Delenie je jednou zo štyroch základných matematických operácií (sčítanie, odčítanie, násobenie). Delenie, podobne ako ostatné operácie, je dôležité nielen v matematike, ale aj v každodenný život. Napríklad vy ako celá trieda (25 ľudí) darujete peniaze a kúpite darček pre učiteľa, no neminiete všetko, ostanú vám drobné. Takže budete musieť rozdeliť zmenu medzi všetkých. Do hry vstupuje operácia rozdelenia, ktorá vám pomôže vyriešiť tento problém.

Rozdelenie je zaujímavá operácia, ako uvidíme v tomto článku!

Delenie čísel

Takže trochu teórie a potom prax! čo je delenie? Delenie je delenie niečoho na rovnaké časti. To znamená, že by to mohlo byť vrecko sladkostí, ktoré je potrebné rozdeliť na rovnaké časti. Napríklad v sáčku je 9 cukríkov a ten, kto ich chce dostať, sú traja. Potom musíte rozdeliť týchto 9 cukríkov medzi troch ľudí.

Píše sa takto: 9:3, odpoveď bude číslo 3. To znamená, že vydelením čísla 9 číslom 3 sa zobrazí počet troch obsiahnutých v čísle 9. Opačná akcia, kontrola, bude násobenie. 3*3=9. správne? Absolútne.

Pozrime sa teda na príklad 12:6. Najprv si pomenujme jednotlivé komponenty príkladu. 12 – dividenda, tzn. číslo, ktoré možno rozdeliť na časti. 6 je deliteľ, je to počet častí, na ktoré sa delí dividenda. A výsledkom bude číslo nazývané „kvocient“.

Vydeľme 12 6, odpoveď bude číslo 2. Riešenie si overíme vynásobením: 2*6=12. Ukazuje sa, že číslo 6 je v čísle 12 obsiahnuté 2-krát.

Delenie so zvyškom

Čo je delenie so zvyškom? Ide o rovnaké delenie, len výsledok nie je párne číslo, ako je uvedené vyššie.

Napríklad vydeľme 17 číslom 5. Keďže najväčšie číslo deliteľné číslom 5 až 17 je 15, odpoveď bude 3 a zvyšok je 2 a zapíše sa takto: 17:5 = 3(2).

Napríklad 22:7. Rovnakým spôsobom určíme maximálne číslo deliteľné 7 až 22. Toto číslo je 21. Odpoveď potom bude: 3 a zvyšok 1. A je napísané: 22:7 = 3 (1).

Delenie 3 a 9

Špeciálnym prípadom delenia by bolo delenie číslom 3 a číslom 9. Ak chcete zistiť, či je číslo deliteľné 3 alebo 9 bezo zvyšku, budete potrebovať:

Nájdite súčet číslic dividendy.

Vydeľte 3 alebo 9 (podľa toho, čo potrebujete).

Ak je odpoveď získaná bezo zvyšku, potom sa číslo rozdelí bezo zvyšku.

Napríklad číslo 18. Súčet číslic je 1+8 = 9. Súčet číslic je deliteľný 3 aj 9. Číslo 18:9=2, 18:3=6. Rozdelené bezo zvyšku.

Napríklad číslo 63. Súčet číslic je 6+3 = 9. Deliteľné 9 aj 3. 63:9 = 7 a 63:3 = 21. Takéto operácie sa vykonávajú s ľubovoľným číslom, aby sa zistilo, či je deliteľné so zvyškom 3 alebo 9, alebo nie.

Násobenie a delenie

Násobenie a delenie sú opačný priateľ priateľská operácia. Násobenie možno použiť ako test na delenie a delenie možno použiť ako test na násobenie. Viac o násobení a zvládnutí operácie sa dozviete v našom článku o násobení. V ktorom je podrobne popísané násobenie a ako sa to robí správne. Nájdete tam aj násobilku a príklady na tréning.

Tu je príklad kontroly delenia a násobenia. Povedzme, že príklad je 6*4. Odpoveď: 24. Potom skontrolujme odpoveď delením: 24:4=6, 24:6=4. Bolo rozhodnuté správne. V tomto prípade sa kontrola vykonáva vydelením odpovede jedným z faktorov.

Alebo je uvedený príklad na rozdelenie 56:8. Odpoveď: 7. Potom bude test 8*7=56. správne? áno. V tomto prípade sa test vykoná vynásobením odpovede deliteľom.

Trieda divízie 3

V tretej triede ešte len začínajú prechádzať delením. Preto tretiaci riešia najjednoduchšie problémy:

Problém 1. Pracovník továrne dostal za úlohu vložiť 56 koláčov do 8 balíkov. Koľko koláčov by sa malo vložiť do každého balenia, aby bolo v každom rovnaké množstvo?

Problém 2. Na Silvestra v škole dostali deti v triede 15 žiakov 75 cukríkov. Koľko cukríkov by malo dostať každé dieťa?

Problém 3. Roma, Sasha a Misha obrali z jablone 27 jabĺk. Koľko jabĺk dostane každý, ak ich treba rozdeliť rovným dielom?

Problém 4. Štyria priatelia kúpili 58 koláčikov. Potom si však uvedomili, že ich nemôžu rozdeliť rovnako. Koľko ďalších koláčikov musia deti kúpiť, aby každý dostal 15?

Divízia 4. ročník

Rozdelenie vo štvrtom ročníku je vážnejšie ako v treťom. Všetky výpočty sa vykonávajú pomocou metódy delenia stĺpcov a čísla zahrnuté v delení nie sú malé. Čo je dlhé delenie? Odpoveď nájdete nižšie:

Delenie stĺpcov

Čo je dlhé delenie? Toto je metóda, ktorá vám umožní nájsť odpoveď na delenie veľkých čísel. Ak sa dajú rozdeliť prvočísla ako 16 a 4 a odpoveď je jasná – 4. Potom 512:8 nie je pre dieťa v mysli ľahké. A našou úlohou je hovoriť o technike riešenia takýchto príkladov.

Pozrime sa na príklad, 512:8.

1 krok. Dividenda a deliteľ zapíšme takto:

Kvocient sa nakoniec zapíše pod deliteľa a výpočty pod dividendu.

Krok 2. Začneme deliť zľava doprava. Najprv vezmeme číslo 5:

Krok 3. Číslo 5 je menšie ako číslo 8, čo znamená, že nebude možné deliť. Preto vezmeme ďalšiu číslicu dividendy:

Teraz je 51 väčšie ako 8. Toto je neúplný kvocient.

Krok 4. Pod deliteľa dáme bodku.

Krok 5. Po 51 je ďalšie číslo 2, čo znamená, že v odpovedi bude ešte jedno číslo, tzn. súkromné ​​- dvojciferné číslo. Uveďme druhý bod:

Krok 6. Začíname operáciu divízie. Najväčšie číslo, deliteľné 8 bezo zvyšku na 51 – 48. Delením 48 8 dostaneme 6. Namiesto prvej bodky pod deliteľa napíšte číslo 6:

Krok 7. Potom zapíšte číslo presne pod číslom 51 a vložte znak „-“:

Krok 8. Potom odpočítame 48 od 51 a dostaneme odpoveď 3.

* 9 krokov*. Odstránime číslo 2 a napíšeme ho vedľa čísla 3:

Krok 10 Výsledné číslo 32 vydelíme 8 a dostaneme druhú číslicu odpovede - 4.

Takže odpoveď je 64, bezo zvyšku. Ak by sme rozdelili číslo 513, zvyšok by bol jedna.

Delenie troch číslic

Delenie trojciferných čísel sa vykonáva metódou dlhého delenia, ktorá bola vysvetlená v príklade vyššie. Príklad len trojciferného čísla.

Delenie zlomkov

Delenie zlomkov nie je také ťažké, ako sa na prvý pohľad zdá. Napríklad (2/3): (1/4). Spôsob tohto delenia je pomerne jednoduchý. 2/3 je dividenda, 1/4 je deliteľ. Znak delenia (:) môžete nahradiť násobením ( ), ale na to je potrebné vymeniť čitateľa a menovateľa deliteľa. To znamená, že dostaneme: (2/3)(4/1), (2/3)*4, to sa rovná 8/3 alebo 2 celým číslam a 2/3 Uveďme ďalší príklad s ilustráciou pre lepšie pochopenie. Zvážte zlomky (4/7): (2/5):

Rovnako ako v predchádzajúcom príklade otočíme deliteľa 2/5 a dostaneme 5/2, pričom delenie nahradíme násobením. Potom dostaneme (4/7) * (5/2). Urobíme zmenšenie a odpovieme: 10/7, potom vyberieme celú časť: 1 celok a 3/7.

Rozdelenie čísel do tried

Predstavme si číslo 148951784296 a rozdeľme ho na tri číslice: 148 951 784 296 Takže sprava doľava: 296 je trieda jednotiek, 784 je trieda tisícov, 951 je trieda miliónov, 148 je trieda miliárd. V každej triede majú 3 číslice svoju vlastnú číslicu. Sprava doľava: prvá číslica sú jednotky, druhá číslica sú desiatky, tretia sú stovky. Napríklad trieda jednotiek je 296, 6 sú jednotky, 9 sú desiatky, 2 sú stovky.

Delenie prirodzených čísel

divízie prirodzené čísla– toto je najjednoduchšie rozdelenie opísané v tomto článku. Môže byť so zvyškom alebo bez neho. Deliteľ a delenec môžu byť akékoľvek nezlomkové, celé čísla.

Prihláste sa na kurz „Zrýchlite mentálnu aritmetiku, NIE mentálna aritmetika"aby ste sa naučili rýchlo a správne sčítať, odčítať, násobiť, deliť, odmocňovať čísla a dokonca aj odmocňovať. Za 30 dní sa naučíte používať jednoduché techniky na zjednodušenie aritmetických operácií. Každá lekcia obsahuje nové techniky, jasné príklady a užitočné úlohy .

Prezentácia divízie

Prezentácia je ďalším spôsobom vizualizácie témy delenia. Nižšie nájdeme odkaz na výbornú prezentáciu, ktorá dobre vysvetľuje, ako deliť, čo je delenie, čo je dividenda, deliteľ a kvocient. Nestrácajte čas, ale upevňujte svoje vedomosti!

Príklady na rozdelenie

Ľahká úroveň

Stredná úroveň

Ťažká úroveň

Hry na rozvoj mentálnej aritmetiky

Špeciálne vzdelávacie hry vyvinuté za účasti ruských vedcov zo Skolkova pomôžu zlepšiť zručnosti ústne počítanie zaujímavou hravou formou.

Hra „Hádaj operáciu“

Hra „Hádaj operáciu“ rozvíja myslenie a pamäť. Hlavný bod Ak chcete, aby bola rovnosť pravdivá, musíte si vybrať matematické znamienko. Príklady sú uvedené na obrazovke, pozorne sa pozrite a vložte požadované znamienko „+“ alebo „-“, aby bola rovnosť pravdivá. Značky „+“ a „-“ sa nachádzajú v spodnej časti obrázka, vyberte požadované znamienko a kliknite na požadované tlačidlo. Ak ste odpovedali správne, získate body a môžete pokračovať v hre.

Hra "Zjednodušenie"

Hra „Zjednodušenie“ rozvíja myslenie a pamäť. Hlavnou podstatou hry je rýchle vykonanie matematickej operácie. Študent je nakreslený na obrazovke pri tabuli a je mu daný matematická operácia, študent potrebuje vypočítať tento príklad a napísať odpoveď. Nižšie sú uvedené tri odpovede, spočítajte a kliknite na číslo, ktoré potrebujete, pomocou myši. Ak ste odpovedali správne, získate body a môžete pokračovať v hre.

Hra "Rýchle pridávanie"

Hra „Rýchle pridávanie“ rozvíja myslenie a pamäť. Hlavnou podstatou hry je vybrať čísla, ktorých súčet sa rovná danému číslu. V tejto hre je daná matica od jedna do šestnásť. Dané číslo je napísané nad maticou, musíte vybrať čísla v matici tak, aby sa súčet týchto číslic rovnal danému číslu. Ak ste odpovedali správne, získate body a môžete pokračovať v hre.

Hra vizuálnej geometrie

Hra "Vizuálna geometria" rozvíja myslenie a pamäť. Hlavnou podstatou hry je rýchlo spočítať počet zatienených predmetov a vybrať ich zo zoznamu odpovedí. V tejto hre sa na obrazovke na niekoľko sekúnd zobrazia modré štvorce, ktoré musíte rýchlo spočítať, potom sa zatvoria. Pod tabuľkou sú napísané štyri čísla, treba vybrať jedno správne číslo a kliknúť naň myšou. Ak ste odpovedali správne, získate body a môžete pokračovať v hre.

Hra "Piggy Bank"

Hra Prasiatko rozvíja myslenie a pamäť. Hlavnou podstatou hry je vybrať, ktoré prasiatko má viac peňazí V tejto hre sú štyri prasiatka, musíte spočítať, ktoré prasiatko má najviac peňazí a ukázať toto prasiatko pomocou myši. Ak ste odpovedali správne, získate body a pokračujete v hre.

Hra "Rýchle opätovné načítanie"

Hra „Rýchly reštart“ rozvíja myslenie, pamäť a pozornosť. Hlavným bodom hry je vybrať správne pojmy, ktorých súčet sa bude rovnať danému číslu. V tejto hre sú na obrazovke uvedené tri čísla a je zadaná úloha, pridajte číslo, obrazovka ukazuje, ktoré číslo je potrebné pridať. Vyberiete požadované čísla z troch čísel a stlačíte ich. Ak ste odpovedali správne, získate body a pokračujete v hre.

Vývoj fenomenálnej mentálnej aritmetiky

Pozreli sme sa len na špičku ľadovca, aby sme lepšie porozumeli matematike – prihláste sa na náš kurz: Zrýchlenie mentálnej aritmetiky – NIE mentálnej aritmetiky.

Na kurze sa naučíte nielen desiatky techník na zjednodušené a rýchle násobenie, sčítanie, násobenie, delenie a počítanie percent, ale precvičíte si ich aj v špeciálnych úlohách a vzdelávacích hrách! Mentálna aritmetika si tiež vyžaduje veľa pozornosti a koncentrácie, ktoré sa aktívne trénujú pri riešení zaujímavých problémov.

Rýchle čítanie za 30 dní

Zvýšte rýchlosť čítania 2-3 krát za 30 dní. Od 150-200 do 300-600 slov za minútu alebo od 400 do 800-1200 slov za minútu. Kurz využíva tradičné cvičenia na rozvoj rýchleho čítania, techniky zrýchľujúce mozgové funkcie, metódy na progresívne zvyšovanie rýchlosti čítania, psychológiu rýchleho čítania a otázky účastníkov kurzu. Vhodné pre deti a dospelých, ktorí čítajú až 5000 slov za minútu.

Rozvoj pamäti a pozornosti u dieťaťa vo veku 5-10 rokov

Účel kurzu: rozvíjať pamäť a pozornosť dieťaťa, aby sa mu ľahšie učilo v škole, aby si lepšie pamätalo.

Po absolvovaní kurzu bude dieťa schopné:

1. 2-5 krát lepšie zapamätať si texty, tváre, čísla, slová

Mozog, rovnako ako telo, potrebuje kondíciu. Cvičenie posilňovať telo, duševne rozvíjať mozog. 30 dní užitočných cvičení a vzdelávacích hier na rozvoj pamäti, koncentrácie, inteligencie a rýchleho čítania posilní mozog a zmení ho na tvrdý oriešok.



Peniaze a myslenie milionárov

Prečo sú problémy s peniazmi? V tomto kurze odpovieme na túto otázku podrobne, pozrieme sa hlboko do problému a zvážime náš vzťah k peniazom z psychologického, ekonomického a emocionálneho hľadiska. Z kurzu sa dozviete, čo musíte urobiť, aby ste vyriešili všetky svoje finančné problémy, začali šetriť peniaze a investovať ich do budúcnosti.

Znalosť psychológie peňazí a práce s nimi robí z človeka milionára. 80 % ľudí si s rastúcim príjmom berie viac pôžičiek a stávajú sa ešte chudobnejšími. Na druhej strane, milionári, ktorí sa sami vyrobia, zarobia o 3-5 rokov opäť milióny, ak začnú od nuly. Tento kurz vás naučí, ako správne rozdeliť príjmy a znížiť výdavky, motivuje vás k štúdiu a dosahovaniu cieľov, naučí vás investovať peniaze a rozpoznať podvod.

V časti o otázke, čo sa robí ako prvé, násobenie alebo delenie v matematike položil autor kaukazský najlepšia odpoveď je Tieto akcie sú rovnaké, takže prvá vec, ktorú musíte urobiť, je, kde séria začína (počítajúc zľava doprava): A: B*C=(A: B) *C, A*C: B=(A *C): B Pravda, v tomto prípade je výsledok rovnaký (ak sú výpočty úplne presné).

Odpoveď od 22 odpovedí[guru]

Dobrý deň! Tu je výber tém s odpoveďami na vašu otázku: čo sa robí ako prvé: násobenie alebo delenie v matematike

Odpoveď od ospalý[nováčik]
čo je prvé, to je prvé

Odpoveď od Nechutný zdroj[guru]
Myslím, že násobenie.. ale už si nepamätám.. je to už dávno, čo som chodil do školy

Odpoveď od Evgenia Nebesnaja[guru]
Umyjem násobilku.

Odpoveď od Čerpanie[guru]
násobenie?!)))

Odpoveď od Ľubov Lavrinovič[expert]
nevadí. odpoveď je rovnaká.

Odpoveď od Vitalij Cholodov[nováčik]
yyyyy))))) Je to to isté))))

Odpoveď od Gambit 007[majster]
Zľava doprava! Ak je na prvom mieste násobenie, potom násobenie, ak delenie, tak delenie!

Odpoveď od HELENA &&&[expert]
jeden po druhom

Odpoveď od Iris-chan[expert]
Ak tam nie sú zátvorky, tak na tom nezáleží. Väčšinou to robím v poradí, ktoré je najjednoduchšie, v ktorom treba násobiť alebo deliť menšie čísla.

Odpoveď od Eldgammel Vind[guru]
Vôbec nevadí, ak tam nie sú zátvorky.

Odpoveď od Zina Evstigneeva[guru]
takéto príklady sú riešené v poradí tak, že táto akcia je na prvom mieste a vykoná sa

Odpoveď od Andrej Kozlov[nováčik]
násobenie

Odpoveď od Yoerezha Talanin[nováčik]
násobenie))) =)

Odpoveď od Arthur[aktívny]
6: 2 * 3 = 9 toto je v poradí 6: 2 * 3 = 1 to je od začiatku po násobenie, potom po delenie, odpovede sú rôzne, takže na poradí záleží

Odpoveď od Dáša Zarafová[nováčik]
Akcia sa vykonáva v závislosti od objednávky. Napríklad: 200*45/1000=9 (v tomto prípade * je prvé a delenie posledné. A tak najprv vynásobíme 200*45 a potom vydelíme 9000/1000=9) Ďalší príklad: 36/9*4=16 ( v tomto prípade / je na prvom mieste a

množiť v ľubovoľnom poradí.

Metodicky má toto pravidlo za cieľ pripraviť dieťa na oboznámenie sa s metódami násobenia čísel zakončených nulami, preto sa s ním zoznamuje až v štvrtom ročníku. V skutočnosti vám táto vlastnosť násobenia umožňuje racionalizovať mentálne výpočty v 2. aj 3. ročníku.

Napríklad:

Vypočítajte: (7 2) 5 = ...

V tomto prípade je oveľa jednoduchšie vypočítať možnosť

7 (2 5) = 7 10 - 70.

Vypočítajte: 12 (5 7) = ...

8 v tomto prípade je oveľa jednoduchšie vypočítať možnosť (12-5)-7 = 60-7 = 420.

Výpočtové techniky

1. Násobenie a delenie čísel končiacich nulou: 20 3; 3 20; 60:3; 80:20

Výpočtová technika v tomto prípade spočíva v násobení a delení jednociferných čísel vyjadrujúcich počet desiatok v daných číslach. Napríklad:

20 3 =... 3 20 =... 60:3 = ...

2 dec. 3 = 20 3 = 60 b dec.: 3 = 2 dec.

20 - 3 = 60 3 20 = 60 60: 3 = 20

Pre prípad 80:20 možno použiť dve metódy výpočtu: metódu použitú v predchádzajúcich prípadoch a metódu výberu kvocientu.

Napríklad: 80: 20 =... 80: 20 =...

8 dec.: 2 dec. = 4 alebo 20 4 = 80

80: 20 = 4 80: 20 = 4

V prvom prípade bola použitá technika reprezentácie dvojciferných desiatok vo forme ciferných jednotiek, ktorá redukuje posudzovaný prípad na tabuľkový (8:2). V druhom prípade sa kvocient zistí výberom a skontroluje sa násobením. V druhom prípade dieťa nemusí okamžite vybrať správne číslo kvocientu, čo znamená, že kontrola sa vykoná viackrát.

2. Spôsob násobenia dvojciferného čísla jednociferným číslom: 23 4; 4-23

Pri vynásobení dvojciferného čísla jednociferným číslom sa aktualizujú tieto znalosti a zručnosti:

V prípade násobenia tvaru 4 23 sa najskôr použije preskupenie faktorov a potom sa použije rovnaká schéma násobenia ako vyššie.

3. Spôsob delenia dvojciferného čísla jednociferným číslom: 48:3; 48:2

Pri delení dvojciferného čísla jednociferným sa aktualizujú tieto znalosti a zručnosti:

4. Spôsob delenia dvojciferného čísla dvojciferným číslom: 68:17

Pri delení dvojciferného čísla dvojciferným číslom sú potrebné tieto znalosti a zručnosti:

Obtiažnosť poslednej techniky spočíva v tom, že dieťa nemôže okamžite vybrať požadovanú číslicu kvocientu a vykoná niekoľko kontrol vybraných číslic, čo si vyžaduje pomerne zložité výpočty. Mnoho detí trávi veľa času výpočtami tohto typu, pretože nezačínajú ani tak výberom vhodného kvocientového čísla, ale skôr triedením všetkých faktorov v rade, počnúc dvoma.

Na uľahčenie výpočtov možno použiť dve techniky:

1) orientácia na poslednú číslicu dividendy;

2) metóda zaokrúhľovania.

Prvé stretnutie predpokladá, že pri výbere možnej číslice kvocientu sa dieťa riadi znalosťou násobilky, pričom vybranú číslicu (číslo) a poslednú číslicu deliteľa ihneď vynásobí.

Napríklad 3-7 = 21. Posledná číslica čísla 68 je 8, čo znamená, že nemá zmysel násobiť 17 tromi, posledná číslica deliteľa sa stále nezhoduje. Skúsme číslo 4 v kvociente - vynásobte 7 4 = 28. Posledná číslica sa zhoduje, takže má zmysel nájsť súčin 17 4.

Druhé stretnutie zahŕňa zaokrúhlenie deliteľa a výber kvocientovej číslice na základe zaokrúhleného deliteľa.

Napríklad 68:17, deliteľ 17 sa zaokrúhli na 20. Približný podiel 3 dáva, keď je zaškrtnuté, 20 3 = 60< 68, значит имеет смысл сразу проверять в качестве цифры частного 4:17 4 = 68.

Tieto techniky vám umožňujú znížiť náklady na námahu a čas pri vykonávaní výpočtov tohto typu, vyžadujú si však dobrú znalosť tabuľky násobenia a schopnosť zaokrúhľovať čísla.

Celé čísla končiace na 0,1,2,3,4 sa zaokrúhlia na najbližšie celé desať, pričom sa tieto číslice vynechajú.

Napríklad čísla 12, 13, 14 by mali byť zaokrúhlené na 10. Čísla 62, 63, 64 by mali byť zaokrúhlené na 60.

Celé čísla končiace na 5, 6, 7, 8, 9 sa zaokrúhľujú na celé desať nahor.

Napríklad čísla 15,16,17,18,19 sú zaokrúhlené na 20. Čísla 45,47, 49 sú zaokrúhlené na 50.

Poradie operácií vo výrazoch obsahujúcich násobenie a delenie

Pravidlá pre poradie akcií špecifikujú hlavné charakteristiky výrazov, ktoré by sa mali použiť pri výpočte ich hodnôt.

Prvé pravidlá definujúce poradie operácií v aritmetických výrazoch špecifikovali poradie akcií vo výrazoch obsahujúcich operácie sčítania a odčítania:

1. Vo výrazoch bez zátvoriek obsahujúcich iba operácie sčítania a odčítania sa akcie vykonávajú v poradí, v akom sú napísané: zľava doprava.

2. Najprv sa vykonajú akcie v zátvorkách.

3. Ak výraz obsahuje iba akcie sčítania, potom môžu byť dva susediace členy vždy nahradené ich súčtom (kombinačná vlastnosť sčítania).

V 3. ročníku sa študujú nové pravidlá pre poradie vykonávania akcií vo výrazoch obsahujúcich násobenie a delenie:

4. Vo výrazoch bez zátvoriek, ktoré obsahujú iba násobenie a delenie, sa úkony vykonávajú v poradí, v akom sú napísané: zľava doprava.

5. Vo výrazoch bez zátvoriek sa násobenie a delenie vykonáva pred sčítaním a odčítaním.

V tomto prípade sa zachová nastavenie vykonať akciu v zátvorkách ako prvú. Možné prípady porušenia tohto nastavenia boli diskutované skôr.

Pravidlá pre poradie akcií sú všeobecné pravidlá pre výpočet hodnôt matematických výrazov (príkladov), ktoré sa zachovávajú počas celého obdobia štúdia matematiky v škole. V tomto ohľade je formovanie jasného pochopenia algoritmu poradia akcií u dieťaťa dôležitou následnou úlohou vyučovania matematiky v ZÁKLADNÁ ŠKOLA. Problémom je, že pravidlá pre poradie akcií sú dosť variabilné a nie vždy jasne definované.

Napríklad vo výraze 48-3 + 7 + 8 by sa ako všeobecné pravidlo malo použiť pravidlo 1 pre výraz bez zátvoriek obsahujúci operácie sčítania a odčítania. Zároveň ako možnosť racionálnych výpočtov môžete použiť techniku ​​nahradenia súčtu časti 7 + 8, pretože po odčítaní čísla 3 od 48 získate 45, ku ktorým je vhodné pridať 15.

Takáto analýza takéhoto výrazu sa však v základných ročníkoch neposkytuje, pretože existujú obavy, že s nedostatočným pochopením tohto prístupu ho dieťa použije v prípadoch tvaru 72 - 9 - 3 + 6. prípade, nahradenie výrazu 3 + 6 súčtom nie je možné, povedie to k nesprávnej odpovedi.

Veľká variabilita v uplatňovaní celej skupiny pravidiel a variantov pravidiel pri určovaní poradia činov si vyžaduje výraznú flexibilitu myslenia, dobré pochopenie významu matematických činov, postupnosť mentálnych činov, matematické „cítenie“ a intuíciu ( matematici to nazývajú „zmysel pre čísla“). V skutočnosti je oveľa jednoduchšie naučiť dieťa striktne dodržiavať jasne stanovený postup analýzy číselného vyjadrenia z hľadiska vlastností, na ktoré je každé pravidlo zamerané.

Pri určovaní postupu uvažujte takto:

1) Ak sú tam zátvorky, najprv vykonám akciu napísanú v zátvorkách.

2) Násobenie a delenie vykonávam podľa poradia.

3) Sčítanie a odčítanie vykonávam v poradí.

Tento algoritmus určuje poradie akcií celkom jednoznačne, aj keď s malými obmenami.

V týchto výrazoch je poradie akcie jednoznačne určené algoritmom a je jediné možné. Uveďme ďalšie príklady

Po vykonaní násobenia a delenia v tomto príklade môžete okamžite pridať 6 k 54 a odpočítať 9 od 18 a potom pridať výsledky. Technicky by to bolo oveľa jednoduchšie ako cesta určená algoritmom, je možné pôvodne odlišné poradie akcií v príklade:

Otázka rozvoja schopnosti určovať poradie akcií vo výrazoch na základnej škole je teda určitým spôsobom v rozpore s potrebou učiť dieťa metódam racionálnych výpočtov.

Napríklad v tomto prípade je poradie akcií absolútne jednoznačne určené algoritmom a vyžaduje sériu zložitých mentálnych výpočtov s prechodmi cez číslice: 42 - 7 a 35 + 8.

Ak po vykonaní delenia 21:3 vykonáte sčítanie 42 + 8 = 50 a potom odčítate 50 - 7 = 43, čo je technicky oveľa jednoduchšie, odpoveď bude rovnaká. Táto cesta výpočtu je v rozpore s nastavením uvedeným v učebnici

Operácie násobenia a delenia boli obzvlášť zložité a ťažké za starých čias - najmä tých druhých.

"Množenie je moje trápenie, ale delenie je problém," hovorili za starých čias.

IN staroveku a takmer až do osemnásteho storočia sa Rusi vo svojich výpočtoch zaobišli bez násobenia a delenia: používali iba dve aritmetické operácie - sčítanie a odčítanie, ako aj takzvané „zdvojnásobenie“ a „rozdvojenie“. Podstatou starodávnej ruskej metódy násobenia je, že násobenie akýchkoľvek dvoch čísel sa redukuje na sériu postupných delení jedného čísla na polovicu (sekvenčná bifurkácia) pri súčasnom zdvojnásobení druhého čísla. Ak sa v súčine, napríklad 24∙5, násobiteľ zníži 2-krát („double“) a násobiteľ sa zväčší 2-krát („double“), potom sa súčin nezmení: 24∙5=12 ∙10=120

Delenie násobiteľa pokračuje, kým sa neukáže, že kvocient je 1, pričom sa násobiteľ zdvojnásobí. Posledné zdvojnásobené číslo dáva požadovaný výsledok. Takže 32∙17=1∙544=544. V navrhovanom príklade sú všetky čísla bezo zvyšku deliteľné 2.

Ale čo ak dôjde k deleniu 2 so zvyškom?

Ak násobenec nie je deliteľný 2, potom sa od neho najprv odčíta jedna a potom sa vydelí 2. Riadky s párnymi násobiteľmi sa prečiarknu a pridajú sa pravé časti riadkov s nepárnymi násobiteľmi.

To znamená, 21∙17=(20+1)∙17=20∙17+1∙17.

Zapamätajme si číslo 17 (prvý riadok nie je prečiarknutý) a súčin 20∙17 nahraďme rovnakým súčinom 10∙34. ale súčin 10∙34 je možné nahradiť rovnakým súčinom 5∙68, takže druhý riadok je prečiarknutý: 5∙68=(4+1) ∙68= 4∙68+68 Zapamätajte si číslo 68 (tretí riadok nie je prečiarknutý) a súčin 4∙68 nahraďte rovnakým súčinom 2∙136. Ale súčin 2∙136 možno nahradiť rovnakým súčinom 1∙272, takže štvrtý riadok je prečiarknutý. To znamená, že na výpočet súčinu 21∙17 je potrebné pridať 17.68.272 - pravé strany s nepárnymi násobiteľmi.

Produkty s párnymi multiplikandmi je možné vždy nahradiť rozdvojením multiplikandu a zdvojnásobením koeficientu rovnakými produktmi. Preto sú takéto riadky vylúčené z výpočtu konečného produktu.

Čas plynul. V rovnakom čase sa používal takmer tucet rôznymi spôsobmi násobenie a delenie - techniky sú zložitejšie ako ostatné, ktoré si človek priemerných schopností nedokázal pevne zapamätať.

V knihe V. Bellustina „Ako ľudia postupne dosiahli skutočnú aritmetiku“ (1941) je načrtnutých 27 metód násobenia a autor poznamenáva; "Je celkom možné, že existujú aj (metódy) ukryté v cache, knižných depozitároch, roztrúsených v početných, najmä ručne písaných zbierkach."

A všetky tieto metódy násobenia - „šachovnica“, „ohýbanie“, „odzadu dopredu“, „kosoštvorec“ a ďalšie, ako aj všetky metódy delenia, ktoré nemali menej zložité názvy, si navzájom konkurovali v ťažkopádnosti a zložitosti. .

Za čias M. Lomonosova sa už dej násobenia písal takmer rovnako ako za našich čias. Iba multiplikand sa nazýval „množstvo“ a produkt sa nazýval „produkt“ a navyše sa násobilka nepísala.

48 - Veličenstvo. 8 - Násobiteľ. 384 - Produkt alebo práca.

Je známe, že M.V. Lomonosov vedel naspamäť celú „Aritmetiku“ Magnitského. V súlade s touto učebnicou by malý Misha Lomonosov vysvetlil násobenie čísla 48 číslom 8 takto: „8 krát 8 je 64, pod čiaru napíšem 4 proti 8 a v mysli mám 6 desatinných miest. A potom 8 krát 4 je 32 a ja si zapamätám 3 a k 2 pridám 6 desatinných miest a bude to 8. A toto 8 napíšem vedľa 4, v rade na ľavú ruku a kým 3 je v mojej mysli, napíšem v rade blízko 8, na ľavú ruku. A z vynásobenia 48 číslom 8 bude súčin 384.“

Teraz to vysvetľujeme takmer rovnako, len hovoríme moderne, nie starodávne, a navyše pomenúvame kategórie. Napríklad 3 by malo byť napísané na treťom mieste, pretože to budú stovky, a nie len „v rade vedľa 8, po ľavej ruke“.

Čo sa týka delenia... Učebnica L.F.Magnitského uvádza niekoľko spôsobov delenia. Niektoré z týchto metód sú také ťažké, že je veľmi ľahké sa zmiasť.

Pozrime sa teraz na jednu z týchto metód. Magnitsky to považuje za elegantné a jednoduché.

Predpokladajme, že potrebujeme vydeliť 598432 číslom 678. Najprv napíšte prvé číslice dividendy 5984, pod ňu deliteľa 678. Vydeľte číslo 59 číslom 7 (678 sa blíži k 700), získajte prvú číslicu podielu 8 a zapíšte ho do právo na dividendu, vynásobte 8 číslom 678: osem osem 64, v duchu odpočítajte 4 od 4 a zvyšok napíšte 0 nad 4; osem je sedem 56 a 6 v mysli je 62, odpočítame 2 od 8, dostaneme 6 ako zvyšok a prepíšeme to nad 8; 8X6=48, 48 +6=54, 59-54=5, čo znamená, že nad 59 zapíšeme zvyšok 5. Teraz k zvyšku 560 pridáme ďalšiu číslicu dividendy 3 a pokračujeme v akcii v rovnakom poradí.

Naši predkovia, ktorí ťažko dokončili delenie, považovali za povinné raz alebo dvakrát to skontrolovať. Magnitsky je v tomto prípade obmedzený na jednu kontrolu. Odporúča násobiť od najvyšších číslic: 678 x 8 = 5424, znova. 678 x 8 = 5424 a 678 x 2 = 1356; Pod tieto čísla podpíše zvyšok a spočíta. Dostane dividendu. "Správne rozdelené," napísali na záver za starých čias.

Takto vyzeral zápis delenia:

598432 správne rozdelené

Ako vidíte, táto metóda je veľmi podobná tej, ktorú používame. Pravdepodobne náš moderným spôsobom sa vyvinul z tohto. Nebudeme skúmať iné metódy, predstavíme len formu zápisu delení do „kosoštvorca“, ktorý sa nachádza u Magnitského.

Deliť 9649378 číslom 5634: