Nehnuteľnosť: 1. V akomkoľvek pravouhlom trojuholníku rozdeľuje nadmorská výška z pravého uhla (pomocou prepony) pravouhlý trojuholník na tri podobné trojuholníky.

Nehnuteľnosť: 2. Výška pravouhlého trojuholníka zníženého k prepone sa rovná geometrickému priemeru priemetov nôh na preponu (alebo geometrickému priemeru tých segmentov, na ktoré výška delí preponu).

Nehnuteľnosť: 3. Noha sa rovná geometrickému priemeru prepony a priemetu tejto prepony na preponu.

Nehnuteľnosť: 4. Noha oproti uhlu 30 stupňov sa rovná polovici prepony.

Formula 1.

Formula 2., kde je prepona; , nohy.

Nehnuteľnosť: 5. V pravouhlom trojuholníku sa stredná prepona rovná jej polovici a rovná sa polomeru kružnice opísanej.

Vlastnosť: 6. Vzťah medzi stranami a uhlami pravouhlého trojuholníka:

44. Kosínusová veta. Dôsledky: vzťah medzi uhlopriečkami a stranami rovnobežníka; určenie typu trojuholníka; vzorec na výpočet dĺžky mediánu trojuholníka; Výpočet kosínusu uhla trojuholníka.

Koniec práce -

Táto téma patrí do sekcie:

triedy. Program kolokvia o základnej planimetrii

Vlastnosť susedných uhlov.. definícia dvoch susedných uhlov, ak majú jednu stranu spoločnú a ostatné dva tvoria priamku..

Ak potrebujete ďalší materiál k tejto téme, alebo ste nenašli to, čo ste hľadali, odporúčame použiť vyhľadávanie v našej databáze diel:

Čo urobíme s prijatým materiálom:

Ak bol tento materiál pre vás užitočný, môžete si ho uložiť na svoju stránku v sociálnych sieťach:

Pravý trojuholník- je to trojuholník, v ktorom je jeden z uhlov rovný, to znamená 90 stupňov.

• Strana oproti pravému uhlu sa nazýva prepona (na obrázku označená ako c alebo AB)
• Strana susediaca s pravým uhlom sa nazýva noha. Každý pravouhlý trojuholník má dve nohy (na obrázku sú označené ako a a b alebo AC a BC)

Vzorce a vlastnosti pravouhlého trojuholníka

Označenie receptúry:

(pozri obrázok vyššie)

a, b- nohy pravouhlého trojuholníka

c- prepona

α, β - ostré uhly trojuholníka

S- štvorec

h- výška znížená od vrcholu pravého uhla k prepone

m a a z opačného rohu ( α )

m b- prostredník ťahaný do strany b z opačného rohu ( β )

m c- prostredník ťahaný do strany c z opačného rohu ( γ )

IN pravouhlý trojuholník ktorákoľvek z nôh je menšia ako prepona(Formula 1 a 2). Táto vlastnosť je dôsledkom Pytagorovej vety.

Kosínus ktoréhokoľvek z ostrých uhlov menej ako jeden (vzorce 3 a 4). Táto vlastnosť vyplýva z predchádzajúcej. Pretože ktorákoľvek z nôh je menšia ako prepona, pomer nohy k prepone je vždy menší ako jedna.

Druhá mocnina prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh (Pytagorova veta). (Formula 5). Táto vlastnosť sa neustále využíva pri riešení problémov.

Oblasť pravouhlého trojuholníka rovná polovici súčinu nôh (vzorec 6)

Súčet štvorcových mediánov k nohám sa rovná piatim štvorcom mediánu prepony a piatim štvorcom prepony deleným štyrmi (vzorec 7). Okrem vyššie uvedeného existuje 5 ďalších vzorcov, preto sa odporúča prečítať si aj lekciu „Medián pravého trojuholníka“, ktorá podrobnejšie popisuje vlastnosti mediánu.

Výška pravouhlého trojuholníka sa rovná súčinu nôh delených preponou (vzorec 8)

Štvorce nôh sú nepriamo úmerné štvorcu výšky zníženej k prepone (vzorec 9). Táto identita je tiež jedným z dôsledkov Pytagorovej vety.

Dĺžka hypotenze rovný priemeru (dvom polomerom) opísanej kružnice (vzorec 10). Prepona pravouhlého trojuholníka je priemer kružnice opísanej. Táto vlastnosť sa často používa pri riešení problémov.

Zapísaný polomer V pravouhlý trojuholník kruh možno nájsť ako polovicu výrazu vrátane súčtu ramien tohto trojuholníka mínus dĺžka prepony. Alebo ako súčin nôh delený súčtom všetkých strán (obvodu) daného trojuholníka. (Formula 11)
Sínus uhla vzťah k opaku tento uhol nohy do prepony(podľa definície sínusu). (Formula 12). Táto vlastnosť sa používa pri riešení problémov. Keď poznáte veľkosti strán, môžete nájsť uhol, ktorý zvierajú.

Kosínus uhla A (α, alfa) v pravouhlom trojuholníku sa bude rovnať postoj priľahlé tento uhol nohy do prepony(podľa definície sínusu). (Formula 13)

Video kurz „Získaj A“ obsahuje všetky témy potrebné na úspešné absolvovanie jednotnej štátnej skúšky z matematiky so 60-65 bodmi. Kompletne všetky úlohy 1-13 Profilovej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Vhodné aj na zloženie Základnej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Ak chcete zložiť jednotnú štátnu skúšku s 90-100 bodmi, musíte časť 1 vyriešiť za 30 minút a bezchybne!

Prípravný kurz na Jednotnú štátnu skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti Jednotnej štátnej skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a nezaobíde sa bez nich ani 100-bodový študent, ani študent humanitných vied.

Všetka potrebná teória. Rýchle riešenia, úskalia a tajomstvá Jednotnej štátnej skúšky. Všetky aktuálne úlohy 1. časti z FIPI Task Bank boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám Jednotnej štátnej skúšky 2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.

Stovky úloh jednotnej štátnej skúšky. Slovné úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov úloh jednotnej štátnej skúšky. Stereometria. Záludné riešenia, užitočné cheat sheets, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly k problému 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Jasné vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklad pre riešenie zložitých problémov 2. časti jednotnej štátnej skúšky.

V skutočnosti nie je všetko také strašidelné. Samozrejme, v článku by ste sa mali pozrieť na „skutočnú“ definíciu sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu. Ale to naozaj nechcem, však? Môžeme sa tešiť: na vyriešenie problémov s pravouhlým trojuholníkom stačí vyplniť nasledujúce jednoduché veci:

A čo uhol? Existuje noha, ktorá je oproti rohu, teda opačná (pre uhol) noha? Samozrejme, že existuje! Toto je noha!

A čo uhol? Pozrite sa pozorne. Ktorá noha susedí s rohom? Samozrejme, noha. To znamená, že pre uhol je noha priľahlá, a

Teraz dávajte pozor! Pozrite sa, čo sme dostali:

Pozrite sa, aké je to cool:

Teraz prejdime na tangens a kotangens.

Ako to teraz môžem napísať slovami? Aká je noha vo vzťahu k uhlu? Naproti, samozrejme - „leží“ oproti rohu. A čo noha? Susedí s rohom. Tak čo máme?

Vidíte, ako si čitateľ a menovateľ vymenili miesta?

A teraz opäť rohy a výmena:

Obnoviť

Stručne si zapíšme všetko, čo sme sa naučili.

Pytagorova veta:

Hlavnou vetou o pravouhlých trojuholníkoch je Pytagorova veta.

Pytagorova veta

Mimochodom, pamätáte si dobre, čo sú nohy a prepona? Ak nie veľmi dobrý, pozrite sa na obrázok - osviežte si svoje vedomosti

Je dosť možné, že Pytagorovu vetu ste už mnohokrát použili, no napadlo vás niekedy, prečo je takáto veta pravdivá? Ako to môžem dokázať? Urobme to ako starí Gréci. Nakreslíme štvorec so stranou.

Pozrite sa, ako šikovne sme rozdelili jeho strany na dĺžky a!

Teraz spojme označené bodky

Tu sme si však všimli niečo iné, ale vy sami sa pozriete na kresbu a pomyslíte si, prečo je to tak.

Aká je plocha väčšieho námestia?

Správne, .

A čo menšia plocha?

Určite,.

Celková plocha štyroch rohov zostáva. Predstavte si, že sme ich vzali po dvoch a opreli ich o seba preponami.

čo sa stalo? Dva obdĺžniky. To znamená, že plocha „rezov“ je rovnaká.

Poďme si to teraz dať dokopy.

Poďme previesť:

Navštívili sme teda Pytagora – jeho vetu sme dokázali starovekým spôsobom.

Pravý trojuholník a trigonometria

Pre pravouhlý trojuholník platia tieto vzťahy:

Sínus ostrého uhla sa rovná pomeru opačnej strany k prepone

Kosínus ostrého uhla sa rovná pomeru priľahlej nohy k prepone.

Tangenta ostrého uhla sa rovná pomeru protiľahlej strany k susednej strane.

Kotangens ostrého uhla sa rovná pomeru priľahlej strany k protiľahlej strane.

A to všetko ešte raz vo forme tabletu:

Je to veľmi pohodlné!

Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov

I. Na dvoch stranách

II. Nohou a preponou

III. Podľa prepony a ostrého uhla

IV. Pozdĺž nohy a ostrého uhla

a)

b)

Pozor! Tu je veľmi dôležité, aby nohy boli „vhodné“. Napríklad, ak to dopadne takto:

POTOM NIE SÚ TROJUHOLNÍKY ROVNÉ, napriek tomu, že majú jeden rovnaký ostrý uhol.

Je to potrebné v oboch trojuholníkoch noha susedila, alebo v oboch bola opačná.

Všimli ste si, ako sa znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov líšia od bežných znakov rovnosti trojuholníkov?

Pozrite sa na tému „a venujte pozornosť tomu, že pre rovnosť „obyčajných“ trojuholníkov musia byť tri ich prvky rovnaké: dve strany a uhol medzi nimi, dva uhly a strana medzi nimi alebo tri strany.

Ale na rovnosť pravouhlých trojuholníkov stačia iba dva zodpovedajúce prvky. Skvelé, však?

Situácia je približne rovnaká so znakmi podobnosti pravouhlých trojuholníkov.

Znaky podobnosti pravouhlých trojuholníkov

I. Pozdĺž ostrého uhla

II. Na dvoch stranách

III. Nohou a preponou

Medián v pravouhlom trojuholníku

Prečo je to tak?

Namiesto pravouhlého trojuholníka zvážte celý obdĺžnik.

Nakreslíme uhlopriečku a uvažujme bod - priesečník uhlopriečok. Čo viete o uhlopriečkach obdĺžnika?

A čo z toho vyplýva?

Tak sa to ukázalo

1. - medián:

Pamätajte na túto skutočnosť! Veľmi pomáha!

O to prekvapujúcejšie je, že platí aj opak.

Čo je dobré získať zo skutočnosti, že medián prepony sa rovná polovici prepony? Pozrime sa na obrázok

Pozrite sa pozorne. Máme: , to znamená, že vzdialenosti od bodu k všetkým trom vrcholom trojuholníka sa ukázali byť rovnaké. Ale v trojuholníku je len jeden bod, ktorého vzdialenosti od všetkých troch vrcholov trojuholníka sú rovnaké, a to je STRED KRUHU. Tak čo sa stalo?

Začnime teda týmto „okrem...“.

Pozrime sa na a.

Ale podobné trojuholníky majú všetky rovnaké uhly!

To isté možno povedať o a

Teraz to nakreslíme spolu:

Aký úžitok možno získať z tejto „trojitej“ podobnosti?

No napríklad - dva vzorce pre výšku pravouhlého trojuholníka.

Zapíšme si vzťahy príslušných strán:

Aby sme našli výšku, riešime pomer a dostaneme prvý vzorec "Výška v pravouhlom trojuholníku":

No a teraz, aplikovaním a kombinovaním týchto vedomostí s ostatnými, vyriešite akýkoľvek problém s pravouhlým trojuholníkom!

Aplikujme teda podobnosť: .

Čo sa teraz stane?

Opäť riešime pomer a dostaneme druhý vzorec:

Oba tieto vzorce si musíte veľmi dobre zapamätať a použiť ten, ktorý je pohodlnejší.

Zapíšme si ich ešte raz

Pytagorova veta:

V pravouhlom trojuholníku sa druhá mocnina prepony rovná súčtu štvorcov nôh: .

Znaky rovnosti pravouhlých trojuholníkov:

• na dvoch stranách:
• nohou a preponou: alebo
• pozdĺž nohy a priľahlého ostrého uhla: alebo
• pozdĺž nohy a opačný ostrý uhol: alebo
• podľa prepony a ostrého uhla: príp.

Znaky podobnosti pravouhlých trojuholníkov:

• jeden akútny roh: alebo
• z proporcionality dvoch nôh:
• z proporcionality nohy a prepony: príp.

Sínus, kosínus, dotyčnica, kotangens v pravouhlom trojuholníku

• Sínus ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer opačnej strany k prepone:
• Kosínus ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer priľahlého ramena k prepone:
• Tangenta ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer protiľahlej strany k susednej strane:
• Kotangens ostrého uhla pravouhlého trojuholníka je pomer priľahlej strany k protiľahlej strane: .

Výška pravouhlého trojuholníka: alebo.

V pravouhlom trojuholníku sa medián vytiahnutý z vrcholu pravého uhla rovná polovici prepony: .

Plocha pravouhlého trojuholníka:

• cez nohy:

Pri riešení geometrických problémov je užitočné postupovať podľa takéhoto algoritmu. Pri čítaní podmienok problému je to potrebné

• Urobte si kresbu. Výkres by mal čo najviac zodpovedať podmienkam problému, takže jeho hlavnou úlohou je pomôcť nájsť riešenie
• Vložte všetky údaje z výpisu problému na výkres
• Zapíšte si všetky geometrické pojmy, ktoré sa v úlohe vyskytujú
• Pamätajte si všetky vety, ktoré sa týkajú týchto pojmov
• Nakreslite na výkres všetky vzťahy medzi prvkami geometrického útvaru, ktoré vyplývajú z týchto viet

Napríklad, ak problém obsahuje slová osi uhla trojuholníka, musíte si zapamätať definíciu a vlastnosti osi a na výkrese uviesť rovnaké alebo proporcionálne segmenty a uhly.

V tomto článku nájdete základné vlastnosti trojuholníka, ktoré potrebujete vedieť pre úspešné riešenie problémov.

TROJUHOLNÍK.

Oblasť trojuholníka.

1. ,

tu - ľubovoľná strana trojuholníka, - výška znížená na túto stranu.

2. ,

tu a sú ľubovoľné strany trojuholníka a je to uhol medzi týmito stranami:

3. Heronov vzorec:

Tu sú dĺžky strán trojuholníka, je to polobvod trojuholníka,

4. ,

tu je polobvod trojuholníka a je to polomer vpísanej kružnice.

Nech sú dĺžky dotyčnicových segmentov.

Potom možno Heronov vzorec napísať takto:

6. ,

tu - dĺžky strán trojuholníka, - polomer kružnice opísanej.

Ak sa vezme bod na strane trojuholníka, ktorý rozdeľuje túto stranu v pomere m: n, potom úsečka spájajúca tento bod s vrcholom opačného uhla rozdelí trojuholník na dva trojuholníky, ktorých plochy sú v pomere m: n:

Pomer plôch podobných trojuholníkov sa rovná druhej mocnine koeficientu podobnosti.

Stred trojuholníka

Toto je segment spájajúci vrchol trojuholníka so stredom opačnej strany.

Mediány trojuholníka pretínajú v jednom bode a sú delené priesečníkom v pomere 2:1, počítajúc od vrcholu.

Priesečník stredníc pravidelného trojuholníka rozdeľuje stred na dva segmenty, z ktorých menší sa rovná polomeru vpísanej kružnice a väčší z nich sa rovná polomeru kružnice opísanej.

Polomer kružnice opísanej je dvojnásobkom polomeru kružnice vpísanej: R=2r

Stredná dĺžkaľubovoľný trojuholník

,

tu - medián nakreslený na stranu - dĺžky strán trojuholníka.

Sektor trojuholníka

Toto je úsečka ľubovoľného uhla trojuholníka spájajúca vrchol tohto uhla s opačnou stranou.

Sektor trojuholníka rozdeľuje stranu na segmenty proporcionálne k susedným stranám:

Osy trojuholníka pretínajú v jednom bode, ktorý je stredom vpísanej kružnice.

Všetky body osi uhla sú rovnako vzdialené od strán uhla.

Výška trojuholníka

Ide o kolmý segment spadnutý z vrcholu trojuholníka na opačnú stranu alebo jeho pokračovanie. V tupom trojuholníku leží nadmorská výška nakreslená z vrcholu ostrého uhla mimo trojuholníka.

Výšky trojuholníka sa pretínajú v jednom bode, ktorý je tzv ortocentrum trojuholníka.

Ak chcete zistiť výšku trojuholníka nakreslený na stranu, musíte nájsť jeho oblasť akýmkoľvek dostupným spôsobom a potom použiť vzorec:

Stred kružnice opísanej trojuholníka, leží v priesečníku odvesníc nakreslených na strany trojuholníka.

Polomer obvodu trojuholníka možno nájsť pomocou nasledujúcich vzorcov:

Tu sú dĺžky strán trojuholníka a je to plocha trojuholníka.

,

kde je dĺžka strany trojuholníka a opačný uhol. (Tento vzorec vyplýva zo sínusovej vety.)

Trojuholníková nerovnosť

Každá strana trojuholníka je menšia ako súčet a väčšia ako rozdiel ostatných dvoch.

Súčet dĺžok ľubovoľných dvoch strán je vždy väčší ako dĺžka tretej strany:

Oproti väčšej strane leží väčší uhol; Oproti väčšiemu uhla leží väčšia strana:

Ak , tak naopak.

Sínusová veta:

Strany trojuholníka sú úmerné sínusom opačných uhlov:

Kosínusová veta:

Druhá mocnina strany trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán bez dvojnásobku súčinu týchto strán kosínusom uhla medzi nimi:

Pravý trojuholník

- Toto je trojuholník, ktorého jeden uhol je 90°.

Súčet ostrých uhlov pravouhlého trojuholníka je 90°.

Prepona je strana, ktorá leží oproti uhlu 90°. Prepona je najdlhšia strana.

Pytagorova veta:

štvorec prepony sa rovná súčtu štvorcov nôh:

Polomer kružnice vpísanej do pravouhlého trojuholníka sa rovná

,

tu je polomer vpísanej kružnice, - nohy, - prepona:

Stred kružnice opísanej pravouhlého trojuholníka leží v strede prepony:

Medián pravouhlého trojuholníka nakresleného na preponu, sa rovná polovici prepony.

Definícia sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu pravouhlého trojuholníka pozri

Pomer prvkov v pravouhlom trojuholníku:

Druhá mocnina výšky pravouhlého trojuholníka nakreslená z vrcholu pravého uhla sa rovná súčinu priemetov nôh na preponu:

Druhá mocnina nohy sa rovná súčinu prepony a priemetu nohy na preponu:

Noha ležiaca oproti rohu rovná polovici prepony:

Rovnoramenný trojuholník.

Osa rovnoramenného trojuholníka nakresleného na základňu je stred a nadmorská výška.

V rovnoramennom trojuholníku sú základné uhly rovnaké.

Vrcholový uhol.

A - strany,

A - uhly na základni.

Výška, stred a stred.

Pozor! Výška, stred a stred nakreslený na stranu sa nezhodujú.

Pravidelný trojuholník

(alebo rovnostranný trojuholník ) je trojuholník, ktorého všetky strany a uhly sú si navzájom rovné.

Plocha pravidelného trojuholníka rovná sa

kde je dĺžka strany trojuholníka.

Stred kruhu vpísaného do pravidelného trojuholníka, sa zhoduje so stredom kružnice opísanej okolo pravidelného trojuholníka a leží v priesečníku stredníc.

Priesečník stredníc pravidelného trojuholníka delí stred na dva segmenty, z ktorých menší sa rovná polomeru vpísanej kružnice a väčší z nich sa rovná polomeru opísanej kružnice.

Ak je jeden z uhlov rovnoramenného trojuholníka 60°, potom je trojuholník pravidelný.

Stredná čiara trojuholníka

Toto je segment spájajúci stredy dvoch strán.

Na obrázku DE je stredná čiara trojuholníka ABC.

Stredná čiara trojuholníka je rovnobežná s treťou stranou a rovná sa jej polovici: DE||AC, AC=2DE

Vonkajší uhol trojuholníka

Toto je uhol susediaci s ktorýmkoľvek uhlom trojuholníka.

Vonkajší uhol trojuholníka sa rovná súčtu dvoch uhlov, ktoré s ním nesusedia.

Goniometrické funkcie vonkajšieho uhla:

Znaky rovnosti trojuholníkov:

1 . Ak sa dve strany a uhol medzi nimi jedného trojuholníka rovná dvom stranám a uhol medzi nimi iného trojuholníka, potom sú takéto trojuholníky zhodné.

2 . Ak sa strana a dva susedné uhly jedného trojuholníka rovnajú strane a dvom susedným uhlom iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

3 Ak sa tri strany jedného trojuholníka rovnajú trom stranám iného trojuholníka, potom sú tieto trojuholníky zhodné.

Dôležité: keďže v pravouhlom trojuholníku sú dva uhly zjavne rovnaké, potom pre rovnosť dvoch pravouhlých trojuholníkov vyžaduje sa rovnosť iba dvoch prvkov: dvoch strán alebo strany a ostrého uhla.

Znaky podobnosti trojuholníkov:

1 . Ak sú dve strany jedného trojuholníka úmerné dvom stranám iného trojuholníka a uhly medzi týmito stranami sú rovnaké, potom sú tieto trojuholníky podobné.

2 . Ak sú tri strany jedného trojuholníka úmerné trom stranám iného trojuholníka, potom sú trojuholníky podobné.

3 . Ak sa dva uhly jedného trojuholníka rovnajú dvom uhlom iného trojuholníka, potom sú trojuholníky podobné.

Dôležité: V podobných trojuholníkoch ležia podobné strany protiľahlé rovnaké uhly.

Menelaova veta

Nech čiara pretína trojuholník, a je bodom jeho priesečníka so stranou , Je bodom jeho priesečníka so stranou , A je bodom jeho priesečníka s pokračovaním strany . Potom