Samotný koncept iracionálneho čísla je štruktúrovaný tak, že je definovaný negáciou vlastnosti „byť racionálny“, preto je tu najprirodzenejší dôkaz kontradikciou. Je však možné uviesť nasledujúce odôvodnenie.

Ako sa racionálne čísla zásadne líšia od iracionálnych? Obidve môžu byť aproximované racionálnymi číslami s akoukoľvek danou presnosťou, ale pre racionálne čísla existuje aproximácia s „nulovou“ presnosťou (samotným týmto číslom), ale pre iracionálne čísla to už neplatí. Skúsme sa na to „pohrať“.

V prvom rade si všimnime tento jednoduchý fakt. Nech $%\alpha$%, $%\beta$% sú dva kladné čísla, ktoré sa navzájom aproximujú s presnosťou $%\varepsilon$%, teda $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$%. Čo sa stane, ak nahradíme čísla ich inverznými hodnotami? Ako sa zmení presnosť? Je ľahké vidieť, že $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac(|\alpha-\beta|)(\alpha\beta)=\frac(\varepsilon)(\ alpha\ beta),$$, čo bude striktne menej ako $%\varepsilon$% pre $%\alpha\beta>1$%. Toto tvrdenie možno považovať za nezávislú lemu.

Teraz nastavme $%x=\sqrt(2)$% a nech $%q\in(\mathbb Q)$% je racionálna aproximácia čísla $%x$% s presnosťou $%\varepsilon$ %. Vieme, že $%x>1$% a vzhľadom na aproximáciu $%q$% požadujeme nerovnosť $%q\ge1$%. Všetky čísla menšie ako $%1$% budú mať horšiu presnosť aproximácie ako samotné $%1$%, a preto ich nebudeme brať do úvahy.

Ku každému z čísel $%x$%, $%q$% pripočítame $%1$%. Je zrejmé, že presnosť aproximácie zostane rovnaká. Teraz máme čísla $%\alpha=x+1$% a $%\beta=q+1$%. Keď prejdeme k recipročným číslam a použijeme „lemu“, dospejeme k záveru, že naša presnosť aproximácie sa zlepšila a je striktne nižšia ako $%\varepsilon$%. Požadovanú podmienku $%\alpha\beta>1$% sme splnili aj s rezervou: v skutočnosti vieme, že $%\alpha>2$% a $%\beta\ge2$%, z čoho môžeme usudzovať že presnosť sa zlepší aspoň $%4$% krát, to znamená, že nepresiahne $%\varepsilon/4$%.

A tu je hlavný bod: podľa podmienky $%x^2=2$%, teda $%x^2-1=1$%, čo znamená, že $%(x+1)(x- 1)=1$%, to znamená, že čísla $%x+1$% a $%x-1$% sú navzájom inverzné. A to znamená, že $%\alpha^(-1)=x-1$% bude aproximáciou k (racionálnemu) číslu $%\beta^(-1)=1/(q+1)$% s presnosť striktne nižšia $%\varepsilon$%. K týmto číslam zostáva pridať $%1$% a ukáže sa, že číslo $%x$%, teda $%\sqrt(2)$%, má novú racionálnu aproximáciu rovnajúcu sa $%\beta ^(- 1)+1$%, teda $%(q+2)/(q+1)$%, s „vylepšenou“ presnosťou. Tým je dôkaz dokončený, keďže pre racionálne čísla, ako sme uviedli vyššie, existuje „absolútne presná“ racionálna aproximácia s presnosťou $%\varepsilon=0$%, kde presnosť v zásade nemožno zvýšiť. Ale podarilo sa nám to, čo hovorí o iracionalite našich čísel.

V skutočnosti táto úvaha ukazuje, ako konštruovať špecifické racionálne aproximácie pre $%\sqrt(2)$% so stále sa zlepšujúcou presnosťou. Najprv musíme vziať aproximáciu $%q=1$% a potom použiť rovnaký náhradný vzorec: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. Tento proces vytvára nasledovné: $$1,\frac32,\frac75,\frac(17)(12),\frac(41)(29),\frac(99)(70)$$ atď.

Zlomok m/n budeme ho považovať za neredukovateľný (napokon, redukovateľný zlomok sa dá vždy zredukovať na neredukovateľnú formu). Umocnením oboch strán rovnosti dostaneme m^2=2n^2. Odtiaľto usudzujeme, že m^2 a potom číslo m- dokonca. tie. m = 2k. Preto m^2 = 4k^2 a teda 4 k^2 =2n^2 alebo 2 k^2 = n^2. Ale potom sa to ukáže n je tiež párne číslo, ale nemôže byť, pretože zlomok m/n neredukovateľný. Vzniká rozpor. Zostáva na záver: náš predpoklad je nesprávny a racionálne číslo m/n, rovná √2, neexistuje.“

To je všetko ich dôkaz.

Kritické hodnotenie dôkazov starých Grékov

Ale…. Pozrime sa na tento dôkaz starých Grékov trochu kriticky. A ak ste v jednoduchej matematike opatrnejší, môžete v nej vidieť nasledovné:

1) V racionálnom čísle, ktoré prijali Gréci m/nčísla m A n- celý, ale neznámy(či už oni dokonca, či už oni nepárne). A je to tak! A aby sa medzi nimi nejako vytvorila závislosť, je potrebné presne určiť ich účel;

2) Keď sa starí ľudia rozhodli, že počet m– dokonca, potom v rovnosti, ktorú akceptovali m = 2k oni (zámerne alebo z nevedomosti!) celkom „správne“ necharakterizovali číslo „ k " Ale tu je číslo k- Toto celý(CELÝ!) a celkom slávnyčíslo, ktoré celkom jasne definuje, čo sa našlo dokoncačíslo m. A nebuď taký nájdenéčísla" k"starí ľudia nemohli v budúcnosti" použitie“ a číslo m ;

3) A keď z rovnosti 2 k^2 = n^2 starci dostali číslo n^2 je párne a v rovnakom čase n– dokonca, potom by museli neponáhľaj sa so záverom o " rozpor, ktorý vznikol“, ale je lepšie zabezpečiť maximum presnosť prijali ich" výber» čísla « n ».

Ako to mohli urobiť? Áno, jednoduché!
Pozrite: z rovnosti získali 2 k^2 = n^2 možno ľahko získať nasledujúcu rovnosť k√2 = n. A tu nie je nič odsúdeniahodné - veď dostali z rovnosti m/n=√2 je ďalšia rovnosť, ktorá je tomu adekvátna m^2=2n^2! A nikto im neprotirečil!

Ale v novej rovnoprávnosti k√2 = n pre zrejmé CELÉ ČÍSLA k A n je jasné, že z toho Vždy získajte číslo √2 - racionálny . Vždy! Pretože obsahuje čísla k A n- slávne CELÉ!

Ale tak, že z ich rovnosti 2 k^2 = n^2 a v dôsledku toho z k√2 = n získajte číslo √2 - iracionálne (takto" prial"starí Gréci!), potom je potrebné mať v nich, prinajmenšom , číslo " k» vo formulári nie celý (!!!) čísla. A to je presne to, čo starí Gréci NEMAJÚ!

Z toho vyplýva ZÁVER: vyššie uvedený dôkaz iracionality čísla √2, ktorý urobili starí Gréci pred 2400 rokmi, je úprimne povedané nesprávne a matematicky nespravne, nehovoriac sprosto - je to proste falošný .

V malej brožúre F-6 zobrazenej vyššie (pozri fotografiu vyššie), vydanej v Krasnodare (Rusko) v roku 2015 s celkovým nákladom 15 000 kópií. (samozrejme so sponzorskou investíciou) je podaný nový, z hľadiska matematiky mimoriadne správny a mimoriadne správny ] dôkaz o iracionalite čísla √2, čo sa mohlo stať už dávno, keby neexistovali žiadne tvrdé " učiteľ n“ k štúdiu starožitností histórie.

Príklad:
\(4\) je racionálne číslo, pretože ho možno zapísať ako \(\frac(4)(1)\) ;
\(0.0157304\) je tiež racionálne, pretože sa dá zapísať v tvare \(\frac(157304)(10000000)\) ;
\(0,333(3)...\) - a toto je racionálne číslo: môže byť reprezentované ako \(\frac(1)(3)\) ;
\(\sqrt(\frac(3)(12))\) je racionálne, pretože môže byť reprezentované ako \(\frac(1)(2)\) . V skutočnosti môžeme vykonať reťaz transformácií \(\sqrt(\frac(3)(12))\) \(=\)\(\sqrt(\frac(1)(4))\) \(= \) \ (\frac(1)(2)\)

Iracionálne číslo je číslo, ktoré nemožno zapísať ako zlomok s celočíselným čitateľom a menovateľom.

Je to nemožné, pretože je nekonečné zlomky, a to aj neperiodické. Preto neexistujú celé čísla, ktoré by po vzájomnom delení dali iracionálne číslo.

Príklad:
\(\sqrt(2)≈1,414213562…\) je iracionálne číslo;
\(π≈3,1415926… \) je iracionálne číslo;
\(\log_(2)(5)≈2,321928…\) je iracionálne číslo.

Príklad (Zadanie od OGE). Význam ktorého z výrazov je racionálne číslo?
1) \(\sqrt(18)\cdot\sqrt(7)\);
2)\((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))\);
3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))\);
4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)\).

Riešenie:

1) \(\sqrt(18)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(9\cdot 2\cdot 7)=3\sqrt(14)\) – koreň \(14\) nemožno prevziať, čo znamená, že je tiež nemožné reprezentovať číslo ako zlomok s celými číslami, preto je číslo iracionálne.

2) \((\sqrt(9)-\sqrt(14))(\sqrt(9)+\sqrt(14))= (\sqrt(9)^2-\sqrt(14)^2)=9 -14=-5\) – nezostali žiadne korene, číslo sa dá ľahko znázorniť ako zlomok, napríklad \(\frac(-5)(1)\), čiže je racionálne.

3) \(\frac(\sqrt(22))(\sqrt(2))=\sqrt(\frac(22)(2))=\sqrt(\frac(11)(1))=\sqrt( 11)\) – koreň nemožno extrahovať – číslo je iracionálne.

4) \(\sqrt(54)+3\sqrt(6)=\sqrt(9\cdot 6)+3\sqrt(6)=3\sqrt(6)+3\sqrt(6)=6\sqrt (6)\) je tiež iracionálne.

Množina iracionálnych čísel sa zvyčajne označuje veľkým písmenom latinské písmeno Ja (\displaystyle \mathbb (I) ) v odvážnom štýle bez tieňovania. Takto: I = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), teda množina iracionálnych čísel je rozdiel medzi množinou reálnych a racionálnych čísel.

Existenciu iracionálnych čísel, presnejšie úsečiek nesúmerateľných s úsečkou jednotkovej dĺžky, poznali už starovekí matematici: poznali napríklad nesúmernosť uhlopriečky a strany štvorca, ktorá je ekvivalentná iracionalite tzv. číslo.

Encyklopedický YouTube

• 1 / 5

  Iracionálne sú:

  Príklady dôkazov iracionality

  Koreň z 2

  Predpokladajme opak: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) racionálny, teda reprezentovaný zlomkom m n (\displaystyle (\frac (m)(n))), Kde m (\displaystyle m) je celé číslo a n (\displaystyle n)- prirodzené číslo.

  Vyrovnajme predpokladanú rovnosť:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\šípka doprava 2=(\frac (m^(2) ))(n^(2)))\šípka doprava m^(2)=2n^(2)).

  Príbeh

  Antika

  Koncept iracionálnych čísel bol implicitne prijatý indickými matematikmi v 7. storočí pred Kristom, keď Manava (asi 750 pred Kristom - asi 690 pred Kristom) prišiel na to, že odmocniny Niektoré prirodzené čísla, ako napríklad 2 a 61, nemožno vyjadriť explicitne [ ] .

  Prvý dôkaz o existencii iracionálnych čísel sa zvyčajne pripisuje Hippasovi z Metapontu (asi 500 pred Kr.), Pytagorejcovi. V čase Pytagorejcov sa verilo, že existuje jediná dĺžková jednotka, dostatočne malá a nedeliteľná, ktorá zahŕňa celé číslo, koľkokrát v akomkoľvek segmente [ ] .

  Neexistujú presné údaje o tom, ktoré číslo bolo Hippusom preukázané ako iracionálne. Podľa legendy ho našiel štúdiom dĺžok strán pentagramu. Preto je rozumné predpokladať, že to bol zlatý rez [ ] .

  Grécki matematici nazývali tento pomer nesúmerateľných veličín alogos(nevýslovné), ale podľa legiend nevzdali Hippasovi náležitú úctu. Existuje legenda, že Hippus urobil objav počas plavby po mori a ostatní Pytagorejci ho hodili cez palubu „za vytvorenie prvku vesmíru, ktorý popiera doktrínu, že všetky entity vo vesmíre možno redukovať na celé čísla a ich pomery“. Objav Hippasu spochybnil pytagorovskú matematiku vážny problém, čím sa zničí predpoklad, ktorý je základom celej teórie, že čísla a geometrické objekty zjednotené a neoddeliteľné.

  1. Dôkazy sú príklady deduktívneho uvažovania a líšia sa od induktívnych alebo empirických argumentov. Dôkaz musí preukázať, že tvrdenie, ktoré sa preukazuje, je vždy pravdivé, niekedy uvedením všetkých možných prípadov a preukázaním, že tvrdenie platí v každom z nich. Dôkaz sa môže opierať o zjavné alebo všeobecne akceptované javy alebo prípady známe ako axiómy. Na rozdiel od toho je dokázaná iracionalita „druhej odmocniny z dvoch“.
  2. Zásah topológie je tu vysvetlený samotnou podstatou vecí, čo znamená, že neexistuje žiadny čisto algebraický spôsob, ako dokázať iracionalitu, najmä na základe racionálnych čísel. Tu je príklad, výber je na vás: 1 + 1/. 2 + 1/4 + 1/8 ….= 2 alebo 1+1/2 + 1/4 + 1/8 …≠ 2 ???
  Ak prijmete 1+1/2 + 1/4 + 1/8 +…= 2, čo sa považuje za „algebraický“ prístup, potom nie je vôbec ťažké dokázať, že existuje n/m ∈ ℚ, ktoré na nekonečná postupnosť je iracionálne a konečné číslo iracionálne čísla sú uzavretie poľa ℚ, ale to sa týka topologickej singularity.
  Takže pre Fibonacciho čísla F(k): 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, … lim(F(k+1)/F(k)) = φ
  To len ukazuje, že existuje súvislý homomorfizmus ℚ → I a možno dôsledne preukázať, že existencia takéhoto izomorfizmu nie je logickým dôsledkom algebraických axióm.