У восьмому класі, учні знайомляться з квадратними рівняннями та способами їх вирішення. При цьому, як показує досвід, більшість учнів під час вирішення повних квадратних рівнянь застосовують лише один спосіб – формулу коренів квадратного рівняння. Для учнів, які добре володіють навичками усного рахунку, цей спосіб явно нераціональний. Вирішувати квадратні рівняння учням доводиться часто й у старших класах, а там витрачати час на розрахунок дискримінанта просто шкода. На мій погляд, при вивченні квадратних рівнянь, слід приділити більше часу та уваги застосуванню теореми Вієта (за програмою А.Г. Мордковича Алгебра-8, вивчення теми “Теорема Вієта. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники” заплановано лише дві години).

У більшості підручників алгебри ця теорема формулюється для наведеного квадратного рівняння і свідчить, що якщо рівняння має коріння і , то їм виконуються рівності , .Потім формулюється твердження, протилежне до теореми Вієта, і пропонується ряд прикладів для опрацювання цієї теми.

Візьмемо конкретні приклади та простежимо на них логіку рішення за допомогою теореми Вієта.

Приклад 1. Розв'язати рівняння.

Допустимо, це рівняння має коріння, а саме, і . Тоді за теоремою Вієта одночасно повинні виконуватись рівності

Звернімо увагу, що добуток коренів – позитивне число. Отже, коріння рівняння одного знака. Оскільки сума коренів також є позитивним числом, робимо висновок, що обидва корені рівняння – позитивні. Повернемося знову до твору коріння. Припустимо, що коріння рівняння – цілі позитивні числа. Тоді отримати правильну першу рівність можна лише двома способами (з точністю до порядку множників): або . Перевіримо для запропонованих пар чисел здійсненність другого затвердження теореми Вієта: . Таким чином, числа 2 і 3 задовольняють обом рівностям, а значить, і є корінням заданого рівняння.

Відповідь: 2; 3.

Виділимо основні етапи міркувань при вирішенні наведеного квадратного рівняння за допомогою теореми Вієта:

записати затвердження теореми Вієта

(*)

• визначити знаки коренів рівняння. негативне число, то коріння має різні знаки. При цьому якщо сума коренів – позитивна, то більший за модулем корінь є позитивним числом, а якщо сума коренів менша за нуль, то більший за модулем корінь – негативне число);
• підібрати пари цілих чисел, добуток яких дає правильну першу рівність у записі (*);
• зі знайдених пар чисел вибрати ту пару, яка при підстановці на другу рівність у записі (*) дасть правильну рівність;
• вказати у відповіді знайдене коріння рівняння.

Наведемо приклади.

Приклад 2. Розв'яжіть рівняння .

Рішення.

Нехай і – коріння заданого рівняння. Тоді за теоремою Вієта Зауважимо, що твір – позитивний, а сума – негативне число. Отже, обидва корені – негативні числа. Підбираємо пари множників, що дають добуток 10 (-1 та -10; -2 та -5). Друга пара чисел у сумі дає -7. Значить, числа -2 та -5 є корінням даного рівняння.

Відповідь: -2; -5.

Приклад 3. Розв'яжіть рівняння .

Рішення.

Нехай і – коріння заданого рівняння. Тоді за теоремою Вієта Зауважимо, що твір – негативний. Значить, коріння – різного знака. Сума коренів також негативне число. Значить, більший за модулем корінь негативний. Підбираємо пари множників, що дають добуток -10 (1 та -10; 2 та -5). Друга пара чисел у сумі дає -3. Значить, числа 2 та -5 є корінням даного рівняння.

Відповідь: 2; -5.

Зауважимо, що теорему Вієта в принципі можна сформулювати і для повного квадратного рівняння: якщо квадратне рівняння має коріння і , то їм виконуються рівності , .Однак застосування цієї теореми досить проблематичне, тому що в повному квадратному рівнянні принаймні один з коренів (за їх наявності, звичайно) є дрібним числом. А працювати з підбором дробів довго та важко. Але все ж таки вихід є.

Розглянемо повне квадратне рівняння . Помножимо обидві частини рівняння перший коефіцієнт аі запишемо рівняння у вигляді . Введемо нову змінну і отримаємо наведене квадратне рівняння , коріння якого і (за їх наявності) може бути знайдено за теоремою Вієта. Тоді коріння вихідного рівняння буде. Звернемо увагу, що скласти допоміжне наведене рівняння дуже просто: другий коефіцієнт зберігається, а третій коефіцієнт дорівнює добутку ас. При певному навичці учні одразу складають допоміжне рівняння, знаходять його коріння за теоремою Вієта та вказують коріння заданого повного рівняння. Наведемо приклади.

Приклад 4. Розв'яжіть рівняння .

Складемо допоміжне рівняння і за теоремою Вієта знайдемо його коріння. Отже, коріння вихідного рівняння .

Відповідь: .

Приклад 5. Розв'яжіть рівняння .

Допоміжне рівняння має вигляд. По теоремі Вієта його коріння. Знаходимо коріння вихідного рівняння .

Відповідь: .

І ще один випадок, коли застосування теореми Вієта дозволяє усно знайти коріння повного квадратного рівняння. Неважко довести, що число 1 є коренем рівняння тоді і тільки тоді, коли. Другий корінь рівняння знаходиться за теоремою Вієта і дорівнює. Ще одне твердження: щоб число –1 було коренем рівняння необхідно і достатньо, щоб. Тоді другий корінь рівняння за теоремою Вієта дорівнює. Аналогічні твердження можна сформулювати і наведеного квадратного рівняння.

Приклад 6. Розв'яжіть рівняння .

Зауважимо, що сума коефіцієнтів рівняння дорівнює нулю. Значить, коріння рівняння .

Відповідь: .

Приклад 7. Розв'яжіть рівняння .

Для коефіцієнтів цього рівняння виконується властивість (Дійсно, 1-(-999)+(-1000)=0). Значить, коріння рівняння .

Відповідь: ..

Приклади застосування теореми Вієта

Завдання 1. Розв'яжіть наведене квадратне рівняння за допомогою теореми Вієта.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Завдання 2. Розв'яжіть повне квадратне рівняння за допомогою переходу до допоміжного квадратного рівняння.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Завдання 3. Розв'яжіть квадратне рівняння за допомогою властивості .

Теорема Вієта часто використовується для перевірки вже знайденого коріння. Якщо ви знайшли коріння, то зможете за допомогою формул \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) обчислити значення \(p\) і \(q\ ). І якщо вони вийдуть такими ж, як у вихідному рівнянні – значить коріння знайдено правильно.

Наприклад, нехай ми, використовуючи , розв'язали рівняння \(x^2+x-56=0\) і отримали коріння: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Перевіримо, чи ми не помилилися в процесі рішення. У разі \(p=1\), а \(q=-56\). За теоремою Вієта маємо:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Обидва твердження зійшлися, отже, ми вирішили правильно рівняння.

Таку перевірку можна проводити усно. Вона займе 5 секунд та убереже вас від дурних помилок.

Зворотна теорема Вієта

Якщо \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), то \(x_1\) та \(x_2\) – коріння квадратного рівняння \(x^ 2+px+q=0).

Або просто: якщо у вас є рівняння виду \(x^2+px+q=0\), то вирішивши систему \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) ви знайдете його коріння.

Завдяки цій теоремі можна швидко підібрати коріння квадратного рівняння, особливо якщо це коріння – . Це вміння важливе, оскільки економить багато часу.

приклад . Розв'язати рівняння (x^2-5x+6=0).

Рішення : Скориставшись зворотною теоремою Вієта, отримуємо, що коріння задовольняє умовам: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Подивіться друге рівняння системи \(x_1 \cdot x_2=6\). На які два можна розкласти число (6)? На (2) і (3), (6) і (1) або (-2) і (-3), і (-6) і (- 1). А яку пару вибрати підкаже перше рівняння системи: \(x_1+x_2=5\). Походять \(2\) і \(3\), оскільки \(2+3=5\).
Відповідь : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Приклади . Використовуючи теорему, обернену до теореми Вієта, знайдіть корені квадратного рівняння:
а) (x^2-15x+14=0); б) (x^2+3x-4=0); в) (x^2+9x+20=0); г) (x^2-88x+780=0).

Рішення :
а) \(x^2-15x+14=0\) - на які множники розкладається \(14\)? \(2\) та \(7\), \(-2\) і \(-7\), \(-1\) та \(-14\), \(1\) та \(14\) ). Які пари чисел у сумі дадуть (15)? Відповідь: (1) і (14).

б) \(x^2+3x-4=0\) – на які множники розкладається \(-4\)? \(-2\) та \(2\), \(4\) і \(-1\), \(1\) та \(-4\). Які пари чисел у сумі дадуть (-3)? Відповідь: \(1\) та \(-4\).

в) \(x^2+9x+20=0\) – на які множники розкладається (20\)? \(4\) та \(5\), \(-4\) і \(-5\), \(2\) та \(10\), \(-2\) та \(-10\) ), \(-20\) та \(-1\), \(20\) та \(1\). Які пари чисел у сумі дадуть (-9)? Відповідь: \(-4\) та \(-5\).

г) \(x^2-88x+780=0\) - на які множники розкладається (780\)? (390) і (2). Вони в сумі дадуть (88)? Ні. Ще які множники є у (780)? \(78\) та \(10\). Вони в сумі дадуть (88)? Так. Відповідь: (78) і (10).

Необов'язково останнє доданок розкладати на всі можливі множники (як в останньому прикладі). Можна відразу перевіряти, чи дає їх сума \(-p\).

Важливо!Теорема Вієта і зворотна теорема працюють тільки з , тобто таким, у якого коефіцієнт перед (x 2) дорівнює одиниці. Якщо ж у нас спочатку дано не наведене рівняння, ми можемо зробити його наведеним, просто розділивши на коефіцієнт, що стоїть перед \(x^2\).

Наприклад, Нехай дано рівняння \ (2x ^ 2-4x-6 = 0 \) і ми хочемо скористатися однією з теорем Вієта. Але можемо, оскільки коефіцієнт перед \(x^2\) дорівнює \(2\). Позбавимося його, розділивши все рівняння на (2).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Готово. Тепер можна скористатися обома теоремами.

Відповіді на питання, що часто ставляться

Запитання: По теоремі Вієта можна вирішити будь-які?
Відповідь: На жаль, ні. Якщо рівняння не цілі чи рівняння взагалі немає коренів, теорема Вієта допоможе. В цьому випадку треба користуватися дискримінантом . На щастя, 80% рівнянь у шкільному курсіматематики мають цілі рішення.

Теорема Вієта (точніше, теорема, зворотна теоремаВієта) дозволяє скоротити час на розв'язання квадратних рівнянь. Тільки треба вміти нею користуватися. Як навчитися вирішувати квадратні рівняння з теореми Вієта? Це нескладно, якщо трохи поміркувати.

Зараз ми говоритимемо лише про рішення за теоремою Вієта наведеного квадратного рівняння. Наведене квадратне рівняння — це рівняння, в якому a, тобто коефіцієнт перед x², дорівнює одиниці. Не наведені квадратні рівняння вирішити за теоремою Вієта теж можна, але там уже, як мінімум, одне з коренів — не ціле число. Їх вгадувати складніше.

Теорема, обернена теоремі Вієта, говорить: якщо числа x1 і x2 такі, що

то x1 і x2 - коріння квадратного рівняння

При розв'язанні квадратного рівняння за теоремою Вієта можливі лише 4 варіанти. Якщо запам'ятати хід міркувань, знаходити ціле коріння можна навчитися дуже швидко.

I. Якщо q - позитивне число,

це означає, що коріння x1 та x2 — числа однакового знака (оскільки лише при множенні чисел з однаковими знаками виходить позитивне число).

І.а. Якщо -p - позитивне число, (відповідно, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Якщо -p - Негативне число, (відповідно, p>0), то обидва корені - негативні числа (складали числа одного знака, отримали негативне число).

ІІ. Якщо q - від'ємне число,

це означає, що коріння x1 і x2 мають різні знаки (при множенні чисел від'ємне число виходить лише у випадку, коли знаки у множників різні). У цьому випадку x1+x2 є вже не сумою, а різницею (адже при додаванні чисел з різними знакамими віднімаємо з більшого за модулем менше). Тому x1+x2 показує, на скільки одне відрізняється коріння x1 і x2, тобто, на скільки один корінь більше за інший (за модулем).

II.a. Якщо -p - позитивне число, (тобто p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Якщо -p - Негативне число, (p>0), то більший (за модулем) корінь - від'ємне число.

Розглянемо розв'язання квадратних рівнянь за теоремою Вієта на прикладах.

Вирішити наведене квадратне рівняння за теоремою Вієта:

Тут q=12>0, тому коріння x1 і x2 числа одного знака. Їхня сума дорівнює -p=7>0, тому обидва корені — позитивні числа. Підбираємо цілі числа, добуток яких дорівнює 12. Це 1 і 12, 2 і 6, 3 і 4. Сума дорівнює 7 у пари 3 і 4. Отже, 3 і 4 — коріння рівняння.

У цьому прикладі q=16>0, отже, коріння x1 і x2 — числа одного знака. Їхня сума -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Тут q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, то більша кількість позитивна. Отже, коріння 5 та -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Франсуа Вієт (1540-1603 рр.) – математика, творець знаменитих формул Вієта

Теорема Вієтанеобхідна швидкого розв'язання квадратних рівнянь (простими словами).

Якщо докладніше, то т еорема Вієта - це сума коренів даного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, який взятий з протилежним знаком, а твір дорівнює вільному члену. Ця властивість має будь-яке наведене квадратне рівняння, яке має коріння.

За допомогою теореми Вієта можна легко вирішувати квадратні рівняння шляхом підбору, тому скажемо "дякую" цьому математику з мечем у руках за наш щасливий 7 клас.

Доказ теореми Вієта

Щоб довести теорему, можна скористатися відомими формулами коренів, завдяки яким складемо суму та добуток коренів квадратного рівняння. Тільки після цього ми зможемо переконатись, що вони рівні і, відповідно, .

Допустимо, у нас є рівняння: . У цього рівняння є таке коріння: і . Доведемо, що , .

За формулами коренів квадратного рівняння:

1. Знайдемо суму коренів:

Розберемо це рівняння, як воно у нас вийшло саме таким:

= .

Крок 1. Наводимо дроби до спільного знаменника, виходить:

= = .

Крок 2. У нас вийшов дріб, де потрібно розкрити дужки:

Скорочуємо дріб на 2 і отримуємо:

Ми довели співвідношення для суми коренів квадратного рівняння з теореми Вієта.

2. Знайдемо твір коріння:

= = = = = .

Доведемо це рівняння:

Крок 1. Є правило множення дробів, яким ми і множимо дане рівняння:

Тепер згадуємо визначення квадратного кореня та вважаємо:

= .

Крок 3. Згадуємо дискримінант квадратного рівняння: . Тому в останній дріб замість D (дискримінанта) ми підставляємо, тоді виходить:

= .

Крок 4. Розкриваємо дужки і наводимо подібні доданки до дробу:

Крок 5. Скорочуємо «4a» та отримуємо .

Ось ми й довели співвідношення для коріння за теоремою Вієта.

ВАЖЛИВО!Якщо дискримінант дорівнює нулю, тоді квадратне рівняння має лише один корінь.

Теорема, зворотна теоремі Вієта

За теоремою, зворотною теоремою Вієта можна перевіряти, чи правильно вирішено наше рівняння. Щоб зрозуміти саму теорему, потрібно докладніше її розглянути.

Якщо числа такі:

І тоді вони і є корінням квадратного рівняння.

Доказ зворотної теореми Вієта

Крок 1Підставимо в рівняння вирази для його коефіцієнтів:

Крок 2Перетворимо ліву частину рівняння:

Крок 3. Знайдемо Корені рівняння, а для цього використовуємо властивість про рівність добутку нулю:

Або. Звідки й виходить: чи .

Приклади з рішеннями з теореми Вієта

Приклад 1

Завдання

Знайдіть суму, добуток і суму квадратів коренів квадратного рівняння, не знаходячи коренів рівняння.

Рішення

Крок 1. Згадаймо формулу дискримінанта. Підставляємо наші цифри під літери. Тобто, , – це замінює , а . Звідси випливає:

Виходить:

Title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

Виразимо суму квадратів коренів через їх суму та добуток:

Відповідь

7; 12; 25.

Приклад 2

Завдання

Розв'яжіть рівняння. При цьому не застосовуйте формули квадратного рівняння.

Рішення

У цього рівняння є коріння, яке за дискримінантом (D) більше нуля. Відповідно, за теоремою Вієта сума коренів цього рівняння дорівнює 4, а добуток – 5. Спочатку визначаємо дільники числа, сума яких дорівнює 4. Це числа «5» та «-1». Їх добуток дорівнює – 5, а сума – 4. Значить, за теоремою, зворотною теоремою Вієта, вони є корінням даного рівняння.

Відповідь

І Приклад 4

Завдання

Складіть рівняння, кожен корінь якого вдвічі більший за відповідний корінь рівняння:

Рішення

За теоремою Вієта сума коренів даного рівняння дорівнює 12, а добуток = 7. Отже, два корені позитивні.

Сума коренів нового рівняння дорівнюватиме:

А твір.

По теоремі, зворотній теоремі Вієта, нове рівняння має вигляд:

Відповідь

Вийшло рівняння, кожен корінь якого вдвічі більше:

Отже, ми розглянули, як розв'язувати рівняння з допомогою теореми Вієта. Дуже зручно користуватися цією теоремою, якщо вирішуються завдання, пов'язані зі знаками коренів квадратних рівнянь. Тобто, якщо у формулі вільний член – число позитивне, і якщо у квадратному рівнянні є дійсне коріння, тоді вони обидва можуть бути або негативними, або позитивними.

А якщо вільний член – негативне число, і якщо у квадратному рівнянні є дійсне коріння, тоді обидва знаки будуть різними. Тобто, якщо один корінь позитивний, тоді інший корінь буде лише негативним.

Корисні джерела:

1. Дорофєєв Г. В., Суворова С. Б., Бунімович Є. А. Алгебра 8 клас: Москва "Освіта", 2016 - 318 с.
2. Рубін А. Г., Чулков П. В. - підручник Алгебра 8 клас: Москва "Баласс", 2015 - 237 с.
3. Нікольський С. М., Потопав М. К., Решетніков Н. Н., Шевкін А. В. - Алгебра 8 клас: Москва "Освіта", 2014 - 300

Теорема Вієта, зворотна формула Вієта та приклади з рішенням для чайниківоновлено: 22 листопада, 2019 автором: Статті.Ру