Одним із методів вивчення стохастичних зв'язків між ознаками є регресійний аналіз.
Регресійний аналізє висновок рівняння регресії, за допомогою якого знаходиться середня величина випадкової змінної (ознака-результату), якщо величина іншої (або інших) змінних (ознак-факторів) відома. Він включає такі етапи:
- вибір форми зв'язку (виду аналітичного рівняння регресії);
- оцінку параметрів рівняння;
- оцінку якості аналітичного рівняння регресії
У разі лінійного парного зв'язку рівняння регресії набуде вигляду: y i =a+b·x i +u i . Параметри даного рівняння а та b оцінюються за даними статистичного спостереження x та y. Результатом такої оцінки є рівняння: , де - оцінки параметрів a і b - значення результативної ознаки (змінної), отримане за рівнянням регресії (розрахункове значення).
Найчастіше для оцінки параметрів використовують Метод найменших квадратів (МНК).
Метод найменших квадратів дає найкращі (заможні, ефективні та незміщені) оцінки параметрів рівняння регресії. Але тільки в тому випадку, якщо виконуються певні передумови щодо випадкового члена (u) та незалежної змінної (x) (див. передумови МНК).
Завдання оцінювання параметрів лінійного парного рівняння методом найменших квадратівполягає в наступному: отримати такі оцінки параметрів , при яких сума квадратів відхилень фактичних значень результативної ознаки - y i від розрахункових значень - мінімальна.
Формально критерій МНКможна записати так: 
.
Класифікація методів найменших квадратів
- Метод найменших квадратів.
- Метод максимальної правдоподібності (для нормальної класичної лінійної моделі регресії постулюється нормальність регресійних залишків).
- Узагальнений метод найменших квадратів ОМНК застосовується у разі автокореляції помилок та у разі гетероскедастичності.
- Метод зважених найменших квадратів ( окремий випадокОМНК із гетероскедастичними залишками).
Проілюструємо суть класичного методунайменших квадратів графічно. Для цього побудуємо точковий графік за даними спостережень (x i, y i, i = 1; n) прямокутної системикоординат (такий точковий графік називають кореляційним полем). Спробуємо підібрати пряму лінію, яка найближче розташована до точок кореляційного поля. Відповідно до методу найменших квадратів лінія вибирається так, щоб сума квадратів відстаней по вертикалі між точками кореляційного поля та цією лінією була б мінімальною. 
Математичний запис даної задачі: 
.
Значення y i x i =1...n нам відомі, це дані спостережень. У функції S вони є константи. Змінними у цій функції є оцінки параметрів - , . Щоб визначити мінімум функції двох змінних потрібно обчислити приватні похідні цієї функції у кожному з властивостей і прирівняти їх нулю, тобто. 
.
В результаті отримаємо систему з двох нормальних лінійних рівнянь: 
Вирішуючи цю системузнайдемо шукані оцінки параметрів: 
Правильність розрахунку параметрів рівняння регресії може бути перевірена порівнянням сум (можлива деяка розбіжність через заокруглення розрахунків).
Для розрахунку оцінок параметрів можна побудувати таблицю 1.
Знак коефіцієнта регресії b вказує напрямок зв'язку (якщо b >0, зв'язок прямий, якщо b<0, то связь обратная). Величина b показывает на сколько единиц изменится в среднем признак-результат -y при изменении признака-фактора - х на 1 единицу своего измерения.
Формально значення параметра а – середнє значення y при рівному нулю. Якщо ознака-фактор немає і може мати нульового значення, то вищевказане трактування параметра немає сенсу.
Оцінка тісноти зв'язку між ознаками
здійснюється за допомогою коефіцієнта лінійної парної кореляції - r x, y. Він може бути розрахований за формулою: 
. Крім того, коефіцієнт лінійної парної кореляції може бути визначений через коефіцієнт регресії b: 
.
Область допустимих значень лінійного коефіцієнта парної кореляції від -1 до +1. Знак коефіцієнта кореляції вказує напрямок зв'язку. Якщо r x, y >0, то зв'язок прямий; якщо r x, y<0, то связь обратная.
Якщо даний коефіцієнт по модулю близький до одиниці, то зв'язок між ознаками може бути інтерпретований як досить тісний лінійний. Якщо його модуль дорівнює одиниці r x , y = 1, то зв'язок між ознаками функціональна лінійна. Якщо ознаки х і y лінійно незалежні, то r x y близький до 0.
Для розрахунку r x, y можна також використовувати таблицю 1.
Для оцінки якості отриманого рівняння регресії розраховують теоретичний коефіцієнт детермінації - R 2 yx: 
,
де d 2 - Пояснена рівнянням регресії дисперсія y;
e 2 - залишкова (непояснена рівнянням регресії) дисперсія y;
s 2 y - загальна (повна) дисперсія y.
Коефіцієнт детермінації характеризує частку варіації (дисперсії) результативної ознаки y, що пояснюється регресією (а, отже, і фактором х), у загальній варіації (дисперсії) y. Коефіцієнт детермінації R 2 yx приймає значення від 0 до 1. Відповідно величина 1-R 2 yx характеризує частку дисперсії y викликану впливом інших неврахованих в моделі факторів і помилками специфікації.
При парної лінійної регресії R 2 yx = r 2 yx.
Знаходить широке застосування економетриці як чіткої економічної інтерпретації її параметрів.
Лінійна регресія зводиться до знаходження рівняння виду
або
Рівняння виду дозволяє за заданими значеннями параметра хмати теоретичні значення результативної ознаки, підставляючи в нього фактичні значення фактора х.
Побудова лінійної регресії зводиться до оцінки її параметрів аі в.Оцінки параметрів лінійної регресії можна знайти різними методами.
Класичний підхід до оцінювання параметрів лінійної регресії заснований на методі найменших квадратів(МНК).
МНК дозволяє отримати такі оцінки параметрів аі в,при яких сума квадратів відхилень фактичних значень результативної ознаки (у)від розрахункових (теоретичних) мінімальна:
Щоб знайти мінімум функції, треба обчислити часткові похідні по кожному з параметрів аі bта прирівняти їх до нуля.
Позначимо через S, тоді:
Перетворюючи формулу, отримаємо наступну систему нормальних рівнянь для оцінки параметрів аі в:
Вирішуючи систему нормальних рівнянь (3.5) або методом послідовного виключення змінних, або методом визначників, знайдемо оцінки параметрів, що шукаються аі в.
Параметр вназивається коефіцієнтом регресії. Його величина показує середню зміну результату із зміною фактора на одну одиницю.
Рівняння регресії завжди доповнюється показником тісноти зв'язку. При використанні лінійної регресії як такий показник виступає лінійний коефіцієнт кореляції. Існують різні модифікації формули лінійного коефіцієнта кореляції. Деякі з них наведені нижче:
Як відомо, лінійний коефіцієнт кореляції знаходиться у межах: -1 ≤ ≤ 1.
Для оцінки якості підбору лінійної функції розраховується квадрат
Лінійний коефіцієнт кореляції званий коефіцієнтом детермінації.Коефіцієнт детермінації характеризує частку дисперсії результативної ознаки у,пояснювану регресією, у спільній дисперсії результативної ознаки:
Відповідно величина 1 - характеризує частку диспер-сії у,викликану впливом інших не врахованих у моделі чинників.
Запитання для самоконтролю
1. Суть методу найменших квадратів?
2. Скільки змінних надається парна регресія?
3. Яким коефіцієнтом визначається тіснота зв'язку між змінами?
4. У яких межах визначається коефіцієнт детермінації?
5. Оцінка параметра b у кореляційно-регресійному аналізі?
1. Крістофер Доугерті. Введення в економетрію. – М.: ІНФРА – М, 2001 – 402 с.
2. С.А. Бородіч. Економетрики. Мінськ ТОВ "Нове знання" 2001.
3. Р.У. Рахметова Короткий курс економетрики. Навчальний посібник Алмати. 2004. -78с.
4. І.І. Елісєєва. Економетрика. - М.: «Фінанси та статистика», 2002
5. Щомісячний інформаційно-аналітичний журнал.
Нелінійні економічні моделі. Нелінійні моделі регресії. Перетворення змінних.
Нелінійні економічні моделі.
Перетворення змінних.
Коефіцієнт еластичності.
Якщо між економічними явищами існують нелінійні співвідношення, то вони виражаються за допомогою відповідних нелінійних функцій: наприклад, рівносторонньої гіперболи , параболи другого ступеня та д.р.
Розрізняють два класи нелінійних регресій:
1. Регресії, нелінійні щодо включених в аналіз пояснюючих змінних, але лінійні за параметрами, що оцінюються, наприклад:
Поліноми різних ступенів - ;
Рівностороння гіпербола -;
Напівлогарифмічна функція - .
2. Регресії, нелінійні за параметрами, що оцінюються, наприклад:
Ступінна -;
Показова -;
Експонентна - .
Загальна сума квадратів відхилень індивідуальних значень результативної ознаки увід середнього значення спричинена впливом безлічі причин. Умовно розділимо всю сукупність причин на дві групи: досліджуваний фактор хі інші фактори.
Якщо фактор не впливає на результат, то лінія регресії на графіку паралельна осі охі
Тоді вся дисперсія результативної ознаки обумовлена впливом інших факторів і загальна сума квадратів відхилень збігатиметься з залишковою. Якщо інші чинники не впливають на результат, то у пов'язанийз хфункціонально та залишкова сума квадратів дорівнює нулю. І тут сума квадратів відхилень, пояснена регресією, збігається із загальною сумою квадратів.
Оскільки не всі точки поля кореляції лежать на лінії регресії, то завжди має місце їх розкид як обумовлений впливом фактора х, тобто регресією упо х,і викликаний дією інших причин (непояснена варіація). Придатність лінії регресії для прогнозу залежить від того, яка частина загальної варіації ознаки уприпадає на пояснену варіацію
Очевидно, що якщо сума квадратів відхилень, обумовлена регресією, буде більшою від залишкової суми квадратів, то рівняння регресії статистично значуще і фактор хістотно впливає на результат у.
, тобто з числом свободи незалежного варіювання ознаки. Число ступенів свободи пов'язане з числом одиниць сукупності n і з числом констант, що визначаються за нею. Стосовно досліджуваної проблеми число ступенів свободи має показати, скільки незалежних відхилень з п
Оцінка значущості рівняння регресії в цілому дається за допомогою F-Крітерія Фішера. У цьому висувається нульова гіпотеза, що коефіцієнт регресії дорівнює нулю, тобто. b = 0, і отже, фактор хне впливає на результат у.
Безпосереднім розрахунком F-критерію передує аналіз дисперсії. Центральне місце в ньому займає розкладання загальної суми квадратів відхилень змінної увід середнього значення уна дві частини - «пояснену» та «непояснену»:
Загальна сума квадратів відхилень;
Сума квадратів відхилення пояснена регресією;
Залишкова сума квадратів відхилення.
Будь-яка сума квадратів відхилень пов'язана з числом ступенів свободи , тобто з числом свободи незалежного варіювання ознаки. Число ступенів свободи пов'язане з числом одиниць сукупності nі з числом визначених нею констант. Стосовно досліджуваної проблеми число ступенів свободи має показати, скільки незалежних відхилень з пможливих потрібно освіти цієї суми квадратів.
Дисперсія на один ступінь свободиD.
F-відносини (F-критерій):
Якщо нульова гіпотеза справедливато факторна і залишкова дисперсії не відрізняються один від одного. Для Н 0 необхідно спростування, щоб факторна дисперсія перевищувала залишкову у кілька разів. Англійським статистиком Снедекором розроблені таблиці критичних значень F-відносин при різних рівнях суттєвості нульової гіпотези та різному числі ступенів свободи. Табличне значення F-критерія - це максимальна величина відношення дисперсій, яка може мати місце при випадковому їх розбіжності для даного рівня ймовірності наявності нульової гіпотези. Обчислене значення F-відносини визнається достовірним, якщо про більше табличного.
У цьому випадку нульова гіпотеза про відсутність зв'язку ознак відхиляється і робиться висновок про суттєвість зв'язку: F факт > F таблН0 відхиляється.
Якщо ж величина виявиться меншою за табличну F факт ‹, F табл, то ймовірність нульової гіпотези вище заданого рівня і вона може бути відхилена без серйозного ризику зробити неправильний висновок про наявність зв'язку. І тут рівняння регресії вважається статистично незначимим. Але не відхиляється.
Стандартна помилка коефіцієнта регресії
Для оцінки суттєвості коефіцієнта регресії його величина порівнюється з його стандартною помилкою, тобто визначається фактичне значення t-критерія Стьюдентa: яке потім порівнюється з табличним значенням при певному рівні значущості та числі ступенів свободи ( n- 2).
Стандартна помилка параметра а:
Значимість лінійного коефіцієнта кореляції перевіряється на основі величини помилки коефіцієнта кореляції т r:
Загальна дисперсія ознаки х:
Множинна лінійна регресія
Побудова моделі
Множинна регресіяє регресією результативної ознаки з двома і більшим числом факторів, тобто модель виду
Регресія може дати гарний результатпри моделюванні, якщо впливом інших факторів, що впливають на об'єкт дослідження, можна знехтувати. Поведінка окремих економічних змінних контролювати не можна, тобто не вдається забезпечити рівність всіх інших умов для оцінки впливу одного досліджуваного фактора. У цьому випадку слід спробувати виявити вплив інших факторів, ввівши їх у модель, тобто пострівняти рівняння множинної регресії: y = a+b 1 x 1 +b 2 +…+b p x p + .
Основна мета множинної регресії - побудувати модель з великою кількістю факторів, визначивши при цьому вплив кожного з них окремо, а також сукупний їх вплив на показник, що моделюється. Специфікація моделі включає два кола питань: відбір факторів і вибір виду рівняння регресії
Якщо деяка фізична величиназалежить від іншої величини, то цю залежність можна досліджувати, вимірюючи y за різних значень x . В результаті вимірів виходить ряд значень:
x 1, x 2, ..., x i, ..., x n;
y 1 , y 2 , ..., y i , ... , y n .
За даними такого експерименту, можна побудувати графік залежності y = ƒ(x). Отримана крива дозволяє судити про вид функції ƒ(x). Однак постійні коефіцієнти, які входять до цієї функції, залишаються невідомими. Визначити їх дозволяє метод найменших квадратів. Експериментальні точки, зазвичай, не лягають точно на криву. Метод найменших квадратів вимагає, щоб сума квадратів відхилень експериментальних точок від кривої, тобто. 2 була найменшою.
Насправді цей метод найчастіше (і найпростіше) використовується у разі лінійної залежності, тобто. коли
y = kxабо y = a + bx.
Лінійна залежністьдуже поширена у фізиці. І навіть коли нелінійна залежність, зазвичай намагаються будувати графік так, щоб отримати пряму лінію. Наприклад, якщо припускають, що показник заломлення скла n пов'язаний з довжиною λ світлової хвилі співвідношенням n = a + b/λ 2 то на графіку будують залежність n від λ -2 .
Розглянемо залежність y = kx(Пряма, що проходить через початок координат). Складемо величину φ | суму квадратів відхилень наших точок від прямої
Величина φ завжди позитивна і виявляється тим меншою, чим ближче до прямої лежать наші точки. Метод найменших квадратів стверджує, що для k слід вибирати таке значення, при якому має мінімум
або
(19)
Обчислення показує, що середньоквадратична помилка визначення величини k дорівнює при цьому
, (20)
де n число вимірювань.
Розглянемо тепер трохи більше важкий випадок, коли точки повинні задовольнити формулу y = a + bx(Пряма, що не проходить через початок координат).
Завдання полягає в тому, щоб за наявним набором значень x i , y знайти найкращі значення a і b.
Знову складемо квадратичну форму φ , рівну сумі квадратів відхилень точок x i , y i від прямої
і знайдемо значення a і b , при яких має мінімум
;
.
Спільне рішення цих рівнянь дає
(21)
Середньоквадратичні помилки визначення a та b рівні
(23)
. (24)
При обробці результатів вимірювання цим методом зручно всі дані зводити в таблицю, в якій попередньо підраховуються всі суми, що входять до формул (19) (24). Форми цих таблиць наведені в наведених нижче прикладах.
приклад 1.Досліджувалося основне рівняння динаміки обертального рухуε = M/J (пряма, яка проходить через початок координат). При різних значеннях моменту M вимірювалося кутове прискорення деякого тіла ε. Потрібно визначити момент інерції цього тіла. Результати вимірювань моменту сили та кутового прискорення занесені до другого та третього стовпців таблиці 5.
Таблиця 5
| n | M, Н · м | ε, c -1 | M 2 | M · ε | ε - kM | (ε - kM) 2 |
| 1 | 1.44 | 0.52 | 2.0736 | 0.7488 | 0.039432 | 0.001555 |
| 2 | 3.12 | 1.06 | 9.7344 | 3.3072 | 0.018768 | 0.000352 |
| 3 | 4.59 | 1.45 | 21.0681 | 6.6555 | -0.08181 | 0.006693 |
| 4 | 5.90 | 1.92 | 34.81 | 11.328 | -0.049 | 0.002401 |
| 5 | 7.45 | 2.56 | 55.5025 | 19.072 | 0.073725 | 0.005435 |
| ∑ | | | 123.1886 | 41.1115 | | 0.016436 |
За формулою (19) визначаємо:
.
Для визначення середньоквадратичної помилки скористаємося формулою (20)
0.005775кг-1 · м -2 .
За формулою (18) маємо
S J = (2.996 · 0.005775) / 0.3337 = 0.05185 кг · м 2.
Задавшись надійністю P = 0.95, за таблицею коефіцієнтів Стьюдента для n = 5, знаходимо t = 2.78 і визначаємо абсолютну помилку ΔJ = 2.78 · 0.05185 = 0.1441 ≈ 0.2 кг · м 2.
Результати запишемо у вигляді:
J = (3.0 ± 0.2) кг · м 2;
приклад 2.Обчислимо температурний коефіцієнт опору металу методом найменших квадратів. Опір залежить від температури за лінійним законом
R t = R 0 (1 + α t °) = R 0 + R 0 α t °.
Вільний член визначає опір R 0 при температурі 0 ° C , а кутовий коефіцієнт твір температурного коефіцієнтаα на опір R 0 .
Результати вимірювань та розрахунків наведені в таблиці ( див. таблицю 6).
Таблиця 6
| n | t°, c | r, Ом | t-¯ t | (t-¯ t) 2 | (t-¯ t)r | r - bt - a | (r - bt - a) 2,10 -6 |
| 1 | 23 | 1.242 | -62.8333 | 3948.028 | -78.039 | 0.007673 | 58.8722 |
| 2 | 59 | 1.326 | -26.8333 | 720.0278 | -35.581 | -0.00353 | 12.4959 |
| 3 | 84 | 1.386 | -1.83333 | 3.361111 | -2.541 | -0.00965 | 93.1506 |
| 4 | 96 | 1.417 | 10.16667 | 103.3611 | 14.40617 | -0.01039 | 107.898 |
| 5 | 120 | 1.512 | 34.16667 | 1167.361 | 51.66 | 0.021141 | 446.932 |
| 6 | 133 | 1.520 | 47.16667 | 2224.694 | 71.69333 | -0.00524 | 27.4556 |
| ∑ | 515 | 8.403 | | 8166.833 | 21.5985 | | 746.804 |
| ∑/n | 85.83333 | 1.4005 | | | | | |
За формулами (21), (22) визначаємо
R 0 = ? R - α R 0 ? Ом.
Знайдемо помилку у визначенні α. Оскільки , то за формулою (18) маємо:
.
Користуючись формулами (23), (24) маємо
;
0.014126 Ом.
Задавшись надійністю P = 0.95, за таблицею коефіцієнтів Стьюдента для n = 6, знаходимо t = 2.57 та визначаємо абсолютну помилку Δα = 2.57 · 0.000132 = 0.000338 град -1.
α = (23 ± 4) · 10 -4 град-1 за P = 0.95.
приклад 3.Потрібно визначити радіус кривизни лінзи по кільцях Ньютона. Вимірювалися радіуси кілець Ньютона r m та визначалися номери цих кілець m. Радіуси кілець Ньютона пов'язані з радіусом кривизни лінзи R і номером кільця рівнянням
r 2 m = mλR - 2d 0 R,
де d 0 товщина зазору між лінзою і плоскопаралельною пластинкою (або деформація лінзи),
λ | довжина хвилі падаючого світла.
λ = (600 ± 6) нм;
r 2 m = y;
m = x;
λR = b;
-2d 0 R = a,
тоді рівняння набуде вигляду y = a + bx.
.Результати вимірювань та обчислень занесені до таблицю 7.
Таблиця 7
| n | x = m | y = r 2 10 -2 мм 2 | m - m | (m - m) 2 | (m - m)y | y - bx - a, 10 -4 | (y - bx - a) 2 , 10 -6 |
| 1 | 1 | 6.101 | -2.5 | 6.25 | -0.152525 | 12.01 | 1.44229 |
| 2 | 2 | 11.834 | -1.5 | 2.25 | -0.17751 | -9.6 | 0.930766 |
| 3 | 3 | 17.808 | -0.5 | 0.25 | -0.08904 | -7.2 | 0.519086 |
| 4 | 4 | 23.814 | 0.5 | 0.25 | 0.11907 | -1.6 | 0.0243955 |
| 5 | 5 | 29.812 | 1.5 | 2.25 | 0.44718 | 3.28 | 0.107646 |
| 6 | 6 | 35.760 | 2.5 | 6.25 | 0.894 | 3.12 | 0.0975819 |
| ∑ | 21 | 125.129 | | 17.5 | 1.041175 | | 3.12176 |
| ∑/n | 3.5 | 20.8548333 | | | | | |
Екстраполяція - це метод наукового дослідження, який ґрунтується на поширенні минулих та реальних тенденцій, закономірностей, зв'язків на майбутній розвиток об'єкта прогнозування. До методів екстраполяції відносяться метод ковзної середньої, метод експоненційного згладжування, метод найменших квадратів.
Сутність методу найменших квадратів полягає в мінімізації суми квадратичних відхилень між спостережуваними та розрахунковими величинами. Розрахункові величини перебувають за підібраним рівнянням – рівнянням регресії. Чим менша відстань між фактичними значеннями та розрахунковими, тим точніший прогноз, побудований на основі рівняння регресії.
Теоретичний аналізсутності явища, що вивчається, зміна якого відображається тимчасовим рядом, служить основою для вибору кривої. Іноді беруться до уваги міркування характері зростання рівнів ряду. Так, якщо зростання випуску продукції очікується у арифметичної прогресії, Згладжування проводиться по прямій. Якщо ж виявляється, що зростання йде в геометричній прогресії, то згладжування треба проводити за показовою функцією.
Робоча формула методу найменших квадратів : У t+1 = а * Х + b, де t + 1 – прогнозний період; Уt+1 – прогнозований показник; a та b - коефіцієнти; Х – умовне позначення часу.
Розрахунок коефіцієнтів a і b здійснюється за такими формулами:
де, УФ - фактичні значення низки динаміки; n – число рівнів часового ряду;
Згладжування часових рядів шляхом найменших квадратів служить відображення закономірності розвитку досліджуваного явища. У аналітичному вираженнітренда час розглядається як незалежна змінна, а рівні низки виступають як функція цієї незалежної змінної.
Розвиток явища залежить немає від цього, скільки років минуло з відправного моменту, як від того, які чинники впливали його розвиток, у напрямі і з якою інтенсивністю. Звідси ясно, що розвиток явища у часі постає як наслідок цих чинників.
Правильно встановити тип кривої, тип аналітичної залежності від часу – одна з найбільш складних завданьпередпрогнозного аналізу .
Підбір виду функції, що описує тренд, параметри якої визначаються методом найменших квадратів, проводиться в більшості випадків емпірично шляхом побудови ряду функцій і порівняння їх між собою за величиною середньоквадратичної помилки, що обчислюється за формулою:
де УФ - фактичні значення низки динаміки; Ур - розрахункові (згладжені) значення низки динаміки; n – число рівнів часового ряду; р - Число параметрів, що визначаються у формулах, що описують тренд (тенденцію розвитку).
Недоліки методу найменших квадратів :
- при спробі описати економічне явище, що вивчається, за допомогою математичного рівняння, прогноз буде точний для невеликого періоду часу і рівняння регресії слід перераховувати в міру надходження нової інформації;
- складність підбору рівняння регресії, яка можна розв'язати при використанні типових комп'ютерних програм.
Приклад застосування методу найменших квадратів для розробки прогнозу
Завдання . Є дані, що характеризують рівень безробіття у регіоні, %
- Побудуйте прогноз рівня безробіття в регіоні на листопад, грудень, січень місяці, використовуючи методи: ковзного середнього, експоненційного згладжування, найменших квадратів.
- Розрахуйте помилки отриманих прогнозів під час використання кожного методу.
- Порівняйте отримані результати, зробіть висновки.
Рішення методом найменших квадратів
Для вирішення складемо таблицю, в якій будемо проводити необхідні розрахунки:
Визначимо умовну позначку часу як послідовну нумерацію періодів бази прогнозу (графа 3). Розрахуємо графи 4 та 5. Розрахункові значення ряду Ур визначимо за формулою У t+1 = а*Х + b, де t + 1 – прогнозний період; Уt+1 – прогнозований показник; a та b - коефіцієнти; Х – умовне позначення часу.
Коефіцієнти a та b визначимо за такими формулами:
де, УФ - фактичні значення низки динаміки; n – число рівнів часового ряду.
а = / = - 0,17
b = 22,13/10 - (-0,17) * 55/10 = 3,15
Розраховуємо середню відносну помилку за такою формулою:
ε = 28,63/10 = 2,86% точність прогнозу висока.
Висновок : Порівнюючи результати, отримані при розрахунках методом ковзної середньої , методом експоненційного згладжування і методом найменших квадратів, можна сказати, що відносна середня помилка при розрахунках методом експоненційного згладжування потрапляє в межі 20-50%. Це означає, що точність прогнозу у разі є лише задовільною.
У першому та третьому випадку точність прогнозу є високою, оскільки середня відносна помилка менша за 10%. Але метод ковзних середніх дозволив отримати більш достовірні результати (прогноз на листопад – 1,52%, прогноз на грудень – 1,53%, прогноз на січень – 1,49%), оскільки середня відносна помилка під час використання цього найменша – 1 13%.
