§ 1 Súradnicový systém: definícia a spôsob konštrukcie

V tejto lekcii sa zoznámime s pojmami „súradnicový systém“, „súradnicová rovina“, „súradnicové osi“ a naučíme sa konštruovať body v rovine pomocou súradníc.

Zoberme si súradnicovú čiaru x s ​​počiatočným bodom O, kladným smerom a jednotkovým segmentom.

Cez počiatok súradníc, bod O súradnicovej čiary x, nakreslíme ďalšiu súradnicovú čiaru y, kolmú na x, nastavíme kladný smer nahor, jednotkový segment je rovnaký. Takto sme vytvorili súradnicový systém.

Dajme si definíciu:

Dve vzájomne kolmé súradnicové čiary pretínajúce sa v bode, ktorý je počiatkom súradníc každej z nich, tvoria súradnicový systém.

§ 2 Súradnicová os a súradnicová rovina

Priame čiary, ktoré tvoria súradnicový systém, sa nazývajú súradnicové osi, z ktorých každá má svoj vlastný názov: súradnicová čiara x je súradnicová os, súradnicová čiara y je súradnicová os.

Rovina, na ktorej je vybraný súradnicový systém, sa nazýva súradnicová rovina.

Opísaný súradnicový systém sa nazýva pravouhlý. Často sa nazýva karteziánsky súradnicový systém na počesť francúzskeho filozofa a matematika Reného Descarta.

Každý bod v súradnicovej rovine má dve súradnice, ktoré je možné určiť pustením kolmice z bodu na súradnicovej osi. Súradnice bodu v rovine sú dvojice čísel, z ktorých prvé číslo je úsečka, druhé číslo je ordináta. Os x je kolmá na os x, zvislá súradnica je kolmá na os y.

Vyznačme si bod A na súradnicovej rovine a nakreslíme z neho kolmice na osi súradnicového systému.

Pozdĺž kolmice na os x (os x) určíme úsečku bodu A, rovná sa 4, ordináta bodu A - pozdĺž kolmice na os y (os y) je 3. Súradnice nášho bodu sú 4 a 3. A (4;3). Súradnice teda možno nájsť pre ľubovoľný bod na rovine súradníc.

§ 3 Konštrukcia bodu na rovine

Ako zostrojiť bod na rovine s danými súradnicami, t.j. Pomocou súradníc bodu v rovine určte jeho polohu? V tomto prípade vykonávame kroky v opačnom poradí. Na súradnicových osiach nájdeme body zodpovedajúce daným súradniciam, ktorými vedieme priamky kolmé na osi x a y. Priesečník kolmíc bude požadovaný, t.j. bod s danými súradnicami.

Dokončime úlohu: zostrojte bod M (2;-3) na rovine súradníc.

Za týmto účelom nájdite bod so súradnicou 2 na osi x a cez tento bod nakreslite priamku kolmú na os x. Na osi y nájdeme bod so súradnicou -3, cez ktorý nakreslíme priamku kolmú na os y. Priesečníkom kolmých čiar bude daný bod M.

Teraz sa pozrime na niekoľko špeciálnych prípadov.

Označme body A (0; 2), B (0; -3), C (0; 4) na rovine súradníc.

Úsečky týchto bodov sú rovné 0. Obrázok ukazuje, že všetky body ležia na osi y.

V dôsledku toho body, ktorých úsečky sú rovné nule, ležia na osi y.

Vymeňme súradnice týchto bodov.

Výsledkom bude A (2;0), B (-3;0) C (4; 0). V tomto prípade sú všetky súradnice rovné 0 a body sú na osi x.

To znamená, že body, ktorých súradnice sa rovnajú nule, ležia na osi x.

Pozrime sa na ďalšie dva prípady.

Na rovine súradníc označte body M (3; 2), N (3; -1), P (3; -4).

Je ľahké si všimnúť, že všetky úsečky bodov sú rovnaké. Ak sú tieto body spojené, dostanete priamku rovnobežnú s osou ordinátov a kolmú na os x.

Záver sa naznačuje sám: body, ktoré majú rovnakú úsečku, ležia na rovnakej priamke, ktorá je rovnobežná s osou ordináty a kolmá na os úsečky.

Ak vymeníte súradnice bodov M, N, P, dostanete M (2; 3), N (-1; 3), P (-4; 3). Súradnice bodov budú rovnaké. V tomto prípade, ak tieto body spojíte, dostanete priamku rovnobežnú s osou x a kolmú na os ordinátov.

Body s rovnakou ordinátou teda ležia na rovnakej priamke rovnobežnej s osou x a kolmej na os y.

V tejto lekcii ste sa oboznámili s pojmami „súradnicový systém“, „súradnicová rovina“, „súradnicové osi - súradnicová os a súradnicová os“. Naučili sme sa, ako nájsť súradnice bodu v súradnicovej rovine a naučili sme sa konštruovať body v rovine pomocou jej súradníc.

Zoznam použitej literatúry:

1. Matematika. 6. ročník: plány hodín pre učebnicu I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // autor-zostavovateľ L.A. Topilina. – Mnemosyne, 2009.
2. Matematika. 6. ročník: učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií. I.I. Zubareva, A. G. Mordkovich - M.: Mnemosyne, 2013.
3. Matematika. 6. ročník: učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov a ďalší/upravené G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Ruská akadémia vied, Ruská akadémia vzdelávania. - M.: „Osvietenie“, 2010
4. Príručka matematiky - http://lyudmilanik.com.ua
5. Príručka pre študentov stredných škôl http://shkolo.ru

Priamka je úplne definovaná, ak sú známe dva body, ktoré k nej patria. Aby bolo možné zostrojiť priamku pomocou jej rovnice, je potrebné pomocou tejto rovnice nájsť súradnice jej dvoch bodov. Malo by sa pevne pamätať na to, že ak bod patrí do priamky, potom súradnice tohto bodu spĺňajú rovnicu priamky.

Pri konštrukcii priamky v praxi pomocou jej rovnice sa najpresnejší graf získa, keď súradnice dvoch bodov použitých na jej zostrojenie sú celé čísla.

1. Ak je čiara definovaná všeobecnou rovnicou Ax + Autor: + C= 0 a , potom najjednoduchší spôsob, ako ho zostrojiť, je určiť priesečníky priamky so súradnicovými osami.

Uveďme, ako určiť súradnice priesečníkov priamky so súradnicovými osami. Súradnice priesečníka priamky s osou Ox sa zistí z nasledujúcich úvah: súradnice všetkých bodov nachádzajúcich sa na osi Ox, sa rovnajú nule. V rovnici priamky sa predpokladá, že r sa rovná nule a z výslednej rovnice sa zistí x. Nájdená hodnota x a je úsečkou priesečníka priamky s osou Ox. Ak sa to ukáže x = a, potom súradnice priesečníka priamky s osou Ox bude ( a, 0).

Na určenie súradníc priesečníka priamky s osou Oj, uvažujú takto: úsečky všetkých bodov umiestnených na osi Oj, sa rovnajú nule. Zoberte priamku v rovnici x rovná nule, z výslednej rovnice určíme r. Nájdená hodnota r a bude súradnicou priesečníka priamky s osou Oj. Ak sa ukáže napr r = b, potom priesečník priamky s osou Oj má súradnice (0, b).

Príklad. Priamy 2 x + r- 6 = 0 pretína os Ox v bode (3, 0). Skutočne, ak vezmeme do úvahy túto rovnicu r= 0, môžeme určiť x rovnica 2 x- 6 = 0, odkiaľ x = 3.

Na určenie priesečníka tejto priamky s osou Oj, vložte do rovnice priamky x= 0. Dostaneme rovnicu r- 6 = 0, z čoho vyplýva, že r= 6. Priamka teda pretína súradnicové osi v bodoch (3, 0) a (0, 6).

Ak vo všeobecnej rovnici priamky C= 0, potom priamka definovaná touto rovnicou prechádza počiatkom. Jeden z jej bodov je teda už známy a na zostrojenie priamky ostáva už len nájsť jeden jej bod navyše. Abscisa x tento bod je stanovený ľubovoľne a ordináta r zistené z rovnice priamky.

Príklad. Priamy 2 x - 4r= 0 prechádza cez počiatok. Druhý bod úsečky určíme tak, že vezmeme napr. x= 2. Potom určiť r dostaneme rovnicu 2*2 - 4 r = 0; 4r = 4; r= 1. Takže, riadok 2 x - 4r= 0 prechádza bodmi (0, 0) a (2, 1).

Ak je čiara daná rovnicou r = kx + b s uhlovým koeficientom, potom je už z tejto rovnice známa hodnota segmentu b, odrezaný priamkou na osi y a na zostrojenie priamky ostáva určiť súradnice ešte len jedného bodu prislúchajúceho tejto priamke. Ak v rov. r = kx + b, potom je najjednoduchšie určiť súradnice priesečníka priamky s osou Ox. Vyššie bolo uvedené, ako to urobiť.

Ak v rovnici r = kx + b b= 0, potom priamka prechádza počiatkom súradníc, a teda jeden k nej patriaci bod je už známy. Ak chcete nájsť ďalší bod, mali by ste dať xľubovoľnú hodnotu a určte priamu hodnotu z rovnice r, zodpovedajúce tejto hodnote x.

Príklad. Priamka prechádza počiatkom a bodom (2, 1), odkedy x= 2 z jej rovnice.

Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom v danom smere. Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva dané body. Uhol medzi dvoma priamymi čiarami. Podmienka rovnobežnosti a kolmosti dvoch priamok. Určenie priesečníka dvoch priamok

1. Rovnica priamky prechádzajúcej daným bodom A(x 1 , r 1) v danom smere, určenom sklonom k,

r - r 1 = k(x - x 1). (1)

Táto rovnica definuje ceruzku čiar prechádzajúcich bodom A(x 1 , r 1), ktorý sa nazýva stred lúča.

2. Rovnica priamky prechádzajúcej cez dva body: A(x 1 , r 1) a B(x 2 , r 2), napísané takto:

Uhlový koeficient priamky prechádzajúcej dvoma danými bodmi je určený vzorcom

3. Uhol medzi rovnými čiarami A A B je uhol, o ktorý sa musí otočiť prvá priamka A okolo priesečníka týchto čiar proti smeru hodinových ručičiek, kým sa nezhoduje s druhou čiarou B. Ak sú dve priamky dané rovnicami so sklonom

r = k 1 x + B 1 ,

r = k 2 x + B 2 , (4)

potom je uhol medzi nimi určený vzorcom

Treba poznamenať, že v čitateli zlomku sa sklon prvého riadku odpočítava od sklonu druhého riadku.

Ak sú rovnice priamky uvedené vo všeobecnom tvare

A 1 x + B 1 r + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 r + C 2 = 0, (6)

uhol medzi nimi je určený vzorcom

4. Podmienky pre rovnobežnosť dvoch čiar:

a) Ak sú priamky dané rovnicami (4) s uhlovým koeficientom, potom nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou ich rovnobežnosti je rovnosť ich uhlových koeficientov:

k 1 = k 2 . (8)

b) Pre prípad, keď sú priamky dané rovnicami vo všeobecnom tvare (6), je nutnou a postačujúcou podmienkou ich rovnobežnosti, aby koeficienty pre zodpovedajúce súradnice prúdu v ich rovniciach boli úmerné, t.j.

5. Podmienky pre kolmosť dvoch priamok:

a) V prípade, keď sú priamky dané rovnicami (4) s uhlovým koeficientom, nevyhnutnou a postačujúcou podmienkou ich kolmosti je, aby ich uhlové koeficienty boli inverzné čo do veľkosti a opačného znamienka, t.j.

• Dve vzájomne kolmé súradnicové čiary pretínajúce sa v bode O - počiatok referencie, tvar pravouhlý súradnicový systém, tiež nazývaný karteziánsky súradnicový systém.
• Rovina, na ktorej je zvolený súradnicový systém, sa nazýva súradnicová rovina. Súradnicové čiary sú tzv súradnicové osi. Vodorovná os je os x (Ox), zvislá os je zvislá os (Oy).
• Súradnicové osi rozdeľujú súradnicovú rovinu na štyri časti - štvrtiny. Poradové čísla štvrťrokov sa zvyčajne počítajú proti smeru hodinových ručičiek.
• Každý bod v súradnicovej rovine je určený svojimi súradnicami - úsečka a ordináta. napr. A(3; 4). Prečítajte si: bod A so súradnicami 3 a 4. Tu je 3 súradnica, 4 súradnica.

I. Konštrukcia bodu A(3; 4).

Abscisa 3 ukazuje, že od začiatku odpočítavania - body O treba posunúť doprava 3 segment jednotky a potom ho umiestnite 4 jednotka segment a dať bod.

Toto je pointa A(3; 4).

Konštrukcia bodu B(-2; 5).

Od nuly sa posúvame doľava 2 jeden segment a potom hore 5 jednotlivé segmenty.

Urobme tomu koniec IN.

Zvyčajne sa berie jednotkový segment 1 bunka.

II. Zostrojte body v rovine súradníc xOy:

A (-3; 1);B(-1;-2);

C(-2:4);D (2; 3);

F(6:4);K(4; 0)

III. Určte súradnice zostrojených bodov: A, B, C, D, F, K.

A(-4; 3);B(-2; 0);

C(3; 4);D (6; 5);

F(0; -3);K (5; -2).

Ukážme si, ako sa transformujú čiary, ak sa do rovnice na určenie čiary zavedie znamienko modulu.

Majme rovnicu F(x;y)=0(*)

· Rovnica F(|x|;y)=0 určuje priamku symetrickú vzhľadom na ordinátu. Ak táto priamka, daná rovnicou (*), už bola zostrojená, potom časť priamky necháme napravo od osi ordinátov a potom ju symetricky doplníme doľava.

· Rovnica F(x;|y|)=0 určuje priamku symetrickú vzhľadom na os x. Ak táto priamka, daná rovnicou (*), už bola zostrojená, tak časť priamky necháme nad osou x a potom ju symetricky doplníme zdola.

· Rovnica F(|x|;|y|)=0 určuje priamku symetrickú vzhľadom na súradnicové osi. Ak je úsečka daná rovnicou (*) už zostrojená, tak časť úsečky necháme v prvej štvrtine a potom ju doplníme symetricky.

Zvážte nasledujúce príklady

Príklad 1

Majme priamku danú rovnicou:

(1), kde a>0, b>0.

Zostrojte čiary dané rovnicami:

Riešenie:

Najprv postavíme pôvodný riadok a potom pomocou odporúčaní postavíme zvyšné riadky.

X

pri

A

b

(1)

(2)

b

-a

a

r

x

x

r

a

(3)

-b

b

x

r

-a

X

-a

b

(5)

a

-b

Príklad 5

Nakreslite na rovinu súradníc oblasť definovanú nerovnosťou:

Riešenie:

Najprv zostrojíme hranicu oblasti, danú rovnicou:

| (5)

V predchádzajúcom príklade sme dostali dve rovnobežné čiary, ktoré rozdeľujú rovinu súradníc na dve oblasti:

Oblasť medzi čiarami

Oblasť mimo čiar.

Ak chcete vybrať našu oblasť, zoberte kontrolný bod, napríklad (0;0) a dosaďte ho do tejto nerovnosti: 0≤1 (správne)®oblasť medzi čiarami vrátane okraja.

Upozorňujeme, že ak je nerovnosť prísna, potom hranica nie je zahrnutá v regióne.

Uložme si túto kružnicu a zostrojme kružnicu, ktorá je symetrická vzhľadom na zvislú os. Uložme si tento kruh a zostrojme taký, ktorý je symetrický vzhľadom na os x. Uložme si tento kruh a zostrojme taký, ktorý je symetrický vzhľadom na os x. a súradnicové osi. V dôsledku toho dostaneme 4 kruhy. Všimnite si, že stred kruhu je v prvej štvrtine (3;3) a polomer je R=3.

pri

-3

X