanické riešenie derivácie komplexnej funkcie ako derivácie jednoduchej funkcie. Preto derivácia komplexnej funkcie je venovaný samostatný článok. Najprv sa však naučíme nájsť derivácie jednoduchých funkcií.

Na ceste sa nezaobídete bez transformácie výrazov. Ak to chcete urobiť, možno budete musieť otvoriť príručku v nových oknách. Akcie so silami a koreňmi A Operácie so zlomkami .

Ak hľadáte riešenia na derivácie zlomkov s mocninou a odmocninou, teda keď funkcia vyzerá a potom postupujte podľa lekcie „Derivácia súčtu zlomkov s mocninami a odmocninami“.

Ak máte úlohu napr , potom absolvujete lekciu „Derivácie jednoduchých goniometrických funkcií“.

Príklady krok za krokom - ako nájsť derivát

Príklad 3 Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Definujeme časti funkčného výrazu: celý výraz predstavuje súčin a jeho faktory sú súčty, v druhom z nich jeden z výrazov obsahuje konštantný faktor. Aplikujeme pravidlo diferenciácie produktu: derivácia produktu dvoch funkcií sa rovná súčtu produktov každej z týchto funkcií deriváciou druhej:

Ďalej použijeme pravidlo súčtovej diferenciácie: derivácia algebraického súčtu funkcií sa rovná algebraickému súčtu derivácií týchto funkcií. V našom prípade má v každom súčte druhý člen znamienko mínus. V každom súčte vidíme ako nezávislú premennú, ktorej derivácia sa rovná jednej, tak aj konštantu (číslo), ktorej derivácia sa rovná nule. Takže „X“ sa zmení na jednotku a mínus 5 sa zmení na nulu. V druhom výraze sa "x" vynásobí 2, takže dva vynásobíme rovnakou jednotkou ako derivácia "x". Získame nasledujúce derivačné hodnoty:

Nájdené derivácie dosadíme do súčtu produktov a získame deriváciu celej funkcie, ktorú vyžaduje podmienka úlohy:

A môžete skontrolovať riešenie problému s odvodením na.

Príklad 4. Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. Musíme nájsť deriváciu kvocientu. Aplikujeme vzorec na derivovanie kvocientu: derivácia kvocientu dvoch funkcií sa rovná zlomku, ktorého čitateľ je rozdielom medzi súčinmi menovateľa a derivácie čitateľa a čitateľa a deriváciou funkcie menovateľ a menovateľ je druhá mocnina predchádzajúceho čitateľa. Získame:

Deriváciu faktorov v čitateli sme už našli v príklade 2. Nezabúdajme tiež, že súčin, ktorý je v aktuálnom príklade druhým faktorom v čitateli, sa berie so znamienkom mínus:

Ak hľadáte riešenia problémov, v ktorých potrebujete nájsť deriváciu funkcie, kde je súvislá kopa koreňov a mocnín, ako napr. , potom vitajte v triede "Derivácia súčtu zlomkov s mocninou a odmocninou" .

Ak sa potrebujete dozvedieť viac o deriváciách sínusov, kosínusov, dotyčníc a iných goniometrických funkcií, teda keď funkcia vyzerá , potom lekcia pre vás "Derivácie jednoduchých goniometrických funkcií" .

Príklad 5. Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. V tejto funkcii vidíme súčin, ktorého jedným z faktorov je druhá odmocnina nezávisle premennej, s ktorej deriváciou sme sa oboznámili v tabuľke derivácií. Pomocou pravidla pre diferenciáciu súčinu a tabuľkovej hodnoty derivácie odmocniny dostaneme:

Riešenie problému s odvodením môžete skontrolovať na adrese online kalkulačka derivátov .

Príklad 6. Nájdite deriváciu funkcie

Riešenie. V tejto funkcii vidíme kvocient, ktorého dividenda je druhou odmocninou nezávislej premennej. Pomocou pravidla diferenciácie kvocientov, ktoré sme zopakovali a aplikovali v príklade 4, a tabuľkovej hodnoty derivácie odmocniny dostaneme:

Ak sa chcete zbaviť zlomku v čitateli, vynásobte čitateľa a menovateľa číslom .