Графік функції – це наочне уявлення поведінки деякої функції координатної площини. Графіки допомагають зрозуміти різні аспекти функції, які неможливо визначити щодо самої функції. Можна побудувати графіки безлічі функцій, причому кожна з них буде задана певною формулою. Графік будь-якої функції будується за певним алгоритмом (якщо ви забули точний процес побудови графіка конкретної функції).

Кроки

Побудова графіка лінійної функції

Визначте, чи функція є лінійною.Лінійна функція задається формулою виду F(x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b)або y = k x + b (\displaystyle y=kx+b)(Наприклад, ), а її графік являє собою пряму. Таким чином, формула включає одну змінну та одну константу (постійну) без будь-яких показників ступенів, знаків кореня тощо. Якщо дана функція аналогічного виду, збудувати графік такої функції досить просто. Ось інші приклади лінійних функцій:

Скористайтеся константою, щоб відзначити точку на осі Y.Константа (b) є координатою «у» точки перетину графіка з віссю Y. Тобто це точка, координата «х» якої дорівнює 0. Таким чином, якщо формулу підставити х = 0, то у = b (константі). У нашому прикладі y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)константа дорівнює 5, тобто точка перетину з віссю Y має координати (0,5). Нанесіть цю точку на координатну площину.

Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої.Він дорівнює множнику за змінної. У нашому прикладі y = 2 x + 5 (\displaystyle y=2x+5)при змінній "х" знаходиться множник 2; таким чином, кутовий коефіцієнт дорівнює 2. Кутовий коефіцієнт визначає кут нахилу прямої до осі X, тобто чим більше кутовий коефіцієнт, тим швидше зростає або зменшується функція.

Запишіть кутовий коефіцієнт у вигляді дробу.Кутовий коефіцієнт дорівнює тангенсу кута нахилу, тобто відношенню вертикальної відстані (між двома точками на прямій) до горизонтальної відстані (між цими ж точками). У нашому прикладі кутовий коефіцієнт дорівнює 2, тому можна заявити, що вертикальна відстань дорівнює 2, а горизонтальна відстань дорівнює 1. Запишіть це у вигляді дробу: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).

• Якщо кутовий коефіцієнт негативний, функція зменшується.

1. Від точки перетину прямої з віссю Y нанесіть другу точку, використовуючи вертикальну та горизонтальну відстані. Графік лінійної функціїможна побудувати за двома точками. У прикладі точка перетину з віссю Y має координати (0,5); від цієї точки пересуньтеся на 2 поділки вгору, а потім на 1 поділ вправо. Позначте точку; вона матиме координати (1,7). Тепер можна здійснити пряму.

   За допомогою лінійки проведіть пряму через дві точки.Щоб уникнути помилок, знайдіть третю точку, але в більшості випадків графік можна побудувати по двох точках. Таким чином, ви збудували графік лінійної функції.

   Нанесення точок на координатну площину

   1. Визначте функцію.Функція позначається як f(x). Усі можливі значеннязмінною «у» називаються областю значень функції, проте можливі значення змінної «х» називаються областю визначення функції. Наприклад, розглянемо функцію y = x+2, саме f(x) = x+2.

      Намалюйте дві перпендикулярні прямі, що перетинаються.Горизонтальна пряма це вісь Х. Вертикальна пряма це вісь Y.

      Позначте осі координат.Розбийте кожну вісь на рівні відрізки та пронумеруйте їх. Крапка перетину осей – це 0. Для осі Х: праворуч (від 0) наносяться позитивні числа, а зліва негативні. Для осі Y: згори (від 0) наносяться позитивні числа, а знизу негативні.

      Знайдіть значення "у" за значеннями "х".У прикладі f(x) = х+2. Підставте до цієї формули певні значення «х», щоб обчислити відповідні значення «у». Якщо дана складна функція, спростіть її, відокремивши у на одній стороні рівняння.

      • -1: -1 + 2 = 1
      • 0: 0 +2 = 2
      • 1: 1 + 2 = 3

   2. Нанесіть крапки на координатну площину.Для кожної пари координат зробіть таке: знайдіть відповідне значення на осі Х та проведіть вертикальну лінію (пунктиром); знайдіть відповідне значення на осі Y та проведіть горизонтальну лінію (пунктиром). Позначте точку перетину двох пунктирних ліній; таким чином ви нанесли точку графіка.

      Зітріть пунктирні лінії.Зробіть це після нанесення на координатну площину всіх точок графіка. Примітка: графік функції f(х) = х являє собою пряму через центр координат [точку з координатами (0,0)]; графік f(х) = х + 2 - це пряма, паралельна прямий f(х) = х, але зрушена на дві одиниці вгору і тому проходить через точку з координатами (0,2) (бо постійна дорівнює 2).

   Побудова графіка складної функції

   Знайдіть нулі функції.Нулі функції - це значення змінної "х", при яких у = 0, тобто це точки перетину графіка з віссю Х. Майте на увазі, що нулі мають не всі функції, але це перший крок процесу побудови графіка будь-якої функції. Щоб знайти нулі, прирівняйте її до нуля. Наприклад:

   Знайдіть та позначте горизонтальні асимптоти.Асимптота - це пряма, до якої графік функції наближається, але ніколи не перетинає її (тобто в цій галузі функція не визначена, наприклад, при розподілі на 0). Асимптоту відзначте пунктирною лінією. Якщо змінна «х» знаходиться у знаменнику дробу (наприклад, y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac(1)(4-x^(2))))), прирівняйте знаменник до нуля і знайдіть "х". В отриманих значеннях змінної «х» функція не визначена (у нашому прикладі проведіть пунктирні лінії через х = 2 і х = -2), тому що на 0 ділити не можна. Але асимптоти існують у випадках, коли функція містить дробовий вираз. Тому рекомендується користуватися здоровим глуздом:

Побудувати функцію

Ми пропонуємо до вашої уваги сервіс з потроєння графіків функцій онлайн, всі права на який належать компанії Desmos. Для введення функцій скористайтесь лівою колонкою. Можна вводити вручну або за допомогою віртуальної клавіатури внизу вікна. Для збільшення вікна з графіком можна приховати як ліву колонку, і віртуальну клавіатуру.

Переваги побудови графіків онлайн

• Візуальне відображення функцій, що вводяться
• Побудова дуже складних графіків
• Побудова графіків, заданих неявно (наприклад, еліпс x^2/9+y^2/16=1)
• Можливість зберігати графіки та отримувати на них посилання, яке стає доступним для всіх в інтернеті.
• Управління масштабом, кольором ліній
• Можливість побудови графіків за точками, використання констант
• Побудова одночасно кількох графіків функцій
• Побудова графіків у полярній системі координат (використовуйте r та θ(\theta))

З нами легко в режимі онлайн будувати графіки різної складності. Побудова провадиться миттєво. Сервіс затребуваний знаходження точок перетину функцій, зображення графіків для подальшого їх переміщення в Word документ як ілюстрацій під час вирішення завдань, для аналізу поведінкових особливостей графіків функцій. Оптимальним браузером для роботи з графіками на цій сторінці є Google Chrome. У разі використання інших браузерів коректність роботи не гарантується.

Для початку спробуй знайти область визначення функції:

Впорався? Порівняємо відповіді:

Все правильно? Молодець!

Тепер спробуємо знайти область значень функції:

Знайшов? Порівнюємо:

Зійшлося? Молодець!

Ще раз попрацюємо з графіками, тільки тепер трохи складніше - знайти і область визначення функції, і область значень функції.

Як знайти область визначення і область значень функції (просунутий варіант)

Ось що вийшло:

З графіками, я гадаю, ти розібрався. Тепер спробуємо відповідно до формул знайти область визначення функції (якщо ти не знаєш як це зробити, прочитай розділ про ):

Впорався? Звіримо відповіді:

1. , так як підкорене вираз має бути більше або дорівнює нулю.
2. , Так як на нуль ділити не можна і підкорене вираз не може бути негативним.
3. , оскільки відповідно при всіх.
4. , Так як на нуль ділити не можна.

Однак у нас залишився ще один нерозібраний момент.

Ще раз повторю визначення і зроблю на ньому акцент:

Помітив? Слово «єдиний» - це дуже-дуже важливий елементнашого визначення. Постараюся пояснити тобі на пальцях.

Допустимо, у нас є функція, задана прямою. . При, ми підставляємо це значення в наше «правило» і отримуємо, що. Одному значенню відповідає одне значення. Ми навіть можемо скласти таблицю різних значень і побудувати графік цієї функції, щоб у цьому.

«Дивися! - скажеш ти, - «» зустрічається двічі!» Так можливо парабола не є функцією? Ні, є!

Те, що «» зустрічається двічі далеко не привід звинувачувати параболу у неоднозначності!

Справа в тому, що, при розрахунку для, ми отримали один гравець. І при розрахунку ми отримали один гравець. Так що все правильно, парабола є функцією. Подивися на графік:

Розібрався? Якщо ні, ось тобі життєвий прикладСоовсем далекий від математики!

Припустимо, у нас є група абітурієнтів, які познайомилися під час подачі документів, кожен із яких у розмові розповів, де він живе.

Погодься, цілком реально, що кілька хлопців живуть в одному місті, але неможливо, щоб одна людина жила в кількох містах одночасно. Це ніби логічне уявлення нашої «параболи» - кільком різним ікс відповідає той самий ігрок.

Тепер вигадаємо приклад, коли залежність не буде функцією. Допустимо, ці ж хлопці розповідали, на які спеціальності вони подали документи:

Тут у нас зовсім інша ситуація: одна людина може спокійно подати документи як на один, так і на кілька напрямків. Тобто одному елементубезлічі ставиться у відповідність кілька елементівмножини. Відповідно, це функція.

Перевіримо твої знання практично.

Визнач за малюнками, що є функцією, а що ні:

Розібрався? А ось і відповіді:

• Функцією є - В,Є.
• Функцією не є – А, Б, Г, Д.

Ти спитаєш чому? Та ось чому:

На всіх малюнках крім в)і Е)на один доводиться кілька!

Впевнена, тепер, ти з легкістю відрізниш функцію від функції, скажеш, що таке аргумент і що таке залежна змінна, а так само визначиш область допустимих значень аргументу і область визначення функції. Приступаємо до наступного розділу – як задати функцію?

Способи завдання функції

Як ти вважаєш, що означають слова "задати функцію"? Правильно, це означає пояснити всім охочим, про яку функцію в даному випадку йдеться. Причому пояснити так, щоб кожен зрозумів тебе правильно і намальовані людьми на твоє пояснення графіки функцій були однакові.

Як це можна зробити? Як встановити функцію?Найпростіший спосіб, який вже не раз застосовувався у цій статті за допомогою формули.Ми пишемо формулу, і, підставляючи у ній значення, обчислюємо значення. А як ти пам'ятаєш, формула - це закон, правило, за яким нам та іншій людині стає ясно, як ікс перетворюється на ігрек.

Зазвичай, саме так і роблять - у завданнях ми бачимо вже готові функції, задані формулами, однак, існують інші способи задати функцію, про які всі забувають, у зв'язку з чим питання «як ще можна задати функцію?» ставить у глухий кут. Розберемося у всьому порядку, а почнемо з аналітичного способу.

Аналітичний спосіб завдання функції

Аналітичний спосіб і є завдання функції з допомогою формули. Це універсальний і вичерпний і однозначний спосіб. Якщо у тебе є формула, то ти знаєш про функцію абсолютно все – ти можеш скласти по ній табличку значень, можеш побудувати графік, визначити, де функція зростає, а де зменшується, загалом, дослідити її за повною програмою.

Розглянемо функцію. Чому одно?

Що це означає? - Запитаєш ти. Зараз поясню.

Нагадаю, що у записі вираз у дужках називається аргументом. І цей аргумент може бути будь-яким виразом, не обов'язково простим. Відповідно, яким би не був аргумент (вираз у дужках), ми його запишемо натомість у виразі.

У нашому прикладі вийде так:

Розглянемо ще завдання, пов'язане з аналітичним способом завдання функції, яке буде на іспиті.

Знайдіть значення виразу, при.

Впевнена, що спочатку, ти злякався, побачивши такий вираз, але в ньому немає нічого страшного!

Все як і в минулому прикладі: яким би не був аргумент (вираз у дужках), ми його запишемо натомість у виразі. Наприклад, для функції.

Що ж потрібно зробити у нашому прикладі? Замість треба написати, а замість - :

скоротити вираз, що вийшов:

Ось і все!

Самостійна робота

Тепер спробуй самостійно знайти значення наступних виразів:

1. , якщо
2. , якщо

Впорався? Порівняємо наші відповіді: Ми звикли, що функція має вигляд

Навіть у наших прикладах ми задаємо функцію саме таким чином, проте аналітично можна задати функцію у неявному вигляді, наприклад.

Спробуй збудувати цю функцію самостійно.

Впорався?

Ось як будувала її я.

Яке рівняння ми вивели?

Правильно! Лінійне, а це означає, що графіком буде пряма лінія. Зробимо табличку, щоб визначити, які точки належать нашій прямій:

Ось саме те, про що ми говорили... Одному відповідає кілька.

Спробуємо намалювати те, що вийшло:

Чи є те, що ми отримали функцією?

Правильно, ні! Чому? Спробуй відповісти на це запитання малюнком. Що в тебе вийшло?

«Оскільки одному значенню відповідає кілька значень!»

Який висновок ми з цього можемо зробити?

Правильно, функція не завжди може бути виражена явно, і не завжди те, що замасковано під функцію є функцією!

Табличний спосіб завдання функції

Як випливає з назви, цей спосіб є простою табличкою. Так, так. На кшталт тієї, якою ми з тобою вже становили. Наприклад:

Тут ти одразу помітив закономірність - ігрек утричі більший за ікс. А тепер завдання на «дуже добре подумати»: як ти вважаєш, чи функція, задана у вигляді таблиці, функції?

Не будемо довго міркувати, а малюватимемо!

Отже. Малюємо функцію, задану шпалерами способами:

Бачиш різницю? Справа зовсім не у зазначених точках! Придивись уважніше:

Тепер побачив? Коли ми задаємо функцію табличним способом, ми на графіку відображаємо тільки ті точки, які є у нас у таблиці та лінія (як у нашому випадку) проходить лише через них. Коли ми задаємо функцію аналітичним способом, ми можемо взяти будь-які точки, і наша функція не обмежується. Ось така особливість. Запам'ятай!

Графічний спосіб побудови функції

Графічний спосіб побудови функції не менш зручний. Ми малюємо нашу функцію, а інша зацікавлена ​​людина може знайти чому дорівнює ігорок при певному ікс і так далі. Графічний та аналітичний методи одні з найпоширеніших.

Однак тут потрібно пам'ятати про що ми з тобою говорили на самому початку - не кожна «загогулина» намальована в системі координат є функцією! Згадав? Про всяк випадок скопіюю тобі сюди визначення, що функцією є:

Як правило, люди зазвичай називають саме ті три способи завдання функції, які ми розібрали – аналітичний (за допомогою формули), табличний та графічний, геть-чисто забуваючи про те, що функцію можна словесно описати. Як це? Так, дуже просто!

Словесний опис функції

Як описати функцію словесно? Візьмемо наш недавній приклад. Цю функцію можна описати «кожного дійсного значення ікс відповідає його потрійне значення». Ось і все. Нічого складного. Ти, звичайно, заперечиш – «є настільки складні функції, які словесно поставити просто неможливо! Так, є такі, але є функції, які описати словесно легше, ніж задати формулою. Наприклад: "кожному натуральному значенню ікс відповідає різниця між цифрами, з яких він складається, при цьому за зменшуване береться найбільша цифра, що міститься в записі числа". Тепер розглянемо, як наш словесний опис функції реалізується практично:

Найбільша цифра у даному числі- , відповідно, - зменшення, тоді:

Основні види функцій

Тепер перейдемо до найцікавішого - розглянемо основні види функцій, з якими ти працював/працюєш і працюватимеш в курсі шкільної та інститутської математики, тобто познайомимося з ними, так би мовити і дамо їм коротку характеристику. Докладніше про кожну функцію читай у відповідному розділі.

Лінійна функція

Функція виду, де, - дійсні числа.

Графіком цієї функції служить пряма, тому побудова лінійної функції зводиться до знаходження координат двох точок.

Положення прямої на координатній площині залежить від кутового коефіцієнта.

Область визначення функції (як область допустимих значень аргументу) - .

Область значень - .

Квадратична функція

Функція виду, де

Графіком функції є парабола, при гілки параболи спрямовані вниз, при вгору.

Багато властивостей квадратичної функціїзалежить від значення дискримінанта. Дискримінант обчислюється за формулою

Положення параболи на координатній площині щодо значення та коефіцієнта показано на малюнку:

Область визначення

Область значень залежить від екстремуму цієї функції (точки вершини параболи) та коефіцієнта (напрямки гілок параболи)

Зворотня пропорційність

Функція, що задається формулою, де

Число називається коефіцієнтом зворотної пропорційності. Залежно від того, яке значення, гілки гіперболи знаходяться у різних квадратах:

Область визначення - .

Область значень - .

КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

1. Функцією називається правило, за яким кожному елементу множини ставиться у відповідність єдиний елемент множини.

• - це формула, що означає функцію, тобто залежність однієї змінної від іншої;
• - змінна величина, або аргумент;
• - залежна величина - змінюється при зміні аргументу, тобто згідно з будь-якою певній формулі, Що відбиває залежність однієї величини від іншої.

2. Допустимі значення аргументу, чи область визначення функції - те, що пов'язані з можливими, у яких функція має сенс.

3. Область значень функції- це те, які значення набуває, при допустимих значеннях.

4. Існує 4 способи завдання функції:

• аналітичний (за допомогою формул);
• табличний;
• графічний
• словесний опис.

5. Основні види функцій:

• : , де, - дійсні числа;
• : , де;
• : , де.