Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку із постійними коефіцієнтами. Лінійні однорідні диференціальні рівняння Приватне рішення човна 2 порядку

Теорема.Якщо і – лінійно незалежні рішеннярівняння (2.3), їх лінійна комбінація , де і – довільні постійні, буде загальним рішенням цього рівняння.

Доказ.Те, що є рішення рівняння (2.3), випливає з теореми про властивості розв'язання човна 2-го порядку. Треба ще показати, що рішення буде загальним, тобто. Треба показати, що за будь-яких початкових умов можна вибрати довільні постійні і так, щоб задовольнити цим умовам. Запишемо початкові умови у вигляді:

Постійні і з цієї системи лінійних рівнянь алгебри визначаються однозначно, так як визначник цієї системи є значення визначника Вронського для лінійно незалежних рішень човна при : ,

а такий визначник, як ми бачили у попередньому параграфі, відмінний від нуля. Теорему доведено.

Побудова загального рішенняЛОДУ ІІ-го порядку з постійними коефіцієнтамиу випадку

13. простих коренів характеристичного рівняння (випадок D>0) (з док-вом).

14. кратного коріння характеристичного рівняння (випадок D=0) (з док-вом).

15. комплексно-сполучених коренів характеристичного рівняння (випадок D<0) (c док-вом).

Дано човна 2-го порядку з постійними коефіцієнтами (5.1), де , . Згідно з попереднім параграфом загальне рішення човна 2-го порядку легко визначається, якщо відомі два лінійно незалежні приватні рішення цього рівняння. p align="justify"> Простий метод знаходження приватних рішень рівняння з постійними коефіцієнтами запропонував Л. Ейлер. Це метод, який називається методом Ейлера, полягає в тому, що приватні рішення шукаються як .

Підставляючи цю функцію рівняння (5.1), після скорочення на , отримаємо рівняння алгебри, яке називається характеристичним: (5.2)

Функція буде розв'язуванням рівняння (5.1) тільки при тих значеннях k, які є корінням характеристичного рівняння (5.2). Залежно від величини дискримінанта можливі три випадки.

1. . Тоді коріння характеристичного рівняння різні: . Рішення та будуть лінійно незалежними, т.к. та загальне рішення (5.1) можна записати у вигляді .

2. . І тут і . Як друге лінійно незалежного рішення можна взяти функцію. Перевіримо, що ця функція відповідає рівнянню (5.1). Справді, , . Підставляючи ці вирази на рівняння (5.1), отримаємо

Або, т.к. та .

Приватні рішення та лінійно незалежні, т.к. . Отже, загальне рішення (5.1) має вигляд:

3. . І тут коріння характеристичного рівняння комплексно-спряжение: , де , . Можна перевірити, що лінійно незалежними рішеннями рівняння (5.1) будуть функції та . Переконаємося, що рівнянню (5.1) задовольняє, наприклад, функція y1. Справді, , . Підставивши ці вирази до рівняння (5.1), отримаємо

Обидві дужки в лівій частині цієї рівності тотожно дорівнюють нулю. Дійсно, ,

Таким чином, функція задовольняє рівняння (5.1). Аналогічно неважко переконатися, що є рішення рівняння (5.1). Оскільки , то загальне рішення матиме вид: .

16. Теорема про структуру загального рішення ЛНДУ ІІ-го порядку (з док-вом).

Теорема 1.Загальне рішення лнду 2-го порядку f(x) (6.1) представляється у вигляді суми загального рішення відповідного однорідного рівняння (6.2) та будь-якого приватного рішення лнду (6.1).

Доказ.Доведемо спершу, що буде рішенням рівняння (6.1). Для цього підставимо на рівняння (6.1): f(x). Ця рівність є тотожністю, т.к. та f(x). Отже є рішення рівняння (6.1).

Доведемо тепер, що це рішення є загальним, тобто. можна вибрати входять до нього довільні постійні, що задовольнятимуться будь-які початкові умови виду: , (6.3). Відповідно до теореми про структуру загального рішення лінійного однорідного диференціального рівняння (лоду) загальне рішення рівняння (6.2) можна подати у вигляді , де і – лінійно незалежні рішення цього рівняння. Отже: і, отже, початкові умови (6.3) можна записати як: або (6.4)

Довільні постійні і визначаються з цієї системи лінійних рівнянь алгебри однозначно при будь-яких правих частинах, т.к. визначник цієї системи = є значення визначника Вронського для лінійно незалежних рішень рівняння (6.2) при , а такий визначник, як ми бачили вище, відрізняється від нуля. Визначивши постійні і системи рівнянь (6.4) і підставивши їх у вираз , ми отримаємо приватне рішення рівняння (6.1), що задовольняє заданим початковим умовам. Теорему доведено.

17. Побудова приватного рішення ЛНДУ ІІ-го порядку у разі правої частини виду

Нехай у рівнянні (6.1) коефіцієнти постійні, тобто. рівняння має вигляд: f(x) (7.1) де .

Розглянемо спосіб пошуку приватного рішення рівняння (7.1) у разі, коли права частина f(x) має спеціальний вид. Цей метод називається методом невизначених коефіцієнтів і полягає у підборі приватного рішення залежно від виду правої частини f(x). Розглянемо праві частини такого виду:

1. f(x) , де - многочлен ступеня , причому деякі коефіцієнти, крім , можуть дорівнювати нулю. Вкажемо вигляд, у якому треба брати приватне рішення у цьому випадку.

а) Якщо число не є коренем характеристичного рівняння для рівняння (5.1), то окреме рішення записуємо у вигляді: , де – невизначені коефіцієнти, що підлягають визначенню методом невизначених коефіцієнтів.

б) Якщо є коренем кратності відповідного характеристичного рівняння, то приватне рішення шукаємо як: , де – невизначені коефіцієнти.

18. f(x) , де і - багаточлени ступеня і відповідно, причому один із цих многочленів може дорівнювати нулю. Вкажемо вид приватного рішення у цьому випадку.

А) Якщо число не є коренем характеристичного рівняння для рівняння (5.1), вид приватного рішення буде: , (7.2) де – невизначені коефіцієнти, а .

Б) Якщо число є коренем характеристичного рівняння для рівняння (5.1) кратності , то приватне рішення Лондона матиме вигляд: , (7.3) тобто. приватне рішення виду (7.2) треба помножити на . У виразі (7.3) - багаточлени з невизначеними коефіцієнтами, причому їх ступінь.

19. Метод варіації на вирішення ЛНДУ II-го порядку (метод Лагранжа).

Безпосереднє перебування приватного рішення Лондону, крім випадку рівняння з постійними коефіцієнтами, причому зі спеціальними вільними членами, становить великі труднощі. Тому для знаходження загального рішення ЛНД зазвичай застосовують метод варіації довільних постійних, який завжди дає можливість знайти загальне рішення ЛНД в квадратурах, якщо відома фундаментальна система рішень відповідного однорідного рівняння. Цей метод полягає у наступному.

Згідно з вищевикладеним, загальне рішення лінійного однорідного рівняння:

де - Лінійно незалежні на деякому інтервалі X рішення човна, а - довільні постійні. Будемо шукати приватне рішення Лондону у формі (8.1), вважаючи, що - не постійні, а деякі, поки невідомі, функції від: . (8.2) Продиференціюємо рівність (8.2): . (8.3)

Підберемо функції і те щоб виконувалася рівність: . Тоді замість (8.3) матимемо:

Продиференціюємо цей вираз ще раз . Через війну отримаємо: . (8.5) Підставимо (8.2), (8.4), (8.5) у лнду 2-го порядку f(x):

Або f (x). (8.6)

Оскільки - рішення лоду , то остання рівність (8.6) набуває вигляду: f(x).

Таким чином, функція (8.2) буде рішенням лнду в тому випадку, якщо функції задовольняють системі рівнянь:

(8.7)

Оскільки визначником цієї системи є визначник Вронського для двох лінійно незалежних на X рішень відповідного човна, він не звертається в нуль в жодній точці інтервалу X. Отже, вирішуючи систему (8.7), знайдемо і : і . Інтегруючи, на , , де – произв. пост.

Повертаючись на рівність (8.2), отримаємо загальне рішення неоднорідного рівняння: .

Ряди

1. Числові ряди. Основні поняття, властивості рядів, що сходяться. Необхідна ознака збіжності (з док-вом).

Основні визначення. Нехай дана нескінченна числова послідовність . Числовим поручназивається складена з членів цієї послідовності запис. Або. називають членами низки;називається загальним членом ряду. В результаті обчислення значень цієї функції при n =1, n =2,n =3, … повинні виходити члени низки .

Нехай дано ряд (18.1.1). Складемо з його членів кінцеві суми частковими сумами ряду:

Визначення. Якщо існує кінцева межа S послідовності часткових сум ряду (18.1.1) при , то кажуть, що ряд сходиться; число S називають сумою ряду та пишуть або .

Якщо не існує (у тому числі нескінченний), ряд називається розбіжним.

Властивості рядів, що сходяться. Необхідна ознака збіжності низки. Загальний член ряду, що сходить прагне до нуля при: Доказ.Якщо , то і , але , отже .

З перевірки виконання умови треба починати розв'язання будь-якого завдання на дослідження збіжності ряду: якщо ця умова не виконується, ряд свідомо розходиться. Ця умова необхідна, але замало збіжності ряду: загальний член гармонійного ряду (18.1.2) , проте цей ряд розходиться.

Визначення.Залишком ряду після n -го члена називається ряд .

Лінійне диференціальне рівняння (ЛДУ) 2-го порядку має такий вигляд:

де , , і – задані функції, безперервні тому проміжку, у якому шукається рішення. Припускаючи, що a 0 (x) ≠ 0, поділимо (2.1) на та, після введення нових позначень для коефіцієнтів, запишемо рівняння у вигляді:

Приймемо без доказу, що (2.2) має на деякому проміжку єдине рішення, що задовольняє будь-яким початковим умовам , якщо на аналізованому проміжку функції і безперервні. Якщо , то рівняння (2.2) називається однорідним, і рівняння (2.2) називається неоднорідним інакше.

Розглянемо властивості рішень човна 2-го порядку.

Визначення.Лінійною комбінацією функцій називається вираз , де - довільні числа.

Теорема.Якщо і – рішення човна

то їхня лінійна комбінація також буде рішенням цього рівняння.

Доказ.

Поставимо вираз у (2.3) і покажемо, що в результаті виходить тотожність:

Перегрупуємо складові:

Оскільки функції є рішеннями рівняння (2.3), то кожна з дужок в останньому рівнянні тотожно дорівнює нулю, що і вимагалося довести.

Наслідок 1.З доведеної теореми випливає при тому, що якщо – рішення рівняння (2.3), то є рішення цього рівняння.

Наслідок 2.Вважаючи , бачимо, що сума двох рішень човна також є рішенням цього рівняння.

Зауваження.Доведена в теоремі властивість рішень залишається справедливою для човна будь-якого порядку.

§3. Визначник Вронського.

Визначення.Система функцій називається лінійно незалежною на деякому проміжку, якщо жодна з цих функцій не представляється у вигляді лінійної комбінації решти.

У разі двох функцій це означає, що , тобто. . Остання умова можна переписати у вигляді або . Визначник, що стоїть у чисельнику цього виразу називається визначником Вронського для функцій та . Таким чином, визначник Вронського для двох лінійно незалежних функцій не може бути тотожно нульовим.

Нехай – визначник Вронського для лінійно незалежних рішень та рівняння (2.3). Переконайтеся, що функція задовольняє рівняння . (3.1)

Справді, . Оскільки функції задовольняють рівнянню (2.3), то , тобто. - Рішення рівняння (3.1). Знайдемо це рішення: ; . Звідки , . , , .

У правій частині цієї формули треба взяти знак плюс, тому що тільки в цьому випадку при виходить тотожність. Таким чином,

(3.2)

Ця формула називається формулою Ліувіля. Вище було показано, що визначник Вронського для лінійно незалежних функцій може бути тотожно дорівнює нулю. Отже, існує така точка , в якій визначник лінійно незалежних рішень рівняння (2.3) відмінний від нуля. Тоді з формули Ліувіля слід, що функція буде відмінна від нуля при всіх значеннях з проміжку, що розглядається, оскільки при будь-якому значенні обидва множника в правій частині формули (3.2) відмінні від нуля.

§4. Структура загального рішення човна 2-го порядку.

Теорема.Якщо і – лінійно незалежні рішення рівняння (2.3), то їхня лінійна комбінація , де і довільні постійні, буде загальним рішенням цього рівняння.

Доказ.

Те, що Існує рішення рівняння (2.3), випливає з теореми про властивості рішень човна 2-го порядку. Треба тільки показати, що рішення буде загальним, тобто. Треба показати, що за будь-яких початкових умов можна вибрати довільні постійні і так, щоб задовольнити цим умовам. Запишемо початкові умови у вигляді:

а такий визначник, як ми бачили у попередньому параграфі, відмінний від нуля. Теорему доведено.

приклад.Довести, що функція , де і - довільні постійні, є загальним рішенням човен.

Рішення.

Легко переконатися підстановкою, що функції задовольняють даному рівнянню. Ці функції є лінійно незалежними, оскільки . Тому згідно з теоремою про структуру загального рішення човна 2-го порядку є загальним рішенням цього рівняння.

Однорідні лінійні диференціальні рівняннядругого порядку з постійними коефіцієнтами мають вигляд

де p і q - дійсні числа. Розглянемо з прикладів, як вирішуються однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Розв'язання лінійного однорідного однорідного диференціального рівняння другого порядку залежить від коренів характеристичного рівняння. Характеристичне рівняння – це рівняння k²+pk+q=0.

1) Якщо коріння характеристичного рівняння - різні дійсні числа:

то загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд

2) Якщо коріння характеристичного рівняння - рівні дійсні числа

(наприклад, при дискримінанті, що дорівнює нулю), то загальне рішення однорідного диференціального рівняння другого порядку є

3) Якщо коріння характеристичного рівняння - комплексні числа

(наприклад, при дискримінанті, що дорівнює негативному числу), то загальне рішення однорідного диференціального рівняння другого порядку записується у вигляді

Приклади розв'язування лінійних однорідних диференціальних рівнянь другого порядку з постійними коефіцієнтами

Знайти загальні рішення однорідних диференціальних рівнянь другого порядку:

Складаємо характеристичне рівняння: k2-7k + 12 = 0. Його дискримінант D=b²-4ac=1>0, тому коріння — різні дійсні числа.

Звідси загальне рішення цього однорідного ДК 2-го порядку є

Складемо та вирішимо характеристичне рівняння:

Коріння дійсне та різне. Звідси маємо загальне рішення цього однорідного диференціального рівняння:

І тут характеристичне рівняння

Коріння різне і дійсне. Тому загальне рішення однорідного диференціального рівняння 2-го порядку тут

Характеристичне рівняння

Оскільки коріння дійсне і рівне, для цього диференціального рівняння загальне рішення записуємо як

Характеристичне рівняння тут

Бо дискримінант — негативне число, Коріння характеристичного рівняння - комплексні числа.

Загальне вирішення цього однорідного диференціального рівняння другого порядку має вигляд

Характеристичне рівняння

Звідси знаходимо загальне рішення цього диф. рівняння:

Приклади самоперевірки.

У цій статті ми розберемо принципи розв'язання лінійних однорідних диференціальних рівнянь другого порядку з постійними коефіцієнтами , де p і q – довільні дійсні числа. Спочатку зупинимося на теорії, далі застосуємо отримані результати у вирішенні прикладів та завдань.

Якщо Вам будуть зустрічатися незнайомі терміни, звертайтеся до розділу визначення та поняття теорії диференціальних рівнянь .

Сформулюємо теорему, що вказує, у вигляді знаходити загальне рішення ЛОДУ.

Теорема.

Загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння з безперервними на інтервалі інтегрування коефіцієнтами X визначається лінійною комбінацією , де - лінійно незалежні приватні рішення ЛОДУ на X, а - довільні постійні.

Таким чином, загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами має вигляд y 0 =C 1 ⋅y 1 +C 2 ⋅y 2 , де y 1 та y 2 – приватні лінійно незалежні рішення, а С 1 та C 2 – довільні постійні. Залишилося навчитися знаходити приватні рішення y1 і y2.

Ейлер запропонував шукати приватні рішення у вигляді.

Якщо прийняти приватним рішенням ЛОДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами, то при підстановці цього рішення до рівняння ми маємо отримати тотожність:

Так ми отримали так зване характеристичне рівняннялінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку із постійними коефіцієнтами. Рішення k 1 і k 2 цього характеристичного рівняння визначають приватні рішення і нашого ЛОДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами.

Залежно від коефіцієнтів p і q коріння характеристичного рівняння може бути:

У першому випадкулінійно незалежними приватними рішеннями вихідного диференціального рівняння є і, загальне рішення ЛОДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами є.

Функції і справді лінійно незалежні, оскільки визначник Вронського відмінний від нуля для будь-яких дійсних x при .

У другому випадкуодним приватним рішенням є функція. Як друге приватне рішення береться. Покажемо, що справді є приватним рішенням ЛОДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами та доведемо лінійну незалежність y 1 та y 2 .

Оскільки k 1 = k 0 і k 2 = k 0 збігаються корені характеристичного рівняння, воно має вигляд . Отже, вихідне лінійне однорідне диференціальне рівняння. Підставимо в нього і переконаємося, що рівняння перетворюється на тотожність:

Таким чином, є окремим рішенням вихідного рівняння.

Покажемо лінійну незалежність функцій та . І тому обчислимо визначник Вронського і переконаємося, що він відмінний від нуля.

Висновок: лінійно незалежними приватними рішеннями ЛОДУ другого порядку з постійними коефіцієнтами є і , і загальне рішення є при .

У третьому випадкумаємо пару комплексних приватних рішень ЛОДУ та . Загальне рішення запишеться як . Ці приватні рішення можуть бути замінені двома дійсними функціями та , що відповідають дійсною та уявної частин. Це добре видно, якщо перетворити загальне рішення , скориставшись формулами з теорії функції комплексного змінноговиду:

де З 3 і 4 - довільні постійні.

Отже, узагальним теорію.

Алгоритм знаходження загального рішення лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку із постійними коефіцієнтами.

Розглянемо приклади кожному за випадку.

приклад.

Знайдіть загальне рішення лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами .

Диференціальні рівняння 2-го порядку

§1. Методи зниження порядку рівняння.

Диференціальне рівняння 2-го порядку має вигляд:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( або Диференціал" диференціального рівняння 2-го порядку). Завдання Коші для диференціального рівняння 2-го порядку (1..gif" width="85" height= "25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.

Нехай диференційне рівняння 2-го порядку має вигляд: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.

Таким чином, рівняння 2-го порядку width="34" width="158" ="25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Вирішуючи його, отримуємо загальний інтеграл вихідного диференціального рівняння, що залежить від двох довільних постійних: DIV_ADBLOCK219">

приклад 1.Розв'язати диференціальне рівняння https://pandia.ru/text/78/516/images/image021_18.gif" width="70" height="25 src=">.gif" width="39" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src=">.gif" width="112" height="25 src=">.

Це диференціальне рівняння з змінними, що розділяються: https://pandia.ru/text/78/516/images/image026_19.gif" width="99" height="41 src=">, тобто..gif" width= "96" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="48" height="38 src=">..gif" width=" 99" height="38 src=">..gif" width="95" height="25 src=">.

2..gif" width="117" height="25 src=">, тобто..gif" width="102" height="25 src=">..gif" width="117" height= "25 src=">.gif" width="106" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="111" height="27 src=">

Рішення.

У дане рівняння 2-го порядку явно не входить функція, що шукається https://pandia.ru/text/78/516/images/image043_16.gif" width="98" height="25 src=">.gif" width= "33" height="25 src=">.gif" width="105" height="36 src=">, що є лінійним рівнянням..gif" width="109" height="36 src=">.. gif" width="144" height="36 src=">.gif" height="25 src="> від якихось функцій..gif" width="25" height="25 src=">.gif width="127" height="25 src=">.gif" width="60" height="25 src="> – порядок рівняння знижений.

§2. Лінійне диференціальне рівняння 2-го порядку.

Лінійне диференціальне рівняння (ЛДУ) 2-го порядку має такий вигляд:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image059_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. gif" width="42" height="25 src="> і, після введення нових позначень для коефіцієнтів, запишемо рівняння у вигляді:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image064_12.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">. gif" width="30" height="25 src="> безперервні..gif" width="165" height="25 src=">.gif" width="95" height="25 src="> – довільні числа.

Теорема.Якщо https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" — рішення човна

https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" також буде рішенням цього рівняння.

Доказ.

Поставимо вираз.

Перегрупуємо складові:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image073_10.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="54" height="25 src=">. gif" width="94" height="25 src="> теж є рішення цього рівняння.

Наслідок 2.Вважаючи також є рішенням цього рівняння.

Зауваження.Доведена в теоремі властивість рішень залишається справедливою для човна будь-якого порядку.

§3. Визначник Вронського.

Визначення.Система функцій https://pandia.ru/text/78/516/images/image084_10.gif "width="61" height="25 src=">.gif" width="110" height="47 src=" >..gif" width="106" height="42 src=">..gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="181" height="47 src=" >.gif" width="42" height="25 src="> рівняння (2.3)..gif" width="182" height="25 src=">.

Справді, ..gif" width="18" height="25 src="> задовольняють рівняння (2..gif" width="42" height="25 src="> – рішення рівняння (3.1)..gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width="162" height="42 src=">.gif" width="51" height="25 src="> виходить тотожність.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, в якій визначник для лінійно незалежних рішень рівняння (2..gif" width= "42" обидва множники в правій частині формули (3.2) відмінні від нуля.

§4. Структура загального рішення човна 2-го порядку.

Теорема.Якщо https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> - лінійно незалежні рішення рівняння (2..gif" width="19" є рішення рівняння (2.3), випливає з теореми про властивості рішень човна 2-го порядку..gif" width="85 " height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">

Постійні з цієї системи лінійних рівнянь алгебри визначаються однозначно, так як визначник цієї системи https: . //pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. Згідно з попереднім параграфом загальне рішення човна 2-го порядку легко визначається, якщо відомі два лінійно незалежні приватні рішення цього рівняння. Простий метод знаходження приватних рішень рівняння з постійними коефіцієнтами запропонував Л. Ейлер.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> буде рішенням рівняння (5.1) тільки при тих значеннях k, які є корінням характеристичного рівняння (5.2)..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width="205" height="47 src ="> та загальне рішення (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=">..gif" width="83 Перевіримо, що ця функція задовольняє рівняння (5.1).gif" width="190" height="26 src=">.

https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, т. к..gif" width="137" height="26 src=">.

Приватні рішення https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" лінійно незалежні, тому що height="26 src=">.gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" width="134" height ="25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.

Обидві дужки в лівій частині цієї рівності тотожно дорівнюють нулю..gif" width="174" ..gif" width="129" height="25 src="> матиме вигляд:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)

подається у вигляді суми загального рішення https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif"

і будь-якого приватного рішення буде рішенням рівняння (6.1)..gif width=" 272" height="25 src="> f(x). Ця рівність є тотожністю, т. к. gif width="128" height="25 src="> f(x). Отже.gif" width="85" width="138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> – лінійно незалежні рішення цього рівняння. Таким чином:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, а такий визначник, як ми бачили вище, відмінний від нуля..gif" width="19" height="25 src="> ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src="> буде рішенням рівняння

https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> в рівняння (6.5), отримаємо

https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)

де рівняння (7.1) у випадку, коли права частина f(x) має спеціальний вид. Це метод називається методом невизначених коефіцієнтів і полягає у підборі приватного рішення залежно від виду правої частини f(x).

1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">, можуть дорівнювати нулю. Вкажемо вигляд, у якому треба брати приватне рішення у цьому випадку.

а) Якщо число https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif "width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src =">.

Рішення.

Для рівняння https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src= ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src=" >.

Обидві частини скорочуємо на лівій і правій частинах рівності в лівій і правій частинах рівності

https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">

З отриманої системи рівнянь знаходимо: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src="> заданого рівнянняє:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,

де https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.

Рішення.

Відповідне характеристичне рівняння має вигляд:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. маємо такий вираз для загального рішення:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> відмінно від нуля. Вкажемо вид приватного рішення у разі.

а) Якщо число https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,

де https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width = "16" " height="25 src=">,

де https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" 25 src=">.

Рішення.

Коріння характеристичного рівняння для рівняння https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 25 src=">.gif" src=">.

Права частина заданого в прикладі 3 рівняння має спеціальний вид: f(x) " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.

Для визначення https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > і підставляємо задане рівняння:

Наводячи подібні члени, прирівнюючи коефіцієнти при https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" "25 src=">.

Остаточно загальне рішення заданого рівняння має вигляд: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src="> відповідно, причому один з цих многочленів може дорівнювати нулю.

а) Якщо число https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif width="605",

де https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.

б) Якщо число https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80", то приватне рішення Лондона матиме вигляд:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. У виразі (7..gif" width="121" height=" 25 src=">.

приклад 4.Вказати вид приватного рішення для рівняння

https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Загальне рішення човна має вигляд:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.

Далі коефіцієнти https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > є приватне рішення для рівняння з правою частиною f1(x), а "варіації довільних постійних (метод Лагранжа)".

Згідно з вищевикладеним, загальне рішення лінійного однорідного рівняння:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – не постійні, а деякі, поки невідомі функції від f(x). . необхідно брати з інтервалу. Насправді, у цьому випадку визначник Вронського відмінний від нуля у всіх точках інтервалу, тобто у всьому просторі – комплексний корінь характеристичного рівняння. лінійно незалежних приватних рішень виду :

У формулі загального рішення цим коренем відповідає вираз виду.