Поряд із законом Кулона можливий і інший опис взаємодії електричних зарядів.

Дальнодія та близька дія.Закон Кулона, подібно до закону всесвітнього тяжіннятрактує взаємодію зарядів як «дія на відстані», або «дальнодія». Дійсно, кулонівська сила залежить лише від величини зарядів та від відстані між ними. Кулон був переконаний, що проміжне середовище, тобто «порожнеча» між зарядами, жодної участі у взаємодії не бере.

Така думка, безперечно, була навіяна вражаючими успіхами ньютонівської теорії тяжіння, що блискуче підтверджувалася астрономічними спостереженнями. Однак ще сам Ньютон писав: «Незрозуміло, яким чином нежива косна матерія, без чогось іншого, що нематеріально, могла б діяти на інше тіло без взаємного дотику». Проте концепція далекодії, заснована на уявленні про миттєву дію одного тіла на інше на відстані без участі будь-якого проміжного середовища, ще довго домінувала у науковому світогляді.

Ідея поля як матеріального середовища, за допомогою якого здійснюється будь-яка взаємодія просторово віддалених тіл, була введена у фізику в 30-і роки XIX століття великим англійським натуралістом М. Фарадеєм, який вважав, що «матерія присутня скрізь, і немає проміжного простору, не зайнятого

нею». Фарадей розвинув послідовну концепцію електромагнітного поля, засновану на ідеї кінцевої швидкості поширення взаємодії Закінчена теорія електромагнітного поля, наділена суворою математичною формою, була згодом розвинена іншим великим англійським фізиком Дж. Максвеллом.

за сучасним уявленнямелектричні заряди наділяють навколишній простір особливими фізичними властивостями- Створюють електричне поле. Основною властивістю поля є те, що на заряджену частинку, що знаходиться в цьому полі, діє деяка сила, тобто взаємодія електричних зарядів здійснюється за допомогою створюваних ними полів. Поле, яке створюється нерухомими зарядами, не змінюється з часом і називається електростатичним. Для вивчення поля необхідно знайти його фізичні характеристики. Розглядають дві такі характеристики – силову та енергетичну.

Напруженість електричного поля. Для експериментального вивчення електричного поля до нього потрібно помістити пробний заряд. Практично це буде якесь заряджене тіло, яке, по-перше, повинно мати достатньо малі розміри, щоб можна було судити про властивості поля у певній точці простору, і, по-друге, його електричний заряд має бути достатньо малим, щоб можна було знехтувати впливом цього заряду на розподіл зарядів, що створюють поле, що вивчається.

На пробний заряд, поміщений в електричне поле, діє сила, яка залежить як від поля, так і від пробного заряду. Ця сила тим більша, чим більший пробний заряд. Вимірюючи сили, що діють різні пробні заряди, вміщені у одну й ту саму точку, можна переконатися, що ставлення сили до пробного заряду не залежить від величини заряду. Отже, це ставлення характеризує саме поле. Силовий характеристикою електричного поля є напруженість Е - векторна величина, рівна в кожній точці відношенню сили, що діє на пробний заряд, поміщений в цю точку, до заряду

Інакше кажучи, напруженість поля Е вимірюється силою, що діє одиничний позитивний пробний заряд. Загалом напруженість поля різна у різних точках. Поле, в якому напруженість у всіх точках однакова як за модулем, так і за напрямом, називається однорідним.

Знаючи напруженість електричного поля, можна знайти силу, що діє на будь-який заряд вміщений у дану точку. Відповідно до (1) вираз для цієї сили має вигляд

Як знайти напруженість поля в будь-якій точці?

Напруженість електричного поля, яке створюється точковим зарядом, можна розрахувати за допомогою закону Кулона. Розглянемо точковий заряд як джерело електричного поля. Цей заряд діє на розташований на відстані від нього пробний заряд із силою, модуль якої дорівнює

Тому відповідно (1), розділивши цей вираз на отримуємо модуль Е напруженості поля в точці, де розташований пробний заряд, тобто на відстані від заряду

Таким чином, напруженість поля точкового заряду зменшується з відстанню назад пропорційно квадрату відстані або, як кажуть, за законом зворотних квадратів. Таке поле називають кулонівським. При наближенні до створюючого поля точкового заряду напруженість поля точкового заряду необмежено зростає: з (4) випливає, що при

Коефіцієнт у формулі (4) залежить від вибору системи одиниць. У СГСЕ до = 1, а СІ . Відповідно формула (4) записується в одному з двох видів:

Одиниця напруженості у СДСЕ спеціальної назви не має, а в СІ вона називається «вольт на метр»

Внаслідок ізотропності простору, тобто еквівалентності всіх напрямків, електричне поле відокремленого точкового заряду сферично-симетричне. Ця обставина проявляється у формулі (4) у тому, що модуль напруженості поля залежить лише від відстані до заряду, що створює поле. Вектор напруженості Е має радіальний напрямок: він спрямований від заряду, що створює, якщо це позитивний заряд (рис. 6а, а), і до створюючого поля заряду якщо цей заряд негативний (рис. 6б).

Вираз напруженості поля точкового заряду можна записати у векторному вигляді. Початок координат зручно помістити в точку, де знаходиться заряд, що створює поле. Тоді напруженість поля в будь-якій точці, що характеризується радіусом-вектором, дається виразом.

У цьому можна переконатися, зіставивши визначення (1) вектора напруженості поля з формулою (2) § 1, або відштовхуючись

безпосередньо від формули (4) і з огляду на сформульовані вище міркування про напрям вектора Е.

Принцип суперпозиції.Як знайти напруженість електричного поля, яке створюється довільним розподілом зарядів?

Досвід показує, що електричні поля задовольняють принцип суперпозиції. Напруженість поля, що створюється кількома зарядами, дорівнює векторної суминапруженостей полів, створюваних кожним зарядом окремо:

Принцип суперпозиції фактично означає, що наявність інших електричних зарядів не позначається на полі, створюваному даним зарядом. Така властивість, коли окремі джерела діють незалежно та їх дії просто складаються, властиво так званим лінійним системам, І саме така властивість фізичних систем називається лінійністю. Походження цієї назви пов'язане з тим, що такі системи описуються лінійними рівняннями(Рівняннями першого ступеня).

Підкреслимо, що справедливість принципу суперпозиції для електричного поля не є логічною необхідністю або чимось зрозумілим. Цей принцип є узагальнення досвідчених фактів.

Принцип суперпозиції дозволяє розрахувати напруженість поля, яке створюється будь-яким розподілом нерухомих електричних зарядів. У разі кількох точкових зарядів рецепт розрахунку результуючої напруги очевидний. Будь-який неточковий заряд можна розбити на такі малі частини, щоб кожну з них можна було розглядати як точковий заряд. Напруженість електричного поля у довільній точці знаходиться як

векторна сума напруженостей, створюваних цими точковими зарядами. Відповідні розрахунки значно спрощуються у випадках, коща у розподілі створюють поле зарядів є певна симетрія.

Лінії напруженості.Наочне графічне зображенняелектричних полів дають лінії напруженості чи силові лінії.

Мал. 7. Лінії напруженості поля позитивного та негативного точкових зарядів

Ці лінії електричного поля проводяться таким чином, щоб у кожній точці дотична лінія збігалася у напрямку з вектором напруженості в цій точці. Інакше кажучи, будь-де вектор напруженості спрямований по дотичній до силової лінії, що проходить через цю точку. Силовим лініям приписують напрямок: вони виходять із позитивних зарядів або приходять із нескінченності. Вони або закінчуються на негативних зарядах, або йдуть у нескінченність. На малюнках цей напрямок вказують стрілками на силовій лінії.

Силову лінію можна здійснити через будь-яку точку електричного поля.

Лінії проводять густіше в тих місцях, де напруженість поля більша, і рідше там, де вона менша. Таким чином, густота силових ліній дає уявлення про модуль напруженості.

Мал. 8. Лінії напруженості поля різноіменних однакових зарядів

На рис. 7 показані силові лінії поля відокремленого позитивного та негативного точкових зарядів. З симетрії очевидно, що це прямі радіальні, розподілені з однаковою густотою по всіх напрямках.

Більше складний виглядмає картину ліній поля, створюваного двома зарядами протилежних знаків. Таке поле, очевидно,

має осьову симетрію: вся картина залишається незмінною при повороті на будь-який кут навколо осі, що проходить через заряди. Коли модулі зарядів однакові, картина ліній також симетрична щодо площини, що проходить перпендикулярно відрізку, що з'єднує їх через його середину (рис. 8). У цьому випадку силові лінії виходять із позитивного заряду і всі вони закінчуються на негативному, хоча на рис. 8 не можна показати, як замикаються лінії, що йдуть далеко від зарядів.

ЕЛЕКТРИЧНЕ ЗМІШЕННЯ

Основні формули

 Напруженість електричного поля

E=F/Q,

де F- сила, що діє на точковий позитивний заряд Q, поміщений у цю точку поля.

 Сила, що діє на точковий заряд Q, розміщений в електричному полі,

F=QE.

Еелектричного поля:

а) через довільну поверхню S, поміщену в неоднорідне поле,

Або
,

де  - кут між вектором напруженості Ета нормаллю nдо елемента поверхні; d S- Площа елемента поверхні; E n- Проекція вектора напруженості на нормаль;

б) через плоску поверхню, вміщену в однорідне електричне поле,

Ф E =ЕS cos.

 Потік вектора напруженості Ечерез замкнуту поверхню

,

де інтегрування ведеться на всій поверхні.

 Теорема Остроградського – Гауса. Потік вектора напруженості Ечерез будь-яку замкнуту поверхню, що охоплює заряди Q l , Q 2 , . . ., Q n ,

,

де - алгебраїчна сума зарядів, укладених усередині замкнутої поверхні; п -кількість зарядів.

 Напруженість електричного поля, створюваного точковим зарядом Qна відстані rвід заряду,

.

Напруженість електричного поля, що створюється металевою сферою радіусом. R,несучий заряд Q, на відстані rвід центру сфери:

а) усередині сфери (r<.R)

б) на поверхні сфери (r=R)

;

в) поза сферою (R>R)

.

 Принцип суперпозиції (накладання) електричних полів, згідно з яким напруженість Ерезультуючого поля, створеного двома (і більше) точковими зарядами, дорівнює векторній (геометричній) сумі напруженостей полів, що складаються:

Е=E 1 +Е 2 +...+Е n .

У разі двох електричних полів із напруженістю Е 1 і Е 2 модуль вектора напруженості

де  - кут між векторами E 1 і E 2 .

 Напруженість поля, створюваного нескінченно довгою рівномірно зарядженою ниткою (або циліндром) на відстані rвід її осі,

, де  – лінійна щільність заряду.

Лінійна щільність заряду є величина, що дорівнює відношенню заряду, розподіленого по нитці, до довжини нитки (циліндра):

 Напруженість поля, створюваного нескінченною рівномірно зарядженою площиною,

де  – поверхнева щільність заряду.

Поверхнева щільність заряду є величина, що дорівнює відношенню заряду, розподіленого по поверхні, до площі цієї поверхні:

.

 Напруженість поля, що створюється двома паралельними нескінченними рівномірно та різноіменно зарядженими площинами, з однаковою за модулем поверхневою щільністю про заряд (поле плоского конденсатора)

.

Наведена формула справедлива для обчислення напруженості поля між пластинами плоского конденсатора (в середній частині його) тільки в тому випадку, якщо відстань між пластинами набагато менше лінійних розмірів пластин конденсатора.

 Електричне зміщення Dпов'язане з напруженістю Eелектричного поля співвідношенням

D= 0 E.

Це співвідношення справедливе лише для ізотропних діелектриків.

 Потік вектора електричного зміщення виражається аналогічно до потоку вектора напруженості електричного поля:

а) у разі однорідного поля потік крізь плоску поверхню

;

б) у разі неоднорідного поля та довільної поверхні

,

де D n - проекція вектора Dна напрямок нормалі до елемента поверхні, площа якої дорівнює d S.

 Теорема Остроградського – Гауса. Потік вектора електричного зміщення крізь будь-яку замкнуту поверхню, що охоплює заряди. Q 1 ,Q 2 , ...,Q n ,

,

де п-Кількість зарядів (зі своїм знаком), укладених усередині замкнутої поверхні.

 Циркуляція вектора напруженості електричного поля є величина, чисельно рівна роботі з переміщення одиничного точкового заряду позитивного вздовж замкнутого контуру. Циркуляція виражається інтегралом по замкнутому контуру
, де E l - проекція вектора напруженості Е в даній точці контуру на напрямок дотичної до контуру в тій же точці.

У разі електростатичного поля циркуляція вектора напруженості дорівнює нулю:

.

Приклади розв'язання задач

П
ример 1.Електричне поле створене двома точковими зарядами: Q 1 =30 нКл та Q 2 = -10 нКл. Відстань dміж зарядами дорівнює 20 см. Визначити напруженість електричного поля в точці, що знаходиться на відстані r 1 =15 см від першого та на відстані r 2 =10 див від другого зарядів.

Рішення.Відповідно до принципу суперпозиції електричних полів, кожен заряд створює поле незалежно від присутності у просторі інших зарядів. Тому напруженість Еелектричного поля в точці, що шукається, може бути знайдена як векторна сума напруженостей E 1 і Е 2 полів, створюваних кожним зарядом окремо: E=E 1 +E 2 .

Напруженості електричного поля, створюваного у вакуумі першим і другим зарядами, відповідно дорівнюють

(1)

Вектор E 1 (рис. 14.1) спрямований по силовій лінії від заряду Q 1 , так як заряд Q 1 >0; вектор Е 2 спрямований також за силовою лінією, але до заряду Q 2 , так як Q 2 <0.

Модуль вектор Езнайдемо за теоремою косінусів:

де кут  може бути знайдений із трикутника зі сторонами r 1 , r 2 і d:

.

В даному випадку, щоб уникнути громіздких записів, обчислимо окремо значення cos. За цією формулою знайдемо

Підставляючи вирази E 1 і E 2 а за формулами (1) у рівність (2) і виносячи загальний множник 1/(4 0 ) за знак кореня, отримуємо

.

Підставивши значення величин  ,  0 , Q 1 , Q 2 , r 1 -, r 2 і  в останню формулу і здійснивши обчислення, знайдемо

приклад 2.Електричне поле створено двома паралельними нескінченними зарядженими площинами з поверхневими щільностями заряду  1 =0,4 мкКл/м 2 та  2 =0,1 мкКл/м2. Визначити напруженість електричного поля, створеного цими зарядженими площинами.

Р
ешение.Відповідно до принципу суперпозиції поля, створювані кожною зарядженою площиною окремо, накладаються один на одного, причому кожна заряджена площина створює електричне поле незалежно від присутності іншої зарядженої площини (рис. 14.2).

Напруженості однорідних електричних полів, створюваних першою та другою площинами, відповідно дорівнюють:

;
.

Площини ділять весь простір втричі області: I, II і III. Як видно з малюнка, у першій і третій областях електричні силові лінії обох полів спрямовані в один бік і, отже, напруженості сумарних полів Е (I)і E(III) у першій та третій областях рівні між собою та рівні сумі напруженостей полів, створюваних першою та другою площинами: Е (I) = E(III) = E 1 +E 2 , або

Е (I) = E (III) =
.

У другій області (між площинами) електричні силові лінії полів спрямовані в протилежні сторони і, отже, напруженість поля E (II)дорівнює різниці напруженостей полів, створюваних першою та другою площинами: E (II) =|E 1 -E 2 | , або

.

Підставивши дані та здійснивши обчислення, отримаємо

E (I) =E (III) =28,3 кВ/м=17 кВ/м.

Картина розподілу силових ліній сумарного поля представлена ​​рис. 14.3.

Приклад 3. На пластинах плоского повітряного конденсатора знаходиться заряд Q= 10 нКл. Площа Sкожної пластини конденсатора дорівнює 100 см 2 Визначити силу F,з якою притягуються пластини. Поле між пластинами вважатиме однорідним.

Рішення.Заряд Qоднієї пластини знаходиться у полі, створеному зарядом іншої пластини конденсатора. Отже, перший заряд діє сила (рис. 14.4)

F=E 1 Q,(1)

де E 1 - напруженість поля, що створюється зарядом однієї пластини. Але
де  – поверхнева густина заряду пластини.

Формула (1) з урахуванням виразу для E 1 набуде вигляду

F=Q 2 /(2 0 S).

Підставивши значення величин Q,  0 і Sв цю формулу і здійснивши обчислення, отримаємо

F= 565 мкн.

приклад 4.Електричне поле створене нескінченною площиною, зарядженою з поверхневою щільністю  = 400 нКл/м 2 , та нескінченною прямою ниткою, зарядженою з лінійною щільністю =100 нКл/м. на відстані r=10 см від нитки знаходиться точковий заряд Q= 10 нКл. Визначити силу, що діє на заряд, її напрямок, якщо заряд і нитка лежать в одній площині паралельної зарядженої площини.

Рішення.Сила, що діє на заряд, поміщений у поле,

F=EQ, (1)

де Е - Q.

Визначимо напруженість Еполя, створюваного, за умовою завдання, нескінченною зарядженою площиною та нескінченною зарядженою ниткою. Поле, що створюється нескінченною зарядженою площиною, однорідне, і його напруженість у будь-якій точці

. (2)

Поле, яке створюється нескінченною зарядженою лінією, неоднорідне. Його напруженість залежить від відстані та визначається за формулою

. (3)

Відповідно до принципу суперпозиції електричних полів, напруженість поля в точці, де знаходиться заряд Q, дорівнює векторній сумі напруженостей E 1 і Е 2 (рис. 14.5): E=E 1 +E 2 . Оскільки вектори E 1 і Е 2 взаємно перпендикулярні, то

.

Підставляючи вирази E 1 і E 2 за формулами (2) і (3) у цю рівність, отримаємо

,

або
.

Тепер знайдемо силу F,що діє на заряд, підставивши вираз Еу формулу (1):

. (4)

Підставивши значення величин Q,  0 , , ,  та rу формулу (4) і зробивши обчислення, знайдемо

F= 289 мкН.

Напрямок сили F,діє на позитивний заряд Q, збігається з напрямком вектора напруженості Еполя. Напрямок вектора Езадається кутом  до зарядженої площини. З рис. 14.5 випливає, що

, звідки
.

Підставивши значення величин , r,  і  у цей вираз і обчисливши, отримаємо

Приклад 5.Точковий заряд Q=25 нКл знаходиться в нулі, створеному прямим нескінченним циліндром радіусом R= 1 см, рівномірно зарядженим із поверхневою щільністю =2 мкКл/м 2 . Визначити силу, що діє на заряд, поміщений від осі циліндра на відстані r=10 див.

Рішення.Сила, що діє на заряд Q, що знаходиться в полі,

F = QE,(1)

де Е -напруженість поля в точці, де знаходиться заряд Q.

Як відомо, напруженість поля нескінченно довгого рівномірно зарядженого циліндра

E=/(2 0 r), (2)

де  – лінійна щільність заряду.

Виразимо лінійну щільність  через поверхневу густину . Для цього виділимо елемент циліндра завдовжки lі висловимо заряд, що знаходиться на ньому Q 1 двома способами:

Q 1 =  S= 2  Rlта Q 1 = l.

Прирівнявши праві частини цих рівностей, отримаємо  l=2 Rl . Після скорочення на lзнайдемо =2 R . З урахуванням цього формула (2) набуде вигляду E=R /( 0 r).Підставивши цей вираз Еу формулу (1), знайдемо потрібну силу:

F=Q R/( 0 r).(3)

Оскільки Rі rвходять у формулу як відносини, всі вони можуть бути виражені в будь-яких, але тільки однакових одиницях.

Виконавши обчислення за формулою (3), знайдемо

F=2510 -9 210 -6 10 -2 /(8,8510 -12 1010 -2)H==56510 -6 H=565мкH.

Напрямок сили Fзбігається із напрямком вектора напруженості Е,а останній з симетрії (циліндр нескінченно довгий) спрямований перпендикулярно циліндру.

Приклад 6.Електричне поле створено тонкою нескінченно довгою ниткою, рівномірно зарядженою з лінійною щільністю =30 нКл/м. на відстані а=20 см від нитки знаходиться плоский круглий майданчик радіусом r=1 см. Визначити потік вектора напруженості через цей майданчик, якщо площина її становить кут =30° з лінією напруженості, що проходить через середину майданчика.

Рішення.Поле, створюване нескінченно рівномірно, зарядженою ниткою, є неоднорідним. Потік вектора напруженості у разі виражається інтегралом

, (1)

де E n - проекція вектора Ена нормаль nдо поверхні майданчика dS.Інтегрування виконується по всій поверхні майданчика, що пронизують лінії напруженості.

П
роєкція Е пвектор напруженості дорівнює, як видно з рис. 14.6,

Е п =Е cos,

де  - кут між напрямком вектора та нормаллю n. З урахуванням цього формула (1) набуде вигляду

.

Оскільки розміри поверхні майданчика малі порівняно з відстанню до нитки (r<Едуже мало. змінюється за модулем і напрямком у межах майданчика, що дозволяє замінити під знаком інтеграла значення Ета cos їх середніми значеннями<E> і та винести їх за знак інтеграла:

Виконуючи інтегрування та замінюючи<E> і їх наближеними значеннями Е Aта cos  A , обчисленими для середньої точки майданчика, отримаємо

Ф E =Е A cos  A S= r 2 Е A cos A . (2)

Напруженість Е Aобчислюється за формулою E A=/(2 0 a). З

рис. 14.6 слід cos  A=cos(/2 -  )=sin.

З урахуванням виразу Е Aта cos  Aрівність (2.) набуде вигляду

.

Підставивши в останню формулу дані та здійснивши обчислення, знайдемо

Ф E=424 мВ.м.

приклад 7 . Дві концентричні провідні сфери радіусами R 1 =6 см і R 2 = 10 см несуть відповідно заряди Q 1 =l нКл та Q 2 = -0,5 нКл. Знайти напруженість Еполя в точках, що віддалені від центру сфер на відстанях r 1 =5 см, r 2 =9 см r 3 = 15см. Побудувати графік Е(r).

Р
ешение.Зауважимо, що точки, у яких потрібно знайти напруженості електричного поля, лежать у трьох областях (рис. 14.7): область I ( r<R 1 ), область II ( R 1 <r 2 <R 2 ), область III ( r 3 >R 2 ).

1. Для визначення напруженості E 1 в області I проведемо сферичну поверхню S 1 радіусом r 1 та скористаємося теоремою Остроградського-Гаусса. Так як усередині області I зарядів немає, то згідно з зазначеною теоремою отримаємо рівність

, (1)

де E n- Нормальна складова напруженості електричного поля.

З міркувань симетрії нормальна складова E nповинна дорівнювати самої напруженості і постійна всім точок сфери, тобто. En=E 1 = const. Тому її можна винести за знак інтегралу. Рівність (1) набуде вигляду

.

Оскільки площа сфери не дорівнює нулю, то

E 1 =0,

тобто напруженість поля у всіх точках, що задовольняють умові r 1 <.R 1 , дорівнюватиме нулю.

2. В області II сферичну поверхню проведемо радіусом r 2 . Так як усередині цієї поверхні знаходиться, заряд Q 1 , то для неї, згідно з теоремою Остроградського-Гаусса, можна записати рівність

. (2)

Оскільки E n =E 2 =const, то з умов симетрії випливає

, або ES 2 =Q 1 / 0 ,

E 2 =Q 1 /( 0 S 2 ).

Підставивши сюди вираз площі сфери, отримаємо

E 2 =Q/(4
). (3)

3. В області III сферичну поверхню проведемо радіусом r 3 . Ця поверхня охоплює сумарний заряд Q 1 +Q 2 . Отже, для неї рівняння, записане на основі теореми Остроградського - Гауса, матиме вигляд

.

Звідси, використавши положення, застосовані у перших двох випадках, знайдемо

Переконаємося, що праві частини рівностей (3) і (4) дають одиницю напруженості електричного поля;

Виразимо всі величини в одиницях СІ ( Q 1 =10 -9 Кл, Q 2 = -0,5 10 -9 Кл, r 1 =0,09 м, r 2 = 15м , l/(4 0 )=910 9 м/Ф) і зробимо обчислення:

4. Побудуємо графік E(r).Уобласті I ( r 1 1 ) напруженість E=0. В області ІІ (R 1 r<.R 2 ) напруженість E 2 (r) змінюється згідно із законом l/r 2 . У точці r=R 1 напруженість E 2 (R 1 )=Q 1 /(4 0 R ) = 2500 В / м. У точці r=R 1 (rпрагне до R 1 зліва) E 2 (R 2 )=Q 1 /(4 0 R ) = 900В/м. В області III ( r>R 2 )E 3 (r) змінюється згідно із законом 1/ r 2 , причому у точці r=R 2 (rпрагне до R 2 справа) Е 3 (R 2 ) =(Q 1 - | Q 2 |)/(4 0 R ) = 450 В/м. Таким чином, функція Е(r) у точках r=R 1 і r=R 2 терпить розрив. Графік залежності Е(r) представлений на рис. 14.8.

Завдання

Напруженість поля точкових зарядів

14.1. Визначити напруженість Еелектричного поля, створюваного точковим зарядом Q=10 нКл з відривом r=10 див від нього. Діелектрик – олія.

14.2. Відстань dміж двома точковими зарядами Q 1 =+8 нКл та Q 2 = -5,3 нКл дорівнює 40 см. Обчислити напруженість Еполя у точці, що лежить посередині між зарядами. Чому дорівнює напруженість, якщо другий заряд буде позитивним?

14.3. Q 1 =10 нКл та Q 2 = -20 нКл, що знаходяться на відстані d=20 див друг від друга. Визначити напруженість Eполя в точці, віддаленій від першого заряду на r 1 =30 см і від другого на r 2 =50 див.

14.4. Відстань dміж двома точковими позитивними зарядами Q 1 =9Qі Q 2 =Q дорівнює 8 см. На якій відстані м від першого заряду знаходиться точка, в якій напруженість Еполя зарядів дорівнює нулю? Де була б ця точка, якби другий заряд був негативним?

14.5. Два точкові заряди Q 1 =2Qі Q 2 = –Qзнаходяться на відстані dодин від одного. Знайти положення точки на прямій, що проходить через ці заряди, напруженість Еполя в якій дорівнює нулю,

14.6. Електричне поле створене двома точковими зарядами Q 1 =40 нКл та Q 2 = -10 нКл, що знаходяться на відстані d=10 див друг від друга. Визначити напруженість Еполя в точці, віддаленій від першого заряду на r 1 =12 см і від другого на r 2 =6 див.

Напруженість поля заряду, розподіленого по кільцю та сфері

14.7. Тонке кільце радіусом R=8 см несе заряд, рівномірно розподілений із лінійною щільністю =10 нКл/м. Яка напруженість Еелектричного поля в точці, рівновіддаленій від усіх точок кільця на відстань r= 10 см?

14.8. Півсфера несе заряд, рівномірно розподілений із поверхневою щільністю =1,нКл/м 2 . Знайти напруженість Еелектричне поле в геометричному центрі напівсфери.

14.9. На металевій сфері радіусом R=10 см знаходиться заряд Q=l нКл. Визначити напруженість Еелектричного поля у наступних точках: 1) на відстані r 1 = 8 див від центру сферы; 2) на її поверхні; 3) на відстані r 2 =15 див від центру сферы. Побудувати графік залежності Eвід r.

14.10. Дві концентричні металеві заряджені сфери радіусами R 1 = 6см і R 2 =10 см несуть відповідно заряди Q 1 =1 нКл та Q 2 = – 0,5 нКл. Знайти напруженість Еполя у точках. віддалених від центру сфер на відстанях r 1 =5 см, r 2 = 9 см, r 3 =15 см. Побудувати графік залежності Е(r).

Напруженість поля зарядженої лінії

14.11. Дуже довгий тонкий прямий дріт несе заряд, рівномірно розподілений по всій його довжині. Обчислити лінійну щільність  заряду, якщо напруженість Eполя на відстані а=0,5 м від дроту проти його середини дорівнює 200 В/м.

14.12. Відстань dміж двома довгими тонкими дротиками, розташованими паралельно один одному, дорівнює 16 см. Друти рівномірно заряджені різноіменними зарядами з лінійною густиною ||=^150. мкКл/м. Яка напруженість Еполя в точці, віддаленій на r=10 см як від першого, так і від другого дроту?

14.13. Прямий металевий стрижень діаметром d=5 см та довжиною l=4 м несе рівномірно розподілений на його поверхні заряд Q= 500 нКл. Визначити напруженість Еполя у точці, що знаходиться проти середини стрижня на відстані а=1 см від поверхні.

14.14. Нескінченно довга тонкостінна металева трубка радіусом R=2 см несе рівномірно розподілений поверхнею заряд (=1 нКл/м 2). Визначити напруженість Еполя в точках, що віддаляються від осі трубки на відстанях r 1 =l см, r 2 =3 см. Побудувати графік залежності Е(r).

Мета уроку:дати поняття напруженості електричного поля та її визначення у будь-якій точці поля.

Завдання уроку:

• формування поняття напруги електричного поля; дати поняття про лінії напруженості та графічне уявлення електричного поля;
• навчити учнів застосовувати формулу E=kq/r 2 у вирішенні нескладних завдань на розрахунок напруженості.

Електричне поле – це особлива форма матерії, про існування якої можна судити лише з її дії. Експериментально доведено, що є два роду зарядів, навколо яких існують електричні поля, що характеризуються силовими лініями.

Графічно зображуючи поле слід пам'ятати, що лінії напруженості електричного поля:

1. ніде не перетинаються один з одним;
2. мають початок на позитивному заряді (або нескінченності) і кінець на негативному (або нескінченності), тобто є незамкнутими лініями;
3. між зарядами ніде не перериваються.

Рис.1

Силові лінії позитивного заряду:

Рис.2

Силові лінії негативного заряду:

Рис.3

Силові лінії однойменних зарядів, що взаємодіють:

Рис.4

Силові лінії різноіменних зарядів, що взаємодіють:

Рис.5

Силовий характеристикою електричного поля є напруженість, яка позначається буквою Е і має одиниці виміру або . Напруженість є векторною величиною, оскільки визначається ставленням сили Кулона до величини одиничного позитивного заряду

В результаті перетворення формули закону Кулона та формули напруженості маємо залежність напруженості поля від відстані, на якій вона визначається щодо даного заряду

де: k- Коефіцієнт пропорційності, значення якого залежить від вибору одиниць електричного заряду.

У системі СІ Нм 2 /Кл 2 ,

де ε 0 - Електрична постійна, рівна 8,85 · 10 -12 Кл 2 / Н · м 2;

q - електричний заряд (Кл);

r – відстань від заряду до точки, у якій визначається напруженість.

Напрямок вектора напруженості збігається із напрямом сили Кулона.

Електричне поле, напруженість якого однакова у всіх точках простору, називається однорідним. В обмеженій ділянці простору електричне поле можна вважати приблизно однорідним, якщо напруженість поля всередині цієї області змінюється незначно.

Загальна напруженість поля кількох взаємодіючих зарядів дорівнюватиме геометричній сумі векторів напруженості, в чому і полягає принцип суперпозиції полів:

Розглянемо кілька випадків визначення напруги.

1. Нехай взаємодіють два різноіменні заряди. Помістимо точковий позитивний заряд між ними, тоді в цій точці діятимуть два вектори напруженості, спрямовані в один бік:

Відповідно до принципу суперпозиції полів загальна напруженість поля в даній точці дорівнює геометричній сумі векторів напруженості Е31 і Е32.

Напруженість у цій точці визначається за формулою:

Е = kq 1 / x 2 + kq 2 / (r - x) 2

де: r – відстань між першим та другим зарядом;

х – відстань між першим та точковим зарядом.

Рис.6

2. Розглянемо випадок, коли необхідно знайти напруженість у точці віддаленої на відстань, а від другого заряду. Якщо врахувати, що поле першого заряду більше, ніж поле другого заряду, то напруженість у цій точці поля дорівнює геометричній різниці напруженості Е31 і Е32.

Формула напруженості у цій точці дорівнює:

Е = kq1/(r + a) 2 – kq 2 /a 2

Де: r – відстань між зарядами, що взаємодіють;

а – відстань між другим та точковим зарядом.

Рис.7

3. Розглянемо приклад, коли необхідно визначити напруженість поля в деякій віддаленості від першого і від другого заряду, в даному випадку на відстані r від першого і на відстані b від другого заряду. Так як однойменні заряди відштовхуються, а різноіменні притягуються, маємо два вектори напруженості, що виходять з однієї точки, то для їх складання можна застосувати метод протилежного кута паралелограма буде сумарним вектором напруженості. Алгебраїчну суму векторів знаходимо з теореми Піфагора:

Е = (Е 31 2 +Е 32 2) 1/2

Отже:

Е = ((kq 1 /r 2) 2 + (kq 2 /b 2) 2) 1/2

Рис.8

Виходячи з даної роботи, слід, що напруженість у будь-якій точці поля можна визначити, знаючи величини зарядів, що взаємодіють, відстань від кожного заряду до даної точки і електричну постійну.

4. Закріплення теми.

Перевірна робота.

Варіант №1.

1. Продовжити фразу: “Електростатика – це …

2. Продовжити фразу: електричне поле – це ….

3. Як спрямовані силові лінії напруженості заряду?

4. Визначити знаки зарядів:

Завдання додому:

1. Два заряди q 1 = +3·10 -7 Кл і q 2 = −2·10 -7 Кл знаходяться у вакуумі на відстані 0,2 м один від одного. Визначте напруженість поля в точці С, розташованої на лінії, що з'єднує заряди, на відстані 0,05 м праворуч від заряду q 2 .

2. У деякій точці поля на заряд 5·10 -9 Кл діє сила 3·10 -4 Н. Знайти напруженість поля у цій точці та визначте величину заряду, що створює поле, якщо точка віддалена від нього на 0,1 м.

Закон Кулону:

де F - сила взаємодії двох точкових зарядів q1 і q2; r – відстань між зарядами;  - діелектрична проникність середовища;  0 - електрична постійна

.

Закон збереження заряду:

,

де – алгебраїчна сума зарядів, що входять до ізольованої системи; n – число зарядів.

Напруженість та потенціал електростатичного поля:

;
, або
,

де – сила, що діє на точковий позитивний заряд q 0 поміщений в дану точку поля; П – потенційна енергія заряду; А ∞ - робота, витрачена на переміщення заряду q 0 з цієї точки поля в нескінченність.

Потік вектора напруженості електричного поля:

а) через довільну поверхню S, вміщену в неоднорідне поле:

, або
,

де  – кут між вектором напруженості та нормаллю до елемента поверхні; dS – площа елемента поверхні; E n - Проекція вектора напруженості на нормаль;

б) через плоску поверхню, вміщену в однорідне електричне поле:

.

Потік вектора напруженості через замкнуту поверхню –

(Інтегрування ведеться по всій поверхні).

Теорема Остроградського-Гаусса. Потік вектора напруженості через будь-яку замкнуту поверхню, що охоплює заряди q1, q2, …, qn, –

,

де - алгебраїчна сума зарядів, укладених усередині замкнутої поверхні; n – кількість зарядів.

Напруженість електростатичного поля, створюваного точковим зарядом q з відривом r від заряду, –

.

Напруженість електричного поля, створюваного сферою, що має радіус R і несе заряд q, на відстані r від центру сфери така:

всередині сфери (r R) Е = 0;

на поверхні сфери (r=R)
;

поза сферою (r  R)
.

Принцип суперпозиції (накладання) електростатичних полів, згідно з яким напруженість результуючого поля, створеного двома (і більше) точковими зарядами, дорівнює векторній (геометричній) сумі напруженостей полів, що складаються, виражається формулою

У разі двох електричних полів із напруженістю і абсолютне значення вектора напруженості становить

де  - кут між векторами і .

Напруженість поля, що створюється нескінченно довгою та рівномірно зарядженою ниткою (або циліндром) на відстані r від її осі, –

,

де  – лінійна щільність заряду.

Лінійна щільність заряду є величина, що дорівнює його відношенню до довжини нитки (циліндра):

.

Напруженість поля, створюваного нескінченною рівномірно зарядженою площиною –

,

де  – поверхнева щільність заряду.

Поверхнева щільність заряду є величина, що дорівнює відношенню заряду, розподіленого по поверхні, до її площі:

.

Напруженість поля, створюваного двома нескінченними та паралельними площинами, зарядженими рівномірно та різноіменно, з однаковою за абсолютним значенням поверхневою щільністю заряду (поле плоского конденсатора) –

.

Наведена формула справедлива при обчисленні напруженості поля між пластинами плоского конденсатора (у його середній частині) тільки в тому випадку, якщо відстань між пластинами набагато менша за лінійні розміри пластин конденсатора.

Електричне зміщення пов'язане з напруженістю електричного поля співвідношенням

,

яке справедливе лише для ізотропних діелектриків.

Потенціал електричного поля є величина, що дорівнює відношенню потенційної енергії та точкового позитивного заряду, поміщеного в дану точку поля:

.

Інакше кажучи, потенціал електричного поля є величина, що дорівнює відношенню роботи сил поля з переміщення точкового позитивного заряду з цієї точки поля в нескінченність до величини цього заряду:

.

Потенціал електричного поля нескінченно умовно прийнятий рівним нулю.

Потенціал електричного поля, створюваний точковим зарядом q на

відстані r від заряду –

.

Потенціал електричного поля, що створюється металевою сферою, що має радіус R і несе заряд q, на відстані r від центру сфери такий:

всередині сфери (r  R)
;

на поверхні сфери (r = R)
;

поза сферою (r  R)
.

У всіх формулах, наведених для потенціалу зарядженої сфери, є діелектрична проникність однорідного безмежного діелектрика, що оточує сферу.

Потенціал електричного поля, утвореного системою n точкових зарядів у цій точці відповідно до принципу суперпозиції електричних полів, дорівнює сумі алгебри потенціалів
, створюваних окремими точковими зарядами
:

.

Енергія W взаємодії системи точкових зарядів
визначається роботою, яку ця система може зробити при видаленні їх відносно один одного в нескінченність, і виражається формулою

,

де - потенціал поля, що створюється всіма (n-1) зарядами (за винятком i-го) у точці, де знаходиться заряд .

Потенціал пов'язаний із напруженістю електричного поля співвідношенням

.

У разі електричного поля, що має сферичну симетрію, цей зв'язок виражається формулою

,

або у скалярній формі

.

Що стосується однорідного поля, тобто. поля, напруженість якого в кожній його точці однакова як за абсолютним значенням, так і за напрямом, –

,

де  1 та  2 – потенціали точок двох еквіпотенційних поверхонь; d – відстань між цими поверхнями вздовж електричної силової лінії.

Робота, що здійснюється електричним полем при переміщенні точкового заряду q з однієї точки поля, що має потенціал  1 , до іншої, що має потенціал  2 , дорівнює

, або
,

де E - Проекція вектора на напрямок переміщення;
- Переміщення.

У разі однорідного поля остання формула набуває вигляду

,

де – переміщення;  - кут між напрямками вектора і переміщення .

Диполь є система двох точкових (рівних за абсолютним значенням і протилежних за знаком) зарядів, що знаходяться на певній відстані один від одного.

Електричний момент диполя є вектор, спрямований від негативного заряду до позитивного, рівний добутку заряду на вектор , Проведений від негативного заряду до позитивного, і званий плечем диполя, тобто.

.

Діполь називається точковим, якщо його плече набагато менше відстані від центру диполя до точки, в якій нас цікавить дія диполя (  r), див. рис. 1.

Напруженість поля точкового диполя:

,

де р - Електричний момент диполя; r - абсолютне значення радіус-вектора, проведеного від центру диполя до точки, напруженість поля в якій нас цікавить;  - кут між радіус-вектором і плечем диполя.

Напруженість поля точкового диполя у точці, що лежить на осі диполя

(=0), знаходиться за формулою

;

у точці, що лежить на перпендикулярі до плеча диполя, відновленому з його середини
, – за формулою

.

Потенціал поля точкового диполя у точці, що лежить на осі диполя (=0), становить

,

а в точці, що лежить на перпендикулярі до плеча диполя, відновленому з його середини
, –

Напруженість і потенціал неточкового диполя визначаються як і для системи зарядів.

Механічний момент, що діє на диполь з електричним моментом р, поміщений в однорідне електричне поле з напруженістю Е –

, або
,

де  - кут між напрямками векторів і .

Електроємність відокремленого провідника чи конденсатора –

,

де q – заряд, повідомлений провіднику;  - Зміна потенціалу, викликане цим зарядом.

Електроємність відокремленої провідної сфери радіусом R, що знаходиться в нескінченному середовищі з діелектричною проникністю , –

.

Якщо сфера порожниста і заповнена діелектриком, її електроємність у своїй не змінюється.

Електроємність плоского конденсатора:

,

де S – площа кожної пластини конденсатора; d – відстань між пластинами;  - діелектрична проникність діелектрика, що заповнює простір між пластинами.

Електроємність плоского конденсатора, заповненого n шарами діелектрика товщиною d i та діелектричною проникністю  i кожен (шаруватий конденсатор), становить

.

Електроємність сферичного конденсатора (дві концентричні сфери радіусом R 1 і R 2 , простір між якими заповнений діелектриком з діелектричною проникністю ) знаходиться так:

.

Електроємність послідовно з'єднаних конденсаторів складає:

у загальному випадку –

,

де n - Число конденсаторів;

у разі двох конденсаторів –

;

.

Електроємність паралельно з'єднаних конденсаторів визначається так:

у загальному випадку –

З=З 1 +З 2 +…+З n;

у разі двох конденсаторів –

З = З 1 +З 2;

у разі n однакових конденсаторів з електроємністю 1 кожен –

Енергія зарядженого провідника виражається через заряд q, потенціал  та електроємність З провідника наступним чином:

.

Енергія зарядженого конденсатора –

,

де q - Заряд конденсатора; С – електроємність конденсатора; U – різниця потенціалів з його пластинах.

Мета уроку:дати поняття напруженості електричного поля та її визначення у будь-якій точці поля.

Завдання уроку:

• формування поняття напруги електричного поля; дати поняття про лінії напруженості та графічне уявлення електричного поля;
• навчити учнів застосовувати формулу E=kq/r 2 у вирішенні нескладних завдань на розрахунок напруженості.

Електричне поле – це особлива форма матерії, про існування якої можна судити лише з її дії. Експериментально доведено, що є два роду зарядів, навколо яких існують електричні поля, що характеризуються силовими лініями.

Графічно зображуючи поле слід пам'ятати, що лінії напруженості електричного поля:

1. ніде не перетинаються один з одним;
2. мають початок на позитивному заряді (або нескінченності) і кінець на негативному (або нескінченності), тобто є незамкнутими лініями;
3. між зарядами ніде не перериваються.

Рис.1

Силові лінії позитивного заряду:

Рис.2

Силові лінії негативного заряду:

Рис.3

Силові лінії однойменних зарядів, що взаємодіють:

Рис.4

Силові лінії різноіменних зарядів, що взаємодіють:

Рис.5

Силовий характеристикою електричного поля є напруженість, яка позначається буквою Е і має одиниці виміру або . Напруженість є векторною величиною, оскільки визначається ставленням сили Кулона до величини одиничного позитивного заряду

В результаті перетворення формули закону Кулона та формули напруженості маємо залежність напруженості поля від відстані, на якій вона визначається щодо даного заряду

де: k- Коефіцієнт пропорційності, значення якого залежить від вибору одиниць електричного заряду.

У системі СІ Нм 2 /Кл 2 ,

де ε 0 - Електрична постійна, рівна 8,85 · 10 -12 Кл 2 / Н · м 2;

q - електричний заряд (Кл);

r – відстань від заряду до точки, у якій визначається напруженість.

Напрямок вектора напруженості збігається із напрямом сили Кулона.

Електричне поле, напруженість якого однакова у всіх точках простору, називається однорідним. В обмеженій ділянці простору електричне поле можна вважати приблизно однорідним, якщо напруженість поля всередині цієї області змінюється незначно.

Загальна напруженість поля кількох взаємодіючих зарядів дорівнюватиме геометричній сумі векторів напруженості, в чому і полягає принцип суперпозиції полів:

Розглянемо кілька випадків визначення напруги.

1. Нехай взаємодіють два різноіменні заряди. Помістимо точковий позитивний заряд між ними, тоді в цій точці діятимуть два вектори напруженості, спрямовані в один бік:

Відповідно до принципу суперпозиції полів загальна напруженість поля в даній точці дорівнює геометричній сумі векторів напруженості Е31 і Е32.

Напруженість у цій точці визначається за формулою:

Е = kq 1 / x 2 + kq 2 / (r - x) 2

де: r – відстань між першим та другим зарядом;

х – відстань між першим та точковим зарядом.

Рис.6

2. Розглянемо випадок, коли необхідно знайти напруженість у точці віддаленої на відстань, а від другого заряду. Якщо врахувати, що поле першого заряду більше, ніж поле другого заряду, то напруженість у цій точці поля дорівнює геометричній різниці напруженості Е31 і Е32.

Формула напруженості у цій точці дорівнює:

Е = kq1/(r + a) 2 – kq 2 /a 2

Де: r – відстань між зарядами, що взаємодіють;

а – відстань між другим та точковим зарядом.

Рис.7

3. Розглянемо приклад, коли необхідно визначити напруженість поля в деякій віддаленості від першого і від другого заряду, в даному випадку на відстані r від першого і на відстані b від другого заряду. Так як однойменні заряди відштовхуються, а різноіменні притягуються, маємо два вектори напруженості, що виходять з однієї точки, то для їх складання можна застосувати метод протилежного кута паралелограма буде сумарним вектором напруженості. Алгебраїчну суму векторів знаходимо з теореми Піфагора:

Е = (Е 31 2 +Е 32 2) 1/2

Отже:

Е = ((kq 1 /r 2) 2 + (kq 2 /b 2) 2) 1/2

Рис.8

Виходячи з даної роботи, слід, що напруженість у будь-якій точці поля можна визначити, знаючи величини зарядів, що взаємодіють, відстань від кожного заряду до даної точки і електричну постійну.

4. Закріплення теми.

Перевірна робота.

Варіант №1.

1. Продовжити фразу: “Електростатика – це …

2. Продовжити фразу: електричне поле – це ….

3. Як спрямовані силові лінії напруженості заряду?

4. Визначити знаки зарядів:

Завдання додому:

1. Два заряди q 1 = +3·10 -7 Кл і q 2 = −2·10 -7 Кл знаходяться у вакуумі на відстані 0,2 м один від одного. Визначте напруженість поля в точці С, розташованої на лінії, що з'єднує заряди, на відстані 0,05 м праворуч від заряду q 2 .

2. У деякій точці поля на заряд 5·10 -9 Кл діє сила 3·10 -4 Н. Знайти напруженість поля у цій точці та визначте величину заряду, що створює поле, якщо точка віддалена від нього на 0,1 м.