Центрошвидке прискорення- компонента прискорення точки, що характеризує швидкість зміни напрямку вектора швидкості для траєкторії з кривизною (друга компонента, тангенціальне прискорення, характеризує зміну модуля швидкості). Направлено до центру кривизни траєкторії, що й обумовлений термін. За величиною дорівнює квадрату швидкості, поділеному на радіус кривизни. Термін «відцентрове прискорення» еквівалентний терміну « нормальне прискорення». Ту складову суми сил, яка зумовлює це прискорення, називають доцентровою силою .

Найбільш простим прикладомдоцентрового прискорення є вектор прискорення при рівномірному русіпо колу (спрямований до центру кола).

Загострювальне прискоренняв проекції на площину, перпендикулярну до осі, постає як доцентрове.

Енциклопедичний YouTube

• 1 / 5

  A n = v 2 R (\displaystyle a_(n)=(\frac (v^(2))(R))\ ) a n = ω 2 R , (\displaystyle a_(n)=\omega ^(2)R\ ,)

  де a n (\displaystyle a_(n)\ )- нормальне (відцентрове) прискорення, v (\displaystyle v\ )- (миттєва) лінійна швидкість руху по траєкторії, ω (\displaystyle \omega \ )- (миттєва) кутова-швидкість цього руху щодо центру кривизни траєкторії, R (\displaystyle R\)- радіус кривизни траєкторії у цій точці. (Зв'язок між першою формулою та другою очевидний, враховуючи v = R ( \ displaystyle v = \ omega R \ )).

  Вирази вище включають абсолютні величини. Їх легко записати у векторному вигляді, домноживши на e R (\displaystyle \mathbf(e) _(R))- одиничний вектор від центру кривизни траєкторії до цієї точки:

  a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R (\displaystyle \mathbf(a) _(n)=(\frac (v^(2))(R))\mathbf(e) _(R)= (\frac (v^(2))(R^(2)))\mathbf (R) ) a n = ω 2 R . (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=\omega ^(2)\mathbf (R) .)

  Ці формули однаково застосовні до випадку руху з постійною (за абсолютною величиною) швидкістю, і до довільного випадку. Однак у другому треба мати на увазі, що доцентрове прискорення не є повний вектор прискорення, а лише його складова, перпендикулярна траєкторії (або, що те ж, перпендикулярна вектору миттєвої швидкості); в повний вектор прискорення тоді входить ще й тангенціальна складова ( тангенціальне прискорення) a τ = d v / d t (\displaystyle a_(\tau )=dv/dt\ ), у напрямку збігається з дотичною до траєкторії (або, що те саме, з миттєвою швидкістю) .

  Мотивація та висновок

  Те, що розкладання вектора прискорення на компоненти - одну вздовж дотичного до траєкторії вектора (тангенціальне прискорення) та іншу ортогональну йому (нормальне прискорення) - може бути зручним і корисним, досить очевидно саме собою. При русі з постійною за модулем швидкістю тангенціальна складова стає рівною нулю, тобто в цьому важливому окремому випадку залишається тількинормальна складова. Крім того, як можна побачити нижче, кожна з цих складових має яскраво виражені власні властивості та структуру, і нормальне прискорення містить у структурі своєї формули досить важливе та нетривіальне геометричне наповнення. Не кажучи вже про важливий окремий випадок руху по колу.

  Формальний висновок

  Розкладання прискорення на тангенціальну та нормальну компоненти (друга з яких і є доцентрове або нормальне прискорення) можна знайти, продиференціювавши за часом вектор швидкості , представлений у вигляді v = v e τ (\displaystyle \mathbf(v) =v\,\mathbf(e) _(\tau ))через одиничний вектор дотичної e τ (\displaystyle \mathbf (e) _(\tau )):

  a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + d t d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n ( v) )(dt))=(\frac (d(v\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t ))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm ( d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))=(\ frac (\mathrm (d) v) (\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _( n)\ ,)

  Тут використано позначення для одиничного вектора нормалі до траєкторії та l (\displaystyle l\)- для поточної довжини траєкторії ( l = l (t) (\displaystyle l=l(t)\ )); в останньому переході також використано очевидне

  d l / d t = v (\displaystyle dl/dt=v\)

  і, з геометричних міркувань,

  d e d l = e n R . (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))=(\frac (\mathbf (e) _(n))(R)).) v 2 R e n (\displaystyle (\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ )

  Нормальним (відцентровим) прискоренням. При цьому його сенс, зміст об'єктів, що входять до нього, а також доказ того факту, що він дійсно ортогональний щодо вектора (тобто що e n (\displaystyle \mathbf(e) _(n)\ )- дійсно вектор нормалі) - буде випливати з геометричних міркувань (втім, те, що похідна будь-якого вектора постійної довжини за часом перпендикулярна самому цьому вектору, - досить простий факт; в даному випадку ми застосовуємо це твердження для d e τ d t (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt)))

  Зауваження

  Легко помітити, що абсолютна величина тангенціального прискорення залежить лише від дорожнього прискорення, збігаючись з його абсолютною величиною, на відміну абсолютної величини нормального прискорення, яка від дорожнього прискорення не залежить, зате залежить від дорожньої швидкості.

  Наведені тут способи або їх варіанти можуть бути використані для введення таких понять, як кривизна кривої та радіус кривизни кривої (оскільки у випадку, коли крива - коло, R (\displaystyle R)збігається з радіусом такого кола; не дуже важко також показати, що коло в площині e τ , e n (\displaystyle \mathbf (e) _(\tau ),\,e_(n))з центром у напрямку e n (\displaystyle e_(n)\ )від цієї точки на відстані R (\displaystyle R)від неї - буде збігатися з даною кривою - траєкторією - з точністю до другого порядку трішки на відстані до цієї точки).

  Історія

  Першим правильні формулидля доцентрового прискорення (або відцентрової сили) отримав, мабуть, Гюйгенс. Фактично з цього часу розгляд доцентрового прискорення входить у звичайну техніку вирішення механічних завдань і т.д.

  Дещо пізніше ці формули відіграли істотну роль у відкритті закону всесвітнього тяжіння (формула доцентрового прискорення використовувалася для отримання закону залежності. гравітаційної силивід відстані до джерела гравітації, виходячи з виведеного зі спостережень третього закону Кеплера).

  До XIX віцірозгляд доцентрового прискорення стає вже абсолютно рутинним як для чистої науки, так і для інженерних додатків.

  Дозволяє нам існувати на цій планеті. Як можна зрозуміти, що є доцентровим прискоренням? Визначення цієї фізичної величинипредставлено нижче.

  Спостереження

  Найпростіший приклад прискорення тіла, що рухається коло, можна спостерігати, обертаючи камінь на мотузці. Ви тягнете мотузку, а мотузка тягне камінь до центру. У кожний момент часу мотузка повідомляє каменю деяку кількість руху, і щоразу – у новому напрямку. Можна уявити рух мотузки як серії слабких ривків. Ривок – і мотузка змінює свій напрямок, ще ривок – ще раз зміна, і так по колу. Якщо ви раптово відпустите мотузку, ривки припиняться, а разом з ними і припиниться зміна напрямку швидкості. Камінь рухатиметься у напрямку до кола. Виникає питання: "З яким прискоренням рухатиметься тіло цієї миті?"

  Формула доцентрового прискорення

  Насамперед варто зауважити, що рух тіла по колу є складним. Камінь бере участь у двох видах руху одночасно: під дією сили він рухається до центру обертання, і одночасно по дотичній до кола від цього центру віддаляється. Згідно з Другим законом Ньютона, сила, яка утримує камінь на мотузці, спрямована до центру обертання вздовж цієї мотузки. Туди буде направлено вектор прискорення.

  Нехай за деякий час t наш камінь, рівномірно рухаючись зі швидкістю V, потрапляє з точки A до точки B. Припустимо, що в момент часу, коли тіло перетинало точку B, на нього перестала діяти відцентрова сила. Тоді за проміжок часу воно потрапило б до точки K. Вона лежить на дотичній. Якби в той же момент часу на тіло діяли б тільки доцентрові сили, то за час t, рухаючись з однаковим прискоренням, воно виявилося б у точці O, яка розташована на прямій, що представляє собою діаметр кола. Обидва відрізки є векторами і підпорядковуються правилу векторної додавання. В результаті підсумовування цих двох рухів за відрізок часу t отримуємо результуючу рух по дузі AB.

  

  Якщо проміжок часу t взяти зневажливо малим, то дуга AB мало відрізнятиметься від хорди AB. Таким чином, можна замінити рух дугою рухом по хорді. У цьому випадку переміщення каменю по хорді підпорядковуватиметься законам прямолінійного руху, тобто пройдена відстань AB дорівнює твору швидкості каменю на час його руху. AB = V x t.

  Позначимо шукане доцентрове прискорення буквою a. Тоді пройдений тільки під дією доцентрового прискорення шлях можна розрахувати за формулою рівноприскореного руху:

  Відстань AB дорівнює добутку швидкості та часу, тобто AB = V х t,

  AO - обчислено раніше за формулою рівноприскореного руху для переміщення прямою: AO = at 2 / 2.

  Підставляючи ці дані у формулу та перетворюючи їх, отримуємо просту та витончену формулу доцентрового прискорення:

  Словами це можна висловити так: доцентрове прискорення тіла, що рухається по колу, дорівнює приватному від розподілу лінійної швидкості в квадраті на радіус кола, по якому обертається тіло. Відцентрова сила в такому випадку буде виглядати так, як на малюнку нижче.

  

  Кутова швидкість

  Кутова швидкість дорівнює частці від поділу лінійної швидкості на радіус кола. Правильне і зворотне твердження: V = ωR, де ω - кутова швидкість

  Якщо підставити це значення у формулу, можна отримати вираз відцентрового прискорення для кутової швидкості. Воно буде виглядати так:

  Прискорення без зміни швидкості

  І все-таки, чому тіло з прискоренням, спрямованим до центру, не рухається швидше і не переміщується ближче до центру обертання? Відповідь у самому формулюванні прискорення. Факти говорять про те, що рух по колу реальний, але для його підтримки потрібне прискорення, спрямоване до центру. Під дією сили, викликаної даним прискоренням, відбувається зміна кількості руху, у результаті траєкторія руху постійно викривляється, постійно змінюючи напрямок вектора швидкості, але з змінюючи її абсолютної величини. Рухаючись по колу, наш багатостраждальний камінь прямує всередину, інакше він продовжував би рухатися по дотичній. Кожну мить часу, йдучи дотичною, камінь притягується до центру, але не потрапляє до нього. Ще одним прикладом доцентрового прискорення може стати водний лижник, що описує невеликі кола на воді. Фігура спортсмена нахилена; він ніби падає, продовжуючи рух і нахилившись уперед.

  

  Отже, можна дійти невтішного висновку у тому, що прискорення не збільшує швидкість тіла, оскільки вектори швидкості і прискорення перпендикулярні друг до друга. Додаючись до вектора швидкості, прискорення лише змінює напрямок руху та утримує тіло на орбіті.

  Перевищення запасу міцності

  У попередньому досвіді ми мали справу з ідеальним мотузком, який не рвався. Але, припустимо, наша мотузка звичайнісінька, і навіть можна обчислити зусилля, після якого вона просто порветься. Щоб розрахувати цю силу, досить зіставити запас міцності мотузки з навантаженням, що вона відчуває у процесі обертання каменя. Обертаючи камінь з більшою швидкістю, ви повідомляєте йому більша кількістьруху, отже, і більше прискорення.

  

  При діаметрі джутової мотузки близько 20 мм її міцність на розрив дорівнює близько 26 кН. Цікаво, що довжина мотузки ніде не фігурує. Обертаючи вантаж розміром 1 кг на мотузці радіусом в 1 м, можна обчислити, що лінійна швидкість, необхідна для її розриву дорівнює 26 х 10 3 = 1кг х V 2 / 1 м. Таким чином, швидкість, яку небезпечно перевищуватиме, буде дорівнює √ 26 х 103 = 161 м/с.

  Сила тяжіння

  При розгляді досвіду ми нехтували дією сили тяжіння, оскільки за таких великих швидкостях її вплив зневажливо мало. Але можна помітити, що при розкручуванні довгої мотузки тіло описує складнішу траєкторію і поступово наближається до землі.

  Небесні тіла

  Якщо перенести закони руху по колу в космос і застосувати їх до руху небесних тіл, можна знову відкрити кілька давно знайомих формул. Наприклад, сила, з якою тіло притягується до Землі, відома за такою формулою:

  У нашому випадку множник g і є тим самим доцентровим прискоренням, яке було виведено з попередньої формули. Тільки в цьому випадку роль каменю виконуватиме небесне тіло, що притягується до Землі, а роль мотузки - сила земного тяжіння. Множник g буде виражений через радіус нашої планети та швидкість її обертання.

  

  Підсумки

  Сутність доцентрового прискорення полягає у важкій і невдячній роботі утримання рухомого тіла на орбіті. Спостерігається парадоксальний випадок, коли за постійного прискорення тіло не змінює величини своєї швидкості. Для непідготовленого розуму така заява є досить парадоксальною. Тим не менш і при розрахунку руху електрона навколо ядра, і при обчисленні швидкості обертання зірки навколо чорної дірки, доцентрове прискорення грає не останню роль.

  Два промені, що виходять із неї, формують кут. Його значення можна визначити як у радіанах, і у градусах. Тепер на деякій відстані від точки-центру подумки проведемо коло. Міра кута, виражена в радіанах, у такому разі є математичним відношенням довжини дуги L, відокремленої двома променями, до значення відстані між центральною точкою і лінією кола (R), тобто:

  Якщо тепер уявити описану систему матеріальної, то до неї можна застосувати не тільки поняття кута та радіусу, але також доцентрове прискорення, обертання і т.д. Більшість з них описують поведінку точки, що знаходиться на колі, що обертається. До речі, суцільний диск також може бути представлений набором кіл, відмінність яких лише на відстані від центру.

  Одна з характеристик подібної системи, що обертається, - це період звернення. Він вказує на значення часу, за який точка на довільному колі повернеться до початкового положення або, що також вірно, обернеться на 360 градусів. При постійної швидкості обертання виконується відповідність T = (2 * 3.1416) / Ug (тут і далі Ug - кут).

  Частота обертання вказує на кількість повних оборотів, що виконуються за 1 секунду. При постійної швидкості отримуємо v = 1/T.

  Залежить від часу і так званого кута повороту. Тобто якщо взяти за початок відліку довільну точку А на колі, то при обертанні системи ця точка зміститься до А1 за час t, утворивши кут між радіусами А-центр і А1-центр. Знаючи час і кут, можна визначити кутову швидкість.

  А якщо є коло, рух і швидкість, значить, присутнє і доцентрове прискорення. Воно є однією зі складових, що описують переміщення у разі криволінійного руху. Терміни «нормальне» та «відцентрове прискорення» ідентичні. Відмінність у тому, що другий застосовують для опису переміщення по колу, коли прискорення вектор спрямований до центру системи. Тому завжди необхідно знати, як саме рухається тіло (точка) та його доцентрове прискорення. Визначення його таке: воно є швидкістю зміни швидкості, вектор якого спрямований перпендикулярно до напрямку вектора і змінює спрямованість останнього. В енциклопедії зазначено, що вивченням цього питання займався Ґюйгенс. Формула доцентрового прискорення, запропонована ним, виглядає як:

  Acs = (v * v) / r,

  де r – радіус кривизни пройденого шляху; v – швидкість переміщення.

  Формула, за якою розраховують доцентрове прискорення, досі викликає спекотні суперечки серед ентузіастів. Наприклад, нещодавно було озвучено цікаву теорію.

  Гюйгенс, розглядаючи систему, виходив з того, що тіло переміщається по колу радіуса R зі швидкістю v, виміряною в початковій точціА. Так як вектор інерції спрямований по виходить траєкторія у вигляді прямої АБ. Однак доцентрова сила утримує тіло на колі в точці С. Якщо позначити центр за Про провести лінії АБ, БО (сума БС і СО), а також АТ, то виходить трикутник. Відповідно до закону Піфагора:

  БС = (a * (t * t)) / 2, де а - прискорення; t - час (a * t * t - це і є швидкість).

  Якщо тепер використати формулу Піфагора, то:

  R2+t2+v2 = R2+(a*t2*2*R) / 2+ (a*t2/2)2, де R - радіус, а буквено-цифрове написання без знака множення - ступінь.

  Гюйгенс припустив, що, оскільки час t мало, його можна в розрахунках не враховувати. Перетворивши попередню формулу, вона дійшла відомої Acs = (v * v) / r.

  Однак оскільки час взято в квадраті, то виникає прогресія: що більше t, то вища похибка. Наприклад, для 0.9 виявляється неврахованими майже підсумкового значення 20%.

  Поняття доцентрового прискорення важливе для сучасної наукиАле, очевидно, у цьому питанні ще рано ставити крапку.

  Нехай матеріальна точка поступово рухається по колу. Тоді модуль швидкості не змінюється ($v=const$). Але це не означає, що прискорення матеріальної точкиодно нулю. Вектор швидкості спрямований щодо траєкторії руху точки. При переміщенні по колу швидкість змінює свій напрямок постійно. Значить, точка рухається із прискоренням.

  Розглянемо точки A і B належать траєкторії руху тіла, що розглядається. Вектор зміни швидкості для цих точок дорівнює:

  \[\Delta \overline(v)=(\overline(v))"-\overline(v)\left(1\right).\]

  Якщо час руху між точками A і B мало, то дуга AB мало відрізняється від хорди AB. Трикутники AOB і BMN подібні, отже:

  \[\frac(\Delta v)(v)=\frac(\Delta l)(r)=\alpha \left(2\right).\]

  Модуль середнього прискорення знайдемо як:

  \[\left\langle a\right\rangle =\frac(\Delta v)(\Delta t)=\frac(v\Delta l)(r\Delta t)\left(3\right).\]

  Величину миттєвого прискорення можна отримати, перейшовши до межі при $ Delta t \ 0 $ від $ \ left \ langle a \ right \ rangle $:

  Вектор середнього прискорення складає з вектором швидкості кут рівний:

  \[\beta =\frac(\pi +\alpha )(2)\left(5\right).\]

  При $\Delta t\to 0 $ кут $\alpha \to 0.$ Виходить, що вектор миттєвого прискорення складає з вектором швидкості кут $\frac(\pi )(2)$.

  Ми отримали, що матеріальна точка, що рівномірно рухається по колу, має прискорення, спрямоване до центру траєкторії руху (перпендикулярне до вектора швидкості), його модуль дорівнює швидкостіу квадраті, поділеній на радіус кола. Таке прискорення називають доцентровим або нормальним, позначають його зазвичай $(\overline(a))_n$.

  де $ \ omega $ - Кутова швидкість руху матеріальної точки ($ v = \ omega \ cdot r $).

  Визначення доцентрового прискорення

  Визначення

  І так, доцентрове прискорення(У загальному випадку) - це складова повного прискорення матеріальної точки, яка характеризує, як швидко змінюється напрямок вектора швидкості при криволінійному переміщенні. Інший компонент повного прискорення є тангенціальне прискорення, воно відповідає за зміну величини швидкості.

  Центрошвидке прискорення дорівнює:

  \[(\overline(a))_n=\frac(v^2)(r^2)\overline(r\ )\left(7\right),\]

  де $e_r=\frac(\overline(r\))(r)$ - одиничний вектор, спрямований від центру кривизни траєкторії до розглянутої точки.

  Вперше вірні формули для доцентрового прискорення були отримані Х. Гюйгенсом.

  Одиницею вимірювання доцентрового прискорення в Міжнародній системі одиниць є метр, поділений на секунду в квадраті:

  \[\left=\frac(м)(с^2).\]

  Приклади завдань із розв'язанням

  Приклад 1

  Завдання.Диск обертається навколо нерухомої осі. Закон зміни кута повороту радіуса диска визначає рівняння: $\varphi =5t^2+7\ (рад)$. Чому дорівнює доцентрове прискорення точки A диска, яка знаходиться на відстані $r=$0,5 м від осі обертання до закінчення четвертої секунди від початку обертання?

  Рішення.Зробимо малюнок.

  

  Модуль доцентрового прискорення дорівнює: \

  Кутову швидкість обертання точки знайдемо як:

  \[\omega =\frac(d\varphi)(dt)\ (1.2)\]

  рівняння зміни кута повороту залежно від часу:

  \[\omega =\frac(d\left(5t^2+7\right))(dt)=10t\ \left(1.3\right).\]

  Наприкінці четвертої секунди кутова швидкість дорівнює:

  \[\omega \left(t=4\right)=10\cdot 4=40\ \left(\frac(рад)(с)\right).\]

  Використовуючи вираз (1.1) знайдемо величину доцентрового прискорення:

  Відповідь.$a_n=800\frac(м)(с^2)$.

  Приклад 2

  Завдання.Рух матеріальної точки задається за допомогою рівняння: $ \ overline (r) \ left (t \ right) = 0,5 \ ( \ overline ( i) ( \ cos \ left ( \ omega t \ right) + \ overline (j) (\sin (\omega t)\ )\ ))$, де $\omega =2\ \frac(рад)(с)$. Якою є величина нормального прискорення точки?

  Рішення.За основу розв'язання задачі приймемо визначення доцентрового прискорення у вигляді:

  З умов завдання видно, що траєкторією руху точки є коло. У параметричному вигляді рівняння: $\overline(r)\left(t\right)=0,5\ (\overline(i)(\cos \left(\omega t\right)+\overline(j)(\sin) (\omega t)\ )\ ))$, де $\omega =2\ \frac(рад)(с)$ можна представити як:

  \[\left\( \begin(array)(c) x=0,5(\cos \left(2t\right);;\ ) \\ y=0,5(\sin \left(2t\right)) .\ ) \end(array) \right.\]

  Радіус траєкторії можна знайти як:

  Компоненти швидкості рівні:

  \ \

  Отримаємо модуль швидкості:

  Підставимо величину швидкості та радіус кола у вираз (2.2), маємо:

  Відповідь.$a_n=2\frac(м)(с^2)$.