Závislosť premennej y od premennej x, v ktorej každá hodnota x zodpovedá jedinej hodnote y, sa nazýva funkcia. Na označenie použite označenie y=f(x). Každá funkcia má množstvo základných vlastností, ako je monotónnosť, parita, periodicita a iné.
Pozrite sa bližšie na vlastnosť parity.
Funkcia y=f(x) sa volá aj vtedy, ak spĺňa nasledujúce dve podmienky:
2. Hodnota funkcie v bode x, patriaca do definičného oboru funkcie, sa musí rovnať hodnote funkcie v bode -x. To znamená, že pre každý bod x musí byť splnená nasledujúca rovnosť z oblasti definície funkcie: f(x) = f(-x).
Graf párnej funkcie
Ak nakreslíte graf párnej funkcie, bude symetrický okolo osi Oy.
Napríklad funkcia y=x^2 je párna. Poďme si to overiť. Oblasť definície je celá číselná os, čo znamená, že je symetrická okolo bodu O.
Zoberme si ľubovoľné x=3. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Preto f(x) = f(-x). Obidve podmienky sú teda splnené, čo znamená, že funkcia je párna. Nižšie je uvedený graf funkcie y=x^2.
Obrázok ukazuje, že graf je symetrický okolo osi Oy.
Graf nepárnej funkcie
Funkcia y=f(x) sa nazýva nepárna, ak spĺňa tieto dve podmienky:
1. Definičný obor danej funkcie musí byť symetrický vzhľadom na bod O. To znamená, že ak niektorý bod a patrí do definičného oboru funkcie, potom do definičného oboru musí patriť aj príslušný bod -a. danej funkcie.
2. Pre každý bod x musí byť splnená nasledujúca rovnosť z oblasti definície funkcie: f(x) = -f(x).
Rozvrh nepárna funkcia je symetrický vzhľadom na bod O - počiatok súradníc. Napríklad funkcia y=x^3 je nepárna. Poďme si to overiť. Oblasť definície je celá číselná os, čo znamená, že je symetrická okolo bodu O.
Zoberme si ľubovoľné x=2. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Preto f(x) = -f(x). Obidve podmienky sú teda splnené, čo znamená, že funkcia je nepárna. Nižšie je uvedený graf funkcie y=x^3.
Obrázok jasne ukazuje, že nepárna funkcia y=x^3 je symetrická podľa pôvodu.
dokonca, ak pre všetky \(x\) z jeho definičnej domény platí: \(f(-x)=f(x)\) .
Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi \(y\):
Príklad: funkcia \(f(x)=x^2+\cos x\) je párna, pretože \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Zavolá sa funkcia \(f(x)\). nepárne, ak pre všetky \(x\) z jeho definičnej domény platí: \(f(-x)=-f(x)\) .
Graf nepárnej funkcie je symetrický podľa pôvodu:
Príklad: funkcia \(f(x)=x^3+x\) je nepárna, pretože \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Funkcie, ktoré nie sú párne ani nepárne, sa nazývajú funkcie celkový pohľad. Takáto funkcia môže byť vždy jednoznačne reprezentovaná ako súčet párnej a nepárnej funkcie.
Napríklad funkcia \(f(x)=x^2-x\) je súčtom párnej funkcie \(f_1=x^2\) a nepárnej \(f_2=-x\) .
\(\blacktriangleright\) Niektoré vlastnosti:
1) Súčin a podiel dvoch funkcií rovnakej parity je párna funkcia.
2) Súčin a kvocient dvoch funkcií rôznych parít je nepárna funkcia.
3) Súčet a rozdiel párnych funkcií je párna funkcia.
4) Súčet a rozdiel nepárnych funkcií - nepárna funkcia.
5) Ak \(f(x)\) je párna funkcia, potom rovnica \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) má jedinečný koreň vtedy a len vtedy, keď \( x = 0\).
6) Ak \(f(x)\) je párna alebo nepárna funkcia a rovnica \(f(x)=0\) má koreň \(x=b\), potom táto rovnica bude mať určite sekundu koreň \(x =-b\) .
\(\blacktriangleright\) Funkcia \(f(x)\) sa nazýva periodická na \(X\), ak pre nejaké číslo \(T\ne 0\) platí: \(f(x)=f( x+T) \), kde \(x, x+T\v X\) . Najmenšia \(T\), pre ktorú je táto rovnosť splnená, sa nazýva hlavná (hlavná) perióda funkcie.
Periodická funkcia má ľubovoľné číslo v tvare \(nT\) , kde \(n\in \mathbb(Z)\) bude tiež bodka.
Príklad: akýkoľvek goniometrická funkcia je periodický;
pre funkcie \(f(x)=\sin x\) a \(f(x)=\cos x\) sa hlavná perióda rovná \(2\pi\), pre funkcie \(f(x) )=\mathrm( tg)\,x\) a \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) hlavná perióda sa rovná \(\pi\) .
Ak chcete vytvoriť graf periodickej funkcie, môžete jej graf nakresliť na ľubovoľný segment dĺžky \(T\) (hlavná perióda); potom sa graf celej funkcie dokončí posunutím zostrojenej časti o celý počet období doprava a doľava:
\(\blacktriangleright\) Oblasť \(D(f)\) funkcie \(f(x)\) je množina pozostávajúca zo všetkých hodnôt argumentu \(x\), pre ktoré má funkcia zmysel (je definovaný).
Príklad: funkcia \(f(x)=\sqrt x+1\) má doménu definície: \(x\in
Úloha 1 #6364
Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške
Pri akých hodnotách parametra \(a\) platí rovnica
má jediné riešenie?
Všimnite si, že keďže \(x^2\) a \(\cos x\) sú párne funkcie, ak má rovnica koreň \(x_0\) , bude mať aj koreň \(-x_0\) .
Nech je \(x_0\) koreň, teda rovnosť \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) správne. Nahradíme \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).
Ak teda \(x_0\ne 0\) , rovnica už bude mať aspoň dva korene. Preto \(x_0=0\) . potom:
Pre parameter \(a\) sme dostali dve hodnoty. Všimnite si, že sme použili skutočnosť, že \(x=0\) je presne koreňom pôvodnej rovnice. Ale nikdy sme nevyužili to, že je jediný. Preto je potrebné dosadiť výsledné hodnoty parametra \(a\) do pôvodnej rovnice a skontrolovať, pre ktoré konkrétne \(a\) bude koreň \(x=0\) skutočne jedinečný.
1) Ak \(a=0\) , potom rovnica bude mať tvar \(2x^2=0\) . Je zrejmé, že táto rovnica má iba jeden koreň \(x=0\) . Preto nám vyhovuje hodnota \(a=0\).
2) Ak \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , potom rovnica bude mať tvar \ Prepíšme rovnicu do tvaru \ Pretože \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), To \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). V dôsledku toho hodnoty na pravej strane rovnice (*) patria do segmentu \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).
Keďže \(x^2\geqslant 0\) , potom je ľavá strana rovnice (*) väčšia alebo rovná \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .
Rovnosť (*) teda môže platiť iba vtedy, keď sa obe strany rovnice rovnajú \(\mathrm(tg)^2\,1\) . A to znamená, že \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Preto nám vyhovuje hodnota \(a=-\mathrm(tg)\,1\).
odpoveď:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
Úloha 2 #3923
Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške
Nájdite všetky hodnoty parametra \(a\) , pre každú z nich je graf funkcie \
symetrické podľa pôvodu.
Ak je graf funkcie symetrický vzhľadom na počiatok, potom je takáto funkcia nepárna, to znamená, že \(f(-x)=-f(x)\) platí pre ľubovoľné \(x\) z domény. definície funkcie. Preto je potrebné nájsť tie hodnoty parametrov, pre ktoré \(f(-x)=-f(x).\)
\[\začiatok(zarovnané) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(zarovnané)\]
Posledná rovnica musí byť splnená pre všetky \(x\) z oblasti \(f(x)\), preto, \(\sin(2\pi a)=0 \šípka doprava a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
odpoveď:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
Úloha 3 #3069
Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške
Nájdite všetky hodnoty parametra \(a\) , pre každé z nich má rovnica \ 4 riešenia, kde \(f\) je párna periodická funkcia s periódou \(T=\dfrac(16)3\) definované na celej číselnej osi a \(f(x)=ax^2\) pre \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Úloha od predplatiteľov)
Keďže \(f(x)\) je párna funkcia, jej graf je symetrický vzhľadom na zvislú os, teda keď \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Teda kedy \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) a toto je segment dĺžky \(\dfrac(16)3\) , funkcia \(f(x)=ax^2\) .
1) Nech \(a>0\) . Potom bude graf funkcie \(f(x)\) vyzerať takto: 
Potom, aby rovnica mala 4 riešenia, je potrebné, aby graf \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) prechádzal bodom \(A\) : 
teda \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(zhromaždené)\begin(zarovnané) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\koniec (zarovnané)\koniec (zhromaždené)\vpravo. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(zhromaždené)\begin(zarovnané) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(zarovnané) \end( zhromaždené)\vpravo.\] Keďže \(a>0\) , potom je vhodné \(a=\dfrac(18)(23)\).
2) Nechajte \(a<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
Je potrebné, aby graf \(g(x)\) prechádzal bodom \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(zhromaždené)\begin(zarovnané) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(zarovnané) \end(zhromaždené)\vpravo.\] Keďže \(a<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) Prípad, keď \(a=0\) nie je vhodný, odvtedy \(f(x)=0\) pre všetky \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) a rovnica bude mať iba 1 koreň.
odpoveď:
\(a\v \vľavo\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\vpravo\)\)
Úloha 4 #3072
Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške
Nájdite všetky hodnoty \(a\) , pre každú z nich platí rovnica \
má aspoň jeden koreň.
(Úloha od predplatiteľov)
Prepíšme rovnicu do tvaru \
a zvážte dve funkcie: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) a \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
Funkcia \(g(x)\) je párna a má minimálny bod \(x=0\) (a \(g(0)=49\) ).
Funkcia \(f(x)\) pre \(x>0\) je klesajúca a pre \(x<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
V skutočnosti, keď \(x>0\) sa druhý modul otvorí kladne (\(|x|=x\) ), preto bez ohľadu na to, ako sa otvorí prvý modul, \(f(x)\) bude rovnaký na \( kx+A\) , kde \(A\) je výraz \(a\) a \(k\) sa rovná buď \(-9\) alebo \(-3\) . Keď \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
Nájdite hodnotu \(f\) v maximálnom bode: \ 
Aby rovnica mala aspoň jedno riešenie, je potrebné, aby grafy funkcií \(f\) a \(g\) mali aspoň jeden priesečník. Preto potrebujete: \ \\]
odpoveď:
\(a\v \(-7\)\pohári\)
Úloha 5 #3912
Úroveň úlohy: Rovná sa jednotnej štátnej skúške
Nájdite všetky hodnoty parametra \(a\) , pre každú z nich rovnicu \
má šesť rôznych riešení.
Urobme náhradu \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Potom bude mať rovnica tvar \
Postupne vypíšeme podmienky, za ktorých bude mať pôvodná rovnica šesť riešení.
Všimnite si, že kvadratická rovnica \((*)\) môže mať maximálne dve riešenia. Každá kubická rovnica \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) nemôže mať viac ako tri riešenia. Preto, ak rovnica \((*)\) má dve rôzne riešenia (kladné!, pretože \(t\) musí byť väčšie ako nula) \(t_1\) a \(t_2\) , potom urobením naopak substitúciou, dostaneme: \[\left[\begin(zhromaždené)\begin(zarovnané) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\koniec (zarovnané)\koniec (zhromaždené)\vpravo.\] Od akéhokoľvek kladné číslo môže byť do určitej miery reprezentovaný ako \(\sqrt2\), napr. \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), potom sa prvá rovnica množiny prepíše do tvaru \
Ako sme už povedali, žiadna kubická rovnica nemá viac ako tri riešenia, preto každá rovnica v množine nebude mať viac ako tri riešenia. To znamená, že celý súbor nebude mať viac ako šesť riešení.
To znamená, že na to, aby mala pôvodná rovnica šesť riešení, kvadratická rovnica \((*)\) musí mať dve rôzne riešenia a každá výsledná kubická rovnica (z množiny) musí mať tri rôzne riešenia (a nie jediné riešenie jedna rovnica by sa mala zhodovať s ktoroukoľvek - podľa rozhodnutia druhej!)
Je zrejmé, že ak má kvadratická rovnica \((*)\) jedno riešenie, potom nedostaneme šesť riešení pôvodnej rovnice.
Plán riešenia je teda jasný. Spíšme si podmienky, ktoré musia byť splnené bod po bode.
1) Aby rovnica \((*)\) mala dve rôzne riešenia, jej diskriminant musí byť kladný: \
2) Je tiež potrebné, aby oba korene boli kladné (keďže \(t>0\) ). Ak je súčin dvoch koreňov kladný a ich súčet kladný, potom samotné korene budú kladné. Preto potrebujete: \[\začiatok(prípady) 12-a>0\\-(a-10)>0\koniec (prípady)\štvorica\šípka vľavo\štvorica a<10\]
Takto sme si už poskytli dva rôzne kladné korene \(t_1\) a \(t_2\) .
3)
Pozrime sa na túto rovnicu \
Na čo \(t\) bude mať tri rôzne riešenia? Takto sme určili, že oba korene rovnice \((*)\) musia ležať v intervale \((1;4)\) . Ako napísať túto podmienku? mal štyri rôzne korene, odlišné od nuly, predstavujúce spolu s \(x=0\) aritmetickú postupnosť. Všimnite si, že funkcia \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) je párna, čo znamená, že ak \(x_0\) je koreňom rovnice \( (*)\ ) , potom \(-x_0\) bude tiež jeho koreňom. Potom je potrebné, aby korene tejto rovnice boli čísla zoradené vzostupne: \(-2d, -d, d, 2d\) (potom \(d>0\)). Potom týchto päť čísel vytvorí aritmetickú postupnosť (s rozdielom \(d\)). Aby tieto korene boli číslami \(-2d, -d, d, 2d\) , je potrebné, aby čísla \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) boli koreňmi rovnica \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Potom podľa Vietovej vety: Prepíšme rovnicu do tvaru \
a zvážte dve funkcie: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) a \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) . Aby rovnica mala aspoň jedno riešenie, je potrebné, aby grafy funkcií \(f\) a \(g\) mali aspoň jeden priesečník. Preto potrebujete: \
Vyriešením tejto sady systémov dostaneme odpoveď: \\]
odpoveď: \(a\v \(-2\)\poháre\) Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu. ciele: Vybavenie: multimediálna inštalácia, interaktívna tabuľa, písomky. Formy práce: frontálna a skupinová s prvkami pátracích a výskumných činností. Zdroje informácií: PRIEBEH LEKCIE 1. Organizačný moment Stanovenie cieľov a cieľov pre lekciu. 2.
Kontrola domácich úloh č. 10.17 (zošit úloh 9. ročníka. A.G. Mordkovich). A) pri = f(X), f(X) = b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69; c) 1. D( f) = [– 2; + ∞) (Použili ste algoritmus na skúmanie funkcií?) Snímka.
2. Pozrime sa na tabuľku, na ktorú ste boli požiadaní zo snímky. Doména definície Funkčné nuly Intervaly stálosti znamienka x = –5, x € (–5;3) U x € (–∞;–5) U x ∞ –5, x € (–5;3) U x € (–∞;–5) U x ≠ –5, x € (–∞; –5) U x € (–5; 2) 3.
Aktualizácia vedomostí – Funkcie sú dané. X ≠ 0 a nie sú definované – Pri tejto práci sme, priatelia, identifikovali ďalšiu vlastnosť funkcie, ktorú nepoznáte, no nie je o nič menej dôležitá ako ostatné – je to rovnomernosť a nepárnosť funkcie. Zapíšte si tému hodiny: „Párne a nepárne funkcie“, našou úlohou je naučiť sa určovať párnosť a nepárnosť funkcie, zistiť význam tejto vlastnosti pri štúdiu funkcií a vykresľovaní grafov. Def. 1 Funkcia pri = f (X), definovaný na množine X sa nazýva dokonca, ak má nejakú hodnotu XЄ X sa vykoná rovnosť f(–x)= f(x). Uveďte príklady. Def. 2 Funkcia y = f(x), definovaný na množine X sa nazýva nepárne, ak má nejakú hodnotu XЄ X platí rovnosť f(–х)= –f(х). Uveďte príklady. Kde sme sa stretli s pojmami „párne“ a „nepárne“? Štúdium toho, či je funkcia párna alebo nepárna, sa nazýva štúdium parity funkcie. Snímka V definíciách 1 a 2 sme hovorili o hodnotách funkcie na x a – x, pričom sa predpokladá, že funkcia je definovaná aj na hodnote X, a na – X. Def 3. Ak číselná množina spolu s každým jej prvkom x obsahuje aj opačný prvok –x, potom množina X nazývaná symetrická množina. Príklady: (–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sú symetrické množiny a , [–5;4] sú asymetrické. – Majú párne funkcie definičný obor, ktorý je symetrickou množinou? Tie zvláštne? Snímka
Algoritmus na štúdium funkcie pre paritu 1. Určte, či je definičný obor funkcie symetrický. Ak nie, funkcia nie je ani párna, ani nepárna. Ak áno, prejdite na krok 2 algoritmu. 2. Napíšte výraz pre f(–X). 3. Porovnaj f(–X).A f(X): Príklady:
Preskúmajte paritu funkcie a). pri= x 5+; b) pri= ; V) pri= . Riešenie. a) h(x) = x 5 +, 1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), symetrická množina. 2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +), 3) h(– x) = – h (x) => funkcia h(x)= x 5 + nepárne. b) y =, pri = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), asymetrická množina, čo znamená, že funkcia nie je ani párna, ani nepárna. V) f(X) = , y = f (x), 1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]? Možnosť 2 1. Je daná množina symetrická: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ? a) y = x 2 (2x – x 3), b) y = Vzájomná kontrola zapnutá šmykľavka. 6. Domáce úlohy: №11.11, 11.21,11.22; Dôkaz geometrického významu vlastnosti parity. *** (Pridelenie možnosti Jednotnej štátnej skúšky). 1. Na celej číselnej osi je definovaná nepárna funkcia y = f(x). Pre akúkoľvek nezápornú hodnotu premennej x sa hodnota tejto funkcie zhoduje s hodnotou funkcie g( X)
= X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Nájdite hodnotu funkcie h( X) = at X = 3. 7. Zhrnutie Dokonca aj funkcia.
Dokonca je funkcia, ktorej znamienko sa pri zmene znamienka nemení x. x platí rovnosť f(–x) = f(x). Podpísať x nemá vplyv na znamenie r. Graf párnej funkcie je symetrický podľa súradnicovej osi (obr. 1). Príklady párnej funkcie: r=cos x r = x 2 r = –x 2 r = x 4 r = x 6 r = x 2 + x Vysvetlenie: Neobyčajná funkcia.
Nepárne je funkcia, ktorej znamienko sa mení pri zmene znamienka x. Inými slovami, za akúkoľvek hodnotu x platí rovnosť f(–x) = –f(x). Graf nepárnej funkcie je symetrický vzhľadom na počiatok (obr. 2). Príklady nepárnych funkcií: r= hriech x r = x 3 r = –x 3 Vysvetlenie: Zoberme si funkciu y = – x 3 . Vlastnosti párnych a nepárnych funkcií:
POZNÁMKA:
Nie všetky funkcie sú párne alebo nepárne. Sú funkcie, ktoré takéto stupňovanie neposlúchajú. Napríklad koreňová funkcia pri = √X neplatí pre párne ani nepárne funkcie (obr. 3). Pri uvádzaní vlastností takýchto funkcií by sa mal uviesť vhodný opis: ani párne, ani nepárne. Periodické funkcie.
Ako viete, periodicita je opakovanie určitých procesov v určitom intervale. Funkcie, ktoré popisujú tieto procesy, sa nazývajú periodické funkcie. To znamená, že ide o funkcie, v ktorých grafoch sú prvky, ktoré sa opakujú v určitých číselných intervaloch. Definícia 1. Funkcia sa volá dokonca
(nepárne
), ak sú spolu s každou hodnotou premennej Funkcia teda môže byť párna alebo nepárna iba vtedy, ak je jej definičný obor symetrický podľa pôvodu súradníc na číselnej osi (číslo X a - X patria zároveň Funkcia Funkcia Funkcia Graf párnej funkcie je symetrický okolo osi Oh, pretože ak bod Pri dokazovaní, či je funkcia párna alebo nepárna, sú užitočné nasledujúce tvrdenia. Veta 1. a) Súčet dvoch párnych (nepárnych) funkcií je párna (nepárna) funkcia. b) Súčin dvoch párnych (nepárnych) funkcií je párna funkcia. c) Súčin párnej a nepárnej funkcie je nepárna funkcia. d) Ak f– rovnomerná funkcia na televízore X a funkciu g
definované na súprave d) Ak f– nepárna funkcia na prijímači X a funkciu g
definované na súprave Dôkaz. Dokážme napríklad b) ad). b) Nechajte d) Nechajte f
je rovnomerná funkcia. Potom. Zvyšné tvrdenia vety možno dokázať podobným spôsobom. Veta bola dokázaná. Veta 2. Akákoľvek funkcia Dôkaz. Funkcia Funkcia Definícia 2. Funkcia Takéto číslo T volal obdobie
funkcie Z definície 1 vyplýva, že ak T– obdobie funkcie Definícia 3. Najmenšia z kladných periód funkcie sa nazýva jej hlavné
obdobie. Veta 3. Ak T– hlavné obdobie funkcie f, potom zostávajúce obdobia sú jeho násobky. Dôkaz. Predpokladajme opak, teda že existuje obdobie to jest Je dobre známe, že goniometrické funkcie sú periodické. Hlavné obdobie (pretože Význam T, určená z prvej rovnosti, nemôže byť bodkou, keďže závisí od X, t.j. je funkciou X, a nie konštantné číslo. Obdobie sa určuje od druhej rovnosti: Príkladom zložitejšej periodickej funkcie je Dirichletova funkcia Všimnite si, že ak T je teda racionálne číslo pre akékoľvek racionálne číslo T. Preto akékoľvek racionálne číslo T je obdobie Dirichletovej funkcie. Je zrejmé, že táto funkcia nemá hlavné obdobie, pretože existujú pozitívne racionálne čísla, ľubovoľne blízko nule (napríklad je možné zvoliť racionálne číslo nľubovoľne blízko nule). Veta 4. Ak je funkcia f
definované na súprave X a má obdobie T a funkciu g
definované na súprave Dôkaz. Máme teda to znamená, že tvrdenie vety je dokázané. Napríklad od r cos
x
má obdobie Definícia 4. Volajú sa funkcie, ktoré nie sú periodické neperiodické
.
Zvážte funkciu \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Možno faktorizovať: \
Preto sú jeho nuly: \(x=-1;2\) .
Ak nájdeme deriváciu \(f"(x)=3x^2-6x\) , dostaneme dva extrémne body \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Graf teda vyzerá takto: 
Vidíme, že akákoľvek vodorovná čiara \(y=k\) , kde \(0
Potrebujete teda: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
Okamžite si tiež všimnime, že ak sa čísla \(t_1\) a \(t_2\) líšia, potom čísla \(\log_(\sqrt2)t_1\) a \(\log_(\sqrt2)t_2\) budú rôzne, čo znamená rovnice \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) A \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) bude mať iné korene.
Systém \((**)\) je možné prepísať takto: \[\začiatok(prípady) 1
Korene si nebudeme výslovne zapisovať.
Uvažujme funkciu \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Jeho grafom je parabola s vetvami nahor, ktorá má dva priesečníky s osou x (túto podmienku sme si zapísali v odseku 1)). Ako by mal vyzerať jeho graf, aby priesečníky s osou x boli v intervale \((1;4)\)? Takže: 
Po prvé, hodnoty \(g(1)\) a \(g(4)\) funkcie v bodoch \(1\) a \(4\) musia byť kladné, a po druhé, vrchol parabola \(t_0\ ) musí byť tiež v intervale \((1;4)\) . Preto môžeme systém napísať: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
Funkcia \(g(x)\) má maximálny bod \(x=0\) (a \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Nulová derivácia: \(x=0\) . Keď \(x<0\)
имеем: \(g">0\), pre \(x>0\) : \(g"<0\)
.
Funkcia \(f(x)\) pre \(x>0\) je rastúca a pre \(x<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
V skutočnosti, keď \(x>0\) sa prvý modul otvorí kladne (\(|x|=x\)), preto bez ohľadu na to, ako sa otvorí druhý modul, \(f(x)\) bude rovnaký do \( kx+A\) , kde \(A\) je výraz \(a\) a \(k\) sa rovná buď \(13-10=3\) alebo \(13+10 =23\). Keď \(x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
Nájdite hodnotu \(f\) v minimálnom bode: \
Späť Vpred
1. Algebra 9. trieda A.G. Mordkovich. Učebnica.
2. Algebra 9. ročník A.G. Mordkovich. Kniha problémov.
3. Algebra 9. ročník. Úlohy na učenie a rozvoj študentov. Belenková E.Yu. Lebedintseva E.A.
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 at X ~ 0,4
4. f(X) >0 at X > 0,4 ; f(X)
< 0 при – 2 <
X <
0,4.
5. Funkcia sa zvyšuje s X € [– 2; + ∞)
6. Funkcia je obmedzená zdola.
7. pri naim = – 3, pri naib neexistuje
8. Funkcia je spojitá.Vyplňte tabuľku
Súradnice priesečníkov grafu s Oy
x = 2
U(2;∞)
U (–3;2)
x ≠ 2
U(2;∞)
U (–3;2)
x ≠ 2
U(2;∞)
– Zadajte rozsah definície pre každú funkciu.
– Porovnajte hodnotu každej funkcie pre každý pár hodnôt argumentov: 1 a – 1; 2 a – 2.
– Pre ktorú z týchto funkcií v oblasti definície platí rovnosť f(– X)
= f(X), f(– X) = – f(X)? (zadajte získané údaje do tabuľky) Snímka
f(1) a f(– 1)
f(2) a f(– 2)
grafika
f(– X) = –f(X)
f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =
6. f(X)=
X >
–1
Takže nájdime definície v učebnici a čítajme (s. 110) . Snímka
Čo myslíte, ktorá z týchto funkcií bude párna? prečo? Ktoré sú zvláštne? prečo?
Pre akúkoľvek funkciu formulára pri= x n, Kde n– celé číslo, možno tvrdiť, že funkcia je nepárna kedy n– nepárne a funkcia je párna, keď n– dokonca.
– Zobrazenie funkcií pri= a pri = 2X– 3 nie sú párne ani nepárne, pretože nie sú splnené f(– X) = – f(X), f(–
X) = f(X)
– Ak D( f) je asymetrická množina, aká je potom funkcia?
– Ak teda funkcia pri = f(X) – párne alebo nepárne, potom je jeho doména definície D( f) je symetrická množina. Platí opačné tvrdenie: ak je definičný obor funkcie symetrická množina, je párna alebo nepárna?
– To znamená, že prítomnosť symetrickej množiny definičnej oblasti je nevyhnutnou podmienkou, nie však dostatočnou.
– Ako teda študovať funkciu pre paritu? Skúsme vytvoriť algoritmus.
A); b) y = x (5 – x 2).2. Preskúmajte funkciu parity:
3. Na obr. bol vytvorený graf pri = f(X), pre všetkých X, splnenie podmienky X?
0.
Graf funkcie pri = f(X), Ak pri = f(X) je párna funkcia. 
3. Na obr. bol vytvorený graf pri = f(X), pre všetky x spĺňajúce podmienku x? 0.
Graf funkcie pri = f(X), Ak pri = f(X) je zvláštna funkcia. 
Zoberme si funkciu r = x 2 alebo r = –x 2 .
Za akúkoľvek hodnotu x funkcia je pozitívna. Podpísať x nemá vplyv na znamenie r. Graf je symetrický okolo súradnicovej osi. Toto je rovnomerná funkcia.
Všetky významy pri bude mať znamienko mínus. To je znamenie x ovplyvňuje znamenie r. Ak je nezávislá premenná kladné číslo, potom je funkcia kladná, ak nezávislá premenná je záporné číslo, potom je funkcia záporná: f(–x) = –f(x).
Graf funkcie je symetrický podľa počiatku. Toto je zvláštna funkcia.
význam - X tiež patrí 
a platí rovnosť
). Napríklad funkcia 
nie je ani párne, ani nepárne, keďže ide o doménu definície 
nie sú symetrické podľa pôvodu.
dokonca, pretože 
symetrické podľa pôvodu a.
zvláštne, pretože 
A 
.
nie je párne a nepárne, keďže hoci 
a je symetrický vzhľadom na pôvod, nie sú splnené rovnosti (11.1). Napríklad,.
patrí tiež do rozvrhu. Graf nepárnej funkcie je symetrický okolo počiatku, keďže ak 
patrí do grafu, potom bod 
patrí tiež do rozvrhu.
, potom funkciu 
– dokonca.
a párne (nepárne), potom funkcia 
– párne (nepárne).
A 
– párne funkcie. Potom teda. Prípad nepárnych funkcií sa rieši podobne 
A 
.
, definované na súprave X, symetrický podľa pôvodu, môže byť reprezentovaný ako súčet párnych a nepárnych funkcií.
možno napísať vo forme
.
– dokonca, pretože 
a funkciu 
– zvláštne, pretože. teda 
, Kde 
– párne a 
– nepárne funkcie. Veta bola dokázaná.
volal periodické
, ak existuje číslo 
, a to tak, že pre akékoľvek 
čísla 
A 
patria tiež do oblasti definície 
a rovnosti sú uspokojené
.
, potom číslo – T To isté
je obdobie funkcie
(od momentu výmeny T na – T je zachovaná rovnosť). Pomocou metódy matematickej indukcie možno ukázať, že ak T– obdobie funkcie f, potom 
, je tiež obdobie. Z toho vyplýva, že ak má funkcia periódu, potom má nekonečne veľa periód.
funkcie f
(
>0), nie viacnásobné T. Potom delenie 
na T so zvyškom dostaneme 
, Kde 
. Preto
– obdobie funkcie f, a 
, a to odporuje skutočnosti, že T– hlavné obdobie funkcie f. Z výsledného rozporu vyplýva tvrdenie vety. Veta bola dokázaná.
A 
rovná sa 
,
A 
. Nájdite obdobie funkcie 
. Nechaj 
- obdobie tejto funkcie. Potom
.
oror 
.
. Období je nekonečne veľa, s 
najmenšia kladná perióda sa získa pri 
:
. Toto je hlavné obdobie funkcie 
.
A 
sú racionálne čísla pre racionálne X a iracionálne, keď iracionálne X. Preto
, teda komplexná funkcia 
má tiež obdobie T.
, potom funkcie 
mať obdobie 
.
