Derivácia komplexnej funkcie. Celková derivácia

Nech z=ƒ(x;y) je funkciou dvoch premenných x a y, z ktorých každá je funkciou nezávislej premennej t: x = x(t), y = y(t). V tomto prípade je funkcia z = f(x(t);y(t)) komplexnou funkciou jednej nezávislej premennej t; premenné x a y sú prechodné premenné.

Ak z = ƒ(x;y) je funkcia diferencovateľná v bode M(x;y) є D a x = x(t) a y = y(t) sú diferencovateľné funkcie nezávislej premennej t, potom derivácia komplexnej funkcie z(t ) = f(x(t);y(t)) sa vypočíta pomocou vzorca

Dajme nezávislej premennej t prírastok Δt. Potom funkcie x = = x(t) a y = y(t) dostanú prírastky Δх a Δу. Tie zase spôsobia, že funkcia z inkrementuje Az.

Keďže podľa podmienky je funkcia z - ƒ(x;y) diferencovateľná v bode M(x;y), potom jej plný prírastok môžu byť zastúpené vo forme

kde а→0, β→0 pri Δх→0, Δу→0 (pozri odsek 44.3). Rozdeľme výraz Δz Δt a prejdeme na limitu v Δt→0. Potom Δх→0 a Δу→0 v dôsledku spojitosti funkcií x = x(t) a y = y(t) (podľa podmienok vety sú diferencovateľné). Získame:

Špeciálny prípad: z=ƒ(x;y), kde y=y(x), t.j. z=ƒ(x;y(x)) - komplexná funkcia jedna nezávislá premenná x. Tento prípad sa redukuje na predchádzajúci a úlohu premennej t hrá x. Podľa vzorca (44.8) máme:

Vzorec (44.9) sa nazýva celkový derivačný vzorec.

Všeobecný prípad: z=ƒ(x;y), kde x=x(u;v), y=y(u;v). Potom z= f(x(u;v);y(u;v)) je komplexná funkcia nezávislých premenných u a v. Jeho parciálne deriváty možno nájsť pomocou vzorca (44.8) nasledovne. Keď máme zafixované v, nahradíme ho zodpovedajúcimi parciálnymi deriváciami

Veľmi často sa pri riešení praktických problémov (napríklad vo vyššej geodézii alebo analytickej fotogrammetrii) objavujú zložité funkcie viacerých premenných, t.j. x, y, z jedna funkcia f(x,y,z) ) sú samotné funkciami nových premenných U, V, W ).

Stáva sa to napríklad pri pohybe z pevného súradnicového systému Oxyz do mobilného systému O 0 UVW a späť. V tomto prípade je dôležité poznať všetky parciálne derivácie vzhľadom na „pevné“ – „staré“ a „pohyblivé“ – „nové“ premenné, keďže tieto parciálne derivácie zvyčajne charakterizujú polohu objektu v týchto súradnicových systémoch, a najmä ovplyvniť zhodu leteckých snímok so skutočným objektom. V takýchto prípadoch platia nasledujúce vzorce:

To znamená, že je daná komplexná funkcia T tri „nové“ premenné U, V, W cez tri „staré“ premenné x, y, z, potom:

Komentujte. Môžu existovať rozdiely v počte premenných. Napríklad: ak

Najmä ak z = f(xy), y = y(x) , potom dostaneme takzvaný vzorec „celkového derivátu“:

Rovnaký vzorec pre „celkový derivát“ v prípade:

bude mať podobu:

Možné sú aj iné variácie vzorcov (1.27) - (1.32).

Poznámka: Vzorec „totálnej derivácie“ sa používa v kurze fyziky v časti „Hydrodynamika“ pri odvodzovaní základného systému rovníc pohybu tekutín.

Príklad 1.10. Vzhľadom na to:

Podľa (1.31):

§7 Parciálne derivácie implicitne danej funkcie viacerých premenných

Ako je známe, implicitne špecifikovaná funkcia jednej premennej je definovaná nasledovne: funkcia nezávislej premennej x sa nazýva implicitný, ak je daný rovnicou, ktorá nie je vyriešená vzhľadom na r :

Príklad 1.11.

Rovnica

implicitne špecifikuje dve funkcie:

A rovnica

neurčuje žiadnu funkciu.

Veta 1.2 (existencia implicitnej funkcie).

Nechajte funkciu z =f(x,y) a jeho parciálne deriváty f" x A f" r definované a súvislé v nejakej štvrti U M0 bodov M 0 (x 0 r 0 ) . okrem toho f(x 0 ,y 0 )=0 A f"(x 0 ,y 0 )≠0 , potom rovnica (1.33) definuje v okolí U M0 implicitná funkcia y=y(x) , spojité a diferencovateľné v určitom intervale D sústredený v bode x 0 , a y(x 0 )=y 0 .

Žiadny dôkaz.

Z vety 1.2 vyplýva, že na tomto intervale D :

to znamená, že existuje identita v

kde sa „celkový“ derivát nachádza podľa (1.31)

To znamená, že (1.35) dáva vzorec na nájdenie derivácie implicitne danú funkciu jedna premenná x .

Implicitná funkcia dvoch alebo viacerých premenných je definovaná podobne.

Napríklad, ak v nejakej oblasti V priestor Oxyz platí nasledujúca rovnica:

potom za určitých podmienok na funkcii F implicitne definuje funkciu

Navyše, analogicky s (1.35), jeho parciálne deriváty sa nachádzajú takto:

Príklad 1.12. Za predpokladu, že rovnica

implicitne definuje funkciu

nájsť z" x , z" r .

preto podľa (1.37) dostaneme odpoveď.

§8 Čiastkové deriváty druhého a vyššieho rádu

Definícia 1.9 Parciálne derivácie funkcie druhého rádu z=z(x,y) sú definované takto:

Boli štyria. Navyše za určitých podmienok na funkciách z(x,y) platí rovnosť:

Komentujte. Čiastočné deriváty druhého rádu možno označiť aj takto:

Definícia 1.10 Parciálne derivácie tretieho rádu sú osem (2 3).

Funkcia Z= f(x; y) sa nazýva implicitná, ak je daná rovnicou F(x,y,z)=0 nevyriešená vzhľadom na Z. Nájdite parciálne derivácie funkcie Z danej implicitne. Aby sme to dosiahli, dosadením funkcie f(x;y) do rovnice namiesto Z získame identitu F(x,y, f(x,y))=0. Parciálne derivácie funkcie zhodne rovné nule vzhľadom na x a y sú tiež rovné nule.

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (považuje sa za konštantu)

F(x,y, f (x, y)) =
=0 (xuvažovaná konštanta)

Kde
A

Príklad: Nájdite parciálne derivácie funkcie Z danej rovnicou
.

Tu F(x,y,z)=
;
;
;
. Podľa vyššie uvedených vzorcov máme:

A

1. Smerová derivácia

Nech je daná funkcia dvoch premenných Z= f(x; y) v určitom okolí bodu M (x,y). Zvážte nejaký smer definovaný jednotkovým vektorom
, Kde
(pozri obrázok).

Na priamke prechádzajúcej týmto smerom cez bod M vezmeme bod M 1 (
) tak, aby dĺžka
segmentMM 1 sa rovná
. Prírastok funkcie f(M) je určený vzťahom, kde
spojené vzťahmi. Limit pomeru pri
sa bude nazývať derivácia funkcie
v bode
v smere a byť určený .

=

Ak je funkcia Z v bode diferencovateľná
, potom jeho prírastok v tomto bode s prihliadnutím na vzťahy za
možno napísať v nasledujúcej forme.

delením oboch častí podľa

a prejdením na limit pri
dostaneme vzorec pre deriváciu funkcie Z= f(x; y) v smere:

1. Gradient

Zvážte funkciu troch premenných
v určitom bode rozlíšiteľné
.

Gradient tejto funkcie
v bode M je vektor, ktorého súradnice sa zodpovedajú parciálnym deriváciám
v tomto bode. Na označenie gradientu použite symbol
.
=
.

.Spád udáva smer najrýchlejšieho rastu funkcie v danom bode.

Od jednotkového vektora má súradnice (
), potom sa smerová derivácia pre prípad funkcie troch premenných zapíše v tvare, t.j. má vzorec pre skalárny súčin vektorov A
. Prepíšme posledný vzorec takto:

, Kde - uhol medzi vektorom A
. Od r
, potom z toho vyplýva, že derivácia funkcie v smere nadobúda maximálnu hodnotu at =0, t.j. keď smer vektorov A
zápas. V rovnakom čase
To znamená, že gradient funkcie v skutočnosti charakterizuje smer a veľkosť maximálnej rýchlosti nárastu tejto funkcie v bode.

1. Extrém funkcie dvoch premenných

Pojmy max, min, extrém funkcie dvoch premenných sú podobné ako zodpovedajúce pojmy funkcie jednej premennej. Nech je funkcia Z= f(x; y) definovaná v nejakej oblasti D atď. M
patrí do tejto oblasti. Bod M
sa nazýva maximálny bod funkcie Z= f(x; y), ak existuje také δ-okolie bodu
, že pre každý bod z tohto okolia je nerovnosť
. Bod min sa určí podobným spôsobom, zmení sa len znamienko nerovnosti
. Hodnota funkcie v bode max(min) sa nazýva maximum (minimum). Maximum a minimum funkcie sa nazývajú extrémy.

1. Nevyhnutné a postačujúce podmienky pre extrém

Veta:(Nevyhnutné podmienky pre extrém). Ak v bode M
diferencovateľná funkcia Z= f(x; y) má extrém, potom sa jej parciálne derivácie v tomto bode rovnajú nule:
,
.

dôkaz: Po zafixovaní jednej z premenných x alebo y transformujeme Z = f(x; y) na funkciu jednej premennej, pre extrém ktorej musia byť splnené vyššie uvedené podmienky. Geometrické rovnosti
A
znamená, že v extrémnom bode funkcie Z= f(x; y) je dotyková rovina k ploche reprezentujúcej funkciu f(x,y)=Z rovnobežná s rovinou OXY, pretože rovnica dotykovej roviny je Z = Z 0. Bod, v ktorom sú parciálne derivácie prvého rádu funkcie Z = f (x; y) rovné nule, t.j.
,
, sa nazývajú stacionárny bod funkcie. Funkcia môže mať extrém v bodoch, kde aspoň jedna z parciálnych derivácií neexistuje. Napríklad Z=|-
| má maximum v bode O(0,0), ale v tomto bode nemá žiadne derivácie.

Nazývajú sa stacionárne body a body, v ktorých neexistuje aspoň jedna parciálna derivácia kritických bodov. V kritických bodoch funkcia môže alebo nemusí mať extrém. Rovnosť parciálnych derivácií na nulu je nevyhnutnou, ale nie postačujúcou podmienkou existencie extrému. Napríklad, keď Z=xy, bod O(0,0) je kritický. Funkcia Z=xy však v sebe nemá extrém. (Pretože v I. a III. štvrťroku Z>0 a v II. a IV. – Z<0). Таким образом для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо подвергнуть каждую критическую точку функции дополнительному исследованию.

Veta: (Na extrémy dostatočný stav). Nechajte v stacionárnom bode
a v určitom okolí má funkcia f(x; y) spojité parciálne derivácie až do 2. rádu vrátane. Poďme počítať v bode
hodnoty
,
A
. Označme

V prípade
, extrém v bode
môže a nemusí byť. Je potrebný ďalší výskum.

Obraz funkcie je v našej mysli nepochybne spojený s rovnosťou a zodpovedajúcou čiarou - grafom funkcie. Napríklad - funkčná závislosť, ktorej grafom je kvadratická parabola s vrcholom v počiatku a vetvami smerujúcimi nahor; je sínusová funkcia známa svojimi vlnami.

V týchto príkladoch je ľavá strana rovnosti y a pravá strana je výraz závislý od argumentu x. Inými slovami, máme vyriešenú rovnicu pre y. Znázornenie funkčnej závislosti vo forme takéhoto výrazu je tzv explicitným špecifikovaním funkcie(alebo fungovať explicitne). A tento typ priradenia funkcií je pre nás najznámejší. Vo väčšine príkladov a problémov sú nám prezentované explicitné funkcie. O diferenciácii funkcií jednej premennej, explicitne špecifikovanej, sme už podrobne hovorili.

Funkcia však znamená zhodu medzi množinou hodnôt x a množinou hodnôt y a táto zhoda NIE JE nevyhnutne stanovená žiadnym vzorcom alebo analytickým výrazom. To znamená, že existuje mnoho spôsobov, ako zadať funkciu okrem bežnej.

V tomto článku sa pozrieme na implicitné funkcie a metódy na hľadanie ich derivátov. Príklady funkcií, ktoré sú špecifikované implicitne, zahŕňajú alebo .

Ako ste si všimli, implicitná funkcia je definovaná vzťahom. Ale nie všetky takéto vzťahy medzi x a y definujú funkciu. Napríklad žiadna dvojica reálnych čísel x a y nespĺňa rovnosť , preto tento vzťah nedefinuje implicitnú funkciu.

Môže implicitne určiť zákon korešpondencie medzi veličinami x a y a každá hodnota argumentu x môže zodpovedať buď jednej (v tomto prípade máme jednohodnotovú funkciu) alebo niekoľkým hodnotám funkcie (v tomto prípade funkcia sa nazýva viachodnotová). Napríklad hodnota x = 1 zodpovedá dvom skutočným hodnotám y = 2 a y = -2 implicitne špecifikovanej funkcie.

Nie vždy je možné preniesť implicitnú funkciu do explicitnej formy, inak by nebolo potrebné rozlišovať samotné implicitné funkcie. napr. - sa neprevedie do explicitnej formy, ale - sa prevedie.

Teraz k veci.

Na nájdenie derivácie implicitne danej funkcie je potrebné diferencovať obe strany rovnosti vzhľadom na argument x, pričom y považujeme za funkciu x, a potom vyjadriť.

Diferenciácia výrazov obsahujúcich x a y(x) sa vykonáva pomocou pravidiel diferenciácie a pravidla na nájdenie derivácie komplexnej funkcie. Pozrime sa hneď na niekoľko príkladov podrobne, aby nevznikali ďalšie otázky.

Príklad.

Rozlišujte výrazy v x, pričom y považujeme za funkciu x.

Riešenie.

Pretože y je funkciou x, potom je to komplexná funkcia. Môže byť konvenčne reprezentovaný ako f(g(x)), kde f je funkcia kocky a g(x) = y. Potom podľa vzorca pre deriváciu komplexnej funkcie máme: .

Pri derivovaní druhého výrazu odoberieme konštantu z derivačného znamienka a postupujeme ako v predchádzajúcom prípade (tu f je funkcia sínus, g(x) = y):

Pre tretí výraz použijeme vzorec pre derivát produktu:

Dôsledným uplatňovaním pravidiel rozlišujeme posledný výraz:

Teraz môžete prejsť k hľadaniu derivácie implicitne špecifikovanej funkcie, na to máte všetky znalosti.

Príklad.

Nájdite deriváciu implicitnej funkcie.

Riešenie.

Derivácia implicitne špecifikovanej funkcie je vždy reprezentovaná ako výraz obsahujúci x a y: . Aby sme dospeli k tomuto výsledku, rozlišujeme obe strany rovnosti:

Vyriešme výslednú rovnicu vzhľadom na deriváciu:

odpoveď:

.

KOMENTÁR.

Na konsolidáciu materiálu vyriešme ďalší príklad.

Je známe, že funkcia y= f(x) môže byť špecifikovaná implicitne pomocou rovnice spájajúcej premenné x a y:

F(x,y)=0.

Sformulujme podmienky, za ktorých platí rovnica F(x,y)=0 definuje jednu z premenných ako funkciu druhej. Platí nasledovné

Veta (existencia implicitnej funkcie) Nech funkcia F(x,y)=0 spĺňa nasledujúce podmienky:

1) je tu bod P˳(x˳,y˳) , v ktorom F(x˳,y˳)=0

2) F’y(x˳,y˳)≠ 0

3) funkcie F'x (x ,y)a F'y (x, y) súvislý v niektorom okolí bodu

P 0 (x 0 ,r 0).

Potom existuje jedinečná funkcia y = f (x), definovaná na nejakom intervale obsahujúcom bod a spĺňajúca rovnicu F(x,y)=0 pre ľubovoľné x z tohto intervalu, takže f(x 0) = y0

Ak má y implicitnú funkciu od X, to znamená, že sa určí z rovnice F ( X, pri) = 0, teda za predpokladu, že pri existuje funkcia od X, získame identitu F (X, pri(X)) = 0, čo možno považovať za konštantnú funkciu. Diferencovaním tejto konštantnej funkcie dostaneme:

Ak v tomto pomere, potom môžete nájsť.

Opäť derivačným vzťahom (1) dostaneme:

Vzťah (2) možno považovať za rovnicu na určenie druhej derivácie. Opäť derivačným vzťahom (2) získame rovnicu na určenie tretej derivácie atď.

Smerová derivácia. Smerový vektor pre prípad dvoch a troch premenných (smerové kosínusy). Prírastok funkcie v danom smere. Definícia smerovej derivácie, jej vyjadrenie pomocou parciálnych derivácií. Funkčný gradient. Relatívna poloha gradientu a čiary hladiny v danom bode pre funkciu dvoch premenných.

Derivácia z'I v smere I funkcie dvoch premenných z=f(x;y) sa nazýva limita pomeru prírastku funkcie v tomto smere k veľkosti posunutia ∆I, keďže tá má tendenciu. na 0: z'i=lim∆iz /∆I

Derivácia z’I charakterizuje rýchlosť zmeny funkcie v smere i.

Ak funkcia z=f(x;y) má v bode M(x;y) spojité parciálne derivácie, potom v tomto bode existuje derivácia v ľubovoľnom smere vychádzajúca z bodu M(x;y), ktorá sa vypočíta podľa vzorca z'i =z'xˑcosα+z"yˑcosβ, kde cosα, cosβ sú smerové osi vektora.

Gradient funkcie z=f(x,y) je vektor so súradnicami f’x, f’y. Označuje sa z=(f’x,f’y) alebo .

Smerová derivácia sa rovná skalárnemu súčinu gradientu a jednotkového vektora definujúceho smer I.

Vektor z v každom bode smeruje kolmo na čiaru hladiny prechádzajúcej týmto bodom v smere rastúcej funkcie.

Parciálne derivácie f'x a f'y sú deriváciami funkcie z=f(x,y) pozdĺž dvoch parciálnych smerov osí Ox a Oy.

Nech z=f(x,y) je diferencovateľná funkcia v nejakej oblasti D, M(x,y) . Nech I je nejaký smer (vektor s počiatkom v bode M) a =(cosα;cosβ).

Pri pohybe v danom smere I bodu M(x,y) do bodu M1(x+∆x;y+∆y), funkcia z dostane prírastok ∆iz=f(x+∆x;y+∆y)- f(x;y) nazýva prírastok funkcie z v danom smere I.

Ak MM1=∆I, potom ∆x=∆icosα, ∆y=∆icosβ, teda ∆iz=f(x+∆icosα; y+∆icosβ)-f(x;y).