Багаточлен над кільцем цілих чисел називається примітивним, якщо найбільший загальний дільник його коефіцієнтів дорівнює 1. Багаточлен з раціональними коефіцієнтами єдиним чином представляється у вигляді добутку позитивного раціонального числа, що називається змістомбагаточлена і примітивного багаточлена. Добуток примітивних багаточленів є примітивний багаточлен. З цього факту випливає, що й многочлен з цілими коефіцієнтами наводимо над полем раціональних чисел, він наводимо над кільцем цілих чисел. Таким чином, завдання розкладання многочлена на множники, що не наводяться над полем раціональних чисел зводиться до аналогічної задачі над кільцем цілих чисел.
Нехай - багаточлен з цілими коефіцієнтами та змістом 1, а - його раціональний корінь. Представимо корінь многочлена у вигляді нескоротного дробу. Багаточлен f(x) представляється як твори примітивних многочленов . Отже,
A. чисельник є дільником,
B. знаменник – дільником
C. для будь-якого цілого kзначення f(k) – ціле число, яке ділиться без залишку на ( bk-a).
Перелічені властивості дозволяють звести завдання відшукання раціонального коріння багаточлена до кінцевого перебору. Схожий підхід використовують у розкладанні многочлена fна множники, що не наводяться над полем раціональних чисел методом Кронекера. Якщо багаточлен f(x) ступеня nнаводимо, то один із множників має ступінь не вище n/2. Позначимо цей множник через g(x). Оскільки всі коефіцієнти многочленів є цілими числами, то для будь-якого цілого aзначення f(a) ділиться без залишку на g(a). Виберемо m= 1+n/2 різних цілих чисел a i , i=1,…,m. Для чисел g(a i) існує кінцева кількість можливостей (кількість дільників будь-якого ненульового числа звичайно), отже, існує кінцева кількість багаточленів, які можуть бути дільниками f(x). Здійснивши повний перебір, або покажемо непривідність багаточлена, або розкладемо їх у твір двох багаточленів. До кожного множника застосуємо вказану схему до тих пір, поки всі множники не стануть багаточленами, що не наводяться.
Неприводимость деяких многочленів над полем раціональних чисел можна встановити з допомогою простого критерію Ейзенштейна.
Нехай f(x) многочлен над кільцем цілих чисел. Якщо існує просте число p, що
I. Усі коефіцієнти многочлена f(x), крім коефіцієнта при старшому ступені, поділяються на p
ІІ. Коефіцієнт при старшому ступені не поділяється на p
ІІІ. Вільний член не поділяється на
Тоді багаточлен f(x) ненаводимо над полем раціональних чисел.
Слід зазначити, що критерій Ейзенштейна дає достатні умовинеприведення багаточленів, але не необхідні. Так багаточлен є ненаведеним над полем раціональних чисел, але не задовольняє критерію Ейзенштейна.
Багаточлен, за критерієм Ейзенштейна, є ненаведеним. Отже, над полем раціональних чисел знайдеться неприведений багаточленступеня n, де nбудь-яке натуральне число більше 1.
Поле називається замкненим алгебри, якщо будь-який многочлен над цим полем, не рівний константімає хоча б один корінь. З теореми Безу відразу випливає, що над таким полем будь-який неконстантний багаточлен розкладемо у твір лінійних множників. У цьому сенсі алгебраїчно замкнені поля влаштовані простіше, ніж алгебраїчно замкнуті. Ми знаємо, що над полем дійсних чисел не всякий квадратний тричленмає корінь, тим самим поле ℝ не є замкненим алгебри. Виявляється йому трохи не вистачає до замкнутості алгебри. Іншими словами: вирішивши здавалося б приватне завдання про рівняння, ми одночасно впоралися з рештою поліноміальних рівнянь.
ОСНОВНА ТЕОРЕМА АЛГЕБРИ.Будь-який многочлен над полем ℂ, не рівний константі, має хоча б один комплексний корінь.
СЛІДСТВО.Будь-який многочлен, не рівний константі, над полем комплексних чисел розкладемо у добуток лінійних множників:
Тут - старший коефіцієнт багаточлена - всі різні комплексне коріннябагаточлена, - їх кратності. Повинна виконуватись рівність
Доказ слідства є нескладною індукцією за ступенем багаточлена.
Над іншими полями стан справ не такий добрий у сенсі розкладності багаточленів. Назвемо багаточлен ненаведеним, якщо він по-перше, не константа, а, по-друге, не розкладемо у твір багаточленів менших ступенів. Зрозуміло, що будь-який лінійний многочлен (над будь-яким полем) не наводиться. Наслідок можна переформулювати так: неприведені багаточлени над полем комплексних чисел з одиничним старшим коефіцієнтом (інакше: унітарні) вичерпуються багаточленами виду ().
Розкладність квадратного тричлена рівнозначна наявності хоча б одного кореня. Перетворюючи рівняння до виду, укладаємо, що корінь квадратного тричлена існує тоді й лише тоді, коли дискримінант є квадратом будь-якого елемента поля K (тут припускаємо, що 2≠ 0 у полі K). Звідси отримуємо
ПРОПОЗИЦІЯ.Квадратний тричлен над полем K, у якому 2≠ 0, ненаводимо тоді і тільки тоді, коли він не має коріння в полі K. Це рівнозначно тому, що дискримінант не є квадратом жодного елемента поля K. Зокрема, над полем дійсних чисел квадратний тричлен ненаводимо, якщо і тільки, якщо.
Отже над полем дійсних чисел існують принаймні два види багаточленів, що не наводяться: - лінійні і квадратичні і негативним дискримінантом. Виявляється, що ці два випадки вичерпують безліч багаточленів, що не наводяться, над ℝ.
ТЕОРЕМА.Будь-який многочлен над полем дійсних чисел розкладемо у добуток лінійних множників та квадратичних множників з негативними дискримінантами:
Тут - все різне дійсне коріння багаточлена, - їх кратності, всі дискримінанти менше нуля, і квадратні тричлени всі різні.
Спочатку доведемо лему
ЛЕМА.Якщо й у будь-якого, то сполучене число також є коренем многочлена.
Доказ. Нехай і комплексний корінь багаточлена. Тоді
де ми використовували властивості сполучення. Отже, . Тим самим – корінь багаточлена. □
Доказ теореми. Достатньо довести, що будь-який багаточлен, що не приводиться, над полем дійсних чисел або лінійний, або квадратичний з негативним дискримінантом. Нехай - неприводимий багаточлен з одиничним старшим коефіцієнтом. У разі одразу отримуємо для деякого дійсного. Припустимо, що. Позначимо через якийсь комплексний корінь цього багаточлена, що існує за основною теоремою алгебри комплексних чисел. Оскільки ненаводимо, то (див. теорему Безу). Тоді по лемі, буде ще одним коренем багаточлена, відмінним від.
Багаточлен має дійсні коефіцієнти. Крім того, ділить згідно з теоремою Безу. Так як ненаводимо і має одиничний старший коефіцієнт, то отримуємо рівність. Дискримінант цього многочлена негативний, оскільки інакше він мав би речові корені.
ПРИКЛАДИ. А.Розкладемо многочлен на множники, що не наводяться. Серед дільників константного члена 6 шукаємо коріння багаточлена. Переконуємося, що 1 та 2 – коріння. Тим самим багаточлен ділиться на. Поділивши, знаходимо
Остаточне розкладання над полем, бо дискримінант квадратного тричлена негативний і, отже, над полем дійсних чисел далі не розкладемо. Розкладання того ж багаточлена над полем комплексних чисел отримаємо, якщо знайдемо комплексне коріння квадратного тричлена. Вони суть. Тоді
Розкладання даного багаточлена над
Б. Розкладемо над полями дійсних та комплексних чисел. Так як дійсних коренів цей багаточлен не має, то він розкладемо на два квадратні тричлени з негативними дискримінантами
Так як при заміні на багаточлен не змінюється, то при такій заміні квадратний тричлен повинен переходити і навпаки. Звідси. Прирівнюючи коефіцієнти при одержувані, зокрема, . Тоді із співвідношення (виходить підстановкою вилучаємо, і остаточно, .
Розкладання над полем дійсних чисел.
Для того, щоб розкласти цей багаточлен над комплексними числами, Вирішимо рівняння або. Зрозуміло, що буде корінням. Всі різні коріння ми отримаємо у. Отже,
Розкладання над комплексними числами. Легко обчислити
і ми отримуємо інше рішення задачі про розкладання багаточлена над полем дійсних чисел.
Кінець роботи -
Ця тема належить розділу:
Фундаментальна та комп'ютерна алгебра
Введення.. курс фундаментальна та комп'ютерна алгебра призначений для студентів спеціальностей математика прикладна..
Якщо Вам потрібно додатковий матеріална цю тему, або Ви не знайшли те, що шукали, рекомендуємо скористатися пошуком по нашій базі робіт:
Що робитимемо з отриманим матеріалом:
Якщо цей матеріал виявився корисним для Вас, Ви можете зберегти його на свою сторінку в соціальних мережах:
| Твітнути |
Всі теми цього розділу:
Н.І.Дубровін
Спаське Городище 2012 Зміст Вступ. 4 Список позначень та термінів. 5 1 Трохи про Бейсік. 6 2 Наївна теорія множин. 9
Трохи про бейсик
У математиці мають справу з такими об'єктами як числа різної природи(натуральні, цілі, раціональні, дійсні, комплексні), багаточлени однієї та кількох змінних, матриць
Наївна теорія множин
Математичний текст складається з визначень та тверджень. Деякі твердження в залежності від важливості та ставлення до інших тверджень називаються одним із наступних термінів:
Декартові твори
Упорядкована пара, або просто пара елементів, це одна з фундаментальних конструкцій в математиці. Представляти її можна як поличку з двома місцями - першим і другим. Дуже часто в математиці не
Натуральні числа
Числа (1,2,3, ... ), які можна отримати з одиниці операцією додавання, називають натуральними і позначають ℕ. Аксіоматичний опис натуральних чиселможе бути такою (див.
Рекурсія
Від аксіом N1-N3 до знайомих усім з початкової школиоперацій складання та множення натуральних чисел, порівняння натуральних чисел між собою та властивостей виду "від зміни місць доданків сума не
Порядок на безлічі натуральних чисел Подільність натуральних чисел Подільність цілих чисел Алгоритм Евкліда Матричне трактування алгоритму Евкліда Елементи логіки Висловлювальні форми Матрична алгебра Визначники Лінійні перетворення площини Комплексні числа Конструкція поля комплексних чисел Сполучення комплексних чисел Тригонометрична форма запису комплексних чисел Комплексна експонента Розв'язання квадратних рівнянь ТЕОРЕМА щодо еквівалентності Будь-яке комплексне число задає точку площини. Аргументи будуть розташовуватися на одній комплексній площині, значення ф-ії розташовані на іншій комплексній площині. F(z) - комплексна ф-я комплексного змінного. Серед комплексних функцій комплексного змінного особливо виділяється клас безперервних ф-ии. Опр: комплексна ф-я комплексного змінного називається безперервною, якщо такого, що. Геометричний зміст у наступному: Задає в комплексній площині коло, з центром у точці z0 та радіусом< . Аналогично в другой комплексной плоскости неравенство задает круг с радиусом меньше . Теорема 1: Багаточлен f(z)принад. C(z) безперервний у будь-якій точці комплексної площини. Наслідок: модуль багаточлена у полі комплексних чисел є безперервною функцією. Теорема 2: - Кільце багаточленів з комплексними коефіцієнтами, тоді такі значення , Що . Теорема 3. (про необмежене зростання модуля многочлена): Основна теорема алгебри: Будь-який многочлен над полем комплексних чисел не 0 ступеня, має у полі комплексних чисел хоча один корінь. (При доказі будемо використовувати такі твердження): Д-во: 1. Якщо a n =0, тоді z=0 – корінь f(z). 2. якщо a n 0, тоді по Теоремі 3 , нерівність задає в комплексній площині область, що лежить поза коло радіусом S. У цій області коренів немає, т.к. отже коріння многочлена f(z) слід шукати всередині області. Розглянемо із Т1. слід, що ф-я f(z) є безперервною. По теоремі Вейерштрасса вона сягає певній точці замкнутої області свого мінімуму, тобто. . Покажемо, що точка є точкою мінімуму. Т.к. 0 Е, те, т.к. поза області Е значення ф-ии , то z 0 - точка мінімуму, по всій комплексній площині. Покажемо, що f(z0)=0. Припустимо, що це негаразд, тоді з Лемме Даламбера , отримуємо протиріччя, т.к. z 0 точка мінімуму. Алгебраїчна замкнутість: Опр: поле P називається замкненим алгебри, якщо має над цим полем хоча б один корінь. Теорема: поле комплексних чисел є замкненим алгебри. (Д-во випливає з основної теореми алгебри). Поля раціональних і дійсних чисел є алгебраїчно замкнутими. Розкладність: Теорема: будь-який многочлен над полем комплексних чисел, ступеня вище 1, розкладемо у добуток лінійних множників. Наслідок 1. Багаточлен ступеня n над полем комплексних чисел має рівно n коренів. След.2: будь-який многочлен над полем комплексних чисел ступеня більше 1 завжди наводимо. Опр: Числа мн-ва З R, тобто. числа виду a + bi, де b не дорівнює 0 - називаються уявними. 2. Багаточлени над полем. НОД двох багаточленів та алгоритм Евкліда. Розкладання многочлена у твір ненаведених множників та її єдиність. Опр.Багаточлен (поліном) від невідомого хнад полем Рзв. Алгебраїчна сума цілих не негативних ступенів х, узятих з деяким коефіцієнтом з поля Р. Де aiÎP або Багаточлени зв. рівнимиякщо рівні їхні коефіцієнти при відповідних ступенях невідомих. Ступенем многочлена зв.найбільше значення показника невідомого, коефіцієнт у якому відмінний від нуля. Позначається: N(f(x))=n Безліч усіх багаточленів над полем Рпозначається: Р[x]. Багаточлени нульового ступеня збігаються з елементами поля Р, відмінними від нуля
- нульовий багаточлен, його ступінь невизначений. Операції над багаточленами. 1. Додавання. Нехай n³s, тоді N(f(x)+g(x))=n=max(n,s). <P[x],+> 2. Множення. Досліджуємо структуру алгебри<P[x], *> <P[x], *>- напівгрупа з одиничним елементом (маноїд) Виконуються дистрибутивні закони, отже,<P[x],+,*>- Комутативне кільце з одиницею. Ділімість багаточленів Опр:багаточлен f(x), f(x)ÎP[x], P– поле ділиться на багаточлен g(x), g(x)≠0, g(x)ÎP[x],якщо існує такий багаточлен h(x)ÎP[x], що f(x)=g(x)h(x) Властивості ділимості: Приклад:, ділимо стовпчиком НОД = ( x+3) Теорема про поділ із залишком:Для будь-яких багаточленів f (x), g(x)ÎP[x],існує єдиний багаточлени q(x) та r(x)такі що f(x)=g(x)q(x)+r(x), N(r(x)) Ідея док-ва: у існуванні розглядаємо два випадки n Опр: f (x) та g(x), f(x), g(x)ÎP[x], h(x)ÎP[x]називається НОД f (x) та g(x)якщо Алгоритм Евкліда Запишемо процес послідовного поділу f(x)=g(x)q 1 (x)+r 1 (x) (1) g(x)= r 1 (x) q 2 (x)+r 2 (x) (2) r 1 (x) = r 2 (x) q 3 (x) + r 3 (x) (3) і т.д. r k-2 (x) = r k-1 (x) q k (x) + r k (x) (k) r k-1 (x) = r k (x) q k+1 (x) (k+1) НОД (f (x), g (x)) = d (x) = r k (x) Ідея доказова: показуємо, що 1 ) f(x):(націло) d(x) та g(x):(націло) d(x); 2) f(x):(націло) h(x) та g(x):(націло) h(x)показуємо, що d(x):(націло) h(x). Лінійне уявлення НОД Т: якщо d(x) - НОД багаточленів f (x) та g(x), то існують такі багаточлени v (x) та u(x)ÎP[x],що f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x). Опр: f(x) та g(x)ÎP[x]завжди мають спільні дільники, а саме багаточлени нульового ступеня, що збігаються з полем Р, якщо інших спільних дільників немає, то f(x) та g(x) взаємно прості. (позначення: (f(x), g(x)) = 1) Т: f (x) та g(x) взаємно прості т.і.т.т.к. існують такі багаточлени v(x) і u(x)ÎP[x], що f(x)u(x)+g(x)v(x)=1. Властивості взаємно простих багаточленів Опр:Багаточлен f(x), f(x)ÎP[x] називається наведенимнад полем Р, якщо можна розкласти на множники, ступеня яких більше 0 і менше ступеня f(x) тобто. f (x) = f 1 (x) f 2 (x), де ступеня f 1 і f 2 >0, Привідність багаточленів залежить від поля над яким вони розглядаються. Багаточлен ненаводимо (багаточлен, що не розкладається на множники нижчого ступеня) над полем Q, і наводимо над полем R. Властивості ненаведених багаточленів: 1) багаточлени f (x)і p(x) взаємно прості 2) f(x):(націло) р(x)
На безлічі є відношення лінійного порядку. Скажімо, що n
Операція поділу який завжди можлива у сфері натуральних чисел. Це дає нам право ввести відношення ділимості: скажімо, що число n ділить число m, якщо m=nk для будь-якого відповідного k∈
Позначимо через - кільце цілих чисел. Термін «кільце» означає, що ми маємо справу з безліччю R, на якому задані дві операції – додавання та множення, що підпорядковуються відомим правам.
Дано пару цілих чисел (m,n). Вважаємо n залишком з номером 1. Перший крок алгоритму Евкліда - ділимо m на n з залишком, а далі ділимо залишок на залишок, що знову вийшов, поки цей знову отримавши
Надамо матричне трактування алгоритму Евкліда (про матриці див. наступний параграф). Перепишемо послідовність поділів із залишком у матричному вигляді: Підставляючи у кожне по
Математики мають справу з об'єктами, такими як, наприклад, числа, функції, матриці, прямі на площині і т.д., а також мають справу з висловлюваннями. Висловлювання є деяке оповідання
Чи вираз буде висловлюванням? Ні, цей запис є висловлювальною формою від однієї змінної. Якщо замість змінної підставляти допустимі значення, то отримуємо різні висловлювання, які
Матрична алгебра над кільцем R (R – кільце цілих чисел, поле раціональних чисел, поле дійсних чисел) – найбільш широко використовувана алгебраїчна система з безліччю операцій.
Визначник квадратної матриці A є її числова характеристика, що позначається. Почнемо з визначників матриць малих розмірностей 1,2,3: ВИЗНАЧЕННЯ. Пу
Відомо, що будь-яке перетворення площини, що зберігає відстані, є або паралельне перенесення на вектор, або поворот навколо точки Про на кут α, або симетрія відносно прямо
У цьому параграфі вивчається лише одне поле – поле комплексних чисел ℂ. З геометричної точки зору воно являє собою площину, а з алгебраїчної точки зору в це
Ми фактично вже збудували поле комплексних чисел у попередньому параграфі. З огляду на виняткову важливість поля комплексних чисел наведемо його безпосередню конструкцію. Розглянемо простір з
Поле комплексних чисел доставляє нам нове властивість - наявність нетотожного безперервного автоморфізму (ізоморфізму він). Комплексне число називається сполученим до, а отоб
Відобразимо комплексне число вектором. Довжина цього вектора, тобто. величина називається модулем комплексного числа та позначається. Величину назвемо нормою числа, іноді зручніше користуватися е
Правило (2) параграфа дає нам право визначити експоненту чисто уявного числа: Дійсно, таким чином певна функція має такі властивості: &
Лінійний многочлен завжди має корінь. Квадратний тричлен не завжди має коріння над полем дійсних чисел. Нехай квадратний тричлен над полем комплексних чисел (). Обоз
Нехай “ ” – відношення еквівалентності на множині М. Для елемента позначимо через клас еквівалентності. Тоді безліч М розбивається на об'єднання класів еквівалентності; кожен елемент з М при
