ÚLOHY C2 JEDNOTNEJ ŠTÁTNEJ SKÚŠKY Z MATEMATIKY NÁJSŤ VZDIALENOSŤ OD BODU K lietadlu

Kuliková Anastasia Jurievna

Študent 5. ročníka, odbor matematika. analýza, algebra a geometria EI KFU, Ruská federácia, Tatarská republika, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

vedecký školiteľ, Ph.D. ped. vedy, docent EI KFU, Ruská federácia, Tatarská republika, Elabuga

IN Zadania jednotnej štátnej skúšky v matematike v posledné roky objavujú sa problémy pri výpočte vzdialenosti od bodu k rovine. V tomto článku uvažujeme na príklade jedného problému rôzne metódy zistenie vzdialenosti od bodu k rovine. Najvhodnejšia metóda môže byť použitá na riešenie rôznych problémov. Po vyriešení problému pomocou jednej metódy môžete skontrolovať správnosť výsledku pomocou inej metódy.

Definícia. Vzdialenosť od bodu k rovine, ktorá neobsahuje tento bod, je dĺžka kolmého segmentu vedeného z tohto bodu do danej roviny.

Úloha. Dan kváder ABSD.A. 1 B 1 C 1 D 1 so stranami AB=2, B.C.=4, A.A. 1 = 6. Nájdite vzdialenosť od bodu D do lietadla ACD 1 .

1 spôsob. Používanie definícia. Nájdite vzdialenosť r( D, ACD 1) z bodu D do lietadla ACD 1 (obr. 1).

Obrázok 1. Prvý spôsob

Poďme uskutočniť D.H.⊥AC, teda vetou o troch odvesniciach D 1 H⊥AC A (DD 1 H)⊥AC. Poďme uskutočniť priamy D.T. kolmý D 1 H. Rovno D.T. leží v rovine DD 1 H, teda D.T.⊥A.C.. teda D.T.⊥ACD 1.

ADC nájdime preponu AC a výška D.H.

Z pravouhlého trojuholníka D 1 D.H. nájdime preponu D 1 H a výška D.T.

Odpoveď: .

Metóda 2.Objemová metóda (použitie pomocnej pyramídy). Problém tohto typu možno zredukovať na problém výpočtu výšky pyramídy, kde výška pyramídy je požadovaná vzdialenosť od bodu k rovine. Dokážte, že táto výška je požadovaná vzdialenosť; nájdite objem tejto pyramídy dvoma spôsobmi a vyjadrite túto výšku.

Všimnite si, že pri tejto metóde nie je potrebné zostrojiť kolmicu z daného bodu na danú rovinu.

Kváder je kváder, ktorého všetky strany sú obdĺžniky.

AB=CD=2, B.C.=AD=4, A.A. 1 =6.

Požadovaná vzdialenosť bude výška h pyramídy ACD 1 D, spustený zhora D na základni ACD 1 (obr. 2).

Vypočítajme objem pyramídy ACD 1 D dvoma spôsobmi.

Pri výpočte prvým spôsobom berieme ako základ ∆ ACD 1 potom

Pri výpočte druhým spôsobom berieme ako základ ∆ ACD, Potom

Dajme rovnítko medzi pravé strany posledných dvoch rovníc a získajme

Obrázok 2. Druhá metóda

Od pravouhlé trojuholníky ACD, PRIDAŤ 1 , CDD 1 nájdite preponu pomocou Pytagorovej vety

ACD

Vypočítajte obsah trojuholníka ACD 1 pomocou Heronovho vzorca

Odpoveď: .

3 spôsob. Súradnicová metóda.

Nech je daný bod M(x 0 ,r 0 ,z 0) a lietadlo α , daný rovnicou sekera+podľa+cz+d=0 v pravouhlom karteziánskom súradnicovom systéme. Vzdialenosť od bodu M k rovine α možno vypočítať pomocou vzorca:

Zavedieme si súradnicový systém (obr. 3). Počiatok súradníc v bode IN;

Rovno AB- os X, rovný Slnko- os r, rovný BB 1 - os z.

Obrázok 3. Tretia metóda

B(0,0,0), A(2,0,0), S(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Nechaj ax+podľa+ cz+ d=0 – rovinná rovnica ACD 1. Dosadzovanie súradníc bodov do nej A, C, D 1 dostaneme:

Rovinná rovnica ACD 1 bude mať formu

Odpoveď: .

4 spôsobom. Vektorová metóda.

Uveďme si základ (obr. 4) , .

Obrázok 4. Štvrtá metóda

Uvažujme určitú rovinu π a ľubovoľný bod M 0 v priestore. Vyberme sa do lietadla jednotkový normálny vektor n s začiatok v nejakom bode M 1 ∈ π a nech p(M 0 ,π) je vzdialenosť od bodu M 0 k rovine π. Potom (obr. 5.5)

р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5,8)

od |n| = 1.

Ak je rovina π daná v pravouhlý systém súradnice svojou všeobecnou rovnicou Ax + By + Cz + D = 0, potom jej normálový vektor je vektor so súradnicami (A; B; C) a môžeme si vybrať

Nech (x 0 ; y 0 ; z 0) a (x 1 ; y 1 ; z 1) sú súradnice bodov M 0 a M 1 . Potom platí rovnosť Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, keďže bod M 1 patrí rovine a možno nájsť súradnice vektora M 1 M 0: M 1 M 0 = (x 0 - xi yo-yi; Nahrávanie bodkový produkt nM 1 M 0 v súradnicovom tvare a transformácii (5.8), získame

keďže Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Ak teda chcete vypočítať vzdialenosť od bodu k rovine, musíte nahradiť súradnice bodu do všeobecnej rovnice roviny a potom rozdeliť absolútnu hodnotu výsledok normalizačným faktorom, rovná dĺžke zodpovedajúci normálový vektor.

Nájdenie vzdialenosti od bodu k rovine je bežný problém, ktorý vzniká pri riešení rôznych problémov analytickej geometrie, napríklad tento problém možno zredukovať na nájdenie vzdialenosti medzi dvoma pretínajúcimi sa priamkami alebo medzi priamkou a rovinou rovnobežnou s; to.

Uvažujme rovinu $β$ a bod $M_0$ so súradnicami $(x_0;y_0; z_0)$, nie patriaci lietadlu $β$.

Definícia 1

Najkratšia vzdialenosť medzi bodom a rovinou bude kolmica vedená z bodu $M_0$ k rovine $β$.

Obrázok 1. Vzdialenosť od bodu k rovine. Author24 - online výmena študentských prác

Nižšie diskutujeme o tom, ako nájsť vzdialenosť od bodu k rovine pomocou metódy súradníc.

Odvodenie vzorca pre súradnicovú metódu zisťovania vzdialenosti od bodu k rovine v priestore

Kolmica z bodu $M_0$ pretínajúca rovinu $β$ v bode $M_1$ so súradnicami $(x_1;y_1; z_1)$ leží na priamke, ktorej smerový vektor je normálový vektor roviny $β$. V tomto prípade je dĺžka jednotkového vektora $n$ rovná jednej. Podľa toho bude vzdialenosť od $β$ k bodu $M_0$:

$ρ= |\vec(n) \cdot \vec(M_1M_0)|\left(1\right)$, kde $\vec(M_1M_0)$ je normálny vektor roviny $β$ a $\vec( n)$ je jednotkový normálový vektor uvažovanej roviny.

V prípade, keď je rovnica roviny uvedená v celkový pohľad$Ax+ By + Cz + D=0$, súradnice normálového vektora roviny sú koeficienty rovnice $\(A;B;C\)$ a jednotkový normálový vektor má v tomto prípade súradnice vypočítané podľa nasledujúca rovnica:

$\vec(n)= \frac(\(A;B;C\))(\sqrt(A^2 + B^2 + C^2))\left(2\right)$.

Teraz môžeme nájsť súradnice normálneho vektora $\vec(M_1M_0)$:

$\vec(M_0M_1)= \(x_0 – x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\)\vľavo(3\vpravo)$.

Koeficient $D$ vyjadríme aj pomocou súradníc bodu ležiaceho v rovine $β$:

$D= Ax_1+By_1+Cz_1$

Súradnice jednotkového normálového vektora z rovnosti $(2)$ môžeme dosadiť do rovnice roviny $β$, potom máme:

$ρ= \frac(|A(x_0 -x_1) + B(y_0-y_1)+C(z_0-z_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2))= \frac( |Ax_0+ By_0 + Cz_0-(Ax_1+By_1+Cz_1)|)(\sqrt(A^2+B^2+C^2)) = \frac(Ax_0+ By_0 + Cz_0 + D)(\sqrt(A^2) +B^2+C^2))\vľavo(4\vpravo)$

Rovnosť $(4)$ je vzorec na zistenie vzdialenosti od bodu k rovine v priestore.

Všeobecný algoritmus na nájdenie vzdialenosti od bodu $M_0$ k rovine

1. Ak rovnica roviny nie je uvedená v všeobecná forma, najprv to musíte priniesť generálovi.
2. Po tomto je potrebné sa vyjadriť z všeobecná rovnica rovina je normálový vektor danej roviny cez bod $M_0$ a bod patriaci danej rovine, na to musíte použiť rovnosť $(3)$.
3. Ďalšou fázou je hľadanie súradníc jednotkového normálového vektora roviny pomocou vzorca $(2)$.
4. Nakoniec môžete začať zisťovať vzdialenosť od bodu k rovine, to sa vykonáva výpočtom skalárneho súčinu vektorov $\vec(n)$ a $\vec(M_1M_0)$.

, Súťaž „Prezentácia na lekciu“

trieda: 11

Prezentácia na lekciu

Späť Vpred

Pozor! Ukážky snímok slúžia len na informačné účely a nemusia predstavovať všetky funkcie prezentácie. Ak vás táto práca zaujala, stiahnite si plnú verziu.

ciele:

• zovšeobecňovanie a systematizácia vedomostí a zručností žiakov;
• rozvoj schopností analyzovať, porovnávať, vyvodzovať závery.

Vybavenie:

• multimediálny projektor;
• počítač;
• hárky s problémovými textami

POKROK TRIEDY

I. Organizačný moment

II. Fáza aktualizácie vedomostí(snímka 2)

Zopakujeme, ako sa určuje vzdialenosť od bodu k rovine

III. Prednáška(snímky 3-15)

V triede sa pozrieme na rôznymi spôsobmi zistenie vzdialenosti od bodu k rovine.

Prvý spôsob: výpočtové krok za krokom

Vzdialenosť od bodu M k rovine α:
– rovná vzdialenosti od roviny α od ľubovoľného bodu P ležiaceho na priamke a, ktorá prechádza bodom M a je rovnobežná s rovinou α;
– sa rovná vzdialenosti od roviny α od ľubovoľného bodu P ležiaceho v rovine β, ktorý prechádza bodom M a je rovnobežný s rovinou α.

Vyriešime nasledovné problémy:

№1. V kocke A...D 1 nájdite vzdialenosť bodu C 1 k rovine AB 1 C.

Zostáva vypočítať hodnotu dĺžky segmentu O 1 N.

№2. V pravidelnom šesťhrannom hranole A...F 1, ktorého všetky hrany sú rovné 1, nájdite vzdialenosť bodu A k rovine DEA 1.

Ďalší spôsob: objemová metóda.

Ak je objem pyramídy ABCM rovný V, potom vzdialenosť od bodu M k rovine α obsahujúcej ∆ABC sa vypočíta podľa vzorca ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Pri riešení úloh používame rovnosť objemov jedného útvaru vyjadrenú dvoma rôznymi spôsobmi.

Poďme vyriešiť nasledujúci problém:

№3. Hrana AD pyramídy DABC je kolmá na základnú rovinu ABC. Nájdite vzdialenosť od A k rovine prechádzajúcej stredmi hrán AB, AC a AD, ak.

Pri riešení problémov súradnicová metóda vzdialenosť od bodu M k rovine α možno vypočítať pomocou vzorca ρ(M; α) = , kde M(x 0; y 0; z 0), a rovina je daná rovnicou ax + by + cz + d = 0

Poďme vyriešiť nasledujúci problém:

№4. V jednotkovej kocke A...D 1 nájdite vzdialenosť bodu A 1 k rovine BDC 1.

Zavedieme súradnicový systém s počiatkom v bode A, os y bude prechádzať po hrane AB, os x po hrane AD, os z po hrane AA 1. Potom súradnice bodov B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Vytvorme rovnicu pre rovinu prechádzajúcu bodmi B, D, C 1.

Potom – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Preto ρ =

Nasledujúca metóda, ktorú možno použiť na riešenie problémov tohto typu, je spôsob podpory problémov.

Aplikácia túto metódu spočíva v aplikácii známych podporných problémov, ktoré sú formulované ako vety.

Poďme vyriešiť nasledujúci problém:

№5. V jednotkovej kocke A...D 1 nájdite vzdialenosť bodu D 1 k rovine AB 1 C.

Uvažujme o aplikácii vektorová metóda.

№6. V jednotkovej kocke A...D 1 nájdite vzdialenosť bodu A 1 k rovine BDC 1.

Pozreli sme sa teda na rôzne metódy, ktoré možno použiť na riešenie tohto typu problému. Výber jednej alebo druhej metódy závisí od konkrétnej úlohy a vašich preferencií.

IV. Skupinová práca

Skúste problém vyriešiť rôznymi spôsobmi.

№1. Hrana kocky A...D 1 sa rovná . Nájdite vzdialenosť od vrcholu C k rovine BDC 1.

№2. V pravidelnom štvorstene ABCD s hranou nájdite vzdialenosť od bodu A k rovine BDC

№3. V pravidelnom trojuholníkovom hranole ABCA 1 B 1 C 1, ktorého všetky hrany sú rovné 1, nájdite vzdialenosť od A k rovine BCA 1.

№4. V pravidelnom štvorbokom ihlane SABCD, ktorého všetky hrany sú rovné 1, nájdite vzdialenosť od A k rovine SCD.

V. Zhrnutie lekcie, domáce úlohy, odraz

Podmienky rovnobežnosti a kolmosti

1°. Podmienka koplanarity dvoch rovín

Nech sú dané dve roviny:

A 1 x + B 1 r + C 1 z + D 1 = 0, n 1 = {A 1 ; B 1 ; C 1 } ≠ 0 ;(1)

A 2 x + B 2 r + C 2 z + D 2 = 0, n 2 = {A 2 ; B 2 ; C 2 } ≠ 0 .(2)

Kedy sú koplanárne (t. j. paralelné alebo zhodné)? Je zrejmé, že to tak bude vtedy a len vtedy, ak sú ich normálne vektory kolineárne. Aplikovaním kritéria koplanarity získame

veta 1. Dve roviny sú koplanárne vtedy a len vtedy, ak sa krížový súčin ich normálových vektorov rovná nulovému vektoru:

[n 1 , n 2 ] = 0 .

2°. Podmienka pre zhodu dvoch rovín

Návrh 2. Roviny (1) a (2) sa zhodujú vtedy a len vtedy, ak sú všetky štyri ich koeficienty úmerné, t. j. existuje číslo λ také, že

A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 , D 2 = λ D 1 . (3)

Dôkaz. Nech sú splnené podmienky (3). Potom rovnicu druhej roviny môžeme zapísať takto:

λ A 1 x + λ B 1 r + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

λ ≠ 0, inak by to bolo A 2 = B 2 = C 2 = D 2 = 0, čo je v rozpore s podmienkou n 2 ≠ 0 . Preto je posledná rovnica ekvivalentná rovnici (1), čo znamená, že tieto dve roviny sa zhodujú.

Teraz, naopak, vedzme, že tieto roviny sa zhodujú. Potom sú ich normálové vektory kolineárne, t.j. existuje číslo λ také, že

A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 .

Rovnicu (2) je teraz možné prepísať takto:

λ A 1 x + λ B 1 r + λ C 1 z + D 2 = 0.

Vynásobením rovnice (1) λ dostaneme ekvivalentnú rovnicu prvej roviny (keďže λ ≠ 0):

λ A 1 x + λ B 1 r + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

Vezmime si nejaký bod ( x 0 , r 0 , z 0) z prvej (a teda aj druhej) roviny a dosaďte jej súradnice do posledných dvoch rovníc; dostaneme správne rovnosti:

λ A 1 x 0 + λ B 1 r 0 + λ C 1 z 0 + D 2 = 0 ;

λ A 1 x 0 + λ B 1 r 0 + λ C 1 z 0 + λ D 1 = 0.

Odčítaním spodného od horného dostaneme D 2 - λ D 1 = 0, t.j. D 2 = λ D 1, QED.

3°. Podmienka pre kolmosť dvoch rovín

Je zrejmé, že na to je potrebné a postačujúce, aby normálové vektory boli kolmé.

Návrh 3. Dve roviny sú kolmé práve vtedy, ak je skalárny súčin normálových vektorov nulový:

(n 1 , n 2) = 0 .

Nech je daná rovinná rovnica

Ax + Autor: + Cz + D = 0, n = {A; B; C} ≠ 0 ,

a bodka M 0 = (x 0 , r 0 , z 0). Odvoďme vzorec pre vzdialenosť od bodu k rovine:

Zoberme si ľubovoľný bod Q = (x 1 , r 1 , z 1), ležiace v tejto rovine. Jeho súradnice spĺňajú rovinnú rovnicu:

Ax 1 + Autor: 1 + Cz 1 + D = 0.

Poznamenajme teraz, že požadovaná vzdialenosť d rovná absolútnej hodnote vektorovej projekcie do smeru vektora n (tu berieme projekciu ako číselnú veličinu a nie ako vektor). Ďalej použijeme vzorec na výpočet projekcie:

Podobný vzorec platí pre vzdialenosť d z bodu M 0 = (x 0 , r 0) rovina na priamku danú všeobecnou rovnicou Ax + Autor: + C = 0.