Вирішимо тепер завдання про приведення довільної системи сил до даного центру, тобто про заміну даної системи сил іншою, їй еквівалентною, але значно простішою, а саме, що складається, як ми побачимо, тільки з однієї сили та пари.
Нехай на тверде тіло діє довільна система сил (рис. 40 а).
Виберемо якусь точку О за центр приведення і, користуючись теоремою, доведеною в § 11, перенесемо всі сили до центру О, приєднуючи при цьому відповідні пари (див. рис. 37, б). Тоді на тіло діятиме система сил
прикладених у центрі О, та система пар, моменти яких згідно з формулою (18) рівні:
Сходові сили, прикладені в точці, замінюються однією силою R, прикладеної в точці О. При цьому або, відповідно до рівностей (19),
Щоб скласти усі одержані пари, треба скласти вектори моментів цих пар. В результаті система пар заміниться однією парою, момент якої або відповідно до рівностей (20),
Як відомо, величина R дорівнює геометричній сумівсіх сил, що називається головним вектором системи величина дорівнює геометричній сумі моментів усіх сил щодо центру О, називається головним моментом системи сил щодо цього центру.
Таким чином, ми довели наступну теорему про приведення системи сил: будь-яка система сил, що діють на абсолютно тверде тіло, при приведенні до довільно обраного центру Про замінюється однією силою R, що дорівнює головному вектору системи сил і прикладеної в центрі приведення Про, і однією парою з моментом рівним головному моменту системи сил щодо центру (рис. 40, б).
Зауважимо, що сила R не є тут рівнодією даної системи сил, оскільки замінює систему сил не одна, а разом із парою.
З доведеної теореми випливає, що дві системи сил, що мають однакові головні вектори та головні моменти щодо одного й того самого центру, еквівалентні (умови еквівалентності систем сил).
Зазначимо, що значення R від вибору центру О, очевидно, не залежить. Значення ж при зміні положення центру може в загальному випадку змінюватися внаслідок зміни значень моментів окремих сил. Тому завжди необхідно вказувати, щодо якого центру визначається головний момент.
Метод приведення однієї сили до цієї точки можна застосувати до будь-якого числа сил. Припустимо, що у деяких точках тіла (рис. 1.24) прикладено сили F 1 F 2 , F 3і F4.Потрібно привести ці сили до точки Проплощині. Наведемо спочатку силу, прикладену в точці А.Докладемо (див. § 16) у точці Продві сили рівні нарізно за значенням заданій силі паралельні їй і направлені в протилежні сторони. В результаті наведення сили отримаємо силу , прикладену в точці О, і пару сил із плечем . Вчинивши так само з силою , прикладеної в точці В,отримаємо силу , прикладену в точці О,і пару сил із плечем тощо. буд. Плоскую систему сил, прикладених у точках А, В, Сі D,ми замінили схожими силами , прикладеними у точці О,і парами сил з моментами, рівними моментамизаданих сил щодо точки В:
рис.1.24
сили, Що Сходяться в точці, можна замінити однією силою рівною геометричній сумі складових,
Цю силу, рівну геометричній сумі заданих сил, називають головним вектором системи силі позначають.
За величиною проекцій головного вектора на осі координат знаходимо модуль головного вектора:
На підставі правила складання пар сил їх можна замінити результуючою парою, момент якої дорівнює сумі алгебри моментів заданих сил щодо точки Проі називається головним моментомщодо точки приведення
Таким чином, довільна плоска система сил наводиться до однієї сили(головному вектору системи сил) та одному моменту(Головному моменту системи сил).
Необхідно засвоїти, що головний вектор не є рівнодією даної системи сил, тому що ця система не еквівалентна одній силі . Так як головний вектор дорівнює геометричній сумі сил заданій системі, то ні модуль, ні напрямок його не залежить від вибору центру приведення. Значення та знак головного моменту залежить від положення центру приведення, оскільки плечі складових пар залежать від взаємного положення сил та точки (центру) щодо якої беруться моменти.
Окремі випадки приведення системи сил:
1); система перебувати у рівновазі, тобто. для рівноваги плоскої системи сил необхідно і достатньо, щоб її головний вектор і головний момент одночасно дорівнювали нулю.
Лекція 5
Короткий зміст: Приведення сили до заданого центру. Приведення системи сил до заданого центру. Умови рівноваги просторової системипаралельних сил. Умови рівноваги плоскої системи сил. Теорема про три моменти. Статично визначні та статично невизначені завдання. Рівновага системи тел.
ПРИВЕДЕННЯ СИСТЕМИ СИЛ ДО ЗАДАНОГО ЦЕНТРУ. УМОВИ РІВНОВАГИ
Приведення сили до заданого центру.
Рівнодіюча система схожих сил безпосередньо перебуває за допомогою складання сил за правилом паралелограма. Очевидно, що аналогічне завдання можна буде вирішити і для довільної системи сил, якщо знайти для них метод, що дозволяє перенести всі сили в одну точку.
Теорема про паралельне перенесення сили . Силу, прикладену до абсолютно твердого тіла, можна, не змінюючи чинності, що надається нею, переносити з даної точки в будь-яку іншу точку тіла, додаючи при цьому пару з моментом, рівним моменту сили, що переноситься відносно точки, куди сила переноситься.
Нехай сила прикладена у точці A. Дія цієї сили не змінюється, якщо в точці B докласти дві врівноважені сили. Отримана система трьох сил є рівну силу, але прикладену в точці В і пару з моментом. Процес заміни сили силою та парою сил називається приведенням сили до заданого центру.
Приведення системи сил до заданого центру.
Основна теоремастатики (Пуанс).
Будь-яку довільну систему сил, що діє на тверде тіло, можна в загальному випадку призвести до сили та пари сил. Цей процес заміни системи сил однією силою та однією парою сил називається приведенням системи сил до заданого центру.
Головним вектором системи силназивається вектор, рівний векторної сумицих сил.
Головним моментом системи силщодо точки О тіла, називається вектор, що дорівнює векторній сумі моментів усіх сил системи щодо цієї точки.
Формули для обчислення головного вектора та головного моменту
Формули для обчислення модуля та напрямних косінусів
головного вектора та головного моменту
Умови рівноваги системи сил.
Векторні форми.
Для рівноваги довільної системи сил, прикладених до твердого тіла, необхідно і достатньо, щоб головний вектор системи сил дорівнював нулю і головний момент системи сил щодо будь-якого центру приведення також дорівнював нулю.
Алгебраїчна форма.
Для рівноваги довільної системи сил, що додаються до твердого тіла, необхідно і достатньо, щоб три суми проекцій усіх сил на осі декартових координатдорівнювали нулю і три суми моментів всіх сил щодо трьох осей координат також дорівнювали нулю.
Умови рівноваги просторової системи
паралельних сил.
На тіло діє система паралельних сил. Розташуємо вісь Oz паралельно до сил.
Рівняння 
Для рівноваги просторової системи паралельних сил, що діють на тверде тіло, необхідно і достатньо, щоб сума проекцій цих сил дорівнювала нулю і суми моментів цих сил щодо двох координатних осей, перпендикулярним силам, також дорівнювали нулю.
- проекція сили на вісь Oz.
ПЛОСЬКА СИСТЕМА СИЛ.
Умови рівноваги плоскої системи сил.
На тіло діє пласка система сил. Розташуємо осі Ox і Oy у площині дії сил.
Рівняння 
Для рівноваги плоскої системи сил, що діють на тверде тіло, необхідно і достатньо, щоб суми проекцій цих сил на кожну з двох прямокутних осей координат, розташованих у площині дії сил, дорівнювали нулю і сума моментів цих сил відносно будь-якої точки, що знаходиться в площині дії сил також дорівнювала нулю.
Теорема про три моменти.
Для рівноваги плоскої системи сил, що діють на тверде тіло, необхідно і достатньо, щоб суми моментів цих сил системи щодо трьох будь-яких точок, розташованих у площині дії сил і не лежать на одній прямій, дорівнювали нулю.
Статично визначні та статично невизначені завдання.
Для будь-якої плоскої системи сил, що діють на тверде тіло, є три незалежні умови рівноваги. Отже, для будь-якої плоскої системи з умов рівноваги можна знайти трохи більше трьох невідомих.
У разі просторової системи сил, що діють на тверде тіло, є шість незалежних умов рівноваги. Отже, для будь-якої просторової системи з умов рівноваги можна знайти трохи більше шести невідомих.
Завдання, у яких число невідомих не більше за кількість незалежних умов рівноваги для даної системи сил, прикладених до твердого тіла, називаються статично визначними.
Інакше завдання статично невизначені.
Рівновага системи тел.
Розглянемо рівновагу сил, прикладених до системи тіл, що взаємодіють між собою. Тіла можуть бути з'єднані між собою за допомогою шарнірів чи іншим способом.
Сили, що діють на систему тіл, що розглядається, можна розділити на зовнішні і внутрішні.
Зовнішніминазиваються сили, із якими на тіла аналізованої системи діють тіла, які входять у цю систему сил.
внутрішніминазиваються сили взаємодії між тілами системи, що розглядається.
При розгляді рівноваги сил, прикладених до системи тіл, можна подумки розчленувати систему тіл на окремі тверді тіла і до сил, які діють ці тіла, застосувати умови рівноваги, отримані одного тіла. До цих умов рівноваги увійдуть як зовнішні, так і внутрішні сили системи тіл. Внутрішні силина підставі аксіоми про рівність сил дії та протидії у кожній точці зчленування двох тіл утворюють рівноважну систему сил.
Покажемо це з прикладу системи двох тіл і плоскої системи сил.
Якщо скласти умови рівноваги для кожного твердого тіласистеми тіл, то для тіла I 
.
для тіла II 
Крім того, з аксіоми про рівність сил дії та протидії для двох тіл, що взаємодіють, маємо 
.
Представлені рівності є умови рівноваги зовнішніх силдіють на систему.
Реакція закладення.
Розглянемо балку один кінець якої АВ замуровано в стіну. Таке кріплення кінця балки АВ називається закладенням у точціВ. Нехай на балку діє пласка система сил. Визначимо сили, які треба докласти до точки балки, якщо частину балки АВ відкинути. До перерізу балки (В) додані розподілені сили реакції. Якщо ці сили замінити елементарними зосередженими силами і потім привести їх до точки В, то в точці Отримаємо силу (головний вектор сил реакції) і пару сил з моментом М (головний вектор сил реакції щодо точки В). Момент М називають моментом закладенняабо рективним моментом.Силу реакції можна замінити двома складовими та .
Закладення на відміну від шарніра створює не тільки невідому за величиною та напрямком реакцію, але ще й пару сил з невідомим моментом М у закладенні.
Описаний метод приведення однієї сили до цієї точки можна застосувати до будь-якого числа сил. Припустимо, що в точках тіла A,B,Cі D(рис. 19) докладено сили 1 , 2 , 3 і 4 . Потрібно привести ці сили до точки Проплощині. Наведемо спочатку силу 1 , прикладену в точці А.Докладемо у точці Продві сили ’ 1 і ’’ 1 , рівні порізно по модулю заданої сили 1 , паралельні їй та спрямовані в протилежні сторони. Внаслідок приведення сили 1 отримаємо силу ’ 1 , прикладену в точці Про, і пару сил 1 ’’ 1 (сили, що утворюють пару, відзначені рисками) з плечем а 1. Вчинивши так само з силою 2 , прикладеної в точці У, отримаємо силу 2 , прикладену в точці Про, і пару сил 2 ’’ 2 з плечем а 2і т.д.
Плоскую систему сил, прикладених у точках А, У, Зі D, ми замінили схожими силами ’ 1 , ’ 2 , ’ 3 і ’ 4 , доданими у точці Про, і парами сил з моментами, рівними моментам заданих сил щодо точки Про:
М 1 = Р 1 а 1 = М о (1); М 2 = Р 2 а 2 = М о (2);
М 3 = - Р 3 а 3 = М о (3); М 4 = - Р 4 а 4 = М о (4).
сили, Що Сходяться в точці, можна замінити однією силою " , що дорівнює геометричній сумі складових,
" = " 1 + " 2 + " 3 + " 4 = 1 + 2 + 3 + 4 = i .(16)
Цю силу, рівну геометричній сумі заданих сил, називають основним вектором системи сил.
На підставі правила складання пар сил можна замінити результуючою парою, момент якої дорівнює алгебраїчній сумі моментів заданих сил щодо точки Про:
М о = М 1 + М 2 + М 3 + М 4 = i = o(i).(17)
За аналогією з головним вектором момент М 0пари, що дорівнює алгебраїчній сумі моментів усіх сил щодо центру приведення Про, називають основним моментом системи щодо даного центру приведення Про.Отже, у загальному випадку плоска система сил у результаті приведення до цієї точки Про замінюється еквівалентною їй системою, що складається з однієї сили – головного вектора – і однієї пари, момент якої називають головним моментом заданої системи сил щодо центру приведення.
Необхідно засвоїти, що головний вектор ’ не є рівнодією даної системи сил, тому що ця система не еквівалентна одній силі ’. Тільки в окремому випадку, коли головний момент перетворюється на нуль, головний вектор буде рівнодіючої даної системи сил. Оскільки головний вектор дорівнює геометричній сумі сил цієї системи, то ні модуль, ні напрямок його не залежать від вибору центру приведення. Величина та знак головного моменту М 0залежать від положення центру приведення, оскільки плечі складових пар залежать від взаємного положення сил і точки (центру), щодо якої беруться моменти.
Можуть зустрітися такі випадки приведення системи сил:
1. " ≠ 0; М о ≠ 0 -загальний випадок; система наводиться до головного вектора та до головного моменту.
2. ≠ 0; М о = 0;система приводиться до однієї рівнодіючої, що дорівнює головному вектору системи.
3. " = 0; М о ≠ 0;система наводиться до пари сил, момент якої дорівнює головному моменту.
4. "= 0; М о = 0;система перебуває у рівновазі.
Можна довести, що в загальному випадку, коли " ≠ 0 і М о ≠ 0,завжди є точка, щодо якої головний момент системи сил дорівнює нулю.
Розглянемо плоску систему сил, яка наведена до точки Про, тобто. замінена головним вектором " ≠ 0 , доданим у точці Про, та головним моментом М о ≠ 0(Рис. 20).
Для визначеності приймемо, головний момент спрямований за годинниковою стрілкою, тобто. Мо< 0. Зобразимо цей головний момент парою сил "" модуль яких виберемо рівним модулю головного вектора " , тобто. R =R '' = R '. Одну з сил, що становлять пару, – силу "" – докладемо у центрі приведення Про, іншу силу - в деякій точці З, положення якої визначиться за умови: М о = ОС * R.Отже,
ОС =. (18)
Розташуємо пару сил "" так, щоб сила "" була спрямована у бік, протилежний головному вектору " . У точці Про(рис. 20) маємо дві рівні взаємно протилежні сили " і "" , Спрямовані по одній прямий; їх можна відкинути (відповідно до третьої аксіоми). Отже, щодо точки ЗГоловний момент аналізованої системи сил дорівнює нулю, і система наводиться до рівнодіючої .
§ 18. Теорема про момент рівнодіючої (теорема Варіньйона)
У загальному випадку (див. § 17) довільна пласка система сил наводиться до головного вектора " та головному моменту М 0щодо обраного центру приведення, причому головний момент дорівнює сумі алгебри моментів заданих сил щодо точки Про
М о = o (i).(а)
Було показано, що можна вибрати центр наведення (на рис. 20 точка З), щодо якого головний момент системи дорівнюватиме нулю, і система сил приведеться до однієї рівнодіючої , рівної за модулем головного вектора ( R = R’). Визначимо момент рівнодіючої щодо точки Про. Враховуючи, що плече ОСсили одно , отримуємо
М о () = R * OC = R = М о.(б)
Дві величини, порізно рівні третьої, рівні між собою, тому з рівнянь (а) та (б) знаходимо
М о () = o (i).(19)
Отримане рівняння висловлює теорему Варіньйона: момент рівнодіючої плоскої системи сил щодо довільно взятої точки дорівнює сумі алгебри моментів складових сил відносно тієї ж точки.
З теореми Варіньйона випливає, що головний момент плоскої системи сил щодо будь-якої точки, що лежить на лінії дії, що її рівнодіє, дорівнює нулю.
