Вида y= f(x), xПро N, де N- безліч натуральних чисел(або функція натурального аргументу), позначається y=f(n) або y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Значення y 1 ,y 2 ,y 3 ,… називають відповідно першим, другим, третім, … членами послідовності.
Наприклад, для функції y= n 2 можна записати:
y 1 = 1 2 = 1;
y 2 = 2 2 = 4;
y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…
Способи завдання послідовностей.Послідовності можна задавати у різний спосіб, Серед яких особливо важливі три: аналітичний, описовий та рекурентний.
1. Послідовність задана аналітично, якщо задана її формула n-го члена:
y n=f(n).
приклад. y n= 2n – 1 – послідовність непарних чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …
2. Описовий Метод завдання числової послідовності полягає в тому, що пояснюється, з яких елементів будується послідовність.
Приклад 1. "Усі члени послідовності дорівнюють 1". Це означає, йдетьсяпро стаціонарну послідовність 1, 1, 1, …, 1, ….
Приклад 2. "Послідовність складається з усіх простих чисел у порядку зростання". Таким чином, задана послідовність 2, 3, 5, 7, 11, …. При такому способі завдання послідовності в даному прикладі важко відповісти, чому дорівнює, скажімо, 1000 елемент послідовності.
3. Рекурентний спосіб завдання послідовності полягає в тому, що вказується правило, що дозволяє обчислити n-й член послідовності, якщо відомі попередні члени. Назва рекурентний спосіб походить від латинського слова recurrere- Повертатися. Найчастіше в таких випадках вказують формулу, що дозволяє виразити n-й член послідовності через попередні, і задають 1-2 початкові члени послідовності.
приклад 1. y 1 = 3; y n = y n-1 + 4, якщо n = 2, 3, 4,….
Тут y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….
Можна бачити, що отриману у цьому прикладі послідовність може бути задана і аналітично: y n= 4n – 1.
приклад 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 , якщо n = 3, 4,….
Тут: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;
Послідовність, складену в цьому прикладі, спеціально вивчають у математиці, оскільки вона має низку цікавих властивостей та додатків. Її називають послідовністю Фібоначчі - на ім'я італійського математика 13 ст. Задати послідовність Фібоначчі рекурентно дуже легко, а аналітично – дуже важко. n-е число Фібоначчі виражається через його порядковий номер наступною формулою.
На перший погляд, формула для n-го числа Фібоначчі здається неправдоподібною, так як у формулі, що задає послідовність одних лише натуральних чисел, містяться квадратне коріння, але можна перевірити «вручну» справедливість цієї формули для кількох перших n.
Властивості числових послідовностей.
Числова послідовність - окремий випадокчислової функції, тому ряд властивостей функцій розглядаються й у послідовностей.
Визначення . Послідовність ( y n} називають зростаючою, якщо кожен її член (крім першого) більший за попередній:
y 1 y 2 y 3 y n y n +1
Визначення. Послідовність ( y n} називають спадною, якщо кожен її член (крім першого) менший за попередній:
y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .
Зростаючі та спадні послідовності поєднують загальним терміном – монотонні послідовності.
приклад 1. y 1 = 1; y n= n 2 – зростаюча послідовність.
Отже, вірна наступна теорема (характеристичне властивість арифметичної прогресії). Числова послідовність є арифметичною тоді і лише тоді, коли кожен її член, крім першого (і останнього у разі кінцевої послідовності), дорівнює середньому арифметичному попереднього та наступного членів.
приклад. При якому значенні xчисла 3 x + 2, 5x– 4 та 11 x+ 12 утворюють кінцеву арифметичну прогресію?
Згідно з характерною властивістю, задані висловлювання повинні задовольняти співвідношення
5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.
Вирішення цього рівняння дає x= –5,5. При цьому значення xзадані вирази 3 x + 2, 5x– 4 та 11 x+ 12 приймають, відповідно, значення -14,5, –31,5, –48,5. Це – арифметична прогресія, Її різниця дорівнює -17.
Геометрична прогресія.
Числову послідовність, всі члени якої відмінні від нуля і кожен член якої, починаючи з другого, виходить з попереднього члена множенням на одне й те число q, називають геометричною прогресією, а число q– знаменником геометричної прогресії.
Таким чином, геометрична прогресія - це числова послідовність ( b n), задана рекурентно співвідношеннями
b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).
(bі q –задані числа, b ≠ 0, q ≠ 0).
Приклад 1. 2, 6, 18, 54, ... - Зростаюча геометрична прогресія b = 2, q = 3.
Приклад 2. 2, -2, 2, -2, … – геометрична прогресія b= 2,q= –1.
Приклад 3. 8, 8, 8, 8, … – геометрична прогресія b= 8, q= 1.
Геометрична прогресія є зростаючою послідовністю, якщо b 1 > 0, q> 1, і спадної, якщо b 1 > 0, 0 q
Одне з очевидних властивостейгеометричної прогресії у тому, що й послідовність є геометричної прогресією, те й послідовність квадратів, тобто.
b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2, ... є геометричною прогресією, перший член якої дорівнює b 1 2 , а знаменник – q 2 .
Формула n-го члена геометричної прогресії має вигляд
b n= b 1 q n– 1 .
Можна одержати формулу суми членів кінцевої геометричної прогресії.
Нехай дана кінцева геометрична прогресія
b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n
нехай S n –сума її членів, тобто.
S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.
Приймається, що q№ 1. Для визначення S nзастосовується штучний прийом: виконуються деякі геометричні перетворення виразу S n q.
S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .
Таким чином, S n q= S n +b n q – b 1 і, отже,
Це формула з умми n членів геометричної прогресіїдля випадку, коли q≠ 1.
При q= 1 формулу можна виводити окремо, очевидно, що у разі S n= a 1 n.
Геометрична прогресія названа тому, що в ній кожен член крім першого, дорівнює середньому геометричному попереднього і наступного членів. Справді, оскільки
b n = b n- 1 q;
b n = b n+ 1 /q,
отже, b n 2= b n- 1 b n+ 1 і вірна наступна теорема (характеристичне властивість геометричної прогресії):
числова послідовність є геометричною прогресією тоді і лише тоді, коли квадрат кожного її члена, крім першого (і останнього у разі кінцевої послідовності), дорівнює добутку попереднього та наступного членів.
Межа послідовності.
Нехай є послідовність ( c n} = {1/n}. Цю послідовність називають гармонійною, оскільки кожен її член, починаючи з другого, є середнім гармонійним між попереднім і наступним членами. Середнє геометричних чисел aі bє число
В іншому випадку послідовність називається розбіжною.
Спираючись на це визначення, можна, наприклад, довести наявність межі A = 0у гармонійної послідовності ( c n} = {1/n). Нехай ε – скільки завгодно мале позитивне число. Розглядається різниця
Чи існує таке N, що для всіх n ≥ Nвиконується нерівність 1 /N? Якщо взяти як Nбудь-яке натуральне число, що перевищує 1/ε , то для всіх n ≥ Nвиконується нерівність 1 /n ≤ 1/N ε , що й потрібно було довести.
Довести наявність межі в тій чи іншій послідовності іноді дуже складно. Найпоширеніші послідовності добре вивчені і наводяться в довідниках. Є важливі теореми, дозволяють зробити висновок наявність межі в даної послідовності (і навіть обчислити його), спираючись на вже вивчені послідовності.
Теорема 1. Якщо послідовність має межу, вона обмежена.
Теорема 2. Якщо послідовність монотонна і обмежена, вона має межу.
Теорема 3. Якщо послідовність ( a n} має межу A, то послідовності ( ca n}, {a n+ с) та (| a n|} мають межі cA, A +c, |A| відповідно (тут c- Довільне число).
Теорема 4. Якщо послідовності ( a n} і ( b n) мають межі, рівні Aі B pa n + qb n) має межу pA+ qB.
Теорема 5. Якщо послідовності ( a n) та ( b n)мають межі, рівні Aі Bвідповідно, то послідовність ( a n b n) має межу AB.
Теорема 6. Якщо послідовності ( a n} і ( b n) мають межі, рівні Aі Bвідповідно, і, крім того, b n ≠ 0 та B ≠ 0, то послідовність ( a n / b n) має межу A/B.
Ганна Чугайнова
Послідовність
Послідовність- це набірелементів деякої множини:
- для кожного натурального числа можна вказати елемент даної множини;
- це число є номером елемента та позначає позицію даного елемента в послідовності;
- для будь-якого елемента (члена) послідовності можна вказати наступний за ним елемент послідовності.
Таким чином, послідовність виявляється результатом послідовноговибору елементів заданої множини. І якщо будь-який набір елементів є кінцевим, і говорять про вибірку кінцевого об'єму, то послідовність виявляється вибіркою нескінченного об'єму.
Послідовність за своєю природою – відображення, тому його не слід змішувати з безліччю, яка «пробігає» послідовність.
У математиці розглядається безліч різних послідовностей:
- тимчасові ряди як числової, так і не числової природи;
- послідовності елементів метричного простору
- послідовності елементів функціонального простору
- послідовності станів систем управління та автоматів.
Метою вивчення різноманітних послідовностей є пошук закономірностей, прогноз майбутніх станів та генерація послідовностей.
Визначення
Нехай задано кілька елементів довільної природи. | Будь-яке відображення безлічі натуральних чисел у задану множину називається послідовністю(Елементів множини).
Образ натурального числа , а саме, елемент , називається - їм членомабо елементом послідовності, А порядковий номер члена послідовності - її індексом.
Пов'язані визначення
- Якщо взяти зростаючу послідовність натуральних чисел, то її можна розглядати як послідовність індексів деякої послідовності: якщо взяти елементи вихідної послідовності з відповідними індексами (взято з зростаючої послідовності натуральних чисел), то можна знову отримати послідовність, яка називається підпослідовністюзаданої послідовності.
Коментарі
- У математичному аналізі важливим поняттям є межа числової послідовності.
Позначення
Послідовності виду
прийнято компактно записувати за допомогою круглих дужок:
абоіноді використовуються фігурні дужки:
Допускаючи деяку вільність мови, можна розглядати і кінцеві послідовності виду
,які є образ початкового відрізка послідовності натуральних чисел.
також
Wikimedia Foundation. 2010 .
Синоніми:Дивитися що таке "Послідовність" в інших словниках:
НАСЛІДНІСТЬ. У І. В. Кірєєвського у статті «Дев'ятнадцяте століття» (1830) читаємо: «Від самого падіння Римської імперії до наших часів просвітництво Європи представляється нам у поступовому розвитку та в безперервній послідовності» (т. 1, с.… … Історія слів
НАСЛІДНІСТЬ, послідовності, мн. ні, дружин. (Книжковий.). відволікати. сущ. до послідовного. Послідовність якихось явищ. Послідовність у зміні припливів та відливів. Послідовність у міркуваннях. Тлумачний словникУшакова. Тлумачний словник Ушакова
Постійність, наступність, логічність; ряд, прогресія, висновок, серія, низка, низка, ланцюг, ланцюжок, каскад, естафета; завзятість, обґрунтованість, набір, методичність, розстановка, стрункість, завзятість, підпослідовність, зв'язок, черга, … Словник синонімів
НАСЛІДНІСТЬ, числа або елементи, розташовані в організованому порядку. Послідовності можуть бути кінцевими (що мають обмежену кількість елементів) або нескінченними як повна послідовність натуральних чисел 1, 2, 3, 4 ....… … Науково-технічний енциклопедичний словник
НАСЛІДНІСТЬ, сукупність чисел ( математичних виразівтощо; кажуть: елементів будь-якої природи), занумерованих натуральними числами. Послідовність записується як x1, x2,..., xn,... чи коротко (xi) … Сучасна енциклопедія
Одне з основних понять математики. Послідовність утворюється елементами будь-якої природи, занумерованими натуральними числами 1, 2, ..., n, ... і записується у вигляді x1, x2, ..., xn, ... або коротко (xn) … Великий Енциклопедичний словник
Послідовність- НАСЛІДНІСТЬ, сукупність чисел (математичних виразів тощо; кажуть: елементів будь-якої природи), занумерованих натуральними числами. Послідовність записується як x1, x2, ..., xn, ... чи коротко (xi). … Ілюстрований енциклопедичний словник
НАСЛІДНІСТЬ, і, дружин. 1. див. Послідовний. 2. У математиці: нескінченний упорядкований набір чисел. Тлумачний словник Ожегова. С.І. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Тлумачний словник Ожегова
Англ. succession/sequence; ньому. Konsequenz. 1. Порядок проходження одного за іншим. 2. Одне з основних понять математики. 3. Якість правильної логічного мислення, при кром міркування вільно від внутрішніх протиріч по одному й тому ... ... Енциклопедія соціології
Послідовність- «функція, визначена на безлічі натуральних чисел, безліч значень якої може складатися з елементів будь-якої природи: чисел, точок, функцій, векторів, множин, випадкових величинта ін, занумерованих натуральними числами … Економіко-математичний словник
Книги
- Вибудовуємо послідовність. Кошенята. 2-3 роки, . Гра "Кошенята". Вибудовуємо послідовність. 1 рівень. Серія" Дошкільна освітаВеселі кошенята вирішили позасмагати на пляжі! Але ніяк не можуть поділити місця. Допоможи їм розібратися!
Якщо функція визначена на множині натуральних чисел N, то така функція називається нескінченною числовою послідовністю. Зазвичай числові послідовність позначають як (Xn), де n належить множині натуральних чисел N.
Числова послідовність може бути задана формулою. Наприклад, Xn=1/(2*n). Таким чином, ми ставимо у відповідність кожному натуральному числу n деякий певний елемент послідовності (Xn).
Якщо тепер послідовно брати n рівними 1,2,3, …, ми отримаємо послідовність (Xn): ½, ¼, 1/6, …, 1/(2*n), …
Види послідовності
Послідовність може бути обмеженою або необмеженою, зростаючою або спадною.
Послідовність (Xn) називає обмеженою,якщо існують два числа m і M такі, що для будь-якого n, що належить множині натуральних чисел, виконуватиметься рівність m<=Xn
Послідовність (Xn), яка не є обмеженою,називається необмеженою послідовністю.
зростаючою,якщо всім натуральних n виконується така рівність X(n+1) > Xn. Іншими словами, кожен член послідовності, починаючи з другого, повинен бути більшим за попередній член.
Послідовність (Xn) називається спадаючою,якщо всім натуральних n виконується така рівність X(n+1)< Xn. Иначе говоря, каждый член последовательности, начиная со второго, должен быть меньше предыдущего члена.
Приклад послідовності
Перевіримо, чи є послідовності 1/n та (n-1)/n спадними.
Якщо послідовність спадна, то X(n+1)< Xn. Следовательно X(n+1) - Xn < 0.
X(n+1) - Xn = 1/(n+1) - 1/n = -1/(n*(n+1))< 0. Значит последовательность 1/n убывающая.
(n-1)/n:
X(n+1) - Xn = n/(n+1) - (n-1)/n = 1/(n*(n+1)) > 0. Значить послідовність (n-1)/n зростаюча.
Нехай X (\displaystyle X)- це чи безліч дійсних чисел R (\displaystyle \mathbb (R) ), або безліч комплексних чисел C (\displaystyle \mathbb (C) ). Тоді послідовність ( x n ) n = 1 ∞ (\displaystyle \(x_(n)\)_(n=1)^(\infty ))елементів множини X (\displaystyle X)називається числовою послідовністю.
Приклади
Операції над послідовностями
Підпослідовності
Підпослідовність послідовності (x n) (\displaystyle (x_(n)))- це послідовність (x n k) (\displaystyle (x_(n_(k)))), де (n k) (\displaystyle (n_(k)))- Зростаюча послідовність елементів множини натуральних чисел.
Іншими словами, підпослідовність виходить із послідовності видаленням кінцевого чи лічильного числа елементів.
Приклади
- Послідовність простих чисел є підпослідовністю послідовності натуральних чисел.
- Послідовність натуральних чисел, кратних є підпослідовністю послідовності парних натуральних чисел.
Властивості
Гранична точка послідовності - це точка, у будь-якій околиці якої міститься нескінченно багато елементів цієї послідовності. Для схожих числових послідовностей гранична точка збігається з межею.
Межа послідовності
Межа послідовності - це об'єкт, якого члени послідовності наближаються зі зростанням номера. Так у довільному топологічному просторі межею послідовності називається елемент, у будь-якій околиці якого лежать всі члени послідовності, починаючи з деякого. Зокрема, для числових послідовностей межа - це число, у будь-якій околиці якого лежать всі члени послідовності починаючи з деякого.
Фундаментальні послідовності
Фундаментальна послідовність (послідовність, що сходить у собі , послідовність Коші ) - це послідовність елементів метричного простору, в якій для будь-якого наперед заданої відстані знайдеться такий елемент, відстань від якого до будь-якого з наступних за ним елементів не перевищує заданого. Для числових послідовностей поняття фундаментальної і послідовностей, що сходяться, еквівалентні, проте в загальному випадку це не так.
